1.2 productos infinitos (presentacion)
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Contents
Analisis Complejo: 1.2 Productos infinitos
Presentaciones de clase
Universidad de Murcia
Curso 2006-2007
Presentaciones de clase Analisis Complejo
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Contents
1 Productos infinitos
Presentaciones de clase Analisis Complejo
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Productos infinitos
Objetivos
Objetivos
Demostrar que dado un conjunto discreto M ⊂ C existe unafuncion entera con ceros solo en M y multiplicidadesprescritas.
Demostrar que cada funcion entera se factoriza en funcion desus ceros.
Encontrar la factorizacion de funciones clasicas.
Presentaciones de clase Analisis Complejo
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Productos infinitos
Objetivos
Objetivos
Demostrar que dado un conjunto discreto M ⊂ C existe unafuncion entera con ceros solo en M y multiplicidadesprescritas.
Demostrar que cada funcion entera se factoriza en funcion desus ceros.
Encontrar la factorizacion de funciones clasicas.
Presentaciones de clase Analisis Complejo
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Productos infinitos
Objetivos
Objetivos
Demostrar que dado un conjunto discreto M ⊂ C existe unafuncion entera con ceros solo en M y multiplicidadesprescritas.
Demostrar que cada funcion entera se factoriza en funcion desus ceros.
Encontrar la factorizacion de funciones clasicas.
Presentaciones de clase Analisis Complejo
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Productos infinitos
Objetivos
Objetivos
Demostrar que dado un conjunto discreto M ⊂ C existe unafuncion entera con ceros solo en M y multiplicidadesprescritas.
Demostrar que cada funcion entera se factoriza en funcion desus ceros.
Encontrar la factorizacion de funciones clasicas.
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Productos infinitos
Productos infinitos de numeros complejos
Definicion
Sea (an)n una sucesion en C. Decimos que:
el producto ∏∞j=1 aj es estrıctamente convergente si existe
limm ∏mj=1 aj = u 6= 0. Definimos
∞
∏j=1
aj := u.
el producto ∏∞j=1 aj es convergente si para algun m ∈ N el
producto infinito ∏∞j=m+1 aj es estrictamente convergente. En
este caso el valor el producto
∞
∏n=1
an := a1a2 . . .am[∞
∏n=m+1
an],
donde el valor ∏∞n=m+1 an ha sido definido como antes.
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Productos infinitos
Primeras propiedades de los productos infinitos
Proposicion
Si ∏∞k=1 ak es convergente, entonces se cumple:
i) Para cada n ≥ 1 el producto ∏∞k=n+1 ak =: ρn converge, y se
verifica
a1a2 . . .anρn =∞
∏k=1
ak
ii) limn ρn = 1 y limn an = 1
Proposicion
Una condicion necesaria y suficiente para que el producto infinito
∏∞n=1(1+an) sea estrıctamente convergente es que 1+an 6= 0 para
todo n ∈ N y que la serie ∑n≥1 Log (1+an) sea convergente.
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Productos infinitos
Primeras propiedades de los productos infinitos
Proposicion
Si ∏∞k=1 ak es convergente, entonces se cumple:
i) Para cada n ≥ 1 el producto ∏∞k=n+1 ak =: ρn converge, y se
verifica
a1a2 . . .anρn =∞
∏k=1
ak
ii) limn ρn = 1 y limn an = 1
Proposicion
Una condicion necesaria y suficiente para que el producto infinito
∏∞n=1(1+an) sea estrıctamente convergente es que 1+an 6= 0 para
todo n ∈ N y que la serie ∑n≥1 Log (1+an) sea convergente.
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Productos infinitos
Primeras propiedades de los productos infinitos
Proposicion
Si ∏∞k=1 ak es convergente, entonces se cumple:
i) Para cada n ≥ 1 el producto ∏∞k=n+1 ak =: ρn converge, y se
verifica
a1a2 . . .anρn =∞
∏k=1
ak
ii) limn ρn = 1 y limn an = 1
Proposicion
Una condicion necesaria y suficiente para que el producto infinito
∏∞n=1(1+an) sea estrıctamente convergente es que 1+an 6= 0 para
todo n ∈ N y que la serie ∑n≥1 Log (1+an) sea convergente.
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Productos infinitos
Primeras propiedades de los productos infinitos
Proposicion
Si ∏∞k=1 ak es convergente, entonces se cumple:
i) Para cada n ≥ 1 el producto ∏∞k=n+1 ak =: ρn converge, y se
verifica
a1a2 . . .anρn =∞
∏k=1
ak
ii) limn ρn = 1 y limn an = 1
Proposicion
Una condicion necesaria y suficiente para que el producto infinito
∏∞n=1(1+an) sea estrıctamente convergente es que 1+an 6= 0 para
todo n ∈ N y que la serie ∑n≥1 Log (1+an) sea convergente.
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Productos infinitos
Productos infinitos absolutamente convergentes
16/Octubre/2006
Proposicion
Dado un producto infinito ∏∞n=1(1+an) son equivalentes:
i) ∑∞n=1 |an|< +∞;
ii) existe m ∈ N tal que ∑n≥m |Log(1+an)|< +∞;
iii) ∏∞n=1(1+ |an|) converge.
Cada una de estas condiciones implica que ∏∞n=1(1+an) es
convergente.
Definicion
El producto infinito ∏∞n=1(1+an) se dice que es absolutamente
convergente cuando se cumple alguna de las tres condicionesequivalentes de la proposicion anterior.
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Productos infinitos
Productos infinitos absolutamente convergentes
16/Octubre/2006
Proposicion
Dado un producto infinito ∏∞n=1(1+an) son equivalentes:
i) ∑∞n=1 |an|< +∞;
ii) existe m ∈ N tal que ∑n≥m |Log(1+an)|< +∞;
iii) ∏∞n=1(1+ |an|) converge.
Cada una de estas condiciones implica que ∏∞n=1(1+an) es
convergente.
Definicion
El producto infinito ∏∞n=1(1+an) se dice que es absolutamente
convergente cuando se cumple alguna de las tres condicionesequivalentes de la proposicion anterior.
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Productos infinitos
Productos uniformemente convergentes
Definicion
Sea K un conjunto y un : K → C, una sucesion de funciones.
i) Si el producto infinito ∏∞n=1 un(z) converge para cada z ∈ K
se dice que el producto infinito converge puntualmente en K .
ii) Si ademas la sucesion ρn(z) = ∏∞j=n+1 uj(z) converge
uniformemente sobre K hacia 1 se dice que el producto
∏∞n=1 un converge uniformemente sobre K .
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Productos infinitos
Productos uniformemente convergentes
Definicion
Sea K un conjunto y un : K → C, una sucesion de funciones.
i) Si el producto infinito ∏∞n=1 un(z) converge para cada z ∈ K
se dice que el producto infinito converge puntualmente en K .
ii) Si ademas la sucesion ρn(z) = ∏∞j=n+1 uj(z) converge
uniformemente sobre K hacia 1 se dice que el producto
∏∞n=1 un converge uniformemente sobre K .
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Productos infinitos
Productos uniformemente convergentes
Definicion
Sea K un conjunto y un : K → C, una sucesion de funciones.
i) Si el producto infinito ∏∞n=1 un(z) converge para cada z ∈ K
se dice que el producto infinito converge puntualmente en K .
ii) Si ademas la sucesion ρn(z) = ∏∞j=n+1 uj(z) converge
uniformemente sobre K hacia 1 se dice que el producto
∏∞n=1 un converge uniformemente sobre K .
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Productos infinitos
Caracterizacion productos uniforme y absolutamenteconvergentes
Proposicion
Sea K un conjunto y an : K → C una sucesion de funciones. Lasafirmaciones siguientes son equivalentes:
i) ∑∞n=1 |an(z)| converge uniformemente para z ∈ K ;
ii) ∏∞n=1(1+ |an(z)|) converge uniformemente para z ∈ K
Cualquiera de las condiciones anteriores implica que
∞
∏n=1
(1+an(z))
converge uniformemente para z ∈ K .
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Productos infinitos
Caracterizacion productos uniforme y absolutamenteconvergentes
Proposicion
Sea K un conjunto y an : K → C una sucesion de funciones. Lasafirmaciones siguientes son equivalentes:
i) ∑∞n=1 |an(z)| converge uniformemente para z ∈ K ;
ii) ∏∞n=1(1+ |an(z)|) converge uniformemente para z ∈ K
Cualquiera de las condiciones anteriores implica que
∞
∏n=1
(1+an(z))
converge uniformemente para z ∈ K .
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Productos infinitos
Caracterizacion productos uniforme y absolutamenteconvergentes
Proposicion
Sea K un conjunto y an : K → C una sucesion de funciones. Lasafirmaciones siguientes son equivalentes:
i) ∑∞n=1 |an(z)| converge uniformemente para z ∈ K ;
ii) ∏∞n=1(1+ |an(z)|) converge uniformemente para z ∈ K
Cualquiera de las condiciones anteriores implica que
∞
∏n=1
(1+an(z))
converge uniformemente para z ∈ K .
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Productos infinitos
Caracterizacion productos uniforme y absolutamenteconvergentes
Proposicion
Sea K un conjunto y an : K → C una sucesion de funciones. Lasafirmaciones siguientes son equivalentes:
i) ∑∞n=1 |an(z)| converge uniformemente para z ∈ K ;
ii) ∏∞n=1(1+ |an(z)|) converge uniformemente para z ∈ K
Cualquiera de las condiciones anteriores implica que
∞
∏n=1
(1+an(z))
converge uniformemente para z ∈ K .
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Productos infinitos
Productos uniformemente convergentes funcionescontinuas
Proposicion
Sea K un espacio compacto y uj : K → C una sucesion defunciones continuas. Las afirmaciones siguientes son equivalentes:
i) ∏∞j=1 uj converge uniformemente sobre K .
ii) Existe m ∈ N tal que ∏∞j=m uj(z) 6= 0 para cada z ∈ K y
∏nj=m uj converge uniformemente sobre K hacia ∏
∞j=m uj
cuando n → ∞.
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Productos infinitos
Productos uniformemente convergentes funcionescontinuas
Proposicion
Sea K un espacio compacto y uj : K → C una sucesion defunciones continuas. Las afirmaciones siguientes son equivalentes:
i) ∏∞j=1 uj converge uniformemente sobre K .
ii) Existe m ∈ N tal que ∏∞j=m uj(z) 6= 0 para cada z ∈ K y
∏nj=m uj converge uniformemente sobre K hacia ∏
∞j=m uj
cuando n → ∞.
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Productos infinitos
Productos uniformemente convergentes funcionescontinuas
Proposicion
Sea K un espacio compacto y uj : K → C una sucesion defunciones continuas. Las afirmaciones siguientes son equivalentes:
i) ∏∞j=1 uj converge uniformemente sobre K .
ii) Existe m ∈ N tal que ∏∞j=m uj(z) 6= 0 para cada z ∈ K y
∏nj=m uj converge uniformemente sobre K hacia ∏
∞j=m uj
cuando n → ∞.
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Productos infinitos
17/Octubre/2006: Prod. infinitos funciones holomorfasCorolario
Sea Ω⊂ C abierto. Si ∏∞n=1 fn es un producto infinito de funciones
continuas fn : Ω→ C que converge uniformemente sobrecompactos de Ω hacia f = ∏
∞n=1 fn, entonces:
i) la sucesion de los productos parciales πn = f1f2f3 . . . fnconverge uniformemente sobre compactos de Ω hacia f ;
ii) f es continua;
iii) para cada compacto K ⊂ Ω existe m ∈ N tal que si n ≥mentonces Z (fn)
⋂K = Φ.
Definicion
Sea Ω⊂ C abierto y sea (fn)n una sucesion en H (Ω). Decimosque el producto infinito ∏
∞j=1 fj converge uniformemente sobre
compactos de Ω, si ∏∞j=1 fj converge uniformemente sobre cada
compacto K ⊂ Ω.
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Productos infinitos
17/Octubre/2006: Prod. infinitos funciones holomorfasCorolario
Sea Ω⊂ C abierto. Si ∏∞n=1 fn es un producto infinito de funciones
continuas fn : Ω→ C que converge uniformemente sobrecompactos de Ω hacia f = ∏
∞n=1 fn, entonces:
i) la sucesion de los productos parciales πn = f1f2f3 . . . fnconverge uniformemente sobre compactos de Ω hacia f ;
ii) f es continua;
iii) para cada compacto K ⊂ Ω existe m ∈ N tal que si n ≥mentonces Z (fn)
⋂K = Φ.
Definicion
Sea Ω⊂ C abierto y sea (fn)n una sucesion en H (Ω). Decimosque el producto infinito ∏
∞j=1 fj converge uniformemente sobre
compactos de Ω, si ∏∞j=1 fj converge uniformemente sobre cada
compacto K ⊂ Ω.
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Productos infinitos
17/Octubre/2006: Prod. infinitos funciones holomorfasCorolario
Sea Ω⊂ C abierto. Si ∏∞n=1 fn es un producto infinito de funciones
continuas fn : Ω→ C que converge uniformemente sobrecompactos de Ω hacia f = ∏
∞n=1 fn, entonces:
i) la sucesion de los productos parciales πn = f1f2f3 . . . fnconverge uniformemente sobre compactos de Ω hacia f ;
ii) f es continua;
iii) para cada compacto K ⊂ Ω existe m ∈ N tal que si n ≥mentonces Z (fn)
⋂K = Φ.
Definicion
Sea Ω⊂ C abierto y sea (fn)n una sucesion en H (Ω). Decimosque el producto infinito ∏
∞j=1 fj converge uniformemente sobre
compactos de Ω, si ∏∞j=1 fj converge uniformemente sobre cada
compacto K ⊂ Ω.
Presentaciones de clase Analisis Complejo
![Page 27: 1.2 productos infinitos (presentacion)](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102717/55ccea3bbb61ebc97c8b4691/html5/thumbnails/27.jpg)
Productos infinitos
17/Octubre/2006: Prod. infinitos funciones holomorfasCorolario
Sea Ω⊂ C abierto. Si ∏∞n=1 fn es un producto infinito de funciones
continuas fn : Ω→ C que converge uniformemente sobrecompactos de Ω hacia f = ∏
∞n=1 fn, entonces:
i) la sucesion de los productos parciales πn = f1f2f3 . . . fnconverge uniformemente sobre compactos de Ω hacia f ;
ii) f es continua;
iii) para cada compacto K ⊂ Ω existe m ∈ N tal que si n ≥mentonces Z (fn)
⋂K = Φ.
Definicion
Sea Ω⊂ C abierto y sea (fn)n una sucesion en H (Ω). Decimosque el producto infinito ∏
∞j=1 fj converge uniformemente sobre
compactos de Ω, si ∏∞j=1 fj converge uniformemente sobre cada
compacto K ⊂ Ω.
Presentaciones de clase Analisis Complejo
![Page 28: 1.2 productos infinitos (presentacion)](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102717/55ccea3bbb61ebc97c8b4691/html5/thumbnails/28.jpg)
Productos infinitos
17/Octubre/2006: Prod. infinitos funciones holomorfasCorolario
Sea Ω⊂ C abierto. Si ∏∞n=1 fn es un producto infinito de funciones
continuas fn : Ω→ C que converge uniformemente sobrecompactos de Ω hacia f = ∏
∞n=1 fn, entonces:
i) la sucesion de los productos parciales πn = f1f2f3 . . . fnconverge uniformemente sobre compactos de Ω hacia f ;
ii) f es continua;
iii) para cada compacto K ⊂ Ω existe m ∈ N tal que si n ≥mentonces Z (fn)
⋂K = Φ.
Definicion
Sea Ω⊂ C abierto y sea (fn)n una sucesion en H (Ω). Decimosque el producto infinito ∏
∞j=1 fj converge uniformemente sobre
compactos de Ω, si ∏∞j=1 fj converge uniformemente sobre cada
compacto K ⊂ Ω.
Presentaciones de clase Analisis Complejo
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Productos infinitos
Prod. infinitos funciones holomorfasObservacion
Una condicion suficiente para que el producto ∏∞j=1 fj converja
uniformemente sobre compactos de Ω es que la serie
∞
∑n=1
|fn(z)−1|
sea uniformemente convergente sobre cada compacto K ⊂ Ω.
Ejercicio
Pruebese que se tiene
∞
∏n=0
(1+ z2n) =
1
1− z,
para cada |z |< 1, donde el producto infinito convergeuniformemente sobre compactos del disco unidad.
Presentaciones de clase Analisis Complejo
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Productos infinitos
Prod. infinitos funciones holomorfasObservacion
Una condicion suficiente para que el producto ∏∞j=1 fj converja
uniformemente sobre compactos de Ω es que la serie
∞
∑n=1
|fn(z)−1|
sea uniformemente convergente sobre cada compacto K ⊂ Ω.
Ejercicio
Pruebese que se tiene
∞
∏n=0
(1+ z2n) =
1
1− z,
para cada |z |< 1, donde el producto infinito convergeuniformemente sobre compactos del disco unidad.
Presentaciones de clase Analisis Complejo
![Page 31: 1.2 productos infinitos (presentacion)](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102717/55ccea3bbb61ebc97c8b4691/html5/thumbnails/31.jpg)
Productos infinitos
Prod. infinitos funciones holomorfas
Teorema
Sea Ω⊂ C abierto y sea (fn)n una sucesion en H (Ω) tal que elproducto f := ∏
∞j=1 fj converge uniformemente sobre compactos de
Ω. Entonces:
i) La funcion definida por el producto f (z) = ∏∞n=1 fn(z),z ∈ Ω,
es holomorfa en Ω;
ii) Z (f ) = UnZ (fn).
iii) si Z (fn)′∩Ω = /0 para todo n ∈ N entonces Z (f )′∩Ω = /0 y
para cada a ∈Z (f ), n ∈ N : fn(a) = 0 es finito y
m(f ,a) = ∑n
m(fn,a).
Presentaciones de clase Analisis Complejo
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Productos infinitos
Prod. infinitos funciones holomorfas
Teorema
Sea Ω⊂ C abierto y sea (fn)n una sucesion en H (Ω) tal que elproducto f := ∏
∞j=1 fj converge uniformemente sobre compactos de
Ω. Entonces:
i) La funcion definida por el producto f (z) = ∏∞n=1 fn(z),z ∈ Ω,
es holomorfa en Ω;
ii) Z (f ) = UnZ (fn).
iii) si Z (fn)′∩Ω = /0 para todo n ∈ N entonces Z (f )′∩Ω = /0 y
para cada a ∈Z (f ), n ∈ N : fn(a) = 0 es finito y
m(f ,a) = ∑n
m(fn,a).
Presentaciones de clase Analisis Complejo
![Page 33: 1.2 productos infinitos (presentacion)](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102717/55ccea3bbb61ebc97c8b4691/html5/thumbnails/33.jpg)
Productos infinitos
Prod. infinitos funciones holomorfas
Teorema
Sea Ω⊂ C abierto y sea (fn)n una sucesion en H (Ω) tal que elproducto f := ∏
∞j=1 fj converge uniformemente sobre compactos de
Ω. Entonces:
i) La funcion definida por el producto f (z) = ∏∞n=1 fn(z),z ∈ Ω,
es holomorfa en Ω;
ii) Z (f ) = UnZ (fn).
iii) si Z (fn)′∩Ω = /0 para todo n ∈ N entonces Z (f )′∩Ω = /0 y
para cada a ∈Z (f ), n ∈ N : fn(a) = 0 es finito y
m(f ,a) = ∑n
m(fn,a).
Presentaciones de clase Analisis Complejo
![Page 34: 1.2 productos infinitos (presentacion)](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102717/55ccea3bbb61ebc97c8b4691/html5/thumbnails/34.jpg)
Productos infinitos
Prod. infinitos funciones holomorfas
Teorema
Sea Ω⊂ C abierto y sea (fn)n una sucesion en H (Ω) tal que elproducto f := ∏
∞j=1 fj converge uniformemente sobre compactos de
Ω. Entonces:
i) La funcion definida por el producto f (z) = ∏∞n=1 fn(z),z ∈ Ω,
es holomorfa en Ω;
ii) Z (f ) = UnZ (fn).
iii) si Z (fn)′∩Ω = /0 para todo n ∈ N entonces Z (f )′∩Ω = /0 y
para cada a ∈Z (f ), n ∈ N : fn(a) = 0 es finito y
m(f ,a) = ∑n
m(fn,a).
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Productos infinitos
18/Octubre/2006: Teorema de Weierstrass
Lema (Weierstrass)
DefinamosE0(z) = 1− z ;
En(z) = (1− z)ez+ z2
2 +···+ zn
n ,n ≥ 1.
Entonces, para |z | ≤ 1 se tiene
|En(z)−1| ≤ |z |n+1.
Definicion
A las funciones En, n = 0,1, . . . , del lema anterior se les llamafactores elementales de Weierstrass.
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Productos infinitos
18/Octubre/2006: Teorema de Weierstrass
Lema (Weierstrass)
DefinamosE0(z) = 1− z ;
En(z) = (1− z)ez+ z2
2 +···+ zn
n ,n ≥ 1.
Entonces, para |z | ≤ 1 se tiene
|En(z)−1| ≤ |z |n+1.
Definicion
A las funciones En, n = 0,1, . . . , del lema anterior se les llamafactores elementales de Weierstrass.
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Productos infinitos
Teorema de Weierstrass
Teorema Weierstrass-1
Sea ak una sucesion de numeros complejos tal que ak 6= 0 paratodo k ∈ N y |ak | →+∞. Sea nk ∈ N una sucesion tal que
∑∞k=1(R/|ak |)nk+1 < +∞ para cada R > 0 (p.e. nk = k−1).
Entonces el producto infinito
f (z) =∞
∏k=1
Enk(
z
ak)
define una funcion entera f ∈H (C), tal que cada ak es un cero def , y f no tiene otros ceros. Mas precisamente, si a ∈ C aparece mveces en la sucesion ak entonces a es un cero de f de multiplicidadm.
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Productos infinitos
Teorema de Weierstrass
Observacion
Los nk pueden tomarse cualesquiera con tal de que la serie
∑∞k=1(R/|ak |)nk+1 < +∞ para cada R > 0.
En una situacion concreta si queremos para (an) producir unafuncion f ∈H (C) con f (an) = 0 y m(an, f ) = mn, n ∈ N, loque hacemos es fabricar la sucesion
a1, . . . ,a1,a2, . . . ,a2, · · ·= z1,z2, . . . ,
donde cada ai se repite mi veces y utilizar el Teorema anteriorcon zn.
En la situacion anterior si (mn) esta acotada y ∑n1
|an|p < ∞, essuficiente tomar nk = p−1.
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Productos infinitos
Teorema de Weierstrass
Observacion
Los nk pueden tomarse cualesquiera con tal de que la serie
∑∞k=1(R/|ak |)nk+1 < +∞ para cada R > 0.
En una situacion concreta si queremos para (an) producir unafuncion f ∈H (C) con f (an) = 0 y m(an, f ) = mn, n ∈ N, loque hacemos es fabricar la sucesion
a1, . . . ,a1,a2, . . . ,a2, · · ·= z1,z2, . . . ,
donde cada ai se repite mi veces y utilizar el Teorema anteriorcon zn.
En la situacion anterior si (mn) esta acotada y ∑n1
|an|p < ∞, essuficiente tomar nk = p−1.
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Productos infinitos
Teorema de Weierstrass
Observacion
Los nk pueden tomarse cualesquiera con tal de que la serie
∑∞k=1(R/|ak |)nk+1 < +∞ para cada R > 0.
En una situacion concreta si queremos para (an) producir unafuncion f ∈H (C) con f (an) = 0 y m(an, f ) = mn, n ∈ N, loque hacemos es fabricar la sucesion
a1, . . . ,a1,a2, . . . ,a2, · · ·= z1,z2, . . . ,
donde cada ai se repite mi veces y utilizar el Teorema anteriorcon zn.
En la situacion anterior si (mn) esta acotada y ∑n1
|an|p < ∞, essuficiente tomar nk = p−1.
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Productos infinitos
Teorema de Weierstrass
Teorema Weierstrass-2
Sea M ⊂ C tal que M ′ = /0. Si para cada a ∈M le asignamos unnatural m(a) ∈ N, entonces existe f ∈H (C) tal que Z (f ) = M ycada a ∈Z (f ) tiene multiplicidad m(a).
Teorema Factorizacion Weierstrass
Sea f ∈H (C) yz1,z2, . . . ,zn, . . .
la sucesion de sus ceros no nulos, repetidos segun multiplicidades.Si m0 = 0,1, . . . es la multiplicidad de 0 como cero de f , entoncesexiste una sucesion nk ∈ N y una funcion entera g ∈H (C) tal que
f (z) = zm0eg(z)∞
∏k=1
Enk(
z
zk).
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Productos infinitos
Teorema de Weierstrass
Teorema Weierstrass-2
Sea M ⊂ C tal que M ′ = /0. Si para cada a ∈M le asignamos unnatural m(a) ∈ N, entonces existe f ∈H (C) tal que Z (f ) = M ycada a ∈Z (f ) tiene multiplicidad m(a).
Teorema Factorizacion Weierstrass
Sea f ∈H (C) yz1,z2, . . . ,zn, . . .
la sucesion de sus ceros no nulos, repetidos segun multiplicidades.Si m0 = 0,1, . . . es la multiplicidad de 0 como cero de f , entoncesexiste una sucesion nk ∈ N y una funcion entera g ∈H (C) tal que
f (z) = zm0eg(z)∞
∏k=1
Enk(
z
zk).
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Productos infinitos
19/Octubre/2006: Factorizaciones concretasEjercicio
Pruebese que
sinπz = zeg(z)∞
∏n=1
(1− z2
n2), donde g ∈H (C).
Proposicion
Sea fn ∈H (Ω) una sucesion tal que el producto infinito ∏∞n=1 fn(z)
converge uniformemente sobre compactos y tal que Z (fn)′∩Ω = 0 para
cada n ∈ N. Entonces la serie de funciones meromorfas ∑∞n=1(f
′n/fn)
converge unif. sobre compactos y f ′(z)f (z) = ∑
∞n=1
f ′n(z)fn(z)
Ejercicio-continuacion
Pruebese que
sinπz = πz∞
∏n=1
(1− z2
n2).
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Productos infinitos
19/Octubre/2006: Factorizaciones concretasEjercicio
Pruebese que
sinπz = zeg(z)∞
∏n=1
(1− z2
n2), donde g ∈H (C).
Proposicion
Sea fn ∈H (Ω) una sucesion tal que el producto infinito ∏∞n=1 fn(z)
converge uniformemente sobre compactos y tal que Z (fn)′∩Ω = 0 para
cada n ∈ N. Entonces la serie de funciones meromorfas ∑∞n=1(f
′n/fn)
converge unif. sobre compactos y f ′(z)f (z) = ∑
∞n=1
f ′n(z)fn(z)
Ejercicio-continuacion
Pruebese que
sinπz = πz∞
∏n=1
(1− z2
n2).
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Productos infinitos
19/Octubre/2006: Factorizaciones concretasEjercicio
Pruebese que
sinπz = zeg(z)∞
∏n=1
(1− z2
n2), donde g ∈H (C).
Proposicion
Sea fn ∈H (Ω) una sucesion tal que el producto infinito ∏∞n=1 fn(z)
converge uniformemente sobre compactos y tal que Z (fn)′∩Ω = 0 para
cada n ∈ N. Entonces la serie de funciones meromorfas ∑∞n=1(f
′n/fn)
converge unif. sobre compactos y f ′(z)f (z) = ∑
∞n=1
f ′n(z)fn(z)
Ejercicio-continuacion
Pruebese que
sinπz = πz∞
∏n=1
(1− z2
n2).
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Productos infinitos
Proposicion
Si f ∈M (C) entonces existen g ,h ∈H (Ω) tales que f = g/h
Ejercicio
Si ∑∞k=1(1−|αk |) < +∞, αn ∈D(0,1), entonces el producto infinito
f (z) =∞
∏n=1
|αn|αn
(αn− z
1−αnz),
converge uniformemente sobre compactos en D(0,1) donde defineuna funcion acotada f ∈H (D(0,1)) cuyos ceros son αk : k ∈ N.
Presentaciones de clase Analisis Complejo
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Productos infinitos
Proposicion
Si f ∈M (C) entonces existen g ,h ∈H (Ω) tales que f = g/h
Ejercicio
Si ∑∞k=1(1−|αk |) < +∞, αn ∈D(0,1), entonces el producto infinito
f (z) =∞
∏n=1
|αn|αn
(αn− z
1−αnz),
converge uniformemente sobre compactos en D(0,1) donde defineuna funcion acotada f ∈H (D(0,1)) cuyos ceros son αk : k ∈ N.
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Productos infinitos
Ejercicio para entregar
Ejercicio para entregar: hasta 2/Nov/2006
Demostrar que existe una funcion holomorfa en el disco unidadD(0,1) que no se puede prolongar analıticamente fuera.
Sea M ⊂ C un conjunto discreto y para cada a ∈M seam(a) ∈ N y wj ,a ∈ C para 1≤ j ≤m(a). Pruebese que existef ∈H (C) tal que Z (f ) = M y para cada a ∈M,
1
j!f (j)(a) = wj ,a para 1≤ j ≤m(a).
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