1_Interpolacion polinomial
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UPeU - JuliacaInterpolacin polinomial
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La aproximacin funcionalTres enfoques:
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InterpolacinMtodos Numricosg(x0) = f(x0) g(x1) = f(x1) g(xn) = f(xn)
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InterpolacinMtodos Numricosg(x0) = f(x0) g(x1) = f(x1) g(xn) = f(xn)
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GeomtricamenteMtodos Numricos
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GeomtricamenteMtodos NumricosxFuncin interpoladora g(x)
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GeomtricamenteMtodos NumricosxError de interpolacin
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Por qu interpolar?Mtodos Numricos
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EjemploMtodos NumricosLa aceleracin gravitacional (g) vara con la latitud geogrfica.
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EjemploMtodos Numricos10203040506070809002,04,06,08,010,0Concentracin del H2SO4 (%)Resistividad (ohm/cm)
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Mtodos NumricosEjemplopara a > 0Funcin Gamma (Euler)
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Interpolacin polinomialMtodos NumricosCuando la funcin interpoladora es un polinomio, la interpolacin se llama polinomial o simplemente interpolacin.
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Tres problemasMtodos NumricosSe conocen {x0, x1,..., xn} y {f(x0), f(x1),..., f(xn)} Existe algn polinomio p(x) tal que p(xi) = f(xi) para i = 0, 1,..., n?
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Mtodos NumricosTres problemasSi tal polinomio existe, ser nico?Se conocen {x0, x1,..., xn} y {f(x0), f(x1),..., f(xn)}
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Mtodos NumricosTres problemasSi existe el polinomio y es nico, cmo hallarlo?Se conocen {x0, x1,..., xn} y {f(x0), f(x1),..., f(xn)}
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Existencia y unicidadMtodos Numricosp(x0) = y0, p(x1) = y1, ... p(xn) = yn
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DemostracinMtodos Numricosp(x0) = a0 + a1x0 + ...+ anx0n = y0p(x1) = a0 + a1x1 + ...+ anx1n = y1p(xn) = a0 + a1xn + ...+ anxnn = yn
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Mtodos NumricosDemostracinDeterminante de Vandermonde
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EjemplosMtodos NumricosUna rectaUna parbola o una recta
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Error de interpolacinMtodos Numricosf(x): funcin interpoladax0, x1,..., xn: nodos de interpolacin p(x): polinomio de interpolacin
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TeoremaMtodos Numricosentonces existe en I al menos un nmero c tal que el error de interpolacin es:
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Mtodos NumricosEjemplof(x) = sen x Nodos de interpolacin: 0, /4, /2Polinomio interpolador:p(x) = -0,335749 x2 + 1,164013 x
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Mtodos NumricosEjemplof(x) = sen x Nodos de interpolacin: 0, /4, /2Polinomio interpolador:p(x) = -0,335749 x2 + 1,164013 x
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Mtodos NumricosEjemplof(x) = sen x Nodos de interpolacin: 0, /4, /2Polinomio interpolador:p(x) = -0,335749 x2 + 1,164013 xError de interpolacin
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Ejemplop(x) = -0,335749 x2 + 1,164013 xsen(1) p(1) = 0,828264
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