RESUMEN PROGRAMA ACADEMICO 2018-2019-1bct. ?· 1 Plan 2010 ASIGNATURA BIOMÉDICA Biología Celular e…
1BCT-Ejercicios_Geometria_Analitica_Resueltos.pdf
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1
Geometra Analtica
Ejerc ic io n 1.-
a
Averigua el punto simtrico de A 5, 1) con respecto a B4, 2).
b
Halla el punto medio del segmento de extremos A 5, 1) y B4, 2).
Ejerc ic io n 2.-
a
Halla el punto medio del segmento cuyos extremos son A (2, 5) con respecto al punto B(3, 2).
b Halla el simtrico de A (2, 5) con respecto al punto C(1, 4).
Ejerc ic io n 3.-
a Halla el punto medio del segmento de extremos P3, 2) y Q1, 5).
b Halla el simtrico del punto P3, 2) con respecto a Q1, 5).
Ejerc ic io n 4.-
Considera los puntos A 1, 3), B2, 6) y C x, y). Halla los valores de x e y para que Csea:
a
El punto medio del segmento de extremos A y B.
b
El simtrico de A con respecto a B.
Ejerc ic io n 5.-
Dados los puntos A (2, 1), B3, 4) y C0, 8):
a Halla el punto medio del segmento de extremos A y B.b Halla el simtrico de B con respecto a C.
Ejerc ic io n 6.-
El punto medio del segmento AB es M(2, 1). Halla las coordenadas de A ,
sabiendo que B(3, 2).
Ejerc ic io n 7.-
Dados los puntos A (2, 3), B(1, 4) y C(x, 3), determina el valor de x para queA , B y C estn alineados.
Ejerc ic io n 8.-
Halla las coordenadas del vrtice D del paralelogramo ABCD, sabiendo que
A (1, 2), B(3, 1) y C(1, 3).
Ejerc icio n 9.-
Halla las coordenadas del baricentro del tringulo de vrtices A (2, 3), B(4, 1)
y C(1, 2).
-
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2
Ejerc ic io n 10.-
Averigua las coordenadas del punto P, que divide al segmento de extremos
.PBAPBA 3quetalespartesdosen3)(1,y4)(2,
Ejerc ic io n 11.-
Escribe las ecuaciones paramtricas de la recta que pasa por el punto
P(3, 1) y es paralela a la recta:
ty
txs
4
32:
Ejerc icio n 12.-
Halla las ecuaciones paramtricas de la recta que pasa por los puntos
A (2, 3) y B(1, 4).
Ejerc ic io n 13.-
Halla las ecuaciones paramtricas de la recta paralela a 2xy+ 3 = 0 y quepasa por el punto P(4, 3).
Ejerc ic io n 14.-
Escribe las ecuaciones paramtricas de la recta que pasa por P(2, 1) y es
perpendicular a la recta de ecuacin 3x2y+ 1 = 0.
Ejerc ic io n 15.-
Escribe las ecuaciones paramtricas de la recta que pasa por los puntos
P(1, 3) y Q(2, 8).
Ejerc ic io n 16.-
Dadas las rectas:
ty
tx
sty
tx
r 62
31
:22
1
:
averigua su posicin relativa. Si se cortan, di cul es el punto de corte:
Ejerc ic io n 17.-
Averigua la posicin relativa de las rectas (si se cortan, averigua en qu punto):
ty
txs
ty
txr
21
83:
2
42:
-
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3
Ejerc ic io n 18.-
Determina la posicin relativa de estas rectas. Si se cortan, di en qu punto:
ty
txx
ty
txr
3
5:
32
21:
Ejerc ic io n 19.-
Dadas las rectas:
ty
txs
ty
txr
82
24:
46
2:
averigua su posicin relativa (si se cortan, di en qu punto).
Ejerc ic io n 20.-
Determina la posicin relativa de las siguientes rectas. Si se cortan, averigua en qu punto:
ty
txs
ty
txr
4
35:
21
4:
Ejerc ic io n 21.-
Averigua el ngulo formado por las rectas:
ty
txs
ty
txr
21
2:
31
42:
Ejerc ic io n 22.-
Determina el ngulo que forman las rectas:
ty
tx:s
ty
txr
21
2
4
31:
Ejerc ic io n 23.-
Dadas las rectas r y s, determina el ngulo que forman:
ty
txs
ty
txr
5
24:
44
22:
Ejerc ic io n 24.-
Halla el ngulo que forman las rectas:
ty
tx:s
ty
txr
61
41
24
32:
-
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4
Ejerc ic io n 25.-
Averigua si estas dos rectas son perpendiculares. Si no lo fueran, halla el ngulo que forman:
ty
txs
ty
txr
62
43:
31
21:
Ejerc ic io n 26.-
Escribe la ecuacin implcita de la recta que pasa por los puntos
P(3, 1) y Q(2, 4).
Solucin:
Ejerc ic io n 27.-
Halla la ecuacin implcita de la recta que pasa por P(2, 5) y es
.31,vectoralparalela
v
Ejerc ic io n 28.-
Escribe la ecuacin implcita de la recta que tiene pendiente 2 y pasa por el
punto P(1, 4).
Ejerc ic io n 29.-
Averigua la ecuacin implcita de la recta que pasa por el punto
P(2, 2) y cuya pendiente es m= 3.
Ejerc ic io n 30.-
Halla la ecuacin implcita de la recta cuyas ecuaciones paramtricas son:
ty
txr
31
23:
Ejerc ic io n 31.-
Halla la ecuacin implcita de la recta perpendicular a 2x+ y3 = 0que pasa por el punto P(1, 1).
Ejerc ic io n 32.-
Cul ha de ser el valor de k para que estas dos rectas sean paralelas?
x+ 3y2 = 0 kx+ 2y+ 3 = 0
Ejerc ic io n 33.-
Escribe la ecuacin implcita de la recta que pasa por P(1, 2) y es paralela a3xy+ 4 = 0.
-
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5
Ejerc ic io n 34.-
Halla el valor de k para que las rectas
2x3y+ 4 = 0 3x+ ky1 = 0
sean perpendiculares.
Ejerc ic io n 35.-
Dadas las rectas:
01:034: ykxsyxr
halla el valor de k para que r y s sean perpendiculares.
Ejerc ic io n 36.-
Calcula la distancia del punto P(3, 5) a la recta r: y= 2x3.
Ejerc ic io n 37.-
Halla la distancia de P a Q y de P a r, siendo:
P(1, 1), Q(2, 3) y r: 3xy+ 6 = 0
Ejerc ic io n 38.-
Dados los puntos P(3, 2) y Q(2, 4), y la recta r:2x+ y3 = 0; calcula la distancia:
a) Entre P y Q.b) De P a r.
Ejerc ic io n 39.-
Halla la distancia del punto P(2, 1) a la recta:
ty
tx
r 41
23
:
Ejerc ic io n 40.-
Halla el valor de k para que la distancia del punto P(2, k) a la recta
.2sea03: yxr
Ejerc icio n 41.-
Halla las coordenadas del punto simtrico de P(3, 4) respecto a la recta
r: 3x+ y+ 2 = 0.
-
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6
Ejerc ic io n 42.-
Calcula los vrtices y el rea del tringulo cuyos lados estn sobre las rectas:
0:0932:02: xtyxsyxr
Ejerc ic io n 43.-
Halla el rea del paralelogramo de vrtices A (1, 1), B(5, 2), C(4, 4) y D(0, 3.
Ejerc ic io n 44.-
Dado el tringulo de vrtices A (1, 1), B(1, 4) y C(5, 2), halla las ecuaciones de sus tres medianas y
calcula el baricentro punto de interseccin de las medianas.
Ejerc ic io n 45.-
Halla el rea del tringulo de vrtices:
A (3, 1) B(6, 2) C(0, 4)
Soluciones Geometra analtica
Ejerc ic io n 1.-
a Averigua el punto simtrico de A 5, 1) con respecto a B4, 2).
b
Halla el punto medio del segmento de extremos A 5, 1) y B4, 2).
Solucin:
aLlamamos A'x, y) al simtrico de A con respecto a B. El punto B es el punto medio del segmento que une Acon A'. Entonces:
3,3'3
3
22
1
42
5
Ayx
y
x
bEl punto medio es:
-
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7
2
3,
2
9
2
21,
2
45M
Ejerc ic io n 2.-
a Halla el punto medio del segmento cuyos extremos son A (2, 5) con respecto al punto B(3, 2).
b Halla el simtrico de A (2, 5) con respecto al punto C(1, 4).
Solucin:
aEl punto medio es:
2
3,
2
1
2
25,
2
32M
bLlamamos A'(x, y) al simtrico de A con respecto a C. Entonces C es el punto medio del segmento que uneA con A'. Por tanto:
3,0'3
0
42
5
12
2
Ay
x
y
x
Ejerc ic io n 3.-
a Halla el punto medio del segmento de extremos P3, 2) y Q1, 5).
b
Halla el simtrico del punto P3, 2) con respecto a Q1, 5).
Solucin:
aEl punto medio es:
2
31
2
52
2
13,,M
bLlamamos Px, y) al simtrico de P con respecto a Q. Q es el punto medio del segmento que une P y P.Entonces:
12,5'125
22
512
3
Pyy
xx
Ejerc ic io n 4.-
Considera los puntos A 1, 3), B2, 6) y C x, y). Halla los valores de x e y para que Csea:
a El punto medio del segmento de extremos A y B.
b
El simtrico de A con respecto a B.
Solucin:
aEl punto medio es:
-
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8
2
92
1
,2
9,
2
1
2
63,
2
21
y
xyx
bB ser el punto medio del segmento que une A y C, entonces:
959
5
62
3
22
1
622
3
2
1
,Cy
x
y
x
,
y
,
x
Ejerc ic io n 5.-
Dados los puntos A (2, 1), B3, 4) y C0, 8):
a Halla el punto medio del segmento de extremos A y B.
b Halla el simtrico de B con respecto a C.
Solucin:
aEl punto medio es:
2
3,
2
1
2
41,
2
32M
bLlamamos B'(x, y) al simtrico de B con respecto a C. Si B' es simtrico de B respecto de C, tiene quecumplirse que:
'CBBC
20
3
128
3:Entonces
8,0'
12,3
yx
yx
yxCB
BC
Por tanto:
B'3, 20)
Ejerc ic io n 6.-
El punto medio del segmento AB es M(2, 1). Halla las coordenadas de A ,sabiendo que B(3, 2).
Solucin:
-
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9
Si llamamos A(x, y), tenemos que:
:decires,MBAM
3,51,2
12,231,2
yxyx
4,7:tantoPor431
752
Ayyxx
Ejerc ic io n 7.-
Dados los puntos A (2, 3), B(1, 4) y C(x, 3), determina el valor de x para queA , B y C estn alineados.
Solucin:
:alesproporcionserdehandeydescoordenadalasalineados,estnpuntostreslosquePara BCAB
7
47731
71
31,1
7,3
xx
xxBCAB
Ejerc ic io n 8.-
Halla las coordenadas del vrtice D del paralelogramo ABCD, sabiendo que
A (1, 2), B(3, 1) y C(1, 3).
Solucin:
Llamamos D(x, y) al cuarto vrtice.Ha de cumplirse que:
:decires,DCAB
033
314
31
34
yy
xx
y,xDC
,AB
Por tanto:
D(3, 0)
-
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10
Ejerc icio n 9.-
Halla las coordenadas del baricentro del tringulo de vrtices A (2, 3), B(4, 1)
y C(1, 2).
Solucin:
Llamamos G(x, y) al baricentro y M(a, b) al punto medio del lado AC. Sabemos que:
BGGM2 Hallamos M:
2
1
2
1
2
23
2
12,,M
Entonces:
1,421,21
1,4
2
1,
2
12
1,42
1,
2
1
yxyx
yxyx
yxBG
yxGM
030121
3
535421
yyyy
xxxx
El baricentro es:
0,3
5G
Ejerc ic io n 10.-
Averigua las coordenadas del punto P, que divide al segmento de extremos
.PBAPBA 3quetalespartesdosen3)(1,y4)(2,
Solucin:
Si llamamos (x, y) a las coordenadas de P, se ha de cumplir que:
:decires,3PBAP
-
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11
y,xy,x
y,xy,x
y,xPB
y,xAP
393342
31342
31
42
4
554394
4
114332
yyyy
xxxx
Por tanto:
4
5
4
1,P
Ejerc ic io n 11.-
Escribe las ecuaciones paramtricas de la recta que pasa por el punto
P(3, 1) y es paralela a la recta:
ty
txs
4
32:
Solucin:
tytx
,,OP
1
33
:asparamtricEcuaciones
13:direccinVector
13:posicinVector
Ejerc icio n 12.-
Halla las ecuaciones paramtricas de la recta que pasa por los puntos
A (2, 3) y B(1, 4).
Solucin:
tytx
,AB,OA
73
32
:asparamtricEcuaciones
73:direccinVector
32:posicinVector
Ejerc ic io n 13.-
Halla las ecuaciones paramtricas de la recta paralela a 2xy+ 3 = 0 y quepasa por el punto P(4, 3).
-
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12
Solucin:
ty
tx
.,,yx,
,OP
23
4
:asparamtricEcuaciones
21vectoreldireccinvectorcomo
tomarpodemostanto,por032alarperpendicues12vectorEl:direccinVector
34:posicinVector
Ejerc ic io n 14.-
Escribe las ecuaciones paramtricas de la recta que pasa por P(2, 1) y es
perpendicular a la recta de ecuacin 3x2y+ 1 = 0.
Solucin:
tytx
yx,
,OP
21
32
:sonasparamtricecuacioneslastanto,Por0123alarperpendicues23:direccinVector
12:posicinVector
Ejerc ic io n 15.-
Escribe las ecuaciones paramtricas de la recta que pasa por los puntos
P(1, 3) y Q(2, 8).
Solucin:
ty
tx
,PQ
,OP
53
1
:asparamtricEcuaciones
51:direccinVector
31:posicinVector
Ejerc ic io n 16.-
Dadas las rectas:
ty
txs
ty
txr
62
31:
22
1:
averigua su posicin relativa. Si se cortan, di cul es el punto de corte:
Solucin:
Cambiamos el parmetro en la recta s:
-
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13
ky
kxs
ty
txr
62
31:
22
1:
Igualamos:
kkkkkt
ktkt
0062642623222
32
6222
311
Infinitas soluciones Se trata de la misma recta; r y s coinciden.
Ejerc ic io n 17.-
Averigua la posicin relativa de las rectas (si se cortan, averigua en qu punto):
ty
txs
ty
txr
21
83:
2
42:
Solucin:
Cambiamos el parmetro en la recta s:
y
kxs
ty
txr
21
83:
2
42:
Igualamos:
ktktkt
ktkt
2121
841
212
8342
kkkkk 05884182141
No tiene solucin Las rectas son paralelas.
Ejerc ic io n 18.-
Determina la posicin relativa de estas rectas. Si se cortan, di en qu punto:
ty
txx
ty
txr
3
5:
32
21:
Solucin:
Cambiamos el parmetro en la recta s:
ky
kxs
ty
txr
3
5:
32
21:
Igualamos:
224
1
24332
24
332
521
kt
tttk
ktkt
Sustituyendo t= 1 en las ecuaciones de r (o bien k= 2 en las de s), obtenemos el punto de corte de las dosrectas:
-
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14
.3,-1puntoelencortanserectasdosLas132
321
yx
Ejerc ic io n 19.-
Dadas las rectas:
ty
txs
ty
txr
82
24:
46
2:
averigua su posicin relativa (si se cortan, di en qu punto).
Solucin:
Cambiamos el parmetro en la recta s:
ykxs
tytxr
8224:
462:
Igualamos:
kkk
ktk
ktkt
00
82886
822246
22
8246
242
Infinitas soluciones Se trata de la misma recta; r y s coinciden.
Ejerc ic io n 20.-
Determina la posicin relativa de las siguientes rectas. Si se cortan, averigua en qu punto:
ty
txs
ty
txr
4
35:
21
4:
Solucin:
Cambiamos el parmetro en la recta s:
y
kxs
ty
txr
4
35:
21
4:
Igualamos:
23131
1
77
4621
43121
31
421
354
kt
kk
kkkk
ktkt
kt
-
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15
Sustituimos t= 2 en las ecuaciones de r (o bien, k= 1 en las de s) para obtener el punto de corte de r y s:
).3(2,puntoelencortansey341
224
sr
yx
Ejerc ic io n 21.-
Averigua el ngulo formado por las rectas:
ty
txs
ty
txr
21
2:
31
42:
Solucin:
Hallamos el ngulo que forman los vectores direccin de las dos rectas:
Vector direccin de r (4, 3)
Vector direccin de s (1, 2)
''',
,,cos 4341791790
55
2
525
64
41169
2134
Ejerc ic io n 22.-
Determina el ngulo que forman las rectas:
ty
tx:s
ty
txr
21
2
4
31:
Solucin:
Vector direccin de r (3, 1)
Vector direccin de s (1, 2)
Llamamos al ngulo que forman r y s:
''12'5281141,0
25
1
510
23
4119
2,11,3
cos
Ejerc ic io n 23.-
Dadas las rectas r y s, determina el ngulo que forman:
ty
txs
ty
txr
5
24:
44
22:
Solucin:
-
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16
Vector direccin de r (2, 4)
Vector direccin de s (2, 1)
Llamamos al ngulo que forman r y s:
900
520
44
14164
1242
,,cos
Es decir, las rectas son perpendiculares.
Ejerc ic io n 24.-
Halla el ngulo que forman las rectas:
ty
tx:s
ty
txr
61
41
24
32:
Solucin:
El ngulo que forman r y s lo podemos hallar a partir de sus vectores direccin:
Vector direccin de r (3, 2)
Vector direccin de s (4, 6)
900
5213
1212
361649
6,42,3
cos
Es decir, r y s son perpendiculares.
Ejerc ic io n 25.-
Averigua si estas dos rectas son perpendiculares. Si no lo fueran, halla el ngulo que forman:
ty
txs
ty
txr
62
43:
31
21:
Solucin:
Vector direccin de r (2, 3)
Vector direccin de s (4, 6)
Llamamos al ngulo formado:
lares).perpendicusonno(luego01
26
26
13213
26
5213
188
361694
6432
,,cos
Ejerc ic io n 26.-
Escribe la ecuacin implcita de la recta que pasa por los puntos
P(3, 1) y Q(2, 4).
Solucin:
-
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17
La pendiente de la recta es:
3
1
3
1
14
32
14
m
La ecuacin ser:
0103931331 yxxyxy
Ejerc ic io n 27.-
Halla la ecuacin implcita de la recta que pasa por P(2, 5) y es
.31,vectoralparalela
v
Solucin:
Las ecuaciones paramtricas son:
tytx
35
2
Multiplicamos por 3 la primera ecuacin y sumamos:
13
35
363
yx
ty
tx
La ecuacin implcita es 3x+ y+ 1 = 0.
Ejerc ic io n 28.-
Escribe la ecuacin implcita de la recta que tiene pendiente 2 y pasa por el
punto P(1, 4).
Solucin:
Escribimos la ecuacin puntopendiente y operamos:
062224124 yxxyxy
Ejerc ic io n 29.-
Averigua la ecuacin implcita de la recta que pasa por el punto
P(2, 2) y cuya pendiente es m= 3.
Solucin:
Escribimos la ecuacin puntopendiente y operamos:
043632232 yxxyxy
-
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Ejerc ic io n 30.-
Halla la ecuacin implcita de la recta cuyas ecuaciones paramtricas son:
ty
txr
31
23:
Solucin:
Multiplicamos por 3 la primera ecuacin y por 2 la segunda, y sumamos:
723
622
693
312
233
yx
tytx
tytx
La ecuacin implcita es 3x+ 2y+ 7 = 0.
Ejerc ic io n 31.-
Halla la ecuacin implcita de la recta perpendicular a 2x+ y3 = 0que pasa por el punto P(1, 1).
Solucin:
Obtenemos la pendiente de la recta dada:
232032 pendientexyyx
La pendiente de la perpendicular es:
2
1
2
1
La ecuacin de la recta buscada ser:
01212212
11 yxxyxy
Ejerc ic io n 32.-
Cul ha de ser el valor de k para que estas dos rectas sean paralelas?
x+ 3y2 = 0 kx+ 2y+ 3 = 0
Solucin:
Despejamos y en cada ecuacin para obtener la pendiente de cada recta:
22
3
232032
3
1
3
2
3
123023
kpendientex
kykxyykx
pendientexyxyyx
-
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Para que sean paralelas, las pendientes han de ser iguales:
3
232
23
1 kk
k
Ejerc ic io n 33.-
Escribe la ecuacin implcita de la recta que pasa por P(1, 2) y es paralela a
3xy+ 4 = 0.
Solucin:
Obtenemos la pendiente de la recta dada:
343043 pendientexyyx
La recta paralela tiene la misma pendiente; su ecuacin ser:
053332132 yxxyxy
Ejerc ic io n 34.-
Halla el valor de k para que las rectas
2x3y+ 4 = 0 3x+ ky1 = 0
sean perpendiculares.
Solucin:
Despejamos y para obtener la pendiente de cada recta:
kpendiente
kx
kyxkykyx
pendientexyxyyx
31313013
3
2
3
4
3
24230432
Para que sean perpendiculares, tiene que cumplirse:
22
3
32
13
k
k
Ejerc ic io n 35.-
Dadas las rectas:
01:034: ykxsyxr
halla el valor de k para que r y s sean perpendiculares.
-
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Solucin:
Obtenemos la pendiente de cada una de la rectas:
kpendientekxyykxpendientexyyx
101
434034
Para que r y s sean perpendiculares, ha de cumplirse que:
4
1k
Ejerc ic io n 36.-
Calcula la distancia del punto P(3, 5) a la recta r: y= 2x3.
Solucin:
Expresamos la recta en forma implcita:
032:32: yxrxyr
Por tanto:
5
514
5
14
5
356
14
3532,
rPdist
Ejerc ic io n 37.-
Halla la distancia de P a Q y de P a r, siendo:
P(1, 1), Q(2, 3) y r: 3xy+ 6 = 0
Solucin:
134923, 22 PQQPdist
5
102
10
104
10
4
10
613
19
6113,
rPdist
Ejerc ic io n 38.-
Dados los puntos P(3, 2) y Q(2, 4), y la recta r:2x+ y3 = 0; calcula la distancia:
a) Entre P y Q.b) De P a r.
Solucin:
294252,5,a) PQQPdist
55
55
5
5
5
326
14
3232,b)
rPdist
-
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Ejerc ic io n 39.-
Halla la distancia del punto P(2, 1) a la recta:
ty
txr
41
23:
Solucin:
Expresamos r en forma implcita:
1424
822
8124
412
234
yx
tytx
tytx
01424 yx
Hallamos la distancia de P a r:
265
256
20
2024
20
24
20
1428
416
141224,
rPdist
Ejerc ic io n 40.-
Halla el valor de k para que la distancia del punto P(2, k) a la recta
.2sea03: yxr
Solucin:
2522
5
11
32,
k
kkrPdist
Hay dos posibilidades:
725
325
kk
kk
Ejerc icio n 41.-
Halla las coordenadas del punto simtrico de P(3, 4) respecto a la rectar: 3x+ y+ 2 = 0.
Solucin
-
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1.) Hallamos la ecuacin de la recta, s, que es perpendicular a r y que pasa por P:
323023: pendientexyyxr
:tantoPor.3
1serdependienteLa
s
093:
312333
14:
yxs
xyxys
2.) Hallamos el punto de corte, M, entre r y s:
09233
23
093
023
xx
xy
yxyx
10
292
10
9
10
3
3100969
yx
xxx
.10
29,
10
3espuntoEl
M
3.) Si llamamos P(x, y) al simtrico de P con respecto a r, M es el punto medio entre P y
P. Por tanto:
.5
9,
5
18'esbuscadopuntoEl
5
9
10
18581040
10
29
2
4 5
18
10
3661030
10
3
2
3
P
yyy
xxx
Ejerc ic io n 42.-
Calcula los vrtices y el rea del tringulo cuyos lados estn sobre las rectas:
0:0932:02: xtyxsyxr
Solucin:
A
-
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1.Los vrtices del tringulo son los puntos de corte de las rectas:
093222
0932
02
yy
yxyx
yx
15509342 yyyy
3x
Punto B(3, 1)
2,0Punto20
02
C
yx
yx
3,0Punto30
0932A
yx
yx
2.Tomamos el lado AC como base del tringulo:
5 ACbase
3.La altura es la distancia de Ba la recta que pasa por A y por C que es el eje Y. Por tanto:
altura3
4.El rea del tringulo es:
2u5,72
15
2
35
rea
Ejerc ic io n 43.-
Halla el rea del paralelogramo de vrtices A (1, 1), B(5, 2), C(4, 4) y D(0, 3.
Solucin:
1.Tomamos como base el lado AB:
17116 ABbase
2.La altura es la distancia del vrtice C o del D a la recta que pasa por A y B. Obtengamos la ecuacin dedicha recta.
4
1
15
12
pendiente
034144141
1:
yxxyxyr
-
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17
9
17
9
161
3164,
rCdistaltura
As, el rea es:
2u917
917 alturabaserea
Ejerc ic io n 44.-
Dado el tringulo de vrtices A (1, 1), B(1, 4) y C(5, 2), halla las ecuaciones de sus tres medianas y
calcula el baricentro punto de interseccin de las medianas
.
Solucin:
1.Hallamos los puntos medios de cada lado:
2
1,2de
3,3de
2
3,0de
3
2
1
MAC
MBC
MAB
2.Hallamos las ecuaciones de las tres medianas:
La que pasa por A y M2:
14
4 pendi ente
033313: yxxyxyrecta
La que pasa por B y M3:
2
7
1
2/7
21
2/14
pendiente
01527778212
74: yxxyxyrecta
La que pasa por C y M1:
10
1
5
2/1
05
2/32
pendiente
0151052010510
12: yxxyxyrecta
3.Hallamos el baricentro como punto de corte de las medianas:
-
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3
5
9
1501590152701527
0
xxxx
yx
yx
yx
3
5,
3
5GBaricentro
Ejerc ic io n 45.-
Halla el rea del tringulo de vrtices:
A (3, 1) B(6, 2) C(0, 4)
Solucin
1.) Tomamos el lado BC como base del tringulo:
40436 BCbase
2.) La altura es la distancia de A a la recta que pasa por B y C. Hallamos la ecuacin de dicha recta:
0123:1233
14
3
1
6
2
60
24
yxrxyxy
pendiente
Por tanto:
10
12
91
1233,
rAdistaltura
3.) El rea del tringulo es:
2u12
2
10
1240
2
alturabase
rea