Introduccio a l’Algebra Lineal Matematiques

Problemes Curs 2015-2016

SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS, MATRIUS I DETERMINANTS

1. Resoleu els seguents sistemes d’equacions lineals a coeficients reals.

(a)

x+ 2y − z = 3−3y + 5z = 1

z = −1(b)

2x+ 4y − 2z = 62x+ y + 3z = 7

x+ 2y = 2

Existeix alguna relacio entre les equacions del sistema de l’apartat (a) i les equacions del sistemade l’apartat (b)?

2. Resoleu els seguents sistemes d’equacions lineals a coeficients reals pel metode de Gauss i con-testeu les preguntes.

(a)

2x− 3y + 5z − 2t = 9

5y − z + 3t = 17z − t = 3

2t = 8

(b)

3x+ 2y − 5z − 6s+ 2t = 4

z + 8s− 3t = 6s− 5t = 5

(c)

x+ 2y + 2z = 23x− 2y − z = 5

2x− 5y + 3z = −4x+ 4y + 6z = 0

(d)

x+ 5y + 4z − 13t = 33x− y + 2z + 5t = 2

2x+ 2y + 3z − 4t = 1

(e)

2x− 4y + 3z − s+ 2t = 0

3x− 6y + 5z − 2s+ 4t = 05x− 10y + 7z − 3s+ t = 0

(f)

3x+ 9y − 3z + 12t = 3

2x+ 7y − z + 9t = 04x+ 3y − 2z + 4t = 1

−2x+ 4y + z + 5t = −1

i) Que podeu dir del nombre de solucions dels sistemes (a) i (b) abans de resoldre’ls?

ii) Mirant les solucions dels sistemes (c) i (d), tenen res a veure el nombre d’equacions i incog-nites d’un sistema amb el seu nombre de solucions? I si el sistema es esglaonat?

iii) Determineu les solucions de (f) tals que x = 21. El mateix pero amb y = 1.

iv) Existeix una solucio del sistema (e) tal que s = −2? I tal que s = −2 i t = 1234? I tal ques = −2 i x = 333?

v) Construıu sistemes d’equacions amb quatre incognites de manera que siguin respectivament:incompatibles, compatibles determinats i compatibles indeterminats.

3. Escriviu les solucions dels sistemes d’equacions compatibles de l’exercici anterior identificant-hiuna solucio particular i el conjunt de solucions del sistema homogeni associat.

4. Vegeu que si un sistema a coeficients reals i amb n incognites te dues solucions diferents (queveiem com a punts d’Rn), aleshores els punts de la recta que les uneix tambe son solucio.

5. Proveu que si (α1, . . . , αn) i (2α1, . . . , 2αn) son solucions d’un sistema amb n incognites i ambcoeficients a un cos K, aleshores el sistema es homogeni.

6. Responeu si son certes o falses les afirmacions seguents (demostreu o doneu un contraexemplesegons sigui el cas):

(a) Un sistema amb mes incognites que equacions te almenys una solucio.

(b) Un sistema amb coeficients a R i mes d’una solucio en te infinites.

(c) Un sistema d’equacions homogeni sempre es compatible.

7. Calculeu els productes seguents.

i)

(3 9 −4−9 7 11

) 23−1

ii)

1 2 32 3 44 5 6

1 −13 −2−1 1

iii)

(1 23 4

)(1 0 −10 1 −1

)iv)

1 0 10 1 11 1 0

0 0 10 1 01 0 0

8. Donades les matrius

A =

(1 3 7−4 3 −5

), B =

(2 1−3 −1

), C =

(0 02 1

)feu les operacions seguents.

(a) B(CA), (b) (B + C)A, (c) C(BC)(d) (−2B)(C + 3B), (e) (BC)t, (c) BtCt

9. Decidiu si son certes o falses les formules seguents:

(AB)2 = A2B2, (A+B)2 = A2 + 2AB +B2, (A+B)(A−B) = A2 −B2,

per a tot A,B ∈M2(R). Que passa en cas que A i B commutin, es a dir, AB = BA?

10. Trobeu totes les matrius de M2(R) que commuten amb la matriu

A =

(1 −2−1 0

),

es a dir, les matrius B ∈M2(R) tals que AB = BA.

11. Donada una matriu quadrada A = (aij)i,j=1,...,n, es defineix trA =n∑

i=1aii, es a dir, la suma dels

elements de la diagonal. Proveu que si A,B ∈Mn(R), i α ∈ R, llavors

(a) tr(A+B) = trA+ trB,

(b) tr(αA) = α trA,

(c) tr(AB) = tr(BA),

(d) tr(AAt) =n∑

i=1

n∑j=1

a2ij .

12. Siguin A ∈Mm×n(R) i B ∈Mn×m(R) demostreu que (AB)t = BtAt.

13. Una matriu quadrada A es diu que es simetrica si A = At.

(a) Siguin A,B ∈ Mn(R) simetriques. Demostreu que AB es simetrica si i nomes si A i Bcommuten.

(b) Sigui A ∈Mm×n(R). Demostreu que AAt i AtA son matrius simetriques.

14. Siguin A1, . . . , Ak ∈ Mn(R) matrius quadrades qualssevol. Deduıu i demostreu la formula queexpressa la transposada del producte A1 · · ·Ak en termes del producte de les transposades de lesmatrius Ai, on i = 1, . . . , k.

15. Siguin A, B ∈ Mn(R) matrius invertibles. Demostreu que AB tambe ho es i que (AB)−1 =B−1A−1. En general, quina es la inversa del producte de k matrius invertibles (k > 1)?

16. Considereu les seguents matrius de nombres reals:

A =

1 −4 52 7 −68 11 −32

, B =

11 −3 15 213 0 −16 −11−1 12 −2 7

, C =

1 −3 −5 22 6 7 −65 1 10 −234 −8 −2 −15

,

D =

2 1 2 23 2 2 15 3 4 3−1 −1 6 1

, E =

1 0 −1 0 03 −2 −3 2 −2−1 1 1 −1 1

52 −5

2 −3 2 −112 −1

2 −1 0 1

.

(a) Esglaoneu cadascuna de les matrius per files, escriviu les matrius elementals corresponents ales transformacions elementals que feu i doneu la matriu P tal que si M es la matriu iniciali D es la matriu esglaonada, llavors PM = D.

(b) Per a cadascuna de les matrius P en l’apartat anterior, escriviu P−1 com a producte dematrius elementals. Feu el mateix per a P t.

(c) Esglaoneu cadascuna de les matrius per columnes, escriviu les matrius elementals correspo-nents a les transformacions elementals que feu i doneu la matriu Q tal que si M es la matriuinicial i D es la matriu esglaonada, llavors MQ = D.

(d) Quines seran les matrius P i Q que ens permeten esglaonar, respectivament, per files i percolumnes la matriu At?

17. Trobeu matrius invertibles P i Q tals que PMQ sigui una matriu amb zeros i uns a la diagonali zeros fora de la diagonal, per a cada matriu M (de nombres reals) seguent:

1 −1 2 32 −3 6 −1−1 2 −4 4

,

2 −5 3 7−3 3 0 −1

1 5 −7 3

,

3 −1 8 2−2 4 5 10

1 3 −6 9−6 2 3 −1

,

1 0 3 1 21 4 2 1 53 4 8 1 2

,

0 1 3 20 0 5 61 5 1 5

.

Calculeu el rang d’aquestes cinc matrius.

18. (a) Si A es una matriu m × n sobre R, demostreu que rang(A) = rang(At) on At denota lamatriu transposada de A.

(b) Suposeu que A i P son matrius sobre R de mides m×n i m×m respectivament. Demostreuque si P es invertible aleshores rang(PA) = rang(A).

19. Sigui A ∈Mm×n(R),

(a) Proveu que rang(A) = n si i nomes si el sistema homogeni d’equacions lineals A

x1...xn

= 0

te solucio unica.

(b) Proveu que rang(A) = m si i nomes si el sistema d’equacions lineals A

x1...xn

=

b1...bm

te solucio per a tots b1, . . . , bm ∈ R.

(c) Demostreu que rang(A) = m si i nomes si existeix B ∈ Mn×m(R) tal que AB = Im on Imdenota la matriu identitat m×m.

20. Trobeu els coeficients a, b i c per tal que la grafica de f(x) = ax2 + bx+ c passi pels punts (1, 2),(−1, 6) i (2, 3).

21. Discutiu els seguents sistemes d’equacions lineals amb coeficients reals segons els valors delsparametres.

(a)

2x− ay + bz = 4

x+ z = 2x+ y + z = 2

(b)

x+ y − z = 1

2x+ 3y + az = 3x+ ay + 3z = 2

(c)

x+ 2y − 3z = a

2x+ 6y − 11z = bx− 2y + 7z = c

(d)

x− 2y − az = a

2x+ (a− 4)y + (2− 2a)z = a−x+ (2 + a)y + (2a+ 1)z = 1− 3a

22. Discutiu els seguents sistemes d’equacions lineals amb coeficients reals segons els valors delsparametres a, b i c.

(a)

x+ (a− 2)y + 2z = 1

−6x+ (a+ 1)y + az = 2−3x+ (4a− 5)y + (a+ 6)z = 5a

(b)

2x+ 3y − z = a3x− y + z = b

11x+ ay + 2z = c

(c)

x+ ay + z = 1

ax+ y + (a− 1)z = ax+ y + z = a+ 1

(d)

ax+ y + bz = 2x+ ay + z = a+ 1bx+ y + az = b+ 1

(e)

3ax + 3(b− 1)y + (b+ 6)z = 2b− 1

(b− 2)y + z = 02ax + 2(b− 1)y + (b+ 4)z = 2b− 2

(f)

ax+ y + z = a2

x− y + z = 13x− y − z = 16x− y + z = 3a

23. Proveu que si ad− bc 6= 0, llavors el sistema d’equacions{ax+ by = jcx+ dy = k

te solucio unica.

24. Donats els nombres reals a, b, c, d, e amb a 6= 0, proveu que si l’equacio ax+ by = c te el mateixconjunt de solucions que l’equacio ax + dy = e, llavors les dues equacions son la mateixa. Quepassa si a = 0?

25. Siguin A,B,C ∈Mn(R). Demostreu que si C es invertible i AC = BC, aleshores A = B. Trobeumatrius A,B,C ∈M2(R) tals que C 6= 0, A 6= B i AC = BC.

26. Usant transformacions elementals, calculeu la inversa de cadascuna de les matrius seguents.

0 −11 −14 9 22 6 1

,

7 10 −1−1 7 −2

1 −3 1

,

9 8 5 34 8 3 17 8 6 52 2 2 2

.

27. Siguin A,P ∈Mn((R). Demostreu que si P es invertible, llavors det(P−1AP ) = det(A). Doneuun exemple on A 6= P−1AP .

28. Una matriu quadrada A ∈Mn(R) es diu que es antisimetrica si A = −At.

(a) Demostreu que les matrius antisimetriques de mida senar tenen determinant nul.

(b) Demostreu que per a tota matriu A ∈Mn(R), la matriu A+At es simetrica. Feu servir aixoper demostrar que tota matriu A ∈Mn(R) es pot escriure com una suma d’una matriu simetricai una matriu antisimetrica. Escriviu aquesta descomposicio per a les seguents matrius:

(0 11 0

),

(0 1−1 0

),

1 −1 0−2 2 13 0 3

29. Calculeu els determinants seguents:∣∣∣∣∣∣∣∣

a 3 0 50 b 0 21 2 c 30 0 0 d

∣∣∣∣∣∣∣∣ ,∣∣∣∣∣∣∣∣x 1 0 x0 x x 11 x x 0x 0 1 x

∣∣∣∣∣∣∣∣ ,∣∣∣∣∣∣∣∣

1 x x2 x3

2 0 0 21 0 3 45 3 0 5

∣∣∣∣∣∣∣∣ .

30. Podeu resoldre el sistema X

1 2 30 −1 70 0 8

X−1 =

0 0 00 3 17 8 2

?