14_Analisis_Edificios
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Universidad Federico Santa María
Departamento de Obras Civiles
Dinámica de Estructuras (CIV–235)
H. Jensen & M. Valdebenito
Análisis de Edificios
Introducción
• Estudiar una técnica para modelar el comportamiento dinámico de
edificios que puedan ser idealizados como estructuras lineales elásticas
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Objetivo
Introducción
• Suposiciones
– Se considera solo excitación sísmica horizontal
– Diafragmas de cada nivel son infinitamente rígidos en sentido axial.
Por lo tanto, cada planta puede ser modelada por medio de 3
grados de libertad (2 desplazamientos, un giro)
• El edificio cuenta con un total de 𝑛 pisos
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Modelo Matemático
Introducción
• Modelo a nivel de piso: considere la representación esquemática en
planta del piso 𝑖
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Modelo Matemático
Elemento resistente 𝑗
Nivel 𝑖
Planta (infinitamente rígida en sentido axial)
• 𝑢𝑖: desplazamiento en
sentido 𝑥 del piso 𝑖 • 𝑣𝑖: desplazamiento en
sentido 𝑦 del piso 𝑖 • 𝜃𝑖: giro del piso 𝑖 • Elemento resistente 𝑗:
identificación de un
sistema estructural que
provee rigidez lateral
(muro, marco)
Planta del piso 𝑖
Introducción
• Modelo a nivel de piso: considere la representación esquemática en
plata del piso 𝑖
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Modelo Matemático
Elemento resistente 𝑗
Nivel 𝑖
Planta del piso 𝑖
Piso 𝑖
Elevación del
elemento resistente 𝑗
• (𝑅𝑖𝑗 , 𝛼𝑖𝑗): coordenadas polares del
elemento resistente 𝑗 respecto del
origen de sistema coordenado del
piso 𝑖
Introducción
• Modelo a nivel de piso: considere la representación esquemática en
plata del piso 𝑖
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Modelo Matemático
Elemento resistente 𝑗
Nivel 𝑖
Planta del piso 𝑖
Piso 𝑖
Elevación del
elemento resistente 𝑗
• 𝑃𝑖𝑗 : fuerza horizontal que actúa
sobre el elemento 𝑗 en el piso 𝑖 (en el
plano del elemento)
• 𝛿𝑖𝑗 : desplazamiento del elemento 𝑗
en el piso 𝑖 (en el plano del
elemento)
Introducción
• Con el objeto de generar el modelo del edificio, se siguen los siguientes
pasos
1. Generación de la matriz de rigidez global
2. Generación de la matriz de masas
3. Formulación de la ecuación de movimiento
4. Análisis modal
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Modelo Matemático
Matriz de Rigidez Global
• Para determinar la matriz de rigidez del modelo completo, se comienza
por determinar la matriz de rigidez de cada elemento resistente (muro,
marco) de manera individual
• La matriz de rigidez del elemento 𝑗 debe ser expresada en términos de
los grados de libertad horizontales
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Matriz de Rigidez del Elemento Resistente 𝑗
• 𝑃𝑗 : vector de fuerzas
• 𝐾𝑗 : matriz de rigidez
• 𝛿𝑗 : vector de desplazamientos
Matriz de rigidez
del elemento 𝑗
𝛿𝑖𝑗 : desplazamiento del
elemento 𝑗 en el piso 𝑖
Ecuación de rigidez horizontal del elemento resistente 𝑗
Matriz de Rigidez Global
• La matriz de rigidez del elemento 𝑗 debe ser expresada en términos de
los grados de libertad horizontales
– Ejemplo: considere un marco de 3 pisos, vigas axialmente
indeformables. Matriz de rigidez debe ser expresada en términos de
los grados de libertad horizontales (activos)
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Matriz de Rigidez del Elemento Resistente 𝑗
Condensación
estática
Matriz de Rigidez Global
• Para incluir la matriz de rigidez del elemento 𝑗 en el análisis global, es
necesario determinar la relación entre los grados de libertad locales y
los globales. Es decir, la relación entre 𝛿𝑖𝑗 y 𝑢𝑖 , 𝑣𝑖 , 𝜃𝑖
• Suponiendo desplazamientos pequeños
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Transformación de Coordenadas Locales a Globales
Elemento resistente 𝑗
Nivel 𝑖
Matriz de Rigidez Global
• La última ecuación puede ser escrita en términos matriciales
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Transformación de Coordenadas Locales a Globales
[𝐴]: matriz de transformación
Matriz identidad Desplazamientos
en sentido 𝑥
Desplazamientos
en sentido 𝑦
Giros
[𝑞]: vector de desplazamientos
(coordenadas globales)
Matriz de Rigidez Global
• Luego, la relación entre desplazamientos locales del elemento 𝑗 y los
desplazamientos globales es
• Al sustituir la última ecuación en la ecuación de rigidez horizontal del
elemento resistente 𝑗, se obtiene:
• Se define {𝑄𝑗} como el vector de fuerzas que actúan sobre el elemento
𝑗 en coordenadas globales
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Transformación de Coordenadas Locales a Globales
Matriz de Rigidez Global
• Note que la última expresión permite determinar la matriz de rigidez
horizontal del elemento resistente 𝑗 formulada en coordenadas globales
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Rigidez del Elemento Resistente 𝑗 en Coord. Globales
Matriz de rigidez del eje 𝑗 en coordenadas globales
Matriz de Rigidez Global
• Al desarrollar el producto 𝐴𝑗𝑇[𝐾𝑗][𝐴𝑗] se determina que:
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Rigidez del Elemento Resistente 𝑗 en Coord. Globales
Matriz de Rigidez Global
• Si hay un total de 𝑚 ejes resistentes, la matriz de rigidez del modelo
completo en coordenadas globales es:
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Matriz de Rigidez en Coordenadas Globales
Matriz de Rigidez Global
• La relación de rigidez del edificio puede ser expresada en forma
compacta como:
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Matriz de Rigidez en Coordenadas Globales
• 𝑄 : Fuerzas (coordenadas globales)
• 𝐾 : Matriz de rigidez del sistema en
coordenadas globales
• 𝑞 : Desplazamientos (coordenadas
globales)
Matriz de Masas – Piso 𝑖
• Considere el modelo de la planta del piso 𝑖
• Las fuerzas de inercia de la planta están dadas por la expresión
• Si 𝑢 𝑖, 𝑣 𝑖 y 𝜃 𝑖 son desplazamientos virtuales, entonces el trabajo virtual
𝑊𝑒 asociado a las fuerzas inerciales es:
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Fuerzas de Inercia
𝑀𝑖 : matriz de masas del piso 𝑖 (por el momento, sus términos son
desconocidos)
Matriz de Masas – Piso 𝑖
• Para calcular el detalle de los términos de la matriz de masa es
necesario tomar en cuenta la distribución continua de masas
• Las fuerza de inercia asociada a un elemento diferencial de área 𝑑𝐴𝑖
del piso 𝑖 es:
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Fuerzas de Inercia – Distribución Continua de Masas
𝐴𝑖 área del piso
• 𝛿 𝛼, 𝛽 : vector que describe el campo
de desplazamiento en función de las
coordenadas 𝛼, 𝛽
• 𝜇 𝛼, 𝛽 : densidad (masa por unidad
de área)
La fuerza inercial total del piso 𝑖 es:
Matriz de Masas – Piso 𝑖
• Suponga que se introduce un desplazamiento virtual 𝛿 𝛼, 𝛽 . Luego, el
trabajo virtual 𝑊𝑒∗ asociado a la fuerza inercial considerando la
distribución continua de masas es:
• La relación existente entre el campo de desplazamientos 𝛿 𝛼, 𝛽 y las
coordenadas 𝑢𝑖 , 𝑣𝑖 , 𝜃𝑖 que describen el desplazamiento del piso 𝑖 es
(suponiendo desplazamientos pequeños):
• Por lo tanto, la expresión que relaciona 𝛿 𝛼, 𝛽 con 𝑢 𝑖 , 𝑣 𝑖 , 𝜃 𝑖 es
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Fuerzas de Inercia – Distribución Continua de Masas
Aceleración
Desplazamiento
Matriz de Masas – Piso 𝑖
• En particular, el producto 𝛿 𝛼, 𝛽 ⋅ 𝛿
𝛼, 𝛽 puede expresarse como:
• Además:
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Fuerzas de Inercia – Distribución Continua de Masas
Términos constantes
Matriz de Masas – Piso 𝑖
• Note que la integral que involucra a la matriz 𝐵 𝛼, 𝛽 y 𝜇 𝛼, 𝛽 es:
• Si el origen del sistema coordenado a nivel de cada piso se escoge en
el centro de masas, la matriz 𝑀𝑖∗ adopta la forma
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Fuerzas de Inercia – Distribución Continua de Masas
Matriz 𝑀𝑖∗
• 𝑚𝑖: masa traslacional
• 𝐽𝑖: momento polar de masas del piso 𝑖
Matriz de Masas – Piso 𝑖
• En resumen, el término 𝑊𝑒∗ es igual a:
• Note que los trabajos virtuales 𝑊𝑒 y 𝑊𝑒∗ deben ser idénticos
• Por lo tanto, la matriz de masas del piso 𝑖 es:
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Fuerzas de Inercia – Distribución Continua de Masas
Matriz de Masas Global
• Recordatorio: el vector de desplazamientos globales 𝑞(𝑡) se formula
tal que:
• Por lo tanto, la estructura de la matriz de masas en términos de las
coordenadas globales 𝑀 es:
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Formulación en Términos de Coordenadas Globales
Formulación de la Ecuación de Movimiento
• La ecuación de movimiento en su forma más simple es:
• Suponga que la estructura es excitada por un evento sísmico, más
específicamente una aceleración 𝑢 𝑔𝑥(𝑡) en dirección 𝑥. Luego, la fuerza
equivalente es:
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Ecuación Diferencial Matricial
Eventualmente es posible
incorporar el término relacionado al
amortiguamiento viscoso 𝐶 𝑞 (𝑡)
Vector de
acoplamiento 𝐺𝑥
Superposición Modal
• La ecuación de movimiento en términos de las coordenadas principales
𝑧(𝑡) es:
• La 𝑖-ésima ecuación diferencial es:
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Ecuación de Movimiento en Coordenadas Modales
Eventualmente es posible incorporar el término
relacionado al amortiguamiento viscoso 2𝑑𝑖𝜔𝑖𝑧 𝑖(𝑡)
Igual a 1 si modos han
sido normalizados
Superposición Modal
• Suponer que se desea calcular el desplazamiento de la estructura
asociado al 𝑖-ésimo modo
• En particular, el desplazamiento del grado de libertad 𝑝 es:
• El valor máximo de 𝑞𝑖𝑝(𝑡) puede ser determinado utilizando el espectro
de respuesta asociado a 𝑢 𝑔𝑥(𝑡)
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Desplazamiento asociado al modo 𝑖
Desplazamiento
asociado al modo 𝑖 modo 𝑖
Coordenada
principal 𝑖
Espectro de desplazamiento
asociado a 𝑢 𝑔𝑥(𝑡)
Superposición Modal
• Suponer que se desea calcular la fuerza que actúa sobre la estructura
asociada al 𝑖-ésimo modo
• El valor máximo de la fuerza 𝐹𝑖𝑝(𝑡) aplicada sobre el grado de libertad
𝑝 puede ser determinado utilizando el espectro de respuesta asociado
a 𝑢 𝑔𝑥(𝑡)
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Fuerza sobre la Estructura asociada al modo 𝑖
Recordatorio:
𝑝-ésima componente
del modo 𝑖
Superposición Modal
• El corte basal 𝑉𝑖𝑥 𝑡 asociado al modo 𝑖 en dirección 𝑥 es:
• El valor máximo del corte basal 𝑉𝑖𝑥 𝑡 es:
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Corte Basal asociado al modo 𝑖
Superposición Modal
• La última ecuación en términos de sus componentes es:
• Donde
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Corte Basal asociado al modo 𝑖