1.3Propagacion Del Error en Distintas Operaciones Aritmeticas
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Métodos Numéricos I UNIDAD 1. ANÁLISIS DEL ERROR Propagación del Error Página 43 1.3 Propagación del error en distintas operaciones aritméticas 4 1. Suma 2. Resta 3. Multiplicación 4. División 5. Evaluación de Funciones 1.3.1. Suma Si se suman las aproximaciones de dos números a y b se tiene un resultado c y el error absoluto que se comete cumple. Esto es, la suma de los errores de las aproximaciones de a y b en valor absoluto son aproximadamente mayores o iguales al error del resultado, conocido como el error de propagación. Demostración: Se espera que al sumar b a + sea exactamente c ( ) ( ) b a b a error + - + = ⇒ * * Donde a e a a + = * y b e b b + = * ( ) ( ) c b a b a e e e b a e b e a error = + = + - + + + = ⇒ Esto es: c e c c + = * El error absoluto es: b a b a e e e e b b + ≤ + = + - + ) (a ) (a * * O bien: b a c e e e + ≤ (Burden, 1998; Chapra, 1999; Maron, 1995; Nieves, 2003; Sheid, 1995; Wheatley, 2000) b a c e e e b a b a + ≤ = + - + ) ( ) ( * *
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Métodos Numéricos I
UNIDAD 1. ANÁLISIS DEL ERROR
Propagación del Error
Página 43
1.3 Propagación del error en distintas operaciones
aritméticas4
1. Suma
2. Resta
3. Multiplicación
4. División
5. Evaluación de Funciones
1.3.1. Suma
Si se suman las aproximaciones de dos números a y b se tiene un resultado c y el error absoluto que se comete cumple.
Esto es, la suma de los errores de las aproximaciones de a y b en valor absoluto son aproximadamente mayores o iguales al error del resultado, conocido como el error de propagación.
Demostración:
Se espera que al sumar ba + sea exactamente c
( ) ( )babaerror +−+=⇒ **
Donde aeaa +=*
y bebb +=*
( ) ( ) cbaba eeebaebeaerror =+=+−+++=⇒
Esto es:
cecc +=*
El error absoluto es:
baba eeeebb +≤+=+−+ )(a)(a**
O bien:
bac eee +≤
(Burden, 1998; Chapra, 1999; Maron, 1995; Nieves, 2003; Sheid, 1995; Wheatley, 2000)
bac eeebaba +≤=+−+ )()(**
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Ejemplo:
Si a=1.00009 y b=2.00009
⇒ c=a+b=3.00018
Si tenemos un equipo que sólo maneje 4 decimales
⇒ a*=1.0000, b*=2.0000 y c*=3.0001
00009.00009.00018. +≤
+≤ bac eee
1.3.2. Resta
Si se restan las aproximaciones de dos números a y b se tiene un resultado c y el error absoluto que se comete cumple.
Esto es, la resta de los errores de las aproximaciones de a y b en valor absoluto son aproximadamente mayores o iguales al error del resultado, conocido como el error de propagación.
Demostración:
Se espera que al restar ba − sea exactamente c
( ) ( )babaerror −−−=⇒ **
Donde aeaa +=*
y bebb +=*
( ) ( ) cbaba eeebaebeaerror =+=−−+−+=⇒
Esto es:
cecc +=*
El error absoluto es:
baba eeeebb +≤+=−−− )(a)(a**
O bien:
bac eee +≤
bac eeebaba +≤=−−− )()(**
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1.3.3. Multiplicación
Si se multiplican las aproximaciones de a y b, el error relativo que se comete cumple:
( ) ( )( ) b
e
a
e
a
e
b
e
ba
baba baab +≤+≈⋅
⋅−⋅ **
Esto es, el error de propagación relativo en valor absoluto en la multiplicación es aproximadamente menor o igual a la suma de los errores relativos de a y b en valor absoluto.
Demostración:
cba =⋅
= =
=
=
El error absoluto es:
b
e
a
e
a
e
b
e
ba
bbba
ba
baba
a
aa baab +≤+=
⋅
−−=
⋅
⋅−⋅=
∆=
)(
)*)(*(
)(
)(*)*(δ
Ejemplo:
a= 1.004
b= 3.001
Aproximación:
= 1
=3
Operaciones:
a * b = c (1.004)(3.001)= 3.0130
= |3- 3.0130|=-0.0130
b
e
a
e
a
e
b
e
a
aa baab +≤+=
−−=
−=
∆=
001.3
)001.33)(004.11(
0130.3
)0130.3()3(δ
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1.3.4. División
Si se dividen las aproximaciones de a y b, el error relativo que se comete cumple:
b
e
a
e
b
e
a
e
b
ab
a
b
a
baba +≤−≈
−*
*
Esto es, el error de propagación relativo del cociente en valor absoluto es aproximadamente menor o igual a la suma de los errores relativos de a y b en valor absoluto.
Demostración:
cb
a=
b
ab
a
b
a
a
−
= *
*
δ
−
=+−−⊂−⊂−=∆
−
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
a
a
b
a
b
aa
*
*
*
*
*
***
*
*
..
b
e
a
e
b
e
a
e
b
a
b
b
a
a
b
a
b
a
b
a
a
aa baba +≤−=
−
=
−
=∆
=
**
*
*
δ
Ejemplo:
a= 10.0005
b= 3.3300
Aproximación:
= 10
=3
Operaciones:
Cb
a=
0031.33300.3
0005.10=
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=+−−=−=−=∆b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
a
a
b
a
b
aa
*
*
*
***
*
*
=+−−=−=−=∆
3300.3
0005.10
3
005.10
3300.3
10
3
10
3300.3
3
0005.10
10
3300.3
0005.10
3
10a
0001.00031.33335.30030.33333.3 −=+−−=∆a
b
e
a
e
b
e
a
e
b
a
b
b
a
a
b
a
b
a
b
a
a
aa baba +≤−=
−
=
−
=∆
=
**
*
*
δ
b
e
a
e
b
e
a
e
a
aa baba +≤−=
−
=
−
=∆
=
3300.3
0005.10
3300.3
3
0005.10
10
3300.3
0005.10
3300.3
0005.10
3
10
δ
0031.3
9009.0
0031.3
9999.0
0031.3
9009.09999.0+≤
−
6328.00329.02999.329.30329.0 ≤=+≤
1.3.5. Evaluación de Funciones
Supóngase operaciones básicas sin errores, cuando se evalúa una función )(xf en un
punto a:
*)( afee af′≈
Esto es, el error al evaluar una función en un argumento inexacto es proporcional a la primera derivada de la función en el punto donde se ha evaluado.
![Operaciones aritmeticas exposicion_final[1]](https://static.fdocumento.com/doc/165x107/5591f3a31a28ab826e8b45e8/operaciones-aritmeticas-exposicionfinal1.jpg)
