12) Más sobre Funciones

Fatela Preuniversitarios

Matemática - Funciones Inversas, Compuestas, etc.- 1 -24

MATEMÁTICA GUÍA �º 12

“MÁS SOBRE FU�CIO�ES”

En esta guía se tratará sobre:

Funciones Inversas:

� Modo de obtención analítica de la Función Inversa.

� Simetría Gráfica de las funciones inversas.

Funciones Compuestas.

Funciones Par e Impar.

Transformación de Funciones:

� Desplazamientos Vertical y Horizontal.

� Reflexiones con respecto a los ejes "x" e "y". � Expansiones y Contracciones.

Funciones Especiales:

� Valor Absoluto. � Signo. � Parte Entera � Mantisa.

FU�CIO�ES I�VERSAS:

Recordemos que: dada una función "f(x)" que aplica "A" en "B", se llama

función inversa "( )1

xf − " a aquella función que aplica "B" en "A" en la cual para todo

par ordenado (x; y) que pertenece a "f(x)", existirá un par ordenado (y; x) que

pertenecerá a "( )1

xf − ".

Forma de hallar la Función Inversa de una función dada:

Dada una función por su expresión analítica, se puede hallar su función

inversa procediendo de la siguiente forma:

1) Se sustituye la "x" por la "y" y la "y" por la "x" en la función que se quiere invertir.

2) Se procede a despejar la nueva "y" que es la función inversa.

La función inversa se puede hallar fácilmente si la función a invertir es

biyectiva, por ejemplo en rectas oblicuas. En ese caso el conjunto de partida "A" de

Si f: A → B ∃ f −1: B → A ⇔ (∀(x; y)∈f : (y; x)∈f

−1)



la función a invertir "f" se convertirá en el conjunto de llegada de la función inversa

f −1 y el de llegada de "f" será el conjunto de partida de "f

−1".

Pero si la función "f" no es biyectiva, habrá que restringir su conjunto de

partida "A" para que lo sea. Sólo así se podrá obtener una expresión de " f −1" que

cumpla las condiciones de existencia y unicidad que se exigen para las funciones.

Simetría Gráfica de las Funciones Inversas

Si se representan gráficamente en un mismo gráfico una función f(x) y su

inversa f -1(x) se observa que ambas gráficas son simétricas con respecto a la recta

y = x, que es la función idéntica o “función identidad”.

Esta simetría implica que si la gráfica de una función corta al eje de simetría

(y = x), su función inversa también lo corta en el mismo punto.

2 1y x= +

2 1x y= +

1 2x y− =

1

2

xy

−= ⇒

Por ejemplo, dada la función:

1 1

2 2y x= −

Cambio “x” por “y” e “y” por “x”

Despejo la “y”

Función

Inversa 1)

2)

Función Identidad: y = x

y = 2 x + 1

y = ½ x − ½

d

d



Para cualquier otro punto de la gráfica de f(x) su distancia al eje de simetría

(medida perpendicularmente al mismo) es igual a la distancia al mismo eje de un

punto de la gráfica de la función inversa f -1(x). Se dice que las gráficas de una

función y su inversa presentan una simetría axial respecto de la función identidad.

Veamos otro ejemplo:

Hallaremos la función inversa de y = x2. Sabemos que esta función no es

biyectiva (Ver Guía N° 8). Para poder invertirla es necesario convertirla en

biyectiva, lo cual se logra restringiendo tanto el conjunto de partida "A" como el de

llegada "B" al intervalo [0; ∞). Entonces sí puede procederse a invertir la función:

En la gráfica se observa que se toma a la función y = x2 solamente en el

primer cuadrante, donde tanto "A" como "B" corresponden a los reales positivos

más el cero: [0; ∞) = ℜ0+. De esta manera es posible hallar la función inversa, tanto

gráfica como analíticamente.

Más adelante en este curso, al tratar el tema de las funciones trascendentes al

álgebra: Exponenciales, Logarítmicas y Trigonométricas, volveremos a hablar de

x y= ⇒

Dada la función:

y x=

Cambio “x” por “y” e “y” por “x”

Despejo la “y”

Función Inversa

1)

2)

y = x2

x = y2

y = x2

y = x

Función Identidad: y = x



las funciones inversas, su simetría gráfica y las restricciones a realizar al dominio

de una función para transformarla en biyectiva y así poder invertirla.

En algunas funciones como por ejemplo las racionales, existe un método

analítico que permite hallar el conjunto imagen de la función, sin necesidad de

graficarla. Consiste en hallar la función inversa a la dada y luego determinar su

dominio analíticamente. El dominio de la inversa es igual a la imagen de la función

inicial.

Por ejemplo: Se desea hallar analíticamente el conjunto imagen de la función:

En la representación gráfica siguiente puede observarse la función f(x) con su

dominio e imagen y la ubicación de las dos rectas asíntotas

2x 5y

x 3

−=

−

Para ello debemos encontrar su función inversa:

2y 5x

y 3

−=

−

( )x y 3 2y 5− = −

xy 3x 2y 5− = −

xy 2y 5 3x− = − +

( )y x 2 3x 5− = −

3 x 5y =

x 2

−

−

Reemplazamos “x” por “y” e “y” por “x”:

Despejamos “y”:

Función Inversa

El Dominio de esta función inversa será: Dom (f −1) = ℜ − {2}

que es igual a la Imagen de la función inicial: Im (f ) = ℜ − {2}

Dom (f ) = ℜ − {3}

Im (f ) = ℜ − {2} Recta Asíntota Horizontal y = 2

Recta Asíntota Vertical: x = 3



FU�CIO�ES COMPUESTAS:

Dadas dos funciones de variable real: f(x) y g(x) se define el operador "o":

composición de funciones. Se pueden obtener entonces otras funciones llamadas

funciones compuestas:

� fog(x): "f" compuesta con "g". Se puede indicar también como: f [g(x)].

Se dice que es una "f" de "g(x)".

� gof(x): "g" compuesta con "f". Se puede indicar también como: g [f(x)].

Se dice que es una "g" de "f(x)".

Para Practicar Dadas las siguientes funciones hallar su función inversa

analíticamente, y usando el simulador digital "Graficador de

a) y = 4 − 3 x y = −1/3 x + 4/3

b) 5x 9

y =x 2

−

−

2x 9y =

x 5

−

−

c) y = 3 x− y = −x2 + 3

Funciones" graficar ambas funciones y verificar su simetría con la recta

identidad (y = x).

(Indicar los conjuntos de partida y de llegada de la función a invertir a fin de

que sea biyectiva, y utilizar los mismos como conjuntos de llegada y partida

respectivamente de la función inversa a fin de estudiar la simetría)

Im (f ) = ℜ − {2}

Dom (f ) = ℜ − {3}



Mostraremos con un ejemplo como se forman las funciones compuestas:

Como vemos las dos funciones compuestas son distintas y tenemos que

aclarar que para que exista una función compuesta f [g(x)], la imagen o recorrido de

g(x) debe estar incluida en el dominio de f(x). En caso contrario la función

compuesta fog(x) no está definida.

Esto es así dado que al tomar un valor de “x” le aplicamos primero la g(x) y al

valor así obtenido le aplicamos la f(x): si un valor de imagen de g(x) no pertenece

al dominio de f(x) no es posible calcular la función compuesta fog(x).

Análogamente, para que esté definida la función compuesta g [f(x)] la imagen

de f(x) debe estar incluida dentro del dominio de g(x). Entonces existirá la gof(x).

Otro ejemplo:

Se tienen dos funciones: f(x) = x + 1 y g(x) = x

Si f(x) = x + 1 ⇒ f(a) = a + 1

f(b) = b + 1 , etc.

f [g(x)] = g(x) + 1 ⇒ f

[g(x)] = x + 1 = fog(x)

“f” compuesta

con “g”

Entonces:

Análogamente, también se puede obtener la otra función compuesta:

Si g(x) = x ⇒ g(a) = a

g(b) = b , etc.

g [f(x)] = f ( )x ⇒ g

[f(x)] = x 1+ = gof(x)

“g” compuesta

con “f”

Entonces:

Se tienen dos funciones: f(x) = x3 − 5 y g(x) = sen(x)

f [g(x)] = g(x)

3 − 5 ⇒ f

[g(x)] = sen

3(x)

− 5 = fog(x)

Entonces se tienen las siguientes funciones compuestas:

g[f(x)] = sen[f(x)] ⇒ g[f(x)] = sen (x

3 − 5) = gof(x) “g” compuesta

con “f”

“f” compuesta

con “g”



También se puede componer una función con su función inversa:

Además se puede componer una función consigo misma:

Para Practicar

a) f(x) = 2 + 3 x ; g(x) = x3

b) f(x) = x 1+ ; g(x) =1

x

c) f(x) = 1

x 2− ; g(x) = cos(x)

fog(x) gof(x) fof(x) gog−−−−1(x)

a 2 + 3 x3

(2 + 3 x)3

8 + 9 x x

b 1

1x

+ 1

x 1+ x+1 1+ x

c 1

cos (x) 2−

1cos

x 2

−

x 2

5 2x

−

− x

Dadas los siguientes pares de funciones f(x) y g(x) hallar:

� fog(x)

� gof(x)

� fof(x)

� gog−1(x)

Si: f(x) = x2 se puede tener la siguiente función compuesta:

fof(x) = f [f

(x)] = [f

(x)]

2 = ( )

22

x

= x4 f

of

(x) = f

[f

(x)] = x

4

Como vimos anteriormente si: f(x) = x2 su función inversa es : f

−1(x) = x

f [f

−1 (x)] = [f

−1 (x)]

2 = ( )

2

x = x ⇒ f [f

−1 (x)] = x

Entonces se tienen las siguientes funciones compuestas:

Una función compuesta con su inversa siempre da

como resultado la función identidad

f −1[f

(x)] = 2f(x) x= = x ⇒ f

−1[f

(x)] = x

f of

−1 (x) = x

f −1of

(x) = x



PARIDAD DE FU�CIO�ES

Algunas funciones que cumplen ciertas condiciones se pueden clasificar como

"pares" o "impares". La mayor parte de las funciones, sin embargo no son pares ni

impares.

FU�CIÓ� PAR

Una función es par si para todo valor de "x" del dominio, se cumple que la

función (y) toma el mismo valor ante valores opuestos de "x". Por ejemplo en la

parábola y = x2 que se grafica a continuación, si "x" toma los valores opuestos 2 y

−2, la función es igual a 4. Como esta situación se repite para todos los números del

dominio, se trata entonces de una función par.

El nombre de "par" proviene del análisis de la función potencial:

Como vemos en el siguiente gráfico, son pares las parábolas con exponente

par, y = x2, y = x

4, etc. También las rectas horizontales y = 3, por ejemplo, que

equivalen a polinomios de grado cero. En este caso vemos que el exponente cero se

comporta como un exponente par. También son pares las funciones polinómicas

que tienen sólo exponentes pares, por ejemplo: y = ½ x4 −2 x

2 − 1

En cuanto a las funciones trascendentes, son pares las funciones y = cos(x) e

y = sec(x).

Obsérvese que en todas ellas se cumple la simetría con respecto al eje "y".

y = xn En la Función Potencial si "n" es par se genera una

función par, y si "n" es impar la función será impar

x −x

f (−x) = f

(x)

2 −2

f (x) es Par ⇔ [∀ x / x ∈ Df : f

(−x) = f

(x)]

4

Las funciones pares presentan siempre

como eje de simetría vertical al eje "y"

d d



FU�CIÓ� IMPAR

Una función es impar si para todo valor de "x" del dominio, se cumple que la

función (y) toma valores opuestos ante valores opuestos de "x". Por ejemplo en la

parábola y = x3 que se grafica a continuación, si "x" toma los valores opuestos 2 y

−2, la función es igual a 8 y −8 respectivamente. Como esta situación se repite para

todos los números del dominio, se trata entonces de una función impar.

y = x4

y = cos(x)

y = sec(x)

x x

y y

x −x

f(x) = 8

5

f(−x) = −8

−5

2 -2

f (x) es Impar ⇔ [∀ x/ x∈Df : f

(−x) = −f

(x)]

f (−x) = −f

(x)

Las funciones impares

presentan siempre simetría

central respecto al origen

y = x2

y = ½ x4 −2x

2 −1

y = 3



Las funciones impares son simétricas

respecto al origen; esto significa que

trazando cualquier recta que pase por el

origen, la distancia entre el origen y un

punto de intersección entre dicha recta y la

función impar, es igual a la distancia que

hay entre el origen y el otro punto de

intersección.

O dicho de otra forma el origen es

siempre el punto medio del segmento

determinado por las intersecciones entre

cualquier recta que pase por el origen y las

dos "ramas" de la función impar.

Como vemos en el siguiente gráfico,

son impares las parábolas con exponente

impar, y = x3, y = x

5, etc. También las

rectas que pasan por el origen: y = 2 x,

por ejemplo, que también son potencias de exponente impar de "x" (exponente uno).

Además son impares las funciones polinómicas que tienen sólo exponentes impares

y no tienen término independiente (que se consideraría un término de exponente

par), por ejemplo: y = 3/2 x3 −5 x.

En cuanto a las funciones trascendentes, son impares las funciones y = sen(x)

e y = tg(x). Obsérvese que en todas ellas se cumple la simetría central con respecto

al origen.

d

d

y = x5

y = x3

y = 2 x

y = tan (x)

y = sen (x)

y = 3/2 x3 −5 x



Para saber analíticamente si una función es par o impar, o bien no se ajusta a

ninguna de estas clasificaciones; dada una función f(x) se determina analíticamente

la f(−x).

� Si f(−x) = f(x) : La función es par.

� Si f(−x) = −f(x): La función es impar.

� Si no se cumple ninguna de las dos afirmaciones anteriores, la función

no se puede clasificar como par ni impar.

El producto o cociente de dos funciones pares, resulta en otra función par:

f(x) es par ⇒ f(−x) = f(x),

g(x) es par ⇒ g(−x) = g(x)

y se tiene que: h(x) = f(x).g(x)

⇒

Si h(−x) = f(−x).g(−x) = f(x).g(x) = h(x)

h(−x) = h(x)

f(x) es impar ⇒ f(−x) = −f(x),

g(x) es impar ⇒ g(−x) = −g(x)


⇒

Si

h(−x) = h(x)

El producto o cociente de dos funciones impares, resulta en una función par:

h(−x) = f(−x).g(−x) = −f(x).[−g(x)] = h(x)

El producto o cociente entre una función par y una impar, da una función impar:

f(x) es par ⇒ f(−x) = f(x),

g(x) es impar ⇒ g(−x) = −g(x)


⇒

Si

h(−x) = −h(x)

h(−x) = f(−x).g(−x) = f(x).[−g(x)] = −h(x)

Impar

Par

Par

Para Practicar

a) f(x) = 3 x + 2 x5 (Impar)

b) f(x) = x 1+ (No es par ni impar)

c) f(x) = 4

2

x

x 2− (Par)

Dadas las siguientes funciones determinar analíticamente si

son pares, impares o no se ajustan a ninguna de estas

clasificaciones; hallando la f (−x) y comparándola con la f(x).

2xf (x)

1 x=

+

( )

( )

2x

f ( x)1 x

−− =

+ −

2xf ( x)

1 x− =

−

f ( x) f (x)− ≠ ± Por ejemplo, dada la siguiente función:

La Función no

es par ni impar Hallamos f

(−x):



TRA�SFORMACIÓ� DE FU�CIO�ES

En este tema estudiaremos como cambia analíticamente la expresión de una

función cuando:

� Hay desplazamientos horizontales o verticales de su representación gráfica.

� Se producen reflexiones de la gráfica con respecto a los ejes "x" e "y".

� Se aplican expansiones o contracciones en su aspecto gráfico.

DESPLAZAMIE�TO HORIZO�TAL

Al producirse un desplazamiento horizontal de una gráfica, "a" unidades hacia

la derecha, se debe reemplazar en la expresión analítica a "x" por "x −

a".

Por el contrario, si el desplazamiento es de "a" unidades hacia la izquierda se

debe reemplazar en la expresión analítica "x" por "x + a". Se puede considerar

también que al desplazarse hacia la izquierda el valor de "a" es negativo y usar

siempre para los desplazamientos horizontales la expresión f (x

−

a), sin importar si

el desplazamiento es a la derecha o izquierda.

DESPLAZAMIE�TO VERTICAL

En cuanto al desplazamiento vertical el procedimiento a realizar es más simple:

� Si la curva va a desplazarse "b" divisiones hacia arriba, debe sumarse

"b" a la forma analítica de f (x).

� Si la curva va a desplazarse "b" divisiones hacia abajo, debe restarse "b" a la forma analítica de f

(x).

y = 3 x3 − 5 x

a = 4

y = 3 (x − 4)

3 − 5 (x

−

4) y = 3 (x

+ 3)

3 − 5 (x

+

3)

a

f (x) f

(x

−

a)

a

f (x

+

a) f

(x)

− 3− 3− 3− 3



Como vemos, para desplazar verticalmente a la curva, sólo hay que sumar un

número constante a la f(x). Si ese número es positivo la curva se desplaza hacia

arriba y si es negativo lo hace hacia abajo.

Aún cuando pareciera que las curvas están más separadas en la parte media

del gráfico y se aproximan entre sí hacia ambos costados, se hace notar que su

separación medida verticalmente permanece constante.

A modo de resumen de los desplazamientos verticales y horizontales:

Con esta teoría de los desplazamientos se puede deducir fácilmente la forma

canónica de la función cuadrática, aplicando desplazamientos horizontales y

verticales a la parábola con vértice en el origen del tipo y = a x2.

f (x) f (x − a) f (x + a)

f (x) + b

f (x) − b

31 1y x x

12 3= +

31 1y x x 2

12 3= + +

31 1y x x 1

12 3= + −

b = 2

− − − − 1

f (x)

f (x) − b

b

f (x) + b

f (x)

b



REFLEXIO�ES RESPECTO A LOS EJES COORDE�ADOS

A) REFLEXIÓ� RESPECTO AL EJE "Y":

Para reflejar una curva de una función f(x) con respecto al eje "y" hay que

reemplazar en f(x) a "x" por "−x", manteniendo el signo de "y". De esta forma, ante

valores opuestos de "x" ambas funciones toman igual valor, de modo que las curvas

tienen una imagen "de espejo" con respecto al eje "y".

y = (x − 3)2

− 2

y = x2

y = (x − 3)2

b = −−−−2

a = 3333

y = (x − h)2

+ k

V (3; −−−−2)

−−−−x x

y

y = f (−−−−x) y = f (x)

y = (x − 3)2

− 2 y = (−x − 3)

2 − 2



En caso que la función a reflejar ya sea simétrica con respecto al eje "y", o sea

que se trate de una función par, la función se refleja sobre sí misma, no dando pues

lugar a una función distinta. La función reflejada coincide con la inicial. Esto

ocurriría con cualquier parábola que tenga el vértice sobre el eje "y".

Por lo tanto en las funciones pares la reflexión sobre el eje "y" no tiene ningún

efecto.

B) REFLEXIÓ� RESPECTO AL EJE "X":

Para reflejar una curva de una función f(x) con respecto al eje "x" hay que

cambiar el signo de la función "y" por "−y", manteniendo el signo de "x". De esta

forma, ante valores idénticos de "x" ambas funciones toman valores opuestos, de

modo que las curvas tienen una imagen "de espejo" con respecto al eje "y".

Resumiendo los tipos de reflexión que puede sufrir una función:

x y = f

(x)

y = f (x)

y = f (−x)

−y = f (x) x

y y

Reflexión respecto al eje "y":

cambia el signo de la "x"

Reflexión respecto al eje "x":

cambia el signo de la "y"

−−−−y

y

x

y = x2

− 6 x + 8

y = − x2

+ 6 x − 8

−−−−y = f (x)

y = f (x)

−−−−y = x2 − 6 x + 8

y = −−−− f (x) O bien:



EXPA�SIO�ES Y CO�TRACCIO�ES:

Las transformaciones vistas hasta ahora: los desplazamientos (horizontal y

vertical) y las reflexiones (con respecto a los ejes "x" e "y") son considerados

"movimientos" de la función f(x) pues no se altera la forma de la curva, sólo se

traslada o refleja pero su forma se mantiene.

Ahora veremos dos transformaciones que sí afectan la forma de la curva f(x):

� Expansiones: Expandir una función equivale a multiplicarla por un

número real positivo "k" que sea mayor a uno.

� Contracciones: Contraer una función equivale a multiplicarla por un

número real positivo "k" que sea menor a uno.

Para ilustrar el efecto gráfico de las expansiones y contracciones de una f(x),

observemos el siguiente gráfico:

En azul se grafica la función inicial f(x); en verde se halla la misma función

"expandida" por un factor k = 2; y en color rojo la función f(x) "contraída" por un

factor k = ½.

Se observa que los ceros de las tres funciones graficadas coinciden, de modo

que el producto por una constante "k" no produce variación en los ceros de una

función: todo cero de "f(x)" también lo será de "k.f(x)" para cualquier valor de "k".

Se aclara que "k" debe ser positivo para que las expansiones o contracciones

sean "puras" o sea que no estén asociadas a otra transformación (reflexión).

Si el factor "k" fuera un número negativo, se puede considerar que el signo

menos implica una reflexión respecto del eje "x" y además el módulo de "k"

f (x) = 1/5 x (x+2) (x−4)

y = 2 f (x)

y = ½ f (x)

y = k . f (x) k > 0

k > 1 ⇒ Expansión

k < 1 ⇒ Contracción



indicará si es mayor a uno que se trata de una expansión, o si es menor a uno de

una contracción. Se produciría entonces una transformación compuesta: expansión

o contracción con reflexión con respecto al eje "x".

Por ejemplo, si tenemos la función

cuadrática y = x2, y la multiplicamos por

un k = −2; por el signo menos aplicado a

una f(x) le estamos produciendo una

reflexión con respecto al eje "x" y

además hay una expansión dada por el

|k| = 2, con lo cual se obtiene la curva en

rojo en el gráfico contiguo.

Nótese que en este caso, la

expansión de la curva da la impresión

que la curva "se contrae sobre el eje y",

cuando en realidad es una expansión

pues para cada valor de "x" el módulo

de "y" se duplica.

Resumiendo, las expansiones y contracciones por un factor "k":

| k | > 1 | k | < 1

k es positivo (k > 0)

k es negativo (k < 0)

Expansión

con

Reflexión

sobre

el eje x

Contracción

con

Reflexión

sobre

el eje x

Contracción

Pura

Expansión

Pura

y = x2

y = − 2 x2

y

x

y



Para Practicar

a) f(x) = 3 x2 − 2, Desplazamiento Horizontal de 4 unidades hacia la derecha.

b) f(x) =3x 5

x 2

−

−, Desplazamiento Horizontal de 2 unidades hacia la izquierda.

c) f(x) = x 1+ , Desplazamiento Vertical de 3 unidades hacia arriba.

d) f(x) = e x, Desplazamiento Vertical de 1 unidad hacia abajo.

e) f(x) = 2 x − 2 + 1, Reflexión con respecto al eje "y".

f) f(x) = 2 x − 2 + 1, Reflexión con respecto al eje "x".

g) f(x) = ½ x3 − 2 x, Expansión por un factor k = 2.

h) f(x) = x2 − 4 x, Contracción por un factor k = ¼.

i) f(x) = ½ x3 − 2 x, Expansión con reflexión sobre el eje "x", con k = − 2.

j) f(x) = 2 x− , Contracción con reflexión sobre el eje "x", con k = − ½.

Respuestas

1) a) y = 3 x2 − 24 x + 46

b) 3x 1

yx

+=

c) y x 1 3= + +

d) y = e x − 1

e) y = 2 − x − 2 + 1

1) Dadas las siguientes funciones, efectuar las transformaciones

que se piden. Verificar el efecto de la transformación con el

Simulador Digital "Graficador de Funciones".

f) y = − 2 x − 2 − 1

g) y = x3 − 4 x

h) y = ¼ x2 − x

i) y = − x3 + 4 x

j) 1

y 2 x2

= − −

2) Dada g(x) = (−1/3).x2 + 3, podemos afirmar que respecto a f(x) = x2 tiene:

a) Contracción sí, reflexión no y desplazamientos: horizontal no, vertical sí.

b) Contracción sí, reflexión sí y desplazamientos: horizontal no, vertical sí.

c) Contracción sí, reflexión sí y desplazamientos: horizontal sí, vertical sí.

d) Expansión sí, reflexión no y desplazamientos: horizontal sí, vertical sí.

e) Expansión no, contracción no, reflexión sí y desplazamientos: horizontal

no, vertical sí.



FU�CIO�ES ESPECIALES:

Todo número real puede descomponerse en el producto de dos factores:

FU�CIÓ� VALOR ABSOLUTO DE "X":

Como sabemos el Valor Absoluto o Módulo es el mismo número pero tomado

siempre como positivo, equivale a la distancia a cero del número en cuestión.

FU�CIÓ� SIG�O DE "X":

x = | x |. sg(x)

El Signo

El Valor Absoluto

Equivale a la

función definida

por tramos

y = x, si x ≥ 0

y = −x, si x < 0

y = | x | Dom f = ℜ

Im f = [0; ∞)

C+ = ℜ − {0}

C − = ∅

Ic = (0; ∞)

Id = (−∞; 0)

Cero: X1 = 0

Mín. Rel. (0; 0)

Mín. Abs. y = 0

Y

1

0

y = sg (x)

y = 1, si x > 0

y = −1, si x < 0

y = 0, si x = 0 Por

tramos: −1

Dom f = ℜ

Im f = {−1, 0, 1}



Como vemos, se trata de una función discontinua en x = 0.

También todo número real puede descomponerse en la suma de dos términos:

FU�CIÓ� PARTE E�TERA DE "X"

FU�CIÓ� MA�TISA DE "X"

La mantisa se define como la diferencia entre un número y su parte entera.

x = [ x ] + mant

(x)

La Mantisa

La Parte Entera

y = [ x ]

y = mant (x)

1 1 2 3 4 0 −1 −2 −3 −4

1

−1

Y

Dom f = ℜ

Dom f = ℜ

Im f = Z

Im f = [0; 1)

Si x > 0 la mantisa

es la "parte

decimal" de "x"

La Parte Entera de "x" es

el mayor número entero

que es menor a "x"

mant (x) = x − [

x ]

x = − 2,19 [ x ] = − 3

x = − 2,19

mant (x) = 0,81



Obsérvese que cuando "x" es negativo, tanto la parte entera como la mantisa

dan resultados que pueden parecer desconcertantes.

Por ejemplo:

Si x = − 2,19 ⇒ [ x ] = − 3 (Según la definición de Parte Entera)

mant (x) = x − [

x ] = − 2,19 − (−3) = 0,81

Se cumple que: x = [ x ] + mant

(x) = − 3 + 0,81 = − 2,19



Trabajo Práctico �º 12 : "Más sobre Funciones"

12.1) Dadas las siguientes funciones hallar su función inversa analíticamente, y

usando el simulador digital "Graficador de Funciones" graficar ambas

funciones y verificar su simetría respecto a la recta identidad (y = x).

(Indicar los conjuntos de partida y de llegada de la función a invertir a fin de

que sea biyectiva, y utilizar los mismos como conjuntos de llegada y partida

respectivamente de la función inversa a fin de estudiar la simetría)

12.3) Dadas las siguientes funciones determinar analíticamente si son pares,

impares o no se ajustan a ninguna de estas clasificaciones; hallando la f (−x) y

comparándola con la f(x). Verificar graficando con el Simulador Digital

"Graficador de Funciones".

12.5) Dada g(x) = −2.cos(x−1), podemos afirmar que respecto a f(x) = cos(x) tiene:

a) Expansión sí, reflexión sí y desplazamientos: horizontal no, vertical sí.

a) f(x) = (x + 1)2 ; g(x) = x 1+

b) f(x) = 3 2x 2x− ; g(x) =1

x 5−

c) f(x) = ln (x); g(x) = sen (2x − 1)

12.2) Dadas los siguientes pares de funciones f(x) y g(x) hallar:

� fog(x)

� gof(x)

� fof(x)

� gog−1(x)

12.4) Dada g(x) = 5.ex −2 + 3, podemos afirmar que respecto a f(x) = ex tiene:

a) Contracción sí, reflexión no y desplazamientos: horizontal no, vertical sí.



d) Expansión sí, reflexión no y desplazamientos: horizontal sí, vertical sí.

e) Expansión sí, reflexión sí y desplazamientos: horizontal no, vertical sí.

a) y = ½ x + 2

b) 3x 1

y =x 5

−

+

c) y = x 2 1− +

a) y = x4 − 2 x2 + 2

b) y = x3 +2 x − 7

c) 2

sen(x)y =

x





d) Expansión sí, reflexión no y desplazamientos: horizontal sí, vertical no.

e) Expansión sí, reflexión sí y desplazamientos: horizontal si, vertical no.

12.6) Dada g(x) = −x2 + 2, podemos afirmar que respecto a f(x) = x2 tiene:

a) Contracción no, expansión no, reflexión sí y desplaz.: horizontal sí, vertical no.


c) Contracción no, expansión no, reflexión sí y desplaz.: horizontal no, vertical sí.

d) Expansión sí, reflexión no y desplazamientos: horizontal no, vertical sí.

e) Expansión sí, reflexión sí y desplazamientos: horizontal sí, vertical no.



Respuestas del trabajo Práctico �º 12 " Más sobre Funciones "

12.1) a) f −1(x) = 2 x − 4; tanto f(x) como f −1(x) tienen Dom = ℜ e Im = ℜ.

b) 1 5x 1f (x) =

3 x

− +

−; para f(x): Dom = ℜ − {−5}; Im = ℜ − {3}

para f −1(x): Dom = ℜ − {3}; Im = ℜ − {−5}

c) f −1(x) = (x − 1)2 + 2 para f(x): Dom = [2; ∞) ; Im = [1; ∞)

para f −1(x): Dom = [1; ∞) ; Im = [2; ∞)

12.2)

12.3) 12.4) Opción d)

12.5) Opción e)

12.6) Opción c)

fog(x) gof(x) fof(x) gog−−−−1(x)

a ( )2

x 2+ | x + 1 | + 1 ( )

22

x 1 1 + +

x

b 3 2

1 12

x 5 x 5

−

− −

3 2

1

x 2x 5− − (x

3 −2x

2)3 −2(x

3 −2x

2)2 x

c ( )ln sen 2x 1− ( )sen 2.ln 1x − ln [ln (x)] x

a) Par. b) Ni par ni impar.

c) Impar.

12) Más sobre Funciones

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