UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERAFACULTAD DE INGENIERA MECNICA

Lab. Clculo por Elementos Finitos MC516-C

TRACCIN SIMPLE

Alumno Cdigo GALLARDO ESTEVES, Juan Carlos20114032C

Docente:Ing. Ronald Cueva

Ciclo:2013-II

PRIMERA PRCTICA(TRACCIN SIMPLE)

ENUNCIADO DEL PROBLEMA

De la siguiente placa triangular de espesor constante, t=150mm. Calcular:Los esfuerzos en cada elemento finito y la reaccin en el apoyo. Utilizar tres elementos finitos.

Sabiendo que:P =30000 NT (espesor) = 150 mmE = 3.0x105 N/mm2 = 8.0 gr-f/cm3 = 7,848x10-5 N/mm3

SOLUCIN:

1. MODELADO DEL CUERPO REALConsideramos tres elementos finitos de longitud de 250, 250 y 500 mm desde la base hasta la punta.

El ancho de cada elemento lo calculamos tomando el punto medio de cada elemento finito:

Luego:Conectividad:

eNODOSGDLle(mm)Ae(mm2)

(1)Primer nodo(2)SegundoNodo12

112Q1Q2250157500

223Q2Q3250112500

334Q3Q450045000

2. GRADOS DE LIBERTAD NODALES.- (GDL) (VECTOR DESPLAZAMIENTO)

En el siguiente grfico se muestran los vectores desplazamientos nodales globales

El vector de desplazamiento ser:

Donde Q1= 0 debido a que la placa esta empotrada y los dems desplazamientos son incgnitas donde procederemos a calcularlos.

3. VECTOR CARGA

Analizando las fuerzas en cada elemento finito:

Analizando las fuerzas para todo el cuerpo:

Entonces, el vector carga se expresara de la siguiente manera

4. MATRIZ DE RIGIDEZ

A continuacin pasamos a calcular la matriz de Rigidez Global, que est determinada por la siguiente ecuacin:

Reemplazando para los valores calculados y utilizando la tabla de conectividad obtenemos:

Finalmente:

5. ECUACIONES DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO

La ecuacin de rigidez est determinada por la siguiente ecuacin:

Con nuestros valores calculados tenemos:

Para obtener los desplazamientos tomamos la siguiente submatriz:

Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos:

Para obtener la reaccin en el empotramiento tmanos la siguiente submatriz:

Resolviendo obtenemos:

6. ESFUERZOSPara calcular los valores de los esfuerzos por elemento, aplicamos la siguiente ecuacin:

Y obtenemos lo siguiente:

7. RESULTADOS

8. DIAGRAMA DE FLUJO

INICIO

INGRESO DE DATOSCONSTANTES: E, f, tVECTORES: L, A, P

CALCULO DE VECTORES

F= ; K=

TRAFORMACION DE ECUACION MATRICIAL

=

CALCULO DE ESFUERZOS

IMPRESIN DE RESULTADOS

FIN

9. DIGITACIN EN MATLAB

clear all clc%Ingresando los datos del ProblemaH=input('Ingrese el valor de la altura de la placa(mm) = ');B=input('Ingrese el valor de la base de la placa(mm) = ' );E=input('Ingrese el valor del Modulo de Elasticidad(N/mm^2) = ');P=input('Ingrese el valor de la fuerza P en Newton= ');D=input('Ingrese el valor de la densidad del cuerpo gr-f/cm^3 = ');t=input('Ingrese el valor del Espesor (mm)= ');h=[H/4 H/4 H/2];b=[(B+3*B/4)/2 (3*B/4 + B/2)/2 (B/4)];d=D*9.81*10^-6;w=zeros(4);K=zeros(4);for i=1:3 a(i)=b(i)*t; w(i,i)=1;w(i,i+1)=-1;w(i+1,i)=-1;w(i+1,i+1)=1; K=K+(a(i)*E/h(i))*w; w=w-w;endf=[];f(1)=-(a(1)*h(1)/2)*d;f(2)=-[(d*a(2)*h(2)/2)+d*a(1)*h(1)/2];f(3)=-[(d*a(2)*h(2)/2) + (d*a(3)*h(3)/2)]+P;f(4)=-d*a(3)*h(3)/2;f=f';K=K';Q=zeros(4,1);Q(2:4,1)=inv(K(2:4,2:4))*f(2:4,1); % Matriz de desplazamientosR1= K(1,1:4)*Q - f(1); %Valor de la Reaccion donde x=0 , en el apoyoe=[] ; %Matriz de esfuerzosfor i=1:3 e(i)=(E/h(i))*[-1 1]*Q(i:i+1,1);ende=e';f(1)=f(1)+R1;f=f;disp(' ')disp('RESULTADOS OBTENIDOS')disp('La Matriz de K es :')disp(K)disp('Matriz de Fuerzas es : ' )disp(f)disp('La reaccion en el punto de apoyo es (N) : ')disp(R1)disp('Matriz de desplazamientos(mm) es :')disp(Q)disp('Matriz de esfuerzos en (MPa) es e[e1 ; e2 ; e3] : ')disp(e)

Resultados obtenidos en Matlab:

Ingrese el valor de la altura de la placa(mm) = 1000Ingrese el valor de la base de la placa(mm) = 1200Ingrese el valor del Modulo de Elasticidad(N/mm^2) = 3*10^5Ingrese el valor de la fuerza P en Newton= -30000Ingrese el valor de la densidad del cuerpo gr-f/cm^3 = 8Ingrese el valor del Espesor (mm)= 150 RESULTADOS OBTENIDOS:

La Matriz de K es :

189000000 -189000000 0 0 -189000000 324000000 -135000000 0 0 -135000000 162000000 -27000000 0 0 -27000000 27000000

Matriz de Fuerzas es :

1.0e+004 * 3.5518 -0.2649 -3.1987 -0.0883

La reaccin en el punto de apoyo es (N):

3.7063e+004

Matriz de desplazamientos (mm) es:

1.0e-003 * 0 -0.1879 -0.4314 -0.4641

Matriz de esfuerzos en (MPa) es e[e1 ; e2 ; e3] :

-0.2255 -0.2922 -0.0196

10. CONCLUSIONES

Los esfuerzos calculados en los elementos son negativos lo que nos indica que dichos esfuerzos son esfuerzos de compresin respecto a nuestro sistema de referencia. La fuerza neta total que se ejerce sobre el cuerpo, es en contra del sistema de referencia (opuesta al eje x), y es igual al volumen total del cuerpo (V=9x107 mm3) por su Peso especfico (=7,848x10-5 N/mm3) ms la Fuerza aplicada (P=30000N), lo que da de resultado un valor de 37063,2 N. Tericamente este resultado 37063,2 sera el valor de la reaccin en el nodo (1).

El error del clculo de la reaccin en el nodo (1) es casi cero, con lo que podemos afirmar que la aproximacin del cuerpo a 3 elementos finitos es casi exacta, si consideramos menos elementos finitos el error aumentar y asimismo, si aumentamos el nmero de elementos, el error tendera a cero.

11. BIBLIOGRAFA

CHANDRUPATLA, T. Introduccin al Estudio de los Elementos Finitos en Ingeniera, Prentice Hall, 1999

ZIENKIEWCTZ, O. The Finite Element Method, New Cord, Mec Graw Hill, 1977.

ZIENKIEWCTZ, O. and MORGAN K. Finite Elements and Approximation, New Cork, Wiley, 1982.

LIVESLEY, R. Finite Element: An Introduction for Engineers, Cambridge, Great Britain, Cambridge University Press, 1983.

12. APNDICE

El clculo en ingeniera

Una de las tareas fundamentales del ingeniero consiste en el anlisis y clculo, esto es la prediccin cuantitativa del comportamiento de un sistema tecnolgico o un proceso para proceder a su diseo eficiente o para cumplir con especificaciones de produccin.Ejemplos de los mismos los podemos encontrar en reas del flujo de calor, mecnica de fluidos, electromagnetismo, reacciones qumicas y otros.Para ello debe hacer uso de conceptos de fsica, qumica y matemtica, para formular un modelo matemtico del sistema o proceso en consideracin. Dicho modelo no es ms que un sistema de ecuaciones cuyas incgnitas representan magnitudes de inters tecnolgico que permiten describir el comportamiento del objeto bajo anlisis. Consecuentemente, para llevar a cabo la prediccin en s misma, el ingeniero debe resolver cuantitativamente las mencionadas ecuaciones para dedicarse, a continuacin, a la interpretacin tcnica y al anlisis de los resultados. En muchas situaciones, los modelos pertinentes involucran problemas de contorno gobernados por ecuaciones diferenciales a derivadas parciales. Por mencionar algunos de dichos casos pueden citarse el estudio estructural de automviles, aviones, puentes, o el anlisis de campo de flujo de calor en componentes de mquinas, flujo de fluidos, filtracin en presas de tierra, etc. Debido a la gran dificultad para obtener soluciones analticas a las ecuaciones aludidas, la ingeniera ha recurrido, histricamente, al uso de modelos simplificados basados en resultados experimentales, experiencia y en el mejor de los casos en unas pocas soluciones matemticas particulares relativas a un modelo ms preciso. Esta metodologa general de la ingeniera ha dado muy buenos resultados y an lo sigue haciendo. No obstante, es importante notar que se trata de una metodologa que presenta fuertes limitaciones en cuanto a las posibilidades de anlisis, hecho que se hace ms grave si se consideran las crecientes necesidades de la tecnologa moderna. Este cuadro ha ido cambiando con el advenimiento de la computacin electrnica y con el desarrollo asociado de mtodos computacionales. En el contexto que se alude han aparecido importantes tcnicas numricas entre las cuales se destacan los mtodos de diferencias finitas, elementos de contorno y elementos finitos. En particular este ltimo es el ms poderoso y, en consecuencia, el ms utilizado.

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