390 ORGANIZACIN DE LA ENSEANZA EN LATINOAMRICA

cientficos, cuando ellos significaran Ja publicacin de tra-bajos originales de valor cientfico. Una segunda y defi-nitiva seleccin deber efectuarse por oposiciones: una escrita de carcter cientfico y otra oral de carcter di-dctico.

Es necesario una prolija reglamentacin que asegure-al sistema el carcter de objetividad. Tambin debe re-glamentarse un sistema de pases por c_oncurso que per-mita el traslado de los profesores que as lo deseen de un lugar a otro del pas.

PLAN DE ESTUDOS Y PROGRAMAS SINTTICO$

Primer ciclo (l"', 29 y 3er. aos)

ARITMTJCA

El nmero uatural : Conceptos, numeracin. represen-tacin grfica y literal. Comparacin y ordenacin de n-meros. Las seis operaciones fundamentales, propiedades. mecanismos operatorios y aplicaciones.

Divisibilidad: Factoreo, M. C. D. y l\L C. aplica-ciones.

El nmero entero : Conceptos, objetivacin y represen-tacin grfica. Comparacin y ordenacin. Las seis ope-raciones con nmeros enteros, propiedades y mecanismos operatorios, reglas para el uso de los signos. Manejo de igualdades y parntesis.

El nmero racional: Conceptos, objetivacin r repre-sentacin grfica. Comparacin y ordenacin. Las seis operaciones fundamentales, sus propiedades, mecanismos operatorios y aplicaciones.

Fraccin decimal y nmero ir1;acional: Operaciones con decimales. Fracciones peridicas, raz cuadrada apro-ximada. Idea de nmero irracional.

Magnitud : Conceptos, medida, razn de cantidades ho-mogneas. S. M. D. y aplicaciones.

ProporciO"nalidad: Conceptos, propiedades y clculo de trminos, series de razones iguales. Proporcionalidad de

1

~r ~

.. -- ~- ---- ~ - - - - --- --

392 ORGANIZACIN DE LA ENSEANZA EN LATINOAMtRrCA

cantidades. Proporciones compuestas, de cantidades. Pro-blemas.

Aritmtica Comercial : Porcentaje, inters simple, des-cuento simple, equivalencia de documentos. Particin pro-porcional y regla de compaa. Reglas de mezcla y con-junta. Sistema monetario y problemas de cambio. Pro-blemas.

GEOMETRfA

Elc>mentos geomtricos fwulcnncntales : Conceptos y deter minacin. Ordenacin y operaciones con segmentos y ngulos.

Pe1pendicularidad y varnlelismo : Conceptos y propie-dades. Traslacin y simetr a.

Circzmferencia: Elemento5 y propiedades. Rotaciones. Tringulos : Propiedades y relaciones entre sus ele-

mentos. Congruencia. L1igares geomtricos. Polgonos : Cuadr ihiteros, paralelogramos, trapecios.

Polgonos convexos. Congruencia de polgonos. ngulos en la circu,nfcrencia. Puntos notables d,eL tringulo. Equivalencia de polgonos: reas. Magnitudes geomtr icas: proporcionalidad de segmen-

tos, teoremas de Tales y aplicacione~. Semejanza de tringulos y polgonos. Polgonos regulares. Longitud de La circunferencia y rea del circulo (tra-

tamiento no formal) . rea de porciones circulares. Nociones de trigonometra: Las funciones trigonom-

tricas en el tringulo rectngulo. Relaciones fundamen-tales. Resolucin de tringulos rectngulos. Uso de tablas.

Elementos geomtricos en el espacio : determinacin, perpendicularidad y paralelismo, traslacin y simetra.

Diedros, triedros y ngulos poliedros : propiedades y congruencias.

.

PLAN Y PROGRAMAS SINTTICOS 393

Prismas y pirmides: propiedades. Paraleleppedos. Semejanza de figuras en el espacio.

Poliedros : propiedades generales. P oliedros regulares. E sfera, cilindro y cono : propiedades : rea de poliedros y C1terpos redondos. Equivalencia y 'Volmenes de poliedros y cuerpos re-

dondos.

LGEBRA

E xpresiones algebraicas : definiciones y convenciones. Lus cuulru upercu:iu11es fu11clcw1e11lales con e.rpn:siums

algebraicas enteras. Factoreo: Productos y potencias de binomios. Casos

simples de factoreo. m. c. m. y m. c. d. de polinomio::-. Expresiones algebraicas fraccionarias : simplificacin y

operaciones. Ecuaciones de primer grado con wui incgnita: Con-

ceptos y resoluciones. Problemas de primer grado. Sistemas de ecuaciones linrnles: Re~olucin. Coonlt!-

nadas cartesianas, representacin grfica de ecuaciones lineales y de la solucin del sistema. Problema de primer grado con dos incgnitas.

Segundo ciclo (49 y 59 aos)

REVISiN Y COMPLEMENTOS DE GEOMETRL\ Y TRIGONOMETRfA

Fundamentacin, de la geometra: acciomtica de la geometr a. Transformaciones fundamentales; traslacin, rotacin, movimientos, simetra y semejanza.

Trigonometria : Funciones trigonomtricas, equivalen-cias y otras frmulas bsicas. Uso de tablas. El tringulo rectngulo. El tringulo oblicungulo. Nociones de trigo-

1

L

394 ORGAN"IZACIN DE LA ENSEANZA EN LATINOAMRICA

nometra esfr ica. Resolucin del tringulo esfrico rec-tngulo y casos sencillos de t r ingulos oblicungulos. Aplicaciones.

REVISiN Y COMPLEMENTOS DE ARITMTICA Y LGEBRA

E volucin del concepto de n.mero : Conjuntos y n-mero natural. Sucesivas ampliaciones del' concepto del n-mero utilizando el principio de permanencia de las leyes formales: entero, racional, real y complejo.

Operaciones con nmeros complejos. Nociones de clculo vectorial : Operaciones y su inter-

pretacin geomtrica; productos escalar y vectorial, in-terpretaciones y aplicaciones.

Ecuaciones y funciones : La funcin lineal y la ecua-cin de la lnea recta. Sistemas de ecuaciones lineales. La ecuacin de segundo grado, resolucin, discusin de las races. El trinomio de segundo grado y su interpretacin grfica. Ecuacin y propiedades de las cnicas referidas a sus ejes. Ejemplos de curvas de grado superior y tras-cendentes : cbica, sinusoide, logartmica, etc.

Progresiones : aritmticas y geomtricas, clculo de elementos y suma, interpolacin lineal.

Clculo combinatorio: permutaciones, variaci ones y combinaciones. Binomio -de Newton.

NOCIONES DE CilCULO INFINITESIMAL

L mites: Lmite de sucesiones. Lmites de funciones. Determinacin de lmites sencillos.

Aplicacin del concepto de lmite : Revisin de concep-tos aritmticos y geomtricos que requieren la aplicacin del concepto de lmite : nmero irracional, operaciones con nmeros reales, proporcionalidad de cantidades, teoremas de Tales, longitud de la circunferencia, rea del rectn-

E.TEMPLO DE PROGRA:ltA A~AlTICO 395

gulo, concepto general de rea, volumen del prisma y de la pirmide, principio de Cavalieri, continuidad, etc.

Derivadas: nocin de derivada e integral. Clculo de derivadas senci!Jas. Interpretacin geomtrica, aplicacio-nes fsicas.

Para ilustrar la forma en que debe aplicarse este plan damos a continuacin un ejemplo de programa analtico, el de Aritmtica, ordenado metodolgicamente.

ARITMTICA ( Prirn~r ciclo)

A desru:rollarse en dos cursos (19 y 29 aos)

I. - a) Co1uC'ptus f11ml1u11 c11talcs : Idea de conjunto, contar, unidad, nmero natL1ral. suce5in fundamental. n-mero cardinal. nmero ordinal. nmero i:oncreto. Sistemas de numeracin clet.:imal. Repl'esentacin grfica y literal de nmeros naturales.

b) Cucstio11es a demostrar : an no condene introdu-cir procedimientos demo.stratiYos. . c) Cuestiones a enseiiar si;1. demostraciones : coordi-nacin de conjuntos, la operac!n de contar y sus propie-dades fundamentales. Representacin grfica de nme-ros. Mecanismo de la numeracin oral y escrita. Nume-racin romana.

d) E jercitacin y temas heursticos: ejercicios para objetivar y fijar los conceptos de a). Problemas y ejerci-cios sobre los temas de c).

11. - a) Conceptos fundamentales: comparacin de nmeros naturales, igualdad, desigualdad y ordenacin. Iniciacin en la formulacin de teoremas: expresin de un enunciado en forma de hiptesis y tesis.

b) Como en b) de captulo I. c) Cuestfones a ensefiar sin demostmciones: caracte-

1:

~--- - -- -- ... .

3!)6 ORGANIZACIN DE LA ENSEANZA EN LATINO.AMRICA

res de la igualdad. Carcter t r ansitivo de la desigualdad~ Principio de las tres posibilidades.

d) Eiercitacin y temas heuri.sticos : objetivacin y ejemplificaein numrica y grfica de los temas de a) Y c).

III. - a) Conceptos fundam en tales: Suma de nme-ros naturales. Propiedad unifor me, conmutativa, asocia-tiva y de monotona.

b) Como en b) de captulo J. c) Cuestiones a. ense'iiar sin demostracin: se darn,

con verificacin objetiva y numrica v formulacin lite-ral. las propiedades de la suma y la .justificacin de la regla de sumar.

d) Ejercitacin !J tc111 ~1s hc11rfaticos: objetivacin y ejemplificacin variadas de las cuestiones enseadas en a) Y c). Suma de nmeros concretos y complejos.

IV. - a) Conceptos fundamentales: Ja resta como ope-rncin inversa de la suma. Suma algebraica. Parntesis.

b) y c) Anlogos a b) y c) del captulo III. d) Ejercitaci11 y trabajos heursticos: objetivacin y

ejemplificacin numrica ele las propiedades dadas en a) y e) y en particular, uso de parntesis. Prueba de la suma y resta.

V. - a) Conceptos f unda:mentales: multiplicacin de nmeros naturales como reiteracin de sumas. Idea de demostracin.

b) Cuestiones a demostrar : ejemplificacin de la idea de demostracin con casos numricos de las propiedades conmutativa y distributiva de la multiplicacin.

c) Anlogo a c) de captulo III. d) Anlogo a d) de captulo UI. VI, VII y VIII. - Anlogos al captulo V, respectiva-

mente, para la divisin, potenciacin y radicacin.

OBSERVACIN. - El profesor deber seleccfonar algu-nos temas para desarrollar la demostracin por camino heurstico, por ejemplo, operaciones con potencias de igual base.

E.TEMPLO DE PROGRAMA ANALTICO 397

IX. - a) Conceptos fundamentales: divisibilidad, fac-tor y mltiplo. Nmel'o primo y compuesto. m. c. d. y m. c. m.

b) Cuestiones a demostra r: el profesor e!egir algu-nos de los siguiente.s temas para ensearlos en forma de-mostrativa : sumas, restas y mltiplos de un nmero clan mltiplos del mismo nmero. Caracteres ele la divisibili-dad por 2, 3, 5, ll, 4, 8, 25, 125. F actoreo de un nmero (sin demostrar la unicidad). Determinacin del ro. c. d. Y rn. c. m. por factoreo y por divisiones sucesi\;1s (las demostraciones se efectuarn preferentemente sobre ejem-plos numricos. haciendo notar la genernliclad c1el mtodo y pasando luego a la formulacin literal).

c) Cuestiones que se tralann por camino 110 demos-trativo: aquellas propiedades y procedimientos que no ha-yan sido demostrados en b) y

- - - - - ""' .

398 ORGANIZACIN DE LA ENSEANZA EN LATINOAMRICA

d) . En este caso se ilustrarn las propiedades con ejem-plos objetivos y numr icos.

d) Ejercitacin y temas heursticos : se elegirn algu-nas propiedades de las operaciones entre nmeros enteros y se desarrollarn por camino heurstico. Se efectuar en forma amplia objetivacin y ejercitacin de los temas tra-tados.

XI. - a) Conceptos f undam en tales : necesidad de ge-neralizar el nmero entero, fracciones. Nmeros raciona-les, numerador, denominador y signo. Ordenaci.n de n-meros racionales. Las seis operaciones entre nmeros r acionales. Propiedades de las operaciones como genera-lizacin de las anlogas entre enteros. Interpretacin ob-jetiva y grfica.

b) Cuestiones a demostra,r: se elegirn algunas de las propiedades y procedimientos de las operaciones entre fracciones y se demostrarn con el objeto de ilustrar el camino formal para generalizar las propiedades y proce-dimientos de los nmeros enteros pa ra los racionales.

c) Cuestiones a enseiiar sin demostraciones : las pro-piedades y procedimientos no considerados en b) y d). En este caso se ilustra rn con ejemplos objeti\os num-r icos.

d) Ejercitacin y t emas heursticos: el profesor ele-gir algunas de las propiedades de las operaciones con fracciones y las plantear para ser desarrolladas por ca-mino heurstico. Se efectuar una amplia objetivacin y ejercitacin preferentemente mediante problemas.

XII. - a) Conceptos fundamentales : fraccin decimal como caso particular de fracciones ordinarias. Operacio-nes con decimales. Fraccin peridica. Raz cuadrada no entera. Idea no formal de nmero inacional.

b) Cuestiones a demostrnr : operaciones con decima les, propiedades y mecanismo de clculo como caso parti-cular entre fracciones ordinarias. Condicin para que una fraccin sea reductible a decimal. La r az de un entero no puede ser fraccin ordinaria.

c) Cuestiones a ensear sin demostraciones : Cenera-

EJEMPLO DE PROGR.Al\IA ANALfTICO 399

triz de una peridica. Raz cuadrada aproximada. Ope-raciones aproximadas con nmeros irracionales.

d) Ejercitacin y tc111as heursticos : el profesor ele-gir temas de b) para que sean desarrollados por camino heurst ico. E jercitacin n1riada sobre los temas ensea-dos y en particuiar sobre operaciones aproximadas.

XIII. - a) Conceptos f 1mda mentales : en fo1ma ejem-plificada se introducirn los conceptos de magnitud, can-tidad, razn de cantidades homogneas, unidad y medida de una cantidad.

b) Cuestio11es a de111~strar : la razn de dos cantida-des homogneas es igual al cociente de sus medidas res-pecto a Ja misma unicbd. P ropiedad transitiva del pro-ducto de razones con un elemento comn.

c) Cuestiones a e11soiar por m111i110 110 dcmoslratfro: propiedades de las magnitudes no tratadas en b).

d) Ejercitaci11 y temas heurstico~ : Objetivacin y aplicaciones de los conceptos y propiedades tratadas en a), b) y c). Sistemas :\l. D. y aplicaciones.

XIV. - a) Conceptos j1n1damentalcs : proporcin nu-mrica. Trminos de una proporcin. ~Iedia proporcio-nal. Cantidades proporcionales. Proporcionalidad directa e inversa entre cantidades. Proporcionalidad compuesta.

b) Cuestiones a demostrar: el profesor elegir algu-nas de las propiedades de las proporciones numricas y las ensear con sus demostraciones; por ejemplo, igual-dad del producto de medios y extremos, permutacin de trminos, formacin de proporciones sumando trminos de una dada, serie de razones iguales, etc.

c) Cuestio11es a tratar por camino no demostrativo : los temas de proporciones numricas que no hayan sido tratados por camino formal en b) o d). Relacin entre proporciones con cantidades y con medidas de esas canti-dades. Cantidad proporcional a varias otras : si una can-tidad es proporcional a varias otras lo es a su producto.

d) E jercitacin y temas heursticos: se demostrarn por procedimientos heursticos algunas de las propiedades de las proporciones, por ejemplo, clculo de un trmino

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- - ~ -- - - - - - - - -- .. -- ~-400 ORGANIZACIN DE LA ENSEANZA EN LATINOA.l\!i:':R!CA

de una proporcin y de un medio proporcional, las 8 for-mas de una proporcin, etc. Se har amplia ejercitacin sobre proporciones numricas y objetivacin de propor-ciones con cantidades. Por camino heur stico se dar la regla de t r es como aplicacin de las proporcio~es reali-zando luego amplia ejemplificacin prctica.

XV. - a) Conceptos fundamentales : porcentaje, inte-rs, descuento, tanto por ciento, valor nominal y efectivo de un documento, vencimiento comn, vencimiento medio, prrroga de pagos. Particin proporcional, r egla de com-paa. Regla de mezcla, directa e inversa. Regla de con-junta. Sistema monetario nacional (metlico y a papel} y extranjero. Cambio con moneda extranjera.

b) Cuestiones et demostrar: el porcentaje corno ejem-plo de proporcin directa. El inters simple como ejemplo tlc proporcionalidad compuesta directa, y anlogamente el descuento simple. Vencimiento medio y comn como aplicacin de descuentos simples. La particin proporcio-nal como aplicacin de ser ies ele razones iguales (en todos estos casos comendr r azonar sobre ejemplos numricos y Juego generalizar ]as Teglas operatorias).

c) Cuestiones a ense1ar por camino 110 demostrativo: temas complementarios (le la aritmtica comercial no t ra-tndos en a) ni d).

--- - - --- - - ~

1 j

l

fNDICE DE TEl\L.\S Y AUTORES

lgebra y Geometra Analtica, su enseanza, 331 a 3G2.

Alemania, 30. Argentina, enseanza de la Ma-

temtic::i. 41. bases para Ja organiza-cin de la enseiianza \' de la Matemtica. 37~ :i 390.

Aritmtica, su enseiianz::i, 235 a 2GG.

- plan de. estudios. 391. Axiomtica. 80.

BCllini, J., 53. Be/yl'a11 v . .ll .. .JI. B11tlr 1", X . .1/., 2.

Colcag110, A/jrec/o D., 218 a 219. Calculo infinitesimal, su ensean-

za, 363 a 3'I. Caracter sticas de la Matemtic:i,

66. Cavalieri, principio de, 320. Ciclos de la enseanza de la i\1a-

temtica. 382. Ciencias exactas, facultad de, 47. Claireattt, 27. Clase, conduccin de la, 178.

- en la, 16i. Comprender la :.\Iatemtica. 22G. Concepto de lmite, su enseanza,

365. Conceptuacin matemtica, 76.

Definiciones nominales. 77. - por abstraccin, 78. - por recurrencia, 79.

Del alumno, 21 T. Del profesor, 203.

Dcmostrarones matemticas. 85. por reduccin al :ibsurdo, 87.

Edad media, 19. Educ:iein. fines de la. 2. E jercitacin. didctic:1 de la, 183. F.leccin del mtodo. 13.J. Enselianza activa, 385. Enset'ianz::i secundaria y demo-

rr::icia, 6. Epistcmologla, 91. Escucb Alejancll'ina, 16. Escucl::is normales, 11, 73.

- profesionales. 9, 72. Estados Unidos, 35. E studio en textos, 122. En elides, 16, 21, 32. Emloxio de Gnido, 16. Exposicin del profesor, 121.

Filosofa de la Matemtica, 91. Fin instructivo, 5.

- p rofesional, 16. Fo1macin del profesorndo, 211. Francia, 21.

Geometra del espacio, 270, 315. - gua para su ensean-

za, 26i, 336. - plana, 271.

Grecia, J.I .

Ha

----- -- -~ ~ ..,.

404 NDICE DE TEMAS Y AUTORES

I ntuicin, 229. Italia, 37.

Jacques, Ama.deo, 4.

Kl.ein, Flix, 2, 31.

Logicista, movim'iento, 25.

il!a11to1Jani, J., 4. Matemtica, historia, 13.

recreativa en la enseanza, 190. valor y fines de su ense-anza, 61. valor formativo, G2. valor instrumental, 70.

)fomoria, 230. MCtodo de los proyectos, 129.

heurstico, 126, 137. individual, 124. inductivo y deductivo, 109. clsicos y psicolgicos, 105.