13 EL PLANO CARTESIANO•

La necesidad de orientarse condujo a los seres hu-manos, desde la antigiiedad mas lejana, a confeccio-nar mapas 0 cartas geograficas y a relacionar los pun-tos de una superficie mediante numeros.

Para fijar una figura en el espacio 0 en un plano ha-ce falta relacionarla con un sistema de referencia. Enel actual sistema geografico, cualquier lugar del mun-do queda determinado con precisi6n si se conocensu latitud (a) y su longitud (b), es decir, si se tienen sudistancia a al norte 0 al sur del ecuador, y su distan-cia b al este 0 al oeste del meridiano de Greenwich.

No basta con tener uno s610 de estos datos, ya quehay lugares que tienenla misma latitud a. Observesela siguiente figura:

Todos los puntos del globo terrestre que estan si-tuados en el mismo paralelo, a una distancia a delecuador tienen la misma latitud. Lo mismo sucedecon s610 la longitud.

En matematicas, el sistema de referencia se formasobre un plano con dos rectas perpendiculares que seintersecan en un punto, que se denota con la letra O.

RENE DESCARTES(1596-1650)

Considerado el padre de la filosoffa moderna, Renf. Descartes fue unpensador completo, que abordo tambien el estUdjO de las ciencias.En ffsica, sin saber que Galileo ya 10 habra hec 0, resolvio elproblema de las leyes que rigen el movimiento e caida de loscuerpos. En matematicas, fue el creador de la ge metria anaHtica,para 10 que establecio el sistema de coordenadat ortogonales,conocido en la actualidad como sistema cartesiio. Asimismo,contribuyo a simplificar y normalizar la nomencl tura algebraica.Tras escribir las Reglas para la direcci6n del espf 'tu (1628-1629)y EI mundo 0 Tratado de la IUl (1633), en el qu se incluyo suTratado del hombre, publico su obra de mayor re ieve, el Dfscursodel metodo (1637), que servia de prologo a la ed cion conjunta detres ensayos de indole cientrfica: la Di6ptrica, la Geometrfa y losf1eteoros. En 1641 escribio f1editaciones metaffsi as, y en 1644, losPrincipios de la filosoffa. Por ultimo, en 1649 se ublico su obraPasiones del alma.En elsistema depensamiento deDescartes, la filosoffaengloba a todas lasciencias. Represento elconocimiento como unarbol cuyas rarces son lametaffsica y cuyo troncoes la ffsica, del que salentres ramasprincipales Oe.scartes fu~ el inve tor de la nota-

. . CIon algebralca moder~a, en la cuallas-Ia medlcma, la constantes estan repretentadas por lasmecanica y la etica- de primeras le~ras. del alfafeto, a,. b,. c, y laslas que derivan todas las variables 0 Incognttas por las ultlmas, esotras ciencias. decir, x, 1. l. IConsideraba que habra tres sustancias: una infinita yautosubsistente, es decir, que existe por sf mis1a, a la que

denomino res infinita e identifico con Dios, y dos f.ustancias finitas,que dependen para su existencia de la res infintfa, a las quelIamo res cagitans 0 sustancia pensante y res eXlnsa 0 sustanciacorporea, cuya principal caracteristica es la exten ion en el espacio.EI pensamiento filosMico de Descartes se fundam ,nta en un metodoque consiste en tomar un punto de partida indudable sobre el queconstruir todo el conocimiento. En matematicas creo la geometriaanaHtica segun el mismo principio, a partir de un sistema decoordenadas formado por dos rectas que se cortan en un punto,denominado origen.

.........;....:....y ..

.. .. .. ....................... . . .

. : . ~1.. : : :-1 ... .;···;···III··· ;... : .

.. . . . . . ... . . . . ...... .. . . ...ry...: ...;

El punto 0 recibe el nombre de origen de coor-denadas. Se escoge tambien una unidad de medida,con la que se marcan con signa positivo las distanciasen las semirrectas desde el origen hacia arriba y ha-cia la derecha, y con signa negativo des de el origenhacia abajo y hacia la izquierda. El eje perpendicularse denomina eje de abscisas 0 eje de las x, mientrasque el eje vertical se denomina eje de ordenadas 0 ejede las y. Este sistema de referencia se denomina siste-ma de ejes cartesianos 0 sistema cartesiano (de Carte-sius, nombre latinalizado de Rene Descartes, fil6sofoy matem<itico frances del siglo XVII). Con ello, to-do el plano queda dividido en cuatro cuadrantes (I,II, III Y IV), que se numeran en sentido contrario almovimiento de las agujas de un reloj.

13.1 COORDENADAS DE UN PUNTO:EJERCICIOS DE LOCALIZACION DEPUNTOS Y OTRAS ACTIVIDADESEN EL PLANO CARTESIANO

Por cada punto P del plano pasan dos rectas perpen-diculares entre sf y paralelas a cada uno de los ejes,es decir, pasa una recta paralela al eje de las x y unarecta paralela al eje de las y.

B ._;_...:_~ P:

........ , .. < ....I .··..T· ..:···: ..

. I: ... ,....

Estas rectas cortan los dos ejes en dos puntos, Ay B. Si se consideran las distancias OA y OB, estasrepresentan la abscisa y la ordenada del punto P.

............

.-:--:--., p .....1.,....;.I .

·1 ... :.I .

• 1 •••••I

... 1.I

En la figura superior, el punto P tiene como abscisa+3 y como ordenada +5. Por ella, se dice que P tie-ne como coordenadas +3 y +5, que se escribe de lasiguiente manera: P (+3, +5).

Si se fijan dos numeros en un orden determinado,par ejemplo +2 y +3, se dice que a este par orden adoIe corresponde el punto P del plano que tiene comoabscisa +2 y como ordenada +3, es decir, el puntoP(+2, +3), como se muestra en la siguiente figura:

. .-7'--'fP,,

i,..I

Se debe pres tar atenci6n en no confundir el eje delas abscisas con el de las ordenadas: el primer numerorepresenta el de la abscisa x y, en consecuencia, semarca sobre el eje horizontal de las x, mientras que elsegundo es la ordenada y, por tanto, se indica sobreel eje vertical de las y. Por ello, los puntos A (+5, +2)y B (+2, +5) tienen localizaciones muy diferentes:

.-7'-- T B: ,:... ,.

1.,. I .

_:..._~_._--- ..• A: I i

..: ...• 1 . I, !

A continuaci6n, se indican sobre un plano los pun-tos P (+1, +3), Q (-3, +5), R (-2, -3), S (+1, -4).

yQ---- ..•,,

III

"'," "I

,PIII" "

~3 l' ~~,I, -2

IR--~

IIIII.JS

Se observa que si ambas coordenadas son positi-vas, el punto se encuentra en el primer cuadrante; sison ambas negativas, el punto se encuentra en el ter-cer cuadrante; si la abscisa es negativa y la ordenadapositiva, se localiza en el segundo cuadrante, y, final-mente, si la abscisa es positiva y la ordenada negativa,se encuentra en el cuarto cuadrante.

Por consiguiente, se puede afirmar que a cada pa-reja ordenada de puntos Ie corresponde un punto delplano, y viceversa; a cada punto del plano Ie corres-ponde una pareja ordenada de puntos.

13.2 REPRESENTACION EN EL PLANOCARTESIANO DE REGIONES YCONJUNTOS DE PUNTOS QUESATISFACEN CONDICIONESALGEBRAICAS SENCILLAS

Hasta ahora, se han representado en el plano pun-tos de la forma (+3,+5), (2, -6), (-4, -5), etc. No solose pueden encontrar como coordenadas de un puntonumeros enteros, sino que tambien pueden ser nume-ros fraccionarios 0 reales. Asf, se puede pedir colocar

los puntos (+~, -2), (0,632, 1,56),por ejemplo.

Supongase que se fija una de las dos coordenadas,por ejemplo, que se fija la abscisa en el valor +3: pue-den considerarse todas las parejas de puntos que tie-nen como abscisa el valor fijo +3, y como ordenadacualquier numero de la recta real, es decir, -2, 22,16,539 0 no importa que otro valor. i,Que ocurre sise intenta representar este conjunto de puntos? Lasordenadas de las diferentes parejas de puntos puedendistar tan poco unas de otras que no se aprecia un es-pacio en blanco en su representacion. En consecuen-cia, se forma una recta que tiene abscisa +3.

Como esta recta satisface la condicion de que, encada uno de sus puntos, su abscisa vale siempre 3,con independencia del valor de la ordenada, la expre-sion que representa a esta recta es x = 3, es decir,la primera coordenada (la que esta en el eje de las x)siempre es 3.

Mediante un razonamiento similar, se pueden con-siderar todas aquellas parejas de puntos que tienenuna misma ordenada. Supongase ahora que la orde-nada que se considera es, por ejemplo, +4: se consi-deran entonces todas las combinaciones de coordena-das que como abscisa tienen a un numero cualquierade la recta real, y como ordenada, +4. Ocurre 10 mis-mo que en el caso anterior: al representar todos estospuntos, se forma la recta y = 4, constituida por el con-junto de puntos tales que su ordenada es siempre 4.

Se trata de descubrir el criterio con el que fueron ubicados losnumeros en las casillas y. una vez hallado, sustituir las letras A, By ( por los valores correspondientes.

.......... , ..... y

.............

Por tanto, si se pide representar las rectas x = a,basta con localizar el punto a en el eje de abscisas ytrazar una recta vertical que pase por ese punto .

.... ..... . ...... . .

De una manera similar, la recta y = b se represen-tara con facilidad, tras situar en el eje de ordenadas elpunto b y trazar una recta horizontal que pase por esepunto.

Supongase ahora que se fija un punto en el eje deabscisas, por ejemplo x = 1, Yque se quieren repre-sentar los puntos tales que su abscisa x es x < 1. Hastaahora se sabe representar los puntos tales que x = 1,formada por la recta vertical que pasa por el punto 1del eje de abscisas. Tambien se sabe representar x = 0,ox = -lox = -0,5, todas ellas rectas con absci-

sas menores que 1. Asf pues, el conjunto de puntostales que x < 1 es el conjunto de puntos representa-dos por todas las rectas antes citadas y por todas lasdemas rectas verticales cuya abscisa sea menor que 1.Si se representan el conjunto de todas estas rectas,aparece una grafica como la siguiente:

En este tipo de grafica, una lfnea discontinua sig-nifica que se consideran solo los puntos menores queun valor dado, en este caso, los puntos de abscisa me-nor que 1, por 10 que los puntos de la recta de trazosdiscontinuos no pertenecen a la region seiialada. Sise hubiese querido representar, en cambio, el conjun-to de puntos tales que x :S 3, la grafica hubiera sidola siguiente:

y

0 +3 x

Ahora, la recta x = 3 sf que se ha considerado, puessus puntos, que tienen como abscisa +3, cumplen lacondicion especificada. Si el conjunto de puntos a re-presentar es x ~ a, se hace un razonamiento similar,y se observa que la region pintada, que correspondeal conjunto de puntos representados, queda en todomomenta a la derecha de la vertical sobre el punto aen el eje de abscisas.

La batalla naval es un juego de estrategia en el que participan dos jugadores. Se juega con lapiz y papel, y nointerviene el azar.

Preparacion:Antes de comenzar el juego, cada participante dibuja en un papel cuadriculado dos tableros cuadrados delOx 10 casillas. Las mas horizontales se numeran de la A hasta la J, y las columnas verticales del I al 10.Basta con indicar las coordenadas de un disparo con un par letralnumero (por ejemplo, A6 0 J9).

2 3 4 5 6 7 8 9 10A A

B B

C C

D DE E

F F

G G

H HI I

J J

FLOTA PROPIA

En el cuadrado de la izquierda se coloca la flota propia (se muestra un ejemplo). En el cuadrado de la derechase iran marcando los disparos que el jugador efectua en el mar del contrincante: barcos tocados, hundidosy disparos al agua.

La flota:Cada jugador dispone en su tablero izquierdo una flota completa, sin que el contrincante yea su posicion.Los barcos no pueden tocarse entre sf, es decir, que todo barco debe estar rodeado de agua 0 tocar unborde del tablero. La flota esta formada por:

ITIIJ

---Mecanica del juego:

EI turno pasa alternativamente de un jugador a otro.

En su turno, el jugador hace un disparo a una posicion del mar enemigo, indicando la coordenadacorrespondiente (Ietra y cifra). Si no hay barcos en ese cuadradito, el otro jugador dice: «iagua!»; si eldisparo ha dado en algun barco dice: «itocado!»; si con dicho disparo el rivallogra completar todas lasposiciones del barco, debe decir «ihundido!» En el ejemplo, un primer disparo sobre H9 serfa «agua»;sobre GS, «tocado», y sobre D7, «hundido».

Gana el jugador que consigue hundir todos los barcos del rival.

Tambien puede ser in teres ante representar los con-juntos de puntos tales que, por ejemplo, y < 3. Si sepiensa como antes, se sabe representar la recta y = 3,la recta y = 2,0 cualquier recta y = b, de manera queb < 3. Entonces, el conjunto de puntos que represen-tan la region y < 3 es la siguiente:

Tambien se sabn'i.n representar los conjuntos depuntos tales que y > c, y ~ d 0 y :::;e, donde c, dy e representan numeros reales.

(,Que aspecto tiene el conjunto de puntos que satis-facen 2 < x :::;5? Para empezar, se deb en interpre-tar estas desigualdades por separado. Si se representa2 < x se tiene:

1+2IIII

La region correspondiente a x :::;5 se representa enel siguiente gnifico:

y

x

0 5

Como tienen que respetarse ambas condiciones alavez, considerense las dos representaciones juntas:

As!, se concluye que el conjunto de puntos talesque 2 < x :::;5 es:

(-,-) (+,-)

III IV

Cuadrante Abcisa OrdenadaI + +II +IIIIV +

COORDENADAS DE UN PUNTO: EJERCICIOSDE LOCALIZACION DE PUNTOS Y OTRASACTIVIDADES EN EL PLANO CARTESIANO

1 Determinar la abscisa y la ordenada del puntoP de la figura:

---,II .....IIIA

Por el punta P del plano pasa una recta paralela acada uno de los ejes, es decir, una paralela al eje delas x y otra al de las y. Estas rectas cortan los dos ejesen dos puntos, A y B. Si se consideran las distanciasOA y OB, estas representan la abscisa y la ordenadadel punto P. En este caso, P tiene de abscisa +2 y deordenada +3.

2 Determinar las coordenadas del punto Q del si-guiente plano:

y

Qt--:---IIIII

... ·1·I

.1.I

. . . .....

......

I xII,IIIIII

. I---- 8(+3,-8)

4 Colocar en el plano carte siano los siguientes pun-tos: A (+5, +2) YA' (+2, +5); B (-2, +3) YB' (+3, -2);C (+5, -6) y C' (-6, +5) YD (-2, -3) y D' (-3, -2).

C'--- - -.:..-- --III

. I"ITI

"

B" -.-1111

1I 1

D'·-"--ID----

--iNI11I- - -,- - _.- -TAI II ,

I 1 x, 1

- - - - .B' 1I11I1I

- - -: - - - - _l C

D"---.-III11I

C-I

·1·I

'1"

II

E~------

---- .•AIII . :I....:....:

I :1''' ...I1

Soluci6n: A (+3, +5);D (-3,4);

B (-2, 0);E (-4, -2);

C (-1,3)F (0, -1)

:yEo, ....

Indicar las coordenadas de los puntos marcados.Cambiar el orden de los mimeros en cada par or-denado y representarlos.Las coordenadas de los puntos que hay marcados sonA (+2, +3), B (+4, +1), C (+2, -1), D (-2, -2), E (-2,2) Y F (0,-3). Si se cambia el orden de los numerosen cad a par ordenado, resulta A (+3, +2), B (+1, +4),C (-1, +2), D (-2, -2), E (2, - 2) Y F (-3, 0), y susposiciones en el plano cartesiano son:

c t-1I

j·B:···:····;····:i .. ' .. : :1 •

-J-''':' - f A1 11 I

..... 1. . :.I

:·····D· •.-;...

.. 1. . ... x1 .

...:- "·E : ... :.....

.' I ! ... :... ! M

·K- .. J!

En primer lugar, escribir las coordenadas de lospuntos que se encuentran en el primer cuadran-te; luego, las de los puntos situados en el segundocuadrante. Hacer 10 mismo con el tercer y el cuar-to cuadrante. Finalmente, indicar que signo tienenlas coordenadas de los puntos que pertenecen a ca-da cuadrante.Los puntos que se encuentran en el primer cuadranteson A (+1, +1), B (+1, +3), C (+3, +2) Y D (+5, +1).Los del segundo cuadrante son E (-2, +3), F (-4, +2),G (-2, +1) Y H (-5, +1). Los puntos dibujados en eltercer cuadrante son I (-2, -1), J (-1, -2), K (-4, -2)YL (-3, -4). Finalmente, los que se encuentran en elultimo cuadrante son M (+2, -1), N (+1, -3), P (+4,-2) Y Q (+4, -4).

Se observa que los puntos del primer cuadrante tienenambas coordenadas con signo positivo; los del segun-do, tienen la primera abscisa negativa y la ordenadapositiva; los del tercero, tienen ambas coordenadasnegativas, y los puntos que se encuentran en el cuar-to y ultimo cuadrante tienen la abscisa positiva y laordenada negativa.

8 Indicar las coordenadas de los puntos marcadosen negro en el siguiente dibujo.

B·A~-,C .•

.' 1 /1';/ 1

/ 1: 'D'~'~ _._.j .

. E:

T F1\

\

1 "1 \1 \1 \

\L..._.:.. - .•• G.H

'\----:----\\.\

'K\--:-_':"-

- -. - - - - - -, JII

. I: I-~._--- L

Soluci6n: A (-3, +3); B (-2, +3); C (-1, +3)D (-3, +1); E (-1, +1); F (+1, +4)G (+3, +1); H (+1, +1); 1(-4, -1)J (+4, -1); K (-3, -3); L (+3, -3)

9 Dar las coordenadas de los puntos sefialados enel siguiente gnifico.

: .. 1 ..i:D" - ~

...1.i",:,-"·e:

Solucion: A (0, +3); B (+2, +1); C (+2, -2)D (-2, -2); E (-2, +1)

Escribir las coordenadas de los puntos. ;,Que par-ticularidad tienen?

Solucion: (-4, +3); B (-2, +3); C (0, +3)D (+2, +3); E (+4, +3)

Todos estos puntos tienen la segunda coordena-da igual, es decir, la ordenada es la misma paratodos ellos, e igual a 3

REPRESENTACION EN EL PLANOCARTESIANO DE REGIONES Y CONJUNTOSDE PUNTOS QUE SATISFACENCONDICIONES ALGEBRAICAS SENCILLAS

11 ;,Que abscisa tienen todos los puntos marca-dos sobre la siguiente recta? ;,Que conclusion sepuede deducir?

.... 1 .......•...

. LA1+p-:. ...I :

.. TB': .

I.,I :... T·e : .

.... 1. .1

. ··+D·1 .

.. TE:'I

Todos los puntos marcados sobre la recta vertical tie-nen abscisa 3. Como conclusion, se puede deducirque todos los puntos de una recta vertical tienen lamisma abscisa, mientras que su ordenada varia deuno a otm.

12 Identificar las coordenadas de los puntos marca-dos sobre la siguiente recta:

............ ·: .... 1 ...

·tA:. '''1'':

. . '+-B:: I ;. in:

. . i ...........i................... ...I··.... . .. : ... 1.... ;

.. I.;c

............. i ..

Solucion: A (+5, +4); B (+5, +2)C (+5, -4); D (+5,0)

Todos los puntos tienen la misma abscisa, +5, mien-tras que la ordenada es diferente entre ellos

13 Hallar las coordenadas de los puntos marcadosen la siguiente recta horizontal.·i .. . . . .--- -- .. -~-- --~._._- •... -:--

.. ' . A· .. B € .' p.:

•.••....••.•••... _u: ••.I I I I I I I I I

Solucion: A (-3, +6); B (0, +6)C (+2, +6); D (+4, +6)

Solucion: Hay infinitos, son los que forman la si-guiente recta:

16 Representar la recta cuyos puntos tienen todosordenada 5.

17 Representar en el siguiente plano cartesiano larecta y = 4,5.

cisa menor que 2. Si se representan todas estas lfneascon un mismo color, el resultado es un semiplano:

Como los puntos de la recta x = 2 no cumplen la de-sigualdad estricta x < 2, es la primera que no esta re-presentada, y se indica mediante su dibujo en formade linea de trazos discontinuos.

19 Representar el conjunto de puntos tales quetienen su abscisa mayor que 2,5. Colorear la re-gion indicada.

Lo que pide el enunciado es equivalente a colorear laregion del plano que contiene todos los puntos talesque su primera coordenada, es decir, la x, satisfaceque x > 2,5. Localizado este valor en el eje horizon-tal y trazada una linea discontinua vertical que pasapor el, se colorea el semiplano que determina a suderecha:

-2 -I 2 I 3 XX -I I

I-2 I

I

18 Colorear en el plano cartesiano la region delconjunto de puntos que satisfacen que su abscisaes menor que 2.

El conjunto de puntos que tienen su abscisa men orque 2 es el conjunto de puntos del plano cartesianotales que x < 2. La recta x = 2 es una vertical quepasa por el punto 2 del eje de abscisas, y toda rectavertical que se encuentre a su izquierda tendra su abs-

20 Colorear la region determinada por los pun-tos que tienen su ordenada menor que 4.Los puntos solicitados en este ejercicio son aqueUostales que y < 4. Para dibujar esta region, se empiezapor representar la recta y = 4, es decir, la recta hori-zontal que pasa por el punto 4 del eje de las y; comosus puntos no cumplen la condicion de ser menoresque 4, se debe formar con trazos discontinuos. Delmismo modo, pero con lfneas continuas, se trazariael conjunto de rectas horizontales que pasan por pun-

tos reales del eje de ordenadas menores que 4, como3,9, 3,7, 3, 2,5, etc. La representacion de todas ellases la imagen deseada:

____~L---------

21 Colorear la region del plano determinada por lospuntos que satisfacen x ::;o.

22 Sefialar el conjunto de puntos del plano talesque x> 1,2 y colorear la region que determinan:

X

-2 -1 11 2-1 I

I-2

II

23 Colorear la region del plano definida por lospuntos que satisfacen la condicion x :::::3.

24 Representar en el plano el conjunto de puntosque satisfacen y < 2.

25 Marcar en un gnifico el area ocupada por lospuntos con ordenada mayor que 1,5.

26 Representar y colorear la siguiente region delplano delimitada por la expresion y 2:O.

Para identificarlos, 10 mas f<lciles dibujar ambas re-giones sobre el mismo plano cartesiano:

-2 X

-2 -1 X-I

~-2

27 Dibujar y colorear la siguiente franja en elplano cartesiano: 1 < x < 3.En primer lugar, se representan las regiones 1 < x (010 que es 10 mismo, x> 1), y x < 3:

2 31

IIII

Una vez representadas las dos situaciones, la que in-teresa es la interseccion entre ambas, es decir, lospuntos que se encuentran en las dos regiones ala vez.

Una vez hecho, se observa que la region que coinci-de y por tanto, la requerida en el ejercicio, es la queaparece a continuacion:

28 Representar la siguiente region en el plano car-tesiano: 1,5 < x < 4, S.

IIIIIIIIII4-----+I 5 XII1III

29 Marcar los puntos del plano cartesiano que de-terrninan la expresion -2 < x S 1.

31 Representar la region del plano comprendidapor los puntos que cumplen que -3 < y s 12.

i2 -Ij -I

(III

30 Marcar en los cuadrantes de un sistema cartesia-no el area que corresponde a los puntos definidos porla expresion 2,5 s y s 13.

32 Colorear la superficie deterrninada por la regioncuyos puntos cumplen la condicion 2,5 :?: Y :?: -2,5.

~l_

(ODIGO (pag. 242): Las filas se numeran dell al 5 de arriba abajo, y las columnas, de izquierda a derecha. A cada casilla Ie corresponde unnumero formado por dos digitos: el primero indica la fila y el segundo, la columna. Asi pues, A = 21, B = 23 y ( = 55.