14 INTEGRAL DEFINIDA

regla de Barrow

áreas comprendidas entre:• el eje X y f(x) en [a, b]• las funciones f(x) y g(x)• el eje X y f(x)

áreas de conocimiento• Física• Medio ambiente• Economía• etcétera

volúmenes de:• un cuerpo por

secciones• cuerpos de

revolución

Tem

a 1

4:

Inte

gra

l d

efin

ida

Intr

oducc

ión

273

Organiza tus ideas

En este tema se estudian la integral definida y sus aplicacio-nes.En geometría se estudia cómo calcular el área de una figuraplana elemental aplicando un conjunto de fórmulas conocidas.Cuando la figura plana está limitada por una curva cualquiera,no se dispone de ninguna fórmula para calcular su área. Esteproblema se resuelve gracias al concepto de integral definiday viene dado por la regla de Barrow, profesor de Newton, quepermite calcular el área de un recinto comprendido entre el ejeX y una función f(x) que es continua y acotada en un intervalo[a, b]La primera aplicación que se estudia de la integral definida esel cálculo de áreas en casos concretos:• El área comprendida entre el eje X y una función f(x) en el in-

tervalo [a, b]• El área comprendida entre dos funciones, f(x) y g(x)• El área comprendida entre el eje X y una función como caso

particular del anterior.Posteriormente se estudian algunas aplicaciones a la Física,a la Economía y a la Ecología.El tema concluye con el estudio del cálculo de volúmenes. Seaborda, en primer lugar, el cálculo de volúmenes de cuerpospor secciones, y se sigue con el cálculo de volúmenes de cuer-pos de revolución que se obtienen al girar una función f(x) so-bre el eje X. Se aplican estos métodos para deducir el volumende los cuerpos elementales: prisma, pirámide, cilindro, cono yesfera.

Integral definida

se expresa mediante la

que calcula

permite calculartiene aplicaciones a todas las

1. INTEGRAL DEFINIDA

1.1. Integral definida

La interpretación geométrica de la regla de Barrow es que calcula el área compren-dida entre el eje X y la función f(x) en el intervalo [a, b]; pero considerando que siel área está en la parte superior es positiva y si está en la parte inferior es negativa.

1.2. Procedimiento para aplicar la regla de Barrow

EjemploCalcula la siguiente integral definida aplicando la regla de Barrow.

∫2

5(x – 1) dx

a) F(x) = ∫(x – 1) dx = – x

b) F(2) = 0, F(5) =

c) ∫2

5(x – 1) dx = F(5) – F(2) = – 0 = = 7,5 u2

El resultado es positivo porque el área está encima del eje X

EjemploCalcula la siguiente integral definida aplicando la regla de Barrow.

∫1

4(x2 – 6x + 4) dx

a) F(x) = ∫(x2 – 6x + 4) dx = – 3x2 + 4x

b) F(1) = , F(4) = –

c) ∫1

4(x2 – 6x + 4) dx = F(4) – F(1) = – – = –12 u2

El resultado es negativo porque el área está debajo del eje X

43

323

323

43

x3

3

152

152

152

x2

2

274 TEMA 14

Piensa y calculaHalla, contando, el área de la 2ª figura del margen, la que tiene un signo + dentro. Cada cuadradito esuna unidad cuadrada.

La integral definida de una función f(x) continua y acotada en el intervalo[a, b] viene dada por la siguiente regla de Barrow:

∫a

bf(x) dx = F(b) – F(a) siendo F(x) una primitiva de f(x)

∫a

bf(x) dx se lee “la integral de f(x) entre a y b”, el número a es el límite in-

ferior y b es el límite superior.

a) Dada la función f(x) se halla una primitiva F(x) sin constante.b) Se calcula F(a) y F(b)c) Se halla la diferencia F(b) – F(a)

El símbolo ∫

El área verde es la suma de lasáreas de todos los rectángulos cuan-do el ancho dx tiende a cero y laaltura es el valor de la función.

El símbolo ∫ es una s alargada y

simboliza la palabra suma de lasáreas de los rectángulos para ha-llar el área bajo la curva.

Observa que la figura es un tra-pecio que tiene de área 7,5 u2. Sepuede obtener contando los cua-draditos del dibujo.

1.3. Propiedades de la integral definida

Las propiedades más importantes de la integral definida son:

Ejemplo

Calcula: ∫4

–4|x| dx

Aplicando las propiedades de la integral definida se tiene:

∫4

–4|x| dx = ∫

0

–4(–x) dx + ∫

0

4x dx

Sean F(x) = ∫(–x) dx G(x) = ∫x dx

a) F(x) = – G(x) =

b) F(–4) = –8, F(0) = 0 G(0) = 0, G(4) = 8

c) ∫0

–4(–x) dx = F(0) – F(–4)= 8 u2 ∫

0

4x dx = G(4) – G(0)= 8 u2

∫4

–4|x| dx = ∫

0

–4(–x) dx + ∫

0

4x dx = 8 + 8 = 16 u2

1.4. Derivada de una integral

EjemploCalcula la derivada de la función F(x) = ∫

x2

x3

L t dt

F'(x) = (L x3) 3x2 – (L x2) 2x = 9x2 L x – 4x L x = (9x2 – 4x) L x

x2

2x2

2

275

Aplica la teoría

1. Calcula ∫2

–1(5 – x2) dx

2. Calcula ∫1

3

(–2x + 1) dx

3. Siendo |x| el valor absoluto o módulo de x, calcula la in-

tegral definida ∫2

–1|x| dx

4. Calcula la derivada de F(x) = ∫3x

x2

cos t dt

5. Calcula ∫1

2

L x dx

6. Calcula el valor de ∫0

1x dxex2

Tem

a 1

4:

Inte

gra

l d

efin

ida

1. Si f(x) es continua y está acotada en el intervalo [a, c] y a < b < c, entonces

se verifica que: ∫a

cf(x) dx = ∫

a

bf(x) dx + ∫

b

cf(x) dx

Este resultado se desprende de la interpretación geométrica de la integraldefinida.

2. Si f(x) y g(x) son funciones continuas y están acotadas en el intervalo [a, c]

y además f(x) ≤ g(x), se verifica que: ∫a

bf(x) dx ≤ ∫

a

bg(x) dx

Este resultado se desprende de la interpretación geométrica de la integraldefinida.

La derivada de una integral con límites variables F(x) = ∫g(x)

h(x)f(t) dt

viene dada por: F'(x) = f[h(x)] · h'(x) – f[g(x)] · g'(x)

f(x) = |x| =

Observa que las figuras son dostriángulos y que cada uno tiene deárea 8 u2

–x si x ≤ 0x si x > 0

2. CÁLCULO DE ÁREAS

2.1. Área comprendida entre el eje X y la función f(x) en el intervalo [a, b]

EjemploCalcula el área del recinto limitado por el eje X y la función f(x) = x2 – 2x – 3en el intervalo [1, 4]

a) x2 – 2x – 3 = 0 ⇒ x1 = –1, x2 = 3Sólo se toma x2 = 3 que está en el intervalo [1, 4]

b) Se descompone el intervalo [1, 4] en los intervalos: [1, 3] y [3, 4]

a) F(x) = ∫(x2 – 2x – 3) dx = – x2 – 3x

b) F(1) = – , F(3) = –9, F(4) = –

c) A1 = ∫1

3(x2 – 2x – 3) dx = |F(3) – F(1)| = –9 + = u2

A2 = ∫3

4(x2 – 2x – 3) dx = |F(4) – F(3)| = – + 9 = u2

d) El área es: A = A1 + A2 = + = = 7,67 u2

2.2. Área comprendida entre dos funciones

233

73

163

73|

203|||

163|

113|||

203

113

x3

3

276 TEMA 14

Piensa y calculaHalla por aproximación el área de las dos regiones, la amarilla y la verde, del primer dibujo del margen.Cada cuadradito es una unidad cuadrada.

a) Se calculan las raíces de la ecuación f(x) = 0 y se toman aquellas que estánen el intervalo [a, b]

b) Se descompone el intervalo [a, b] en los intervalos necesarios: [a, c], [c, d],[d, b]

c) Dada la función f(x), se halla la primitiva F(x) sin constante.d) Se calculan F(a), F(c), F(d) y F(b)e) Se calcula cada una de las áreas aplicando la regla de Barrow y tomando el

valor absoluto.f ) Se suman todas las áreas obtenidas.

a) Se calculan las abscisas de los puntos de corte de las dos funciones resol-viendo la ecuación f(x) = g(x)

b) Se halla la función diferencia de las dos funciones: f(x) – g(x)c) Dada la función f(x) – g(x), se halla la primitiva F(x) sin constante.d) Se calcula F(a), F(b), F(c), ...e) Se calcula cada una de las áreas aplicando la regla de Barrow y tomando el

valor absoluto.f ) Se suman todas las áreas obtenidas.

Diferencia de funcionesEs lo mismo tomar:

f(x) – g(x)

que

g(x) – f(x)

Si se toma como primera funciónla que está arriba, el valor de la re-gla de Barrow es positivo; si no, esnegativo. Como se toma el valorabsoluto, no importa el orden.

EjemploCalcula el área comprendida entre las siguientes funciones:

f(x) = 4 – x2 g(x) = 2x + 1a) Se calculan las abscisas de los puntos de corte resolviendo la ecuación:

4 – x2 = 2x + 1 ⇒ x2 + 2x – 3 = 0 ⇒ x1 = 1, x2 = –3b) Función diferencia: f(x) – g(x) = 4 – x2 – (2x + 1) = –x2 – 2x + 3

c) F(x) = ∫(–x2 – 2x + 3) dx = – – x2 + 3x

d) F(– 3) = –9, F(1) =

e) Área = ∫1

–3(–x2 – 2x + 3) dx = |F(1) – F(–3)| = + 9 = = 10,67 u2

2.3. Área comprendida entre el eje X y una curva f(x)

EjemploCalcula el área comprendida entre el eje X y la siguiente función:

f(x) = –x3 + x2 + 2xa) Se calculan los puntos de corte de f(x) con el eje X:

x3 – x2 – 2x = 0 ⇒ x(x2 – x – 2) = 0 ⇒ x1 = –1, x2 = 0 y x3 = 2

b) F(x) = ∫(–x3 + x2 + 2x) dx = – + + x2

c) F(–1) = , F(0) = 0, F(2) =

d) A1 = ∫0

–1(–x3 + x2 + 2x) dx = |F(0) – F(–1)| = 0 – = u2

A2 = ∫0

2(–x3 + x2 + 2x) dx = |F(2) – F(0)| = – 0 = u2

El área total es A = A1 + A2 = + = = 3,08 u23712

83

512

83|

83|||

512|

512|||

83

512

x3

3x4

4

323|

53|||

53

x3

3

277

Aplica la teoría7. Halla el área de la región plana limitada por la gráfica de

f(x) = x3 – 3x2 – x + 3, el eje de abscisas y las rectas x = 0, x = 3

8. Halla el área del recinto limitado por la recta y = 3 – 2xy la parábola y = 2x – x2

9. Halla el área de la región plana limitada por la gráfica dey = x3 – 4x y el eje X

10. Calcula el área de la región limitada por la curva

y = y las rectas y = 0, x = 2, x = 3

11. Resuelve las siguientes cuestiones:

a) Dibuja el recinto limitado por las curvas:

y = ex + 2, y = e–x, y = 0

b) Halla el área del recinto considerado en el apartadoanterior.

12. Dada la función, definida en los números reales salvo enx = 0

f(x) = 3 – x –

Calcula el área de la región plana limitada por la gráficade f(x) y el semieje positivo X

2x

x2

x3 – 2 Tem

a 1

4:

Inte

gra

l d

efin

ida

Este problema es un caso particular del área comprendida entre dos curvas. Eneste caso, se calculan los puntos de corte de la curva f(x) con el eje X resol-viendo la ecuación f(x) = 0, y se aplica la regla de Barrow a los intervalos quese obtienen con dos raíces consecutivas y se toma el valor absoluto.

3. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

3.1. Aplicaciones a la física

EjemploDeduce las fórmulas del m.r.u.a. (movimiento rectilíneo uniformemente ace-lerado)Un m.r.u.a. se caracteriza por que tiene aceleración constante, a

v(t) = ∫a dt = at + v0

s(t) = ∫(at + v0) dt = at2 + v0t + s0

EjemploUn objeto se deja caer en el vacío. Suponiendo que la gravedad es de 9,8 m/s2,cuál es la velocidad, v, y el espacio, s, recorrido al cabo de 4 s

v(t) = at + v0 ⇒ v(4) = 9,8 · 4 + 0 = 39,2 m/s

s(t) = at2 + v0t + s0 ⇒ s(4) = 9,8 · 42 + 0 · 4 + 0 = 78,4 m

3.2. Aplicaciones al medio ambiente

La cantidad de agua que pasa por un río durante un período de tiempo es igual alárea encerrada por el eje X y la curva en el intervalo de tiempo correspondiente.

EjemploLa función que mide el caudal de un río en función de los meses del año vie-ne dado por:

f(x) = 3 + 2 cos

donde f(x) está dado en miles de hectolitros por segundo, y x, en meses.¿Qué cantidad de agua pasa por el río en un año?

a) Volumen = ∫0

123 + 2 cos dx

b) ∫ 3 + 2 cos dx = 3x + sen

c) F(12) = 36, F(0) = 0

d) Volumen = |F(12) – F(0)| = |36 – 0| = 36 miles de hectolitros.

πx6

12π)πx

6()πx

6(

πx6

12

12

12

278 TEMA 14

Piensa y calculaEscribe las fórmulas del espacio y de la velocidad de un movimiento rectilíneo uniformemente acelera-do (m.r.u.a.)

a) El espacio es la integral de la velocidad.b) La velocidad es la integral de la aceleración.

Se llama caudal a la velocidad que lleva el agua de un río. Por lo general, el cau-dal es función de los meses del año, en invierno llevan más agua y en veranomenos.

Observa que al partir del reposov0 = 0, s0 = 0

3.3. Aplicaciones a la economía

Si los ingresos, los costes y los beneficios de una empresa, en función de x unida-des de producto fabricadas y vendidas, se llaman I(x), C(x) y B(x) se tiene:

Si se da una función de ingresos, costes o beneficios marginales, el área que haybajo estas funciones es el ingreso, el coste o el beneficio.

Ejemplo

Una fábrica produce chips para ordenadores. La función de ingreso marginal,viene dada por:

i(x) = 3 +

donde x es el número de chips vendidos e i(x) viene dado en euros. Si vende10 000 unidades, ¿cuáles son los ingresos obtenidos?

La fórmula del ingreso es:

∫0

10 0003 + dx

a) I(x) = ∫ 3 + dx = 3x + 2 L |x + 1|

b) I(0) = 0; I(10 000) = 30 018

c) ∫0

10 0003 + dx = I(10 000) – I(0) = 30 018 E)2

x + 1(

)2x + 1(

)2x + 1(

2x + 1

279

Aplica la teoría13. Un móvil lleva una velocidad en m/s, en función del

tiempo, según la función:v(t) = 2t + 1

donde t se mide en segundos. Calcula el espacio que re-corre el móvil entre los segundos 2 y 5 del movimiento.

14. Una fábrica produce objetos de decoración. La funciónde ingreso marginal viene dada por:

i(x) = 5 +

donde x es el número de objetos vendidos e i(x) vienedado en euros.

¿Cuál es el incremento de los ingresos obtenidos cuan-do se pasa de vender 100 a vender 200 objetos?

15. La función que mide el caudal que sale de un depósitoes:

f(x) = 10 – x

donde f(x) está dado en litros por segundo, y x segun-dos.

¿Qué cantidad de agua sale del depósito entre el segun-do 4 y el segundo 8?

16. Una moto cuando arranca lleva un movimientouniformemente acelerado, en el que la aceleración esde 2 m/s2

a) Calcula la velocidad al cabo de 30 segundos.

b) Calcula el espacio que habrá recorrido en esos 30segundos.

3x + 2

Tem

a 1

4:

Inte

gra

l d

efin

ida

Ingreso marginal: es el ingreso adicional que se consigue al vender una uni-dad más de un producto, y es la derivada de los ingresos: i(x) = I'(x)

Coste marginal: es el coste adicional necesario para producir una unidad másde producto, y es la derivada de los costes: c(x) = C'(x)

Beneficio marginal: es el beneficio que se consigue al producir y vender unaunidad más de un producto, y es la derivada del beneficio: b(x) = B'(x)

4. CÁLCULO DE VOLÚMENES

4.1. Volumen de un cuerpo por secciones

EjemploDeduce la fórmula del volumen de una pirámide.Se dibuja una pirámide que tenga el vértice en el origen de coordenadas y la al-tura sobre el eje X. El intervalo de integración es [0, H], siendo H la altura dela pirámide.La sección A(x) es paralela a la base B, por tanto, se tiene:

= ⇒ A(x) = x2

Volumen = ∫0

Hx2 dx

F(x) = ∫ x2 dx = x3 F(0) = 0, F(H) = BH

Volumen = |F(H) – F(0)| = BH = BH

4.2. Volumen de un cuerpo de revolución

Ejemplo

Calcula el volumen generado por la función f(x) = cuando gira alrededor

del eje X en el intervalo [3, 9]

Cuando el trapecio gira alrededor del eje X genera un tronco de cono.

Volumen = π∫3

9 2dx = π∫

3

9dx

F(x) = ∫ dx =

F(3) = 1, F(9) = 27|F(9) – F(3)| = |27 – 1| = 26Volumen = 26πu3

x3

27x2

9

x2

9)x3(

x3

13|

13|

13

B3H2

BH2

BH2

BH2

x2

H2A(x)

B

280 TEMA 14

Piensa y calculaEscribe las fórmulas del volumen de un prisma, de una pirámide, de un cilindro, de un cono y de una esfera.

Para hallar el volumen de un cuerpo por secciones de área A(x) perpendicula-res al eje X en el intervalo [a, b], se aplica la fórmula:

V = ∫a

bA(x) dx

Para hallar el volumen de un cuerpo de revolución que se obtiene al girar lafunción f(x) sobre el eje X en el intervalo [a, b], se aplica la fórmula:

V = π∫a

b[f(x)]2 dx

4.3. Volumen generado entre dos curvas

EjemploCalcula el volumen generado por la superficie comprendida entre las siguien-tes funciones cuando giran alrededor del eje X:

f(x) = g(x) = – + 4

Es la superficie comprendida entre una hipérbola y una recta.a) Se calculan las abscisas de los puntos de corte de f(x) con g(x):

= – + 4 ⇒ x2 – 8x + 12 = 0 ⇒ x1 = 2, x2 = 6

Volumen = π ∫2

6 2– – + 4

2dx

2– – + 4

2= – + 4x – 16

F(x) = ∫ – + 4x – 16 dx = – – + 2x2 – 16x

F(2) = – , F(6) = –48

|F(6) – F(2)| = –48 + =

Volumen = = 16,76 u316π3

163|

1283|

1283

x3

1236x)x2

436x2(

x2

436x2)x

2()6x(

|])x2()6

x([|

x2

6x

x2

6x

281

Aplica la teoría17. Deduce la fórmula del volumen del prisma.

18. Calcula el volumen generado por la función:

f(x) =

cuando gira alrededor del eje X en el intervalo [0, 4]

19. Calcula el volumen generado por la superficie com-prendida entre las siguientes funciones cuando giran al-rededor del eje X:

f(x) = g(x) = x

20. Deduce la fórmula del volumen de un cono.

√x

√x

Tem

a 1

4:

Inte

gra

l d

efin

ida

Para hallar el volumen del cuerpo de revolución que se obtiene al girar la su-perficie comprendida entre dos curvas sobre el eje X en el intervalo [a, b] se si-gue el procedimiento:a) Se calculan las abscisas de los puntos de corte de las dos funciones, resol-

viendo la ecuación f(x) = g(x) b) En cada uno de los intervalos resultantes [a, b] se aplica la fórmula:

V = π ∫a

b([f(x)]2 – [g(x)]2) dx||

282 TEMA 14

Profundizac ión: demostrac iones

1. Integral de Riemann

Dada una función f(x) continua en [a, b] y positiva, se puede hacer una aproximación del áreacomprendida entre el eje X y la gráfica de la función en el intervalo [a, b] del siguiente modo:

a) Partimos el intervalo [a, b] en n partes iguales:

a = x0 < x1 < x2 < … < xn – 1 < xn = b

b) La función f(x) es continua en los intervalos [xi , xi + 1] ya que lo es en [a, b]. Por el teoremade Weierstrass, se puede garantizar que la función alcanza un valor máximo, Mi, y un valormínimo, mi, en cada intervalo [xi , xi + 1]

c) Se dibuja los rectángulos inferiores de base xi + 1 – xi y de altura mi

d) Se dibuja los rectángulos superiores de base xi + 1 – xi y de altura Mi

e) Se suma el área de los rectángulos inferiores y se obtiene una aproximación del área por de-fecto.

Área por defecto = (x1 – x0)m1 + (x2 – x1)m2 + (x3 – x2)m3 + … +(xn – xn – 1)mn

Se llaman sumas inferiores a las distintas aproximaciones del área por defecto que se puedecalcular del recinto según el número de intervalos que se tomen. Se representan por:

sn = mi + 1(xi + 1 – xi)

f ) Se suma el área de los rectángulos superiores y se obtiene una aproximación del área por ex-ceso.

Área por exceso = (x1 – x0)M1 + (x2 – x1)M2 + (x3 – x2)M3 + … +(xn – xn – 1)Mn

Se llaman sumas superiores a las distintas aproximaciones del área por exceso que se puedecalcular del recinto según el número de intervalos que se tomen. Se representan por:

Sn = Mi + 1(xi + 1 – xi)

Las sumas inferiores y superiores dependen de n, es decir, del número de intervalos que setomen en [a, b] y se tiene entonces que:

g) Las sumas inferiores son una sucesión s1, s2, s3 …, sn … que corresponderán a las distintasdivisiones que se hagan del intervalo [a, b]

h) Las sumas superiores son una sucesión S1, S2, S3 …, Sn … que corresponderán a las distin-tas divisiones que se haga del intervalo [a, b]

Se puede asegurar que el área del recinto está comprendida entre estas dos aproximaciones.

sn = mi + 1(xi – 1 – xi) ≤ Área del recinto ≤ sn = Mi + 1(xi – 1 – xi)n

Σi = 0

n

Σi = 0

n

Σi = 0

n

Σi = 0

283

Si se hacen cada vez más intervalos en [a, b], es decir, que n tienda a infinito; entonces, losvalores Mi y mi de cada intervalo se aproximarán

(Sn – sn) = 0

y entonces tendremos que el área será:

Área = sn = Sn

Se define la integral definida en el intervalo [a, b] y se representa por:

∫a

bf(x) dx = sn = Sn

al límite, cuando n tiende a infinito, de las sumas inferiores o superiores:

2. Teorema del valor medio del cálculo integral

Si f(x) es una función continua y acotada en el intervalo [a, b], existe un punto c ∈ [a, b], tal que:

∫a

bf(x) dx = (b – a) · f(c)

Demostración

Como f(x) es continua y está acotada en el intervalo cerrado [a, b], se puede garantizar, por elteorema de Weierstrass, que la función alcanza su valor máximo, M, y su valor mínimo, m endicho intervalo cerrado [a, b]

Por tanto, la integral:

∫a

bf(x) dx

estará comprendida entre las áreas de los rectángulos de base b – a y alturas m y M respectiva-mente:

(b – a) · m ≤ ∫a

bf(x) dx ≤ (b – a) · M

Dividiendo por b – a, se tiene:

m ≤ ∫a

bf(x) dx ≤ M

Por el teorema de los valores intermedios, existirá un c ∈ (a, b), tal que:

f(c) = ∫a

bf(x) dx

De donde se deduce que:

∫a

bf(x) dx = (b – a) · f(c)

1b – a

1b – a

límn →∞

límn →∞

límn →∞

límn →∞

límn →∞

Tem

a 1

4:

Inte

gra

l d

efin

ida

284 TEMA 14

Profundizac ión: demostrac iones

Interpretación geométrica

El área del recinto limitado por el eje X y la gráfica de f(x) en el intervalo ce-rrado [a, b] es igual al área del rectángulo de base b – a y altura f(c)

3. La función área

Sea f(x) una función continua y acotada en el intervalo cerrado [a, b]. Se llama función áreao función integral a la función:

F(x) = ∫a

xf(t) dt

que está definida en el intervalo cerrado [a, b]

Interpretación geométrica

Esta función calcula el área del recinto limitado por la función f(x) en todointervalo cerrado [a, x], siendo x ∈ [a, b]

Si en la función F(x) aparece la x en el límite de integración, no se puede po-ner en el integrando. Por esta razón, aparece otra letra que es la t y que reco-rre los valores desde a hasta x

4. Teorema fundamental del cálculo integral

Si f es una función continua y acotada en el intervalo cerrado [a, b], entonces la función:

F(x) = ∫a

xf(t) dt para todo x ∈ [a, b]

es derivable y su derivada es F'(x) = f(x)

Demostración

F'(x) = = =

Por el teorema del valor medio del cálculo integral existe un c ∈ [x, x + h] tal que:

∫x

x + hf(t) dt = f(c) (x + h – x) = f(c) · h

Por tanto, se tiene:

F'(x) = = = = f(c)

Como c ∈ [x, x + h] y f(t) es función continua, cuando h → 0, f(c) tiende a f(x)

De donde se deduce que:

F'(x) = f(x)

límh →0

f(c) · hh

límh →0

∫x

x+hf(t) dt

hlímh →0

F(x + h) – F(x)h

límh →0

∫x

x+hf(t) dt

hlímh →0

∫a

x+hf(t) dt – ∫a

xf(t) dt

hlímh →0

F(x + h) – F(x)h

límh →0

285

5. Volumen de un cuerpo de revolución

Demostración

Un cuerpo de revolución es el que se obtiene al girar un recinto plano alrededor de una recta.

Se considera una función continua y = f(x) en el intervalo [a, b]. La gráfica de esta funcióndetermina con las rectas x = a y x = b un recinto que se llama R

Si se hace girar el recinto R alrededor del eje X, se obtiene un cuerpo de revolución.

Cálculo del volumen

Una aproximación del volumen del cuerpo de revolución que se obtiene al hacer girar sobre eleje X el recinto R engendrado por la función f(x) y las rectas x = a y x = b, se puede obtener si-guiendo el procedimiento:

a) Se hace una partición del intervalo [a, b]:

a = x0 < x1 < x2 < … < xi < xi + 1 < … < xn = b

b) Tomamos un punto ci ∈ [xi, xi + 1] y se calcula f(ci)

c) Se construyen los cilindros con altura, xi + 1 – xi, y radio de la base, f(ci) y cuyo volumen es:

Vi = π(xi + 1 – xi) f2(ci)

d) Se suman todos los volúmenes así conseguidos y se tiene una aproximación del volumen total:

Volumen aproximado = π(xi + 1 – xi) f2(ci)

Si se hace que el número de intervalos tienda a infinito, se puede definir el volumen comoel límite de una suma de volúmenes cuya altura tiende a cero:

V = π(xi + 1 – xi) f2(ci)

Se define:V = π∫a

b[f(x)]2 dx

n

Σi = 1

límn →∞

n

Σi = 1

Tem

a 1

4:

Inte

gra

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efin

ida

286 TEMA 14

E jerc i c ios y problemas

1. Integral definida

21. Calcula ∫2

5( + 1) dx

22. Calcula ∫1

3

(x2 – 2x – 4) dx

23. Sea f : R → R la función definida por f(x) = |x2 – 1|

a) Esboza la gráfica de f

b) Calcula ∫0

2

f(x) dx

24. Calcula la derivada de F(x) = ∫2

x2 + 1

L t dt

25. Calcula ∫1

e

x2 L x dx

26. Considera la función f(x) definida para x ≠ –2 por larelación:

f(x) =

Calcula ∫2

6

f(x) dx

2. Cálculo de áreas

27. Halla el área de la región plana limitada por la gráfi-ca de f(x) = x3 – 4x, el eje de abscisas y las rectasx = –1, x = 2

28. Halla el área del recinto limitado por las gráficas delas funciones

y = 2 – x4 y = x2

29. Dada la función f(x) = 4 – x2, calcula el área encerra-da entre la gráfica f(x) y el eje de abscisas.

30. Calcula el área de la región limitada por la gráfica dela función f(x) = –4x3 + 5, el eje de abscisas, la rectax = –1 y la recta x = 1

31. Calcula el área de la región limitada por las curvas

y = , y =

32. Dada la función f(x) = x , calcula el área en-cerrada entre la gráfica f(x) y el eje de abscisas.

3. Aplicaciones de la integral definida

33. La recta de ecuación y = –4x + 2 representa la tra-yectoria de un móvil A. Otro móvil B se desplaza se-gún la trayectoria dada por la curva de ecuacióny = g(x) donde g :R → R es la función definida por:

g(x) = –x2 + 2x + c

a) Halla el valor de c sabiendo que ambas trayecto-rias coinciden en el punto en el que la funcióng(x) tiene un máximo local.

b) ¿Coinciden ambas trayectorias en algún otropunto? En tal caso, dibuja la región limitada porambas trayectorias y calcula su área.

34. La velocidad de un móvil que parte del origen vienedada en m/s por la gráfica siguiente:

a) Calcula la función espacio recorrido.

b) Dibuja la gráfica de la función espacio recorrido.

c) Prueba que el área bajo la curva que da la veloci-dad coincide con el espacio total recorrido.

35. Dos hermanos heredan una parcela que han de re-partirse. La parcela es la región plana limitada por la

curva y = y la recta y = (x – 1)

Calcula el área de la parcela.

4. Cálculo de volúmenes

36. Deduce la fórmula del volumen de un cilindro.

12√x – 1

√5 – x2

1x2 + 1

x2

2

4x2 + 3x – 9x + 2

x2

287

37. Calcula el volumen generadopor la función:

f(x) =

cuando gira alrededor del eje Xen el intervalo [0, 3]

38. Calcula el volumen generadopor la función:

f(x) = + 1

cuando gira alrededor del eje Xen el intervalo [2, 6]

39. Deduce la fórmula del volumende una esfera.

x2√3x

40. Calcula ∫0

3

dx

41. Sea la función f(x) = 2x3 + bx2 + ax – 5

a) Halla los valores de a y b, de forma que f(x) tengaun máximo en x = 1 y un mínimo en x = 2

b) Halla el área de la región limitada por la gráficaf(x) y el eje X entre x = 0, x = 3

42. Sea la función f(x) = 3x – x3

Halla el área de la región limitada por el eje X y di-cha función.

43. Considera las funciones f, g : R → R definidas por:

f(x) = 6 – x2, g(x) = |x|, x ∈ Ra) Dibuja el recinto limitado por las gráficas f y g

b) Calcula el área del recinto descrito en el aparta-do anterior.

44. Sea f :R → R la función definida por:

f(x) =

a) Esboza la gráfica de f(x)

b) Calcula el área de la región limitada por la graficaf(x), el eje de abscisas y la recta x = 3

45. Considera la función f : [0, 4] → R definida por:

f(x) =

a) Esboza la gráfica de f(x)

b) Halla el área del recinto limitado por la gráfica def(x) y el eje de abscisas.

46. Calcula el valor de a, positivo, para que el área ence-rrada entre la curva y = ax – x2 y el eje de abscisassea 36. Representa la curva que se obtienen para di-cho valor de a

47. Resuelve las siguientes cuestiones:

a) Dibuja la región limitada por la curva de ecuacióny = x(3 – x), y la recta de ecuación y = 2x – 2

b) Halla el área de la región descrita en el apartadoanterior.

48. Resuelve las siguientes cuestiones:

a) Esboza la gráfica de la función f :R → R dada por:

f(x) =

b) Calcula el área del recinto limitado por la gráficaf(x), el eje X y las rectas de ecuaciones x + 2 = 0y 2x – 1 = 0

49. Halla los valores de m para que el área de la regiónlimitada por la parábola y2 = x y la recta y = mx sea 1

50. Sea la función f(x) = x cos x. Calcula la integral de fentre x = 0 y el primer cero positivo que tiene lafunción.

Nota: se llaman ceros de una función a los valorespara los que ésta se anula.

2x + 2 si x ≤ –1x3 – 2 si x > –1

4x si 0 ≤ x ≤ 116— si 1 < x < 3

(x + 1)2

4 – x si 3 ≤ x ≤ 4

5x + 10 si x ≤ –1x2 – 2x + 2 si x > –1

1x + 1

Para ampliar

Tem

a 1

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288 TEMA 14

E jerc i c ios y problemas

51. Se tiene la función f(x) definida para todo númeroreal no negativo y dada por:

f(x) =

Halla ∫0

3

f(x) dx

Interpreta geométricamente el resultado.

52. Calcula el área de la región limitada por la curvay = L x y las rectas y = 0, y = L 3, x = 0

53. Halla el valor del parámetro a sabiendo que el árealimitada por la gráfica de la parábola y = x2 – ax y el

eje X es

54. Dibuja la figura limitada por las curvas cuyas ecua-ciones son:

y halla el área de la misma.

55. Si f es una función continua en [a, b], ¿puede ser

∫a

b

f(x) dx = 0? Razona la respuesta con un ejemplo.

56. Sea f(x) = ∫1

x

dt, y sean a, b ∈ R+. Demuestra que

f(a · b) = f(a) · f(b)

57. Mediante argumentos geométricos, demuestra quesi f(x) y g(x) son funciones positivas en el intervalo[a, b] y f(x) ≤ g(x) para todo x de dicho intervalo,entonces se cumple que:

∫a

b

f(x) dx ≤ ∫a

b

g(x) dx

58. Si f(x) en una función continua positiva en el inter-valo [a, b], justifica, mediante argumentos geométri-cos, si la siguiente afirmación es cierta.

∫a

b

f(x) dx ≥ 0

Si es falsa pon un contraejemplo.

59. Encuentra el área de la región determinada por la

curva y = , el eje X y las rectas x = 1 y x = –1x2

4 – x2

1t

y = 2 – x2

y = |x|

323

1 si 0 ≤ x ≤ 11— si x > 1x2

60. Se considera la función real de variable real definidapor:

f(x) =

a) Halla la ecuación cartesiana de la recta tangenteen el punto de inflexión de abscisa positiva de lagráfica f(x)

b) Calcula el área del recinto plano acotado por lagráfica f(x), la recta anterior y el eje x = 0

61. Se considera la función real de variable real definidapor:

f(x) =

Calcula el valor de a > 0 para el cual se verifica la

igualdad ∫0

a

f(x) dx = 1

62. Calcula el valor de a > 0, para que ∫0

a

dx = 3

63. Sea la función f(x) = sen x. Calcula a > 0 tal que elárea encerrada por la gráfica f(x), el eje y = 0, y la

recta x = a, sea

64. Sea la función real de variable real definida por:

f(x) =

Determina el área encerrada por la gráfica f(x) ypor las rectas y = 8, x = 0, x = 2

65. Se consideran las funciones f(x) = x2 – 2x + 3,g(x) = ax2 + b

a) Calcula a y b para que las gráficas f(x) y g(x) seantangentes en el punto de abscisa x = 2

b) Para los mismos valores de a y b, halla el área li-mitada por las graficas de las funciones y el ejevertical Y

66. Sean las funciones f(x) = x2 + ax + b, g(x) = –x2 + c

a) Determínense a, b y c sabiendo que las gráficasde ambas funciones se cortan en los puntos(–2, –3) y (1, 0)

b) Calcula el área de la región limitada por las gráfi-cas f(x) y g(x)

67. Halla el área del recinto delimitado por la curvay = x2 + 4x + 5 y la recta y = 5

(2 – x)3 si x ≤ 1x2 si x > 1

12

1x + 1

xx2 + 1

xx2 + 3

Problemas

289

68. Sea la función f(x) =

Halla el área de la región plana limitada por la gráfi-ca de la función, el eje de abscisas y las rectas x = –1y x = 3

69. Sea la función f(x) = x4 – 4x3 + x2 + 6x

Calcula el área determinada por la gráfica f(x), el ejehorizontal y las rectas x = –1 y x = 2

70. Calcula el valor de la integral ∫–π

2π|x| sen x dx

71. Calcula el valor de la integral ∫0

3

(x2 + 5) e–x dx

72. Se quiere dividir la región plana encerrada entre la pa-rábola y = x2 y la recta y = 1 en dos regiones de igualárea mediante una recta y = a. Halla el valor de a

73. Halla el área del recinto coloreado que aparece enla figura adjunta sabiendo que la parte curva tiene

como ecuación y =

74. Sabiendo que L x es el logaritmo neperiano de x,considera la función f : (–1, +∞) → R definida por

f(x) =

a) Determina el valor de a sabiendo que f(x) es de-rivable.

b) Calcula ∫0

2

f(x) dx

75. Sea f :R → R la función definida por:

f(x) = –2x3 – 9x2 – 12x

Determina los extremos relativos α y β de f(x) con

α < β y calcula ∫α

βf(x) dx

76. Sea f :R → R la función definida por:

f(x) =

a) Determina m sabiendo que f(x) es derivable.

b) Calcula ∫0

1

f(x) dx

77. Resuelve las siguientes cuestiones:

a) Dibuja el recinto limitado por los semiejes positi-vos de coordenadas y las curvas:

y = x2 + 1, y = e y = x – 1

b) Halla el área del recinto considerado en el apar-tado anterior.

78. Resuelve las siguientes cuestiones:

a) Dibuja el recinto limitado por la curva y = ,

la recta tangente a esta curva en el punto de abs-cisa x = 1 y el eje de abscisas.

b) Calcula el área del recinto considerado en elapartado anterior.

79. De la función f :R → R definida por:

f(x) = ax3 + bx2 + cx + d

se sabe que tienen un máximo relativo en x = 1, un

punto de inflexión en (0, 0) y que: ∫0

4

f(x) dx =

Calcula a, b, c y d

80. Considera la función f :R → R definida por:

f(x) = xe2x

Determina el valor de la integral:

∫0

1/2

(1 + f(x)) dx

81. La recta de ecuación 3x – y + 2 = 0 es tangente a laparábola de ecuación y = ax2 + c en el punto P(1, 5)

a) Calcula las constantes a y c de la ecuación de laparábola describiendo el procedimiento que sigas.

b) Dibuja la región plana limitada por el eje Y, la pa-rábola y la recta tangente.

c) Calcula el área de la región descrita en el aparta-do anterior.

82. Calcula el área de la región coloreada en la figura yjustifica el procedimiento empleado (L x es el loga-ritmo neperiano de x)

54

9 – x2

4

2x

1— si x < 01 – x1 – mx – x2 si x ≥ 0

a(x – 1) si –1 < x ≤ 1x L x si x > 1

2x + 21 – x

–2x si x ≤ 0x – 1 si 0 < x ≤ 23x – 5 si x > 2

Tem

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290 TEMA 14

E jerc i c ios y problemas

83. Dibuja el recinto limitado por las curvas de ecuacio-nes y = sen x, y = cos x, x = 0, x = π/3

Calcula el área del recinto descrito en el apartadoanterior.

84. La figura siguiente representa la gráfica de una fun-ción f : [0, 7] → R

Sea F : [0, 7] → R la función definida por:

F(x) = ∫0

x

f(t) dt

a) Calcula F(4) y F(7)

b) Dibuja la gráfica F(x) explicando cómo lo haces.

85. Halla la recta tangente a la curva de ecuacióny = x3 – 3x en el punto de abscisa x = –1

Dibuja el recinto limitado por dicha recta tangente yla curva dada y calcula su área.

86. Calcula el área de la región limitada por las curvasy = ex, y = e–x y la recta x = 1

87. En la figura aparece una curva que representa a unafunción polinómica de grado 2. Los puntos de inter-sección de la curva con el eje X son el A(1, 0) y elB(3, 0). Además, el área limitada por la curva y losdos ejes coordenados vale 4/3. Halla la expresión dedicha función

88. Dibujar, con la mayor exactitud posible las gráficasde las funciones f(x) = 3x2 – 6x y g(x) = –x2 + 6x – 8.Representa el recinto limitado por ambas funcionesy obtén su área.

89. Calcula una primitiva de la función:

f(x) = x L (1 + x2)

Determina el área encerrada por la gráfica de la fun-ción anterior, el eje X y la recta x = 1

90. Representa gráficamente el recinto plano limitadopor la curva y = x3 – x y su recta tangente en elpunto de abscisa x = 1. Calcula su área.

91. Calcula ∫0x dx

92. Calcula el área determinada por la curva y = tg x, el

eje X y la recta x =

93. Sin hacer ningún cálculo, di cuál de las siguientes in-tegrales es mayor:

∫0

1

x2 sen2 x dx ∫0

1

x sen2 x dx

94. Calcula el área determinada por la curva y = L x, eleje X y la recta x = e

95. Calcula el área determinada por la curva y = ,

el eje X y las rectas x = – , x =

96. Encuentra el área del recinto determinado por lascurvas: y = |x – 2| y = –x2 + 4x – 2

97. Demuestra que 0 ≤ ∫0

π/2

dx ≤ 1

98. Calcula el área del recinto determinado por la curva

y = , las rectas x = 2, x = –2 y el eje de abscisas.

99. Si f(x) y g(x) son dos funciones continuas positivasen el intervalo [a, b], justifica, mediante argumentosgeométricos si la siguiente afirmación es cierta.

∫a

b

(f(x) + g(x)) dx = ∫a

b

f(x) dx + ∫a

b

g(x) dx

Si es falsa, pon un contraejemplo.

100. Determina el área comprendida entre las curvasy = x2, y = y la recta que pasa por los puntosA(2, 4) y B(4, 2)

101. Demuestra que si m es un número cualquiera ma-yor que 1, y k un número natural cualquiera mayorque uno, se cumple que:

∫l

m

dx < m

102. Dada la función f(x) =

calcula el área de la región limitada por la gráficade la función y el eje X, desde x = 0 hasta x = b,siendo b la abscisa del mínimo de la función.

x L x si x > 00 si x = 0

xk + 1xk+1 + 1

√x

11 + x2

sen x1 + x2

12

12

11 – x2

π3

√1 + x2√3

291

103. Calcula la integral definida ∫π/4

π/2

x sen x dx

104. Resuelve las siguientes cuestiones:

a) Obtén el área de la superficie S, limitada por eleje X, la curva y = x2, con 0 ≤ x ≤ 2, y la rectax = 2

b) Calcula el volumen generado por la superficie Sal dar una vuelta completa alrededor del eje X

105. Al girar la elipse + = 1 alrededor del eje X,

ésta genera una superficie parecida a un huevo,que se llama elipsoide. Halla el volumen de dichoelipsoide.

Para profundizar

106. Calcula el valor de a > 0, para que:

∫0

3

dx = 5

107. Sea la función f(x) = sen x

a) Calcula la ecuación de la tangente a la gráfica

f(x) en el punto de abscisa x =

b) Calcula el área de la superficie encerrada por latangente anterior, la gráfica de la función f(x) y

las rectas x = , x =

108. Sea la función f(t) =

Se define: g(x) = ∫0

x

f(t) dt

Calcula

109. Se consideran las curvas y = x2 e y = a, donde a esun número real comprendido entre 0 y 1(0 < a < 1).Ambas curvas se cortan en el punto (x0, y0) conabscisa positiva. Halla a sabiendo que el área ence-rrada entre ambas curvas desde x = 0 hasta x = x0es igual a la encerrada entre ellas desde x = x0 has-ta x = 1

110. Sea la función f(x) =

a) Determina los valores de a y b para que f(x) seacontinua en toda la recta real.

b) Con los valores de a y b determinados en elapartado anterior, calcula el área del recinto li-mitado por la gráfica de f(x) y el eje de abscisas,en el intervalo [0, 2]

111. Resuelve las siguientes cuestiones:

a) Dibuja el recinto limitado por y = + cos x,

los ejes de coordenadas y la recta x = πb) Calcula el área del recinto descrito en el aparta-

do anterior.

112. Considera la función f : R → R definida por f(x) = 2 + x – x2. Calcula a, a < 2, de forma que

∫a

2

f(x) dx =

113. Calcula la siguiente integral definida:

∫0

2

f(x) dx =

¿Qué representa geométricamente?

Representa el área comprendida entre el eje X y lacurva en el intervalo [0, 2]

114. Considera la función f :R → R definida en la formaf(x) = 1 + x |x|

Calcula ∫2

–1f(x) dx

115. De la gráfica de la función polinómica f : R → Rdada por:

f(x) = x3 + ax2 + bx + c

se conocen los siguientes datos: que pasa por elorigen de coordenadas y que en los puntos deabscisas 1 y –3 tiene tangentes paralelas a la bisec-triz del segundo y cuarto cuadrantes.

a) Calcula a, b y c

b) Dibuja el recinto limitado por la gráfica de lafunción f(x) y el eje de abscisas y calcula su área.

116. Determina una constante positiva a sabiendo que lafigura plana limitada por la parábola y = 3ax2 + 2x,la recta y = 0 y la recta x = a tiene área (a2 – 1)2

117. Justifica geométricamente que si f(x) es una funciónpositiva definida en el intervalo [a, b] y c ∈ [a, b],entonces se cumple:

∫a

c

f(x) dx + ∫c

b

f(x) dx = ∫a

b

f(x) dx

118. Halla el área del recinto limitado por la curvay = xex, el eje X y la recta paralela al eje Y que pa-sa por el punto donde la curva tiene un mínimorelativo.

dxx2 + 4x + 3

92

12

–x – 2 si x < –1a – 2x2 si –1 ≤ x ≤ 1b/x si x > 1

g(x)xlím

x →0

11 + et

3π4

π4

π4

1x + a

y2

9x2

25

Tem

a 1

4:

Inte

gra

l d

efin

ida

292 TEMA 14

Der ive

Paso a paso

119. Dibuja y calcula el recinto limitado por el ejeX y la función:

f(x) = x2 – 2x – 3en el intervalo [1, 4]

Solución:a) Representa las rectas x = 1, x = 4 que limitan el

intervalo.b) Representa la función.c) Resuelve la ecuación correspondiente para hallar

las abscisas de los puntos de corte con el eje Xx = 3 ∨ x = –1

d) Rellena la 1ª región:En la Entrada de Expresiones escribe:

1 < x < 3 ∧ x^2 – 2x – 3 < y < 0

Elige Introducir Expresión.

Activa la ventana Gráficos-2D y haz clic en Representar Expresión.

e) Rellena la 2ª región:3 < x < 4 ∧ 0 < y < x^2 – 2x – 3

f ) Calcula el área correspondiente a la 1ª región:Selecciona en la ventana Álgebra la función:

x^2 – 2x – 3

g) Elige Integrales. Activa el botón de opciónDefinida, en Límite inferior escribe 1, en Lími-te superior escribe 3 y haz clic en el botón Sim-plificar.

∫1

3(x2 – 2x – 3) dx = –

h) Calcula el área correspondiente a la 2ª región:

∫3

4(x2 – 2x – 3) dx =

i) Suma los valores absolutos obtenidos y aproximael resultado:

|–16/3| + |7/3|

Área = = 7,6666666

120. Dibuja el recinto limitado por las siguientesfunciones y calcula el volumen que genera dicho re-cinto cuando gira alrededor del eje X:

y = y = – + 4

Solución:a) Resuelve el sistema formado por ambas funcio-

nes.[x = 2 ∧ y = 3, x = 6 ∧ y = 1]

b) Representa las dos funciones.c) Rellena la región limitada por las dos funciones.

2 < x < 6 ∧ < y < – + 4

d) Calcula la siguiente integral y aproxima el resulta-do.

π∫2

6 2– – + 4

2dx

Volumen = = 16,76 u3

121. Internet. Abre la página web: www.algaida.esy elige Matemáticas, curso y tema.

16π3

))x2()6

x((

x2

6x

x2

6x

233

73

163

293

Así funciona

Practica

Integral definidaSe elige Integrales. Se activa el botón de opción Definida, en Límite inferior y en Lími-te superior se escriben los valores correspondientes y se hace clic en el botón Simplificar.

Representar funcionesSi la función es y = f(x), no es necesario escribir y =; por el contrario, si es una recta vertical dela forma x = k, es obligatorio escribir el x =

Hallar puntos de corte de dos funcionesSe resuelve el sistema correspondiente a las dos funciones

Rellenar regionesSe rellena trozo por trozo. Para cada uno de los trozos se escriben las desigualdades correspon-dientes a las abscisas y a las ordenadas, unidas por el signo de conjunción lógica y que es ∧

122. Dibuja el recinto correspondiente y calcula lasiguiente integral definida:

∫2

5(x – 1) dx

Observa y justifica el signo del valor obtenido.

123. Dibuja el recinto correspondiente y calcula lasiguiente integral definida:

∫1

4(x2 – 6x + 4) dx

Observa y justifica el signo del valor obtenido.

124. Dibuja el recinto correspondiente y calcula lasiguiente integral definida:

∫4

–4|x| dx

125. Dibuja el recinto limitado por las siguientesfunciones y calcula su área:

f(x) = 4 – x2 g(x) = 2x + 1

126. Dibuja el recinto limitado por el eje X y la fun-ción:

f(x) = –x3 + x2 + 2x

127. Un objeto se deja caer en el vacío. Suponiendoque la gravedad es de 9,8 m/s2, calcula la velocidadque lleva al cabo de 4 s, y el espacio recorrido. Dibu-ja las funciones correspondientes a la velocidad y a laaceleración.

128. La función que mide el caudal de un río en fun-ción de los meses del año, viene dada por:

f(x) = 3 + 2 cos

donde f(x) está dado en miles de hectolitros por se-gundo, y x en meses.¿Qué cantidad de agua pasa por el río en un año?Dibuja la región correspondiente a la cantidad deagua que lleva el río.

129. Una fábrica produce chips para ordenadores.La función de ingreso marginal viene dada por:

i(x) = 3 +

donde x es el número de chips vendidos e i(x) vienedado en euros. Si vende 10 000 unidades, ¿cuálesson los ingresos obtenidos?Dibuja la región correspondiente a los ingresos ob-tenidos.

130. Deduce la fórmula del volumen de una pirá-mide.

131. Representa la región comprendido entre el ejeX y la función:

f(x) =

en el intervalo [3, 9]Calcula el volumen generado por dicha regióncuando gira alrededor del eje X

x3

2x + 1

πx6

Tem

a 1

4:

Inte

gra

l d

efin

ida