13 Matematicas y Literatura El Numero de Dios

ESTALMAT CASTILLA Y LEN

MATEMTICAS Y LITERATURA: EL NMERO DE DIOS

PROYECTO ESTALMAT CASTILLA Y LEN 1

1. Para empezar... algunos nombres

En esta novela aparecen algunos nombres de matemticos o de

personas relacionadas con las matemticas:

- Pitgoras - Ptolomeo - Alperagio - Abenragel

Repasando los nombres anteriores, vemos que falta uno; es italiano

y vivi entre los siglos XII y XIII. Quin es? Expn aqu sus principales

aportaciones a las matemticas.

2. El arco ojival

El arco ojival es una de las caractersticas fundamentales del estilo

gtico:

la nueva arquitectura introdujo el arco ojival de dos centros, de

forma apuntada, y el arbotante. (pg. 33)

A) Dibuja dos circunferencias tales que el centro de una de cada una

de ellas sea un punto por el que pasa la otra. La zona comn a las dos se

llama vesica piscis y contiene el arco ojival. Comprubalo en el dibujo.

B) Construye con regla y comps un tringulo equiltero sabiendo la

longitud del lado. Comprueba que as tambin se puede obtener un arco

ojival.

C) Por qu crees que se dice en el libro el arco ojival de dos

centros? Cules son los dos centros? Qu otro famoso arco es de un

solo centro?




D) A veces, los arcos ojivales van

superpuestos unos sobre otros, adornados con

circunferencias tangentes. Construye uno con

regla y comps, para ello puedes suponer que

conocemos la longitud del lado del tringulo

equiltero principal (mayor), y averigua despus

los dems datos esenciales en funcin del

conocido: centros de las circunferencias, radios

de las circunferencias, lados de los dems

tringulos equilteros, etc.

3. Las proporciones matemticas

A lo largo del libro se mencionan las proporciones en multitud de

ocasiones:

Todas las medidas, todas las proporciones [de la catedral] estn

regidas por el nmero de Dios. (pg. 104)

Ese es el secreto de esta catedral: est construida siguiendo las

proporciones del nmero ureo, el que Dios eligi para construir el

universo... (pg. 134).

La belleza ... est en la proporcin. (pg 207)

Hemos conseguido que en la nueva catedral se refleje la proporcin

matemtica del nmero de Dios, lo que significa copiar la proporcin

numrica con la que Dios, el gran arquitecto, construy el universo.

Las proporciones que ese nmero representa son las mismas que

rigen el orden del mundo... (pg. 208).

Y el nmero de Dios era la proporcin perfecta que haba sido

revelada al hombre ... (pg 365).

A) En todas estas citas se habla de proporciones matemticas. Qu

es una proporcin? Pon ejemplos de proporciones en las que intervengan




cuatro nmeros y otras en las que intervengan tres, siendo uno de ellos

medio proporcional.

B) Tambin se habla del nmero de Dios, del nmero ureo... Cul

es, segn el libro, ese nmero? Escribe su valor en forma de fraccin y en

forma decimal.

El nmero de oro lo podemos encontrar desde el conocimiento

matemtico, viendo su origen, las proporciones que lo originan... :

C) Partiendo de un rectngulo ureo, encontrar el nmero de oro y

explicar el proceso desarrollado para su obtencin.

D) Hacer lo mismo que en la pregunta anterior, pero partiendo de

un segmento que se desea dividir en dos partes a y b, de forma que se

cumpla proporcin:

bab

ba

+=

Una vez que conocemos el nmero de oro, surge una cuestin de

forma natural:

E) Compara el nmero de oro obtenido matemticamente con el

nmero de Dios de la novela. Qu ocurre? A qu puede deberse?

4. Manejando el nmero de oro

El nmero de oro, que se denota habitualmente por la letra griega

es un nmero de los llamados irracionales.

A) Qu significa ser un nmero irracional?

B) Demuestra los siguientes resultados que verifica:

11=+ ; 111 2 =+

; ; 012 = 22 . =+

C) Investiga la relacin que hay entre el nmero de oro y la

sucesin que lleva el nombre del matemtico italiano que has estudiado

en la primera pregunta del cuestionario.




D) Demuestra que la sucesin de nmeros es una

progresin geomtrica en la que cada trmino, a partir del tercero, es

igual a la suma de los dos anteriores, es decir, que siendo n

un nmero natural cualquiera.

...,,,,,1 432

21 ++ =+ nnn

E) Demuestra que si una sucesin de nmeros es una progresin

geomtrica y cada trmino (a partir del tercero) es suma de los dos

anteriores, entonces es de la forma siendo a el

primer trmino de la sucesin.

...,,,,, 432 aaaaa

F) Demuestra que en un pentgono regular, el cociente entre las

longitudes de una diagonal y un lado es igual a .

5. Medidas tradicionales

En varios momentos, los personajes hablan de distintas medidas y

sus correspondientes unidades:

Para la construccin de la nave mayor

y sus dos laterales desde el crucero

hasta la que sera portada principal,

empleara como medida el pie de Pars,

una medida que equivala a

exactamente a la longitud de su palmo

de la mano, con los dedos totalmente

extendidos, ms la anchura de cuatro

dedos. (pg. 307).

Seguir aplicando el pie de Pars para las medidas pequeas, pero

para las proporciones totales usar el codo de Chartres, dos palmos mos

ms cuatro dedos. Es la medida que utiliz mi padre en la catedral de mi

ciudad: viente codos de anchura, cincuenta de altura, cien de longitud, y

la longitud del crucero una quinta parte de la longitud de la nave central..

(pg 308).




La medida principal de longitud era el pie, pero el pie de Pars no

era el mismo que el de Chartres o que el de Castilla.

A) Expresa, en unidades de medida tradicionales, las dimensiones

de las catedrales de Burgos y de Len. Dnde aparece el nmero de

Dios?

B) Recopila unidades de medida tradicionales de longitud, superficie

y volumen, usadas en la pennsula ibrica en la Edad Media.

C) Cmo se medan en esa poca los ngulos? Aprovecha esta

ocasin para explicar el error que hay en la construccin de la catedral de

Burgos.

6. Los rosetones...

En las catedrales gticas sobresalen por, su belleza, los rosetones de

las distintas fachadas. Esto tambin podemos observarlo en el libro:

Enrique quiso destacar el gran rosetn de la fachada sur, de ah

que lo convirtiera en un elemento casi exento, rodeado tan slo por

sillares carentes de cualquier decoracin. A finales de 1235 orden que se

comenzaran a esculpir las piezas de la trama de piedra del rosetn del

Sarmental... (pg 257)

A) Escribe el proceso de construccin del rosetn hasta su

colocacin en la fachada.

B) Observa el rosetn de la puerta del

Sarmental y averigua cuntos ejes de

simetra tiene. En general, un rosetn de n

lados, ptalos o sectores, cuntos ejes de

simetra tiene?

C) Las figuras geomtricas con regularidades suelen tener ejes de

simetra. Busca los ejes de simetra de un cuadrado y los de un tringulo

equiltero.




D) Busca los planos de la planta de algunos edificios histricos y

encuentra sus ejes de simetra.

7. Entremos en el laberinto

Algunas catedrales poseen lo que se denomina un laberinto. Este

elemento tambin aparece en el libro:

Se trata de una lnea trazada en piedra azul y blanca que da

vueltas y ms vueltas sobre s misma. (pg 268)

La gente lo llama el laberinto, pero no es eso. Se trata del camino

hacia la luz. (pg 268)

Todas las grandes iglesias de Francia tienen un laberinto, que en

realidad no es tal, sino una representacin del camino de la vida. (pg

399)

A) Averigua las medidas del laberinto de la catedral de Chartres y

dibjalo. Haz lo mismo con otros laberintos de catedrales o de jardines.

B) Cul es el laberinto ms famoso de la Grecia Clsica? Explica el

mito en el que aparece.

C) Qu se quiere simbolizar con la colocacin de un laberinto?

Relacinalo con el conocimiento matemtico o la resolucin de problemas

de matemticas.

D) Haz una clasificacin de los distintos tipos de laberintos.

E) Hay algn mtodo til para tratar de encontrar la salida de un

laberinto? Explica alguno.

8. El octgono maravilloso

Admira el cimborrio de la catedral de Burgos

y averigua:

A) El rea del octgono principal (suponemos

que es regular).

B) El rea de la estrellas de ocho puntas.




Los datos reales que necesites debes buscarlos por

tu cuenta.

Aprovechando que el cimborrio tiene forma octogonal, averigua lo

que es la proporcin cordobesa y calclala utilizando el octgono del

cimborrio.

9. Otros nmeros escondidos

A partir del cuadrado, del tringulo equiltero y de la proporcin

urea, el nmero de Dios, construir un edificio se converta en un ejercicio

matemtico basado en los nmeros, en la geometra y en la simbologa

divina. (pg. 365)

La lectura de ese tratado le hizo reflexionar sobre la perfeccin de

las figuras geomtricas y la presunta irracionalidad y contradiccin de que

las medidas ms perfectas, como el crculo, la diagonal de un cuadrado o

la extensin infinita de la proporcin urea, eran precisamente las ms

fciles de dibujar. (pg. 368).

Como puedes ver, en las figuras geomtricas elementales podemos

descubrir nmeros irracionales con mucho significado y simbolismo; por

ejemplo, como hemos hecho en otra actividad, el nmero de oro en un

rectngulo particular.

A continuacin, te vamos a proponer varias figuras y nmeros para

que encuentres el proceso mediante el cual se relacionan:

A) La circunferencia y el nmero .

B) El cuadrado y 2 .

C) El tringulo equiltero y 3 .

D) Qu rectngulo sencillo nos puede dar 5 ? Cmo se hace?

E) En la figura siguiente (las circunferencias son de radio 1 y el

centro de cada una es un punto de la otra) aparecen casi todos los

nmeros anteriores , 2 , 3 y 5 como longitudes de determinados




segmentos o arcos. Qu longitudes son? Averigua el nmero que falta y

seala en el dibujo su lnea correspondiente.

10. La catedral y los teoremas

Esta catedral es un teorema, slo un teorema que ha sido

elegantemente resuelto: geometra y matemticas, nada ms.(pg. 485)

La palabra teorema tiene un significado muy importante en el

conocimiento matemtico. Tanto es as que algunos llevan el nombre de la

persona que lo enunci o lo demostr por primera vez.

A) Explica lo que es un teorema matemtico.

B) Enuncia y demuestra algn teorema que conozcas.

11. Los planos y los dibujos de la realidad

Los constructores de catedrales tenan que usar representaciones

manejables de lo que queran construir: dibujos, maquetas o cualquier

otra estrategia.

... despleg un enorme pergamino en el que haba dibujado la

planta de la futura catedral... (pg 104)

... les presentaba un dibujo en el que con unas rayas se expresaba

la forma de la planta en un tamao cuyas medidas estaban

proporcionalmente reducidas. (pg 104)

A) Qu significa la expresin proporcionalmente reducidas?




B) La relacin de semejanza entre un dibujo y la realidad que

representa puede venir dada por un nmero. Cmo se llama ese

nmero?.

C) Averigua la escala de los dibujos de las plantas de las catedrales

de Burgos y Len, que estn al principio del libro.

D) Con la escala calculada anteriormente, averigua las dimensiones

aproximadas del claustro de la catedral de Burgos.

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