17.Teoria de Conjuntos

Razonamiento Matemático Elías Cotos Nolasco187

CONJUNTONo existe una definición; solo se puededar una idea conceptual comocolección, agrupación, clase o agregadode objetos, llamados elementos.Notación:Los conjuntos se nombran con letrasmayúsculas (A,B,C,D,….) y loselementos con letras minúsculas(a,b,c,…..). Así el conjunto de los diezprimeros números naturales positivos:

N 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10

Se observa que los elementos que vanseparados por punto y coma yencerrados entre llaves, determinan elconjunto N.Determinación de un conjunto:

(I)POR EXTENCION:Un conjunto queda determinado porextensión, cuando se nombra a todos ycada uno de los elementos.

A 2;4;6;8M a;e;i;o;uB 1;8;27;64;......;1000

(II) POR COMPRENSIÓN:Un conjunto queda determinado porcompresión, cuando se nombra unapropiedad común que caracteriza atodos los elementos del conjunto,generalmente se emplea x/x: “x tal x”

A x / x es par;2 x 8

B x / x es una vocal

3C x / x ;x 10

RELACIONES ENTRECONJUNTOS

1. Relación De PertenenciaEs una relación que vincula unelemento con un conjunto.* Si un elemento esta en un

conjunto, se dice quepertenece

* Si no esta en un conjunto, se diceque no pertenece

Ejemplo:Dado: A 2;3; 5;6

Así diremos que:

2 A 4 A3 A 5 A5;6 A 6 A

2. Relación De Inclusión OSubconjuntoSe dice que el conjunto A esta

incluido en B, si todos los elementosde A están en B. Se denota como:A B ”A incluido en B”

Si: A B x A x B

Ejemplo:

A n;3;5B 4;n;m;6;3;p;5

Se observa que todos los elementos deA son también elementos de B,luego: A B .

PROPIEDADES

*Pr opiedad reflexiva : A A*Pr opiedad antisimetrica :

Si : A B B A A B*Pr opiedad transitiva :

Si : A B B C A C


3. Relación de igualdad deconjuntos

Dos conjuntos A y B son igualescuando tienen los mismos elementos.

Si: A B A B B A

Dos conjuntos A y B son iguales si ysolo si, A es subconjunto de B y B essubconjunto de A.

4. Relación de contabilidad deconjuntosDos conjuntos A y B son coordinablescuando entre sus elementos puedeestablecerse una correspondenciabiunívoca.Cuando dos conjuntos son coordínalestienen el mismo numero deelementos.

A 1;3;5;7;9son coordinables

B a;e;i;o;u

Graficándolos:

1. CONJUNTO FINITOCuando el conjunto tiene undeterminado numero de elementosdiferentes.Ejemplos:

A 3;6;9;12B 1;3;5;7;......;29

2. CONJUNTO INFINITOCuando el proceso de contar loselementos del conjunto no tienelimite.Ejemplos:

A x / x es un número realB x / x es un planeta deluniverso

3. CONJUNTO VACIOLlamado también conjunto nulo; esaquel conjunto que carece deelementos. Se denota como: *El conjunto vació se le consideraincluido en cualquier otro conjunto.*El conjunto vació no tiene ningúnsubconjunto propio y su númerocardinal: n 0

Ejemplos:

2A x / x x 1 0

B los cabellos de un calvo

4. CONJUNTO UNITARIO

13579

aeiou

A B

C LAS E S D E C O N J U N T O S

Cardinal de un conjuntoEl cardinal de un conjunto es elnúmero de elementos de dichoconjunto y se denota como n(A).

A 2;4;7;9 n A 4M a;b; m;n n M 3B 2,3;2;2;5;6;7 n B 5

Razonamiento Matemático Elías Cotos Nolasco189Llamado también singlé ton, es

aquel conjunto que tiene un soloelemento.Ejemplos:

A x / 2 x 4B BetyC

5. CONJUNTO UNIVERSAL UEs aquel conjunto que abarca a

todos los conjuntos dados y se lesrepresenta por regiones planasrectangulares.

6. CONJUNTO POTENCIASe llama conjunto potencia de A, al

conjunto formado por todos lossubconjuntos de A y se le denota como P A .

Ejemplos:* Dado: A 4;7

Su conjunto potencia será:

P A 4 ; 7 ; 4;7 ;

* Dado:

A 2;3;4P A 2 ; 3 ; 4 ; 2;3 ; 2;4 ;

3;4 ; 2;3;4 ;

El número de elementos de P A o

numero de subconjuntos de A, está

dado por: nn P A 2

Donde “n” representa el numero deelementos del conjunto A.Ejemplos:

Si: 2A 4;7 n P A 2 4

Si: 3A 2;3;4 n P A 2 8

Si: A a;b;c;d;e 5n P A 2 32

OPERACIONES ENTRECONJUNTOS

1. UNIÓN O REUNIÓN (U)Para dos conjuntos A y B se llamaunión o reunión al conjunto formadopor los elementos de A, de B o deambos. Se denota como A B.

A B x / x A x B

M N

P

A

B

U Numero de subconjuntospropios: Dado el conjunto A,su número de subconjuntos

propios será: n2 1 .No seconsidera el mismo conjunto A.

1) P A , puesto que A2) A P A , puesto que A A3) P4) Si A B P A P B5) Si A B P A P B6) P A P B P A B7) P A P B P A B

PROPIEDADES

A BU


Si:

A 2;3;4;6B 1;3;4;5

Luego: A B 1;2;3;4;5;6

2. INTERSECCIÓN Para dos conjuntos A y B se llamaintersección de A y B al conjuntoformado por los elementos quepertenecen a A y a B (elementoscomunes).Se denota como A B .

A B x / x A x B

Si: A ; ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 9 1 3

B ; ; 4 ; 5 ; 10 ; 11 ; 12 2 3

Luego: A B ; 4 ; 5 3

3. DIFERENCIA (–)Para dos conjuntos A y B, se llamadiferencia de A con B, al conjuntoformado por todos los elementos de A,que no son elementos de B, Se denotapor A–B.

A B x / x A x B

Si: A ; 3 ; 4 ; 6 ; 7 ; 8 2

B 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 7 ; 9

Luego: A B 6 ; 8

1) A A AIdempotencia2) A B B AConmutativa3) A B C A B C Asociativa4) A5) A A6) Si :A B A B B7) SiAy B son disjuntos

n A B n A n B8) SiAy B son dosconjuntos no compa

rables,con una región común :n A B n A n B n A B

PROPIEDADES

A BU

A BU

1) A A A Idempotencia2) A B B A Conmutativa3) A B C A B C Asociativa4) Si : A B A B A5) A6) A U A7) Si :A B A y B son disjuntos8) A A C A9) Si: A B C

A B A C10) A B C A B A C A B C A B A C

PROPIEDADES

A BU

1) A A2) A3) A B B A4) A B B5) A B A B A B6) A B A B7) A B A B B A A B8) A B A B A

PROPIEDADES


AB

AB

4. DIFERENCIA SIMETRICA Para dos conjuntos A y B, se llamadiferencia de A y B, al conjuntoformado por los elementos quepertenecen a la unión de A y B; perono pertenecen a la intersección de A yB.Se denota por: A B

A B x / x A B x A B

Formas usuales:

A B A B A B

A B A B B A

Si: A ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 2

B ; 2 ; 4 ; 5 ; 7 ; 9 1Luego:

A B 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 2 ; 4

A B 1 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9

5. COMPLEMENTACIÓNPara dos conjuntos A y B, donde A esun subconjunto de B.Se denota BC A ; se lee complementode A respecto a B.

B C A B A

* El complemento de un subconjuntoA respecto del conjunto universal U.

C A A' U A

A' x / x U x A

Ejemplo:Si: A 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8

B 1 , 3 , 4 , 5 , 9 Hallar:

B AC

Resolución:Como: B A B AC

A BU

1) A' U A2) U'=3) ' U4) A A'=U5) A A'=6) A' ' A7) A B ' A' B'

Leyes de Morgan A B ' A' B'

PROPIEDADES


1) a ; b A B a A b B2) A B B A ; A B

3) A O

O

4) A B C A B A C5) A B C A B A C6) A B C A B A C7) n A B n A n B8) Si: A B A C B C

Propiedades

B AC 1 , 3 , 4 , 5 , 9 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8

B AC 1 , 5 , 9

1 , 5 , 9 Rpta.

PRODUCTO CARTESIANODados los conjuntos A y B, se llamaproducto cartesiano de A por B, alconjunto formado por todos los paresordenados a ; b , tales que a A y

b B .Se denota por: A B

A B a ; b / a A b B

Ejemplo:Si: A 1 ; 2 ; 3

B 1 ; 2

Hallar: A B

Resolución: A B 1 ;1 ; 1 ; 2 ; 2 ;1 ; 2 ; 2 ; 3 ;1 ; 3 ; 2

Grafica de A B

Diagonal de un Conjunto:Dado el conjunto A, la diagonal delproducto A A que se denota A ,

se define por:

A x ; y

Ejemplo:

A a ; b ; c

B 1 ; 2 ; 3 ; 4

Hallar: A y B

Resolución: A a a ; b b ; c c; ; ;

B 1 1 ; 2 2 ; 3 3 ; 4 4; ; ; ;

NUMERO DE ELEMENTOS DEUN CONJUNTO

Si:

A B O n A B n A n B

Si:A y B son dos conjuntos cualesquiera

n A B n A n A B

Si:

2

1

1 2 3 A

BA B

A B

Razonamiento Matemático Elías Cotos Nolasco193A y B son conjuntos tales que

A B O

n A B n A n B n A B

Si: A B C O

n A B C n A n B n C

n A B n A C

n B C n A B C

PAR ORDENADO:Par ordenado es un ente matemáticoconstituido por dos elementos (a ;b)par ordenadoSe cumple que: a ;b b ; a

Si: a ;b c ;d a= c b= d

Para los problemas

1 Si: A 3,6

B 2, 4,6

Hallar la suma de los términos delconjunto: A B A B

a) 10 b) 12 c) 14d) 13 e) 11

Resolución:

A B 2, 3, 4,6A B 3

Luego:

A B A B2, 3, 4,6 3 2, 4,6

Piden: 2 4 6 12

2 Hallar: x 3y , si:3 x2x 1, y 5 23,2 3

a) 14 b) 13 c) 11d) 15 e) 16Solución:Por pares ordenados iguales

A B

A B

C

1 2 3A B

1 : sólo A2: A y B3: sólo B1 y 2: A2 y 3: B1 , 2 y 3: A ó B

1 2 3A B

1 : sólo A3: sólo B7: sólo C2: sólo A y B4: sólo B y C6: sólo A y C5: A , B y C25: A y B45: B y C56: A y C

Razonamiento Matemático Elías Cotos Nolasco194* 2x 1 23 x 12

3 12 2* y 5 y2 3 3

Luego piden:212 33

12 2 14

3 Si: A 5, 2 ,9

Señale la expresión falsa:a) 2 A

b) 2 A

c) 9 Ad) 5,9 A

e) 5, 2 A

Resolución:Se observa en el conjunto A que loselementos 5 y 9 pueden formar unconjunto 5,9 , luego 5,9 A , lofalso seria (d).

4 De un grupo de 41 personas 15 noestudian ni trabajan, 28 no estudiany 25 no trabajan ¿Cuántos trabajan yestudian?

a) 2 b) 4 c) 6d) 7 e) 3

Resolución:

Del grafico, se tiene:* y w z 15 41 y+ w+ z= 26 ….. ( I )

* w 15 28 w= 13 * y 15 25 y= 10 Reemplazando en ( I )13 10 z 26

z 3 Rpta.

5 De un grupo de 17 personas, 13tienen bigote, 4 son calvos y 3 soncalvos que usan bigotes. ¿Cuántos noson calvos ni usan bigotes?a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

Resolución:

Formando ecuaciones:x 3 13 x= 10

y 3 4 y= 1

10 3 1 z 17

z 3 Rpta.

6 Se tienen 65 banderas que tienenpor lo menos dos colores. 25 tienenrojo y azul, 15 banderas rojo y blancoy 35 tienen blanco y azul. ¿Cuántasbanderas tienen los 3 coloresmencionados?a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

Resolución:“x”: # banderas que tienen 3 coloresNo hay banderas de un solo color

41

15

Estudian Trabajan

y z w

17

z

con bigote calvos

x 3 y

13 4

15 x 35 x

25 x

R A

x

15

25


De la figura se tiene que:25 x x 35 x 15 x 65

10 2x x= 5 Rpta.

7 Cotos come fréjoles y/o tallarinesen su almuerzo, cada día, durante elmes de febrero de 1988. Si come 19días fréjoles y 23 días tallarines.¿Cuántos días come fréjoles contallarines?a) 12 b) 8 c) 10d) 14 e) 13

Resolución:

19 x x 23 x 29

x 13 Rpta.

8 En un grupo de 55 personas, 25hablan Ingles, 32 francés, 33 alemány 5 los tres idiomas. ¿Cuántaspersonas del grupo hablan dos deestos idiomas?a) 40 b) 37 c) 25d) 22 e) 38Resolución:

Del grafico se tiene que:a b c x y z 50 …. ( I )a x y 20 b y z 27

c x z 28

a b c 2 x y z 75 …. ( II )

( I ) en ( II )50 x y z 75

x y z 25 Rpta.

9 ¿Cuántos subconjuntos seformaran con 6 elementos?a) 63 b) 64 c) 61d) 68 e) n.a.Resolución:Recordado que:

n# Subconjuntos 2=6n 2 2 64=

# Subconjuntos = 64 Rpta.

10 Sean A y B dos conjuntoscontenidos en un universo, si: A B B A A B . ¿ Cual de

las siguientes proposiciones es falsa?

a) A A B b) A B O

c) B B A d) B A'e) A B ' A B

Resolución:Como: A B B A A B

Quiere decir que A y B son conjuntosdisjuntos, para las alternativas setendrá que:A A B (Verdadero)

A B O (Falso)

19 x 23 xx

F T

x

y

z

a b

c

I 25 F 32

A 33

5

Razonamiento Matemático Elías Cotos Nolasco196B B A (Verdadero)B A' (Verdadero) A B ' A B (Verdadero)

A B O Rpta.

11 Si: A 2 , 6 , 12 , 20 , 30 , 42 , 56

Determinar el conjunto dado porcompresión

a) 2 x 1 / x x 7

b) 2 x x / x x 6

c) x x+ 1 / x x 7

d) 2 x x / x 1< x 8

e) 2 x x / x x 8

Resolución: A 2 , 6 , 12 , 20 , 30 , 42 , 56

A 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , 5 6 , 6 7 , 7 8

Lo elementos son de la forma: x x 1 Donde:

x 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7

x x+ 1 / x x 7 Rpta.

12 Cuantos sub conjuntos tiene “A”

2A x 2 / x 1 x 5

a) 16 b) 8 c) 32d) 64 e) n.a.

Resolución:x 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4

Reemplazando en: 2x 2

9 , 4 , 1 , 0 , 1 , 4

A 9 , 4 , 1 , 0

Total de sub conjuntos es:42 16 Rpta.

13 Si A 3 , 6

B 2 , 4 , 6

Hallar la suma de los términos delconjunto: A B A B

a) 10 b) 14 c) 11d) 12 e) 13

Resolución: A B 2 , 3 , 4 , 64

A B 3

Luego: A B A B

2 , 3 , 4 , 6 3 2 , 4 , 6

Piden: 2 4 6 12 Rpta.

14 Hallar: x 3y , si:

3 x2x 1 ; y 5 23 ;2 3

a) 14 b) 11 c) 16d) 13 e) 15

Resolución:Por pares ordenados iguales

2x 1 23 x= 12

3y 12 25 y=2 3 3

Luego piden:2x 3y 12 33

14 Rpta.


15 Si: A 5 , 2 , 9

Señale la expresión falsa:a) 2 A b) 2 A

c) 5 , 9 A d) 5 , 2 A

e) 9 A

Resolución:Se observa en el conjunto “A” que loselementos 5 y 9 pueden formar unconjunto 5 , 9 .

Luego: 5 , 9 A

16 La diferencia simétrica de dosconjuntos A y B se define:

A B x / x A B A B

Si se define los conjuntos: U x / x x< 10

A x / x U x es divisor de 12

B x / x U x es impar

¿Cuántos elementos tiene CA B ?

a) 1 , 3 , 8 b) 1 , 4 , 8

c) 1 , 8 , 3 d) 3 , 1 , 8e) n.a.

Resolución:

U 1 , 2 , 3 , ....... , 9

A 1 , 2 , 4 , 6

B 1 , 3 , 5 , 7 , 9

A B 2 , 4 , 6 , 5 , 7 , 9

CA B 1 , 3 , 8 Rpta.

17 Dado: A n m , n+ p , 8

B m p , 10 Unitarios

Hallar: m n p a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5Resolución:m n n p m= p m p 10 2m= 10

De donde: m p 5

n m 8 n= 3

Luego: m n p 3 Rpta.

18 Si: # P A 256

# P A B 16

# P B 64

Calcular: # P A B

a) 1 024 b) 2 048 c) 360d) 512 e) 256

Resolución:

8# P A 256 2 # A 8

6# P B 64 2 # B 6

4# P A B 16 2 # A B 4

# A B # A # B # A B

8 6 4

A246

13

57

9

8

B

U

Razonamiento Matemático Elías Cotos Nolasco198 10

10# P A B 2 1 024 Rpta.

19 En un aula de 43 alumnos, 5 sonmujeres que estudian R.M. y 28 sonhombres y el número de hombres queno estudian R.M. es el doble delnúmero de mujeres que tampoco lohace. ¿Cuántos hombres estudianR.M.?a) 6 b) 7 c) 8d) 10 e) n.a.

Resolución:

El numero de mujeres que noestudian R.M. es: 15 5 10

El numero de hombres queestudian R.M. esta dado por:

x 28 20 8 Rpta.

20 De 80 personas que hablanalguno de los idiomas: Castellano,Ingles y Francés, se tiene que 40hablan castellano, 46 hablan Ingles,35 hablan Francés, además los quehablan Castellano no participannunca en el Francés. ¿Cuántos hablandos de dichos idiomas?a) 16 b) 48 c) 41d) 50 e) n.a.

Resolución:Hablan Ingles: I 46

Hablan Castellano: C 40Hablan Francés: F 35

Hablan 2 Idiomas: x y

Luego: I C F 80 40 x x 46 x y y 35 y 80

De donde se tiene que:

x y 41 Rpta.

21 En una ciudad de cada 100hombres, 85 son casados 70 sonabonados al teléfono, 75 tienen auto y80 son propietarios de su casa ¿Cuáles el numero mínimo de personas queal mismo tiempo son casados, poseenteléfono oculto y casa propia.a) 5 b) 10 c) 65d) 25 e) 45

Resolución: C Hombres casados n C 85

T Abonados al telefono n T 70

A Poseen auto n A 75

P Poseen casa propia n P 80

Se pide calcular el numero mínimo de C T A P

Graficando:

20

x

10

5

H 28 M 15

40 x x y 35 y

C I F

C 85 T 70

A 75 P 80

vw

z

p

q

ym

na

bc

d xn

s


Luego piden: c x a m í n imo

Siendo x C T P A , entonces elvalor de “x” el mínimo valor se tiene:85 v a c d p q r x.... (1)70 w a b d q n s x..... (2)80 y b c d r s m x..... (3)75 y b c d r s m x.... (4)100 y w z y a b c d

p q r s n m s........

(5)

Sumando (1) (2) (3) y (4)

310 v w z y 3 a b c d

2 p q r s n m 4x...

(

)La ecuación (5) se multiplica por 3tenemos(agrupandoconvenientemente)

300 3 v w z y 3 a b c d3 p q r s n m 3x.......

Luego: ( )-

10 x 2v 2w 2y 2z p q r s m n

10 x

Como “x” mínimo entonces esmínimo es decir = 0.Entonces: x 10Graficando:

Como =0 entonces:v w y z p q r s m n 0 Luego:85 b 100 b 15 70 c 100 c 30 75 a 100 a 25 80 d 100 d 20 Finalmente:

n C T A P c 10 a 65 En el problema el “x” mínimo es igual:(son 4 conjuntos) x 85 70 75 80 4 1 100

x 10 Rpta.

22 Cual de las siguientes alternativasle corresponde al diagramamostrado, si”x” es el complemento de“x” en el universo.

I C B A A B C

II C ' B A B C '

III C B ' A B C a) I b) II c) IIId) I y III e) Todas

Resolución:

C 85 T 70

A 75 P 80

a

bc

d10

A

B

C

A

B

C

1 2


(1)= A B C

(2)= B C A

Luego:

(1) (2) A B C B C A

A B C B C A Rpta.

23 Se tiene los conjuntos A, B, Csubconjuntos de los númerosnaturales, A es el conjunto de losmúltiplos de 3, B es el conjunto de losmúltiplos de 4v menores que 24 y C esel conjunto de los divisores de 48.Hallar la suma de los elementos de ladiferencia: C A B

a) 2 b) 4 c) 5d) 6 e) 3

Resolución: A, B, C N

A x / x 3 0;3;6;..............;3n

B x / x 4 x 24

B 0;4;8;12;16;20

C x / x es divisor de 48

C 1;2;3;4;8;12;16;24;48

C A B 1;2

Por lo tanto la suma de los

elementos:1 2 3 Rpta.

24 Se tiene 2 conjuntos A y B tal que

la unión de A y B tiene 36 elementos,el numero de elementos de A es a lamitad del numero de elementos de B.Los elementos comunes de A y B sonla mitad de los elementos nocomunes, hallar el numero deelementos de B.a) 12 b) 24 c) 32d) 30 e) 80

Resolución: n A B 36............... (1)

1n A n B2

n B 2n A

Se sabe: n A B nA nB n A B

36 nA 2nA n A B

3n A n A B 36

Además: n A B n A n B 2n A B

2n A B n A n B 2n A B

4n A B 3n A

De (1) y (2) n A B 12 n A 16

n B 32 Rpta.


1 Una persona come huevo o tocinoen el desayuno cada mañana duranteel mes de Enero. Si come tocino 25mañanas y huevos 18 mañanas.¿Cuántas mañanas come huevos ytocinos?a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

2 En un grupo de 55 personas, 25hablan ingles, 32 francés, 33 alemán y5 de los tres idiomas. ¿Cuántaspersonas del grupo hablan sólo 2 deestos idiomas?a) 15 b) 20 c) 25d) 30 e) 35

3 El resultado de una encuesta sobrepreferencia de jugos de frutas demanzana, fresa y piña es la siguiente:60% gustan manzana, 50% gustanfresa, 40% gustan piña, 30% gustan

manzana y fresa, 20% gustan de fresay piña, 15% gustan de manzana y piña,5% gustan de los tres. ¿Qué porcentajede las personas encuestadas no gustande ninguno de los jugos de frutasmencionado?a) 10% b) 11% c) 12%d) 13% e) 15%

4 ¿Cuántas de las siguientesoperaciones con conjuntos sonconmutativos?

I) UniónII) IntersecciónIII) DiferenciaIV) Diferencia simétricaV) Producto cartesianoa) 2 b) 3 c) 4d) 1 e) Todas

5 Sean: A 1 , 2 , 3 y ,B 4 5¿Cuántas de las siguientesafirmaciones son ciertas?* ,2 4 A B * ,4 2 A B

* ,5 2 B A * ,3 4 A B

* ,3 4 B A

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) n.a.

6 ¿Cuántos subconjuntos se puedenformar con 6 elementos?a) 32 b) 23 c) 46d) 64 e) 128

7 Indicar la verdad (V) o falsedad (F)de las siguientes proposiciones:I. Cuando el conjunto A contiene uno

o más elementos que no contieneB, diremos que B es unsubconjunto propio de A.

Razonamiento Matemático Elías Cotos Nolasco202II. Todo conjunto es subconjunto del

conjunto universalIII. Al conjunto universal se le

designa el valor de 1IV.El conjunto vació es subconjunto e

todo conjunto.a) VFVV b) FVVV c) VVVVd) VVFV e) FVFV

8 Si se determina por comprensiónel conjunto:

M 0 , 2 , 4 , 8 , 10 , 12 , ......

se tiene:a) M x / x es un número par

b) M x / x 2n ; 0 n c) M x / x N N= serie de números pares;

d) M 2x / x e) n. a.

9 Dado el conjunto:

3 2F x / x 2x 2x 2 0 ¿Cuál es su valor determinado porextensión?a) F 1 , 0 , 2

b) F 2 , 1 , 1

c) F 2 , 1 , 0 , 1

d) F 1 , 1 , 2

e) n.a.

10 ¿A que operación de conjuntoscorresponde el siguiente gráfico?a) BUC Ab) B A C c) A C B

d) B C A e) AUC B

11 Si el conjunto:

3 2A x / x , 4x 11x 30 0 seinterfecta con el conjunto de losnúmeros naturales, el número deelementos de la intersección es:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e)n.a.

12 En un salón de clases de 65alumnos, 20 son mujeres, donde a 53la biblioteca les presta en libro dequímica a cada uno y 8 mujerestuvieron que comprar el libro.¿Cuántos hombres se compraron ellibro de química, si se supone quetodos los alumnos tienen el libro?a) 2 b) 3 c) 4d) 6 e) 5

13 Al encuestar a un grupo dealumnos se observó que la mitad deellos postulan a San Marcos, los 7/12postulaban a Villarreal, 1/6 postulabaa ambas universidades y los 220alumnos restantes aun no decidíandonde postular. ¿Cuántos fueron losalumnos encuestados?a) 2 340 b) 3 250 c) 2 640d) 3 520 e) 3 125

14 En un aula 80 alumnos hanrendido 3 exámenes de ellos 42aprobaron el primero, 38 el segundo,49 el tercero, 18 los tres exámenes;además 10 aprobaron solamente los 2

AB

C

Razonamiento Matemático Elías Cotos Nolasco203primeros. ¿Cuántos alumnosaprobaron por lo menos 2 exámenes?a) 28 b) 29 c) 30d) 31 e) 32

15 El conjunto: C A CB CA equivalente a:a) CA CB A b) A B B c) CA A B d) A CA B e) El conjunto universal

16 El 65% de la población de unaciudad no ve el canal A de Tv. Y el50% no ve el canal B, si el 55% ve elcanal A o el canal B, pero no los doscanales, el porcentaje de la poblaciónque ve ambos canales es:a) 20% b) 18% c) 13%d) 12% e) n.a.

17 De 81 personas se sabe que 48van a la playa, 42 al cine, 50 al teatro,21 a la playa y al cine, 18 al cine y alteatro, 35 a la playa y al teatro,además todos van por lo menos a unlugar. ¿Cuántas personas van a los 3lugares?a) 11 b) 12 c) 13d) 14 e) 15

18 Ciertos datos obtenidos en unestudio de un grupo de 1 000empleados referente a la raza, sexo yestado civil, arrojaron los siguientesresultados: 322 son hombres, 470 soncasados, además habían 42 varones decolor, 147 personas de color erancasados y habían 25 hombres de colorcasados. ¿Cuántas mujeres eransolteras?

a) 129 b) 219 c) 294d) 315 e) 351

19 Durante el mes de febrero de1984 Raúl Peralta fue a ver a su noviaPilar en las mañanas o en las tardes oen ambas horas, si 14 días lo vio en lamañana y 20 días la vio en las tardes.¿Cuántos días la vio en ambas horas?a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

20 Determinar A por extensión:

nA / n , 1 n 3n

2 42

a) A 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5

b) A 1 , 2 , 3 , 4 , 5

c) A 1 , 2 , 4 , 5

d) A 1 , 2 , 3 , 5

e) A 1 , 2 , 3 , 4

21 Sean A y B dos conjuntos talesque: n A B 24

n A B 10

n B A 6

Hallar: 5n A 4n B

a) 36 b) 34 c) 28d) 32 e) 30

22 Para un conjunto “x”, el númerode elementos de “x” dentamos porn(x) y P(x) denota al conjunto desubconjuntos de “x”, según esto, sin(A)=4; n(B)=3 y n A B 2 .

Hallar la suma:


n P A P B n P A B a) 50 b) 48 c) 63d) 52 e) 20

23 Dado el conjunto y lossubconjuntos A, B y C, se tiene lossiguientes datos:n(U)=44 ; n(A)=21 ; n(B)=17 n A C 14 ; n B C 12

n A B C ' 3 ;

n A B C 5 y

n A B C ' 6 .

Hallar: n(C)a) 30 b) 28 c) 29d) 25 e) 20

24 Si n(A) 8 ; n(B) 8 ; n(C) 5 yn(D) 5 , el numero máximo deelementos de AUC es k y el númeromáximo de elementos de B D es“h”. Hallar el valor de “h.k”a) 60 b) 65 c) 25d) 40 e) 83

25 Un club consta de 78 personas, deellas 50 juegan fútbol, 32 básquet y 23voley, además 6 figuran en los tresdeportes y 10 no practican ningúndeporte. Si “x” es el total de personasque practican exactamente un deporte“y”, el total de personas que practicanexactamente dos deportes; Hallar “x-y”a) 12 b) 18 c) 20d) 15 e) 17

26 Supóngase que Mary comehuevos o tocino en el desayuno cadamañana durante el mes de enero (31días). Si come tocino durante 25mañanas y huevos durante 18mañanas. ¿Cuántas mañanas comesolamente huevos?a) 7 b) 6 c) 9d) 5 e) 10

27 De 120 personas de unauniversidad obtuvo la información: 72alumnos estudian el curso A, 62alumnos estudian el curso B, 36alumnos estudian el curso C, 12alumnos estudian los tres cursos.¿Cuántos alumnos estudianexclusivamente 2 cursos?a) 25 b) 20 c) 9d) 28 e) 22

28 De un grupo de 40 personas, sesabe que: 15 de ellas no estudian nitrabajan; 10 personas estudian y 3personas estudian y trabajan.¿Cuántas de ellas realizan solo una delas dos actividades?a) 22 b) 24 c) 28d) 27 e) 26

29 Si los conjuntos A y B son talesque: n A B 30 ; n A B 12 y

n B A 10 ; Hallar: n A n B

a) 30 b) 39 c) 40d) 28 e) 38

30 De una encuesta hecha a 135personas para establecer preferenciasde lectura de las revistas A, B y C seobtienen los siguientes resultados:

Razonamiento Matemático Elías Cotos Nolasco205Todos leen alguna de las 3 revistas;todos menos 40 leen A; 15 leen A y Bpero no C; 6 leen B y C pero no A; 10leen solo C. El número de los que leenA y C es el doble del número de losque leen las 3 revistas. El número delos que leen solo B es el mismo que eltotal de los que leen A y C. Según todoesto, hallar el numero de los que leenA solamente.a) 58 b) 42 c) 56d) 37 e) 60

31 Si:

3 2M x / x 7x 6x 0

N x / 2 x 6

Hallar: M N M N

a) N b) M c) 0d) 0 ,1 e) 1

32 Si: A x / x 2

B x / 2 x 2

Hallar: n A Ba) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

33 Siendo: P x / x , x< 8

P x / x , x> 4 ¿Calcular la suma de los elementos deP Q ?a) 18 b) 16 c) 21d) 20 e) n.a.

34 De un grupo de 40 personas sesabe que: 24 bailan, 10 mujerescantan, 8 personas no cantan ni bailany 7 mujeres cantan y bailan. ¿Cuántoshombres sólo cantan?a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6

35 En un instituto de 77 alumnos, sesabe que de los 3 idiomas queenseñan, los que estudian sólo unidioma son 28 más, de los que sóloestudian 2 idiomas. Si además son 3las personas que estudian los 3idiomas. ¿Determinar cuantosestudian solo dos idiomas?a) 20 b) 21 c) 24d) 25 e) 23

36 Un club tiene 48 jugadores defútbol, 25 de básquet y 30 de béisbol.Si el total de jugadores es 68 y sólo 6de ellos figuran en los 3 deportes.¿Cuántos figuran exactamente en 1deporte?a) 36 b) 37 c) 38d) 39 e) 40

37 Según la figura. Cuales son laszonas que representan a:

A B ' C A'

a) 5

b) 5

c) 5 , 2

d) 5 , 2 , 3

e) n.a.

38 En un salón se hizo una encuesta,donde 3/5 postulan a la S.M; 9/20

A B U

5 2 713 46C

Razonamiento Matemático Elías Cotos Nolasco206postulan a la U.N.F.V.; 1/4 postulan alas 2 universidades y 24 postulan sóloa la UNI. ¿Cuántos alumnos postulana S.M.?a) 72 b) 84 c) 64d) 48 e) 75

39 En un evento, el 60% de losparticipantes hablan Ingles y el 25%portugués, si el 20% de los que hablanIngles, también hablan portugués,además 1 200 hablan sólo Ingles.¿Cuántos participan en la reunión?a) 620 b) 520 c) 650d) 340 e) n.a.

1. 2. 3. 4 5. 6. 7. 8. 9.

c c a b d d c e e

10. 11. 12. 13 14. 15. 16. 17. 18.

d b c c d e e e c

19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27.

b d b d c b a b d

28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35 36.

a e c b c a d e d

37. 38. 39.

a a e

17.Teoria de Conjuntos

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