13 de Octubre Series de Fourier

7/23/2019 13 de Octubre Series de Fourier

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ANALISIS DE SEALES

Series de Fourier


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Representacidominio tiemp

frecuencia. Anliespectr


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Funciones Peridicas

Una Funcin Peridicaf(t) cumple la siguiente propiedad para todvalor de t.

f(t)=f(t+)

A la constante m!nima para la cual se cumple lo anterior se le llamelperiodode la funcin

Repitiendo la propiedad se puede o"tener#f(t)=f(t+n)$ donde n=%$&$ '$ $...


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Funciones Peridicas

ACTIVIDAD 1# ncontrar el periodo de las siguientes funciones$ si es *ue speridicas#

&) f(t) = sen(nt)$ donde n es un entero.

') f(t)= sen'('t)

) f(t)= sen(t)+sen(t+/2)

) f(t)= sen(&t)+cos('t)

,) f(t)= sen(' t)

-) f() = tg (&/')

0)

1)

2) &%)


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Funciones Peridicas

Ejemplo# 34ul es el per!odo de la funcin

5olucin.6 5i f(t) es peridica se de"e cumplir#

Pero como se sa"e cos(+'7)=cos() para cual*uier enteroentonces para *ue se cumpla la igualdad se re*uiere *ue

/='7&$ /='7'

s decir$

= -7& = 17'

8onde 7&y 7'son enteros$

l valor m!nimo de se o"tiene con 7&=$ 7'=$ es decir$=

co)cos(f(t)3t +=

)cos()cos(T)f(t4Tt

3Tt ++ +=+ )cos()cos(f(t)

4t

3t +==


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Funciones Peridicas

9rfica de la funcin

0 50 100 150 200-3

-2

-1

0

1

2

3

f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)

t

f(t)

24

T

)cos()cos(f(t)4t

3t +=


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Funciones Peridicas

Podr!amos pensar *ue cual*uier suma de funciones seno y coseno produceuna funcin peridica.

sto no es as!$ por e:emplo$ consideremos la funcin

f(t) = cos(&t)+cos('t).

Para *ue sea peridica se re*uiere encontrar dos enteros m$ n tales *ue

&= 'm$ '='n

8e donde

s decir$ la relacin &/ 'de"e ser un n;mero racional.

n

m

2

1 =


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Funciones Peridicas

Ejemplo# la funcin cos(t)+cos(+)t no es peridica$ ya *ue es un n;mero racional.

0 5 10 15 20 25 30-2

-1

0

1

2 f(t)=cos(3t)+cos((3+pi)t)

t

f(t)

+=

3

3

2

1


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5erie rigonom


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4omponentes y armnicas

As!$ una funcin peridica f(t) se puede escri"ir como la suma de

componentes sinusoidalesde diferentes frecuencias n=n%.

A la componente sinusoidal de frecuencia n%# 4ncos(n%t+n) se le llama l

ensima armnicade f(t).

A la primera armnica (n=&) se le llama la componente fundamentaly superiodo es el mismo *ue el de f(t)

A la frecuencia %='f%='/ se le llamafrecuenciaangular fundamental.

4 i


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A la componente de frecuencia cero 4%$ se le llama componente de corri

directa(cd) y corresponde al valor promedio de f(t) en cada periodo.

>os coeficientes 4ny los ngulos nson respectiva6mente las amplitudes

ngulos de fasede las armnicas.

4 t i


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Ejemplo# >a funcin

4omo ya se mostr tiene un periodo ='$ por lo tanto su frecuenciafundamentales %=&/&' rad/seg.

4omponente fundamentales de la forma#

%?cos(t/&').

ercer armnico#

cos(t/&')=cos(t/)

4uarto armnico#

4os(t/&')=cos(t/)

0 50 100 150 2-3

-2

-1

0

1

2

3

f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)

t

f(t)

24

)cos()cos(f(t)4t

3t +=

4 t i


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Ejemplo# 4omo puede verse$ la funcin anterior tiene tantas partes positicomo negativas$ por lo tanto su componente de cd es cero$ en cam"io

0 50 100 150 2-3

-2

-1

0

1

2

3

f(t)=1+cos(t/3)+cos(t/4

t

f(t)

24

Tiene tantas partes

arriba como abajo

de 1 por lo tanto,su componente de

cdes 1.

)cos()cos(1f(t)4t

3t ++=

4l l d l fi i t d l 5 i


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4lculo de los coeficientes de la 5erie

8ada una funcin peridica f(t) 3cmo se o"tiene su serie de Fourier@

"viamente$ el pro"lema se resuelve si sa"emos como calcular loscoeficientes a%$a&$a'$...$"&$"'$...

])tn(senb)tncos(a[a)t(f1n

0n0n021 ++=

=



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Bultiplicando am"os miem"ros por cos(n%t) e integrando de C/' a /'$

o"tenemos#

5imilarmente$ multiplicando por sen(n%t) e integrando de C/' a /'$

o"tenemos#

5imilarmente$ integrando de C/' a /'$ o"tenemos#

,...3,2,1,0ndt)tncos()t(fa2T

2T0T

2n = =

,...3,2,1ndt)tn(sen)t(fb2T

2T0T

2n = =

=

2T

2TT2

0 dt)t(fa



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Ejemplo# ncontrar la 5erie de Fourier para la siguiente funcin de period

5olucin# >a epresin para f(t) en C/'DtD/'es

1f(t)

t. . . -T/

2

0

T/2

T . . .

!1


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4oeficientesan# =

2T

2T0T

2n dt)tncos()t(fa

+ =

2T

00

0

2T0T

2 dt)tncos(dt)tncos(

+= 0

2T

002T

0

00

T

2

)tn(senn

1

)tn(senn

1

0npara0 =



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4oeficientea%#=

2T

2TT2

0 dt)t(fa

+=

2T

0

0

2TT2 dtdt

+= 0

2T

2T

0

T

2

tt

0=



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4oeficientes "n#

=

2T

2T0T

2n dt)tn(sen)t(fb

+ =

2T

00

0

2T0T

2 dt)tn(sendt)tn(sen

=

0

2T

0

02T

0

0

0T2 )tncos(

n

1)tncos(

n

1

[ ])1)n(cos())ncos(1(n

1

=

[ ] 0npara))1(1n

2 n

=



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5erie de Fourier# Finalmente la 5erie de Fourier *ueda como

n la siguiente figura se muestran# la componente fundamental yarmnicos $ , y 0 as! como la suma parcial de estos primeros cut


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-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Componentes de la Serie de Fourier

t

C

omponentes

Suma

fundamental

tercer armnico

quinto armnico

septimo armnico


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:ercicios.Ealle la serie de Fourier de cada una de las siguientes funciones.

&'

,

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