168 - mat-doc-prof-amc.weebly.commat-doc-prof-amc.weebly.com/.../desigualdades.pdf · 1.3 Regla...

1 Profesor: Aquilino Miranda

Actividad previa: Responde la siguiente interrogante. ¿Qué es para ti una

desigualdad?__________________________________________________________________

Ahora podemos iniciar con el desarrollo del tema, adelante…

1. Concepto de desigualdad: Una desigualdad es una relación que establece una

comparación entre dos cantidades que no son iguales. Un ejemplo claro de

desigualdad sería 5 , 2

1.1 Concepto de inecuación: En matemática, una inecuación es una desigualdad

algebraica en la que aparecen una o más incógnitas en los miembros de la

desigualdad.

Si la desigualdad es del tipo se denomina inecuación en sentido

estricto y si es del tipo

se denomina inecuación en sentido amplio. Ejemplos

de inecuaciones: 3 5 2 1x x 2

2 4 15

x x x

1.2 Simbología: Para las desigualdades utilizaremos la siguiente simbología.

(Menor que), (Menor o igual que), (Mayor que), (Mayor o igual que)

1.3 Regla para trabajar con desigualdades e inecuaciones: si una desigualdad se

multiplica o divide por un número negativo, la dirección de la desigualdad cambia,

es decir, si es mayor, cambia a menor y viceversa.

I TRIMESTRE - UNIDAD DE APRENDIZAJE #1 (DESIGUALDADES)

PROFESOR: AQUILINO MIRANDA (COLEGIO DANIEL O. CRESPO)

Resuelve desigualdades lineales enteras y

fraccionarias. Resuelve desigualdades cuadráticas.

Resuelve desigualdades racionales, Resuelve

desigualdades con valor absoluto.

La suma de tres números naturales consecutivos es 168 ¿Cuáles son los números?

+ + = 168

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Desigualdad_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Desigualdad_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Inc%C3%B3gnita


1.4 Solución de las inecuaciones mediante intervalos: para dar el conjunto

solución de una desigualdad utilizaremos los siguientes intervalos, para los

símbolos mayor y menor que se utilizan los intervalos abiertos , cuando

interviene el símbolo (infinito), con el se utilizan los intervalos abiertos o

semi-abiertos: , (,] [,) Para los símbolos menor o igual que y mayor o igual que

se utiliza el intervalo cerrado: , siempre y cuando no intervenga el infinito. Para

dar la solución de una desigualdad debemos tener presente la recta real.

1.5 Resolución de desigualdades o inecuaciones: consiste en encontrar su

conjunto solución.

1.6 Desigualdades lineales: son aquellas en las cuales el exponente de las variables

que intervienen es 1.

Resolver

2 5 3 20x x

2 5 3 20

2 3 20 5

5 15

15

5

3

x x

x x

x

x

x

La solución son todos

aquellos valores

estrictamente menores

que 3, de donde el

intervalo solución es:

,3

Resolver

5 2 19x x

5 2 19

5 2 19 2

3 17

17

3

x x

x x

x

x

La solución son todos

aquellos valores mayores

o iguales que 17

3

de

donde el intervalo

solución es:

17[ , )

3

Resolver

4 15 2 18x x

4 15 2 18

4 2 18 15

2 3

3

2

x x

x x

x

x

Nota: el sentido de la

desigualdad cambió pues se

dividió entre un número

negativo. La solución son

todos aquellos valores

estrictamente mayores que

3

2 de donde el intervalo

solución es: 3

,2


Resolver 3 1 2 7 5 9x x x x

3 1 2 7 5 9

3 2 5

8 3

3 35 ,

5 5

x x x x

x x x x

x x

x x S

Resolver

9 1 7 6 8 2

2 4 5 8 5 6x x x

9 1 7 6 8 2

2 4 5 8 5 6

9 7 6 8 2 1

2 5 8 5 6 4

180 56 30 96 20 15

40 60

210 56 96 35

40 60

154 61

40 60

6161 4060

154 60 154

40

61 61,

231 231

x x x

x x x

x x x

x x

x

x x

x S

Resolver

10 2 3 5 1 3

3 5 4 6 8 6x x x

10 2 3 5 3

3 5 4 6 6

10 5 1 3 2 3

3 6 8 6 5 4

80 20 3 30 24 45

24 60

83 20 75 24

24 60

63 51

24 60

5151 2460

63 60 63

24

34 34,

105 105

x x

x x x

x x x

x x

x

x x

x S

1.7 Desigualdades Cuadráticas: Una desigualdad en la variable “x” es cuadrática

cuando es posible escribirla en alguna de las formas que se presentan a

continuación: 2 2 2 2, , ,ax bx c ax bx c ax bx c ax bx c


Nota: para resolver desigualdades cuadráticas debemos recordar algunos casos de

factorización: Factorización de la forma x m x n , Este caso se aplica a

polinomios de la forma

2x bx c Para Factorizar estos polinomios se deben

buscar dos números que son únicos, cuya multiplicación sea igual a c, es decir el

término libre y cuya suma o resta sea igual a b, es decir al coeficiente numérico de

x. Para este caso de factorización se deben recordar las leyes de los signos para la

suma y la multiplicación. Factorizar:

2 5 6x x , Se observa claramente que

2 3 6 y que 2 3 5 Luego, 2 5 6 2 3x x x x Factorización

para

2ax bx c Factorizar

28 12 8x x , 26 14 4x x ,

22 11 5x x

2

2

8 8 12 8

8

8 12 8 64

8

8 16 8 4

8

8 2 8 4

8

2 8 4

x x

x x

x x

x x

x x

2

2

6 6 14 4

6

6 14 6 24

6

6 12 6 2

6

6 2 6 2

6

2 6 2

x x

x x

x x

x x

x x

2

2

2 2 11 5

2

2 11 2 10

2

2 10 2 1

2

2 5 2 1

2

5 2 1

x x

x x

x x

x x

x x

Factorización mediante la fórmula general

2 4

2

b b acx

a

,este caso

aplicar a polinomios de la forma 2 , 0ax bx c a

Ejemplo: Factorizar: 23 2 8x x De donde:

3, 2, 8a b c

Aplicando la fórmula general obtenemos:

Luego del valor obtenido de la raíz, se toma uno

positivo y uno negativo y se obtienen los dos valores

de x.

2

2 2 4 3 8

2 3

2 4 96

6

2 100

6

2 10

6

x

x

x

x


2 10

6

8

6

4

3

x

x

x

,

2 10

6

12

6

2

x

x

x

Luego, 23 2 8 3 4 2x x x x

1.8 Método por intervalos: este método se usa para resolver desigualdades que

involucran polinomios de magro mayor o igual que dos, o desigualdades que

contienen cocientes con denominadores variables. El método se basa en el siguiente

principio: un polinomio cambia de signo solamente en sus ceros (son aquellos

valores en donde el polinomio se anula), entre dos ceros consecutivos un polinomio

es siempre positivo o negativo, por lo tanto si ordenamos los ceros reales de un

polinomio en la recta real, dicha recta se divide en intervalos; de cada intervalo se

elige un valor de prueba para determinar el signo del intervalo. Todos estos datos

se tabulan y dependiendo de la desigualdad y de los signos resultantes se

determina la respuesta del problema.

Observación: si los factores del polinomio no se repiten, los signos van

intercalados.

Ejemplo: determine el intervalo solución para

2 2 15x x

Solución: 2 22 15 2 15 0 5 3 0x x x x x x

Ahora igualamos cada factor a acero para determinar los ceros del polinomio,

5 0, 3 0

5 , 3

x x

x x

Posteriormente localizamos estos alores en la recta real para determinar los

intervalos,

La recta real se divide en los siguientes intervalos: , 3 , 3,5 , 5,


Intervalos Valor de

prueba

Signo de

3x

Signo de

5x

Signo de

5 3x x

Solución

, 3 -4 - - +

3,5S 3,5 1 + - -

5,

7 + + +


23 10x x

Solución: Debemos factorizar el polinomio.

2

2

3 3 13 10

3

3 13 3 30

3

3 15 3 2

3

3 5 3 2

3

5 3 2

x x

x x

x x

x x

x x

Luego, 2 23 10 3 10 0 5 3 2 0x x x x x x


5 0, 3 2 0

25 ,

3

x x

x x


intervalos,


La recta real se divide en los siguientes intervalos: 2 2

, 5 , 5, , ,3 3

Intervalos Valor de

prueba

Signo de

5x

Signo de

3 2x

Signo de

5 3 2x x Solución

, 5 -6 - - +

25,

3S

25,

3

0 + - -

2,

3

2 + + +


24 5x x


2

2

4 4 8 5

4

4 8 4 20

4

4 10 4 2

4

4 10 4 2

2 2

2 5 2 1

x x

x x

x x

x x

x x

Luego, 2 24 5 4 5 0 2 5 2 1 0x x x x x x



2 5 0, 2 1 0

5 1,

2 2

x x

x x


intervalos,

La recta real se divide en los siguientes intervalos:

5 5 1 1, , , , ,

2 2 2 2

Intervalos

Valor

de

prueb

a

Signo de

2 5x

Signo de

2 1x

Signo de

2 5 2 1x x

Solución

5,

2

-5 - - +

5 1, ,

2 2S

5 1,

2 2

1 + - -

1,

2

3 + + +

CONSIGNA DE APRENDIZAJE GRUPAL (4 INTEGRANTES)

Determinar el conjunto solución de las siguientes desigualdades:

1 4 8 1 1 1

7 2 5 3 3 2x x x

, 5 3 2 2 7 3 2 6 8 4 1x x x x

2 23 11 4, 8 2 3x x x x

1.9 Desigualdades racionales: Son inecuaciones racionales, aquellas en las que

tanto el numerador como el denominador son inecuaciones polinómicas


cuadráticas o polinómicas de grado mayor o igual que dos, aunque pueden

intervenir polinomios de primer grado. En esta sección utilizaremos el método

por intervalos. En los intervalos del denominador siempre se deben quitar los

valores que lo convierten en cero, es decir que en el denominador siempre

tendremos intervalos abiertos o semiabiertos y el numerador depende de la

desigualdad. Ejemplo: determine el intervalo solución para

2 10

5

x

x

Solución: Ahora igualamos cada factor a acero para determinar los ceros del

polinomio,

2 1 0, 5 0

1, 5

2

x x

x x


intervalos,

La recta real se divide en los siguientes intervalos: 1 1

, , ,5 , 5,2 2

Intervalos Valor de

prueba

Signo de

2 1x

Signo de

5x

Signo de

2 1

5

x

x

Solución

1,2

0 - - +

1

, 5,2

S

1

,52

2 + - -

5,

6 + + +



5 12

4

x

x

Solución:

5 1 2 45 1 5 1 5 1 2 8 3 92 0 0 0

4 4 4 4 4

x xx x x x x

x x x x x


3 9 0, 4 0

93 , 4

3

x x

x x


intervalos,

La recta real se divide en los siguientes intervalos: , 4 , 4,3 , 3,

Intervalos Valor de

prueba

Signo de

3 9x

Signo de

4x

Signo de

3 9

4

x

x

Solución

, 4 -5 - - +

4,3S 4,3 1 - + -

3, 4 + + +

Ejemplo: determine el intervalo solución para 2

10

3 5 2

x

x x



2

2

3 3 5 2

3

3 5 3 6

3

3 6 3 1

3

3 2 3 2

3

2 3 1

x x

x x

x x

x x

x x

Luego, 2

1 10 0

3 5 2 3 1 2

x x

x x x x


3 1 0, 2 0

1, 2

3

x x

x x


intervalos,

La recta real se divide en los siguientes

intervalos:

1 1, 2 , 2, 1 , 1, , ,

3 3

Intervalos

Valor

de

prueba

Signo

de

1x

Signo

de

3 1x

Signo

de

2x

Signo de

3 1 2x x

Signo de

1

3 1 2

x

x x

, 2 -3 - - - + -


2, 1 1/2 + - + - -

11,

3

0 + - + - -

1,

3

1 + + + + +

Luego, la solución es

1,

3S

1.10 Valor absoluto: En matemática, el valor absoluto o módulo de un número real

es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo o negativo. El

valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en

diferentes contextos matemáticos y físicos. Sea x R el valor absoluto de “x” que

de denota como x se define de la siguiente forma:

si x 0

si x 0

xx

x

es decir

2x x

1.11 Propiedades del valor absoluto:

1 0x

2 x a a x a 3 , con 0x a x a x a a

4 xy x y

5 x a x a x a 6 x y x y x y

7 x x x

8 , 0xx

yy y

9 , n, entero positivo

nnx x

10 , Desigualdad Triangularx y x y

Observación: las propiedades 2, y 5 también son válidas para los signos (Menor

que), (Mayor que).

Ejemplo: Resolver 6 3 3x Solución: Aplicando la propiedad (5) obtenemos,

6 3 3 6 3 3x x luego,

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real

http://es.wikipedia.org/wiki/Valor_num%C3%A9rico

http://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_%28matem%C3%A1tica%29

http://es.wikipedia.org/wiki/Distancia

http://es.wikipedia.org/wiki/Norma_vectorial


3 3 6, 3 3 6

3 3 , 3 9

3 9,

3 3

1 , 3

,1 3,

x x

x x

x x

x x

S

Ejemplo: Resolver 2 1 4x Solución: Aplicando la propiedad (2) obtenemos,

4 1x luego,

3 5 3 54 1 3 ,

2 2 2 2x x x S

Ejemplo: Resolver

2 31

5

x

2 3 2 32 31 1 1 2 3 5

5 5 5

x xxx

Aplicando la propiedad (2) obtenemos, 5 5x luego,

2 8

5 3 5 3 2 1 1,42 2

x x x x S

CONSIGNA DE APRENDIZAJE GRUPAL (4 INTEGRANTES)

Determinar el conjunto solución de las siguientes desigualdades:

2

2

2 3 4 10 8 22, 0, 0

4 4 3 1 2 6

x x x x

x x x x

7 4 5 22, 4

3 2

x x


APLICACIONES DE LAS DESIGUALDADES

Problema 1 (Producción de artículos): Una

compañía desea ensamblar 1000 artefactos

electrónicos en una semana, gastando no más

de 6000 dólares por concepto de mano de obra.

Por ensamblar una unidad durante las horas

diurnas es de 5 dólares y 7 dólares el de las

nocturnas ¿Cuál es el número mínimo de

artefactos que deben ser ensamblados en las

horas diurnas?

Luego formamos la desigualdad basándonos en el enunciado del problema:

5 7 1000 6000 , La suma de los gastos menor o igual que 6000

5 7000 7 6000 , producto

2 6000 7000 , reducción de términos semejantes

2 1000 , reducción d

x x

x x

x

x

e términos semejantes

1000 el sentido de la desigualdad cambió por la regla

2

500 , división

x

x

Respuesta: se debe ensamblar mínimo 500 aparatos en las horas diurnas para que el

gasto de mano de obra no supere los 6000 dólares.

Solución: Sea x: el número de aparatos ensamblados en las horas

diurnas. Entonces, 1000-x: es el número de aparatos ensamblados en

las horas nocturnas.

El costo por mano de obra de los artículos ensamblados en las horas

diurnas será de 5x, es decir cinco dólares por la cantidad desconocida

de artículos ensamblados.

El costo por mano de obra de los artículos ensamblados en las horas

nocturnas será de 7(1000-x), es decir siete dólares por la cantidad

desconocida de artículos ensamblados en la noche.

El gasto por mano de obra no debe superar los 6000 dólares por lo

tanto debe ser menor o igual que 6000 dólares.


Problema 2 (Toma de decisiones): El costo de hacer

transacciones en dos Bancos de Kansas City es el

siguiente: en el Banco A, por mantener una cuenta

corriente es de 12 dólares por cada mes y 0.1 fracción

de dólar por cada cheque girado, mientras que en el

Banco B, se cobran 10 dólares por mantener una

cuenta corriente al mes y 0.14 fracción de dólar por

cada cheque girado. ¿A qué tipo de clientes es

conviene afiliarse al Banco A?

Luego formamos la desigualdad basándonos en el enunciado del problema:

12 0.1 10 0.14

0.1 0.14 10 12

0.04 2

2

0.04

x x

x x

x

x

x

Problema 3 (Longitudes): Los valores numéricos de los tres lados de

un triángulo escaleno son dados por tres números enteros pares

consecutivos. Si el perímetro del triángulo (la suma de sus tres

lados), es mayor que 24 centímetros ¿Cuál es el valor mínimo que

debe medir el lado más corto?

Solución: sea x: el número de cheques emitidos en el mes. El costo

por los cheques girados en el Banco A es de 0.1x, y en el Banco B es

de 0.14x

Sea CA: el costo de la cuenta corriente más el costo de los cheques

girados en el Banco A. Sea CB: el costo de la cuenta corriente más el

costo de los cheques girados en el Banco B. Se entiende claramente

que los costos por mantener la cuenta son constantes no varía en

ambos Bancos, lo que si varía es la cantidad de dinero por los

cheques girados, lo cual representa nuestra variable.

Para que a un cliente le convenga el Banco A, el valor de los gastos

debe ser menor que los gastos en el Banco B, es decir: CA CB

Respuesta: El Banco A le conviene a

los clientes que emiten más de 50

dólares al mes, de lo contrario

entonces les conviene el Banco B.


Solución: sea x: la longitud del lado menor (número entero

y par)

Entonces el lado mediano debe medir x+2, pues es el

número entero y par que le sigue a x y por último

x+2+2=x+4 es la longitud del lado más largo, pues es el

número entero y par que le sigue a x+2.

Luego, formamos la siguiente desigualdad, recordando

que la suma de los tres lados debe ser mayor que 24 según

el enunciado del problema.

2 4 24

3 6 24

3 24 6

3

3

x x x

x

x

x

x

x

Problema 4: Para una compañía que fabrica webcam, el

costo entre mano de obra y materiales es de 21 dólares

por cada unidad producida y sus costos fijos son de

70000 dólares, si el precio de venta de cada webcam es

de 35 dólares ¿Cuántas unidades debe vender como

mínimo para que la compañía genere utilidades?

Observación: en economía el ingreso total por la venta de un artículo es

igual al precio por unidad multiplicado por el número de unidades

vendidas.

El costo total es igual al costo variable (costo de las unidades, gastos de

la producción directa), más el costo fijo (gastos de forma indirecta, renta

o seguro).

La utilidad o ganancia es igual al ingreso total menos el costo total y

esta debe ser mayor que cero, de lo contrario solo se obtendría pérdidas.

Solución: sea x: el número de unidades y vendidas. Sea I: el ingreso total, el cual

corresponde al producto de los 35 dólares que es el precio de la venta por las

unidades “x” vendidas, es decir 35x.

Respuesta: el lado más corto

debe ser un número entero y par

mayor que 6, por ejemplo el 8.


Sea C: igual al costo total por lo tanto debemos sumar el ingreso total (el gasto de

producción de cada unidad por la totalidad “x” de unidades producidas, es decir

21x), más el gasto fijo que es de 70000, de donde concluimos que el gasto total es

de 21x + 70000

La utilidad o ganancia “U” es igual al ingreso total menos el costo total y esta debe

ser mayor que cero, de lo contrario solo se obtendría pérdidas. Es decir

35 21 70000 0U x x

Ahora procedemos a resolver la desigualdad,

35 21 70000 0

35 21 70000 0

35 21 70000

14 70000

70000

14

x x

x x

x x

x

x

x

EVALUACIÓN FORMATIVA

Resuelve los siguientes problemas, aplicando las desigualdades.

Una compañía de publicidad determina que el

costo por publicación de cada ejemplar de una

revista es de 1.50 dólares, el ingreso recibido de

los distribuidores es de 1.40 por cada revista,

además el ingreso por publicidad es el 10% de

los ingresos recibidos de los distribuidores por

todos los ejemplares vendidos, siempre y

cuando superen los 10000, de lo contrario no

habrá ingresos por publicidad. ¿Cuál es el

mínimo de revistas que deben venderse de

modo que la compañía obtenga ganancias?

Respuesta: para general

utilidades se tienen que vender

más de 5000 webcam.


Un arquitecto desea delimitar un terreno rectangular

y tienen 450 metros de cerca disponibles. Determine

las dimensiones del terreno (largo y ancho), si el área

delimitada debe ser al menos de 3150 metros

cuadrados.

EVALUACIÓN SUMATIVA

Resolver los siguientes problemas aplicando las desigualdades.

Una compañía de textiles fabrica un producto que tiene

un precio unitario de venta de 25 dólares y un costo

unitario de producción de 20 dólares, el costo fijo es de

30000 dólares, determine el número de unidades que la

compañía debe fabricar y vender para obtener ganancias.

Se desea determinar la diferencia (toma de decisiones),

entre los costos de comprar y rentar un yate. Si se

puede rentar un yate por 350 dólares mensuales, con

una base anual (por 12 meses), bajo este plan el costo

por kilómetro en combustible es de 0.20 dólares. Si se

compra el yate, el gasto fijo anual sería de 2500 dólares

más 0.28 por kilómetro ¿Cuál es el máximo de

kilómetros que deberá recorrer al año el yate para que

la compra sea más barata que el alquiler?

Las ventas mensuales “x”, de cierto artículo

cuando su precio es de ”p” dólares están dados

por la siguiente igualdad, p=225-5x, el costo de

producir “x” unidades al mes del artículo es de

C=2000+5x dólares ¿Cuántas unidades de dicho

artículo deben venderse y producirse de modo

que la utilidad mensual sea por lo menos de

1500 dólares?

“EL ÉXITO CONSISTE EN OBTENER LO QUE SE DESEA, LA FELICIDAD CONSISTE EN

DISFRUTAR LO POCO O LO MUCHO QUE SE TENGA”

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