170295709-0-Diedrico-Apuntes-100

UREA D

INICIAINICIAINICIAINICIANIVERSIDAD DE LAS PALMAS DE GRAN CANARIA

E EXPRESIN GRFICA EN LA INGENIERA

CIN AL SISTEMA DIDRICOCIN AL SISTEMA DIDRICOCIN AL SISTEMA DIDRICOCIN AL SISTEMA DIDRICOAutor: Gerardo Martn Lorenzo

Iniciacin al Sistema Didrico

Autor: Gerardo Martn Lorenzo

Profesor Asociado de la Escuela Universitaria de Las Palmas de Gran Canaria

1

PRLOGO

El problema de la representacin de objetos tridimensionales en el plano es tanto

ms sencillo cuanto mejor percepcin visual tenga el alumno, no en vano para realizar

este ejercicio se requiere de un adiestramiento de percepcin as como de una alta dosis

de imaginacin.

La presente obra persigue este objetivo de adiestramiento a travs de una

explicacin espacial del sistema as como de una coleccin de problemas tpicos

resueltos tanto espacialmente como en el plano.

Podra haberse profundizado ms en el estudio del propio sistema pero eso

habra ido en contra de la filosofa con la que el autor ha concebido este libro, que no es

otra que la de iniciacin en el Sistema Didrico, puesto que en el mercado existen ya

numerosas publicaciones de prestigiosos autores las cuales cumplen ya con el objetivo

anteriormente mencionado.

La forma de avanzar en la lectura del libro es progresiva y se sugiere especial

atencin a la resolucin de los problemas planteados as como a las notas de aclaracin.

Una vez superada la primera parte de teora se propone la resolucin de una

coleccin de ejercicios referidos a esta primera parte de la publicacin, de forma que si

el alumno tuviera alguna dificultad de comprensin de las soluciones se recomienda

encarecidamente volver a mirar los temas anteriores y no proseguir hasta que se tengan

asumidos los conceptos.

Una vez superada esta primera parte se presenta la segunda en la que aparecen

las operaciones del sistema y el tema de ngulos. Cabe resaltar que un mismo problema

se puede resolver utilizando cualquiera de las operaciones sugeridas por lo que ninguna

es imprescindible, aunque es conveniente conocer las tres porque hay problemas que se

resuelven de forma ms fcil a travs de una operacin que de otra.

Tras esta segunda parte aparece nuevamente una coleccin de problemas en la

que intervienen todos los conceptos desarrollados hasta el momento, as como el

tratamiento de volmenes, que aunque no han sido incluidos en esta publicacin,




2

seguramente el alumno no tendr ningn problema en acceder a informacin acerca de

estos.

Por ltimo aparece como tema final de la publicacin una introduccin a la

interseccin de volmenes planteada desde una perspectiva lo mas sencilla posible y que

servir como introduccin para aquellos que se vean en la necesidad de desarrollar ms

este tema.




3

INTRODUCCIN

La Geometra Descriptiva es la ciencia que tiene por objeto la representacin de

figuras y objetos tridimensionales en el plano (espacio bidimensional).

El elemento mnimo de representacin en cualquier sistema es el punto y para

poder proyectarlo se traza una recta ( rayo proyectante) por l, cumpliendo una serie de

condiciones, y se calcula la interseccin de este rayo con el plano sobre el cual se desea

proyectar. s puede establecer un paralelismo, para mejor comprensin, con el acto de

iluminar un objeto con una linterna, en este caso la sombra del objeto proyectada sobre

la pared guarda una cierta similitud con la proyeccin de un objeto sobre un plano de

proyeccin.

As pues podemos decir que los elementos indispensables para definir un sistema

de proyeccin dado son:

El objeto a proyectar.

El plano o los planos sobre los que se proyectar.

El conjunto de rayos proyectantes.

Segn sea el tipo de rayo proyectante que utilicemos tenemos una primera

clasificacin de los sistemas :

- OBLICUAS

-

CILNDRICAS

PROYECCIONES - ORTOGONALES

- CNICAS

Las proyecciones cilndricas son aquellas en las que los rayos proyectantes son

paralelos entre s tal como ocurre con las generatrices de un cilindro, de ah su nombre,

mientras que las proyecciones cnicas son aquellas en las que los rayos proyectantes

parten todos de un mismo punto (p.e. una linterna).




4

En funcin del tipo de rayo utilizado para proyectar y del nmero de planos de

proyeccin tenemos los siguientes sistemas de representacin como los mas utilizados :

Sistema de Planos Acotados

- Utiliza un solo plano de proyeccin

- Proyeccin Cilndrica Ortogonal.

Sistema Didrico

- Utiliza dos planos de proyeccin.

- Proyecciones Cilndrica Ortogonal.

Sistema Axonomtrico

- Tres planos de proyeccin.

- Proyeccin Cilndrica Ortogonal.

Sistema Cnico

- Un plano de proyeccin.

- Proyeccin Cnica.

SISTEMA DIDRICO O DE MONGE

En este sistema se utilizan dos planos de proyeccin perpendiculares entre si que

reciben el nombre de Plano Vertical de Proyeccin ( P.V. ) y Plano Horizontal de

Proyeccin (P.H. ). La interseccin de estos dos planos es una recta que recibe el

nombre de Lnea de Tierra ( L.T. ).

Estos dos planos dividen el espacio en cuatro regiones denominadas Cuadrantes

o Diedros los cuales se enumeran tal y como se aprecia en la figura 1, es decir, el primer

cuadrante es el superior derecho y el resto se enumeran en sentido contrario a las agujas

del reloj.




5

fig. 1

En esta figura se pueden observar varios detalles, uno de ellos son las lneas que

aparecen en discontinuo lo cual quiere indicar que los planos de proyeccin son opacos

y que lo que se encuentra detrs de ellos no se ve, aunque por criterios de representacin

y dado que normalmente se trabajar de forma que el observador se encuentra en el

primer cuadrante, todo lo que se encuentre en los restantes cuadrantes se representar en

discontinua. Otro detalle es que se ha realizado una segunda clasificacin en los planos

de proyeccin de forma que, para mejor entendimiento, podemos suponer que existen

dos zonas diferenciadas en el Plano Vertical de Proyeccin, el superior (P.V.S.) y el

inferior (P.V.I.), esto mismo ocurre con el Plano Horizontal de Proyeccin en el que

tendramos el anterior (P.H.A.) y el posterior (P.H.P.).

Dado que se trata de un sistema de proyecciones ortogonales, se puede suponer

que el observador se sita en el infinito (de esta forma los rayos son paralelos) para

P.H.P.

P.H.A.

1er Cuadrante2 Cuadrante

3er Cuadrante 4 Cuadrante




6

proyectar los objetos ortogonalmente sobre los planos de proyeccin. Primero sobre un

plano y luego sobre el otro. Este proceso se muestra simuladamente en la figura 2.

fig. 2

Para poder representar este sistema en el plano (nuestra lmina de trabajo)

debemos realizar un giro de 90 de uno de los planos de proyeccin utilizando como eje

de giro la Lnea de Tierra. Este proceso se muestra en la siguiente figura.

fig. 3

Este giro, que se realiza una vez se han obtenido las proyecciones

correspondientes, nos permite reflejar en un plano ( lmina de trabajo) dos zonas

separadas por la Lnea de Tierra, la zona superior en la que se encuentran las

P.H.A.

P.V.S.

P.H.A.

P.H.P.

P.V.I.

LAMINA




7

proyecciones efectuadas sobre el Plano Vertical Superior y sobre el Plano horizontal

Posterior y la zona inferior en la que se encuentran las proyecciones de los objetos

proyectadas sobre el Plano Horizontal Anterior y Plano Vertical inferior




8

TEMA 1 : EL PUNTO

1.1 PUNTO GENRICO

La representacin didrica del punto se efecta a travs de proyecciones

ortogonales a los planos de proyeccin. En la fig. 1.1 tenemos el punto A situado en el

primer cuadrante y sus proyecciones respectivas seran A" (proyeccin sobre el plano

vertical de proyeccin) y A' (proyeccin sobre el plano horizontal de proyeccin).

fig. 1.1

Sobre esta misma figura podemos sealar la distancia existente entre el punto A

y el Plano Vertical de proyeccin ( en lo sucesivo P.V.), que recibe el nombre de

alejamiento (a), la distancia entre A y el Plano Horizontal de proyeccin (en lo

sucesivo P.H.) que se denomina cota (c) del punto y la distancia, medida sobre la Lnea

de Tierra ( de aqu en adelante L.T.), desde la lnea de referencia de A hasta el origen

(0), distancia que en la figura 1.1 se representa por (ab) y que se denomina Abcisa del

punto A. Estos tres conceptos se representan en el diedro segn la figura 1.2.A

P.V.

P.H.A

A"

A'

(0)

ab




9

A

A'

A"

P.V.

P.H.

A"

A'

0

1er Cuadrante2 Cuadrante

3er Cuadrante 4 Cuadrante

abC

A

A B

fig. 1.2

As un punto puede designarse por un vector de tres coordenadas (a,b,c) donde

"a" representa la abcisa del punto que segn sea positiva o negativa significar un

desplazamiento hacia la derecha o izquierda respectivamente, "b" representa el valor de

la cota del punto la cual puede ser tambin, positiva o negativa; si fuera positiva

significa que el punto se encuentra en la zona del espacio por arriba del P.H. (1er 2

Cuadrante), mientras que si es negativa se encontrar por debajo del P.H. (3er 4

Cuadrante). Por ltimo el valor de "c" nos cuenta acerca del alejamiento del punto, de

tal forma que si es negativo implica que el punto se encuentra detrs del P.V. - a la

izquierda del P.V., segn la figura1.2.B -(2 3er Cuadrante) y si es positivo el punto

est a la derecha del P.V.

Un resumen de lo expuesto es el siguiente cuadro :

Cuadro 1.1

En esta misma lnea podemos definir un cuadro que nos oriente en cuanto a la

posicin espacial del punto en funcin de los valores de cota y alejamiento

respectivamente:

DEFINICIN LETRA + -

Abcisa a derecha izquierda

Cota b P.V. superior P.V. inferior

Alejamiento c P.H. anterior P.H. posterior




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Cuadro 1.2

En la figura 1.2.B vemos como ser la representacin del punto A en tercera

proyeccin y como a partir de esta se obtienen las proyecciones didricas. Obsrvese las

indicaciones de las flechas que hacen alusin al abatimiento del P.H., que slo afecta a

la proyeccin horizontal del punto.

1.2 PUNTO EN LOS DISTINTOS CUADRANTES

Algunos ejemplos de representacin de puntos son :

A B

2 Cuadrante 3 er Cuadrante

fig. 1.3

Cuadrante Cota Alejam.

1er + +

2 + -

3er - -

4 - +

BB"

B'

B"

B'

C

C'

C"

3 Proyeccin3 Proyecci

C"

C'




11

1.3. PUNTO CONTENIDO EN LOS PLANOS DE PROYECCIN

Los puntos contenidos en los planos de proyeccin son denominados en

ocasiones, puntos Trcicos y son los representados en la figura 1.4 y 1.5:

A B

A"

A'

A = A"

A'

3 Proyeccin

Punto contenido en P.V. superior

B"

B' B = B"

B'

Punto contenido en P.V. inferior

3 Proyeccin

fig. 1.4

C =C'

Punto contenido en P.H.ant.

D"

D'

D"

Punto contenido en P.H. post.

C"C"

C'

D = D'

fig. 1.5

1.4. PUNTOS CONTENIDOS EN LA L.T.

Son puntos que pertenecen a los cuatro cuadrantes y su caracterstica principal es

que tienen cota y alejamiento cero, por lo tanto sus proyecciones se encuentran en L.T..




12

1.5. PUNTOS CONTENIDOS EN LOS PLANOS BISECTORES

Por estar en esta posicin tienen como caracterstica principal que su cota es

igual a su alejamiento, cumpliendo a su vez las condiciones generales de los puntos en

los distintos cuadrantes. Evidentemente, el caso anterior (punto contenido en la L.T.) es

un caso particular de este tipo de puntos pues su cota y alejamiento son iguales fig. 1.7.

fig. 1.7

A"

A' B' = B"

A

B




13

EJERCICIOS

1.1 Representar un punto "C" del P.V. superior, uno "B" del P.H. anterior y un

punto "A" del primer cuadrante.

AA"

A'

B'B"

C'

C"

1.2 Representar tres puntos del primer cuadrante con igual cota que alejamiento.

A qu plano pertenecen dichos puntos?. Representarlos tambin en el plano de tercera

proyeccin.

A

B

C

C'''

B'''

A'''

C'

C"

B"

B'

A"

A'

A"

A'

B"

B'

C"

C'




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Nota : El hecho de que los puntos tengan igual cota que alejamiento nos indica

que pertenece a alguno de los dos bisectores, en este caso en concreto, al primer

bisector.

1.3 Obtener las proyecciones de un punto "A" perteneciente al semiplano vertical

inferior, otro "B" que pertenece al semiplano horizontal anterior y otro "C" del cuarto

cuadrante.

C

C'

C"

B=B'B"

A=A"

A'

1.4 Obtener un punto del primer cuadrante y su simtrico respecto del plano

vertical de proyeccin.

A

B

A'

B'

A"=B"




15

1.5 Dibuja tres puntos: uno del P.V. otro del P.H. y uno de la L.T. nelos entre si

y observa lo que obtienes.

A"

A' B'

B"

C"=C'

Nota : La unin de tres puntos no alineados en el espacio define un plano.




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TEMA 2 : LA RECTA

2.1 PROYECCIONES DE UNA RECTA.

Segmento de una recta . Verdadera magnitud de un segmento. Tipos de

rectas.

La unin de dos o mas puntos alineados define una recta, as pues las

proyecciones de la recta sern las de los puntos que la configuran.

fig. 2.1

El resultado de proyectar una recta cualquiera es el que se muestra en la figura

2.1, en la que se puede observar como en proyecciones se verifica el hecho de que las

proyecciones respectivas de los puntos estn sobre las proyecciones homnimas de la

recta y tambin que la recta es infinita.

Dos de los puntos caractersticos de una recta son los puntos de interseccin de

esta con los planos de proyeccin, llamadas 'Trazas de la recta' y que nombraremos Hr

y Vr , siendo Hr la interseccin de la recta con el P.H. y Vr con el P.V.

r

r"

r'

r"A

B

B"

A"

A'

B'r'

A"

A'

B"

B'




17

fig. 2.2

Vemos que V' est determinado por el punto de corte de r' con L.T. por lo que V"

estar en la proyeccin ortogonal sobre r". As mismo donde r" corta con la L.T.

obtenemos H", y H' estar sobre r'. Las lneas de referencia que pasan por V y H en el

diedro (X,Y fig. 2.2) divide el diedro en tres partes. Vemos que para la zona

comprendida entre X e Y la proyeccin vertical (r") se encuentra por encima de L.T. y la

proyeccin horizontal (r') est por debajo, por lo tanto podemos asegurar que esta zona

se encuentra en el primer cuadrante. Siguiendo esta misma lgica de anlisis podremos

observar que la zona a la izquierda de X estar en el segundo cuadrante y la de la

derecha de Y estaremos situados en el cuarto cuadrante.

Para diferenciar el paso por el primer cuadrante slo de dibujar con trazo

continuo la zona perteneciente a este, permaneciendo el resto en discontinua, tal como

se muestra en 2.2.

Atendiendo a una clasificacin estricta podemos encontrarnos con los siguientes

tipos de rectas :

Horizontal.

Frontal.

Vertical.

De Punta.

Paralela a L.T.

Oblicuas o Genricas.

V"

V'

H"

H'

r

r"

r'

V"

H"

V'

H'

r"

r'

X

Y




18

Contenida en los bisectores.

Paralela a los bisectores.

De Perfil

A continuacin se analizar alguna de estas rectas por entender qe son las mas

complicadas de comprender, el resto sern utilizadas indistintamente a lo largo de este

libro.

2.2 RECTA DE PERFIL.

Proyecciones. 3 Proyeccin. Verdadera magnitud. Puntos pertenecientes a

una recta de perfil. Distintos cuadrantes.

fig. 2.3

La condicin caracterstica de una recta de perfil se encuentra en que todos sus

puntos tienen igual abcisa esto hace que sus proyecciones (r" , r') coincidan en el

diedro (fig. 2.4.A).

A B

r" = r' r" = r's" = s'

fig. 2.4

r

s




19

Otra particularidad es que dos rectas de perfil diferentes r y s, con igual abcisa,

tienen idnticas proyecciones en el diedro (fig. 2.4.B). Esto nos obliga a indicar algn

elemento que nos permita diferenciarlas. Si representamos en tercera proyeccin ambas

rectas podramos apreciar que estas rectas son ciertamente distintas (fig. 2.5). Los

puntos Vr , Hr y Vs , Hs designan las trazas de las rectas r y s respectivamente, que

como puntos que son , en tercera proyeccin (ver tema del punto) pueden ser llevados al

diedro de tal forma que tendremos representados dos puntos caractersticos de sendas

rectas.

Tambin podemos definir como particularidad de estas rectas el hecho de que al

ser paralelas al plano de tercera proyeccin al efectuar su proyeccin sobre dicho plano

(tercera proyeccin), esta proyeccin si que estar en verdadera magnitud, as como

los ngulos que forma la recta con los planos de proyeccin.

En resumidas cuentas se hace imprescindible el trabajar en tercera proyeccin

con este tipo de rectas para poder definirlas con exactitud.

V"s

V"r

H's

H'r

s

r

3 P.

s" = r"

s' = r'

fig. 2.5

2.3 RECTAS PERPENDICULARES A LOS PLANOS DE PROYECCIN

La recta perpendicular al P.H. se llama " recta vertical " y la perpendicular al

P.V. " recta de punta". En este apartado nos referiremos exclusivamente a la recta

vertical y se podrn trasladar todas las consideraciones a la recta de punta por similitud.

Las proyecciones didricas as como la tercera proyeccin son las representadas

en la figura 2.6.




20

fig. 2.6

Una caracterstica singular es que las proyecciones horizontales de los infinitos

puntos contenidos en la recta coinciden, por lo que r' se representar como un punto en

proyeccin horizontal. As mismo dado que la recta es paralela al P.V., su traza vertical

estar en el infinito. Una singularidad mas de estas rectas es que su proyeccin vertical

as como en tercera proyeccin estar en verdadera magnitud (V.M.), por lo que se

podr medir directamente la distancia entre dos puntos pertenecientes a la recta, en

proyeccin vertical (proyeccin horizontal para la recta de punta ).

2.4 RECTAS PARALELAS A L.T.

fig. 2.7

r"

r'

rs

s'

s"

3 P.

r"

r'

r"'

s"'

s'

s"

r"

r'

r

A

BB"

B'

A"

A'

3 P.

r"

r'

A"

A'

r''' = A'''

h




21

Como su nombre indica, son rectas paralelas a L.T. . Sus proyecciones sern

paralelas a la L.T. y por ello su tercera proyeccin tambin ser paralela a L.T. Las

proyecciones de la recta estarn en V.M.

Por ser paralela a L.T., la distancia "h" en tercera proyeccin, indica la verdadera

distancia entre esta recta y la L.T. Las proyecciones de esta recta en los distintos

cuadrantes ser la indicada en la figura 2.8.

s"s'

s"'3 P.

t'

t"

3 P.

t"'

fig. 2.8




22

EJERCICIOS

2.1 Representar V(10,30,0) , H(60,0,50) as como la recta que ellos definen y sus

proyecciones.

V"

V'

H"

H'

r

r"

r'

2.2 Representar el punto P(_, 30, -40) y sus proyecciones.

Representar un punto que unido al anterior de como resultado una recta

horizontal y representar las proyecciones de dicha recta.

P

P'

P"

A'

A"Ar

r"

r'

2 C.

2.3 Proyecciones del punto A(_, -10, -50) y de otro punto del segundo cuadrante

que unido con el A nos de como resultado una recta de perfil.




23

A

A'

A"

B"

B'

B

r r"

r'

2.4 Dibujar, en el 1er cuadrante una recta Horizontal "r" contenida en el P.H. y

cuya traza vertical se encuentra en abcisa 50. Trazar tambin una recta frontal "s"

contenida en el P.V. cuya traza horizontal se encuentra en abcisa 50.

- Qu ngulo forma la recta horizontal con el plano horizontal?.

- A que te recuerdan estas dos rectas?.

r=r"

s'

r' = s"

* El ngulo se mide directamente entre la proyeccin vertical de la recta y la

lnea de tierra.




24

TEMA 3 : EL PLANO

3.1 PLANO GENRICO

Como indica la figura 3.1 los planos genricos pasan por los cuatro cuadrantes.

Tericamente un plano se puede obtener de cualquiera de las siguientes formas : tres

puntos no alineados, una recta y un punto no perteneciente a la misma, dos rectas

paralelas dos rectas que se cortan.

fig. 3.1

Dada la peculiar forma de un plano esta impide que se pueda proyectar al mismo

directamente sobre los planos de proyeccin por lo que lo que se hace es proyectar los

elementos que este contiene ( puntos y rectas ), de tal forma que al proyectar estos

elementos estaremos definiendo el plano en si mismo. De todos los elementos que

componen un plano determinado existen dos elementos (en algunos planos un solo

aa2

a1




25

elemento) que son caractersticos de cada plano estos son las dos rectas de interseccin

de los planos con los planos de proyeccin , a estas dos rectas es a lo que se denomina "

trazas del plano " y que aqu nombraremos siguiendo la siguiente nomenclatura 1(Traza horizontal del plano) 2 (traza vertical del plano),tal como se muestra en la

figura 3.2.

fig. 3.2

Dado que generalmente, en este sistema de representacin, trabajaremos en el

primer cuadrante, slo trazamos la parte continua de las trazas aunque no hemos de

perder de vista que como rectas que son se prolongarn atravs de los otros cuadrantes.

Dos observaciones importantes, la primera las rectas aaaa2 y aaaa1 se cortarn

siempre en un punto de L.T. (llamado punto de corte de las trazas). Segundo, al ser

rectas contenidas en los planos de proyeccin, a2' y a1" coincidirn siempre en L.T.

por lo que por norma prescindiremos de estas dos proyecciones y simplemente

representaremos a2 " y a1' como a2 y a1.

3.2 CRITERIOS DE PERTENENCIA

Veamos la figura 3.3, en ella tenemos representados la porcin del primer

cuadrante de un plano a y una recta contenida en dicho plano. Se ve claramente que

para que r pertenezca a las trazas de la recta r deben estar sobre las trazas del plano

, o dicho de otra forma, los puntos de interseccin de la recta r con los planos de

proyeccin deben pertenecer a las rectas interseccin de FRQ ORV SODQRV GHproyeccin.

a2 =

a1

a2

a

a2

a1




26

fig. 3.3

As en el diedro quedar representado segn la figura 3.4 (A), mientras que en la

fig. 3.4 (B) se observa que la recta no pertenece al plano.

A B

fig. 3.4

rr"

r'

V"

H'

a1

a2

r"

r'

H'

V"

a2

a1

r"

r'

H'

V" a2

a1




27

3.3 RECTAS CARACTERSTICAS DE UN PLANO

Recta Horizontal del plano

Evidentemente esta ser una recta horizontal, que como ya sabemos tiene

solamente una traza, la vertical, por lo que para que esta recta est contenida en el plano

deber cumplir que su traza vertical est sobre la traza vertical del plano y su proyeccin

horizontal debe ser paralela a la traza horizontal de a para que de esta forma se cumpla

que la traza horizontal de la recta est sobre la traza horizontal del plano (en el infinito),

"r" en fig. 3.5.

fig. 3.5

Recta Frontal del plano

Se justifica de igual forma que la anterior. fig. 3.6.

fig. 3.6

r"

r'

a2

a1

V"

r"

r'

a2

a1

V"




28

Recta de Perfil

Debe cumplir las condiciones generales de pertenencia de recta a plano y las

caractersticas particulares de una recta de perfil. fig. 3.7.

fig. 3.7

Recta de Mxima Pendiente (R.M.P.)

Es aquella recta que perteneciendo a IRUPD HOPD\RU iQJXOR SRVLEOH FRQ HOP.H. Atendiendo a la definicin de que " el ngulo que forma una recta con un plano es

el que forma la recta con su proyeccin sobre dicho plano", veamos la figura 3.8

fig. 3.8

Segn se ve en la figura, la recta r cumple las siguientes condiciones:

a1

a2r"

r'

V"

H'

V' = H"

9090

r'r

r"

a1

a2




29

" r " es perpendicular a a1 en el espacio.

" r' " es perpendicular a a1 en proyecciones.

Esta es la recta, que estando contenida en Alfa, forma el mayor ngulo

posible con el P.H.

Con todo esto la proyeccin de la recta de mxima pendiente de un plano

genrico ser la mostrada en la figura 3.9 .

fig. 3.9

Recta de Mxima Inclinacin (R.M.I.)

Esta recta se define como la recta que perteneciendo al plano forma el mayor

ngulo posible con el P.V.

Esta recta debe cumplir :

- " r " es perpendicular a a2 en el espacio.

- " r" " es perpendicular a a2 en proyecciones.

- Esta es la recta que, estando contenida en Alfa, forma el mayor

ngulo posible con el P.V.

Su representacin en proyecciones ser:

a2

r"

r'

90a1




30

fig. 3.10

3.4 PUNTO PERTENECIENTE A UN PLANO

La condicin necesaria y suficiente para que un punto est contenido en un plano

es que este est contenido en una recta que a su vez debe estar contenida en el plano.

Veamos los siguientes ejemplos:

A"

A' A'

A"

A'

A"

1 2 3

A"

A' A" = A'

4 5

fig. 3.11

1.- P pertenece a a.

2.- P no pertenece a a, porque no pertenece a " r " y " r " si pertenece

a a.

a2r"

r'

90

a1




31

3.- P no pertenece a a, porque " r " no pertenece a a.

4.- P pertenece a a porque pertenece a una recta de a , a este tipo de

punto que est contenido en alguna de las trazas del plano le

denominaremos punto trcico.

5.- P pertenece a a , porque pertenece a sus trazas.

3.5 TIPOS DE PLANOS Y SUS CARACTERSTICAS

A continuacin se describen las caractersticas generales de cada tipo de plano y

se ofrece una representacin grfica de cada uno de ellos conteniendo una recta y un

punto.

Planos Oblicuos.

Son los vistos hasta ahora y no cumplen ninguna condicin particular,

simplemente las normas generales de los planos.

Planos Proyectantes

Plano Horizontal -

Paralelo al plano horizontal de proyeccin (P.H.). Dos posiciones

posibles, por arriba o por abajo del P.H.

Todos los puntos pertenecientes a estos planos tienen la misma cota.

Todas las rectas que contienen son rectas horizontales.

Slo se representa su traza vertical puesto que la horizontal se encuentra

en el infinito.

Todo lo que contienen lo proyectan verticalmente sobre su traza.

A"

A'

V" r" =

r'

a2

fig. 3.12




32

Plano Vertical o Frontal -

Paralelo al P.V.

Dos posiciones posibles, delante o detrs del P.V.

Todos los puntos pertenecientes a estos planos tienen el mismo

alejamiento.

Todas las rectas que contienen son rectas frontales.

Slo se representa su traza horizontal ya que la vertical se encuentra

en el infinito.

Todo lo que contienen lo proyectan horizontalmente sobre su traza.

fig. 3.13

Plano Proyectante Vertical o De Canto -

Plano perpendicular al P.V.

El ngulo que forma la traza horizontal del plano con la L.T. es, en

verdadera magnitud, el que forma el plano con el P.H.

Todo lo que contiene lo proyecta sobre su traza vertical.

No puede contener rectas horizontales salvo la recta de punta.

A"

A'H' r' =

r"

a1




33

fig. 3.14

Plano Proyectante Horizontal -

Plano perpendicular al P.H.

El ngulo que forma la traza horizontal con la L.T. es, en verdadera

magnitud, el que forma el plano con el P.V.

Todo lo que contiene lo proyecta sobre su traza horizontal.

No puede contener rectas frontales salvo la recta vertical.

fig. 3.15

a2

a2

a1a1

r" =

r'

V"

H'

a2

a1

a1

a2

r' =

r"

H'

V"




34

Planos Paralelos a la L.T.

Preferiblemente se analizarn en tercera proyeccin.

Tiene ocho posiciones posibles, de las cuales cuatro son paralelas a

los bisectores.

Sus trazas son paralelas a la L.T. y si la cota de la traza vertical es

igual al alejamiento de la traza horizontal estaremos hablando de un

paralelo a un bisector.

El ngulo que forma con los planos de proyeccin se puede obtener

directamente en tercera proyeccin.

fig. 3.16

Planos que pasan por la L.T.

Sus trazas se confunden con la L.T.

Necesitan que se declare un punto que est contenido en dicho plano

para poder definirlo fig. 3.17.

Se deben analizar en tercera proyeccin.

Cuatro posiciones posibles de las cuales dos son los bisectores.

Todas las rectas que contienen, salvo la paralela a L.T., son rectas

que pasan por L.T.

a2

a1

a3

3 Proyeccin

r"

r'

= r'''

V"

H'




35

fig. 3.17

Planos Perpendiculares a los Bisectores

Dos posiciones posibles (perpendicular al primer o segundo

bisector).

Sus trazas forman el mismo ngulo con la L.T.

fig. 3.18

Nota : La recta " r " es perpendicular al Primer Bisector por lo que cualquier

plano que la contenga tambin ser perpendicular al Bisector, en este caso el plano

cumplir esta premisa y dado que " r " es una recta de perfil cuyas trazas tienen igualdad

3 Proyeccin

P'''

P'

P"

a2 = a1

a3

r

1 er B.

a2

a1ss




36

de cota y alejamiento, las trazas de a formarn los mismos ngulos con los planos de

proyeccin.

fig. 3.19

Planos de Perfil

Perpendicular a los planos de proyeccin, por lo tanto paralelos al

plano de tercera proyeccin.

Sus trazas son perpendiculares a la L.T. y se confunden en

proyeccin.

Se deben analizar generalmente en tercera proyeccin puesto que

todo lo que contengan se ver ah en verdadera magnitud.

No contienen rectas horizontales o frontales salvo la de punta y la

vertical.

fig. 3.20

a2

a1

a2

a1

=

=

Perp. al Primer Bisector Perp. al Segundo Bisector

V"

H'

r"

r'

V"=H'

r"=r'

3 P.

A"

B"

A'

B'

A'''

B'''

a2 =r''

a1 = r'

r"'




37

EJERCICIOS

3.1 Representar un plano "a " genrico y un punto de dicho plano.

PP"

P' r'

rr"

3.2 Representar un plano "a " genrico, cuyas trazas se abren hacia la derecha.

Localizar las proyecciones de un punto de la traza vertical de dicho plano.

Que caracterstica tienen los puntos trcicos de un plano?.

Que tipo de recta es la traza horizontal de un plano?.

Dibujar una recta genrica del plano.

Nota : Los puntos trcicos de un plano presentan la caracterstica de que o bien

no tienen alejamiento o bien no tienen cota.

La traza horizontal de un plano es una recta horizontal contenida en el plano

horizontal de proyeccin.

P=P"

P'

V"

H'

r

r'

r"

a1

a2




38

3.3 Obtener las proyecciones de una recta contenida en un plano proyectante

horizontal.

3.4 Sean las trazas de la recta "r", V( 10, 40, 0) y H( 50, 0, 30). Pasar por un

punto de cota 20 de dicha recta otra recta "s", de perfil, cuya traza horizontal es Hs (_, 0,

40). Obtener el plano "a " definido por ambas rectas.

3.5 Trazar un plano perpendicular al segundo bisector y paralelo a L.T.

Representar las proyecciones de la interseccin de dicho plano con el 2 Bisector.

r

r"

r'

a2

a1

V" V"

H'

H'

sr

a2




39

a2

a1

r"

r'

r

3.6 Dibuja un plano "a " genrico y una recta de mxima inclinacin de dicho

plano.

a2

a1

r

r'r"

Nota : Tngase en cuenta que tanto la proyeccin vertical (r") como la propia

recta son perpendiculares a la traza vertical del plano, por lo que el ngulo que forma

la recta de mxima inclinacin con el plano vertical es el mismo que el que forma el

plano que la contiene con dicho P.V.




40

TEMA 4 : INTERSECCIN

4.1. INTERSECCIN ENTRE RECTAS.

La interseccin entre dos rectas viene dada por un punto. Dos rectas pueden no

intersectase, sino cruzarse, no existiendo en este caso punto interseccin. En el diedro,

verificaremos que dos rectas se cortan cuando el punto interseccin de las proyecciones

verticales de ambas rectas coincide en abcisa con el punto interseccin de las

proyecciones horizontales. La fig. 4.1 muestra un caso de interseccin entre rectas

(4.1.A) y cruce de rectas(4.1.B).

A B

Interseccion de rectas Cruce de rectas

r"s"

r'

s'

r" s"

r'

s'

fig. 4.1

4.2. INTERSECCIN ENTRE DOS PLANOS.

La interseccin entre dos planos es una recta la cual debe cumplir que sus

trazas coincidan con las trazas respectivas de los planos.




41

A B

fig. 4.2

As podemos resumir que la traza vertical de la recta interseccin entre los

planos y a estar donde se intersecta 2 y a2 ; y de forma anloga, la traza

horizontal de la recta estar en el punto de corte de 1 y a1 . La traduccin de esta

conclusin en el diedro se puede resumir segn el cuadro siguiente.

Cuadro 4.1

H y V en el diedro estarn en la L.T. pues H y V son puntos contenidos en los

planos de proyeccin.

4.3. INTERSECCIN ENTRE RECTA Y PLANO.

La interseccin entre recta y plano es un punto que, como muestra la fig. 4.3.A

se obtiene como interseccin entre r y otra recta s, que es la interseccin de a y b

,siendo b un plano auxiliar que contiene a r . Este plano auxiliar puede ser uno

cualquiera, pero se simplifica bastante el problema si tomamos un plano proyectante. El

H 1 y a1

V 2 y a2

a2

a1

b2

b1

r

a2

a1

b1

b2

i'

i"




42

mismo procedimiento se muestra en la fig. 4.3.B. El cuadro 4.2 resume el

procedimiento.

A B

fig. 4.3

Cuadro 4.2

DATOS : r,

1) b(r)

2) "s" int. "a" y "b"

3) "I" int "r" y "s"

a2

a1

b1

b2

a1b1

r

s

I

I"

I'

s'i'

s"=i" b2 a2




43

EJERCICIOS

4.1 Dados un plano a, Proyectante Vertical, que abre sus trazas hacia la

derecha y otro b igual que el anterior, que abre sus trazas en sentido contrario, calcular

la interseccin de ambos.

a2

a1

b1

b2

i

i'

i"

4.2 Dados dos planos genricos que abren sus trazas en sentido contrario,

obtener la recta interseccin de ambos.

a2

a1

b1

b2

i




44

4.3 Dado un plano genrico cuyas trazas se abren hacia la derecha obtener la

recta interseccin de dicho plano con el Primer Bisector usando una recta horizontal de

dicho plano.

r'

r"r

si

a1

a2

Nota : Hay que buscar una recta horizontal contenida en el primer bisector de

igual cota que "r" y localizar el punto de interseccin de ambas rectas. Otro punto de la

recta interseccin ser aquel donde se corten las trazas del plano con n la L.T. Uniendo

estos dos puntos obtenemos la recta "i".

4.4 Representar la interseccin de un plano de perfil con una recta horizontal

,contenida en el Primer Bisector.

a2

a1

r"

r'

r




45

4.5 Calcular la interseccin de una recta genrica con un plano genrico

haciendo uso de un plano proyectante.

r

V"r

H'r

i

I

a2

a1b1

b2

4.6 Interseccin de una recta vertical con un plano genrico.

r"

ri

a1

a2

b1

b2I

Nota : Se ha resuelto utilizando el mtodo general de interseccin de recta y

plano, pero se poda haber obtenido la misma solucin con una recta horizontal de a,

cuya proyeccin horizontal contuviese a la proyeccin horizontal de r (r).




46

TEMA 5 : PARALELISMO

5.1. RECTAS PARALELAS

Se puede asegurar que dos rectas son paralelas cuando lo son sus

proyecciones homnimas .As la figura 5.1 muestra un ejemplo en el diedro de rectas

paralelas:

r" s"

s'r'

fig. 5.1

5.2. PLANOS PARALELOS

Dos planos son paralelos cuando sus trazas homnimas lo son tal y como

se puede apreciar en la figura 5.2 entre los planos Alfa y Beta.

fig. 5.2

a2

a1

b2

b1




47

El procedimiento es algo mas laborioso cuando imponemos la condicin de que

el plano paralelo contenga a un punto determinado.

fig. 5.3

Para obtener este plano Beta que contiene a "P" y sea paralelo a Alfa nos

apoyaremos en una recta auxiliar "r" que contenga al punto " P ", que sea horizontal

(paralela a una recta horizontal de Alfa) y luego contenemos a "r" en un plano Beta,

paralelo al Alfa, de tal forma que la traza vertical 2 pase por la traza vertical de la

recta V" paralelamente a la traza vertical del plano Alfa y 1 se cortar con 2 en L.T. y

ser paralela a r'.

DATOS : P,a

- r (P) horizontal, r' || a 1

- (r) || a

a2

a1

b2

b1

P"

P'




48

TEMA 6 : PERPENDICULARIDAD

6.0 CONCEPTOS GENERALES

Una recta es perpendicular a un plano cuando lo es , por lo menos, a dos rectas

de dicho plano que pasen por su pie ( Interseccin recta - plano).

Una recta es perpendicular a un plano si por ella pasan dos planos

perpendiculares al primero.

Si una recta es perpendicular a un plano, todos los planos que contengan a

dicha recta sern perpendiculares a dicho plano.

Todos los planos perpendiculares a una recta son paralelos entre si.

Si dos planos son paralelos, la interseccin que les produce otro plano

perpendicular a uno de ellos, sern dos rectas perpendiculares entre si.

6.1. PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTA Y PLANO

Una recta "r" y un plano son perpendiculares cuando en proyeccin didrica,

las proyecciones de la recta sean perpendiculares a las trazas homnimas del plano.(fig.

6.1)

fig. 6.1

r"

r'

a2

a1




49

Los casos mas generales de este procedimiento son los siguientes:

a) Recta "r" que contiene a un punto P y es perpendicular a Deben cumplirse las condiciones de perpendicularidad anteriormente expuestas

y, adems, "r" debe contener al punto "P". As en el diedro veremos:

fig. 6.2

b) Plano aaaa que contiene a un punto "P" y es perpendicular a "r".

En este caso debemos valernos de un recta auxiliar "s" ,que contiene a "P" y que

podra ser una horizontal o una frontal, que posteriormente estar contenida en el plano ;

en el supuesto de que se elija una recta horizontal, s' debe ser perpendicular a r' (porque

la traza horizontal del plano ser perpendicular a r). Por otro lado a debe contener a

"s" de esta forma contendr a "P". Para que a sea perpendicular a "r", a2 debe ser

perpendicular a r" y contener a la traza vertical de "s" y por ltimo, al ser a1 paralela a s'

ser perpendicular a r'. Este procedimiento se ilustra en la siguiente figura.

a2

a1

r"

r'

P"

P'




50

fig. 6.3

6.2 PERPENDICULARIDAD ENTRE DOS RECTAS

Dada una recta "r", diremos que otra recta "s" es perpendicular a la anterior si

est contenida en un plano a perpendicular a "r".

En el ejemplo ilustrado las dos rectas son perpendiculares aunque no se cortan.

r"

r'

P"

P'

a2

a1

s"

s'

r"

r's'

s"

a2

a1




51

6.3 PERPENDICULARIDAD ENTRE PLANOS

Para obtener un plano b, perpendicular a otro a , tendremos que obtener una

recta ( r) que sea perpendicular a a , y que a su vez est contenida en b.

a2

a1

b1

b2

r'

r"

r

V"H'




52

EJERCICIOS

6.1 Dibujar una recta que pasa por L.T. y un plano perpendicular a ella. Obtener

las proyecciones del punto interseccin.

I

r

r'

r"a2

a1

6.2 Dada una recta frontal "r" trazar un plano perpendicular a ella.

I

rr"

r'

a2

a1




53

6.3 Dada una recta horizontal "r" Trazar otra recta que sea perpendicular a ella.

a2

a1

r"

r'

r

II"

I'90

s

Nota: Cualquier recta contenida en el plano perpendicular a "r" , ser

perpendicular a "r".

6.4 Dado un plano genrico "a", obtener las proyecciones de otro perpendicular

al mismo.

r" - perpendi.

r' - Perpendi.

a2

a1

b2b1

b2

b1

r"

r'




54

TEMA 7: DISTANCIA

7.0 CONCEPTOS

Si un segmento AB se proyecta sobre un plano a, la imagen resultante

A'B', tendr una longitud menor que la de AB, en el caso general en que el plano y el

segmento sean oblicuos entre si y en el mejor de los casos, es decir que el plano y el

segmento sean paralelos, el valor de AB ser igual al de A'B'.

Teniendo en cuenta el funcionamiento del sistema didrico hemos de ser

conscientes de que por lo general tendremos dos proyecciones cuyas longitudes sern

diferentes, una sobre el P.V. y otra sobre el P.H., y estas proyecciones a su vez sern

diferentes al valor original del segmento, salvo excepciones.

7.1 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Aplicaremos, para el clculo de la distancia real existente entre dos puntos, los

procedimientos de diferencia de cotas y diferencia de alejamientos. Aunque, como

veremos mas adelante, tambin se podra calcular la V.M. de la distancia aplicando las

operaciones que nos proporciona este sistema, tales como abatimientos, cambios de

plano o giros.

fig. 7.1.A fig. 7.1.B

BB"

B'

AA"

A'

r'

dr"r"d

B

B"

A'

A"

B'

dif. alej.




55

La fig. 7.1.A muestra como la distancia "d" la podemos obtener en el P.V.

mediante el desarrollo del tringulo rectngulo A"B"B, que es semejante al ABB"

siendo el cateto B"B la diferencia de alejamientos de A y B. La hipotenusa "d" nos

proporciona la distancia entre A y B. El procedimiento llevado a proyecciones se

muestra en la fig. 7.1.B. Este procedimiento es el de diferencia de alejamiento y de

forma similar se desarrolla el de diferencia de cotas, tal como se muestra en la fig. 7.2.

B"

A'

B'

A"

dif. de cotas

d

dif. cotas

fig. 7.2

7.2 DISTANCIA ENTRE PUNTO Y PLANO

El procedimiento es el que se ilustra en la figura 7.3 de forma que los

datos de partida son el punto P y el plano. Para solucionar este ejercicio se traza una

recta perpendicular al plano que contenga a P, se calcula la interseccin de la recta con

el plano (Y) y por ltimo se determina la distancia entre P e I.




56

fig. 7.3

7.3 DISTANCIA ENTRE PUNTO Y RECTA

Siempre que se habla de distancia estaremos hablando en realidad de mnima

distancia. Aplicando una metodologa similar a las fig. 7.3, la distancia entre el punto

"P" y la recta "r" vendr expresada segn la fig. 7.4, donde se busca un plano TXHcontenga al punto "P" y sea perpendicular a "r", luego se determina la interseccin de "r"

con el plano obtenindose as el punto "I" y por ltimo se determina la distancia entre

los puntos "P" e "Y".

rP

a

I




57

fig. 7.4

Todo este procedimiento puede resumirse en el cuadro adjunto.

Cuadro 7.2

Igualmente el proceso queda ilustrado en la fig. 7.5

fig. 7.5

DATOS : P y R

1) a (P) Perpendicular a "r"

2) "I" int. De "r" y a

3) Dist. "I", "P"

PI

r

r"

r'

P"

P'

I"

I'

a2

a1b1D




58

7.4 DISTANCIA ENTRE RECTAS PARALELAS

Dadas las rectas "r" y "s" paralelas como se muestra en la fig. 7.6 la distancia

entre estas rectas se obtiene con la ayuda de un plano a perpendicular a ambas rectas

por cualquier punto de ellas. La distancia entre "r" y "s" vendr dada por la distancia

entre los dos puntos de interseccin de las rectas con el plano. Un ejemplo de la

resolucin se muestra en la fig. 7.7.

fig. 7.6

El cuadro 7.3 resume el procedimiento y la figura 7.7 lo ilustra.

Cuadro 7.3

DATOS : r y s

1) a perpendicular a "r" y "s"

2) "I" int. De "r" y a

3) "J" int. De "s" y a

4) dist. "I", "J"

r s

I J




59

fig. 7.7

7.5 SOBRE UNA RECTA "r" SITUAR UN PUNTO "Q" SEPARADO

UNA DISTANCIA "d" DEL PUNTO P

Estamos ante un caso donde "P" que pertenece a "r" est separado una cierta

distancia de "Q" a la que llamaremos "d".

Para resolver este ejercicio nos apoyaremos en un punto cualquiera "T" de la

recta "r" y hallaremos la distancia de "P" a "T", a la que llamaremos d'. Sobre la

prolongacin de "d' " podemos situar la distancia "d" tomando como referencia el punto

"P" ya que en esta prolongacin tendremos la recta "r" en verdadera magnitud. A la

distancia "d" situaremos el punto "Q" y en orden inverso a como se obtuvo "T",

obtendremos "Q" " y "Q' ". Ver fig. 7.8.

r"

s"

r'

s'

I'

J'

I"J"d"

d'

a2

a1




60

P"

P'

T"

T'

d

Q

Q"

Q'

fig. 7.8




61

PROBLEMAS PARTE 1




62

1.1.- El punto A tiene igual cota que alejamiento y pertenece a los cuatro

cuadrantes, siendo su abcisa 20. De "B" sabemos que encontrndose en abcisa 50, el

valor de su cota es 20 mm mayor que su alejamiento pero de signo negativo y su

proyeccin horizontal dista 50 de "A'" por debajo de L.T.

Nota: En este caso las distancia entre A' y B' es 50 pero hay que resaltar que esta

no es la distancia real entre los puntos A y B.

1.2.- V(20,30,0) es la traza vertical de una recta horizontal a la cual tambin

pertenece el punto A(50,_,35). Determinar en dicha recta un punto "C" que tambin

pertenece al Primer Bisector y otro punto "D" del Segundo Bisector.

0

B'

B"

A'=A"

50




63

Nota1: C es un

punto que pertenece a r

y tiene igual cota que

alejamiento. Geomtrica

mente se obtendr

representando el

simtrico de cualquiera

de las dos proyecciones,

en este caso el simtrico

de r".

Nota2: D es mas sencillo de buscar geomtricamente puesto que es el punto de

corte de las dos proyecciones.

1.3.- La recta r pasa por los cuadrantes 1,2 y 3, en este orden. Sabiendo que

contiene al punto A(10,40,10), que se corta con el Segundo Bisector en un punto de

abcisa 30 y que contiene al punto B(50,-10,_). Obtener sus proyecciones.

Nota: r" est

perfectamente definida con los

datos pero para representar r'

hay que tener en cuenta que en

el punto de abcisa 30 deben

cortarse ambas proyecciones,

tal y como se vio en el

ejercicio anterior.

V"

V'

C"

C'

A"

A'

D"=D'

A"

A'

B'

B"V'

V"

r"

r'




64

1.4.- "r" es un recta que slo pasa por el primer cuadrante y uno de sus puntos

tiene alejamiento 20. "S" es una recta de perfil que pasa por L.T. en un punto de abcisa

30 y por el punto B(30,40,30). Obtener las proyecciones de las rectas y las del plano

definido por ambas.

Comentario : Las nicas rectas que pasan por un solo cuadrante son las

paralelas a L.T. y por otro lado para que dos rectas formen un plano, estas deben

cortarse en un punto. Dado que s es una recta de perfil, la mejor forma de saber si s corta

a r es en tercera proyeccin.

1.5.- sea "r" una recta en la que todos sus puntos tienen abcisa 40 y alejamiento

0. De todos los planos que puedan contener a esta recta, obtener las proyecciones de

aquel que todo lo que contenga se proyecte de igual forma sobre el P.V. que sobre el

plano de 3 Proyeccin.

b"'

r"'=P"'

3 P.r"

r'

s"

s'

P"

P'

a1 a2

a3




65

Comentario: Para que los elementos contenidos en un plano se proyecten igual

sobre el P.V. que sobre el de 3 Proyeccin, debe ocurrir que la posicin relativa de este

plano respecto de los dos anteriores sea la misma. Este es el caso de los dos planos

solucin ya que en ambos casos forman 45 tanto con el P.V. como con el de 3

Proyeccin.

1.6.- Siendo la recta "r" de Mxima Pendiente del plano a y dadas las trazas de

r{ H(30,0,20), V(70,40,0) }, localizar un punto del plano a A(40,30,_) y pasar por l

una recta "s" perpendicular a a sabiendo que el plano abre sus trazas hacia la

derecha.

a2=b2

b1 a1

r"

r'

4545




66

Comentario: Tal y como se puede comprobar en el tema de perpendicularidad,

hay que trazar a1 per pendicular a r' pasando por H' y a2 debe contener a V" e intersectar

con a1 en L.T.

1.7.- M(50,20,40) es un punto de una recta "r" Horizontal del plano a obtener las

trazas de dicho plano sabiendo que estas se cortan en un punto de abcisa 10 y que el

punto A(30,0,40) pertenece a dicho plano.

t"

t'H'

V"

r'

r"

A'

A"

s"

s'

a2

a1

M"

M'A'

A"

r"

r'

a2

a1




67

Comentario : Al ser A un punto de las trazas del plano ( lo sabemos porque su

cota es cero), por l debe pasar la traza horizontal, esto nos dar la inclinacin de la

proyeccin horizontal de la recta .

1.8.- La recta vertical r que contiene al punto P(40,30,40), forma el mismo

ngulo con el P.H. que el plano que la contiene; sabiendo que las trazas de dicho plano

se cortan en abcisa 70, obtener sus proyecciones. Obtener igualmente las proyecciones

de una recta horizontal "s" y una frontal "t" de dicho plano.

1.9.- sabiendo que "r" es una recta contenida en el Primer Bisector. Localizar un

plano a que la contenga y sea Perpendicular al segundo Bisector.

P"

P'

s"

s'=

t"

t'

a2

a1

r"




68

Comentario : Dado que el plano que buscamos es perpendi cular al segundo

bisec tor y el primer bisector tambin lo es, la recta interseccin de ambos tambin ser

perpendi cular al segundo bisec tor. Por otra parte necesitamos otra recta (s) que se corte

con r y que pertenezca al plano buscado. Sabemos que s se corta con r porque pasa por

un punto de esta.

1.10.- Dada la recta "r" cuyas proyecciones se cortan en abcisa 20 y contiene al

punto A(40,20,20) obtener un plano a que la contenga.

a2

a1

A"

A'

P'

P"

r"

r'

s"

s'

3 P.

r"'

r"

r'

s"

s'

a1

a2




69

Comentario : Existen infini tos planos que contengan a una recta r de todos

ellos escogemos uno cualquiera que tambin contiene a una recta s, que corta a r en P.

Pasamos las trazas del plano por las trazas de las rectas y lo obtenmemos.

1.11.- El plano a queda definido por los puntos O(40,0,0), A (80,40,0) y

B(40,0,30). Localizar en dicho plano una recta de perfil "r" cuya traza vertical tiene cota

30. La recta "s" contiene un punto de "r" que tambin pertenece al Primer Bisector, y al

punto P(30,0,0). Determinar el plano b formado por " r y s".

r'

r"

s'

s"=

A"

A'O"=O'

b1

b2

a1

a2

Comentario : El nico plano que completamente definido con estos dos puntos

es un proyectante vertical. Es interesante resaltar tambin el hecho de que r es la recta

resultante de la interseccin de los dos planos proyectantes.




70

1.12.- sea a (50,-20,30,20). Localizar un punto de abcisa 60 de dicho plano, cuya

distancia a la L.T. sea 30.

r"'

r"

r'

V"r

H'r

P" P"'

25

P'

a2

a1

Comentario : Al cono cer la abcisa del punto y saber que pertenece al plano

podemos deducir que estar en una recta del plano en la que todos sus puntos tienen la

misma abcisa, esto es una recta de perfil, una vez tenemos la recta simplemente

solucionamos el proble ma en tercera proyec cin.




71

1.13.- Todos los puntos del plano a tienen alejamiento 40. El punto A de abcisa

20 pertenece tambin al 2 Bisector. De todos los puntos del P.V. de cota 40, seleccionar

aquel que diste 50 de A a su derecha.

A'=A"

P'

P" a1

Comentario : El hecho de que A pertenezca al segun do bisector significa que

su cota y alejamiento son iguales y que puede pertenecer al 2 4 cuadrante. Como

tambin debe pertenecer a un plano frontal del primer y cuarto cuadrante, el punto A

estar en el 4 cuadrante.

Dado que P tiene la misma cota que A al medir la distancia entre los dos

lo podemos hacer en verdadera magnitud, en proyeccin horizontal, porque pertenecen a

un mismo plano horizontal.




72

TEMA 8: ABATIMIENTOS

8.0 CONCEPTOS

El abatimiento de un plano consiste en girarlo en el espacio hasta superponerlo a

otro plano, utilizando como eje de giro la recta interseccin de ambos planos, este

fenmeno se puede comparar al abatimiento de una puerta, siendo el eje de giro la

bisagra de la misma.

En la figura 7.1 se puede apreciar el abatimiento del plano a sobre el plano b,

utilizando para ello la recta y como eje de giro (tambin llamada charnela).

Evidentemente este abatimiento se puede hacer en cualquiera de los dos sentidos

posibles.

fig. 8.1

Por lo general los abatimientos se realizan sobre los planos de proyeccin

(vertical u horizontal) por lo que la charnela ser la traza del plano (vertical u

horizontal, segn sea el caso), de esta forma conseguimos que todos los elementos

contenidos en el plano abatido queden representados en verdadera magnitud (por

aparecer contenidos en un plano de proyeccin), esto hace que esta sea una de las

operaciones mas utilizadas en el sistema didrico.

i P1

P

a

b




73

8.1 ABATIMIENTO DE UN PUNTO

Observemos la figura 8.2 en la que aparece representado un punto A contenido

en un plano a y como se producira el abatimiento de este punto sobre el P.H.

espacialmente...

fig. 8.2

En esta misma figura se aprecia el mismo abatimiento del punto, pero esta vez

realizado sobre el P.H. (rojo), tal y como se realizar en proyecciones, teniendo en

cuenta las siguientes reglas:

1) El Punto abatido A0 se encuentra en la perpendicular a la charnela que

pasa por la proyeccin del punto.

2) La interseccin de esta perpendicular con la charnela proporciona el

punto C centro del giro.

a

a1

P.H. A

A'

cota de AR

CA0




74

3) Por la proyeccin del punto se pasa una paralela a la charnela donde se

colocar la cota (o alejamiento, segn sobre que plano de proyeccin sea

el abatimiento) del punto.

4) Se realiza el abatimiento centrando en C.

En la figura anterior podemos apreciar que los puntos pertenecientes a la

charnela pertenecen a los dos planos por lo que estos puntos ya estn abatidos, en caso

de necesitarlos.

A continuacin se resuelve el problema en proyecciones:

fig. 8.3

De esta forma se pueden ir abatiendo todos los puntos del plano que nos

interesen uno a uno.Sin embargo, y aunque se ver mejor en el siguiente apartado, este

arduo proceso se puede simplificar si abatimos previamente una de las trazas del plano,

lo que significa abatir una recta del plano pero esta recta tiene una condicin particular y

es que uno de sus puntos, el punto de corte con la L.T., pertenece al plano sobre el que

se abate por lo que no hay que abatirlo. A continuacin se presenta este procedimiento

realizado de dos formas diferentes de las cuales se recomienda la solucin en rojo por

ser ms rpida.

A0

A"

A'

cota de ACR

a2

a1

a2

a1

A'

A"

A0

Calejam. de A

Abatimiento sobre P.H. Abatimiento sobre P.V.




75

fig. 8.4

8.2 ABATIMIENTO DE RECTAS

Para abatir una recta bastar con abatir dos de los puntos de la misma. Este

proceso es mas rpido si los puntos utilizados son las trazas de la recta a abatir.

A continuacin se presentan algunos abatimientos de rectas singulares del plano:

. rectas frontal y horizontal de plano.

fig. 8.5

A"

A'

C

A0

a2

a1a0

b2

b1

b0

a2

a1(a2)0

r"

r'

r0

s"

s'

s0

V"

V"

H'




76

Nota : Dado que la recta horizontal es paralela al P.H., en el abatimiento esta

recta ser paralela a la traza horizontal del plano (no en vano esta recta tambin es

horizontal), por lo que simplemente abatiendo uno de sus puntos (preferentemente su

traza) podremos montar la recta abatida por paralelismo. Algo similar ocurre con la

recta frontal.

. rectas de mxima pendiente y mxima inclinacin.

r"

r'

r0

s0

s'

s"

a2

a1(a2)0

Nota : Obsrvese como las rectas siguen conservando su caracterstica de

perpendicularidad a las trazas correspondientes.




77

. recta genrica y de perfil.

a2

a1

(a1)0

r0

r"

r'

s0

s"

s'

.abatimiento de figura plana.

Nota : En este ejercicio inicialmente se ha trazado el plano en el cual est

contenido el pentgono y se ha abatido. En el abatimiento del plano se ha dibujado el

A0

B0

C0 D0

E0

A"B"

C"D"

E"

E'

A'

B'

C'D'

a2

(a2)0

a1




78

pentgono tal y como es en realidad y posteriormente se ha desabatido para obtener sus

proyecciones didricas.

. abatimiento de una circunferencia.

Nota : El abatimiento de una circunferencia siempre se puede realizar abatiendo

un nmero indeterminado de puntos (nunca menos de ocho), de forma que la unin de

estos puntos nos den la elipse resultante. Sin embargo se puede optar por la solucin

expuesta en la que los puntos elegidos son aquellos que nos suministrarn los ejes

principales de la elipse, para que de esta forma la construccin de la misma sea mas

exacta, en proyecciones.

Para obtener los ejes principales habr que utilizar dos rectas para la proyeccin

horizontal que son una de mxima pendiente y una horizontal, que pasan por el centro

de la circunferencia (en azul en el dibujo), y otras dos para la proyeccin vertical

(frontal y de mxima inclinacin).

Cabe resaltar que no es necesario desabatir los cuatro puntos sino que con dos es

suficiente porque los otros dos se obtienen a partir de los anteriores puesto que en el

12

34 2'

1'

3'

4'

A

B

A"B"

a1(a2)0

a2




79

sistema didrico las proporciones se mantienen, es decir, que el punto medio seguir

siendo el punto medio en proyecciones y lo mismo ocurre para cualquier otra

proporcin, un tercio, un cuarto, etc...

As es como se ha resuelto en proyeccin vertical, en donde slo se han

desabatido dos puntos y los otros dos estn a la misma distancia (distancia en

proyeccin) del centro que los anteriores.

Para resolver la elipse se puede utilizar cualquier mtodo de resolucin dados los

ejes principales.




80

TEMA 9: GIROS

9.0 INTRODUCCIN

Los giros son procedimientos mediante los cuales desplazamos puntos, rectas o

planos hasta posiciones convenientes para su estudio, para de esta forma facilitar el

trabajo de anlisis.

Para que se produzca un giro de un punto este debe realizarse de forma que el

punto se mueva siempre sobre un mismo plano y a una misma distancia de un punto

"O", de tal forma que todas las posibles posiciones que pudiera ocupar el punto "P" en

el plano describen una circunferencia de centro "O" (centro de giro) y radio "PO" (radio

de giro). Partiendo de la posicin inicial de "P" y una vez determinada su posicin final

denominamos como ngulo de Giro al ngulo recorrido por el punto.

9.1 GIRO DE UN PUNTO

La figura 8.1 muestra un ejemplo de giro de un punto en el sistema didrico.

Para poder realizar el giro es necesario definir el eje de giro, que ser una recta

alrededor de la cual girar el punto, como norma general el eje de giro debe ser

perpendicular al plano sobre el que se quiere que gire el punto, en este caso dicho eje es

una recta vertical porque lo que pretendemos es girar el punto sobre un plano

Horizontal.

e

e'

e"

AA"

A'1

A1A"1

BB"




81

fig. 9.1

Mientras A gira alrededor del eje, su proyeccin Horizontal "A' " tambin lo

hace en torno a "e' ", describiendo una circunferencia de centro "e' " y radio e'A'. Su

proyeccin vertical, en cambio, se desplaza paralela a la L.T., oscilando entre los puntos

de abcisa correspondientes a los puntos de la circunferencia de mayor y menor abcisa. El

movimiento de A se describe en la figura 8.2.

e"

e'

A"

A'

A"1

A'1

B"

B'

fig. 9.2

Es importante sealar el punto "B". Si nos fijamos este punto pertenece a la recta

que se ha elegido como eje de giro, por lo que aunque quisiramos girarlo no podramos

porque el radio de giro es cero, salvo que escogisemos otro eje de giro.

Cabe destacar por ltimo que en este ejemplo el giro se ha realizado sobre un

plano horizontal. Si por el contrario hubiramos utilizado un eje de punta, el giro

debera realizarse sobre un plano Frontal.

9.2 GIRO DE UNA RECTA

Este es uno de los mtodos mas utilizados para colocar las rectas de forma que

las veamos en proyecciones en verdadera magnitud, para lo cual debemos girar la recta

para transformarla en una recta Horizontal o en una Frontal, segn nos interese.

El giro de una recta se hace tomando dos puntos de la misma y girndolos

teniendo en cuenta lo siguiente:

- Siempre se deben girar los dos puntos utilizando el mismo eje de giro.




82

- Los dos puntos deben girar en la misma direccin.

- Los dos puntos deben girar el mismo ngulo.

En cualquier caso, en la prctica lo que se hace para girar una recta es utilizar un

eje de giro que corte a dicha recta, porque tal y como vimos en el apartado anterior, los

puntos que pertenecen al eje permanecen en el mismo sitio despus del giro, de esta

forma slo tendremos que girar un punto de la recta y unirlo con la interseccin de la

recta y el eje (ver fig. 9.3 - 9.4).

P"

T'

T"

P'

r"

r'

r'1

r"1

T"1

P"1

P'1

T'1

e"

e'

fig. 9.3

r"e"

e'

r'

r'1

r"1

A'1

A"1

A"

A'

fig. 9.4




83

EJERCICIOS

9.1 Tomar el punto P(-,30,30) y mediante un eje vertical, someterle un giro de

30 a su izquierda.

P"P"1

PP1

P'1

P'

e'

ee"

9.2 tomar la recta V(20,40,0) H(70,0,40) y girarla hasta transformarla en recta

horizontal del P.H.

V"

H'

r

e = e'

r1 = r'1

e"

NOTA : El eje que se ha utilizado es una recta de punta que pasa por el punto H.

Observar tambin que una vez transformada la recta, la tenemos como recta horizontal,




84

es decir, en verdadera magnitud y que el ngulo que forma esta recta con el P.V.

tambin est en V.M.

9.3 Dada la recta r { H(20,0,-20) V(40,15,0) } y un punto de ella de cota 20, girar

dicha recta y transformarla en frontal utilizando un eje que pasa por P.

re

r1

P

r"

r'

H'

V"




85

TEMA 10: CAMBIO DE PLANOS

10.0 INTRODUCCIN

El fundamento de obtencin de proyecciones en el sistema didrico se

basa en elegir un diedro recto sobre el que se proyectarn los elementos espaciales. La

eleccin de este diedro es, en principio, libre y segn se elija uno u otro la imagen

(proyeccin) del objeto ser diferente, suponiendo que tal objeto tiene una posicin fija

en el espacio. En realidad un diedro puede ser til para proyectar un determinado objeto

pero no tanto para otro puesto que las proyecciones obtenidas para este segundo objeto

son poco definitorias del mismo.

Teniendo en cuenta este hecho en este captulo se proporcionar una herramienta

que nos permitir, a partir de las proyecciones de u objeto sobre un diedro determinado,

obtener las proyecciones sobre otro diedro que nos facilite las operaciones, a esta

herramienta se le conoce con el nombre de "Cambio de plano".

10.1 CAMBIO DE PLANO DE UN PUNTO

la figura 10.1 muestra las proyecciones del punto P respecto del diedro elegido,

sobre los planos P.H. y P.V. .Si pudiramos girar el P.V. sobre un eje vertical hasta la

posicin deseada y luego proyectsemos sobre ese nuevo P.V.1 obtendramos un nuevo

diedro o sistema de proyecciones que acta de la misma forma que el anterior,

obtenindose las proyecciones indicadas en la figura 9.1. En este caso lo que hemos

hecho es un cambio de plano vertical.




86

fig. 10.1

Observemos el mismo cambio de plano en la figura 10.2 (representacin

didrica) y veremos cuales son sus propiedades:

- La proyeccin horizontal permanece en el mismo sitio.

- la cota del punto es la misma.

- La nueva L.T. dispone de dos trazos en sus extremos.

- A la derecha de L.T. se colocan las siglas V1,H.

1.82

1.82

H

P"

P'

P"1

V1

fig. 10.2

Para efectuar un cambio de plano horizontal se realiza de igual forma pero en

este caso sus propiedades son:

- La proyeccin vertical permanece en la misma posicin.

- El alejamiento del punto es el mismo.

PP"

P'

P"1




87

- La nueva L.T. dispone de dos trazos en sus extremos.

- A la derecha de L.T. se colocan las siglas H1,V.

1.87

1.87

P"

P'

P'1

H1

V

fig. 10.3

10.2 CAMBIO DE PLANO DE UNA RECTA

Para efectuar el cambio de plano de una recta bastar con cambiar de plano dos

puntos de dicha recta, segn el mtodo anteriormente explicado, y una vez hecho esto

unirlos entre si. Hay que resaltar que para analizar relaciones entre dos elementos de

un problema que hallan sufrido cambio de plano, han de haber sido sometidos los

dos elementos al mismo cambio de plano.

10.3 CAMBIO DE PLANO DE UN PLANO

Al efectuar este cambio de plano debemos observar que una de las trazas del

plano, aquella cuyo nombre coincide con el del cambio de plano, permanecer tal como

es, sin sufrir ninguna transformacin mientras que la otra si se modificar.

Para modificar la otra traza del plano habr que localizar un punto de dicha traza

y cambiarlo de plano. Para simplificar el mtodo el punto elegido deber ser aquel cuya

proyeccin se encuentre en el punto de corte de las dos L.T., tal como se ve en la figura

9.4. Una vez tenemos cambiado este punto lo uniremos con el punto de corte de la otra

traza del plano con la nueva L.T.




88

fig. 10.4

A"

A'1

a2

a1

(a1)1




89

TEMA 11: NGULOS

INTRODUCCIN

El ngulo que forma una recta con un plano es el ngulo que forma dicha recta

con su proyeccin sobre dicho plano, es decir, que por ejemplo el ngulo que formar

una recta cualquiera con el P.V. es el que formar esa recta con su proyeccin vertical.

A pesar de que existen varios mtodos para la determinacin de estos ngulos en

este estudio nos basaremos en un mtodo que por su precisin y sencillez parece el mas

apropiado para el objetivo que se persigue en la presente publicacin.

Bsicamente el mtodo se fundamenta en la obtencin de un cono de forma que

una de las generatrices del mismo es la recta que estamos buscando o una paralela a la

misma.

Por definicin un cono se forma con una curva cualquiera (Directriz), plana o

alabeada, y un punto exterior a ella. Las infinitas rectas (Generatrices) que pasando por

el punto P se apoyan constantemente en la directriz, definen la superficie cnica (fig.

11.1).

fig. 11.1

Directriz

Generatriz

V




90

En base a esta explicacin existen una cantidad infinita de conos aunque para el

fin que perseguimos en este captulo slo nos interesan aquellos conos que teniendo una

directriz circular de radio r y cuya altura es perpendicular al plano de la base por el

centro de la misma (Conos rectos) en la fig. 11.2 tenemos una representacin espacial de

este tipo de conos.

V

h

d

fig. 11.2

En este tipo particular de conos siempre podremos asegurar que sus generatrices

miden lo mismo y que todas forman el mismo ngulo con el plano que contiene a la

base.

11.1 NGULO QUE FORMA UNA RECTA CON UNO DE LOS PLANOS

DE PROYECCIN

Genricamente para obtener una recta que forme un ngulo determinado con uno

de los planos de proyeccin lo que tendremos que hacer es generar un cono de forma

que sus generatrices formen el mismo ngulo con el plano que la recta buscada. Dado

que se podran formar infinitos conos de este tipo para particularizar vamos a suponer

que la recta ha de formar un ngulo Ah con el P.H. y que ha de contener al punto P

(dato).

La solucin sera exactamente igual que para el caso genrico pero en este caso

haremos que el vrtice del cono sea el punto P, para de esta forma obligar a todas las

generatrices a contenerlo, y la base del cono deber estar en el P.H. puesto que es con

este plano con el que queremos calcular el ngulo (fig. 11.3).




91

fig. 11.3

La representacin didrica es la de la figura 11.4. Para obtener esta

representacin partimos de una recta frontal (r) que contiene al punto P y forma un

ngulo "Ah" con el P.H. (ngulo en V.M., ver captulo 2). Una vez obtenida esta recta

generamos el cono, que en proyeccin horizontal ser una circunferencia de centro P' y

radio P'H' y en proyeccin vertical ser un tringulo issceles cuyo vrtice es P". Sobre

esta circunferencia se encuentran las trazas horizontales de todas las posibles rectas que

formando un ngulo Ah (p.e. la recta t) con el P.H. pasan por el punto P. As pues slo

queda elegir la proyeccin que mas nos interese en funcin de las caractersticas del

problema a resolver.

P

Ah

P"

P'




92

P"

P'

r"

r'

Ah

H't

H"tV't

t"

t'

fig. 11.4

Si el problema no nos impone la condicin de pasar por un punto P determinado

la construccin es algo mas genrica (fig. 11.5).

V"r

r"

r'

t"

t'

s"

s'

H'

fig. 11.5

Partiendo igualmente, de una recta frontal, tomaremos un punto de esta, que

posteriormente ser la traza vertical de la recta buscada, y haremos que este punto sea el

vrtice del cono y siguiendo los mismos pasos anteriores desarrollaremos este nuevo




93

cono que en esta ocasin tendr la mitad en el segundo cuadrante. Como, por lo general

, los datos suelen ser referidos al primer cuadrante las posibles soluciones se encontrarn

en la semicircunferencia perteneciente al primer cuadrante (aunque no hay que olvidarse

que existen igual nmero de soluciones en el segundo cuadrante).

Por otra parte resaltar que, por paralelismo, cualquier recta paralela a una de

estas generatrices (s) formar el mismo ngulo que estas con los planos de proyeccin,

por lo que en ocasiones el cono se puede formar en uno de los extremos de la lmina y

por paralelismo trasladar la recta a la posicin requerida.1

Ha

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