C. BEHTl\EJlb ~lccJie,n;onaBHe onepa~nii 1

\A.I~Aqll lPIIHQHilhl !

\ETO,D;OJIOfll.R

(ocKna Hay1

Tradticido,, del ruso por A. T~ ~lijaili n Impreso ' en la URSS. 1983

A nuestros lectores;

Mir edita libros soviticos traducidos al espaol, ingls, francs, rabe y otros idiomas extranjeros. Entre ellos figuran las mejores obras de las distintas ramas de la ciencia y la tcnica: manuales para los centros de enseanza superior y escuelas tecnolgicas; literatura sobre ciencias naturales y mdicas. Tambin se incluyen mono-grafas, libros de divulgacin cientfica y ciencia-ficcin. Dirijan sus opiniones a la Editorial l\Iir, 1 Rizhski per., 2, 129820, Mosc, I-110, GSP, URSS.

Ha ucnanc1w.u siabl"Ke

ll3AaTeJibCTBO HayKa. 1980 ' Traduccin al espaol. Editorial Mir. 1983

lt-:-4ff,UQ , .J P_ Vl{ .. i?d - ,.....,...:.1-l! J. ... ~.{~.!~.~:;:":~} " ~7 1 V !";"' ~e .. ;-;_,.;;;rr

. -

...

Indice

Prefacio .......

Captulo 1. Objllto y tareas de la investigacin Cle ope-raciones . . . . . . . . . . . . . . . . , 1. Qu se comprende por investigacin de operaciones

y a qu se dedica dicha disciplina ..... . 2. Nociones generales y principios de la investiga-

cin de operaciones . . . . . . . . 3. Modelos matemticos de operaciones ....

Captulo 11. Variedad de problemas de investigacin de operaciones y enfoques de sus soluciones . . . . . 4. Problemas directos y recprocos de la investiga-

cin de operaciones. Problemas determinados . 5. Problemas de eleccin de una solucin en condicio-

nes de indeterminacin . . . . . . . . . . . 6. Problemas de criterios mltiples de la investiga-

cin de operaciones. Enfoque de sistemas

Captulo 111. Programacin lineal . . . 7. 8. 9.

10. 11.

Problemas de la programacin lineal . . . . Problema principal de la programacin lineal Existencia de la solucin del problema principal de la programacin lineal y procedimientos para hallarla . . . . . . . . . . . . . . . . . Problema de transporte de la programacin lineal Problemas de programacin con nmeros enteros. Nocin sobre la programacin no lineal

Captulo IV. Programacin dinmica . 12. Mtodo de programacin dinmica . . 13. Ejemplos de resolucin de problemas ele la pro-

gramacin dinmica . . . . . . . . . .

7

12

12

21 27

34

34

39

55

69 69 81

85 95

107

113 113

124

5

i ' 1 j

L

14. Problema de la programacin dinmica en forma general. Principio de optimacin . .

Captulo V. Procesos aleatorios markovianos . 15. Nocin sobre el proceso markoviano ..... 16. Flujos de sucesos . . . . . . . . . . 17. Ecuaciones de Kolmogorov para las probabilidades

de estados. Probabilidades finales de estados.

Captulo VI. Teorfa de cqlas , 18 . Problemas de la teora de colas . . . . 19. Esquema de aniquilacin y multiplicacin. Fr-

mula de Litle ............. 20. Sistemas simtiles de colas y sus caractersticas 21. Problemas mas complejos de la teora de colas Captulo VII. Simulacin estadstic:a de los procesos afea torios (mtodo de Montecarlo) 22. Idea, utilizacin, campo de aplicacin del mtodo 23. Sorteo unitario y formas de su organizacin . 24. Determinacin de las caractersticas del proceso

aleatorio estacionario por medio de su realizacin

Captulo VIII. Mtodos de juego para la argumentacin de soluciones . . . . . . . . . . . 25. Objetivo y problemas de la teora de juegos 26. Juegos de matriz, antagnicos ..... . 27. Mtodos de resolucin de los juegos finitos .. 28. Problemas de la teora de decisiones estadsticas Bibliografa

,, . . .

'' :!'1~

143

150 150 157

166

177 177

182 189 210

215 215 219

227

232 232 238 248 262 278

~:;V-:-1;-;;~_,--., ~lf;;"''~i;_,1,;v;._..J. '"""".!f :t;

l

1 ~

Prefacio

La finalidad de este libro consiste en exponer de una manera clara y accesible a los amplios crculos de lectores, los problemas, principios metodolgicos y procedimientos de trabajo de la ciencia denominada investigacin de operaciones que en estos ltimos aos va adquiriendo .un campo ele aplicaciones cada vez ms amplio. Es esta una ciencia relativamente joven que pertenece a las asignaturas nuevas y por lo tanto no se puede considerar que su marco y con-tenido estn definidos con precisin. La asignatura llamada Investigacin de operaciones forma parte de los programas de estudio de muchos centros de enseanza superior, pero el trmino mencionado dista mucho de tener el mismo sentido en todos los casos. Algunos autores por trmino investigacin de opera-ciones entienden principalmente los mtodos mate-mticos de optimizacin incluyendo la programacin lineal, no lineal y dinmica. Otros, por el contrario, no incluyen estas partes de las matemticas en la investigacin de operaciones, tratando a sta prin-cipalmente desde las posiciones de la teora de juegos y soluciones estadsticas. Algunos cientficos se in-clinan a negar en absoluto la existencia de investiga-cin de operaciones como una disciplina cientfica independiente, incluyndola en la ciberntica (trmino que no est suficientemente definido y que se com-prende de modo distinto por diferentes cientficos) Otros, al contrario, le atribuyen a la llocin de in-

7

~~--=-.._._ ...... lllllllli ......................................... ..

. vestigacin de operaciones un significado ,demasiado amplio, proclamndola casi como la ciencia de las ciencias. El tiempo mostrar en qu formas seguir desarrollndose esta ciencia relativamente joven, qu partes de las expuestas habitualmentll quedarn den-tro de su marco y cules se separarn de ella como disciplinas cientficas independientes. En particular, no est definitivamente clara la correlacin futura entre la investigacin de operaciones y la teora de los sistemas (o la teora de los sistemas complejos), de la cual ltimamente se habla y escribe mucho. En todo caso, no cabe duda de que en las diversas esferas de la prctica (organizacin de la produccin y del abastecimiento, funcionamiento del transporte, accio-nes combativas y armamentos, distribucin de cua-dros, servicios pblicos, salud pblica, comunicaciones, tcnica de calculacin, etc.) surgen con frecuencia

; problemas de semejante planteamiento, rasgos comu-nes y mtodos similares de solucin, que conviene reunir bajo el nombre comn de problemas de investi-gacin de operaciones. La situacin tpica es la siguiente: se organiza cierta actividad (un sistema de acciones) orientada hacia una finalidad, la que se puede organizar de distintas maneras, es decir, es posible escoger tma solucin determinada de una

\ serie de variantes posibles. Cada variante tiene ciertas . ventajas e inconvenientes, sin que se pueda compren-; der de inmediato, a causa de la complejidad de la i situacin, qu variante es la mejor (o ms preferible) , y por qu razn. Para aclarar la situacin y comparar las diferentes variantes de la solucin se organiza, de acuerdo con una serie de indicios, una serie de clculos matemticos con el propsito de ayudar, a las personas

, responsables de la eleccin de la solucin, a analizar crticamente la situacin y, en resumidas cuentas,

\elegir. definitivamente una u otra variante.

8

' W.'-- ; * {I ; +s+ sw:0c"'!f.,,.[) 4f ~.:-r)', ~.~\."'h: 1 ,-,,. ~' ' ' ' 1 1 r :i' ~} .,.~ .-.rliv,-F

~ 1

~

Problemas de esta ndole surgen muy a menu do en distintas esferas de la prct ica y la propia vida nos obliga a resolverlos. U na concepcin general y no sectaria de estos problemas tiene varias ventajas, ya que ampla la visin del investigador y asegura la compenetracin y el enriquecimiento de los mtodos, proceclimientos y tcnicas cientficas que se h an ela-borado en los distintos campos de la prct ica. Sin hacer hincapi en ninguno de estos campos en el pre-sente libro la autora plantea la tarea de subrayar y destacar las caracterst icas metodolgicas comunes para todos los problemas de investigacin de opera-ciones independientemente de su origen. En este libro la atencin n o se centra en los mtodos matemticos, sino en las cuestiones metodolgicas, es 1lecir, en el planteamien to de los problemas, eleccin del modelo matem t ico y anlisis de los resultados 1lel clculo. La experiencia nos ensea que precisamente all (y no en la tcnica de cmpn to y t ransformaciones), radi-can las principales dificultad es con las que se encuen-tra una persona inexperta , al tratar de ap licar los mtodos matemticos de argu mentacin de las solu-cioues en la p rctica y no en los ejemplos de texto escogidos artificialrne11 te.

Al escribi r este libro la autora so bas en la expe-riencia de muchos aos de t rabajo en el campo de la investigacin de operaciones en las diversas esferas de la prct ica. Como resultado se le ha formado un determinado sistema do conceptos que tra ta de expo-ner e11 la forma ms clara p osible.

Los mtod os matemticos utilizados en el libro no son complejos y est:n dentro ele los lmites del curso habitual de matem ticas de las escuelas superio-res, en el cnal actualmente se incluyen elementos de la teora de las probabilidad es. En aquellos casos raros, en que la autora se ve obligada a salir fuera de

9

' 1

'

1

1 ,

11

. este marco, los datos necesarios se ofrecen en el texto. En cambio, las ideas principales y los conceptos meto-dolgicos estn presentados en una forma que dista mucho de ser simplificada, lo que exige atencin y cierto esfuerzo mental por parte del lector. La autora renuncia conscientemente al estilo exageradamente literario o entretenido, que se emplea en algunos manuales, particularmente extranjeros, sobre la inves-tigacin de operaciones, porque no cree que personajes imaginarios, nombres curiosos, etc. contribuyan a asi-milar ideas. Por otra parte, la autora evita el estilo exageradamente grave y tedioso, que se considera de buen tono en los libros matemticos. De vez en cuando se permite una locucin familiar, una broma y a veces -(qu horror!)- una frmula imprecisa a la que se puede, cuando se quiere hacer un reproche. El libro no est destinado para el especialista en matemticas, sino, en primer trmino, para el prctico que se fami-liariza con el tema por primera vez. A tal lector las

' abundantes excepciones hechas en aras de la riguro-sidad irreprochable slo podran hacerle perder inters al ocultar de l el quid de la cuestin.

Los distintos captulos no son del mismo grado de \ . diffoultad ni estn cargados de clculos matemticos por igual. El lector que slo quiera familiarizarse en ! trminos generales con dicha disciplina, con los pro-1 blemas y las posibilidades de la investigacin de ope-1 raciones, puede limitarse a leer con atencih los cap-1 tulos 1 y 2, as como los prrafos iniciales de los dems

Captulo 1

Objeto y tareas de la investigacin de operaciones

1. Qu se entiende por investigacin de operaciones y a qu se dedica dicha

disciplina

En la poca actual llamada con todo fundamento poca de la revolucin cien tfico- Lcn ica la ciencia presta cada vez mayor atencin a los problemas de organizacin y mando. Entre las numerosas causas del hecho en cuestin se puede citar el rpido desarrollo y el carcter cada vez ms complicado de la tecnologa, una ampliacin sin precedentes de la envergadura de las actividades que se realizan y de .la gama de sus consecuencias posibles, la introduccin de los sistemas automticos de direccin en todas las esferas de la prctica; todo eso hace necesario un anlisis de los complicados procesos orientados hacia una finalidad desde el punto de vista de su estructura y organizacin. Ante la ciencia se plantea la exigencia de optimizar (o racionalizar) las recomendaciones sobre la direc-cin de dichos procesos. Ha quedado en el pasado la poca en la que los dirigentes lograban elaborar una direccin ms eficiente a ciegas o por el mtodo de pruebas y errores. Hoy da para elaborarla es preciso aplicar un enfoque cientfico pues las prdidas ocasio-nadas por los errores son demasiado grandes.

12

C(""'.T --:;_' ."f(..- 'L~ - ':..' 't ~ ; , ~ . .:!. ... ; J . ! .' "": r!.1:t:'"

l,-_~__g_!Jg~nciau:!_r l,!!.L!IBS 9I.WLl!!:Q'l l!ltodos c~{ic_o_~_fl_pef~)es a_g'_!:.!:1.Q_~~-~~baj_o el nombre de investi-gaci1L.de operaciones. Se en tender por este trmino la aplicacin de mtodos matemticos, cuantitativos utili-zados para argumentar las decisiones en todas las esferas de la actividad humana orientada hacia una fi nalidad.

Aclaremos qu se entiende por el trmino decisin. Supongamos que se emprenda cierta actividad orientada a un determinado fin. El organizador o el grupo de organizadores de dicha actividad s iempre tiene cierta libertad de elegir, es decir, puede organizarla de una o 1le otra ma11era, por ejemplo , escoger cierto tipo de equipo a ut ilizar, distribui r los recursos disponibles, etc. Est a solucin precisamente representa cierta eleccin, hecha de una serie de posibilida1les que estn a disposicin del org:rnizado1'. Las decisiones pueden ser malas y huenas, prematuras y meditadas, funda-mentadas y arbitrarias. La necesidad de tomar deci-siones es tan antigua como la propia humanidad. No cabe eluda de que ya en los tiempos prehistricos los hombres primitivos cuando iban a la caza del mamut se vean obligados a tomar ciertas decisiones como, por ejemplo: ,dnde tender la emboscada y cmo colocar a los cazadores? cmo armarlos?, etc. N oso-1.ros mismos en la vida cotid iana , a cada paso, toma-mos dPcisio11os sin darnos cuenta. Por ejemplo, por las maanas al salir de casa y dirigirnos al trabajo, tene-mos que tomar una serie de dec isiones: cmo vestirse? coger o 110 el paraguas consigo? donde cruzar la calle? q11 medio de transporte utilizar?, etc. El dirigente de una empresa constantemen t e tiene que tornar decisiones del tipo: cmo distribuir la mano de obra disponible?, 11,qu clase do trabajo es necesario realizar en primer lugar? , etc. -

,Quiern decir esto que al tomar semejantes decisio-nes, estarnos dedicndonos a la investigacin de ope-

13

raciones? No, no quiere decir. La investigacin de operaciones comienza solamente, cuando para argu-mentar las decisiones se aplican mtodos matemticos. Hasta cierto punto en cualquier esfera prctica las decisiones se toman sobre la base de la experiencia y del sentido comn, sin efectuar clculos matemticos especiales. Por ejemplo, para decidir la cuestin cmo vestirse, cuando se sale a la calle y dnde cruzarla, no hace falta recurrir a clculos matemticos y es poco probable que esta necesidad surja en el futuro. Las sol~ciones de este gnero , se optimizan espontnea-mente1 s~bre la base de la prctica cotidiana. Si alguna vez la decisin no resulta ser la ms apropiada, no importa, ya que se aprende de los errores.

Sin embargo, existen decisiones mucho ms impor-tantes. Tomemos el caso de la o_i::ga..!_1_~~1

!

Esta clase de clculos, que facilita a las personas la torna de decisiones, es la que sirve de objeto a la in-vestigacin de operaciones. Como ya se ha mencionado sta es una ciencia bastante joven, aunque esta nocin en el mundo de la ciencia es relativa, pues muchas ciencias quedan reducidas a la nada casi en el mismo momento que nacen sin encontrar 11plicaciones. Por primera vez el trmino investigacin de operaciones apareci en los aos de la segunda guerra mundial cuando en las fuerzas armadas de varios pases (Estados U nidos, Inglaterra) se formaron grupos especiales cientficos (fsicos, matemticos, ingenieros, etc.), cuya misin consista en preparar proyectos de deci-siones para los jefes de mando de operaciones militares. Aquellas decisiones se referan principalmente a la aplicacin de fuerzas y medios entre los diversos obje-tivos. Problemas similares, aunque calificados de otra manera, se haban estudiado anu antes, en par-ticular, en la URSS. Luego la investigacin de operaciones extendi la esfera de sus aplicaciones a las ms diversas ramas de la prctica: a la industria, agricultura, construccin, al comercio, transporte, a las comunicaciones, a la salud pblica, proteccin de la naturaleza, servicios pblicos, etc. Hoy da es dif-cil hallar una esfera de la actividad humana donde los modelos matemticos y los mtodos d investiga-cin de operaciones no se utilicen en una u otra forma.

Para tener una nocin de las peculiaridades de esta ciencia examinemos algunos problemas t picos de ella. Estos problemas que fueron sacados deliberada-mente de distintas esferas de la actividad p rctica, a pesar de estar algo simplificados en su planteamiento, ofrecen, sin embargo, una idea del objeto y de los fines de la investigacin de operaciones.

1. Plan de abastecimiento de empresas. Existe una serie de empresas que consumen determinadas materias

' 1il . 'it.

r .~ ' .,,, .''tf FtfBt~ r'/ 'J l-,,":" it..#-' 'f .~jl}!i'> ~"' ~ : ~ ........ ~':f-7 .. ,:i

----

1

~ 1

1

primas y, por otra parte, una serie de bases de mat erias primas que p ueden suminist rar estas ma terias a las empresas. Las bases estn vinculadas con l as empresas mediante cier tas vas de comunicacin (ferrov iarias, fluviales y m artimas, au tomovilsticas o areas) teniendo cada una su propia tarifa. E s necesario elabo-rar un plan de abastecim iento de las empr esas con materias primas (determ inando de qu b ase, en qu cantidad y qu materia prima se suministra) que satisfaga las necesidades de stas con un cos to mnimo de transporte.

2. Construccin de un lramo de lnea ferroviaria principal. Se construye un t ramo de lnea ferroviaria pri11cipal. Tenemos a nuestra d isposicin una d etermi-nada cant idad de medios: mano de obra, m quinas de construccin, t alleres de reparacin, camiones, etc. Se plantea planificar la construccin (es decir , estable-cer el orden de prioridad de t rabajos, d istr ibuir las mquinas y la mano de ohra entre los distintos t ramos y garantizar l as reparaciones) de tal manera que se finalice dentro de un plazo m nimo posible.

3. Venta de mercancas de temporada. Para vender una de terminada cant idad de mercancas d e tempora-da se crea una red de pequeos comercios provisionales. Se plantea op timizar la cant idad de comercios, su distribucin , l os s tocks de mercancas y la cantidad del personal de servicio p ara cada uno de los comercios con el fin de alcanzar la mxima eficacia econmica de venta.

4. Helencin de nieves. E n las condiciones del Extremo Norte las ven tiscas que cubren d e nieve los caminos obs taculizan ser iamente el trfico. Cuales-quiera de l as interrupcfones del trfico producen pr-didas econm icas. Existen varios m todos de retener la nieve (p avimiento perfil ado, pantallas d e protec-

~in, etc.) cada uno de los cuales exige cier tos gastos 2-0l5 17

. de construccin y operacin. Se conocen las direcciones dominantes de los vientos, la frecuencia y Ja intensidad de las nevadas. Se plantea olaborar los mtodos de retencin de nieve ms eficaces posibles desde el punto de vista econmico (i.qu camino y de qu modo proteger?) tomando en cuenta las prdidas provocadas por la paralizacin del trfico a causa de los montones de nieve.

5. Incursin antisubrnarina. Se sabe que un sub-marino enemigo se encuentra en cierta regin del teatro de operaciones martimas. Los aviones de defensa antisubmarina tienen la misin de localizar y destruir el submarino. Se plantea organizar racionalmente la operacin (incursin), es decir, trazar las rutas de los aviones, elegir Ja altura del vuelo, elaborar el mtodo de ataque para garantizar el cumplimiento de la tarea de combate con la mxima seguridad.

6. Control selectivo de calidad. Una planta fabrica artculos de cierto tipo. Para asegurar su alta calidad se crea un sistema de control selectivo. Se plantea optimizar el sistema de control, es decir, elegir el tamao de la partida a controlar y las pruebas, elaborar las reglas de control, etc., a fin de garantizar el nivel de calidad programado, minimizando al mismo tiempo el costo del control.

7. Examen mdico. Es sabido que en cierta regin se detectaron casos de una enfermedad peligrosa. Para localizar a los enfermos (o a los portadores de la infec-cin) se organiza el examen mdico de la poblacin

. de dicha regin. Con este fin se han asignado recursos materiales, equipo y personal mdico. Se plantea elaborar tal plan de exmenes (el nmero de puestos de asistencia mdica, su distribucin, el orden de reconocimiento por especialistas, tipos de anlisis, etc.) que permita localizar en lo posible el mximo

t porcentaje de enfermos y portadores de la infeccin. 1 118

f_?-''"7 ~; ,.--~.:-.:t 44Lf 'f)d* ,)!/ +,}7' .. H'."' 't'* *"f"":

------~-=-.---..--.-

mtodos en cuestin adquieren una importancia extr-ordinaria a medida que se introducen los sistemas automticos de direccin en todas las esferas de la prctica. Hesulta imposible crear un sistema autom-tico de direccin (si ste se utiliza no slo para acumu-lar y analizar la informacin, sino tambin para efec-tuar la direccin) sin realizar estudios previos de los procesos de direccin empleando los mtodos de la simulacin matemtica. A medida que se acrecienta la envergadura y complejidad de las actividades, los mtodos matemticos de argumentacin de las deci-siones adquieren cada vez mayor significado. Un operador experto es capaz de asegurar el funcionamien-to de un aeropuerto pequeo, mientras que un aero-puerto grande requiere un sistema automtico de direccin que funcione de acuerdo con un algoritmo preciso. La formulacin de dicho algoritmo siempre , se basa en los clculos preliminares, es decir, en la investigacin de operaciones.

2. Nociones generales y principios de la investigacin de operaciones

En este prrafo nos familiarizaremos con la termi-nologa, nociones generales y principios de la ciencia de investigacin de operaciones.

La operacin es cualquier actividad . (sistema de acciones) unida por una sola idea y orientada hacia una determinada finalidad (todas las actividades ci-tadas en los puntos 1-8 del prrafo anterior son operaciones). '

La operacin es siempre una actividad dirigida, es decir, de nosotros depende el mtodo con que se eligen ciertos parmetros propios de su organizacin. A este respecto la organizacin se entiende en toda la exten-sin de la palabra, incluyendo un conjunto de medios tcnicos utilizados en la operacin.

o

(C-~~_ ... JJ} ~ ,.. 4!!A f"! 1A- -.. ./"':!t '"t::":WT* ri:< "* " ." .. "" "7-."""*'"*7"'.".S'-H , . ~::f1' '1Jt?""'

-

Toda eleccin determinada de los parmetros que dependen de nosotros se llama decisin. Las decisiones pueden ser sensatas e insensatas, acertadas y desacer-tadas. Las decisiones se consideran ptimas si tienen preferencia respecto a las otras, partiendo de uno u otro criterio. El objetivo de la investigacin de opera-ciones radica en argumentar previa y cuantitativa-mente las decisiones ptimas.

A veces (en casos relativamente raros) como resul-tado de la investigacin se consigue indicar una deci-sin nica, estrictamente ptima, pero mucho ms frecuentemente se logran obtener varias soluciones ptim11s y prcticamente equivalentes, entre las cuales se puede elegir una solucin definitiva.

Es de sealar que la investigacin de operaciones no incluye el propio proceso de adoptar soluciones, pues esto le corresponde a la persona responsable o, ms frecuentemente, a un grupo de responsables con derecho a elegir la solucin definitiva y responsabiJi-zarse con ella. Eligiendo una solucin, conjun-tamente con las recomoridaciones relacionadas con los clculos matemticos, ellos pueden, adems, tomar en consideracin las observaciones de carcter cualita-tivo y cuantitativo, omitidas en dichos clculos.

La participacin indispensable del hombre (como instancia definitiva que torna decisiones) no se excluye, aun cuando exista un sistema automatizado de direc-cin, el cual corno puede parecer, toma decisiones sin la participacin del hombre. No hay que olvidar que la propia creacin de un algoritmo de direccin y la eleccin de una de sus variantes es tambin una deci-sin muy importante. El desarrollo de los automticos de direccin no elimina las funciones del hombre, sino las traslada de un nivel elemental a otro, superior. Adems, el empleo de una serie de sistemas automa-tizados de direccin prev la participacin activa del hombre en el proceso de direccin.

21

1 J li 'I 'I '1 !J .,

Los parmetros cuyo conjunto forma una decisin se denominan elementos de decisin. En calidad de elementos de decisin pueden figurar diversos nme-ros, vectores, funciones, indicios fsicos, etc. Por ejemplo, si se planifica trasladar cargamentos del mismo tipo, de los puntos de partida A 1 , A 2 , , A m a los puntos de destinacin B 1 , B 2 , , Bn, entonces los elementos de decisin sern los nmeros Xj que indican la cantidad de cargamentos a transportar del punto de partida A 1 al punto de destinacin B j El conjunto de los nmeros x11 , x12 , ,xi., ... , Xmp Xm 2, forma la decisin.

Los problemas sencillos de la investigacin de ope-raciones pueden tener, relativamente, escasa cantidad de elementos de solucin. Pero, los elementos que tienen una aplicacin prctica en su mayora poseen una gran crmtidad de elementos de decisin, de lo que el lector puede convencerse fcilmente, si procura separar individualmente y nombrar los elementos de decisin en los puntos1-8del prrafo anterior. Para simplificar la solucin del problema designaremos todo el conjunto de los elementos de decisin con una sola letra x, denominndola solucin x.

Adems de los elementos de decisin con los cuales . podemos manipular dentro de ciertos lmites, cada 1 problema de investigacin de operaciones posee tam-

bin condiciones preestablecidas, de reglamentacin, las cuales funcionan desde un principio y no pueden ser alteradas (por ejemplo, la capacidad de carga de los automviles; el volumen de la tarea planificada; caractersticas relacionadas con el peso del equipo, etc.). Con respecto a esto se pueden mencionar los medios (materiales, tcnicos, recursos de mano de obra) disponibles, as como las limitaciones impuestas a la solucin. Una vez agrupadas forman el llamado conjunto de soluciones posibles.

22

t 1 .. 'tf*'?."~"Est:_ '!"~U-"'Tfi}'f.""~,'":'?~pc;:;q~;rA .,, ;1~""'z P"'."'"

1 1

Designarnos una vez ms el conjunto en cuestin con la letra X y en este caso, el hecho de que x perte-nece a este conjunto lo escribimos con la frmula: x E X (se loCJ: CJl elemento x forma parte del conjunto X).

Se trata de separar del conjunto de decisiones posibles X aquellas decisiones x (a veces es una solu-cin, ms frecuentemente, una regin entera de deci-siones) que desde uno u otro punto de vista sean ms eficientes (ms ncertadas o preferibles) que las dems. Para comparar las eficiencias de diferentes soluciones es preciso determinar el criterio cuantitativo, o sea, el llamado ndice de eficacia o, con otras palabras, la funcin de finalidad. Dicho ndice se escoge de tal manera que refleje una finalidad orientada de la opera-cin. La solucin se considera la mejor si contribuye al mximo a alcanzar un objetivo propuesto. Para elegir o denominar el ndice de eficacia W es necesario ante todo preguntarse ,qu objetivo queremos lograr realizando una operacin? Es cierto que se conceder prefernncia a la solucin que convierta al ndice de eficacia W en mximo (o en mnimo). Por ejemplo, se quiere maximizar los beneficios prnducidos por la operacin y al mismo tiempo, es deseable minimizar los gastos si stos reprnsentau el ndice de eficacia. Si se desea minimizar el ndice de eficacia lo expresa-remos en forma de vV ~ mn, en caso de maximizarlo, usaremos la forma W =:?- mx.

Muy frecuentemente el cumplimiento de las opera-ciones va acompaado de factores aleatorios (capri-chos del tiempo, cambios de oferta y demanda, fallos de los dispositivos tcnicos, etc.). En estos casos en calidad de ndice de eficacia no suele tomarse la pro-pia magnitud a maximizar (minimizar), sino su valor medio (esperanza matemtica) 1).

1) Se describe ms detalladamente en el prrafo 5.

23

't

I '

!11,

I,

l --''

En ciertos casos las operaciones con factores alea-. torios tienen un determinado objetivo A, que puede

lograrse por completo o no se logra totalmente (el esquema si - no), y ningn otro resultado inter-medio representa inters. En este caso la probabilidad de lograr dicho objetivo P (A) aparece como el ndice de eficacia. Por ejemplo, si se trata del tiro contra cierto objeto con el fin ele dar en el blanco a toda costa, la probabilidad de dar en el blanco interviene como el ndice de eficacia.

Elegir incorrectamente el ndice de eficacia resulta muy peligroso. Las operaciones organizadas conforme a un criterio elegido desafortunadamente pueden pro-vocar prdidas y gastos injustificables (recordemos aun-que sea el famoso ndice de produccin global utili-zado como criterio principal en la valoracin de la actividad econmica de las empresas).

Para ilustrar los principios de acuerdo a los cuales se elige el ndice de eficacia revisamos los eje:inplos 1-8 del prrafo 1; a este respecto, es necesario elegir, ante todo, un ndice natural de eficacia y, despus, opti-mizarlo (maximizar o minimizarlo). Analizando los ejemplos, hace falta tomar en consideracin que la descripcin verbal del problema no hace posible acep-tar un solo ndice de eficacia en todos los casos, por lo tanto, ciertas discordancias pueden existir al respecto entre los lectores y la autora.

1. Plan de abastecimiento de empresas. El problema de la operacin consiste en asegurar el abastecimiento de materias primas con una minimizacin de los gastos de transporte. El ndice de eficacia R es la suma total de los gastos de transporte de materias primas por una unidad de tiempo, por ejemplo, un mes (R =?- mn).

2. Construccin de un tramo de ferrocarril troncal. Se requiere planificar una construccin de tal manera

que se finalice lo antes posible. El tiempo invertido en

~ 24

Wiff"'4~T U .fW?AJ "fl#lf44"'f"'>IQ11;.~~ji4l.,4\fll_ Q , , , f mx)1).

4. Retencin ele nieves. Se trata de planificar una retencin de nieves ms eficiente en el plano econmico, por eso se puede elegir como ndice de eficacia los gastos medios por una unidad de tiempo (por ejemplo, por un ao) R, relacionados con el mantenimiento y la explotacin do las vas, incluyendo Jos gastos para construir las instalaciones de proteccin, para limpiar las vas y evi tar las demoras del t ram'lporte (R '* mn).

5. Incursin antisubmarina. Puesto que el obje-tivo de la incursin est completamente determinado, es decir, consiste en dest.mir un submarino, es necesa-rio elegir como ndice de eficacia la probabilidad P (A) de destruccin del submarino.

6. Control selectivo de calidad. El planteamiento del problem a requiere que el ndice natural de efica-cia se exprese por medio de los gastos medios R in-vertidos en el control por unidad de tiempo, siempre que el sistema de control garanticeun nivel progra-mado de calidad, por ejemplo, qu e el porcentaje medio de produccin defectuosa no sobrepase el dado (R =>- rnn).

7. Examen mdico. Se pl1ede elegir como ndice

1) Aqu y a continuacin no vamos marcar siemple el valor medio de la magnitud con una raya encima.

25

de eficacia el porcentaje medio (parte) Q de enfermos y portadores de infeccin que se logr revelar (Q =>- mx). , 8. Servicio de bibliotecas. El problema no se for-1 mula deliberadamente de manera precisa: no est

claro qu significa un servicio ptimo do los abonados y el satisfacer sus demandas al mximo. Si la calidad del servicio se determina por el tiempo que se espera un libro desde el momento de solicitarlo hasta reci -birlo, el ndice de eficacia puede representarse como el tiempo medio T de espeta del libro solicitado por el lector (T =>- mn). Es posible abordar Bl problema de otra manera, es decir, elegir como ndice de eficacia

'un nmero medio M de libros entregados por una uni-dad de tiempo (M =>- mx).

Los ejemplos examinados han sido seleccionados especialmente lo ms simple posible con el fin ele facilitar relativamente Ja eleccin del ndice de efica-cia, el cual se determina directamente por el plante-amiento verbal del problema (casi en todos los casos) y por la orientacin hacia una finalidad. Sin embargo, en la prctica dista mucho de ser siempre as. El lector puede convencerse de ello probando a elerir, por ejemplo, un ndice de eficacia para el funcionamiento del transporte urbano. ,Qu puede servir de ndice

. mencionado? La velocidad media del movimiento de 1 pasajeros por la ciudad? El promedio ele pasajeros i trasladados? El promedio de kilmetros a cubrir 1 por una persona que no puede llegar al punto de destino a causa de falta de medios de transporte? Hay aqu , terreno para reflexionar!

Desgraciadamente, para la mayora de los proble-mas que tienen un significado prctico no es sencilla la eleccin del ndice de eficacia. En cuanto a los problemas algo complejos es tpica la situacin cuan-do la eficacia de la operacin no puede ser caracteri-zada completamente por un solo nmero, por

26

,/

'i

lo que resulta necesario referirse a otros. Tales pro-blemas de criterio mltiple se darn a conocer en el prrafo 6.

3. Modelos matemticos de operaciones Para aplicar los mtodos cuantitativos de investiga-

cin en cualquiera de las esferas, es preciso poseer siempre algn modelo matemtico. Para la construc-cin d{l un modelo es inevitable simplificar el fen-meno real (en nuestro caso, la operacin), esquemati-zarlo y este esquema (maqueta del fenmeno) se describe con ayuda de mtodos matemticos. Cuanto ms acertadamente se seleccione el modelo matem-tico, tanto mejor reflejar ste los aspectos caracters-ticos del fenmeno, ms exitosa ser la investigacin y ms tiles las recomendaciones obtenidas.

No existen mtodos vniversales para la construc-cin de modelos matemticos. En cada caso concreto el modelo se selecciona a partir del tipo de operacin, de su orientacin hacia una finalidad, as como toman-do en cuenta los problemas de investigacin (la in-fluencia de qu factores y qu parmetros se requiere determinar). Tambin es necesario, en cada caso concreto, establecer una correspondencia entre la precisin del modelo y la cantidad de detalles que lo caracterizan: a) una precisin necesaria para solucionar el problema en cuestin, y b) una informacin dis-ponible o la que es posible adquirir. Si los datos ini-ciales necesarios para el clculo son inexactos, .es evidente que no vale la pena entrar en detalles, com-poner un modelo muy minucioso y gastar tiempo (del investigador y de la calculadora) en optimar la solu-cin de modo preciso y con muchos detalles. Por des-gracia, dicho principio se omite a menudo y los mode-los se describen demasiado minuciosamente.

27

C:i 4!'!?~Pf":Y z::z44*A '"'7~J+i>f f(jjli,FrPff.'s:'1'"* 9~'*'"" ~!t>1~:a::,~'.~"+-::U ill -* 8iEIWiiP421 1 , ..~ - Nb - _,,. Piil f1 il!lm

1

1

!

"

,!,'," :1 ' : '

:r

il:

E.I modelo matemtico ,debe corresponder a los 1

. aspectos rns importantes del fenmeno, a los prin-1

cipales factores que determinan generalmente el xito . de la operacin. Adems, segn la posibilidad, el

. ~

simulan. Como regla, a los matemticos puros les es difcil (sin ayuda de los especialistas en 11\ esfera que se investiga) construir modelos adecuados. Estos centran su atencin en los modelos matemticos y no en los aspectos prcticos y reales de los problemas.

/,

~ 1

11

modelo debe ser simple, sin detalles secundarios, que dificultan el anlisis matemtico e imposibilitan to-mar en consideracin los resultados de la investigacin. En la construccin de modelos existen dos peligros: el primero consiste en hundirse en detalles (los rbo-les tapan el bosque) y el segundo en generalizar el fenmeno (echar al nio de la baera junto con Pl agua). El arte de construir modelos matemticos es precisamente un arte y la experiencia en Eista esfera se adquiere gradualmente. 1

1

La~I!eriencia nos 1n.u.efil,r.a_q.filLJ_os modelos ..m. acerta~~.i::_t~_l_()_c_~~ a los especialistas de determina-da esfera de la prctica que han completado sus cono-cimientos especiales con una profunda preparacin matemtica o a los colectivos que unen a los especia-listas prcticos y a los matemticos. Son muy tiles las consultas que los matemticos, que conocen bien la investigacin de operaciones, dan a los especialistas prcticos, ingenieros, bilogos, mdicos y ot ros que necesitan argumentar cientficamente las decisiones tomadas. Dichas consultas resultan tiles tanto para los prcticos, como para los matemticos que se fami-liarizan con los problemas reales de las diversas ramas. Para resolver tales problemas los matemticos muy a menudo tienen que perfeccionar su instruccin, as como desarrollar, generalizar y modificar los mtodos conocidos.

IJ Puesto que el modelo matemtico no se desprende

indiscutiblemente de la descripcin del problema, 1 siempre es provechoso poner en duda cualquiera de los , modelos y comparar los resultados obtenidos de dife-

rentes modelos, hacerlos competir entre s. En este caso un mismo problema se resuelve varias veces utilizando diversos sistemas de tolerancias, diversos modelos y mtodos. Un argumento serio a favor de la investigacin objetiva reside en las conclusiones cien-tficas cuando stas de modelo en modelo tienen pocos

! cambios. Si divergen sustancialmente, os preciso revi-sar las concepciones que sirvieron de base a los distin-tos modelos (cul de ellos se adapta mejor a la reali-dad) y, en caso de necesidad, realizar experimentos de

: control. Es caracterstico tambin en la investigacin de operaciones el volver a estudiar el modelo (tras de llevar a cabo la primera ronda de clculos) para intro-ducir correcciones.

La creacin sJ.el modelo matemtico es la parte ms importante y responsable de la investigacin que requiere conocimientos profundos no tanto de .. -mate-mticas, como de la esencia de los fenmenos que se

l .,

j

Los especialistas que quieren ocuparse de la inves-tigacin de operaciones independientemente (sin ayuda de nadie) deben tener una preparacin matemtica bas-tante amplia. Adems de las partes clsicas del an-lisis matemtico que suelen estudiarse en la escuela superior tcnica, la investigacin de operaciones in-cluye las par tes modernas, relativamente nuevas, de las matemticas, tales como la prog:r:amacin dinmica, no lineal y l ineal, la terla de los juegos y .soluciones

~stfcas,lal.eorra-de colas, etc. El libro da la posibildad- ar lector Ui~amilarizarse con algunas nociones de estas partes de las matemticas.

,/

,!! 1 l

ti 1

C " 'f*i .cf."J+IWILllJ!W 4 ,..,. . ~I ::; . ' . .. ,. ~fa~-''"'"" . . . . . ,.. , ' "'' , . ~4"~:'.""""' , M '"\' ':'t:'!_,.,. .. fPi y . ' . . ... , !"lml&A.!@F 1 '--"SB'~- ' ~~* ! " . ai

,! 28 Es necesario prestar una atencin especial a la t~ de las p_roba~ilidadfl!_; no se trata de conocimien-

29

. tos amplios y profundos, sino de conocimientos efica-ces, no formales, de la capacidad para manipular datos estadsticos y nociones de probabilidad. Las exigencias especiales que se plantean precisamente ante esta rama de las ciencias matemticas se deben a que la mayor!.;!. de las operacione.s. se realizan en condi~!_Q!B~S de c_i_e.rta indeterminacin y l l?_!.'oceso y resultado dependen tj_e _filCtOres ~-Por desgraCiaTa mayona de los especialistas, ingenieros, qumicos, mdicos muy rara-mente dominan bien los mtodos de la teora de las probabilidades. Muy a menudo las reglas y los con-ceptos de la teora se utilizan de manera formal sin comprender adecuadamente su sentido y espritu. No son raros los casos, cuando a la teora de las probabili-dades se la trata como a algo parecido a la varita mgica que permite obtener informacin de la nada, del desconocimiento completo. Esta consideracin es errnea pues la teora de las probabilidades slo per-mite t.ranstormar la informacin, es decir, partiendo de datos sobre fenmenos accesibles a la observacin, hacer conclusiones sobre otros menos accesibles. Se supone que el lector de este libro posea los conocimien-tos elementales de la teora de las probabilidades1) . ~No se desea que las partes de las matemticas men-1 cionadas, que se aplican a la investigacin de opera-

ciones intimiden al lectorptincipiante y le hagan perder el gusto de dedicarse a dichos problemas. En primer lugar, como. se dice no es tan fiero el len como lo pintan y ' siempre es posible dominar cualquier mto-do matemtico si existe una necesidad imperiosa. En segundo lugar, no cada problema exige aplicar todas las partes mencionadas; se puede familiarizar slo con algunas de ellas, dando la prioridad a las ms necesa-

1) Si el lector no conoce totalmente la teora de las proba-bilidades, puede obtener los datos mnimos necesarios leyendo un folleto de divulgacin (2):

! '30

11 ' ~,_,, " ' ;111 .,)'~ .o:.P ara construir un modelo matemtico es p osible aplicar (en func in del tipo de operacin, del problema a investigar y de la exacti tud de d a tos iniciales) mto-dos matern:licos do diferen te grad o d e complejidad. En los cisQun_;s____s@_c_ilills. el fennum.o s~Jl.1be por medio de ecuacione~ alg_!:ibraica~~!l~ill~. En casos mfts corn plejos, cuando se requiere analizar un fen-meno en su desarrollo, se aplica el mtodo de. ecuaciones

difere[!~i~l.le$ (ordinarias o en derivadas parciales). En' los casos ms complejos, cuando el desarrollo de una operacin y su resul tado dependen de numerosos fac-tores aleatorios, complejamente ent relazados, los m-tgdos anaJticos no funcionan y hace falta recurr.i.!:.JJ mtodo c1iifliliaC1i"'esfadslica (metclOdeMonte-ado) al cualnosrefrimosenol sp t imo captulo. En la primera aproximacin la idea de este mtodo puede ser descri ta de la manera siguien te: el proceso de de-sarrollo de la operacin con todos los factores aleato-rios que le acompaan se reproduce, se copia, en la calculadora electrnica. Como resultado, obtenemos u 11 ejemp lar (un a real izacin) del p roceso aleatorio de desarrollo de un a operacin con el curso y fin casua-l es. De p or s un a sola realizacin no puede servir de base para eleg ir la solucin, pero, obteniendo un con-jnnto de tales realizaciones, Jo nnalizamos como m ate-rial estadstice> corrien te (de aqu procede el trmino simulacin estads t ica), hallamos las caractersticas medias del proceso y nos formamos una idea de cmo influ yen sobre ellas las condiciones del problema y los elemen tos de la solucin .

En l a investigacin de operaciones se utilizan am-pliamen te tanto los modelos analticos , como los esta-dsticos. Cada uno de ellos tiene sus ventajas y defectos.

31

..

Los modelos analticos son ms aproximados, consi-deran menor cantidad de factores, siempre requieren, ciertas suposiciones y simplificaciones. Sin embargo dan resultados de clculo ms perceptibles y con mayor claridad reflejan las principales regularidades propias del fenmeno en cuestin. Lo principal consiste en que los modelos analticos son ms aplicables para la bsqueda de soluciones ptimas.

Los modelos estadsticos son ms precisos y detalla-dos en comparacin con los analticos, no requieren suposiciones tan aproximadas, permiten considerar una gran (tericamente una cantidad ilimitable) canti-dad de factores. Pero tambin tienen sus defectos, a saber: son voluminosos, mal percibibles, exigen un trabajo prolongado de calculadoras y, sobre todo, es extremadamente difcil hallar soluciones ptimas, las cuales hay que buscarlas a ciegas, mediante suposi-ciones y pruebas.

Los especialistas inexpertos en la investigacin de operaciones, teniendo a su disposicin las calculadoras, frecuentemente y sin ninguna necesidad, empiezan a investigar las operaciones construyendo un modelo estadstico y procurando considerar en ella la mayor cantidad posible de factores. Se olvidan de que cons-truir el modelo y efectuar clculos, basndose en l, es slo la mitad del asunto; es ms importante saber analizar los resultados y transfigurarlos en recomen-daciones.

Los mejores trabajos en la esfera de investigacin de operaciones se basan en la aplicacin conrunt--d~ los modelos anHticos y estadstico~. E modelo anal-tico p0s1'E1ITfil'IiCOmprensinaef fenmeno en tr-minos generales, traza los contornos de las princi-pales regularidades. Cualesquiera de las especifica-ciones pueden ser obtenidas con ayuda de los modelos estadsticos (ms detalladamente vase el captulo 7). 32

f' 1_ ,j')-' 4 i't't4 W>{ y; +S ""-:"11f~-j~~~~~"-ll"'" ~-~a_. ,.. ~

En conclusin nos referiremos brevemente a la llamada simulacin de imitacin. Se aplica a los procesos los cuales en ocasiones pueden experimentar la influencia de la voluntad del hombre. Un hombre (o un grupo de hombres) que dirige la operacin puede, en dependencia de una coyuntura, tomar una u otra solucin, al igual que el ajedrecista, observando el tablero, escoge una jugada ulterior. Luego, se pone en accin el modelo matemtico que muestra el cambio esperado de las condiciones en respuesta a una solu-cin adop ta

Capftuio 11

Variedad de los problemas de investigacin de operaciones

y enfoques de sus soluciones

4. Problemas directos y recprocos de investigacin de operaciones.

Problemas detertninados

Los problemas referentes a la investigacin de operaciones se dividen en dos categoras: a) problemas

1 directos y b) problemas recprocos. Los problemas directos responden a la cuestin: qu suceder si en las condiciones dadas adoptarnos cierta solucin x E X? Por ejemplo, una vez adoptada la solucin a, se plan-tea determinar, a qu ser igual el ndice de eficacia W elegido (o una serie de tales ndices)?

i Para solucionar tal problema se construye un mode-lo matemtico que permita expresar uno o varios ndi-

i ces de eficacia a travs de elementos de solucin y 1 condiciones dadas.

Los problemas recprocos responden a la pregunta: cmo escoger una solucin x para maximizar el ndice de eficacia W? 1)

Naturalmente que los problemas directos se consi-deran ms sencillos que los recprocos. Es cierto tam-bin que para resolver el problema recproco es nece-

1) Para mayor sencillez, en adelante, mencionaremos mera-mente el mximo del ndice, sin referirnos cada vez a que se pueda requerir minimizarlo. Es evidente que el segundo caso se reduzca facilmente al primero por simple variacin del signo W.

34.

:(,.,, .. ~9.t25f".Sff\ .''#**A'1 Vi# _'}il}4?tSP.filp1jJMWW~ ~, 1-:- .;;!;~:" ; ,- r-:-c;.,',,

sario, ante todo, saber resolver el problema directo. Para algunos t ipos de operaciones la solucin del problema directo es tan sencilla que no exige dedicarse a ella especialmente. Para otros tipos de operaciones la construccin de modelos matemticos y el clculo del ndice (ndices) de eJicacia distan mucho, como tales, de ser triviales (as, por ejemplo, el caso de los problemas direc tos refer~ntes a la teora de colas, con los cuales nos encontraremos en el captulo 6).

Detengmonos ms detalladamente en los proble-mas recprocos. Si el nmero de variantes posibles de la solucin que forman el conjunto X no es grande, se puede calcular meramente el valor de J,Y para cada una de ellas, comparar entre s los valores obtenidos e indicar direct amente una o varias de las variantes ptimas para las cuales H' alcance el mximo. Tal procedimien to de bsqueda de soluciones pt imas se denomina seleccin simple. Pero, cuando el nmero de variantes posibles de la solucin que forman el conjunto X es grande, la bsqueda entre ellas a ciegas de la variante ptima, por medio de la simple selec-cin es dificultosa y en muchos casos, prcticamente, imposible. E n estos casos se aplican los mtodos de seleccin orientada que se caracterizan por la parti-cularidad comn de hallar la solucin ptima mediante una serie de pruebas o aproximaciones sucesivas. A este respecto, cada solucin posterior nos acerca a la ptima buscada. Algunos de estos mtodos los damos a conocer en los captulos 3 y 4.

Aqu nos limitamos a plantear el problema de optimizacin de la solucin (el problema recproco de la investigacin de operaciones) en forma ms genera-lizada.

Supongamos que en alguna medida podamos ejercer influencia en el resultado de cierta operacin e, aplicando t al o cual mtodo para escoger la solucin x

3 35

I'

lf.

(recordemos que x no es un nmero, sino un grupo de parmetros). Supongamos que la eficacia de la opera-cin se caracterice por un solo ndice W * mx.

Examinemos el caso ms sencillo, el llamado deter-minado, cuando se conocen por completo y de ante-mano todas las condiciones, a saber, que no contienen indeterminaciones. En este caso todos los factores, de los cuales depende el resultado de la operacin, se dividen en dos grupos:

1) los factores dados, conocidos de antemano (las condiciones necesarias para cumplir la operacin), que se designan, para abreviar, con una sola letea a;

2) los elementos de solucin que dependen de noso-tros y forman en su conjunto la solucin x.

Es de sealar que el primer grupo de factores con-tiene, en particular, limitaciones impuestas a la solu-cin, o sea, determina un campo de soluciones posi-bles X.

El ndice de eficacia W depende de ambos grupos de factores. Esto puede expresarse en forma de fr-mula:

W = W (a, x). (4.1) Al examinar la frmula (4.1) no debe olvidarse que

tanto x, como a en forma general no son nmeros, sino conjuntos de nmeros (vectores), funciones, etc. Entre las condiciones dadas de a suelen figurar las limita-ciones que se imponen a los elementos de la solucin, que representan igualdades y desigualdades.

Consideremos que la forma de dependencia (4.1) no es conocida, es decir, el problema directo est resuel-to. En este caso el problema recproco se formula de la siguiente manera.

Una vez dado el conjunto de las condiciones, es necesa-rio hallar tal solucin x = x*, que maximice el ndice de eficacia W. 36

lr_-1: __ ~ _~'"';'~.~ ~~~r~;:pq;.e!'f'##M ... ~f"V'J""!''!Cll'?( .. Vi'I 1

11 ~ ' fi f! !1 g

~ ' ~ i

el punto donde las derivadas son iguales a cero (general-mente tal punto puede no existir), sino en alguna parte de la frontera de la regin X. En este caso surgen todas las dificultades propias d~l llamado problema varia-cional multidimensionaJ con limitaciones que a veces resulta demasiado complejo para ser resuelto mediante las calculadoras modernas. Adems, en algunos pro-blemas la funcin W no posee en absoluto derivadas (por ejemplo, se da slo para nmeros enteros de argu-mentos). Por estas razones, el problema de hallar el extremo resulta ms complejo que parece a primera vista.

El mtodo de obtencin del extremo y de la solu-cin ptima x* relacionada con l siempre debe esco-gerse, partiendo de las particularidades de la funcin W y del tipo de limitaciones, aplicadas a la solucin. Por ejemplo, si la funcin W depende linealmente de los elementos de la solucin x1 , x 2 , , y las acotaciones aplicadas a x1 , x 2 , tienen la forma de igualdades o desigualdades lineales, surge el problema clsico de la programacin lineal que se resuelve utilizando m-todos sencillos y, lo que es esencial, estndar (vase cp. 3). Si la funcin W es convexa se utilizan mtodos especiales de programacin convexa con su variedad: programacin cuadrtica (vase [81). Para optimizar el mando de operaciones de muchas etapas se utiliza el mtodo de programacin dinmica (vase cp. 4). Por fin, existe una serie de mtodos numricos de obtencin de extremos que estn especialmente adap-tados para calculadoras; algunos de ellos incluyen el elemento de obtencin casual que en caso de proble-mas multidimensionales resulta a menudo ms eficaz que la seleccin ordenada.

As pues, el problema de obtencin de una solucin ptima"en condiciones sencillas y bien determinadas, es un problema puramente matemtico perteneciente

38

I

a la clase de problemas variacionales (con la aplica-cin de acotaciones o sin estas) que no presenta difi-cultades de principio, sino de clculo. El asunto no es ste, cuando el problema contiene un elemento de indeterminacin.

5. Problema de eleccin de una solucin en condiciones de indeterminacin

En el prrafo anterior nos referimos al problema recproco de la investigacin de operaciones en condi-ciones de determinacin, a saber, cuando el indice de eficacia W depende slo de dos grupos de factores: programados, conocidos de antemano a y elementos de la solucin x. Adems de estos dos grupos los proble-mas reales de la investigacin de operaciones contienen frecuentemente un grupo de factores desconocidos que se designan en su conjunto por una letra ~. De este modo, e] ndice de eficacia W depende de los tres factores:

W = W (a, x, ~). (5.1) Puesto que el valor H' depende de factores descono-

cidos es imposible calcularlo, ya que queda indeter-minado aunque estn dados los factores a y x. El prohlema de obtencin de una solucin ptima tambin pierde sn determinacin. Pues no se puede maximizar un valor W desconocido! No obstante, nos queda el deseo de maximizar en lo posible esta magnitud desco-nocida. (.Es que a veces no logran xitos los hombres en condiciones, cuando Ja situacin no es del todo clara? Sin duda que a veces lo logran. Expresando lo expnesto en lenguaje matemtico, nos planteemos el siguiente prohlema.

Dadas las condiciones a y considerando los factores desconocidos G hallar tal solucin x E X, que asegure, en lo posible, un valor mximo del ndice de eficacia W.

39

il

11

l

. Este es otro problema no puramente matemtico (no en vano su formulacin contiene la reserva en lo posible). Con la existencia de factores indetermina-

dos ~el problema cobra una nueva calidad, es decir, ' se convierte en el problema de eleccin de una solucin

en condiciones de indeterminacin. Analicemos un poco el problema planteado. En

primer trmino, seamos sinceros: la indeterminacin es la indeterminacin y no tiene nada de bueno. Si las condiciones de la operacin son desconocidas, no podemos optimizar la solucin con tanto xito como en el caso de que dispusiramos de una informacin ms amplia. Por lo tanto toda solucin adoptada en condiciones de indeterminacin es peor que la adop-tada en condiciones conocidas de antemano. Y qu hacer en tales circunstancias? Independientemente de que sea mala o buena , la solucin debe adoptarse en todo caso. Nuestra obligacin consiste en conferir a esta solucin, en lo posible, mayor grado de sensatez. Es por esta razn que T.L. Saati, un destacado espe-cialista extranjero en la investigacin de operaciones, definiendo dicha ciencia, dice no sin irona: La inves-tigacin de operaciones constituye un arte de dar malas recomendaciones relativas a las cuestiones de la prc-tica, en tanto que otros mtodos dan recomendaciones

! aun peores r 1 ]. Nos encontramos con el problema de adoptar a cada

paso en la vida cotidiana soluciones en condiciones de indeterminacin. Por ejemplo, nos hemos propuesto emprender el viaje y hacemos la maleta. Se conocen el tamao y peso de la maleta, as como la ropa a nuestra disposicin (condicioties a), mientras que se desconoce de antemano el tiempo en el rea de viaje (condiciones ~). Qu ropa (x) conviene llevar? Es cierto que este problema semejante, a primera vista, los problemas de investigacin de operaciones se

~o

'\

resuelve sin aplicar mtodos matemticos (es intil gastar la plvora en salvas), sin embargo, realiza-mos consciente o inconscientemente algo parecido a la optimizacin de una solucin, basndose en ciertos datos estadsticos, digamos, acerca del tiempo pro-bable en el rea de viaje o tomando en cuenta nuestra vulnerabilidad ante el resfriad o. A este respecto es curioso que diferentes personas utilicen, al parecer, distintos ndices de eficacia. Si un joven tiende ms bien a maximizar la suma de impresiones agradables (dejemos aparte la cuestin de cmo apreciarla cuan-titativamente) , una persona de edad prefiere, quizs, minimizar la probabilidad de caerse enferma ...

Examinemos ahora un problema ms serio. Se planifica un surtido de mercancas a vender en la feria. Sera deseable maximizar una ganancia obtenida. Sin embargo, se desconoce de antemano la cantidad de compradores que acudirn a la feria y sus demandas. ;,Cmo actuar en este caso? La indeterminacin es evidente, pero es indispensable adoptar una solucin!

Citemos otro ejemplo: se proyecta un sistema de obras destinado a proteger cierta regin contra las aguas de crecida. Se desc;onoce de antemano, cundo comenzarft Ja crecida y cul ser su envergadura. No obstante, hace falta realizar el proyecto y ninguna indeterminacin puede liberarnos de esta obligacin ...

Por fin, abordemos un problema an ms complejo, es decir, se elabora un plan de desarrollo de armamen-tos para unos cuantos aos. Se desconoce el enemigo concreto y Jos armamentos a su disposicin. 1No obs-tante, es indispensable tomar nna solucin!

Para que tales soluciones no sean aprobadasal azar por inspiracin, sino sensatamente.., y con los ojos abiertos, la ciencia actual dispone de una serie de procedimientos. La eleccin del1 procedimiento a utilizar depende del carcter de los factores desconoci-

td

' i' ,\ ] ,, H

111 l I ~ \~ '~ ;: I' 1 .li 1 H9,

~~

! ~ :.h

dos t de su origen y de quin los controla. Con otras 1 'palabras, depende del tipo de indeterminacin con '\ el cual tocamos en el probJema dado. 1 Al lector Je puede surgir la pregunta .~es que acaso, \ se pueden clasificar las indeterminaciones por tipos

y especies? Pues es posible. \ Examinemos, en primer trmino, un tipo de inde-\ terminacin ms propicio desde el punto de vista de 1 su investigacin, o sea, una indeterminacin de buena

calidad. Este es el caso, cuando los factores descono-cidos representan objetos ordinarios de estudio de la teora de las probabilidades, o sea, ma{{nitudes aleato-rias (o funciones aleatorias), cuyas caractersticas estadsticas nos son conocidas o en un principio pueden ser obtenidas para un plazo fijado. Tales problemas de la investigacin de operaciones los denominaremos problemas estocsticos, en tanto que la indeterminacin propia de ellos, indeterminacin estocstica1).

Citemos otro ejemplo de un problema estocstico de la investigacin de operaciones. Supongamos que se organiza o se reorganiza el funcionamiento de Ja cantina con el fin de aumentar su capacidad. No cono-cemos exactamente cuntas personas la visitarn du-rante una jornada laboral, cundo vendrn, qu platos -solicitarn y cunto tiempo se invertir para servir a cada una de ellas. Sin embargo, ]as caractersticas de estas variables aleatorias si es que ahora todava no las tenemos a nuestra disposicin, pueden obte-nerse mediante procedimientos estocsticos.

1.' Pongamos otro ejemplo: se organiza im sistema de reparaciones profilcticas y de emergencia de instala-ciones tcnicas con el fin de reducir su tiempo muerto, ocasionado por desperfectos y reparaciones. Los fallos r._::: 1) El trmino estocstico!> significa simplemente de carc-ter prbabilsiico,'"'pero suena-algo ms solemne. Conservemos t!ste trmino, ya que es bien usado en la literatura.

i2

tcnicos y las duraciones de las reparaciones y de la profilctica son de carcter casual. Las caractersticas de todos los factores casuales referentes al problema planteado pueden obtenerse, una vez reunida una esta-dstica correspondiente.

Examinemos ms detalladamente este tipo de indeterminacin de buena calidad. Supongamos que los factores alea torios s represen tan variables aleatorias con ciertas caractersticas probabilsticas en principio conocidas, a saber, las leyes de distribucin, las espe-ranzas matemticas, las varianzas, etc. 1). Entonces, el ndice de eficacia W dependiente de estos factores tambin ser una variable aleatoria. Es imposible maximizar la variable aleatoria, ya que cualquiera que sea la solucin X, ella queda aleatoria, no con-trolada. i.Qu hacer en estas condiciones?

Lo primero que se nos ocurre es lo siguiente: No ser posible sustitu ir los factores aleatorios s por sus valores medios (esperanzas matemticas)? En este caso el problema se convierte en determinado y puede resol-verse mediante procedimientos ordinarios.

Es de sobra decir que es un procedimiento seductor e incluso, en ciertos casos, justificado. Pues en la prctica, al resolver la mayora de los problemas de fsica, mecnica, tecnologa lo utilizamos muy a menudo sin considerar el hecho de que una serie de parmetros son aleatorios (capacidad trmica, induc-tividad, coeficiente de friccin) y de que los hemos sustituido por valores medios. El problema consiste en aclarar hasta qu grado son aleatorios dichos par-metros, ya que, si se desvan poco de sus esperanzas matemticas, resulta posible y hasta necesario actuar de este modo. As son las cosas en el caso de la investi-

1) Si el conjunto,~ contiene funciones aleat.orias, es posible reducir stas a una 'Sucesin de variables aleatorias.

43

gaci6n de operaciones, o sea, existen problemas que permiten no tomar en consideracin su carcter alea-

' torio. Por ejemplo, si componemos un plan de abaste-', cimiento de un grupo de empresas con materias primas (vase ejemplo 1, prrafo 1), en la primera aproxima-cin podemos no tomar en consideracin, digamos, el

\ cracter aleatorio de la productividad real de las fuentes de materias primas (si ciertamente su produc-cin marcha bien). El mismo procedimiento consisten-te en no tomar en consideracin el factor aleatorio y sustituir todas las variables aleatorias que forman parte del problema por sus esperanzas matemticas, no resultar aplicable, si la influencia del carcter aleatorio sobre el resultado que nos interesa de la operacin es esencial. Consideremos un ejemplo ms aproximado: supongamos que disparamos contra cierto objetivo con el fin de dar en el blanco a toda costa. Se producen varios disparos. Se propone sustituir todas las coordenadas aleatorias de los puntos de impacto por su espetanza matemtica, o sea, por el centro del blanco. Resultar que cualquier disparo dar en el blanco con seguridad, lo que es notoriamente incorrec-to. Examinemos otro ejemplo menos evidente: se planifica el trabajo de un taller de reparacin para prestar servicios al parque de automviles. Prescindi-l:nos de la casualidad del momento de aparicin del desperfecto (es decir, sustituimos el tiempo aleatorio del trabajo sin fallos de la mquina por su esperanza matemtica) y de la casualidad del tiempo invertido m realizar la reparacin. ~.Qu resultado obtendremos? El taller cuyo funcionamiento se planific sin consi-

derar los factores aleatorios, sencillamente, no cum-plir con su tarea (de lo que nos convenceremos en el

si{} reflexiona1 sobre su validez. Pero, sera util refle-ic.ionar! Para que este procedimiento sea vlido es ne-tesario que la operacin posea propiedades de reitera-ein y la insufiencia del ndice de eficacia en un ctaso se compense con su exceso en el otro. Por ejemplo, ~ emprendemos una larga serie de operaciones seme-antes con el propsito de obtener una ganancia mxi-

a, las ganancias de las operaciones independientes se juman, o sea, el menos en un caso se compensa con (fl ms en el otro, y todo queda en orden.

Siempre es as? No, no siempre. Para convencerse de esto examinemos un ejemplo. Se organiza un siste-ma automatizado de direccin (SAD) para el servicio mdico urgente de una gran ciudad. Las llamadas, pro-venientes de diferentes regiones de la ciudad en rno-raentos casuales, llegan al pu p. (5.3)1 La introduccin de Lal limitacin quiere decir que>

del dominio de las soluciones posibles X se exluyen las. que no lo satisfacen. Las limitacioues del tipo (5.3) se' denominan limitaciones estocsticas; su presencia hace' el problema de optimizacin ms complejo.

Hace falta tener especial cuidado con el promedio1 de optimizacirn>, cuando no se trata de una repetidm operacin en masa, sino, de peculiar, nica. Todo1 depende de las consecuencias originadas por el fracaso1 de una operacin dada, es decir, por un valor dema-siado insuficiente del ndice de eficacia W; a veces, ello puede significar una verdadera catstrofe. De qu sirve que una operacin en promedio nos proporcione grandes ganancias, si en este caso nico ella nos puede arruinarcompletamente.Una vez ms la introduccin de limitaciones estocsticas puede librarnos de tales resultados catastrficos. Siempre que un valor de ni-

47 'lj j'. ' ~

{(,!,

. vel de confianza ~ sea suficientemente grande se puede estar, prcticamente, seguro de que no nos suceder una ruina peligrosa1).

As pues, hemos examinado en breve el caso de la indeterminacin de buena calidad (es tocst ica) y aclarado en trminos generales la cuestin referente a la optimizacin de soluciones en tales problemas. Pero esto, como se dice, son flores, las espinas vendrn despus. La indeterminacin estocstica es casi la de-terminacin, si son conocidas las caracterst icas pro-babilsticas de los factores aleatorios que forman p arte del problema. Las cosas son peores , cuando 'por medio de mtodos estadsticos no se pueden estudiar y descri-bir los factores desconocidos S As sucede en dos casos: ya sea a) cuando existe en principio una distribucin de las probabilidades para los parmetros s, p ero que no puede ser obtenida en momento de adoptacin de la solucin, ya sea b) cuando una distribucin de las probabilidades para los parmetros s no existe total-mente.

Citemos una situacin del tipo a): se proyecta un sistema calculador informat ivo destinado a prestar servicios a ciertos flujos casuales de requerimientos (demandas). Las caractersticas probabilsticas de estos flujos de requerimientos en principio podran ser oh te-nidas a partir de la estadst ica, si un sistema calcula-dor informativo dado (u otro similar) ya existiera y funcionara por un tiempo bastante prolongado. Pero a la hora de realizar el proyecto no disponemos de tal informacin, en tanto que es indispensable tomar la solucin. Cmo actuar en este caso?

1) De hecho toda la metdica de la aplicacin prctica de la teora de las probabilidades se basa en que los sucesos poco probables se consideran simplemente imposibles (sobre esto, as como sobre los principios de asignacin de nivel de confianza vase (21).

1 48

E s comprensible q ue de antema no se pueden p ro-gramar (a hase de las refle:dones especulat ivas) ciertas carncte rbt icas de Jos factores alea torios, optimizar la so1 11ci11 :r sol1rc es ta ha::;e (sencillamen te como p ro-medi o o co11 l imit acio 11 es cslodsticas) y detenerse en ella. E ste enfoque seril m ejor, incl ud auleme11te, que escoger 1111a solucin al azar, poro no mucho mejor. Sera mucho m s razo 11 ab le utilizar el siguien te proce-d imieoto: dejar algunos C'lernenlos de l a solucin x libres, variables. Luego, para comenzar, elegir cierta varuit e de la solucin, sab iendo de a.ntemano que no es la mejor, y }Joner en m archa el sistema; a continua-cin , eu fa rn odicla en qne se acumule l a experiencia, vari ar orient.adarnente los panmetros libres ele la solu-cin, consiguicucl o q ue Ia eficieucia no disminuya, siJJ o aumente. Tales algoritmos de d ireccin que se per-fcccio 11 an en el proceso do utilizacin se denominan adapliz:os. La ven taja de los algor itmos adap t ivos consisle en que ellos no slo nos liurau de la acumula-cin prr. li rninar de datos estadsticos, sino que se t ransform an , respondiendo a la variacin de la situa-c in . E11 l a medida en que se acumula la experiencia tal algorit mo se mejora gradualm ente, lo mismo que el homh rn apnnde de sus errores1) .

Ahol'(lemos, aho ra, el caso ms d ifcil y desagrad a-ble, el b) c1H111dn los fac tores indepe11cl ientes s uo poseen Lo Lalrnent e las carac lerslicas prohah ilslicas; con otras palabras, cuando es posib le considerarlos aleatorios en el sen lido com n do la palabra.

- Cmo!)- p uede pregun t.ar el lector. -- Acaso cada indetermin ac in no es una casualidad?

No, respond emos, es mejor no confund ir estos con-cep lo' . Ac lara1nos e l hech o: en la t eora de l as pro-

1) El Jt.ctor ser io y b ien prrpa rado ma tc1111tica111ente puede familiarizarse con los algori tmos adapti vos en el libro [31] . '-05 15

40

' ,, )

' '

l l J-1 il f , " ~!i ~i 1 ,, . GJ

i1_ ,1

:_11,. ' .Jlp ;11

~] I~ >Jt !'~ i!~;

1i:r i~

~ 11,r..

~:-:

8

hahiiicimies por trmino fenmeno nlentodo se fi-tiende un fenmeno referente n la clase de los repeti-dos y, sobre todo, que posean la propiedad de estabili-dad estadstica. E11 el caso de repetirse Jos ensayos si-milares, cuyo resultado es aleatorio, sus caractersti-cas medias tienden a estabilizarse. Las frecuencias de los sucesos se aproximan a sus probabilidades, las me-dias aritmticas a las esperanzas matem6 ticas. Cuando tiramos reiteradamente una. moneda Jn frecuencia de aparicin del escudo se estabiliza gradualmente, deja de ser aleatoria; si un mismo cuerpo so pesa repetidas veces en la balanza de precisin, el resultado modio deja de oscilar, se iguala. Es un ejemplo do indetermina-cin estocstica, de buena calidad.

Sin embargo, existen indeterminaciones n o estocs-ticas las que denominaremos convencionalmente como indeterminacin mala. No obstante que los factores s se desconocen de antemano, no tiene sentido hablar de sus leyes de distribucin o de otras caractersti-cas probabilsticas.

Citemos un ejemplo: supongamos que se planifica cierta operacin comercial industrinl cuyo xito de-pende del largo s de las faldas que vestirn las muje-res dentro de dos aos. Una distribucin de las proba-bilidades para la magnitud s no puede obtenerse, en un principio, de datos estadsticos. Incluso, si examinamos una enorme cantidad de ensayos (aos) a partir de aquellos aos remotos, cuando las mujeres se pusieron por primera vez las faldas y fijamos una magnitud para cada ao, es poco probable que esto nos ayude a p l'O-nosticar. La distribucin probabilstica de la magni-tud s simplemente no existe, ya que no existe nn co11-

,j11nto de ensayos similares que confiornn a dicha mag-nitud la estabilidad debida. ' Nos encout.ramos con un

' caso de indeterminacin mala. Cmo actuar en tales casos? Tal vez negarse a

1 50

~~i#M.., ..

u tilizar en absoluto los mtoc1os matemticos y tomar una solucin de manera voluntariosa? No, no vale la pena de actuar as. Los clculos preliminares p ueden prestar cierta utilidad incluso en condiciones tan p-simas.

Reflexio11emos sobre estn asunto. Supongamos que se escoge u11a solucin x en cier ta operacin('), cuyas condiciones contienen

probiemas directos de la investigacin de operaciones para distintas condiciones ~ y distintas variantes de solucin x, l puede valorar las partes dbiles y fuertes de cada variante y hacer la eleccin, basndose en sto. Con este fin no es obligatorio (aunque a veces es curioso) saber un ptimo convencional exacto para cada conjunto de las condiciones ~. En este caso los mtodos matemticos variacionales se hallan en el ltimo lugar.

Destaquemos otra funcin til ms de los clculos preliminares matemticos en los problemas con una indeterminacin mala; estos ayudan a desechar de antemano aquellas soluciones x E X que en cuales-quiera cond.iciones ~ ceden ante las otras soluciones, es decir, no pueden competir con ellas. En una serie de casos esto ayuda a reducir esencialmente un conjunto X, a veces reducirlo a una pequea cantidad de varian-tes que pueden ser fcilmente examinados y valorados por el hombre en busca de un compromiso acertado.

Al abordar los problemas de la investigacin de operaciones con una indeterminacin mala es siempre til hacer chocar en las discusiones los diversos enfo-ques y puntos de vista. Entre los lt.irnos es preciso hacer destacar uno, usado con frecuencia debido a su determinacin matemtica, que puede ser denominado posicin de pesimismo extremo. Esta se reduce a que, adoptando la solucin en condiciones de una indeter-minacin mala, es siemprn necesario contar con lo peor y adoptar tal solucin que ofrezca el mximo efecto ll condiciones sumamente peorns. Si en estas cond.i-ciones obtenemos una ganancia de W = W, entonces

' es posible garantizar que en cualquiera de las otras, la ganancia no sea inferior (principio de resultado garantizado). Este enfoque es atrayont debido a que

1 permite plantear, precisamente, un prohlmna de opti-mizacin y posibilita resolverlo, utilizando mtodos

52

matmntcos corrnctos. Pero dista de ser justificado n tods los casos. La esfera de su aplicacin abarca por preferencia las llamadas situaciones de conflicto, cuyas condiciones dependen de una persona que acta conscientemente (enemigo razonable) y responde a cualquiera solucin nuestra de la peor manera para nosotros1). En situaciones ms neutrales el pdncipio de ganancia garantizada no resulta el nico posible, pero pueiln examinarse paralelamente con los dms. Utiliziindolo, 110 hay que olvidar qu este punto de vista es extremo y permite escoger slo una solucin muy aproximada, de cautiila excesiva, que a veces puede resultar irrazonable. Imagnense, por ejemplo, un jefe militar que toma todas las decisiones partiendo do la hiptesis de que su enemigo es extraordinaria-mente inteligente, astuto, hbil y responde inmediata-mente a cadal accin de la peor manera para el jefe. Es poco probable que a tal jefe militar le acompae el xito! Por el contrario, en cualquier situacin con-creta es necesario adivinar, cales son los puntos dbi-les del enemigo y tratar de engaarle. Tanto menos oportuno es el enfoque extremadameul pesimista en situaciones, donde a la parte que toma la decisin, no se le opone ninguna fuerza enemiga. El optimismo ra-zonable siempre debe corregir los clculos basados en el punto 1le vista del pesimismo extremo. No con-viene compartir el punto de vista op11esto, d opti-mismo extremo o gallardo, pero hace falta correr, hasta cierlo pnnto, el riesgo, cuando se adopta una solucin. No cabe tambin olvidar qu toda solucin adoptada en condiciones de mala indelcnninacin es obliga toriamen le u 11 a sol ncin mala y no vale la pena argumentarla co11 ayuda de clculos detallados y mi-

1) En el capl1d.o 8 se describe ms detnlladarnentcsobre los diferl'ntes mtodos de elecci11 de In solucin en condiciones de indeler111 u acin.

53

~

t l '

111 11 l l! l

11! fl 1i '1

tf

t.'. I l'i ,1 ;:j l. 1, .,

,, 11 ' ~ '!; 1rn

vuciosos. Ms bien conviene reflexionar de dnde sera posible obtener los datos necesarios. A esle respeclo, todos los procedimientos son admisibles, si son capaces de esclarecer la situacin.

Con relacin a esto conviene mencionar un mtodo bastante original que, sin embargo, no se usa amplia-mente entre los matemticos puros, no obslaute es til y en algunos casos es el nico posible. Se trata del mtodo de apreciaciones de peritos. Se utiliza frecuente-mente en los problemas vinculados con el pronstico en las condiciones de mala indeterminacin (por ejem-plo, en la futurologa). En trminos generales , la idea del mtodo se reduce a lo siguiente: se rene un grupo de peritos competentes en una materia determinada, y se propone que cada uno responda a una cuestin determinada (por ejemplo , indique un mom ento cuando se haga tal o cual descubrimiento o so aprecie una pl'o-babilidad de tal o cual sucrso). A c011 li11uaci11, los datos obtenidos se elaboran del mismo modo que el material estadstico. Los resultados de la elaboracin ciertamente mantienen un carcter subjetivo, pero en

l)lenor medjda que si la opinin fuera expuesta por un slo perito (ms ven cuatro ojos que dos). Tal gnero de apreciaciones por parte de los peritos para condicio-nes desconocidas pueden ser aplicadas tambin para resolver los problemas de la investigacin de ;operacio-nes con 1111a indeterminacin ltlaln. Cada 11110 de Jos peritos aprecia a simple vista el grado de verosimili-tud de distintas variantes de las condiciones s adjudi-ctndolas determinadas probabilidades s11bjef.ivas. Pese al carcter subjetivo de las apreciaciones h echas por cada perito, la apreciacin mediada de todo el grupo permite obtener algo ms objet ivo y provechoso (a pro-psito, la diferencia de las apreciacio11cs de dierentes peritos no es tan considerable como se poda esperar). iAs pues, un problema con uni indeterminacin mala

54

~

so reduce a un p roblema es tocs tico habitual. E s cierto que no .so deLe coHfiar, por completo, en los resul tados obtenidos, pero j uuto con o tros resultados d er ivados de otros puntos de vista, ellos pueden facili tar l a elec-cin do la solucin 1).

Por ltim o, h agamos una observacin general. Al argumentar la decisin en condic iones de indetermina-cin, a pesar de todo , el elemento de inde terminacin, de conjetura, siempre se conserva. Por lo t anto, no se puc~de plantear a l a precisi11

.Desgraciadamente en la prctica tales problemas, cuyos criterios de apreciacin estn determinados unvoca-mente por la orientacin hacia 1111a finalidad de la operacin, no se encuentran tan frecue11temente y pre-feriblemente los hallamos al examinar las actividades de poca envergadura e importancia. Cuando se trata de las operaciones compleja

y otros, en cambio, minimizarlos (para salvar la cabrn y la col).

Se pregunta, es posible encontrar una solucin que satisfaga todos los requisitos a la vez? Hesponda-mos con toda franqueza que no. Una solucin que ma-ximiza un determinado ndice no es capaz, como regla

! general, de maximizar ni minimizar 11ingn otro. Por esta razn a menudo se plantea obtener un efecto m-ximo con gastos mnimos, lo que representa nada ms que una frase que debe desecharse al efectuar un an-lisis 'cien tfficb.

No obstante, cmo actuar si es necesario valorar una eficiencia de operacin empleando varios ndices?

Las personas que entienden'poco de la investigacin : de operaciones, de ordinario, 'tratan de reducir prema-i turamente el problema de criterios mltiples al de uno solo, es decir, componen lina funcin cualquiera partiendo de todos los ndices y la tratan como un ndice generalizado que permita optimizar la solu-cin. Frecuentemente tal ndice generalizado tiene la forma de un quebrado cuyo numerador contiene todas las magnitudes que es deseable aumentar y el denomi-nador, las magnitudes cuyo aumento no es deseable. Por ejemplo, la productividad y ganancia se encuen-tran en el numerador, en tanto que el tiempo invertido en el cumplimiento y los gastos, en el denominador, ele. ' Tal modo de agrupar varios ndices en uno 110 puede ser recome11dado por los siguientes motivos: ste se basa en la admisin implcita de que la insuficiellcia en un ndice siempre puede compensarse a cuenta de otro; por ejemplo, la escasa productividad, a cuenta del bajo costo, etc., lo que, como regla general, resulta incorrecto.

Recordemos el criterio de apreciacin del hombre ofrecido por Len Tolstoy casi en broma, casi en serio

~ace mucho tiempo. Este representa un quebrado cuyo

?8

numerador contie1Je los verdaderos mritos del hombre y el de11omi11ador, en cambio, la opinin del hombre acercad e s mismo. A primera vis ta dicho enfoque pare-ce lgico. Pero imaginmo11os un hombre que no tiene mritos id presuncin. De actrnrdo con el criterio de Tolsloy tal hombro deber:1 poseer cualidades de un valor ilimilado, lo que parece absolutamente absurdo ...

A tales concl usioncs paradgicas se puede llegar (y con frecuencia se llega) como resultado de utilizar el ndic1i en forma de un quebrado que en el nomina-dor contiene tod) lo que est bailando y en el denomi-nador, lo que est6 llorando.

A menudo se utiliza otro procedimiento, un poco ms complicado, para componer el ndice de eficacia generalizado. Este represeuta 1111a snma ponderada de los ndices de eficacia parciales en Ja cual cada uno de ellos W; forrna parte co11 cierto peso a1, que refleja su importancia:

W = a1W1 + a 2W2 + . . . (G.1) (para los ndices que se aumentan los pesos se cogen positivos y para los que se disminuyen, negativos).

Si los pesos a 1, a 2 , se asignan arbitrariamente este procedimiento no es mejor que el anterior (a no ser por el criterio generalizado que no se convierte en el infinito). Sus partidarios consiro, al parecer, los coeficientes de pesm1, con los cuales entran en elclculoJosdistintosndices. no son pernrnHentes, sino que varan segn la si tu a~ cin.

Aclaremos esta conclusin, cita11do u11 ejemplo ele-mental. Un hombre sale de casa para dirigirse al tra-bajo, teme 11egar tarde y razona sobre el medio de transporte que debe u ti 1 izar. E 1 tranva circula frecuen-

59

1 11 , , j f ;

!tU ~ I 11

II 11 ;j~

~ , , tn

~ ~ le

" fo.~

l r d l 1h .~ R [ ~

" i

!\ i ,.

1~

'~. :l.. : . . l l'

: !~

temente, pero lleva mucho tiempo; el autobs circula ms rpidamente, pern con grandes intervalos. Por

1 supuesto, se puede tomar taxi, pero saldr caro. Hay ' otra solucin: cubrir una parte del viaje en metro y,

luego, tomar un taxi. Pero en la parada de taxis puede 1 no haber automviles, y si se va a pie do la estacin del metro al trabajo, se corro el riesgo de llegar ms ' Larde que en el caso de tomar el autobs. ,Qu dcci-. sin tomar?

Es un problema tpico (a sabiendas simplificado) de la investigacin de operaciones con dos criterios (ndices). El primero es el promcd io de tiempo

sea, ehonlrar para cada solucin x 1os valores

eficientes es miis evidente que el conjunto X. E11 cuan-fo a la eleccin definitiva de la solucin, sta sigue siendo una prerrogativa del hombre. Slo el hombre

1 con su impoderaLle habilidad de resolver problemas 110 ' formales y tomar decisiones llamadas sol11cio11es do compromiso (que no son rigurosamente ptimas, sino

' aceptables partiendo de una serie de criterios) puede asumir la responsabilidad por la eleccin definitiva.

Sin embargo, el mismo procedimiento

tnizar W3 , etc. Tal procedlrniento 11t,ilizado para corn-poner la solucin de compromiso es bueno, ya que per-mite determinar de inmediato a cuenta de qu con-cesin en un ll(lice se adq uiern la ganancia en el otro y cul es la magnitud de esta ganancia.

De un modo o de otro, el problema de argumentaci11 de la solucin utilizando varios ud ices, cualquiera que sea su planteamiento, no queda determinado del todo. La eleccin definitiva de Ja sol11ci11 siempre se determina por la accin voluntariosa del jefe (as se puede denominar convencio11almen Le la persona res-ponsable de la eleccin). La tarea del i11vestigador con-siste en ofrecer al jefe los datos que le permitan liacer eleccin, tomando en consideracin las ventajas e in-convenientes de cada variante de la solucin y no a ciegas1).

* * *

Para concluir toquemos en breve el llamado enfo-que sistemtico de los problemas de eleccin de so-luciones.

En la actualidad debido a los volmenes de operacio-nes crecientes y a la complejidad de stas se necesita resolver cada vez con ms frecuencia problemas de direccin optimizada de los llamados sistemas com-plejos que incluyen gran cantidad de elementos y sub-sistemas y que se organizan, de ordinario, segn el principio de jerarqua. Por ejemplo, cierta rama de la economa incluye empresas especializadas relativa-mente independientes, las que a su vez tienen subordi-nadas unidades de produccin (fbricas, plantas); en cada unidad de produccin estn incluidas secciones,

1 ) Al lector que manifieste inters por los problemas de varios criterios le recomendamos l lectura de manuales especia-les (3).

li6

talleres, etc. Optimizando (desde el p1rnto de vista de tal

. mismo tiempo, de acuerdo a los intereses del eslabn de categora superior y del sistema en conjunto.

Ciertamente que es ms fcil decirlo que hacerlo. La teora matemtica de los grandes sistemas de jerar-qua se encuentra hoy en da slo en vas de elabora-cin. Se crean mtodos matemticos destinados a descri-bir tales sistemas, se elaboran procedimientos ele des-membramiento de los grandes sistemas en pequeos elementos, cuyo estudio es ms fcil, pero hasta ahora no existen mtodos eficientes de direccin de tales sistemas. En la prctica el empleo del enfoque sisle-m tico en la investigacin de operaciones se red uco hasta el momento a que cada eslabn cuyo funciona-miento se optimiza es til analizarlo como parte de otro sistema ms extenso y, luego, determinar de qu mo(lo el funcionamiento de dicho eslabn influye en el trabajo del ltimo. '

Captulo 111

Programacin lineal

7. Problemas de la programacin lineal En los captulos anteriores nos hemos dedicado slo

a la metodologa de la investigacin de operaciones, es decir, a la clasificacin do problemas, enfoques de su solucin, etc .... , dejando aparte los mtodos matem-ticos. En este captulo y en los posteriores examinare-mos brevemente algunos mtodos matemticos utili-zados ampliamente en la investigacin de operaciones. No entraremos a hacer un anlisis detallado de estos mtodos (pues este libro no da la posibilidad de apren-der a aplicarlos); concentraremos la atencin en sus principios fundamentales.

Anteriormente hemos analizado los problemas ms sencillos en los cuales la orientacin hacia una finali-dad de la operacin determina explcitamente la elec-cin de un ndice de eficacia (funcin objetiva) W, en tanto que las condiciones se conocen de antemano (caso determinado). En este caso, el ndice de eficacia depende slo de los grupos de parmetros: de las condi-ciones programadas a y de los elementos de solucin x, es decir,

W = W (a, x). lJ

1 i : 1 ' 1

1 ! 1 t l t

:.1 ~ ~ ij ' i

,1 ,~

u ' 11 ll t.J'. ~j j i 'I

.,~i!J.lW.ti~~-~IS:ti~@@;st'lil'flY'::,'ll' '!J'.lJ !'iJ!lD!f:~C:'.'?:1.~t''.SL'.~;:?I"'.:..,.' "!" :::.-,. ;g;, 1 -::-

Recordemos que entre las condicio11es dad as a fi-guran las limitaciones introducidas on los elementos de solucin. Supongamos que la soluciu x representa un conjunto den elementos de la solucin x1, x 2 , .. , xn, o sea, un vector n-dirnonsional:

X = (x, X2, ' Xn) Se requiere hallar tales valores x 1 , :i: 2 , , x"

que maximicen o minimiceJJ la magnitud W (a mbas palabras en las matemticas se renen bajo el trmino comn extremo).

Los problemas destinados a hallar los valores de los parmetros que aseguran el extremo de la funcin on presencia de limitaciones, sobrepuestas a los argumen-tos, llevan la denominain comn de problemas de programacin matemtica1).

Las dificultades que surgen en la solucin de los problemas de programacin matemtica dependen de: a) la forma de dependencia funcional que une a W con los elementos de solucin, b) la dimensin del problema, a saber, de la cantidad de elementos de so-lucin x1, x 2 , , Xn, c) do la forma y cantidad de limitaciones impuestas a los elementos de solucin.

Entl:e los problemas de programacin matemtica los ms sencillos (y mejor estudiados) son los proble-

' mas denominados de programacin lineal. La peculiari-, dad de estos problemas consiste en que: a) el' ndice do eficacia (funcin ele finalidad) W depende linealmente de los elementos de solucin x1 , x 2 , , .xn y b) las limitaciones impuestas a los elementos de solucin tienen la forma de igualdades o desigualdades lineales respecto a x1; x 2 , , xn.

Tales problemas se encuentra11 con frecuencia en la prctica, por ejemplo, cuando se resuelven proble-

1) La palabra programacin est cogida de la li1 era tura 1extranjera y significa siJnple.rnmte 1

T11bla 7.1

Elementos

Producto

1 hidratos de

1 protenas carbono grasas

'

Pi 1

u 1

u 1

u 1

1

1 1 1 1

P2 21 22 2a 1

1 1 1

! 1 1 Pa a1 a2 as i 1

P, 1

a41 1

a42 1

a43

Se requiere componer tal racin alimenticia (es decir, designar la cantidad de productos que la inte-gran P 1 , P 2 , P 3 , P 4), que asegure las condiciones rela-tivas a las protenas, hidratos de carbono y grasas y, al mismo tiempo, el costo de la racin sea mnimo.

Compongamos un modelo matemtico (muy sen-cillo de hacer en el caso dado). Designemos por x1 , x 2 , x8 , x 4 las cantidades de productos P 1, P 2 , P3 , P 4 que integran la racin. El ndice de eficacia a minimizar es el costo de la racin (de