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18 Unidad 13 | Cuerpos geométricos

A B C

A B C

13 Cuerpos geométricos

La torre del Banco de China (a la izquierda de la fotografía) está situada en Hong Kong, y tiene una altura de 305 m (367 si contamos las antenas). Sus 72 plantas ocupan en total una superficie de 135.000 m2. El edificio es de base cuadrada, y el lado de la base mide 53 m.

13.1. Llamamos poliedro al cuerpo geométrico formado por caras poligonales. ¿Este edificio se

puede considerar un poliedro? ¿Por qué?

Sí, pues sus caras son polígonos, aunque no sean todas iguales ni de las mismas dimensiones.

13.2. La base del edificio es cuadrada. Pese a ello, no es un prisma. ¿Por qué?

Porque las dos bases no son iguales.

13.3. Imagina un rascacielos de forma prismática, y de base y altura idénticas a las de la torre del

Banco de China. ¿Qué superficie ocuparía? ¿Y qué volumen?

A = 2 · 532 + 4 · 53 · 305 = 70.278 m2 V = 35 · 35 · 305 = 373.625 m3

DESARROLLA TUS COMPETENCIAS

13.1. Observa estas agrupaciones de cajas.

1. Determina cuántas cajas forman cada figura.

A) 14 B) 15 C) 20

2. Cada caja tiene 6 caras. Indica en cada caso cuántas caras son visibles y cuántas no se pueden ver. Considera también como no visibles las que descansan en el suelo.

A) Visibles: 31; no visibles: 14 · 6 – 31 = 53

B) Visibles: 38; no visibles: 15 · 6 – 38 = 52

C) Visibles: 44; no visibles: 20 · 6 – 44 = 76

3. Determina cuántas cajas hacen falta en cada caso para completar la figura.

A) 4 B) 12 C) 16

Unidad 13 | Cuerpos geométricos 19

9 cm

4,6 cm

36 cm 5,7

cm

3,7 cm

23 c

m

19,5 cm 11,7 cm 24 cm

d) e) f) g)a) b) c)

a) b) c) d) e) f)

13.2. Observa los dos envases de cartón y la caja.

1. ¿Qué volumen tiene cada envase? ¿Cuál es su capacidad?

a) 9 · 5,7 · 19,5 = 1.000,35 cm3 = 1,00035 L

b) 4,6 · 3,7 · 11,7 = 199,134 cm3 = 0,199134 L

c) 36 · 23 · 24 = 19.872 cm3 = 19,872 L

2. Queremos llenar la caja con envases de cartón. ¿Cuántos podremos poner de cada tipo manteniendo la posición vertical de los envases y de la caja?

36 : 9 = 4; 23 : 5,7 = 4,04; 24 : 19,5 = 1,23 → 4 · 4 · 1 = 16 envases grandes

36 : 3,7 = 9,73; 23 : 4,6 = 5; 24 : 11,7 = 2,05 → 9 · 5 · 2 = 90 envases pequeños

3. Diseña una caja para poner 60 envases del primer modelo, y otra para poner el mismo número de envases del segundo modelo.

Por ejemplo, de 45× 22,8× 58,5 cm para que entren 60 envases grandes, y de 23× 14,8× 35,1 cm para que entren 60 pequeños.

13.3. Indica qué velas tienen la superficie exterior formada exclusivamente por polígonos. Indica también en cada caso cuáles son estos polígonos.

e) Cuadrado en la base y triángulos en los laterales

f) Cuadrados

g) Cuadrados en los laterales y triángulos en las bases

ACTIVIDADES

13.1. Indica cuáles de los siguientes dibujos corresponden al desarrollo plano de un cubo.

a y d


a) b) c)

13.2. Dibuja un croquis del poliedro que tiene el desarrollo siguiente.

13.3. Dos de estos dibujos corresponden a desarrollos de un poliedro. ¿Cuáles son? ¿De qué poliedro se trata?

El a y el c son desarrollos del tetraedro.

13.4. Dibuja el desarrollo plano de un cilindro, un cono y una esfera.

La esfera no tiene desarrollo plano.

13.5. ¿Cuáles de estos minerales tienen forma poliédrica? ¿Cuál es un poliedro regular?

La pirita, el cuarzo, la calcita y el corindón tienen forma poliédrica.

La pirita es, además, un poliedro regular (un cubo o hexaedro).

Ópalo Corindón

Pirita

CalcitaCuarzo


a) b) e)d)c)

a) b)

13.6. ¿Cuáles de estos objetos se pueden obtener haciendo girar una figura plana alrededor de un eje?

a, b, c y e

13.7. Actividad interactiva

13.8. Dibuja a mano alzada el desarrollo plano de estos prismas. Después, escribe su nombre.

a) Prisma pentagonal b) Prisma de base un rombo

13.9. ¿A qué prisma pertenece este desarrollo plano?

Prisma de base hexagonal regular

13.10. (TIC) La arista de un cubo mide 15 cm. ¿Cuánto mide su área?

6 · 15 · 15 = 1.350 cm2

13.11. Un poliedro tiene dos caras que son hexágonos, dos que son rectángulos, dos que son rombos y dos más que son romboides. ¿Puede ser un prisma?

Puede ser un prisma oblicuo.

A B


16,7 cm

2,5 cm

2,5

A B

13.12. Este prisma es el envoltorio de una chocolatina.

a) ¿Qué forma tienen las caras laterales? ¿Y las bases?

b) ¿De qué tipo de prisma se trata?

c) Desmontando esta caja, nos queda:

Calcula la superficie lateral, el área de una base y el área total del prisma.

Nota: No tengas en cuenta las pestañas para pegar las caras del prisma.

a) Son rectángulos. Son triángulos.

b) Prisma triangular regular

c) Alateral = 3 · 16,7 · 2,5 = 125,25 cm2; Abase = 2,5 · 2,5

2= 3,125 cm2; Atotal = 125,25 + 2 · 3,125 = 131,5 cm2

13.13. Contesta a estas preguntas.

a) ¿Cuántos cubos de 1 cm de arista caben en un cubo de 2 cm de arista?

b) ¿Cuántos cubos de 5 cm de arista caben en otro cubo con una arista de 70 cm?

c) ¿Cuántos cubos de 4 dm de arista caben en un cubo de 2 m de arista?

a) 8 : 1 = 8 cubos b) 343.000 : 125 = 2.744 cubos c) 8.000 : 64 = 125 cubos

13.14. (TIC) Cada cubo de estos prismas mide 1 cm de arista.

a) Calcula su volumen.

b) Dibuja, en cada caso, otro prisma que tenga el mismo número de cubos.

a) A. 42 cm3; B. 44 cm3 b)

A B


6 cm

3 cm2 c

m4,3 cm

8 cm

5 cm4 cm

9 cm

2,8 cm

a) b) c)

48 cm

35 cm85 cm

0,8 cm

2 cm4 cm20 cm

10 cm

8 cmA B

13.15. (TIC) Calcula el volumen de estos prismas.

a) 36 cm3 b) 252 cm3 c) 86 cm3

13.16. En un prisma, ¿todas las caras laterales deben ser iguales? Ilustra la respuesta con ejemplos.

Deben ser iguales en los prismas regulares rectos, pero pueden ser distintas en los oblicuos y en los irregulares.

13.17. Una pecera tiene la forma y las dimensiones siguientes:

a) Expresa en litros su capacidad.

b) Celia quiere una pecera como esta, pero con el doble de capacidad. Proponle tres opciones de las medidas que puede tener la pecera que ella quiere.

a) 142.800 cm3 = 142,8 L

b) 85× 35× 96 cm, 85× 70× 48 cm, 170× 35× 48 cm, por ejemplo.

13.18. ¿Cuántas cajas como la A caben en la caja B?

Dibuja cómo conviene disponerlas para que no queden espacios vacíos.

1.600 : 6,4 = 250 cajas


12 cm

45 mm

90 mm

10 cm

A B

a) b) c)

13.19. Dibuja el esbozo de una pirámide cuadrangular oblicua y el de una pirámide heptagonal recta.

13.20. (TIC) Observa estas pirámides regulares.

a) Dibuja el desarrollo plano de cada pirámide.

b) Calcula el área lateral en cada caso.

a)

b) A: 4 · 10 · 12

2= 240 cm2 B: 6 ·

45 · 90

2= 12.150 mm2

13.21. (TIC) Una pirámide de base cuadrada tiene una altura de 80 cm, y el lado de la base mide 28 cm. ¿Cuál es su volumen?

228 · 80

3= 20.906,67 cm3

13.22. Solo uno de los dibujos corresponde al desarrollo plano de una pirámide. ¿Cuál es? Razona por qué los otros no pueden serlo.

El a.

El b no puede serlo porque las caras laterales no tienen altura suficiente para formar una pirámide, y el c tampoco puede serlo porque las caras laterales no tienen un vértice en común.


1,2 m

Altura 3,75 m

a) b) c) d) e) f)

13.23. Observa este quiosco.

a) Haz una maqueta a escala 1 : 50.

– Dibuja primero el desarrollo en papel o cartulina a esta escala. Marca en él las pestañas correspondientes.

– Después, recórtalo y constrúyelo.

b) Las caras laterales del quiosco son de vidrio, mientras que las de la cúpula y el suelo son de aluminio. Los precios del vidrio y del aluminio son:

● Vidrio: 180 € el m2 ● Aluminio: 250 € el m2

¿Qué coste tiene en material el quiosco?

c) Calcula su volumen.

a) Actividad manipulativa.

b) Vidrio: 8 · 1,2 · 3 = 28,8 m2 → 5.184 €. Aluminio: 8 · 1,2·1,6

2+

1,2·8·1,4

2= 14,4 m2 → 3.600 €

Coste total = 8.784 €

c) Prisma:

1,2 · 8 · 1,4

· 3 20,162

= m3. Pirámide: 1 1,2 · 8 · 1,4

· 0,75 1,683 2

⋅ = m3

Total: 21,84 m3

13.24. Actividad interactiva.

ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN Y APLICACIÓN

13.25. Poliedros y no poliedros

Indica cuáles de estos cuerpos son poliedros. Razona en cada caso la elección.

a, c, d y e son poliedros, pues sus caras son polígonos.

b y f no lo son, porque no todas sus caras son poligonales; por ejemplo, las bases de ambos son círculos.


A B C D E F

n.º caras + n.º vértices = n.º aristas + 2

13.26. Construcción de poliedros regulares

Construye los cinco poliedros regulares. Estos son los desarrollos.

Actividad manipulativa.

13.27. La fórmula de Euler

Cuenta el número de caras, aristas y vértices de los poliedros convexos y completa la tabla.

Número de

caras Número de

vértices Número de

aristas N.º caras + n.º vértices

A 7 7 12 14

B 7 10 15 17

C 10 16 24 26

F 4 4 6 8

Comprueba que en todos los casos se da:

Esta relación se llama fórmula de Euler.

Una vez completada la tabla anterior, se ve que sumando 2 a la columna que nos indica el número de aristas, se obtiene el mismo valor que hay en la columna de número de caras + número de vértices.


a) b) c) d)

11 cm

4 cm

A B C D

13.28. Poliedros prismáticos y no prismáticos

Indica qué poliedros son prismas.

b y c, pues tienen dos caras iguales y paralelas (que se llaman bases) y el resto de las caras son paralelogramos. En estos casos, las bases son las caras anterior y posterior, siendo el resto caras laterales.

El a no lo es, porque aunque tiene caras paralelas e iguales (rectángulos), el resto no son paralelogramos, pues hay 4 triángulos.

El d también tiene dos caras iguales y paralelas (pentágonos), pero el resto de caras son triángulos y no paralelogramos.

13.29. (TIC) Construcción de un prisma hexagonal

Dibuja en una cartulina el desarrollo plano correspondiente a este prisma regular. Añádele las pestañas necesarias y constrúyelo.

Determina la superficie total del prisma. Mide el valor de la apotema con la regla.


La apotema mide aproximadamente 3,46 cm, luego A = 6 · 4 · 11 + 2 · 24 · 3,46

2= 347,04 cm2.

13.30. Prisma y desarrollo

Observa este prisma.

a) Describe qué tipo de prisma es.

b) Sus caras laterales, ¿qué polígonos son?

c) ¿Cuál o cuáles de estos desarrollos le puede corresponder?

a) Es un paralelepípedo o prisma oblicuo de base rectangular.

b) Romboides y cuadrados

c) El D


45 cm

86 cm

52 cm

13.31. (TIC) División de un prisma hexagonal

Dividimos un prisma hexagonal en dos partes iguales con un plano como en el del dibujo.

Calcula el área total de cada uno de los prismas que se obtienen.

A = 3 · 52 · 86 + 104 · 86 + 2 · 52·6·45

4= 29.380 cm2

13.32. (TIC) Cambio de unidades

Expresa los siguientes volúmenes en la unidad que se pide en cada caso.

a) 122 mm3 = ❏ cm3 b) 0,7 m3 = ❏ dm3 c) 2,75 dm3 = ❏ cm3

d) 8.754 mm3 = ❏ m3 e) 540 dm3 = ❏ m3 f) 1.600 cm3 = ❏ dm3

a) 0,122 b) 700 c) 2.750

d) 0,000008754 e) 0,54 f) 1,6

13.33. (TIC) Volumen en litros

Expresa en litros estas unidades de volumen.

a) 1 dm3 b)1 m3 c) 1 hm3

d)1 mm3 e) 1 cm3 f) 1 dam3

a) 1 b) 1.000 c) 1.000.000.000

d) 0,000 001 e) 0,001 f) 1.000.000

13.34. (TIC) Cubos

a) Halla el volumen de un cubo de 4 cm de arista.

b) Si un cubo tiene un volumen de 216 cm3, su arista mide:

A) 12 dm B) 72 cm C) 6 cm D) 12cm

c) La suma total de las aristas de un cubo es 84 cm. Calcula su volumen. (Nota: Determina primero el número de aristas de un cubo.)

d) Un cubo tiene una superficie de 150 cm2.

A) ¿Cuál es la superficie de una cara?

B) ¿Cuánto mide su arista?

C) ¿Cuál es su volumen?

a) 64 cm3

b) 6 cm

c) 84 : 12 = 7 cm cada arista. V = 343 cm3

d) A) 150 : 6 = 25 cm2. B) 5 cm. C) 125 cm3


16 cm14 cm

24 cm

17 cm

6 cm

17 cm

5 cm1 dm

2 dm

1,6 dm

2 dm

a) b) c) d)

3,8 m

4,5 m

4,5 m

1,8 m

5 m

40 mm

26 mm30 mm

50 mm6 m

3,8 ma) b)

13.35. (TIC) Volumen de un prisma

Un prisma tiene una altura de 14 cm y el área de la base es de 41 cm2. ¿Cuál es su volumen?

14 · 41 = 574 cm3

13.36. (TIC) Capacidad de un recipiente

Averigua qué recipientes tienen entre 4 L y 6 L de capacidad.

a) 173 = 4.913 cm3 = 4,913 L → Sí b)

40 · 6

· 172

= 2.040 cm3 = 2,04 L → No

c) 14 · 16 · 24 = 5.376 cm3 = 5,376 L → Sí d)

(1,6 1) · 2

· 22

+= 5,2 dm3 = 5,2 L → Sí

13.37. (TIC) Cálculo de la altura

Un prisma pentagonal regular tiene un volumen de 1.545 cm3 y su base tiene un lado de 15 cm y una apotema de 10,3 cm. ¿Qué altura tiene?

a) 18mm b) 8 cm c) 4 cm d) 5,5 cm

15 · 5 · 10,31.545 :

2= 4 cm

13.38. (TIC) Volumen de pirámides

Relaciona el área de la base de cada pirámide con una altura y el volumen que le corresponda.

Área base Altura Volumen

14 cm2 ● ● 5 cm ● ● 25 cm3

25 cm2 ● ● 3 cm ● ● 30 cm3

18 cm2 ● ● 9 cm ● ● 40 cm3

30 cm2 ● ● 4 cm ● ● 42 cm3

13.39. (TIC) Composición de prismas y pirámides

Calcula el volumen de estos cuerpos.

a) V = Vprismas + Vpirámide = 3,8 · 9 · 4,2 + 4,5 · 3,8 · 1,8 + 4,5 · 3,8 · 5

3= 202,92 m3

b) V = Vprisma + Vpirámide =

26 · 8 · 40 26 · 8 · 40 20

· 30 ·2 2 3

+ = 152.533,33 mm3


A B C

D

EF

base pentagonalbase cuadradabase triangular(tetraedro)

A B C

13.40. Caras de una pieza

Tenemos esta pieza.

a) ¿Se trata de un poliedro cóncavo o convexo?

b) Indica cuántas caras, aristas y vértices tiene.

c) ¿Cuáles de estos polígonos no pueden corresponder a alguna de sus caras?

a) Cóncavo b) 10 caras, 16 vértices, 24 aristas c) D, E y F

13.41. Suma de los ángulos de las caras en un vértice

Observa los poliedros. Las caras que concurren en los vértices A, B y C son todas triángulos equiláteros.

a) ¿Cuánto mide cada ángulo de un triángulo equilátero?

b) ¿Cuánto suman los ángulos de las caras que concurren en cada uno de los vértices A, B y C?

c) En un poliedro cualquiera, ¿los ángulos de las caras que concurren en un vértice pueden sumar 360º? ¿Por qué?

d) En un poliedro, ¿pueden concurrir en uno de los vértices seis triángulos equiláteros? ¿Por qué?

a) 60º

b) A: 180º; B: 240º; C: 300º

c) No, porque entonces formarían un plano y no un cuerpo geométrico.

d) No, porque sus ángulos sumarían 360º en un vértice.

13.42. Polígonos regulares y poliedros regulares

El hecho de que todas las caras de un poliedro sean polígonos regulares no quiere decir que el poliedro sea regular. Compruébalo.

a) Este poliedro es irregular, aunque sus caras son triángulos equiláteros. ¿Por qué?

b) Dibuja un poliedro irregular con cuadrados. ¿Cuántos necesitas? Haz el desarrollo.

a) En todos los vértices no concurre el mismo número de aristas: en unos concurren 4, y en otros, 3.

b) No es posible construir un poliedro irregular con cuadrados, pues solo existe la posibilidad de formar vértices con 3 cuadrados, y, al coincidir el número de caras que concurren en cada vértice, el poliedro formado será regular.


A

B

C

D

E

A�

B�

C�

D�

11 cm10 cm

18 cm

7,5 cm

13.43. Dualización del cubo

Si a partir de un tetraedro regular construimos otro poliedro que tenga por vértices los centros de cada una de las caras, obtenemos otro tetraedro.

a) Aplica este mismo procedimiento a un cubo. ¿Qué poliedro obtendrás? Haz el dibujo de la forma más cuidadosa posible.

b) ¿Qué relación hay entre el número de vértices del cubo y el número de caras del poliedro que se obtiene?

a) Octaedro

b) El número de vértices del cubo y el número de caras del octaedro coinciden.

13.44. (TIC) Volumen de un tronco de pirámide

Calcula el volumen de este tronco de pirámide siguiendo estos pasos:

– Primero halla el volumen de la pirámide ABCDE.

– Después, calcula el volumen de la pirámide A'B'C'D'E.

Nota: Un tronco de pirámide es la parte de una pirámide limitada por la base y por una sección transversal de la pirámide paralela a la base.

VABCDE = 11 · 10 · 18

3= 660 cm3

Para calcular el volumen de la pirámide A'B'C'D'E necesitamos las dimensiones de la base. Para ello

aplicamos el teorema de Tales: 7,5

4,58; 4,1611 10 18

x y x y= = → = =

VA'B'C'D'E = 4,58 · 4,16 · 7,5

3= 47,632 cm3

Vtronco= 612,368 cm3


1,80 m

1,20

m

3,12 m

13.45. Cubos y ortoedros

Un fabricante de dados quiere distribuirlos en paquetes de 60 unidades en forma de ortoedro. Un modo de hacerlo es que los paquetes tengan 3 dados de anchura, 10 de longitud y 2 de altura.

Indica cuatro maneras más de hacer los paquetes en forma de ortoedro. Ten en cuenta que un paquete de 10 · 2 · 3 y otro de 3 · 10 · 2 son la misma solución, ya que solo hay que girarlos.

6 · 5 · 2, 12 · 5 · 1, 3 · 4 · 5, 4 · 15 · 1

13.46. (TIC) Las casas cubo

En la ciudad de Rotterdam se encuentran las viviendas conocidas como las casas cubo, que son obra del arquitecto holandés Piet Blom (1934-1999). La arista de estos cubos es de 7,5 m. Calcula su volumen.

7,53 = 421,875 m3

13.47. (TIC) Piscina hexagonal

Marta quiere comprar una piscina de plástico para montarla en su terraza. Ha visto una en forma de prisma hexagonal regular con estas dimensiones:

a) Calcula su volumen.

b) La estructura del edificio donde vive puede soportar un peso de unos 400 kg/m2. Como la terraza tiene unos 20 m2, ha calculado que puede soportar unos 20 · 400 = 8.000 kg. ¿Crees que es prudente que instale y llene una piscina como esta? Explica por qué.

a)

1,8 · 6 · 1,56

· 1,2 10,10882

= m3

b) Si llena la piscina, tendrá 10.108,8 L, lo cual excede el peso máximo que puede soportar la estructura, así que no es prudente instalar esta piscina.


42 c

m

30 cm 42 cm

Guía Jet-set

La pirámide del Louvre tiene por base un cuadrado de 35 m de lado, y su altura es de 21,65 m. La altura de cada uno de los cuatro triángulos que la forman es de 27,84 m.

Guía Chiruca

En la construcción de la pirámide del Louvre se utilizaron 603 rombos de vidrio y 70 triángulos también de vidrio. Las diagonales de los rombos miden 1,80 m y 3 m, respectivamente, y los triángulos miden 1,80 m de base y 1,50 m de altura.

13.48. (TIC) Armario

El dibujo muestra las medidas exteriores de las taquillas que utilizan los alumnos de un colegio. El grosor del material utilizado es de 2 cm.

a) Calcula su volumen interior.

b) Las mochilas escolares suelen tener una capacidad aproximada de 25 L. ¿Cuántas mochilas caben en esta taquilla?

a) 28 · 40 · 40 = 44.800 cm3 = 44,8 L b) Solo cabe una mochila.

13.49. (TIC) Pirámide del Louvre

La entrada del Museo del Louvre (París) está presidida por una pirámide de vidrio. Hemos buscado información en dos guías turísticas.

a) Halla el área lateral que corresponde a la pirámide según cada una de estas informaciones.

b) ¿Crees que son coherentes los datos de una guía y de la otra, teniendo en cuenta el grueso de las vigas y que en el segundo caso se ha descontado la estructura de la puerta?

a) Guía Jet-set: 4 · 35 · 27,84

2= 1.948,8 m2; Guía Chiruca: 603 ·

1,8 · 3

2+ 70 ·

1,8 · 1,5

2= 1.722,6 m2

b) Sí, pues la diferencia es de 226,2 m2, que es una superficie razonable para las vigas y la puerta.


Condiciones de construcción de las cajas

– La caja más pequeña debe tener una capacidad de 2 L, y la más grande, de 40 L.

– Cada caja debe tener forma de ortoedro y poder ponerse dentro de la de medidas inmediatamente superiores.

– El abanico de capacidades del conjunto de cajas debe estar repartido de forma equilibrada.

12 c

m

12 cm12

cm

5 cm

PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS

13.50. Construcción de cajas de cartón

Imagina que eres el diseñador de un taller de cartonajes que se dedica a fabricar todo tipo de cajas, de acuerdo con las necesidades de los clientes.

1. Un cliente quiere una colección de seis cajas de cartón. Deben cumplir estas condiciones:

La capacidad de las cuatro cajas intermedias la decides tú. También debes decidir la longitud, la anchura y la altura de las seis cajas. ¿Cómo diseñarías la colección? Completa en tu cuaderno una tabla con la información correspondiente a cada caja.

Longitud Anchura Altura Volumen

Caja 1 2 dm 1 dm 1 dm 2 L

Caja 2 3 dm 2 dm 1,6 dm 9,6 L

Caja 3 4 dm 2,15 dm 2 dm 17,2 L

Caja 4 5 dm 2,4 dm 2,1 dm 34,02 L

Caja 5 6 dm 2,7 dm 2 dm 32,4 L

Caja 6 6,25 dm 2,91 dm 2,2 dm 40 L

2. Observa esta caja.

a) Dibuja el desarrollo plano de la caja sin la tapa a escala 1 : 4.

b) El cartón utilizado tiene un grosor de 2 mm. ¿Qué medidas debe tener la tapa de la caja? Nota: La altura de la tapa debe ser de 5 cm.

a)

b) 5 · 12,4 · 12,4 cm


70 cm

55 c

m

12 cm

12 c

m

60 cm40 cm

50 cm 30

cm

30 c

m

25 c

m

26 cm 16 cm

32 c

m

50 cm 45 cm

20 c

m

3. De un cartón rectangular de 55 cm de ancho por 70 cm de largo recortamos cuatro cuadrados iguales de 12 cm de lado en sus esquinas. A continuación doblamos el cartón para construir una caja abierta, como se ve en el dibujo.

a) ¿Cuáles son las dimensiones de la caja?

b) ¿Qué superficie tiene el cartón antes de recortarlo? ¿Y qué superficie de este se aprovecha realmente?

c) ¿Los trozos que cortamos en las esquinas para hacer cajas de este tipo pueden ser rectángulos? Razona la respuesta.

a) El largo sería 70 – 2 · 12 = 46 cm.

El ancho es 55 – 2 · 12 = 31 cm.

La altura coincide con el lado del cuadrado que se recorta, por lo que mide 12 cm.

b) Antes de recortarlo tiene una superficie de 55 · 70 = 3.850 cm2.

Se aprovechan 3.850 – 4 · 122 = 3.274 cm2.

c) No, porque no quedaría la altura de la caja uniforme, es decir, unas caras laterales tendrían una altura, y otras caras laterales tendrían otra altura distinta de la anterior.

4. Disponemos de una cartulina de 90 cm de largo por 80 cm de ancho. Queremos construir estas cajas recortando los cuadrados de las esquinas como en la actividad anterior, pero con la medida que convenga.

a) ¿Qué cajas se pueden construir?

b) Sin hacer cálculos, indica en cuál se ha desaprovechado más cartón.

c) ¿Cuál sería el rectángulo de cartón necesario para construir con este método una caja de 58 cm de longitud, 40 cm de anchura y 22 cm de altura?

a) La de 40 · 30 · 25 y la de 26 · 16 · 32

b) En la segunda, porque tiene más altura.

c) (58 + 2 · 22) · (40 + 2 · 22) = 102 · 84

5. Construye con cartón una caja con tapa que tenga una capacidad de 2 L aproximadamente. Ten en cuenta las pestañas.



9,4 cm 6,3 cm

16,6 cm

7,2 cm 7,1 cm

19,6 cm

39 71 72 71 33 8

196

3635

88

1

1

1

1

3 3

2 2

13.51. Envases de cartón

1. En 1951, el sueco Ruben Rausing patentó un envase de cartón para la leche como este:

Veamos la manera de construir este envase con una hoja DIN A4. Debes hacer lo siguiente:

– Enrolla la hoja y forma un cilindro superponiendo 1 cm los dos lados de longitud menor Une los márgenes con celo (o pegamento).

– Convierte el cilindro en una bolsa doblando cada una de sus bases. Los pliegues deben ser perpendiculares el uno del otro.

a) ¿Cuántas caras tiene el poliedro que has obtenido? ¿Qué nombre recibe?

b) ¿Qué volumen ocupa, aproximadamente? Utiliza la regla para tomar las medidas.

c) Quieres que cada arista tenga la misma longitud. Recorta adecuadamente una hoja DIN A4. Haz primero pruebas para ver si la hoja debe ser más cuadrada o más alargada.

a) 4 caras. Es un tetraedro irregular.

b) Aproximadamente 500 cm3.

c) Se necesita recortar el papel para que el largo sean unos 24 cm, manteniendo el ancho en 21 cm.

2. Estas son las medidas de dos envases.

a) ¿Qué volumen tiene cada envase?

b) Calcula la superficie exterior de cada envase ¿Cuál es mayor? Compara el resultado con la superficie de un cubo de 1 dm3.

a) V1 = 1.001,952 cm3; V2 = 983,052 cm3

b) A1 = 2 · 7,1 · 19,6 + 2 · 7,2 · 19,6 + 2 · 7,1 · 7,2 = 662,8 cm2

A2 = 2 · 6,3 · 16,6 + 2 · 9,4 · 16,6 + 2 · 9,4 · 6,3 = 639,68 cm2. Es mayor la superficie del primero.

Un cubo de 1 dm3 tiene una superficie de 6 dm2 = 600 cm2, luego ambos envases son algo mayores que este cubo.

3. Construye un envase de cartón de 1 L a partir de este desarrollo (las medidas son en mm).

– Recorta la pieza.

– Marca los pliegues siguiendo las líneas que aparecen en el dibujo.

– Pega la zona verde sobre la parte posterior de la zona azul haciendo coincidir los puntos marcados con un . Formarás un tubo.

– Cierra y pega la zona amarilla haciendo coincidir los puntos marcados con un . Se formará una bolsa.

– Pega la zona roja haciendo coincidir los puntos y da forma de prisma a la figura aprovechando los pliegues marcados.


1

2

3


a) b) d)

c)

8 cm

5 cm

3 cm

4. Los envases de cartón son multicapa.

a) Si un envase de 1 L pesa 27 g, ¿cuánto pesa cada material?

b) El grosor de la capa de aluminio es de 0,0065 mm. ¿Qué volumen ocupa el aluminio necesario para hacer el envase de la actividad 3?

c) De un árbol de 1 m3 se obtiene celulosa para fabricar 13.300 envases de cartón de 1 L. En un año, en España se producen 120.000 t de envases de cartón. ¿Cuántos árboles de 1 m3 hay que talar para hacer todos los envases de cartón de España para un año?

a) Polietileno: 5,4 g. Aluminio: 1,35 g. Cartón: 20,25 g

b) Como el área del desarrollo de la actividad 3 es de 83.202 mm2, el volumen será:

V = 83.202 · 0,0065 = 540,813 mm3

c) 120.000.000.000 : 27 = 4.444.444.444,44 envases de cartón al año. Luego se necesitan 334.168,76 m3 de madera.

AUTOEVALUACIÓN

13.1. ¿Qué es un poliedro? ¿Qué condiciones debe cumplir un poliedro para ser regular?

Es un cuerpo geométrico limitado por polígonos. Todas sus caras deben ser polígonos regulares y en cada vértice debe concurrir el mismo número de caras.

13.2. Indica cuál o cuáles de los dibujos corresponden al desarrollo plano de este prisma.

c y d

13.3. Dibuja el desarrollo de este prisma.

polietileno

aluminio

cartón

Peso total: 27 g

75%

20%

5%


11 cm4 cm

5 cm

3,5 cm

18 cm

15,6 cm

A B

10 mm

26 mm

24 mm

• B

A

•

13.4. Observa estos prismas regulares.

a) Indica el nombre de cada prisma.

b) Calcula el área de cada prisma.

c) Calcula el volumen de cada prisma.

a) A: prisma triangular B: prisma hexagonal

b) A: 874,8 cm2 B: 162 cm2

c) A: 1.544,4 cm3 B: 210 cm3

13.5. Hay un poliedro regular que tiene forma de pirámide. ¿Cuál es?

El tetraedro

13.6. Encuentra el área total y el volumen de esta pirámide regular.

A = 620 mm2. V = 800 mm3

APRENDE A PENSAR… CON MATEMÁTICAS

El camino más corto

Quieres dibujar el camino más corto sobre la superficie del dodecaedro entre los dos puntos señalados. Determina qué método utilizarías.

Marcaría los puntos A y B en el desarrollo plano del dodecaedro y los uniría con una línea recta. Luego, volvería a montar el poliedro a partir de su desarrollo, siendo la línea que hemos trazado el camino más corto entre A y B.

Los días de la semana

Si mañana fuera ayer, hoy estaría tan cerca del domingo como si fuera mañana. ¿Qué día es hoy?

Hoy, en realidad, es jueves. En el primer supuesto, mañana sería miércoles, por lo que hoy sería martes, cuya distancia al domingo es de 2 días. En el segundo supuesto, hoy sería viernes, cuya distancia al domingo es también de 2 días.


El cubo

Numera los vértices del cubo del 1 al 8 de manera que la suma de las seis caras coincida. Fíjate en que cada número forma parte de tres caras diferentes.

¿Cuántos son la familia Trap?

El señor y la señora Trap tienen cinco hijas, y cada hija tiene un hermano. ¿Cuántos son en total?

Son 8 en total: el padre, la madre, las 5 hijas y 1 solo hijo que es hermano de cada una de las 5 hijas.

Los cuatro triángulos

Con seis palillos hemos formado dos triángulos equiláteros. Moviendo solo tres palillos, forma cuatro triángulos equiláteros igual de grandes que estos.

Se trata de formar un tetraedro como en la figura siguiente.

El reloj de pared

Un reloj de pared tarda 5 s en tocar las seis. ¿Cuánto tardará en tocar las doce?

11 s, pues si toca 6 campanadas, entre ellas hay 5 intervalos iguales de tiempo, y como el total es de 5 s, cada intervalo dura exactamente 1 s. Al tocar las doce habrá 11 intervalos de 1 s, por lo que tarda 11 s en total.

2

8

1

7 6

3

5

4

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