Estimación por intervalos

Mg. Stella FigueroaClase Nº 11

1er C.2019

Distribución de probabilidades de algunos estimadores o estadísticos muestrales

Estadístico según la información

dadaMedia muestral

• Con varianza

poblacional conocida

• Con varianza

poblacional desconocida

y n <30

• Con varianza poblacional desconocida y n ≥30

Proporción muestral

Distribución

del estadístico

Distribución

del estadístico estandarizado

~ ~

𝑝 ≈ 𝑁 𝑝;𝑝. (1 − 𝑝)

𝑛𝑧 =

𝑝 − 𝑃

𝑝. (1 − 𝑝)𝑛

~𝑁(0,1)

Verificar cada

esperanza y

varianza y

justificar cada

distribución

Intervalo para la estimación de la media poblacional con 𝝈 𝟐 conocida

Coeficiente de confianza

/2 /2( ) 1P z Z z

22~ , ~ ,X N X N

n

Partimos de una población X con distribución normal.

El estadístico o estimador de la media poblacional es la media muestral.

Su distribución de probabilidades, si se conoce 𝝈 𝟐, es normal.

Al hacer inferencia, existe el riesgo de equivocarnos.

Elegimos un nivel de confianza 1– α.

Buscamos un intervalo simétrico respecto de la media de la muestra en el

que tenemos (1 - α) % de confianza de encontrar el parámetro poblacional 𝜇

.

Intervalo de confianza para la media poblacional con varianza conocida

/2 /2( ) 1x

P z z

n

/2 /2( ) 1P x z x zn n

~ 0,1

xz N

n

/2 /2( ) 1P z Z z

Ejemplo

Se sabe que la duración en hs de una lámpara de 75

watts es aproximadamente normal, con dispersión

de 25 hs. Una muestra aleatoria de 20 lámparas

tiene una vida media de 1014 hs. Construir un

intervalo de confianza del 95% para la duración

media de las lámparas.

No escribir

1003,043 1024,95 0,95P

Observación

Nunca sabremos si la media poblacional se encuentra en el

intervalo hallado.

Interpretación

El método para la obtención de dicho intervalo es confiable el

95 %, es decir, se puede esperar que contenga a dicho

parámetro en el 95 % de los intervalos construidos con

cada una de las muestras del mismo tamaño seleccionadas

de la población.

Nivel de confianza y precisión de la estimación

2

.znSe despeja n de la

inecuación

Error de muestreo(de la media poblacional)

Precisión de la estimación

Es el radio del intervalo

Cuanto más alto es el nivel de

confianza, menor es la precisión

de la estimación.

2

.x zn

<

Intervalo para la media poblacional si no se conoce la varianza poblacional para distintos tamaños de

muestras

Es habitual que todos los parámetros sean desconocidos

Si n <30 Si n ≥30

La media muestral se distribuye

normalmente, porque S es

una mejor estimación de σ

1~

/n

xT t

S n

xz

S

n

Si la muestra proviene de una población normal

S no es una buena estimación deσ

Cuando se desconoce , se observa el tamaño de la muestra n

2

Problema

En un estudio hecho para determinar el tiempo medio

necesario para el montaje de cierta pieza de una máquina, 25

trabajadores hicieron un promedio de 42,5 minutos con una

varianza de 4,1 min2. Si los tiempos de los trabajadores se

distribuyen normalmente, estimar el tiempo promedio necesario

para el montaje de la máquina al nivel del 99%

Intervalo de confianza para la media con varianza poblacional desconocida y n < 30

Si la población X es normal, la varianza es desconocida y el tamaño n de la

muestra menor que 30, la media muestral tiene distribución T con n-1

grados de libertad

/2, 1 /2, 1( ) 1

n nP t T t

/2, 1 /2, 1( ) 1

n n

S SP x t x t

n n

/2, 1 /2, 1( ) 1

n n

xP t t

S

n

0,005;242,797t 41,367 43,63 En el

problema

Intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional

Si se toma una muestra aleatoria de tamaño n de una gran población donde

X observaciones en esta muestra pertenecen a la clase de interés.

ˆX

pn

X es binomial, de parámetros n y p

es el estimador puntual de la proporción poblacionalp̂

𝑝 ≈ 𝑁 𝑝 ;𝑝. (1 − 𝑝)

𝑛

Problema

El encargado del departamento de producción de una fábrica recibe un

lote de 2000 piezas necesarias para el montaje de un artículo.

El fabricante de las piezas asegura que en este lote no hay más de 100

piezas defectuosas.

a) ¿Cuántas piezas hay que examinar para que, con un nivel de

confianza del 95%, el error que se cometa en la estimación de la

proporción de piezas defectuosas no sea mayor que 0.05?

b) Si se toma una muestra de 100 piezas elegidas al azar y se

encuentran 4 defectuosas, determinar un intervalo de confianza para la

proporción de defectuosas al nivel del 95%.

Intervalo de confianza para p (para muestras grandes)

ˆ

ˆ ˆ1

p pz

p p

n

/2 /2 1P z Z z

/2 /2

ˆ1

ˆ ˆ1

p pP z z

p p

n

/2 /2

ˆ ˆ ˆ ˆ1 1ˆ ˆ 1

p p p pP p z p p z

n n

La distribución de z es aproximadamente normal estandar

Intervalo de confianza para estimar la varianza de una población con distribución normal

La distribución del estimador 𝑆2 es Chi- cuadrado con n-1 grados de libertad. ¿Por qué?

𝑆2 ~ 𝜒𝑛−12 𝜒𝑛−1

2 =𝑛−1 𝑆2

𝜎2

2

2 1

1

n

i

i

x x

Sn

Un estimador de la varianza poblacional es la

varianza muestral y es un estimador insesgado.

𝐸(𝑆2)=𝜎2

S NO ES un estimador insesgado de la dispersión

poblacional

Para muestras grandes, el sesgo es pequeño y es

muy común hacer esa estimación.

2 2 2

1 /2; 1 /2; 1n nP

Problema

Estimar por intervalo con una confianza del 90 % la

varianza poblacional, si la varianza muestral es de 4,1 en

una muestra de tamaño 7

Extremos del intervalo para estimar la varianza poblacional

2

2 2

1 /2; 1 /2; 12

1n n

n SP

2

2

1 /2; 1 2

1n

n S

2

2

/2; 12

1n

n S

2

2

2

1 /2; 1

1

n

n S

2

2

2

/2; 1

1

n

n S

2 2

2

2 2

/2; 1 1 /2; 1

1 11

n n

n S n SP

Tabla de Ji-Cuadrado

𝜒 0,95;7−12 =1,64

𝜒 0,05;7−12 =12,59

Estimación de la varianza de una población normal

21,952 15

2 2

2

2 2

/2; 1 1 /2; 1

1 11

n n

n S n SP

2

2

/2; 1

1 6.4,11,952

12,6n

n S

2

2

1 /2; 1

1 6.4,115

1,64n

n S

Estimación de la dispersión poblacional

De 70 cables producidos por una compañía, se obtuvo

una resistencia media a la tracción de 1,5 toneladas

con una dispersión de 45 kg. Estimar la dispersión de

todos los cables producidos por la compañía

utilizando un nivel de confianza de 0,95.

38,34 53,53