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Jornadas Internacionales de Didáctica de las Matemáticas en Ingeniería 191

La estética de los números y los números en la

estética López González Mª Dolores. [email protected]

Departamento de Matemática e Informática Aplicadas a la Ingeniería Civil

Universidad Politécnica de Madrid

RESUMEN

El presente texto es una recopilación de conceptos relacionados con

los números, con la finalidad de motivar a los estudiantes sobre la estética de

las matemáticas y sus aplicaciones en el mundo que nos rodea.

Palabras claves:

Matemáticas divulgativas; Números; Proporción Áurea;

Matemáticas en las Artes; Belleza de las Matemáticas.

ABSTRACT

The present text is a summary of concepts related with the numbers

with the purpose of the students motivation on the aesthetics of the

mathematics and its applications in the world that surrounds us.

Keywords

Popularization of the Mathematic, Numbers, Golden Section,

Mathematics and Art, Mathematic and Beauty.

La estética de los números y los números en la estética.

192 Jornadas Internacionales de Didáctica de las Matemáticas en Ingeniería

1. INTRODUCCIÓN

Aun que a primera vista no lo parezca, el concepto de número es una de las

realidades más misteriosas de entre las que nos rodean. Existen campos, como es el de los

números, que por su cercanía y uso cotidiano damos por perfectamente conocidos. Sin

embargo, como veremos, los números encierran en gran medida muchas sorpresas y

misterios.

La dimensión simbólica del número es algo por todos conocido. Como tal, es una

manifestación que sirve para conectar con una realidad. Ese acercamiento puede ser,

puramente sensorial, intelectual o emocional.

El concepto de número lo estudiamos a muy corta edad como una herramienta

para la cuantificación que sentará las bases de operaciones cada vez más complejas. El

problema de este planteamiento es que nos hace perder la idea esencial del número.

Al enseñarnos los números como instrumento para contar, asociamos cada cifra

con una cantidad. Esto puede hacer perder gran parte del mensaje del número.

En la enseñanza infantil podemos encontrar fichas de trabajo para los pequeños

donde se les muestra algo así (figura 1):

2

y a continuación se les muestra otra como la que sigue (figura 2):

2

Se pretende que un niño asocie el número 2 a los dos dibujos, pero en un

principio puede existir un rechazo por parte de él. Se le está pidiendo que acepte bajo el

mismo nombre dos realidades diferentes. En los dos dibujos existen dos elementos pero,

en el primero están repetidos (sólo un objeto diferente) y en el segundo se cuenta con dos



objetos distintos. No podemos limitar el número a la cantidad, también encierra cualidad.

En el primer dibujo dejamos al niño asociar el 2 a la cantidad y en el segundo a la

cualidad. El número 2 tiene distintas realidades.

Debemos aceptar y estudiar el carácter polifacético de los números, su utilidad en

la ciencia, por supuesto, el arte, la música, la vida cotidiana o la filosofía.

El significado simbólico de los números es un campo antiguo y existen

tradiciones y leyendas en la mayoría de las culturas que hacen uso de su simbología.

Veamos algunos ejemplos conocidos por todos:

• El 2: Referencia de oposición, conflicto. Caín y Abel, el bien y el mal, blanco

negro, masculino y femenino…

• El 3: En el entorno familiar, el tercer hermano resuelve el conflicto. En los tres

cerditos es el tercer hermano el trabajador, el bueno y sabio frente a los dos

hermanos mayores vagos. En la Cenicienta, las hermanas mayores son

envidiosas, malas y perezosas. Y así podríamos encontrar muchos ejemplos.

• El 4: Se asocia a la idea de coherencia y solidez del grupo. Los cuatro puntos

cardinales, los cuatro jinetes de la Apocalipsis, las cuatro estaciones, los cuatro

amantes de “El sueño de una noche de verano” de Shakespeare… Los pitagóricos

creían en el poder de la tetrada o número 4, como veremos, muy ligado al número

10. Crearon una filosofía basada en 10 conjuntos de 4 elementos:

• Números: 1,2,3,4

• Magnitudes: punto, línea, superficie, sólido

• Elementos: fuego, aire, agua, tierra

• Figuras: pirámide, octaedro, icosaedro y cubo

• Seres vivos: semilla, crecimiento en longitud, anchura y grosor

• Sociedades: hombre, pueblo, ciudad, nación

• Facultades: razón, conocimiento, opinión, sensación

• Estaciones

• Edades: infancia, juventud, madurez, vejez

• Parte de las seres vivos: tres partes del cuerpo y el alma

Es este un camino un tanto esotérico en el que se pueden encontrar muchas

publicaciones y doctrinas.

Seguiremos aquí el camino del número como un símbolo en su concepción más

amplia.



2. LA BELLEZA Y LOS NÚMEROS

La finalidad de los contenidos a exponer se centra en plasmar cómo los números

ayudan al desarrollo de la inteligencia emocional y no sólo a la racional. Así como el

mostrar la belleza en si misma que éstos encierran.

En principio, una persona es un animal racional, cualidad esta que nos distingue

del resto de los seres vivos. Con el tiempo nos damos cuenta que somos más animales

emocionales que racionales ya que la mayoría de las decisiones las tomamos desde el

corazón y no desde el cerebro. Surge entonces la duda de si será más importante educar

en la práctica de pensar bien o en el control de las reacciones y sentimientos. En la

actualidad existe la tendencia a exigir una mejor formación en Matemáticas que garantice

el equilibrio social, económico y político al que aspiramos. En los contenidos que siguen

se pretende mostrar cómo han servido las Matemáticas y en particular los números, para

desarrollar la sensibilidad y crear belleza.

2.1. Curiosidades: Algunos números especiales

Los números son algo más que grandes o pequeños. Algunos son naturales,

racionales, primos, incluso perfectos o amigos. Son así por contar con ciertas propiedades

y con ellos surgen nuevos modelos más o menos extraños o bellos. Algunos de ellos se

descubrieron con anterioridad a Pitágoras pero, indudablemente, fueron los Pitagóricos

los que se mostraron fascinados por las clases espaciales de números.

2.1.1. Los números perfectos

Unos de los patrones destacables es el de los números perfectos. Se trata de

números naturales con la propiedad de que coinciden con la suma de todos sus divisores.

Por ejemplo, 6 es el primer número perfecto:

6=1+2+3

Cuando Matemáticas, Religión y Filosofía caminaban de la mano, era natural que

se buscasen interpretaciones a las propiedades. Los comentaristas tanto del Antiguo como

del Nuevo Testamento no dejaron de asombrarse de que el número de días en que Dios

creó el mundo (descartando el séptimo día de descanso) fuera, precisamente un número

perfecto. Esta coincidencia no quedó simplemente en perplejidad sino que llegó a usarse

como argumento teológico. San Agustín (345-430) escribió:



“El seis es un número perfecto en sí mismo, y no porque Dios creara todas las

cosas en seis días, sino por todo lo contrario. Dios creó todas las cosas en seis días

porque el número es perfecto”

Y si se tiene en cuenta que el siguiente número perfecto es el 28 (suma de

1+2+4+7+14), más o menos el tiempo que toma el ciclo de la Luna, es entendible ciertas

interpretaciones, así como que durante mucho tiempo los calculistas se lanzaran a la caza

de números perfectos. Pero los números perfectos son difíciles de cazar. Y son pocos.

Después del pequeño 6 y el 28, el número perfecto siguiente es 496, el cuarto es 8.128 y

el quinto... 33.550.336. El sexto ya anda por los ocho mil millones. El octavo ya es un

número de diecinueve cifras. Hoy se conocen veinticuatro “números perfectos”, de

longitudes verdaderamente inverosímiles: el vigésimo cuarto número perfecto tiene más

de doce mil cifras.

Pese a que conocemos pocos números perfectos, existen cuestiones sin resolver.

Por empezar, no se sabe si existe algún número perfecto impar. Tampoco se sabe si

existen infinitos números perfectos.

Como idea general resumir los números perfectos, bien como lo hizo Descartes:

“Los números perfectos, como el hombre perfecto, son difíciles de encontrar”.

No obstante, existen aplicaciones y intereses matemáticos de estos números.

Euler estableció una condición necesaria y suficiente para que un número par sea perfecto

en relación a los números primos:

)12(2 1 −− nn es perfecto par si 2n-1 es primo. Se relacionan así este tipo de

números con los primos de Mersenne.

2.1.2. Los números amigos

Nos ocupamos ahora de pares de números algo más frecuentes que los números

perfectos: Los números amigos. Se denominan así a aquellos números cuya suma de

divisores propios iguala a su amigo.

Los pitagóricos observaron esta rara relación entre los números 220 y 284:

Los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, que

suman 284.

Los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, que suman 220.

Para los pitagóricos los números amigos tenían muchas propiedades místicas.

Notar que si un número es amigo de sí mismo (es igual a la suma de sus divisores

propios), es entonces un número perfecto.



Durante muchos siglos, la pareja 220 y 284 fueron los únicos amigos conocidos,

hasta que en 1636 Fermat descubrió que 17.296 y 18.416 también lo son (realmente ya

avanzado por Ibn al-Banna). En 1638 Descartes, colega y competidor de Fermat, encontró

la tercera pareja: 9.363.584 y 9.437.056.

Alrededor del año 850, Tabit ibn Qurra (826-901) descubrió una fórmula general

para la cual se podían hallar números amigos:

Si: p=3x2n-1-1

q=3x2n-1

r=9x22n-1-1

con n entero mayor que 1 y p,q y r primos, entonces 2npq, 2nr son amigos.

Esta fórmula genera los pares (220, 284), (1184, 1210), (17.296, 18.416) y

(9.363.284, 9.437.056). El par (6232, 6368) también es de números amigos, pero no se

puede hallar por la fórmula anterior.

Mientras los números perfectos representaban columnas místicas que sostenían el

mundo, los números amigos se trataban como elementos que debían mantenerse unidos.

En la Edad Media, existió la creencia de que si se daba de comer a dos personas

(al mismo tiempo pero no en el mismo lugar) sendos alimentos que contenían una

inscripción 220 para uno y de 284 para el otro, entonces se volvían amigos por arte de

magia (también se quiso comprobar el efecto erótico de ello). Ya hace 2000 años existía

la costumbre de que parejas de enamorados intercambiaran talismanes con los números

284 y 220. Por supuesto existían muchos matrimonios entre parejas cuyos cumpleaños,

alturas, o cualquier otra medida coincidieran con números amigos.

2.2. El concepto de la belleza puede ser matemático. La proporción y

el sentido estético

Existe un concepto asociado a los números de gran importancia en todos los

campos, es la idea de la relación entre las cosas. En general, somos en función de lo que

nos rodea, en función de los demás.

Vizzini: ¿Os creéis muy valiente, alteza?

Princesa: Eso depende de con quién se me compare

La princesa Prometida (W. Goldman)

Muchos conceptos con los que nos encontramos dependen de la comparación

entre elementos. Alguien será alto o bajo en función de una comparación entre estaturas,

rápido o lento, gordo o flaco,… El concepto matemático que anda detrás de esta idea es el

de razón o proporción. Para llegar a él necesitamos comparar tres elementos:



Diremos que entre tres elementos existe una proporción cuando la razón entre el

pequeño y el mediano es la misma que la razón entre el mediano y el grande: b

c

a

b =

Estos tres segmentos se dice que están en proporción o son proporcionados.

Estéticamente, a lo largo de la historia, los artistas de todas las áreas han defendido que

las magnitudes proporcionadas producen una sensación estética agradable. Si esto es así,

la belleza no debe considerarse como algo puramente subjetivo, podría medirse en cierta

forma y estaría íntimamente ligada con los números y por tanto con la Matemática.

No obstante, decir que el placer que nos produce la observación de elementos en

proporción está justificado por el predominio de la proporcionalidad en el mundo que nos

rodea, la naturaleza.

De entre todas las proporciones, existe una realmente interesante: La proporción

áurea que estudiaremos más adelante.

Obsesionados con la belleza humana, no pocos científicos han realizado estudios

y existen diversos estudios que pretenden establecer las proporciones idóneas que reflejan

la belleza física en el hombre y la mujer. Existen así numerosas fórmulas que se pueden

aplicar, según diversos criterios para “medir el coeficiente de atracción física de las

personas”

Con todo esto, la conclusión es que, hoy en día, la madrastra de Blancanieves ya

no tendría que preguntarle a su espejo mágico quién es la más bella de las mujeres porque

podía obtener la respuesta con un metro, papel, boli y un poquito de matemáticas.

2.2.1. Las proporciones en el hombre

No es cuestionable que en el ser humano, al igual que en otros animales, existen

unas proporciones que pueden comprobarse fácilmente. Citemos algunas de ellas:

-Una palma es la anchura de cuatro dedos.

-Un pie es la anchura de cuatro palmas.



-Un antebrazo es la anchura de seis palmas.

-La altura de un hombre son cuatro antebrazos (24 palmas).

-Un paso es igual a cuatro antebrazos.

-La longitud de los brazos extendidos de un hombre es igual a su altura.

-La distancia entre el nacimiento del pelo y la barbilla es un décimo de la altura

de un hombre.

-La altura de la cabeza hasta la barbilla es un octavo de la altura de un hombre.

-La distancia entre el nacimiento del pelo a la parte superior del pecho es un

séptimo de la altura de un hombre.

-La altura de la cabeza hasta el final de las costillas es un cuarto de la altura de un

hombre.

-La anchura máxima de los hombros es un cuarto de la altura de un hombre.

-La distancia del codo al extremo de la mano es un quinto de la altura de un

hombre.

-La distancia del codo a la axila es un octavo de la altura de un hombre.

-La longitud de la mano es un décimo de la altura de un hombre.

-La distancia de la barbilla a la nariz es un tercio de la longitud de la cara.

-La distancia entre el nacimiento del pelo y las cejas es un tercio de la longitud de

la cara.

-La altura de la oreja es un tercio de la longitud de la cara.

Cuando se presente el concepto de proporción áurea veremos algunas más.

2.3. La música y los números

Siguiendo con la idea de las proporciones y el lenguaje emocional, aunque, a

primera vista sorprenda, la música está hecha con números, con razones y proporciones.

Otra vez debemos a Pitágoras algo tan conocido como la escala musical o escala

cromática: DO RE MI FA SOL LA SI DO. Pitágoras aplicó sus conocimientos

geométricos a la música. Se dio cuenta de que la frecuencia de la vibración sonora de una

cuerda tensada al ser pulsada, es inversamente proporcional a su longitud. Distintas

longitudes de una cuerda originan sonidos diferentes. De mayor frecuencia o más agudos

cuanto más pequeña es la longitud y más graves o de menor frecuencia cuanto más larga.

Con este descubrimiento la idea se centraba en investigar las longitudes

(frecuencias) que resultaban armoniosas. Sus investigaciones llegaron a lo siguiente:

Si tomamos los primeros números naturales y trabajemos con cuerdas con razón

2:1 sonaban de forma agradable y resultaban ser la misma nota (DO) más alta o más baja



(intervalo de octava). En general, toda nota tiene su octava, la idea es duplicar o dividir

por dos la longitud de la cuerda que la genera.

Estas dos notas DO resultan los extremos de un fragmento que podemos repetir

indefinidamente, ¿qué ocurrirá con las partes interiores de él?

Pasemos al siguiente número natural y consideremos la razón 3:2. Se producen

los sonidos iguales a las notas DO, SOL (intervalo de quinta). Así, una cuerda en esta

relación 3/2=1.5 producirá la nota SOL.

Sigamos: razón 4:3. Cuerdas de longitudes 4 y 3 producen sonidos de las notas

DO, FA (intervalo de cuarta) Con una cuerda de longitud 4/3 conseguimos FA.

Si volvemos a aplicar razón 3:2 sobre SOL, es decir, una cuerda de longitud 3/2

3/2 =9/4 y buscamos su octava según la razón 2:1 (cuerda de longitud 9/8) se obtiene RE.

Aplicando este método de quintas se obtienen todas las notas con cuerdas de la

longitud adecuada (figura 3):

DO RE MI FA SOL LA SI DO

1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/12 8 2/1

Hemos visto que la música presenta asombrosas regularidades, todo obedece a la

proporción y la simetría.



Pitágoras utilizó para ello sólo los cuatro primeros números naturales (las razones

entre ellos): 1, 2, 3, 4. Observemos que el número 10 (número de la perfección para

Pitágoras) nace de ellos: 1+2+3+4=10. Geométricamente el Tetractis, figura formada por

10 puntos colocados según los 4 números naturales, se convirtió en culto para los

pitagóricos (figura 4), y llevó a utilizar el concepto de música de las esferas.

En el siglo XVIII se introducen modificaciones en la escala pitagórica: la escala

templada (Bach). Es la escala actual en la música occidental. En ella se trabaja con 11

frecuencias (longitudes) intermedias. Se busca que todos los sonidos estén separados por

una misma distancia (intervalo):

do do# re re# mi fa fa# sol sol# la la# si

Corresponde a las teclas blancas (7) y las negras (5).

3. EL NÚMERO DE ORO: LA PROPORCIÓN ÁUREA

No puede obviarse que, a lo largo de la historia, existe una proporción

que se ha ido repitiendo constantemente como una garantía de armonía y estética, es la

llamada proporción áurea.

Tomemos tres cantidades, las longitudes de tres segmentos, de forma que la razón

entre la totalidad del segmento y una parte (la mayor) sea igual a la razón entre esta parte

y la otra: b

a

a

ba =+



Si se toma 1, 2 +== xxb

ax ; ...618033989.1

2

51 ==+= φx Donde φ

es el llamado número de oro, número dorado, sección áurea, razón áurea, razón dorada,

media áurea, proporción áurea y divina proporción. Se trata de un número que posee

muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como

“unidad” sino como relación o proporción.

¿Cómo generamos este número?:

Consideremos la siguiente sucesión de números:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...

Cada número a partir del tercero, se obtiene sumando los dos que le preceden:

+===

−− 21

21 1,1

nnn xxx

xx

En general, pueden tomarse dos puntos de partida y generar series del mismo

tipo: 1, 4, 5, 9, 23, 37, 60,….

Estos modelos de crecimiento fueron detectados en el siglo XIII por Leonardo de

Pisa (de apodo Fibonacci) y se bautizaron como sucesiones de Fibonacci. Presenta

diversas regularidades numéricas y quizás la más sorprendente sea la siguiente: Si se

dividen dos términos consecutivos de la sucesión, siempre el mayor entre el menor:

Al tomar más términos de la sucesión y hacer su cociente nos acercamos al

número de oro. Cuanto mayores son los términos, los cocientes se acercan más a φ .

Como veremos, la serie de Fibonacci describe un modelo de crecimiento que se

corresponde con numerosos casos de crecimiento en la naturaleza. Existen numerosas

publicaciones en los que aparecen ejemplos de estos números. Anecdóticamente

citaremos su aparición en el código Da Vinci el best-seller de de Dan Brown.

Distribuciones de hojas alrededor del tallo, siguen secuencias de números de

Fionacci, el número de espirales de flores y frutos, por ejemplo los girasoles, tienen 55

espirales en un sentido y 89 en otro, o 89 y 144. La piña presenta un número de espirales

también con estos números (8 y 13 ó 5 y 8).

Existen elementos geométricos asociados a este número de oro, sin duda el más

famoso es el rectángulo áureo (sus lados están en razón aúrea). Así son los carnets de



identidad, tarjetas de crédito, cartillas del banco,… Basándose en la propiedad de

“endogamia” se genera la espiral áurea como sigue:

A partir de un rectángulo áureo, se suma un cuadrado de lado igual a su lado

mayor (resulta otro rectángula áureo) y se sigue este proceso indefinidamente

obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados. Es posible entonces generar

una espiral trazando un cuarto de circunferencia en cada cuadrado consecutivo. Debemos

destacar que si se construyen bloques de cuadrados de lados los números de Fibinacci, se

obtiene un dibujo muy similar.

Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de

matemáticos, artistas y naturalistas (figura 5).

La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el crecimiento

armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de moluscos),

aquellas en las que la forma se mantiene invariante. El ejemplo más visualmente

representativo es la concha del Nautilus.

Estos elementos, la proporción áurea y la sucesión de Fibonacci, se encuentran

tanto en algunas figuras geométricas como en las partes de un cuerpo, y en la naturaleza

como relación entre cuerpos, en la morfología de diversos elementos tales como

caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas,

proporciones humanas, etc.

Encontramos el número de oro en el pentágono que resulta la construcción

geométrica más ligada al número de oro. Gráficamente el número áureo es la relación



entre el lado del pentágono regular y la recta que une dos vértices no consecutivos de éste

(diagonal): φ=a

b (figura 6).

Trazando las diagonales del pentágono regular se obtiene la estrella de cinco

puntas (como no, símbolo secreto adoptado por las pitagóricos). Un símbolo pagano, más

tarde acogido por la iglesia católica para representar a la Virgen María, y también por

Leonardo da Vinci para asentar en él al hombre de Vitruvio (figura 7).

Teniendo en cuenta la gran simetría de este símbolo se observa que dentro del

pentágono interior es posible dibujar una nueva estrella, con una recursividad hasta el

infinito. Del mismo modo, es posible dibujar un pentágono por el exterior, que sería a su

vez el pentágono interior de una estrella más grande. Todas las longitudes en esta figura

están en proporción áurea.

La figura pentagonal es el modelo de multitud de formas de la naturaleza: flores,

estrellas de mar, erizos, aminoácidos, bases del ADN, … Pero, sin lugar a dudas el

pentágono es el símbolo del hombre:

Tenemos cuatro extremidades que unidas a la cabeza configuran un esquema

pentagonal. Algo claramente reflejado en la representación de Cornelio Agrippa (figura

8).



Contamos con cinco dedos en cada mano y en cada pie, cinco orificios en la

cabeza, cinco sentidos,…

Por supuesto, como veremos el vínculo más relevante del hombre con el

pentágono vendrá de la mano de la razón áurea

3.1. Algunos ejemplos

a) En la música

Bartók usó la serie de Fibonacci para crear su "escala Fibonacci". En su obra

“Música para instrumentos de cuerda, percusión y celesta”, un análisis de su fuga nos

muestra la aparición de la serie y de la razón áurea (figura 9 y 10).

Números de Fibonacci



En varias sonatas para piano de Mozart, la proporción entre el desarrollo del tema

y su introducción es la más cercana posible a la razón áurea. ¿Intuición? Tampoco se sabe

si fue consciente de ello, pero en su Quinta Sinfonía, Beethoven distribuye el famoso

tema siguiendo la sección áurea.

En la música más actual, se pueden seguir encontrando ejemplos. Citaremos al

grupo de rock progresivo norteamericano Tool, en su disco Lateralus (2001) hacen

múltiples referencias al número áureo y a la sucesión de Fibonacci. En la canción que da

nombre al disco:

- Los versos de la misma están cantados de forma que el número de sílabas

pronunciadas en cada uno van componiendo dicha secuencia.

- La voz entra en el minuto 1:37, que pasado al sistema decimal coincide muy

aproximadamente con el número áureo.

b) En el hombre

Volvamos a la idea de belleza física en hombres y mujeres y sus proporciones:

- Si se coge un metro y uno se mide desde la cabeza a los pies y divide el

resultado entre la longitud del ombligo al suelo, el cociente se aproximadamente 1,6.

- La relación entre la altura del ombligo y la de la rodilla, es otra vez de

1,6.



- La medida de la longitud total del brazo, entre la distancia desde la punta

de los dedos al codo, también es 1,6.

- Las falanges dividen al dedo según proporciones de oro.

- Existen otra cuantas en pies, brazos,…

Todo esto es la traducción del texto que acompaña al famoso Hombre de Vitrubio

de Leonardo da Vinci (figura 11). En él quedan representadas las proporciones que

pueden establecerse en el cuerpo humano (por ejemplo la proporción áurea).

Matemáticamente esta representación es una relación directa entre la anatomía

humana y las dos figuras geométricas más importantes: el círculo y el cuadrado:

Leonardo decía: ”si abres las piernas hasta reducir tu altura en una décimo cuarta

parte, y si extiendes y levantas los brazos hasta que los dedos corazón lleguen al nivel de

la cima de la cabeza, verás que el centro de los miembros extendidos se encuentra en el

ombligo, y que el espacio entre las piernas formará un triángulo equilátero”.

Si se coloca el compás en el ombligo de un hombre y se toma como radio la

distancia a los pies, al extender los brazos hasta que los dedos lleguen al nivel de la



cabeza, los pies y las manos tocarán la circunferencia obtenida. El centro es el ombligo

(centro transcendente, la circunferencia es tratada como divina en la geometría sagrada).

Cuando la figura se inserta en un cuadrado, el centro coincide con los genitales

(concepto terrenal como el tratamiento que recibe el cuadrado en la geometría sagrada)

Recordando que el ombligo se encuentra en proporción áurea con la altura total

en los cánones de bellaza, entre la circunferencia y el cuadrado existe esa proporción

(razón entre el lado del cuadrado y radio de la circunferencia igual aφ ).

En el campo de la odontología, se ha descubierto que la dentadura va creciendo

siguiendo proporciones áureas, y de la misma forma lo hacen otros rasgos faciales, como

la sonrisa respecto al arco dental, la distancia entre los ojos y muchas más...

Las anchuras de los cuatro dientes frontales, desde el incisivo central hasta el

premolar, se encuentran entre si en proporción áurea.

La relación entre la anchura del arco de la sonrisa entre el ancho de los 8 dientes

centrales (los que pueden verse mientras se sonríe) es también áurea.

Cuando los dientes no están juntos, la linea de los labios divide la parte inferior

del rostro según la proporción áurea.

También es áurea la relación entre la distancia entre los ojos y el ancho de los

mismos.

Tom Cruise (figura 12) es uno de los actores más famosos del mundo. Su rostro

ocupa pantallas de cine, portadas de revistas, pósters, fotos; casualmente posee unas

proporciones áureas casi perfectas: sus ojos, boca, dientes, nariz, cabeza, están

distribuidos de forma que la proporción de oro aparece constantemente. ¿Casualidad?

Hay otros famosos, como los españoles Antonio Banderas y Penélope Cruz que también

poseen rostros "de oro".

La belleza y Phi suelen ir de la mano.



Todo parece encajar: si nosotros mismos estamos creados y crecemos al ritmo

marcado por Phi, ¿no es lógico que encontremos más bellas las formas basadas en la

proporción de oro que las que no lo están? Somos número.

c) En el arte: la pintura

Aparece en pinturas de Dalí, en la Venus de Boticelli, en Los Fusilamientos del 3

de Mayo de Goya (figura 13). La técnica pictórica basada en la sección áurea consiste en

colocar los elementos a destacar en posiciones áureas. Una técnica similar se usa en el

cine.

O también inscribiendo la escena a resaltar en pentágonos o dodecaedros como

aparecen en las figuras (figuras 14 y 15)



Corresponden a obras de Dalí y Rafael.

4. CONCLUSIÓN

Las palabras de Hardy pueden ser un resumen de lo que aquí se quería plasmar:

“Un matemático, como un pintor o un poeta, es un fabricante de modelos. Si sus

modelos son más duraderos que los de estos últimos, es debido a que están hechos con

ideas. Los modelos del matemático, como los del pintor o los del poeta deben ser

hermosos. La belleza es la primera prueba; no hay lugar permanente en el mundo para

una Matemática fea”

Como dijo Descartes: “Las Matemáticas son la ciencia del orden y la medida”.

Yo no sé si la belleza se puede definir o medir pero, evidentemente, la belleza es

orden, armonía y equilibrio, características estas de las Matemáticas.

“Todo es armonía y número”. Pitágoras.

5. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] ANCOCHEA, G. (1992). El simbolismo del número. Obelisco.

[2] BUHIGAS, J. (2008). La divina geometría. La esfera de los libros.

[3] EGGERS, L. (1995). El nacimiento de la Matemática en Grecia.

EUDEBA, Bs. AS.

[4] GHYKA, M. (1978). Filosofía y mística del número. Poseidón



[5] GHYKA, M. (1978). Estética de las proporciones en la naturaleza y las

artes. Poseidón.

[6] HEMENWAY, P. (2005). Divine Proportion: Phi in Art, Nature and

Science. Sterling.

[7] JEANS, J. (1976). Matemáticas de la música en el mundo de las

matemáticas (tomo VI). Grijalbo.

[8] LIVIO, M. (2006). La proporción áurea. Ariel.

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