III

APNDICE A

Sistema de unidades

El sistema mtrico modernizado es conocido como el Sistema Internacional de Unidades, con la abreviacin internacional SI.

Est fundado en siete unidades fundamentales, listadas en la tabla A.1, que por convencin son consideradas dimensionalmente independientes. Todas las otras unidades son unidades derivadas, formadas coherentemente multiplicando y dividiendo unidades dentro del sistema sin factores numricos.

La expresin de mltiplos y submltiplos de unidades del SI se facilita a travs del uso de los prefijos listados en la tabla A.2.

Es importante enfatizar que cada cantidad fsica tiene slo una unidad en el SI, aun cuando esta unidad puede ser expresada en diferentes formas. Lo inverso, no obstante, es falso (por ejemplo, J/K es la unidad de capacidad calorfico y tambin de entropa). Por tanto es importante no slo usar la unidad para especificar una cantidad, tambin se debe indicar cul es la cantidad medida.

Factor Prefijo Smbolo Factor Prefijo Smbolo 1024 yotta Y 10-1 deci d 1021 zetta Z 10-2 centi c 1018 exa E 10-3 mili m 1015 peta P 10-6 micro 1012 tera T 10-9 nano n 109 giga G 10-12 pico p 106 mega M 10-15 femto f 103 kilo k 10-18 atto a 102 hecto h 10-21 zepto z 10 deca da 10-24 yocto y

Cantidad base Nombre Smbolo Longitud metro m

Masa kilogramo kg Tiempo segundo s

Corriente elctrica ampere A Temperatura termodinmica kelvin K

Cantidad de materia mol mol Intensidad luminosa candela cd

Tabla A. 1: Unidades base del SI.

Tabla A. 2: Prefijos del SI

IV

Smbolos con letras incluyen smbolos de cantidades y smbolos de unidades.

Los smbolos de cantidades fsicas se ponen en tipo italic, mientras que los smbolos de unidades se ponen en tipo roman (por ejemplo, F = 10 N).

El smbolo de una unidad es una entidad matemtica universal. No es una abreviacin y no est seguido de un punto (por ejemplo, el smbolo de segundo es s, no es seg ni s.). Los smbolos de unidades con nombres propios tienen la primera letra mayscula pero el nombre de las unidades mismas no son con maysculas (por ejemplo, tesla, T; metro, m). En contraste con los smbolos de unidades, la ortografa y gramtica para los nombres de las unidades son especficos a un lenguaje dado y no son parte del SI (por ejemplo, en Ingls se usa el deletreo kilogram y ampere, mientras que en espaol se puede usar: amperio (ampere), julio (joule), vatio (watt), culombio (coulomb), voltio (volt), ohmio (ohm), henrio (henry), faradio (farad).

Los plurales de los nombres de las unidades son formados de acuerdo con las reglas usuales de la gramtica (por ejemplo, kilopascales, henrys) con la excepcin de lux, hertz, y siemens que son irregulares. Los smbolos de las unidades no son pluralizados (por ejemplo, 3 kg, no 3 kgs).

Los smbolos para los prefijos representantes de 106 o mayores son con maysculas; todos los otros son con minsculas. No existe espacio entre el prefijo y la unidad. Se evitan los prefijos compuestos (por ejemplo, pF no F). Un exponente se aplica a la unidad completa incluyendo su prefijo (por ejemplo, cm3 = 106 m3). Cuando un mltiplo o submltiplo de una unidad se escribe en extenso, el prefijo debe ser escrito en extenso, comenzando con una letra minscula (por ejemplo, megahertz, no Megahertz o Mhertz). El kilogramo es la nica unidad base cuyo nombre, por razones histricas, contiene un prefijo; los nombres de mltiplos y submltiplos del kilogramo y sus smbolos se forman juntando prefijos con la palabra gramo y al smbolo g (por ejemplo, 103 kg = 1 mg no 1 kg).

Unidades fuera del SI

Una funcin importante del SI es desalentar la proliferacin de unidades innecesarias. Sin embargo, existen tres categoras de unidades fuera del SI que son reconocidas. Es deseable evitar combinaciones de tales unidades fuera del SI con unidades del SI. Las unidades aceptadas para uso con el SI son listadas en la tabla A.3. Como excepciones de las reglas, los smbolos , , y , para ngulos planos, no son precedidos por un espacio.

Cantidad Nombre Smbolo Valor en unidades del SI tiempo minuto min 1 min = 60 s hora h 1 h = 60 min = 3 600 s da d 1 d = 24 h = 86 400 s ngulo plano grado 1 = (/180) rad minuto 1 = (1/60)= (/10 800) rad segundo 1 = (1/60) = (/648 800) rad volumen litro L 1 L = 1 dm3 = 103 m3 masa tonelada t 1 t = 103 kg

Tabla A. 3: Unidades aceptadas para uso con el SI.

V

APNDICE B

Notacin cientfica

En el estudio de la fsica, muchas veces es necesario expresar cantidades numricas excesivamente grandes o pequeas, como ejemplo, la rapidez de la luz es 300000000 [m/s] y la tinta necesaria de un bolgrafo para poner un punto sobre la i tiene una masa aproximada de 0,000000001 [kg]. Obviamente es muy incmodo y poco prctico llevar al papel o realizar clculos matemticos a mano o calculadora con cifras de tal tamao de caracteres, por lo cual se expresan utilizando potencias de base diez, siendo equivalentes para la realizacin de clculos.

Para aplicar la notacin cientfica, se debe tener en cuenta dos sencillas reglas:

Si la coma decimal se desplaza hacia la izquierda, por cada espacio recorrido se debe aumentar en uno el exponente de la base diez. Ejemplos: 300000000.0 = 3.0 x 108

4589000000.0 = 4.589 x 109

Si la coma decimal se desplaza hacia la derecha, por cada espacio recorrido se debe disminuir en uno el exponente de la base diez. Ejemplos: 0.000001 = 1 x 10-6 0.00002304 = 2.304 x 10-5

Para realizar operaciones con nmeros expresados en notacin cientfica, se debe tener en cuenta lo siguiente: Adicin real: al sumar o sustraer entre nmeros en notacin cientfica se deben

expresar ambos con el mismo exponente en la base diez, preferiblemente en la base menor entre ellos. Ejemplo: 3.0 x 103 + 4.5x104 3.0x103 + 45x103 = 48x103 Multiplicacin: los exponentes de la base diez se suman (o restan, dependiendo del signo) entre s, mientras las cifras se multiplican. Ejemplo: (3.0x104)(4.0x10-2) = (3.0x4.0)x104+(-2) = 12x10-2

Divisin: del exponente de la base diez en el numerador se sustrae el exponente de la base diez del denominador, mientras las cifras se dividen entre ellas. Ejemplo: ( ) Potenciacin y radicacin: se multiplica el exponente de la base diez y se eleva al exponente la cifra. Ejemplos: [ ]

VI

APNDICE C

Cifras significativas

Las cifras significativas representan la cantidad de caracteres numricos a tener en cuenta cuando se realizan mediciones y clculos matemticos. Generalmente, las cifras significativas estn ligadas a las escalas de incertidumbre de los instrumentos utilizados para dicha medicin, por tanto, es necesario establecer ciertos criterios para poder expresar correctamente una cantidad numrica.

Las cifras significativas en un nmero se dividen en dos partes principales, las cifras ciertas o definitivas son todos aquellos nmeros de los cuales se puede tener certeza absoluta de su medicin, mientras que la cifra incierta o dudosa es la ltima cifra de la cual no es necesario estar seguro pero an as es necesaria para establecer un criterio de incertidumbre. Como ejemplo: 2.75: Los caracteres numricos correspondientes al 2.7 son la cifra cierta o definitiva,

mientras el ltimo carcter siempre ser la cifra dudosa, en este caso el 5. 0.000024: Los caracteres numricos correspondientes al 0.00002 son la cifra cierta o definitiva, mientras el ltimo carcter siempre ser la cifra dudosa, en este caso el 4.

Para establecer cules seran las cifras significativas de un nmero se deben tener en cuenta los siguientes criterios: Cualquier dgito diferente de cero es significativo.

o 343 [l] tiene tres cifras significativas o 6,673 [kg] tiene cuatro cifras significativas Los ceros situados en medio de nmeros diferentes son significativos. o 402 [cm] tiene tres cifras significativas. o 23406 [kg] tiene cinco cifras significativas. Los ceros a la izquierda del primer nmero distinto a cero no son significativos o 0,002 [m] tiene una sola cifra significativa. o 0,000000001056 [kg] tiene cuatro cifras significativas. Para los nmeros mayores que uno, los ceros escritos a la derecha de la coma decimal

tambin cuentan como cifras significativas o 2,0 [dm] tiene dos cifras significativas. o 10,093 [cm] tiene cinco cifras significativas. En los nmeros enteros, los ceros situados despus de un dgito distinto de cero, pueden

ser o no cifras significativas o 600 [kg] tiene una cifra significativa (el 6), tal vez dos (60), o puede tener los

tres (600).

Generalmente, para establecer cualquier criterio se necesitan datos extras, tales como la definicin del instrumento de medicin o el proceso de obtencin de la medida. Adems, se puede utilizar notacin cientfica para expresar mejor las cantidades segn convenga.

VII

APNDICE D

Errores e incertidumbres

En el mtodo cientfico para comprobacin de hiptesis en la etapa de experimentacin para realizar un anlisis, es necesaria la toma de datos cuantitativos conocidos como mediciones. Estas pueden ser mediciones directas si son tomadas con un instrumento de medicin graduado o indirectas si son producto de un clculo matemtico. Adems es necesario tener en cuenta que dichas mediciones tendrn un valor cierto y una cifra dudosa, la cual deber estar especificada con un intervalo de incertidumbre.

A menudo en el laboratorio se tomar un conjunto de mediciones de una cantidad fsica, pero nunca se conocer el verdadero valor o valor real, ya que estas mediciones ineludiblemente se registraran con errores.

La Exactitud es que tan cercanos son los valores medidos al valor real o esperado. La Precisin es la dispersin de los valores medidos entre ellos, respecto a un mismo valor promedio.

Es decir, en la medicin se puede tener casos en los cuales, aunque haya precisin no necesariamente ser exacto. En la figura D.1 se expresan 3 distintos casos de toma de datos en una experimentacin. Asumamos que realizamos un experimento en el cual se verifica el valor de la aceleracin de gravedad g=9,8 [m/s2].

Figura D. 1: Exactitud y precisin

En el caso 1, los datos obtenidos son 10,2; 10,3; 10,1; 10,2; 10,1 y 10,3 respectivamente, por tanto los datos son precisos pero no exactos. En el caso 2, los datos obtenidos son 9,8; 9,7; 9,8; 9,9; 9,7 y 9,8 respectivamente, por tanto los datos son precisos y exactos. En el caso 3, los datos obtenidos son 7,1; 6,8; 8,1; 10,4; 9,5 y 9,4 por tanto no son ni precisos ni exactos. Y en el caso 4, se obtienen los datos 9,8; 4,1; 5,3; 9,1; 10,0 y 7,2 por lo tanto aunque no son precisos, al tener un dato de 9,8 se puede decir que es una medicin exacta para descartar los otros datos.

La precisin y exactitud dependern exclusivamente de los errores cometidos al realizar las mediciones. Estos pueden tener distintas fuentes, tales como:

VIII

Error aleatorio: no se pueden identificar provocando que, en supuestas condiciones idnticas de medicin, se generen resultados distintos. Generalmente se puede atenuar mediante una toma repetitiva de datos para obtener precisin en ellos. Error sistemtico: es aquel que se repite constantemente al realizar las mediciones, generalmente es ocasionado por la mala calibracin o el mal funcionamiento de un instrumento, adems est relacionado con la exactitud del instrumento y se los puede identificar, cuantificar y compensar. Estos se pueden sub clasificar en:

o Instrumental: error causado por la falta de calibracin de un instrumento de medicin.

o Personales: error causado por un sesgo de visin del observador al medir o por desconocimiento del mtodo de medicin o instrumentacin utilizada.

o Externos: error causado por las condiciones del medio, tales como temperatura, vibracin, viento, humedad, etc.

Para registrar correctamente las mediciones, es necesario expresarlas con un valor de incertidumbre que se expresa como un intervalo donde es la medicin y es la incertidumbre, como se muestra en la figura D.2. La incertidumbre es un rango de valores de confianza en los cuales se considera que la cifra dudosa de la medicin es precisa.

Figura D. 2: Incertidumbre

Para determinar la incertidumbre en una medicin directa, se debe tener en cuenta cual es la mnima divisin en la escala del instrumento utilizado. A su vez, debemos expresar la incertidumbre de tal manera que debe coincidir en la escala numrica con la cifra dudosa de la medicin. Ejemplo:

est correctamente expresada, ya que la incertidumbre har variar la cifra dudosa de la medicin. est incorrectamente expresada, ya que la incertidumbre no har variar la cifra dudosa, y coincide con una cifra cierta.

Para las mediciones indirectas, se deber realizar propagacin de incertidumbres, las cuales se pueden obtener de las siguientes maneras:

Distancias finitas: dada una medicin indirecta y y, obtenida por la operacin matemtica de varios valores con incertidumbre de la forma x x, se har variar los valores de estas para obtener un valor mnimo y uno mximo, entre los cuales se realizara la operacin:

IX

Ejemplo: Se desea obtener el rea de una zona rectangular cuyo largo es 5.0 0.1 m y de ancho 7.2 0.1 m.

El valor de la medicin se calcula:

rea = largo x ancho = (5.0)(7.2) = 36 m2 [ ] La incertidumbre se calculara:

reamax = (5.1)(7.3) = 37 m2 reamin = (4.9)(7.1) = 35 m2 rea = 1 m2 Por tanto, la medicin indirecta del rea rea rea, teniendo en cuenta las dos cifras significativas de las mediciones directas:

rea rea = 36 1 m2 Derivadas parciales: Sea una medicin indirecta se puede obtener el valor de de la forma: | | | | | | Donde representa la derivada parcial de w respecto a x, y la incertidumbre de x. Ejemplo: Se desea obtener el volumen de un cubo donde el ancho es [ ], el alto es [ ] y el espesor [ ]. [ ] | | | | | | [ ]

Por tanto: [ ]

X

APNDICE E GRAFICOS NO LINEALES

En el laboratorio al realizar un grfico de la funcin entre variables, estas no suelen ser lineales. Esto representa una importante dificultad al momento de realizar un anlisis cuantitativo, ya que prcticamente se unira con lneas los datos obtenidos obviando los intervalos de incertidumbre y la posible dispersin de estos. Por tanto, se necesita llevar estas funciones no lineales a una grfica lineal para poder realizar un anlisis apropiado de dichas relaciones entre variables.

Estas funciones no lineales generalmente son funciones bsicas con grficos conocidos, tales como las exponenciales, logartmicas, radicales e inversas. Para realizar la linealizacin de dichas funciones por el mtodo grfico se suele realizar el modelado de la ecuacin expresada en logaritmos, para luego ser graficados directamente sobre una hoja con escala logartmica predeterminada.

Escala Logartmica

Sea una funcin de la forma donde x es la variable independiente y n es el grado de la funcin polinmica, la linealizacin de la forma , donde a es la pendiente y b es el intercepto con el eje de las ordenadas, se expresa por medio de un logaritmo de base diez de la forma: Siendo n la pendiente del grafico linealizado y el intercepto de la recta con el eje de las ordenadas. Para este caso, se puede utilizar una escala logartmica, en la cual, se graficarn directamente los puntos obtenidos de los pares ordenados (x, y).

Cada eje se divide en una escala logartmica en manera de dcadas. Cada dcada contiene un valor del 1 al 9 multiplicado por un factor de dependiendo de las necesidades de graficacin. Para la pendiente del grfico en un papel logartmico, se escogen dos pares

XI

ordenados y distintos a los valores obtenidos en la medicin que pertenezcan a la recta, utilizando la siguiente ecuacin:

Escala Semilogartmica

Sea una funcin de la forma , donde x es la variable independiente y n es el factor multiplicador en el grado de la funcin exponencial, la linealizacin de la forma , donde a es la pendiente y b es el intercepto con el eje de las ordenadas, se expresa por medio de un logaritmo de base diez de la forma: Siendo n la pendiente del grafico linealizado y el intercepto de la recta con el eje de las ordenadas. Para este caso, se puede utilizar una escala semilogartmica ya que solo el eje ordenado est en funcin de un logaritmo, mientras el eje de las abscisas no lo est.

El eje de las ordenadas se divide en una escala logartmica en manera de dcadas. Cada dcada contiene un valor del 1 al 9 multiplicado por un factor de dependiendo de las necesidades de graficacin. Para la pendiente del grfico en un papel logartmico, se escogen dos pares ordenados y distintos a los valores obtenidos en la medicin que pertenezcan a la recta, utilizando la siguiente ecuacin: