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SEGMENTOS Introduccin

Antiguamente la distribucin de los terrenos o la tarea de dar la forma a los bloques de piedra para la construccin de templos o pirmides exigieron a los egipcios el trazado de lneas rectas, ngulos; y en consecuencia tuvieron la necesidad de trabajar con sus respectivas medidas.

Actualmente con las medidas de las lneas y de

los ngulos se sigue trabajando como por ejemplo: los topgrafos al realizar levantamientos topogrficos utilizan un instrumento para medir ngulos (teodolito); as mismo realizan el trazado de lneas y trabajan con su medida. GEOMETRA

Es una rama de las matemticas que tiene por objetivo estudias a las figuras geomtricas propiedades y caractersticas independientemente de su tamao.

ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE LA GEOMETRA

Estos elementos no tienen definicin, de ellos solamente tenemos una idea.

Punto Recta Plano

Notacin Punto A

Notacin Recta L

Notacin Plano H

Rayo

Porcin de recta que se determina al ubicar un punto en ella.

Notacin: Rayo OA:

SEGMENTO

Es una porcin de recta limitado por dos puntos denominados extremos.

A y B: extremos Notacin Segmentos de extremos A y B: Longitud de : AB (AB = b) PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Es el punto que divide al segmento en dos segmentos de igual longitud.

Si: AM = MB Entonces: M: punto medio del PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. En una calle recta de 870m de longitud estn ubicados 30 rboles separados a igual distancia. Calcular la distancia de separacin.

2. Se ubican en una recta los puntos consecutivos A, B, C, y D, de modo que

52

+= xAB , 35

=

XBC , 57

=CD ,

AD = 45cm. Calcular el valor de x.

3. En una recta estn ubicados los puntos A, B, C, D, y E, de modo que BC = 1m, CD = 2m, DE = 3m, AD = a. Calcular AE AC

4. Dados los puntos colineales A, B, C, y D de manera que: AB = 3x + a, BC = 7m, CD = 3x a, AD = 19m. Calcular el valor de x

5. Dado los puntos colineales A, B, C, D y E. Tal que: AB= x2, BC = x5, CD = y3 (DE = y2). AC = CE. Calcular x y.

6. En una recta estn ubicados los puntos A, B, C, D, E. Si: CD = 2(AB) y DE = 2(BC) y AE = 27 cm. Calcular AC

7. Con los puntos colineales A, B, C, D, E y F se tiene: AB = 1m, BC = 2m, CD = 3m, DE = EF y BD = DE. Calcular AF.

8. En una recta se ubican los puntos A, B, C, D, E, en forma consecutiva, tal que: BC = 3m, CD = 5m, AB DE = 1cm. Calcular AC DE.

9. Segn el grfico CD=3(AB)=12 y BM = MC = 5. Calcular. AB+BC+CD.

10. Del grfico Calcular AC + BD

11. Segn el grfico AD = 67. Calcular x

12. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos: A, B, C, y D tal que: AD = 10m, AC = 6m y BD = 7m. Calcular BC

13. Se tienen los puntos colineales A, B, C, y D. Si: 4BD + 3CD = 18BC, y 3AC 2AB = 20, hallar AD

14. Si 0 es el punto medio del y M es punto cualquiera de hallar el valor de k, si:

OMMBAMK =

15. Sobre una recta se disponen de los puntos

consecutivos A, B, C, y D, donde AD = 2AB. Calcular AD si BD2 + 9 =6 BD.

PROBLEMAS PARA LA CASA

1. En una avenida recta de 702m de longitud estn ubicados 40 postes separados a igual distancia. Calcular la distancia de separacin A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20

2. Se ubican en una recta los puntos consecutivos A, B, C y D, de modo que

512 += xAB , 5

4=

xBC , 54

=CD ,

AD=32, Hallar x. A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20

3. En una recta estn ubicados los puntos A, B, C, D, y E de modo que BC = 4m, CD = 6m, DE = 3m, AD = k, Calcular AE AC A) k+1 B) 9m C) k1 D) k+3 E) k2

4. Dados los puntos colineales A, B, C y D de

manera que: AB=5x+k, BC=10m, CD=5xk, AD =

40, hallar el valor de x

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

5. Dados los puntos colineales A, B, C, D y E tal que

AB = x4, BC = x7, CD = y6, DE = y3, AC = CE,

calcular xy

A) 4 B) 3 C) 2

D) 0 E) 1

6. En una recta estn ubicados los puntos A, B, C,

D y E. SI: CD = 3(AB) y DE = 3(BC) y

AE = 32, hallar AC:

A) 10 B) 8 C) 6

D) 5 E) 4

7. Con los puntos colineales A, B, C, D, E y F, se tiene. AB = 2, BC = 4, CD = 6, DE = EF y BD = DE. Calcular AF A) 12 B) 22 C) 32 D) 42 E) 52

8. En una recta se ubican los puntos A, B, C, D y E en forma consecutiva, tal que: BC = 4, CD = 5, AB DE = 2, Calcular AC DE A) 2 B) 2,5 C) 3 D) 3,5 E) 4

9. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, y D tal que: AD = 20m, AC = 16m y BD = 17m. calcular BC: A) 11m B) 12m C) 13m D) 14m E) 15m

10. Se tienen los puntos colineales A, B, C y D. Si 5BD + 4CD = 32BC y 4AC 3AB = 42. Hallar AD A) 39 B) 41 C) 42 D) 54 E) 86

Sabas que..

18

DEFINICIN ngulo es la unin de dos rayos que tienen un

origen comn. ELEMENTOS - Lados: Son los rayos y - Vrtice: Es el origen comn B

BISECTRIZ DE UN NGULO

Es el rayo que partiendo del vrtice, divide al ngulo en dos ngulos congruentes.

divide al A0B en dos ngulos. P0A

y B0P

que son congruentes por

tener la misma medida luego. es bisectriz de A0B

CLASIFICACIN DE LOS NGULOS SEGN SU MEDIDA ngulo Nulo

Cuando sus dos lados coinciden midiendo de esta manera 0.

. mA0B = 0 . ngulo Agudo

Es el ngulo cuya medida es menor que 90 y mayor que 0.

. 0 < mA0B < 90 . ngulo Recto

Es el ngulo cuya medida es igual a 90.

. mA0B = 90 . ngulo Obtuso

Es el ngulo cuya medida es menor que 180 pero mayor que 90.

. 90 < mA0B < 180 . ngulo Llano

Es aquel cuya medida es 180. (sus lados se encuentran extendidos en direcciones opuestas)

. mA0B = 180 . ngulo de una Vuelta

Es el ngulo cuya medida es 360

. mA0B = 360 .

CLASIFICACIN DE LOS NGULOS SEGN SU POSICIN ngulo Consecutivo

Son los que tienen lados en comn y el mismo vrtice

ngulo Opuestos por el Vrtice

Son dos ngulos que tienen el mismo vrtice y sus lados son opuestos (tienen la misma medida)

CLASIFICACIN DE LOS NGULOS SEGN LA COMPARACIN DE SUS MEDIDAS ngulo Complementario

Dos ngulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90.

. + = 90 . ngulo Suplementario

Dos ngulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180

. + = 180 .

TEOREMAS FUNDAMENTALES Teorema I

La suma de las medidas de los ngulos consecutivos formados alrededor de un mismo vrtice y a un mismo lado de una recta es 180

. + + + = 180 . Teorema II

La suma de las medidas de los ngulos consecutivos formados alrededor de un punto en un plano es 360.

. + + + + = 360 .

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. Se tiene los ngulos consecutivos A0B, B0C y C0D, de tal forma que es bisectriz

del ngulo A0D; mA0B = 40. Calcular El valor de x

2. Segn el grfico, calcular mB0C, si mA0C+mB0D=280 y mA0D = 120.

3. Dados los ngulos consecutivos A0B, B0C y C0D, de tal forma que mA0B=20, mB0C = 30 y mA0D = 70. Calcular l medida del ngulo que forma la bisectriz del ngulo COD con el rayo

.

4. Cunto es la diferencia de las medidas de los ngulos A0B y C0D, si mBOD = 100?

5. Dados los ngulos consecutivos A0B, B0C y C0D de modo que: mA0C = 80, mB0D = 90 y mA0B = 30. Calcular mC0D.

6. Del grfico, calcular

7. Se tienen los ngulos consecutivos A0B, B0C y C0D, donde es bisectriz del mB0D y mA0B = 32. Calcular mB0C si 3(mA0C) + 2(mB0D) = 9mCOD

8. El complemento de , ms el suplemento de 2, es igual al suplemento del complemento de 3. Hallar .

9. La medida de un ngulo es: 624836. Halla

su complemento, en grados sexagesimales.

10. Se tienen los ngulos consecutivos A0B, B0C y C0D, de tal forma que es bisectriz del ngulo A0D; mA0B=60. Hallar x.

11. Dados los ngulos consecutivos A0B, B0C y C0D, de tal forma que mA0B=30, mB0C=40 y mA0D = 50. Calcular la medida del ngulo que forma la bisectriz del ngulo C0D en el rayo .

12. Cul es la diferencia de las medidas de los

ngulos A0B y C0D, si mB0D = 120?

13. Dados los ngulos consecutivos A0B, B0C y C0D, de modo que: mA0C = 70, mB0D = 100 y m=A0B=20. Calcular mCOD.

14. La suma del complemento de x, mas el suplemento del complemento de x, mas el suplemento del duplo de x, mas el complemento del duplo de x; y mas el suplemento del complemento del duplo de x es igual a 500. Calcular el suplemento del complemento del complemento de x.

15. La tercera parte de la mitad del complemento del suplemento de la medida de un ngulo excede en 8 a los 3/5 del complemento de la mitad de la medida del mismo ngulo. Calcular el suplemento de dicho ngulo

16. La suma de los complementos y suplementos de las medidas de dos ngulos es igual a 230. Si se sabe que la diferencia de las medidas de ambos ngulos es 15. Hallar el complemento de la medida del mayor ngulo.

17.

18. 19.

ngulos determinados por dos rectas paralelas y una recta secante a ellas. 1. ngulos Alternos

Internos Externos

Si: // Entonces:

. = .

Si: // Entonces:

. = .

2. ngulos Conjugados Internos Externos

Si: // Entonces: . + = 180

.

Si: // Entonces: . + = 180 .

3. ngulos Correspondientes

Si: // Entonces:

. = .

Propiedad 1

Si: // Entonces:

. x = + .

Propiedad 2 Si: //

Propiedad 3 Si: //

Propiedad 3 Si: //


1. Si: // // . Calcular x y

2. En la figura // // . Calcular x

3. En la figura // // . Calcular x

4. Segn el grfico // . Calcular x

5. Segn el grfico: // . Calcular x

6. Si // . Calcular x







31

32

TRINGULOS I: PROPIEDADES BSICAS TRINGULO

Es la figura que se forma al unir tres no puntos colineales. En la figura se muestra a tres tipos de tringulos

Rectilneo Mixlneo Curvilneo

TRINGULO RECTILNEO

Es el que se forma al unir tres puntos no colineales con segmentos de recta.

En adelante por fines didcticos al referirse a un tringulo rectilneo se har como simplemente tringulo.

Elementos: Vrtices : A, B y C Lados : , y o a, b y c Elementos asociados:

ngulos internos: ABC; BCA y CAB ngulos externos: PAB, BQC y RCA Notacin:

Tringulo ABC: ABC.

Regiones Determinadas

OBSERVACIN: REGIN TRIANGULAR: ES LA UNIN DE LA REGIN INTERIOR CON EL TRINGULO..

Permetro de la Regin Triangular ABC:

2P

. 2p = AB + BC + AC .

PROPIEDADES FUNDAMENTALES Suma de Medida de los Tringulos Internos

Se cumple:

. + + = 180 . Suma de Medidas de los ngulos Externos Considerando uno por cada vrtice

Se cumple:

. x + y + z = 360 .

Clculo de un ngulo Exterior

Se cumple:

. x = + . Propiedad de Correspondencia

Si: > > , se cumple:

. a > b > c . Relacin de Existencia

Si a b c, se cumple:

. b c < a < b + c .

. a c < b < a + c .

. a c < c < a + b .

Propiedades Adicionales 1.

Se cumple:

. x = + + .

2.

Se cumple:

. + = + .

3.

Se cumple:

. + = + . CLASIFICACIN

Los tringulos se clasifican teniendo en cuenta a sus lados a sus ngulos. Segn sus lados 1. Tringulo Escaleno

Es aquel que tiene los lados de diferentes longitudes

. a b c . Adems:

. .

2. Tringulo Issceles Es aquel que tiene dos lados de igual longitud

. a = b .

Adems:

. = .

3. Tringulo Equiltero Es aquel que tiene los lados de igual longitud

. a = b = c . Adems:

. = = = 60 .

Tringulo Rectngulo Es aquel que tiene un ngulo interior que mide 90.

Catetos: y Hipotenusa: Propiedad:

. b2 = a2 + c2 .


1. En el tringulo ABC, AB = BD. Calcular x

2. Segn el grfico, calcular

mADC, si: AE = ED, mACD=40 y el tringulo ABC es equiltero.

3. Segn el grfico: AB = BD y CD = CE. Calcular x.

4. Calcular mABC, si: AF=FC=DE=DF=EF

5. Calcular mACF, si: BC = CD y - = 50.

6. Calcular el valor de x, si: AE = EB = EF = FD = DC y mBAC = mFDA.

7. En la figura - = 12,

Calcular .

8. En la figura AB = BC, calcular x.

9. En un tringulo ABC, se cumple que las medidas de sus ngulos interiores son tres nmeros consecutivos. Calcular la medida del ngulo menor.

10. Segn el grfico, calcular x.

11. En el grfico: DE = EC = CF = FG. Calcular:

12. En el grfico mostrado: + + = 160. Calcular x

13. Calcular x + y

14. Calcular el valor de x

15. Calcular nm

zyx+

++

16. Segn el grfico, calcular el mnimo valor de x.

17. Segn el grfico, calcular el mnimo valor de x.

18. Segn el grfico, calcular el mximo valor de x.

19. Segn el grfico, calcular el mximo permetro.

20. Segn el grfico, calcular el mximo valor de a.

21. Segn el grfico, calcular el mximo valor de a.

22. Segn el grfico, calcular el valor de x.

23. Segn el grfico, calcular el valor de x + y.

46

LNEAS Y PUNTOS NOTABLES

ALTURA

Segmento que sale de un vrtice y corta en

forma perpendicular al lado opuesto o a su

prolongacin.

Ortocentro (H)

Es el punto donde se intersectan las tres

alturas de un tringulo.

H: Ortocentro.

PARA RECORDAR. TODO TRINGULO TIENE UN SOLO ORTOCENTRO. ES UN PUNTO INTERIOR SI EL TRINGULO ES ACUTNGULO. ES UN PUNTO EXTERIOR SI EL TRINGULO ES OBTUSNGULO. SI ES RECTNGULO EST EN EL VRTICE DEL NGULO RECTO.

MEDIANA Segmento que une un vrtice con el punto medio

del lado opuesto a dicho vrtice.

Baricentro (G)

Es el punto donde se intersectan las tres medianas de un tringulo. G: Baricentro

PARA RECORDAR. TODO TRINGULO TIENE UN SOLO BARICENTRO. DIVIDE A CADA MEDIANA EN RELACIN COMO 1 ES A 2. EL BARICENTRO ES SIEMPRE UN PUNTO INTERIOR. ES LLAMADO TAMBIN GRAVICENTRO O CENTRO DE GRAVEDAD DE LA REGIN TRIANGULAR.

BISECTRIZ

Segmento que divide a un ngulo interior o exterior en dos ngulos de igual medida.

Incentro (I)

Es el punto donde se intersectan las tres bisectrices interiores de un tringulo, es el centro de la circunferencia inscrita

PARA RECORDAR. TODO TRINGULO TIENE UN SOLO INCENTRO. EL INCENTRO EQUIDISTA E LOS LADOS DEL TRINGULO. EL INCENTRO ES SIEMPRE UN PUNTO INTERIOR DEL TRINGULO.

Excentro (E)

Es el punto donde se intersectan dos bisectrices exteriores con una bisectriz interior en un tringulo, es el centro de la circunferencia exinscrita

E: Encentro relativo de

PARA RECORDAR. TODO TRINGULO TIENE TRES EXCENTROS. LOS EXCENTROS SON SIEMPRE PUNTOS EXTERIORES AL TRINGULO.

49

50

MEDIATRIZ

Es una recta que pasa por el punto medio de un lado cortndolo en forma perpendicular.

: Mediatriz de Circuncentro (O)

Es el punto donde se corta las tres mediatices de un tringulo. C: Circuncentro, es el centro de la circunferencia circunscrita

PARA RECORDAR. TODO TRINGULO TIENE UN SOLO CIRCUNCENTRO. EL CIRCUNCENTRO EQUIDISTA DE LOS VRTICES DEL TRINGULO. ES UN PUNTO INTERIOR SI EL TRINGULO ES ACUTNGULO. ES UN PUNTO EXTERIOR SI EL TRINGULO ES OBTUSNGULO. SI ES RECTNGULO EST EN EL PUNTO MEDIO DE LA HIPOTENUSA.

Propiedad: Si: 0 es circuncentro

. x = 2 . CEVIANA

Segmento que une un vrtice con un punto cualquiera del lado opuesto o de su prolongacin.

Cevacentro (C)

Es el punto donde se intersectan tres cevianas de un tringulo.

PARA RECORDAR: TODO TRINGULO TIENE INFINITOS CEVACENTROS.

OBSERVACIONES: - PARA UBICAR UN PUNTO NOTABLE SLO ES NECESARIO TRAZAR DOS

LNEAS NOTABLES DE LA MISMA ESPECIE. - EN TODOS LOS TRINGULOS ISSCELES SI SE TRAZA UNA DE LAS

CUATRO PRIMERAS LNEAS NOTABLES HACIA LA BASE; DICHA LNEA CUMPLE LAS MISMAS FUNCIONES QUE LAS OTRAS.

- EN TODO TRINGULO EQUILTERO EL ORTOCENTRO, BARICENTRO, INCENTRO Y CIRCUNCENTRO COINCIDEN.

- EN TODO TRINGULO ISSCELES, EL ORTOCENTRO, BARICENTRO, INCENTRO Y EL EXCENTRO RELATIVO A LA BASE, SE ENCUENTRAN ALINEADOS EN LA MEDIATRIZ DE LA BASE.

52

PROPIEDADES CON LNEAS NOTABLES 1. ngulo formado por dos

bisectrices interiores.

. 2

90 ax += .

2. ngulo formado por dos

bisectrices exteriores.

. 2

90 ax = .

3. ngulo formado por una bisectriz

interior y una bisectriz exterior.

. 2ax = .

4.

. 2

45 ax = .

5.

. 2

bax += .

6.

. 2

bax += .


1. Hallar x en la figura



4. En la figura., hallar x

5. Hallar el valor de x en

6. En la figura hallar x

7. En un tringulo ABC, las bisectrices de los ngulos A y C. Se cortan en H. Si mAHC = 5(mABC), hallar mABC

8. En la figura, calcular


10. En la figura calcular el valor de x

11. Hallar el valor de x en la figura que se muestra


13. En la figura hallar CD si EC = 7

14. Hallar x en:

15. Hallar x en:


1. Calcular el valor de x en la figura

A) 50 B) 60 C) 80

D) 90 E) 110

2. En un tringulo PQR, las bisectrices de los ngulos P y R se cortan en S, si mPSC=8(mPQR), hallar mPQR

A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18


A) 12 B) 48 C) 24 D) 36 E) 50

4. Hallar x en:

A) 16 B) 26 C) 36 D) 46 E) 56

5. Hallar x en:

A) 50 B) 60 C) 130 D) 120 E) 100

6. Segn el grafico Calcular x+y

a) 135 b) 90 c) 80

d) 160 e) 170

55

56

57

DEFINICIN.

Dos tringulos son congruentes, si tienen sus tres

lados congruentes y sus tres ngulos congruentes

respectivamente.

ABC = PQR

OBSERVACIN: EN UN PROBLEMA DADO SE PODR AFIRMAR QUE DOS TRINGULOS SON

CONGRUENTES SI TIENEN COMO MNIMO TRES ELEMENTOS IGUALES, DE LOS CUALES UNO DE ELLOS DEBE SER UN LADO.

CASOS DE CONGRUENCIA EN TRINGULOS

1. Caso (L.A.L.)

2. Caso (A.L.A.)

3. CASO (L.L.L.)

4. Caso (L.L.A.)

: Opuesto al mayor lado

PROPIEDADES EN CONGRUENCIA DE TRINGULOS 1. De la Bisectriz

Todo punto situado en la bisectriz siempre equidista de los lados del ngulo.

. BA

PBPA00 =

= .

2. De la Mediatriz Todo punto situado en la mediatriz e un segmento, siempre equidista de los extremos de dicho segmento.

. PA = PB .

3. De la Base Media de un Tringulo

El segmento que une los puntos medios de dos lados de un tringulo, es paralelo al tercer lado y mide la mitad de lo que mide el tercer lado.

Si: // Si: M y N son puntos medios

. BN = NC . . 2ACMN = .

4. De la Mediana Relativa a la Hipotenusa La mediana relativa a la hipotenusa siempre mide la mitad de lo que mide la hipotenusa.

. 2

ACBM = .


1. De la figura: ; . Hallar

2. Del grfico , FA = 8. Hallar HF.

3. En la figura:

4. Siendo ABCD un cuadrado, el valor de x es:

5. De la figura ; , , Hallar

6. De la figura = 20cm, hallar BC, (sugerencia: en el T.R. ABD, trazar la mediana de relativa a

)

7. En la figura AD=15cm; ED=17cm. Hallar BE (Sugerencia: aplicar el teorema de la bisectriz)

8. En un cuadrado AHFC se traza (Q en )

y luego , . Si HM = 12cm, MN = 5cm, Hallar CN

9. Calcular BE, si , , BD = 9

10. Encontrar AQ, si , , mABP mCBQ, PC = 13.

11. Encontrar AE, si BE = CD = 4, ED = 3.

12. Del grfico ; , Hallar

13. Del grfico hallar x si CE = 6

14. Del grfico , hallar

15. En la figura // , = 12, hallar CM


1. En la figura: , hallar

A) 10 B) 20 C) 30

D) 40 E) 60

2. Del grfico TS, RP = 7, hallar RT.

A) 12 B) 13 C) 14

D) 15 E) 16

3. En la figura: , , hallar

A) 20 B) 30 C) 40

D) 50 E) 60

4. Siendo ABCD un cuadrado, el valor de x es:

A) 50 B) 60 C) 40

D) 30 E) 10

5. Calcular QT, si , PT SR, QS = 11

A) 10 B) 11 C) 12 D) 5,5 E) 6

6. Encontrar PB, si , , = 17

A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17

65 66

POLGONO Definicin

Es la reunin de tres o ms segmentos consecutivos o coplanares, tal que el extremo del primero coincide con el extremo del ltimo; ningn par de segmentos, se intercepten, excepto en sus extremos y dos segmentos consecutivos nos sean colineales.

Elementos Vrtices : A, B, C, D,... Lados : , , , ,... m internos : , , ,... m externos : x, y, z,... Diagonales : , , ,... Diagonales medias : , , ,... Polgono Convexo

Es cuando tienen todos sus ngulos internos convexos, es decir, mayores que cero y menores que 180.

Clasificacin de los Polgonos Convexos 1. Polgono Equingulo

Cuando tienen todos sus ngulos internos congruentes

2. Polgono Equiltero Cuando tienen todos su lados congruentes

3. Polgono Regular

Cuanto tienen todos sus ngulos internos congruentes y todos sus lados congruentes

Polgonos No Convexos

Cuando tienen uno ms ngulos internos no convexos es decir mayores que 180 y menores que 360.

Denominacin de los Polgonos Tringulo 3 lados

Cuadriltero 4 lados

Pentgono 5 lados

Hexgono 6 lados

Heptgono 7 lados

Octgono 8 lados

Nongono 9 lados

Decgono 10 lados

Undecgono 11 lados

Dodecgono 12 lados

Pentadecgono 15 lados

68

Icosgono 20 lados

M

Engono n lados

Propiedad para todo Polgono Convexo

Si n es el nmero de lados de un polgono convexo, se cumple que:

1. Suma de las medidas de sus ngulos internos:

. Smi = 180 (n 2) .

2. Suma de las medidas de sus ngulos externos: . Smi = 360 .

3. Diagonales trazadas desde un solo vrtice:

. Di = (n 3) .

4. Nmero total de diagonales:

. ( )2

3=

nnDT .

5. Nmero total de diagonales medias:

. ( )2

1=

nnDm .

6. Diagonales trazadas desde v vrtices consecutivos

. ( )( )2

21 ++=

vvvnDv .

En Polgonos Regulares y Equingulos 7. Medida de un ngulo interno:

. ( )nni 2180 = .

8. Medida de un ngulo exterior:

. n

e 360= .


1. . El nmero de diagonales de un polgono excede al nmero de lados en 25. calcular el nmero de lados del polgono.

2. En qu polgono el nmero de lados es igual al nmero de diagonales?

3. AL prologar los lados no consecutivos de un

hexgono equingulo, que figura se forma

4. Las medidas de cinco ngulos internos de un polgono regular es 700. calcular la suma de las medidas de sus ngulos internos.

5. Cuntas diagonales tiene el endecgono? 6. Cuntos lados tiene un polgono cuya suma de

las medidas de sus ngulos internos y externos es 7 200?

7. Cuntos lados tiene el polgono convexo cuyo

nmero de diagonales excede al nmero de vrtices en 18?

8. Calcular el nmero de lados de un polgono

regular donde al aumentar en dos su nmero de lados, la medida de su ngulo externo disminuye en 9

9. Si el nmero de diagonales de un polgono

convexo disminuye en 5, entonces resulta un nuevo polgono convexo donde la suma de las medidas de sus ngulos interiores es 720. calcular el nmero de diagonales del polgono convexo inicial.

10. En un pentgono equiltero ABCDE: AB = BE.. calcular la relacin entre los permetros del cuadriltero BCDE y el tringulo ABE.

11. En qu polgono se cumple que al duplicar el nmero de lados la suma de las medidas de los ngulos internos se triplica?

12. En un polgono convexo ABCDEF equingulo, AB = 7, CD = 6, DE = 8. Calcular BF

13. La diferencia entre el nmero de diagonales de

un cierto polgono regular el nmero de ngulos rectos, a que equivale la suma de los ngulos internos en 8. calcular la medida del ngulo externo .

14. Calcular el nmero de lados de un polgono convexo, si el nmero total de diagonales ms el nmero de diagonales trazadas de un solo vrtice, ms 5 veces el nmero de tringulos que se forma al unir un punto interior con cada vrtice es igual a 88.

15. Calcular el nmero de lados de aquel polgono cuyo nmero de diagonales se encuentra entre 22 y 24


1. En qu polgono equingulo la medida de un

ngulo interno es el triple de la medida del ngulo externo? A) Hexgono B) Octgono C) Decgono D) Pentgono E) Nongono

2. Calcular el permetro de un polgono si su

lado mide 6 y tiene 14 diagonales A) 21 B) 38 C) 30 D) 42 E) 36

3. Se tiene un pentgono equingulo ABCDE y

exteriormente un hexgono equingulo

ABFGHI. Calcular la mEAI A) 114 B) 125 C) 128 D) 132 E) 136

4. La relacin de las medidas del ngulo exterior y el ngulo interior de un polgono equingulo es 1/8. calcular el nmero de diagonales de dicho polgono A) 100 B) 120 C) 35 D) 170 E) 135

5. Interiormente a un pentgono equingulo ABDCE, se construye un tringulo equiltero APB. Calcular la mEAP A) 76 B) 60 C) 48 D) 36 E) 92

6. Calcular el nmero de diagonales de un polgono regular sabiendo que el cuadrado de la medida de su ngulo interior equivale a 9 veces la medida de su ngulo exterior. A) 35 B) 70 C) 45 D) 54 E) 80

7. La diferencia entre el nmero de diagonales y la mitad del nmero de ngulos rectos a que equivale la suma de los ngulos internos de un polgono es 119. calcular el nmero de lados de dicho polgono A) 13 B) 14 C) 15 D) 18 E) 20

8. Si el nmero de lados de un polgono regular aumenta en 10, cada ngulo del nuevo polgono es 3 grados mayor que cada ngulo del original Cuntos lados tiene el polgono original? A) 25 B) 27 C) 16 D) 30 E) 20

9. Cunto mide cada uno de los ngulos interiores de un polgono regular de 18 lados? A) 138 B) 160 C) 120 D) 118 E) 145

10. Calcular el nmero de lados de un polgono convexo en el que el nmero de diagonales es mayor en 133 que el nmero de lados. A) 19 B) 23 C) 16 D) 24 E) 25

CUADRILTERO Definicin

Es un polgono de 4 lados.

. x + y + z + w = a + b + c + d = 360 . Clasificacin General

Clasificacin de los Cuadrilteros Convexos 1) Trapezoide

Aquellos que no tienen lado opuestos paralelos

2) Trapecios Tienen dos lados opuestos paralelos llamados bases y los otros lados, llamados lados no paralelos

Propiedad del Trapecio - Mediana de un trapecio

. 2

bax += .

- Segmento que une los puntos medios de las diagonales

. 2

abx = .

3) Paralelogramos

Aquellos de lados opuestos paralelos y congruentes; ngulos opuestos de igual medida y dos ngulos consecutivos siempre suplementarios. Sus diagonales se bisecan.

Propiedades Generales 1.

. 2

+=x .

2.

. 2

=x .

3.

// PQ = RS

4.

. 2

bax += .

5. En trapecios issceles

. 2

abx = .

. 2

aby += .

6. En tringulos

7. En trapecios

8. Segmento que une los puntos medios de las bases

Si: + = 90 : . 2

abx = .

9. En paralelogramos

x = b a .

10. En paralelogramos

. 422

dcbacbdax +++=+=+= .


01) Del grfico. Calcular x segn corresponda.

x

2x

02) Hallar la base menor de un trapecio, sabiendo la diferencia de la mediana y el segmento que une los puntos medios de sus diagonales es 40.

03) ABCD: Es un paralelogramo y DM es bisectriz del ngulo D. Si AB = 12. Hallar MC.

M

A

B C

D

04) En un trapecio ABCD (BC = base menor) la medida del ngulo A = 80, la medida del ngulo D = 20. Si BC = 4 y CD = 6, calcular la mediana del trapecio.

05) Del grfico: BC // AD; BC = CE; ED = DF. Calcular x.

A

B C

D

E

F

x

06) En la figura: BC // AD, BC = 4, AD = 10. Calcular PQ.

A D

Q

B C

P

07) ABCD: Cuadrilongo, calcular x.

A

B C

D

x

70

08) ABCD: es un cuadrado APD y CQD son tringulo equilteros. Calcular x.

A

B C

D

x P

Q

09) Calcular EF, si ED = 4, CD = 7 y AD = 17 (CF = FB).

C

DA

BF

E45

10) Hallar la base menor de un trapecio si la diferencia

en la mediana y el segmento que une los puntos medios de las diagonales es igual a 10.

11) Calcular la relacin entre las medidas de las bases de un trapecio en la cual se cumple que las diagonales trisecan a la mediana.

12) En un trapecio, la mediana mide 15 y el segmento que une los puntos medios de las diagonales mide 7. Calcular la medida de la base mayor.

13) Las bases de un trapecio issceles son proporcionales a los nmeros 5 y 7. Si la suma de los lados no paralelos es 14 y su permetro es 38. Calcular la longitud de la mediana.

14) Si AD = 7 y CE = 5. Calcular NK, sabiendo adems que BN es mediana y BN = MN.

N

A

D

C

BE

M

K

15) En un trapecio ABCD ( BC : base menor) la medida del ngulo A = 60 y la medida del ngulo D = 20. Si BC = 4 y CD = 6. Calcular la mediana del trapecio.

16) Si AD = 38 y 3AB = , calcular BC.

B

A D

C

150

60 30

17) Si AN = 4 y BN = 5, calcular BC sabiendo que ABCD es un ROMBOIDE.

MA D

B C

N

18) Si G es baricentro del tringulo ABC. Hallar GH, si AE = 5 y CF = 4.

E B F

C

A

H

G


01) Las bases y la mediana de un trapecio suman 66. Hallar la mediana. a) 11 b) 22 c) 33

d) 44 e) 45

02) En un cuadriltero ABCD los lados AB , BC y CD tienen igual medida. Si la medida del ngulo

= 70B y la medida del ngulo = 60C . Calcular la medida del ngulo A .

a) 60 b) 75 c) 85

d) 80 e) 100

03) En la figura: Calcular x si ABCD: cuadrado y CDE: tringulo equiltero.

A

B C

D

x F

a) 90 b) 100 c) 110

d) 120 e) 150

04) Del grfico BC = y CD = 12, calcular MN.

M N

CB

A D

120C

a) 1 b) 3 c) 5

d) 7 e) 9

05) La mediana del trapecio mostrado mide 10. Calcular AB.

B C

A D

45

a) 10 b) 20 c) 30

d) 40 e) 50

06) Si ABCD es un cuadrado BPC y CQD son tringulos equilteros, calcular x.

A

B C

D

PQx

a) 60 b) 65 c) 70

d) 75 e) 80

07) En la figura calcular la medida del ngulo x si ABCD es un cuadrado y CDE es un tringulo equiltero.

A

B C

Dx

E

a) 75 b) 65 c) 35

d) 15 e) 45

rt

r

A

t B

P: punto de tangencia

r : radio

T: recta tangente

rP

t

A

B

r

r0 AP = BP

P

LA CIRCUNFERENCIA PROPIEDADES

Concepto: Es el lugar geomtrico de todos los puntos en un plano que equidistan de un punto fijo llamado: centro, la distancia del centro cualquier punto de la circunferencia se llama radio.

LNEAS NOTABLES EN LA CIRCUNFERENCIA:

* Radio : r

* AB : CUERDA.-

Es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. Cuando pasa por el centro se llama dimetro (cuerda mxima),

* : RECTA TANGENTE.-

Es la recta que toca en un slo punto a la circunferencia.

Teoremas Fundamentales

TEOREMA I

TEOREMA DEL RADIO Y LA TANGENTE

Todo radio que llega al punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente.

TEOREMA II

TEOREMA DE LAS DOS TANGENTES.

Si desde un punto exterior se trazan dos tangentes a una misma circunferencia, los segmentos comprendidos entre los puntos de tangencia y el punto exterior son congruentes.

TEOREMA III

TEOREMA DE LA BISECTRIZ DEL NGULO FORMADO POR 2 TANGENTES.

El segmento que une el vrtice del ngulo formado por dos tangentes con el centro de la circunferencia, es bisectriz del ngulo.

rA

C

b a

c B

a + b = c + 2r

a + c = b + d

a - c = b - d

A

C

D

b

a c

B

A

Bb

a

C

DR

S

c

d

QP

TEORENA DE PONCELET

En todo tringulo rectngulo: la suma de catetos es igual a la hipotenusa ms el doble del radio de la circunferencia inscrita.

TEOREMA V

TEOREMA DE PITOT

En todo cuadriltero circunscrito a una circunferencia se cumple que 2 lados opuestos suman igual que los otros 2

TEOREMA VI

TEOREMA DE STEINER


01) Calcular R, si BC = 3, CD = 8 (T punto de tangencia)

DB

T

R

OC

02) Calcular x si R2PB = .

R

x

A

B

P

03) En la figura, calcular (x) . (y). Si AB = 13, BC = 15 y AC = 14, AQ = x y QC = y.

A

D

BC

04) Si AB = 2CD y BC = 8, AD = 16. Calcular CD.

A

B

D

C

05) Del grfico R = 3 y r = 1. Calcular BE

R

r

A

B C

D

E

06) Si las bases de un trapecio issceles miden 16 y 36. Calcular la longitud del radio de la circunferencia inscrita.

07) El permetro de un tringulo rectngulo es 60 y el radio de la circunferencia inscrita mide 4. Calcular la longitud de la hipotenusa. :

08) En la figura AB = 8 y AD = BC + CD. Calcular r1 + r2.

B

A

C D

r 1

r2

09) Si M, N y P. Son puntos de tangencia y AB = 7, BC = 8, AC = 9. Calcular BP.

B

N

M

CA

P

10) Si AB = 12. Calcular r.

r

A

B C

D

2 3

11) Un rectngulo con lados de 36 y48 se divide por la diagonal en dos tringulos. En cada uno de ellos esta inscrita una circunferencia. La distancia entre sus centros es:

12) En la figura; AB + DC = 24 y BC + AD = 40. Hallar MN.

M N

A

B

D

C

13) Calcular el permetro del trapecio issceles ABCD. Si la medida del ngulo A = 30, r = 1.

A

B

D

C

30

r

14) En la figura calcular el permetro del tringulo ABC. Si O es centro.

B

CA

1

x

D

F

E

5-aQ

15) Calcular la longitud de la hipotenusa de un tringulo de permetro 30, si el radio de la circunferencia inscrita a dicho tringulo mide 2.

16) Si AB = 12, calcular r.

CA

B

O

74

r

17) Hallar x, si AB = 24 y r = 13.

rO

x

A

B

18) Si PQ = 3R, hallar x.

R

x

R

P

Q

19) Calcular el permetro del trapecio mostrado.

2

8

20) Calcula: m + 2m

m

m

3

4


01) Del grfico. Hallar PQ y PC. Si: R = 2 y r = 1

B

CA Q

P

R r

a) 4 y 2 b) 6 y 4 c) 3 y 5

d) 6 y 10 e) 11 y 22

02) Del siguiente grfico. Calcular r, si AB = 7, BC = 4, CE = 3 y AD = 8

A

B

D

C

rE

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

03) En el grfico. Calcular r1 + r2. Si AB = 9 y AD = BC + CD

BA

C D

r 1

r2

a) 2 b) 3 c) 4.5

d) 6 e) 7

04) Hallar x, si AB = 8, R = 5

A

B

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05) Calcular x, si PA = 7, R = 3

R

x

P

AQ

O

a) 45 b) 37 c) 60

d) 72 e) 30

06) Hallar r, AB = 3, AC = 4

A C

B

r

a) 1 b) 2

c) 3 d) 4

e) 5

07) En la figura calcular x si O, es centro y AB = 1, BC = 8

CB

RO

A

a) 4 b) 5 c) 2

d) 3 e) 6

08) Calcular el rea del crculo inscrito en un tringulo rectngulo cuya hipotenusa mide 20 cm y la diferencia de las medidas de los catetos es 4 cm.

a) 4picm2 b) 6picm2 c)8picm2

d) 16picm2 e) 32picm2

09) En la figura AC AB = 6m. Calcular PQ

A

B

C

QP

a) 6m b) 3m c) 12m

d) 18m e) 9m

xO

A

B

CIRCUNFERENCIAS NGULOS

a. ngulo Central.-

b. ngulo Inscrito.- .

Propiedades:

1) El ngulo inscrito en una semicircunferencia mide 90.

c. ngulo Semi Inscrito.-.

d. ngulo Interior.-

e. ngulo Exterior.-.

Caso I: ngulo formado por dos secantes.

Caso II: ngulo formado por una tangente y una secante.

ABx =

Caso III: ngulo formado por dos tangentes.

En este caso, el ngulo recibe el nombre de ngulo circunscrito y se cumple que:

< >

f. ngulo Ex Inscrito.-.

PROPIEDADES:

1. De un ngulo exterior

2. Si AB = CD; entonces: AB CD

3.

4. En dos circunferencias tangentes

x180b == =+=+

180xb180x

y

x

5. Si T es punto de tangencia.

AB

T

x

y

6. En las circunferencias secantes congruentes A

B

NM

EN TODO CUADRILTERO INSCRITO

a. Los ngulos opuestos son suplementarios

x

y

Un ngulo interior es congruente al opuesto exterior

x = y

x = y


01) En la siguiente figura calcular , si la medida del ngulo A, es igual a 40 y la medida del arco BC = 100

CA B40

D

02) Del grfico si: AM = MB; calcular x

100 B

A

M

CTx

03) De la figura mostrada. Hallar x

CBA

x20

04) Si AB = 110, O es el centro. Hallar x

x

O

D

A

B C

05) En la figura AD = 170, BC = 2AB. Hallar x

D

A CO

B

x

06) En la figura OD = BC; la medida del ngulo BAD, es 20. Calcular x

C

A

B

D

x

O20

07) Si O es centro y T es punto de tangencia.

x

O

T

x

08) Calcular x

A

B

x

2x E

M

09) Calcular x

30

100

x

10) T es punto de tangencia; AT = TC O, es centro x

x

O

T

B CA

11) Calcular . T es punto de tangencia y O es centro.

O

T

B CA

32

D

12) En el grfico: la medida del arco AB = 100. Calcular +

C

A

B

D

E

13) O es centro, calcular x

20

x

14) En la figura: Si + = 100. Calcular x

x

2

15) En la figura hallar x, si AB = BC; la medida del arco AC = 140

B

C

A

Dx

16) Hallar x si la medida del arco BC = 28

B

CA

x

22

17) Si, AB = BD; la medida del arco AE = 86. Hallar x

B

C

A

D

x

E

50

18) La medida del arco AEB = 242 y la medida del ngulo ABC = x

BC

A

E

X

SEMEJANZA DE TRINGULOS

Dos tringulos son semejantes si tienen sus tres ngulos interiores congruentes (ngulos respectivamente de igual medida) y las longitudes de sus lados homlogos son directamente proporcionales. Los lados homlogos son aquellos que se oponen a los ngulos congruentes.

A

a

B

b C

c

akck

P

Q

R

El ABC PQR .

Nota 1: m ABC = m PQR

m BCA = m QRP

m CAB = m RPQ

Nota 2: KRPCA

QRBC

PQAB

===

k = constante de proporcionalidad

CASO DE SEMEJANZA

Dos tringulos son semejantes si tienen dos ngulos respectivamente de igual medida.

Caso I: ngulo Lado ngulo (ALA)

a ak

Ejm:

a 4a

8

x

Caso II: Lado ngulo Lado (LAL)

bkb

a ak

Caso III: Lado Lado Lado

bkb

a c ak ck

RAZN DE SEMEJANZA (r)

Es aquel nmero real y positivo que se obtiene al dividir dos longitudes homologas de dos tringulos semejantes.

Ejm:

3 4

5

h 2h 1

8 6

10

2x

a4a

8x

=

//

=

2hh

510

48

36Razn

2

1====== L

SITUACIONES FRECUENTES DONDE SE PRESENTAN TRINGULOS SEMEJANTES

1. Si AC//MN ABC MBN

NM

A C

B

2. Si AC//MN ABC MBN

B

NM

A C

3. Si MBN ABC

B

CA

NM

4. ABD ABC

C

B

A D

x

ba

5.

x

ab

6. Cuadrado inscrito en un tringulo

baab

x+

=

Se cumple: x2 = nb

x

x

x

xA C

B

h

b

7. ABCD: Trapecio issceles AD//EF

x

b

a

A

C

y

B

D

E F

8. x = ab

abx

9. Cuadrado inscrito en un rombo.

x

x

D

d

D y d son diagonales.

ALGUNAS PROPIEDADES DE PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA

1. TEOREMA DE THALES Si: 1 // 2 // 3

hbhb

x+

=

baabyx+

==

dDDd

x+

=

1. x = ab

a

b

m

n

Si: 1 // 2 // 3

ma

bn

2. CONSECUENCIA DEL TEOREMA DE THALES EN UN TRINGULO

NM

A C

B

b

a m

n

3. EN CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES

a m

nb

4. EN CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES

a

b

nm

5. TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR

ba

m n

6. TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR

ba

nm

7. TEOREMA DEL INCENTRO

n

m

ba

=

n

m

ba

=

Si: AC//MN

n

m

ba

=

nm

m

baa

+=

+

n

m

ba

=

n

m

ba

=

n

bm

a=

n

m

ba

=

n

m

ba

=

a

A C

B

b

c

D

8. PROPIEDAD

A B C D

B

BP

9. TEOREMA DE CEVA

b

a

x

Z C

y


01) Hallar x, si L1 // L2 // L3

L 1

L 2

L 3

P

Q

R

8

4 6

x

A

B

C

02) Hallar x, si L1 // L2 // L3, AC = 10, AB = 4, DF = 5

L 1

L 2

L 3

x

A

B

C

D

E

F

03) En la figura adjunta, BCyAB son proporcionales a FCyAF . Hallar FC AF.

10

B

A C

8

F9

04) En la figura L1 // L2 // L3 // L4. Hallar GH, si EH = 27

L 4

L 1

L 2

L 3

A

B

C

D

F

E

G

H

3

2

4

IDBI

bac

=

+

CDAD

BCAB

=

zyxcba =

05) En la figura mostrada L1 // L2 // L3, si: EF AB = 3, AC = 16 y DF = 24. Hallar EF

L 1

L 2

L 3

A

B

C

D

E

F

06) Calcular x, si AE//BD

3x+2

5x

C

EA

B D

8

12

07) Si L1 // L2 // L3, y AB = 6, BC = 18, PQ = 4 y SQ = 2X + 3

L 1

L 2

L 3

A

B

C

P

Q

S

08) En la figura BCyAB son proporcionales a DCyAD , hallar AD

6

B

20A C

4

D

09) En un tringulo ABC se traza a la bisectriz exterior BE. Si AB = 16, AE = 32, CE = 8. Hallar x.

C EA

B

D

8

16

32

x

10) En la figura DS//CR//BN//AM , si (BC)(CD) = 225 y (NR)(RS) = 256, calcular: MNAB

A

B

C

D

N

M

S

R

11) En la figura, halar el lado del cuadrado EFMN, si AC = 12 y la altura BH mide 8

B

CA E

F M

NH

12) En la figura mostrada. Si AB = 9, BC = 7, AC = 8 y AC//MN . Hallar MN

B

C

A

MN

13) Los catetos de un tringulo rectngulo miden 6 y 8. Calcular la distancia del baricentro a la hipotenusa.

14) En un trapecio issceles ABCD de bases ADyBC se inscribe una circunferencia tangente

a los lados AB y CD en M y N respectivamente. Calcular MN , si BC = 8 y AD = 12

15) En la figura hallar CE si AB = 6, BC = 3 y AC = 4

B

A C E

16) En la figura. Hallar FC, si AE = 6, EB = 4 y AF = 8, adems BM = MF

B

A C

E

F

M

17) En la figura mostrada, hallar x

2b

x+2 2a

3a

b

x

:

18) En el tringulo escaleno PQR, PR = 4, MT = 3, PT = NP; RT = RS y QS = QN. Hallar MR

M P

S

R

N

Q

T

19) Hallar x L1 // L2

A P

B

Q C

L 1

L 2

10 x

8 4

20) En la figura mostrada. Calcular x

b

b

x x-3

5a

2a

a = m. c b = n . c 2 2

h = m . n2

RELACIONES MTRICAS

RELACIONES MTRICAS EN EL TRINGULO RECTNGULO

Elementos de un tringulo Rectngulo.

a y b = Son las longitudes de los catetos ACyBC .

c = Es la longitud de la Hipotenusa AB

h = Es la altura relativa a la Hipotenusa.

m = Es la longitud de la proyeccin del cateto BC sobre la hipotenusa.

n = Es la longitud de la proyeccin del cateto AC sobre la hipotenusa.

- Los siguientes teoremas nos describen las principales relaciones que hay entre las longitudes de los lados, altura y proyecciones de un tringulo rectngulo.

TEOREMA 1

En todo tringulo rectngulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de su proyeccin por la hipotenusa.

En la figura se cumple que:

TEOREMA 2 (Teorema de Pitgoras)

En todo tringulo rectngulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.


TEOREMA 3

En todo tringulo rectngulo, el cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la misma.


TEOREMA 4

En todo tringulo rectngulo, el producto de catetos es igual al producto de la hipotenusa por su altura relativa.


1 +

1 = 1

a b h2 2 2

TEOREMA 5

En todo tringulo rectngulo la suma de las inversas de los cuadrados de los catetos es igual a la inversa del cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa.



01) Hallar x

B

x

4 12 A C

02) Hallar x

2

3 x13

03) Hallar x

x

5

34

04) Hallar x

x

1

4

4

05) Hallar x

x

3

4

2

06) Hallar x

x

5

2

07) Hallar x

5

10

x

08) Hallar x

x

54

6

09) Hallar x

15 x

2x

10) Si (AB)2 + (FG)2 = 8; calcular BF (las dos figuras son cuadrados)

C

A

B

E

D

F

G

11) Calcular R si AM = 3 y AB = 9

B

R

A

12) En un tringulo rectngulo ABC, recto en B, se trazan la altura BH y la bisectriz interior AQ , los cuales se cortan en P, calcular BP, si AP = 7 y PQ = 2

13) Calcular MN ; si R = 3r; r = 1 y AB = 6

NM

A

B

14) En la figura, hallar DH , si AD = 3 y el dimetro DC = 4

O

A D C

B

H

15) La figura muestra una rueda apoyada en un ladrillo de altura 9, calcular el radio de le rueda.

15

16) Si ABCD es un cuadrado BE = 1 y FC = 9. calcular EF

B

A D

CE

17) En la figura, se pide la proyeccin de AB sobre la recta L

10 18

17

B

A

L

18) La hipotenusa de un tringulo rectngulo excede en 1 cm al cateto mayor; si el cateto menor mide 9cm, hallar el rea de la regin limitada por otro tringulo rectngulo.

19) Calcular AP, si AQ = 4

BA

P

Q

O

20) En la figura BM = MC = 4 y BN es mediana, calcular AB.

A

B

C

M

N

< 90 c < a + bo 2 2 2

> 90 c > a + bo 2 2 2

RELACIONES MTRICAS EN EL TRINGULO OBLICUNGULO

1) TRINGULO OBLICUNGULO

Los tringulos que no son rectngulos, son oblicungulos, luego un tringulo oblicungulo puede ser acutngulo u obtusngulo.

2) COMO RECONOCER SI UN TRINGULO ES ACUTNGULO U OBTUSNGULO

Se aplican las siguientes propiedades:

- Es Acutngulo: Si el cuadrado de un lado que se opone a un ngulo agudo siempre es MENOR que la suma de los cuadrados de los otros dos.

NOTA: Todos los ngulos del tringulo son menores que 90.

- Es Obtusngulo: Si el cuadrado de un lado que se opone a un ngulo obtuso siempre es MAYOR que la suma de los cuadrados de los otros dos.

NOTA: Un ngulo de los tres ngulos del tringulo es mayor que 90.

3) PROYECCIN DE UN LADO SOBRE OTRO LADO

En el tringulo es importante conocer la proyeccin de un lado sobre otro, para ello siempre se traza una altura.

- En el tringulo acutngulo: En el tringulo acutngulo, la proyeccin de un lado sobre otro esta contenido en este ltimo.

- En el tringulo obtusngulo: En el tringulo obtusngulo, para encontrar la proyeccin de un lado sobre uno de los lados adyacentes al ngulo obtuso, se debe prolongar este ltimo.

4) TEOREMA DE EUCLIDES

TEOREMA 1

En todo tringulo, el cuadrado de un lado que se opone a un ngulo Agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de uno de ellos por la proyeccin del otro sobre aquel.

AB

C

cM

mc

AB

C

cx

P

a b

M

Si: < 90

TEOREMA 2

En todo tringulo, el cuadrado del lado que se opone a un ngulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, ms el doble producto de uno de ellos por la proyeccin del otro sobre aquel

Si > 90

5) TEOREMA DE LA MEDIANA

En todo tringulo la suma de los cuadrados de los lados laterales a una mediana es igual al doble del cuadrado de la mediana ms la mitad del cuadrado del lado donde cae la mediana.

As en la figura:

mC es la mediana relativa al lado c.

Entonces:

22

2222 c

mba C +=+

TEOREMA DE LA PROYECCIN DE LA MEDIANA

En todo tringulo, se cumple lo siguiente:

Si x es la proyeccin de la mediana CM , entonces:


01) Hallar x

x

7 6

5

02) Hallar x

x 4

63

03) Hallar x

5x

4 2

04) Hallar x

6

x

12

10

05) Hallar x

x

2

3

5

06) Hallar x

x

6

6

10 07) Hallar x

x

10 7

5

08) Hallar x

32

x

23

09) Hallar x

x

6

2 1

10) Hallar x

10

x

3 8

11) Hallar x

X 16

10 332

12) En la figura AT = PB = BC = 6. Calcular AC (P y T son puntos de tangencia)

C

P

A

B

T

13) Segn el grfico AB = 13, BC = 15 y AC = 14. Calcular MN (M, N, L son puntos de tangencia)

A

B

CL

M

N

14) Calcular MN. Si ABCD es un trapecio AB = 13, BC = 6, CD = 15, AD = 20, BM = MC; AN = ND.

M

N

B C

A D

15) Calcular BD si, AB = 6, AC = 7, BC = 8; BD es bisectriz interior.

B

A CD

16) Calcular BD, si AB = 6, AD = 3, DC = 9, BC = 10

B

A CD

17) Calcular la medida del lado de un rombo ABCD si AM = 9, MD = 13, siendo M punto medio de BC.

18) Los lados de un tringulo miden 13, 14, 15 Cunto mide la altura relativa al lado medio?

19) En un tringulo ABC; AB = 3, BC = 5, AC = 6. Calcular la longitud de la proyeccin de AB sobre AC

20) En un tringulo ABC, AB = 7, BC = 97 , C = 6. Se traza la mediana BM . Calcular la longitud de la proyeccin de AM sobre BM .


01) Los lados de un tringulo oblicungulo miden 8; 9 y 5 metros respectivamente. Calcular la longitud de la proyeccin del lado medio sobre el lado menor.

a) 1m b) 0,8m c) 1,2m

d) 0,5m e) 2m

02) En un tringulo ACD, AC = 7; CD = 3; AD = 5. Calcular la longitud de la proyeccin de AD

a) 5,5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 6,5

03) Los lados de un tringulo oblicungulo miden 7; 5 y 10 respectivamente. Calcular la longitud de la proyeccin del lado medio sobre el lado mayor.

a) 3,8 b) 6,2 c) 4,5

d) 6 e) 5

04) En un tringulo ABC; AB = 7, BC = 5, AC = 3. Calcular la longitud de la proyeccin de BC . Sobre AC .

a) 2,2 b) 3 c) 2

d) 1,5 e) 2,5

05) En un tringulo issceles ABC. AB = 3, AC = 6. Calcular la longitud de la proyeccin de AB sobre BC

a) 0,75 b) 0,6 c) 0,8

d) 1 e) 1,2

Aa d

c b

BC

D

P

A

P

B ba

cdC D

RELACIONES MTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA

TEOREMA DE LAS CUERDAS.

En una misma circunferencia, si dos cuerdas se cortan se cumple que: el producto de las partes de la primera cuerda es igual al producto de las partes de la segunda.

Si AB y CD se cortan en P determinan los segmentos:

En AB : AP = a; PB = b

En CD : CP = c; PD = d

Luego a.b = c.d .

2. TEOREMA DE LOS SECANTES

Si desde un punto exterior se trazan dos secantes a una misma circunferencia se cumple que: la primera secante por su parte externa es igual a la segunda, tambin por su parte externa.

En la figura se trazan:

Se han trazado desde P, las secantes PA y PC

PA = a ; PB = b

PC = d ; PD = c.

Luego a.b = c.d .

3. TEOREMA DE LA TANGENTE Y LA SECANTE

Si desde un punto exterior se trazan una tangente y una secante a una misma circunferencia, se cumple que: la tangente al cuadrado es igual a la secante por su parte externa.

En la figura PA es la tangente y PC la secante

Si: PA = T; PC = a; PB = b

T2 = a.b .


01) AP = 6, PB = 4, CD = 11, hallar CP

D

C

B

AP

02) EF = 6, AB = 4, hallar AE

F

B

A

E

03) Calcular ODsi (AD)(DB) = 200 O es centro.

B

A

D

15

O

A

B baC

T

P

04) La distancia mnima entre dos circunferencias exteriores es 8 y la mxima es 20. calcular la distancia entre sus centros.

05) AQ = 2; PQ = 4; calcular r

06) Hallar x

x

M

N8

2

07) Hallar x, AB = 2, BC = 8, DC = 16

C

A

B

D E x

08) Hallar x

x

5

4

09) Hallar x

12

7

x

10) En la figura, calcular CT, si AD = 4; CB = 9, O es centro y T es punto de tangencia

B

TD

C

A O 11) En la figura RS es una tangente, RU y RZ , son

secantes, hallar RU

6S

R5

Z

U

12) Del grfico AM = MC. Calcular BQ siendo AP = 4, PB = 5 y QC = 3

B

A C

P Q

M

13) En la figura, hallar x

16

x 6

8 5

BA

P

Q r

14) En la figura mostrada BC = 2, CD = 1, DE = 3. Hallar AB

B CD

E

A

15) Calcular AB si: BC = 5, CD = 15

DCBA

16) En la figura mostrada, calcular EB, si AM = ME = ED = 3 y CM = 2

A B

C

D

M

E

17) Si Q es punto de tangencia MN = 9, MH = 16, 5EP = PH , calcular PQ

M

EQ

P

NH

18) Calcular r, si PQ = 1, QR = 4 y OR = 6

O

P Q R

r

19) Calcular r

10

r

4

20) Calcular AB, si BC = 3, CD = 5, DE = 4

CA B

D

E

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