Historia de la trigonometríaBreve revisión histórica de la trigonometría.

Algunas aplicaciones de la trigonometría en la antigüedadCuatro artículos interesantes que muestran distintas utilidades de la trigono-metría.

• El tiro con catapulta.

• Cómo Eratóstenes midió el radio de la tierra.

• Midiendo distancias.

• El túnel de Samos.

Claudio TolomeoBreve historia de este matemático y astrónomo griego del siglo II d. de C.

Los cuerpos regulares y la astronomía

Se puede oír la forma de un tamborLa forma de un tambor le confiere un sonido especial. Y los sonidos se puedendescribir mediante funciones con muchos senos y cosenos.

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HISTORIA DE LA TRIGONOMETRÍA

Origen de la trigonometría

La astronomía de los matemáticos griegos antiguos (Pitágoras y sus primerosseguidores), en los siglos VI, V y IV a. de C., consistió fundamentalmente en des-cripciones y especulaciones aventuradas sobre los astros.

Más adelante, sin embargo, se fue poniendo de manifiesto que era necesario hacerde la astronomía una ciencia más exacta, fundada en mediciones y en una mate-mática apropiada, que permitiera predecir con precisión los eclipses y los movi-mientos de los astros, para hacer los calendarios más exactos y la navegación mássegura. Así nació la trigonometría con Hiparco, un griego del siglo II a. de C.

Los tres matemáticos griegos a quienes más debe la astronomía antigua fueronHiparco, del siglo II a. de C., Menelao, del siglo I d. de C. y, sobre todo, Tolomeodel siglo II d. de C., con quien la astronomía alcanza una de sus cumbres.

Tolomeo escribió un tratado que llamó Syntaxis Mathematica, es decir ColecciónMatemática, que los matemáticos árabes apreciaron tanto que se referían a élcomo La Gran Colección (Al Magesto), en griego, Megale Syntaxis.

Una gran parte de los teoremas de nuestra actual trigonometría eran perfectamen-te conocidos y utilizados con destreza por Tolomeo.

Desarrollo

La trigonometría se ocupa, principalmente, de estudiar la relación entre lados yángulos de un triángulo, y surgió por razón de las necesidades de la astronomía, lacartografía (construcción de mapas), la artillería, ...

La trigonometría, que necesitó para su desarrollo de elementos de aritmética (parala configuración de tablas), álgebra (para establecer fórmulas que relacionan ángu-los y lados en un triángulo) y geometría, tuvo un florecimiento mucho más tardíoque la geometría.

Es curioso que la trigonometría esférica, es decir, la que estudia los triángulos delados curvilíneos que, similares a los de la ilustración, se forman sobre la superfi-cie de la esfera, se desarrollara antes que la trigonometría plana que hoy nos pare-ce mucho más elemental.

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Esto se debió al interés práctico más cercano de la esfera para cálculos astronómicos yde navegación. Indios y árabes se dedicaron de forma primordial al estudio de esteaspecto y lo llevaron a cabo con notable éxito, de forma sistemática, hacia mediadosdel siglo XIII.

Los protagonistas en Europa

La obra de los árabes llego a la Europa Occidental a través de España y, entre lospersonajes importantes de este proceso, se encuentra Jabir de Sevilla, quien en elsiglo XI obtuvo importantes resultados sobre triángulos esféricos.

El astrónomo prusiano Johann Müller (Regiomontano) en el siglo XV, fue el pri-mer europeo en sistematizar los conocimientos trigonométricos. Más adelante,con el desarrollo de la aritmética y el álgebra, su obra fue notablemente simplifi-cada.

El teorema del coseno para la resolución de triángulos planos fue introducido porVieta en el siglo XVI.

Los logaritmos de Napier (o Neper) empezaron a hacer más fáciles los cálculos dela trigonometría a comienzos del siglo XVII.

Se puede considerar que la trigonometría alcanza su punto culminante con la apa-rición de las series de Fourier, a principios del siglo XIX, con las que la trigonome-tría se une estrechamente al análisis, proporcionando un instrumento sin prece-dentes para la exploración de las vibraciones y movimientos periódicos que portodas partes aparecen en la naturaleza.

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ALGUNAS APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA EN LA AN-TIGÜEDAD

El tiro con catapulta

Tales de Mileto aprendió de los egipcios a medir la altura de un árbol de formasimilar a como tú lo has aprendido en este tema. No te hace falta subir a su copay echar una cinta métrica desde arriba; basta medir la longitud de su sombra enel momento en que la altura de una estaca vertical clavada en el suelo es igual a lalongitud de su sombra. O de otra forma: basta medir la longitud s de la sombradel árbol cuando la longitud de una estaca vertical es, por ejemplo, 4 veces la lon-gitud de su sombra. La altura del árbol es, entonces, 4s.

Un problema interesante con que Tales se encontró al volver a su ciudad deMileto, en la costa griega, consistía en averiguar la distancia a que está un barcoenemigo anclado frente a su costa. Si sabía la distancia, podría adivinar mejor conqué catapulta (la de largo, mediano o corto alcance), podría darle una buenapedrada.

Tales debió acordarse de los egipcios y pensó que el problema era muy parecido alde calcular la distancia desde la copa de un árbol al suelo (para el que poseía unareceta); era una distancia inaccesible lo que había que medir, pero ahora desde unpunto del mar a la costa.

— Si hubiera un sol debajo del agua que ofreciera una sombra... ¡Fantasías! Pero,¿qué falta me hace el Sol?—pensó—. La línea de luz desde el barco a mi ojo tambiénes una línea recta. Y puedo valerme del acantilado, que sé que mide 100 codos dealtura sobre el mar.

Tales se situó en la cornisa del acantilado y miró al barco. Sacó una vara por lacornisa hasta que su punta coincidió, en la visual, con el barco. Midió la vara (10codos), midió la altura de sus ojos sobre la vara (5 codos) y se dijo: — ¡Eureka!La distancia es de 200 codos. Con mi catapulta de alcance medio... ¡Diana!

510

100

Cómo Eratóstenes midió el radio de la Tierra

Eratóstenes de Cirene, un griego del siglo III a. de C., calculó por vez primera elradio de la Tierra con una exactitud extraordinaria para los métodos de que disponía.

La idea de su cálculo es muy sencilla: si se toman dos puntos, A y S, sobre unmismo meridiano y se puede medir el ángulo α y la distancia l medida sobre elarco AS del meridiano que pasa por los dos puntos, por una sencilla regla de tres:

= =

De este modo: R =

Lo difícil, por supuesto, era determinar el ángulo α y la distancia l.Eratóstenes eligió como punto S una ciudad del sur de Egipto llamada antigua-mente Siena (la moderna Aswan, donde se ha construido recientemente, un em-balse del Nilo). Allí, había un profundo pozo cuyo fondo iluminaba el Sol un me-diodía de verano. El punto A era Alejandría, ciudad situada en el mismomeridiano que Siena, el Sol no caía vertical, sino separándose de la plomada un

ángulo que valía de la circunferencia.

Utilizando probablemente el tiempo de viaje de una caravana o, tal vez, medidoresexpresamente contratados para ello, determinó que la distancia entre Alejandría ySiena era de 5 000 estadios, es decir, 926 km. Por tanto el radio de la Tierra debía ser:

R = = 7 372 km

bastante aproximado a los 6 378 km que revelan las mediciones más modernas.

360o

2π926

360/50

1

50

360o

2πlα

2πR360 o

longitud total merididano

360 o

lα

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α

RAYODE SOL

ALEJANDRÍA

SIENA

S

Al

α

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Midiendo distancias

A fin de realizar con precisión mapas topográficos para la construcción de carrete-ras, túneles, etc... se utiliza, con preferencia, el método de las triangulaciones.

Se basa en el hecho de que si en un triángulo se conocen un lado y dos de susangúlos, o bien dos lados y uno de los ángulos, entonces, se pueden calcular fácil-mente los restantes elementos del triángulo.

Así, si se quiere calcular la distancia entre dos puntos A y B (por ejemplo lospicos inaccesibles de dos montañas), se puede proceder como sigue:

En el valle se señalan dos puntos C y D cuya distancia se pueda medir fácil-mente con cinta métrica u otro método cómodo. Desde C se miden los ángulosACD y ACB. Desde D se miden, también, los ángulos ADC y BDC. Ahoracomo en el triángulo ADC se conocen b, ACD y ADC, se calcula la distanciaAC. También, como en el triángulo BCD se conocen b, BCD y BDC, se cal-cula la distancia BC. Finalmente como en el triángulo ABC tenemos calculadosBC y AC y hemos medido el ángulo ACB, se puede calcular x.

El método de triangulación fue utilizado por los egipcios, griegos y otros pueblosde la antigüedad, pero midiendo los ángulos de forma muy rudimentaria.

El túnel de Samos

Una de las construcciones más notables de los griegos antiguos fue el túnel deSamos, en el que, indudablemente, emplearon la triangulación. Samos es la islamás oriental del Mediterráneo.

El túnel fue realizado en el siglo VI a. de C. para llevar agua desde las fuentes delmonte Castro a la ciudad, situada a la otra ladera del monte; tenía unos dosmetros de diámetro, casi un kilómetro de longitud y se excavó partiendo simultá-neamente de los dos extremos, lo que suponía una planificación tecnológica sor-prendente. Aunque hubo un pequeño fallo de precisión y tuvieron que lograr launión de los dos túneles con una pequeña curva, la construcción del túnel supusouna verdadera hazaña.

B

A

C

b

x

D

CLAUDIO TOLOMEO

De la vida de unos cuantos de los hombres más famosos de la antigüedad noconocemos casi nada. Uno de ellos es Claudio Tolomeo, el más grande de losastrónomos griegos y que, al mismo tiempo, fue un importante matemático ygeógrafo. Todo lo que se sabe con certeza de él, es que realizó su obra más impor-tante en Alejandría, en la desembocadura del Nilo, centro cultural de la civiliza-ción helenística en el siglo II d. de C.

Sin embargo, su obra más importante, Al Magesto, ejerció una influencia prepon-derante en la astronomía por más de 15 siglos.

La astronomía de Tolomeo está fuertemente influida (como la de Apolonio y losgriegos más antiguos), por la suma veneración hacia la circunferencia y la esfera,herencia de los pitagóricos. Los movimientos de los astros se explicaban mediantecombinaciones de movimientos circulares uniformes y, cuanto mayor era la exac-titud de las observaciones, más complicadas se hacían tales combinaciones demovimientos circulares para poder encajar, en ellos, los movimientos reales obser-vados. La habilidad matemática de Tolomeo para lograrlo fue realmente impresio-nante.

Sólo a comienzos del siglo XVII, cuando las observaciones más exactas de TychoBrahe comenzaron a sugerir a Kepler la conveniencia de buscar otra explicación,introduciendo órbitas elípticas, la cultura occidental comenzó a abandonar, congran pesar, la explicación a través de movimientos cirlulares de los antiguos.

La influencia de la obra geográfica de Tolomeo, Guía de Geografía, también fuemuy importante, aunque no tan acertada como la de su astronomía. La confianzade Cristóbal Colón en poder encontrar un nuevo camino hacia las Indias (AsiaOriental), estuvo basada en los cálculos falsos de Tolomeo, según los cuales Asia seprolongaba hacia el este mucho más de lo que en realidad lo hace, con lo quequedaría, según Tolomeo, mucho más cerca saliendo por el oeste.

Si Colón hubiera sabido lo lejos que estaba Asia por esta ruta, no se hubiera atre-vido nunca a salir allá. Es más, cuando se topó con el continente americano, y pormucho tiempo, nadie pudo persuadirle de que aquello no era Asia.

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LOS CUERPOS REGULARES Y LA ASTRONOMÍA

La fe de Johannes Kepler

Johannes Kepler, nacido en Alemania en 1571 es el descubridor, por caminosextraños, de las tres leyes fundamentales del movimiento de los planetas alrededordel Sol.

Un día, en 1594, cuando se disponía a dar una clase en la ciudad austriaca deGraz, se le ocurrió una extraña idea sobre el sistema planetario que se apoderó deél por mucho tiempo. Los planetas conocidos en su tiempo eran 6. Los sólidosregulares posibles, según sabían ya los griegos, eran 5. Kepler estaba fuertementeimbuido de las ideas de Pitágoras. Aquello no podía ser casualidad. Tenía quehaber alguna conexión. Construyendo los sólidos regulares del tamaño adecuadose pueden colocar todos concéntricos de tal forma que permitan introducir seisesferas alternativamente inscritas y circunscritas a los sólidos regulares. ¡Aquí esta-ba la razón profunda de que los planetas fueran 6 y no 15 ó 25! ¡En estas 6 esferasse movían los planetas existentes alrededor del Sol! Además esto permitía estimarlas distancias de los planetas al Sol. Es curioso que, a pesar de la falsedad de lahipótesis de principio (hay unos cuantos planetas más de los que Kepler conoció),las distancias calculadas no le resultaron tan disparatadas como uno podría suponer.

Más adelante Kepler abandonaría su hipótesis ante la imposibilidad de ajustarmediante círculos la órbita de Marte. Pero lo que no abandonó fue la convicciónde que las matemáticas andaban por medio de todo aquello. Esto le llevó a for-mular sus tres leyes:

a) Los planetas recorren elipses, uno de cuyos focos es el Sol.

b) Las áreas barridas por el segmento que va del Sol a un mismo planeta en tiem-pos iguales son iguales.

c) El cubo del semieje mayor de la elipse que un planeta cualquiera recorre dividi-do por el cuadrado del tiempo que este planeta invierte en recorrerla resulta serun número independiente del planeta que se elija.

La fe profunda de Kepler en la inteligibilidad matemática del Universo produjo elmilagro del hallazgo de estas tres leyes. Ellas sirvieron a Newton más tarde paraconvencer al mundo de la validez de su ley de gravitación universal, al deducirmatemáticamente las tres leyes de Kepler a partir de su ley sobre la gravedad.

¿SE PUEDE OÍR LA FORMA DE UN TAMBOR?

Éste es el provocativo título de un famoso artículo escrito por un matemático pola-co afincado en Estados Unidos, Mark Kac.Los tambores, en general, se hacen con una membrana circular, pero supongamosque, por un capricho, hemos construido uno cuya membrana tiene forma triangu-lar, pentagonal u otra figura más extraña aún. Con sólo oír cómo suena ese tambor,diseñado tan caprichosamente, ¿serémos capaces de decir qué forma tiene exacta-mente?

Sí, y el instrumento matemático ade-cuado para ello es el análisis armónico.El sonido lleva consigo una cantidadde información verdaderamente asom-brosa, que se puede expresar medianteuna suma de senos y cosenos. A travésde ella la forma del tambor es calcula-ble.

Si pensamos un poco en nuestro pro-pio oído, tal vez esto no nos resultetan asombroso. Nuestro oído es un excelente analizador armónico, aunque no nosproporcione un resultado en forma matemática. Con él, somos capaces de distin-guir, en pocos segundos y a pesar de la contaminación y el ruido de nuestro teléfo-no, una voz conocida, entre miles.

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