17. Sistemas Coordenados

Facultad de Contadura y Administracin. UNAM

Sistemas coordenados

Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa

MATEMTICAS BSICAS SISTEMAS COORDENADOSSISTEMA COORDENADO UNIDIMENSIONALExiste una correspondencia biyectiva o biunvoca entre el conjunto de los nmeros reales y el de los puntos de una recta. A esta recta que tiene un origen, un sentido y en donde se pueden ubicar todos los nmeros reales se le conoce como sistema coordenado unidimensional. Grficamente esto es:

P4

P1

P2

P3

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

x

La notacin habitual para localizar un punto es: marca.

P (2.6), P2 (0.5), P3 (4.7 ), P4 (5) , simplemente se localiza su respectivo valor en la numeracin y se le 1

P(x ) . Por ejemplo, para ubicar los puntos

Se define como abscisa de un punto a la distancia del origen al punto en magnitud y signo. La distancia dirigida (dd ) que existe de un punto inicial:

P a un P2 viene dada por el valor final menos el 1

dd = P2 P . 1 P y P2 est dada por el valor final menos el inicial pero en valor 1

La distancia (d ) entre dos puntos absoluto, esto es:

d = P2 P1 .

Es decir, la diferencia que existe entre distancia dirigida y distancia entre dos puntos es que en la primera se toma en cuenta el signo y su magnitud, y en la segunda slo se toma su magnitud. Se mide en unidades (u ). Ejemplo. Encontrar la distancia dirigida y la distancia entre los siguientes pares de puntos: 1) P 3 y 1 Solucin:

()

P2 (6)

dd = 6 3 = 9 u . y d = 6 3 = 9 = 9 u.1




2)

P ( ) 1

y P2

35 6

Solucin:

35 5.8333 6 dd = 5.8333 (3.14159) = 2.69 u .

3.14159

y

d = 5.8333 ( 3.14159 ) = 2.69 = 2.69 u .

SISTEMA COORDENADO BIDIMENSIONALEs un sistema formado por dos ejes numricos perpendiculares donde su origen es el punto en que se cruzan. Se genera estableciendo una correspondencia biunvoca entre los puntos de un plano y los elementos de todas las parejas ordenadas de nmeros reales. Esto quiere decir que se genera un plano a partir de una infinidad de puntos.y5

Cuadrante II (-, +)

4 3 2 1

Cuadrante I (+, +)

-5

-4

-3

-2

-1

-1 -2

1

2

3

4

5

x

Cuadrante III (-, -)

-3 -4 -5

Cuadrante IV (+, -)

El eje vertical ( y ) recibe el nombre de eje de las ordenadas.

Se forman cuatro regiones llamadas cuadrantes. El eje horizontal ( x ) recibe el nombre de eje de las abscisas.

Para ubicar un punto en el plano se utiliza la siguiente notacin: P (x , y )

Ejemplo. Ubicar los siguientes parejas ordenadas en el plano:

8 P1 (2 ,4 ), P2 , 2 , P3 ( 1,1), P4 (3, 4 ), P5 ( 5, ), P6 (0 ,2 ), P7 (4.5,0 ) 3 Solucin:

2




y5 P5 (-5, ) P6 (0,2) P3 (-1,1) -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 1 2 3 P7 (4.5,0) 4 5 P1 (2,4)

-1 -2

x

P2 (-2.66,-2)

-3 -4 -5 P4 (3,-4)

Ejemplos. Dados los siguientes conjuntos, obtener el producto cartesiano correspondiente: 1) A = {1, 2 ,3 }, B = { 0 ,1, 2 } Solucin. El conjunto solucin a este producto cartesiano son nueve puntos discretos formado por las parejas ordenadas. A B = { (1,0 ) ,(1,1),(1, 2 ),(2 ,0 ),(2 ,1),(2 , 2 ),(3,0 ),(3,1),(3, 2 ) } Grficamente esto es:y5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-1 -2 -3 -4 -5

x

2) A = { x

1 x 3, x R } , = B = y

{

0 x 2, y R }

Solucin. El conjunto solucin a este producto cartesiano es una superficie plana de forma rectangular limitada tanto en x como en y . Grficamente esto es:

3




y5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-1 -2 -3 -4 -5

x

3) A = x

{

x R }, = B = { y

y R }

Solucin. El conjunto solucin a este producto cartesiano es una superficie plana ilimitada tanto en x como en Grficamente esto es:y5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

y.

-1 -2 -3 -4 -5

x

Como puede deducirse, el sistema coordenado bidimensional est constituido por el producto cartesiano de los nmeros reales (en x ) por los nmeros reales (en y ), es decir, R2= RR.

SISTEMA COORDENADO TRIDIMENSIONALEs un sistema formado por tres ejes numricos perpendiculares donde su origen es el punto en que se cruzan. Se forma estableciendo una correspondencia biunvoca entre los puntos de un espacio y los elementos de todas las ternas ordenadas de nmeros reales. Esto quiere decir que se genera un volumen a partir de una infinidad de puntos. 4




zP(x1, y1, z1) z1

y

y1

x1

x

Se forman ocho regiones llamadas octantes. El eje x recibe el nombre de eje de las abscisas. El eje y recibe el nombre de eje de las ordenadas. El eje z recibe el nombre de eje de las cotas. Para ubicar un punto en el espacio se utiliza la siguiente notacin: P (x , y , z ) , es decir de forma similar que en un plano.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOSSean P ( x1 , y1 ) y P2 (x 2 , y 2 ) dos puntos cualesquiera en el plano: 1

yP(x2, y2) y2

dP(x1, y1) y1

y2-y1

x1 x2-x1

x2

x

d 2 = (x2 x1 )2 + ( y 2 y1 )2 despejando d se obtiene la frmula para encontrar la distancia entre dos puntos:5

Al formarse un tringulo, se observa que los catetos son las diferencias de ordenadas y de abscisas. Ahora, recordando el teorema de Pitgoras expuesto en la unidad II: c 2 = a 2 + b 2 y aplicndolo se tiene:




d=

(x2 x1 )2 + ( y2 y1 )2

Ejemplos. Obtener la distancia entre los siguientes pares de puntos: 1) P (4 , 5) y P2 (7 , 1) 1 Solucin.

d=

(7 4)2 + ( 1 ( 5))2

= 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 = 5 u .

2) P (6 , 11) y P2 (1,13 ) 1 Solucin.

d=

(1 ( 6))2 + (13 ( 11))2y

= 7 2 + 24 2 = 49 + 576 = 625 = 25 u .

3)

1 7 P , 1 4 4

3 15 P2 , 8 82 2 2

Solucin.

25 1 3 1 15 7 5 1 d = + = + = + = 8 64 64 8 4 4 8 8

2

26 26 = u. 64 8

2 , y P2 5 ,0.170 4) P 1 Solucin. Utilizando tres cifras decimales:d=

(

)

(

)=

( 2.236 1.414)2 + ( 0.170 3.141)2

( 3.676)2 + ( 3.311)2

= 13.512 + 10.962

= 24.474 4.947 u .Ejemplo. Si los puntos

P1 (2 , 2 ) , P2 (1,3)

y P3 (5 , 3) son los vrtices de un tringulo, obtener su permetro.y5 4 3 2 1 P1 (1,3)

-5

-4

-3

-2

-1

-1 -2 -3 -4 -5

1

2

3

4

5

x

P2 (-2,-2)

P3 (5,-3)

6




la distancia entre la distancia entre la distancia entre

P1 P 1 P2

y y y

P2 P3 P3

es: d1 = es: d 2 =

(1 ( 2 ))2 + (3 ( 2 ))2 (5 1)2 + ( 3 3)22

= 3 2 + 5 2 = 9 + 25 = 34

= 4 2 + ( 6 )2 = 16 + 36 = 522

es: d 3 = (5 ( 2 )) + ( 3 ( 2 )) = Por tanto, el permetro viene dado por la suma de sus tres lados:

7 2 + ( 1)2 = 49 + 1 = 50

P = d1 + d 2 + d 3 = 34 + 52 + 50 5.83 + 7.21 + 7.07 20.11 u .Ejemplo. Sea el punto

P (4, 3) 1

y el punto

P2 (x ,10 ) , obtener la abscisa de P2

de tal manera que la distancia

que los separe sea 15 unidades. Solucin. Sustituyendo los datos en la frmula se tiene:

15 =

(x 4)2 + (10 ( 3))2

=

(x 4)2 + 132

=

(x 4)2 + 169

despejando x se tendrn dos soluciones de x 2 :

15 2 = (x 4)2 + 169

225 169 = (x 4)2 = 56 x 4 = 56

P1 (11.48 ,10 )

x1 11.48

y

x2 3.48 ,y el punto

P1 ( 3.48 ,10 )

por lo que los puntos buscados son aproximadamente:

En el espacio, la frmula de distancia entre dos puntos se deduce de forma similar que en dos dimensiones, considerando que la distancia es un segmento de recta que pertenece a un plano. Esto es, si se tienen los puntos P ( x1 , y1 , z1 ) y P2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , la distancia que los separa es: 1

d=Grficamente, es:

(x2 x1 )2 + ( y2 y1 )2 + (z 2 z1 )2

z yz1 z2 y2 P1 (x1, y1, z1) d P2 (x2, y2, z2)

y1

x1

x2

x

7




Ejemplo. Obtener la distancia entre los puntos: P (2 , 7 ,5) y P2 (8 , 11, 2 ) 1 Solucin.

d=

( 8 2)2 + ( 11 ( 7))2 + (2 5)2

=

( 10)2 + ( 4)2 + ( 3)2

= 100 + 16 + 9 = 125 u.

DIVISIN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZN DADADividir un segmento dirigido en una razn dada significa segmentarlo en partes de forma tal que se encuentren las coordenadas de un punto P ( x , y ) que satisface la comparacin entre dos magnitudes. En general, si la razn es de la forma r = ejemplo, si r =

a , implica que el segmento se divide en a + b partes. Por b

7 , el segmento se divide en 11 partes iguales. 4

Sean los puntos P ( x1 , y1 ) y P2 (x 2 , y 2 ) , as como el segmento de recta que los une: 1

yP2(x2, y2) y2-y P(x,y) x2-x y-y1

P1(x1, y1) x-x1

x

Sea un punto P ( x , y ) que pertenezca al segmento. Si se forman los tringulos mostrados, se observa que son semejantes. Esto es:

x x1 y y1 =r =r y x2 x y2 y donde r es la razn de proporcionalidad de semejanza.Si se despeja x de la primera ecuacin se tiene:

x x1 = r (x2 x )

x x1 = r x2 r x

x + x r = x1 + rx2

x (1 + r ) = x1 + r x2 , que implica:8




x=anlogamente se puede encontrar que:

x1 + r x2 1+ r

y=

y1 + r y 2 1+ r

expresiones que sirven para obtener las coordenadas de un punto que divide a un segmento en una razn dada. En el caso particular en que se trate del punto medio, r vale r =

1 = 1 , y las ecuaciones se convierten en: 1y= y1 + y2 2

x=

x1 + x2 2

y

Ejemplos. Obtener las coordenadas de un punto P ( x , y ) que divida al segmento de recta que se forma al unir los siguientes pares de puntos en la razn dada: 1) P (4 , 3), P2 (9 ,5), r = 1 Solucin.

3 2

3 (9) 4 + 27 35 35 2 2 = 2 = x= = =7; 3 3 5 5 1+ 1+ 2 2 2 9 Por lo tanto, el punto buscado es: P 7 , 5 4+2) P ( 2 ,8), P2 (7 , 4 ), r = 1 Solucin.

y=

3+

3 (5) 3 + 15 9 9 2 2 = 2 = = 3 3 5 5 1+ 1+ 2 2 2

4 5

4 (7 ) 2 + 28 18 18 5 5 = 5 = x= = =2; 4 4 9 9 1+ 1+ 5 5 5 8 Por lo tanto, el punto buscado es: P 2, 3 2+

y=

8+

4 ( 4) 8 16 24 24 8 5 5 = 5 = = = 4 4 9 9 3 1+ 1+ 5 5 5

Ejemplo. Encontrar el punto medio del segmento de recta unido por los puntos A (8,5 ) y B (3, 6 ) Solucin. Aplicando las frmulas del punto medio:

x=

8 + 3 5 5 + (6) 1 5 1 = = ; y= . El punto es: P , . 2 2 2 2 2 29




Ejemplo. Hallar las coordenadas de dos puntos P ( x1 , y1 ) y P2 (x 2 , y 2 ) , que dividan al segmento que une a los 1 puntos k (3, 1) y B (9,7 ) en tres partes iguales.

Solucin: El primer punto est al final del primer tercio, es decir a razn uno a dos:

r=

1 : 2

1 (9) 3 + 9 15 15 2 = 2 = 2 x= = =5; 1 3 1 3 1+ 1+ 2 2 2 5 el primer punto buscado es: P 5, 1 3 3+

y=

1+

1 (7 ) 1 + 7 5 5 2 2 = 2 = = 1 1 3 3 1+ 1+ 2 2 2

El segundo punto est al final del segundo tercio, es decir a razn dos a uno: r =

2 : 1

2 (9) 3 + 18 21 21 1 1 = 1 = x= = =7; 2 2 3 3 1+ 1+ 1 1 1 3+el segundo punto buscado es:

y=

1 +

2 (7 ) 1 + 14 13 13 1 1 = 1 = = 2 2 3 3 1+ 1+ 1 1 1

13 P2 7 , 3

Ejemplo. Sabiendo que el punto P (9, 2 ) divide al segmento que determina la unin de los puntos P (6 ,8) y 1

P2 (x 2 , y 2 ) en la razn r =Solucin.

3 , hallar las coordenadas de P2 . 7

x=

x(1 + r ) x1 r y(1 + r ) y1 procediendo de forma similar se obtiene: y 2 = r x (1 + r ) = x1 + rx2 rx2 = x(1 + r ) x1 x2 =sustituyendo en ambas expresiones:

x1 + r x2 , despejando x 2 : 1+ r

3 10 91 + 6 9 6 7 7 x2 = = = 3 3 7 7 3 10 21 + 8 2 8 7 7 y2 = = = 3 3 7 7

90 48 6 48 7 = 7 = = 16 3 3 3 7 7

20 36 8 36 7 = 7 = = 12 3 3 3 7 710




Por lo tanto, el punto buscado es: P2 (16 , 12 ) Ejemplo. Hallar las coordenadas de un punto P ( x , y ) que divida al segmento unido por los puntos P (4 , 10 ) y 1

P2 (12 ,6 ) en las siguientes razones:

a)

r=

1 7

b) r =

8 9

c)

r=1

d) r =

11 10

e) r =

500 2 600 2

f) r = 0

g)

r=

1 6

h)

r=

23 24

i) r = 1

j)

r=

16 15

k) r =

y establecer una conclusin del comportamiento de los puntos con respecto a las relaciones. Solucin: Al ser fijos P y P2 , las frmulas 1

x=

y1 + r y 2 x1 + r x2 y y= se aplican fcilmente a todas las 1+ r 1+ r

relaciones dadas puesto que las coordenadas no cambian. Procediendo repetidamente se obtienen los siguientes puntos de divisin:

Pa ( 2, 8)

Pb (3.52, 2.47) Pc (4, 2) Pd (4.38, 1.61)

Pe (11.93, 5.93)Pf (4, 10 )

Ph ( 372, 378)

Pg ( 5.14, 11.14)

Pi (No existe) Pj (252, 246)

Pk (12.05, 6.05)A partir de los resultados, se puede concluir que:

r = 0 , el punto P (x , y ) se ubica en P1 A medida que r va creciendo P ( x , y ) se desplaza hacia P2 En su punto medio r vale 1 Cuando r es negativa, el punto se ubica en su prolongacin hacia abajo alejndose hasta que llega a r = 1 donde es infinito y cambia de sentido. Al seguir decreciendo, tiende a P2 .Con

Geomtricamente, lo anterior se puede representar como:

11




y

12

Pj8

P2 (12,6)Pe4

Pk

r < -1

-8

-4

4

8

r >1

16

x

Pb-4

Pd

Pc

Pa-8

0

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