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TRACCION SIMPLE

SOPORTE PARA SUJETAR LAS GUIAS

1. FOTO DIGITAL

2. MODELADO DEL OBJETO FISICO REAL

Utilizamos el software Solidworks y Autocad para el modelado siguiente:

3. DISCRETIZADO

UNI - FIM

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El siguiente soporte de plástico polietileno, cuyo espesor es constante t=60 mm,

calcularemos los esfuerzos en cada elemento finito y la reacción en el apoyo.

Utilizaremos CUATRO elementos finitos.

Consideraremos estos datos para el plástico polietileno:

Fuerza aplicada = 10 N

Peso del material = 0.1067N

t (espesor) = 60 mm

E(Modulo de elasticidad) = 1.4 GPa= 1400 N/mm2

Y(Densidad de peso) = 14 kN/m3= 14x10-6 N/mm3

𝝆(Densidad de masa) = 1400 kg/m3

4. CALCULOS

UNI - FIM

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4.1MODELADO DEL CUERPO REAL

Se consideran cinco elementos finitos. Para facilitar los cálculos los elementos finitos tendrán longitud de 20 mm, 120mm, 30mm, 30mm para cada elemento finito.

Y los espesores serán calculados tomando la medida que equivaldrá al área de cada elemento finito:

b1=(70+70)2

=70mm

b2=(40+40)2

=40mm

b3=(900. pi−400. pi)

2.30=26.18mm

b4=(900. pi−400. pi)

2.30=26.18mm

Entonces, el modelado del cuerpo sería el siguiente:

UNI - FIM

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Y las áreas se calculan de la siguiente relación:

A1=b1×t

Cuadro de conectividad:

eNODOS GDL le

(mm)Ae

(mm2)(1) (2) 1 21 1 2 1 2 20 42002 2 3 2 3 120 24003 3 4 3 4 30 1570.84 4 5 5 6 30 1570.8

4.2GRADOS DE LIBERTAD NODALES (Vector Desplazamiento)

A través del grafico se muestran los grados de libertad nodales globales:

Luego el vector de desplazamiento será:

Q❑=⟦0Q2Q3Q4Q5

⟧ mm

Donde Q1 = 0, pues la placa esta empotrada y los demás desplazamientos son incógnitas que tendrán que ser calculadas.

UNI - FIM

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4.3VECTOR CARGA

Analizando las fuerzas en cada elemento finito:

F11=y (A× l)12

=0.588

F21=y (A ×l)12

=0.588N

F22=y (A ×l)22

=2.016N

F32=y (A ×l)22

=2.016N

F33=y (A ×l)32

=0.33N

UNI - FIM

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F43=y (A×l)32

=0.33N

F44=y (A×l)42

=0.33N

F54=y (A×l)42

=0.33N

Ahora analizamos las fuerzas para todo el cuerpo:

F1=F11=0.588N+R1

F2=F21+F2

2=2.604N

F3=F32+F3

3=2.346N

F4=F43+F4

4=0.66N+10N=10.66N

F5=F54=0.33N

Entonces, el vector carga se expresaría de la siguiente manera:

F=⌈

F1F2F3F4F5

⌉=⌈

0.588+R12.6042.34610.660.33

⌉ [N ]

4.4MATRIZ DE RIGIDEZ

A continuación pasamos a calcular la matriz de Rigidez Global, que esta determinada por la siguiente ecuación:

K il=( A ∙ El )1⟦1 −1 0 0 0

−1 1 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

⟧+( A ∙ El )2⟦0 0 0 0 00 1 −1 0 00 −1 1 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

⟧+( A ∙El )3⟦0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 1 −1 00 0 −1 1 00 0 0 0 0

⟧+( A ∙ El )4 ⟦0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 1 −10 0 0 −1 1

⟧Reemplazando para los valores calculados y utilizando la tabla de conectividad obtenemos:

UNI - FIM

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K il=( 4200 x140020 )1⟦1 −1 0 0 0

−1 1 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

⟧+( 2400x 1400120 )2⟦0 0 0 0 00 1 −1 0 00 −1 1 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

⟧+(1570.8 x 140030 )3⟦0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 1 −1 00 0 −1 1 00 0 0 0 0

⟧+( 1570.8 x140030 )4⟦0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 1 −10 0 0 −1 1

⟧Finalmente:

K il=103×⟦

294 −294 0 0 0−294 322 −28 0 00 −28 101.304 −73.304 00 0 −73.304 146.608 −73.3040 0 0 −73.304 73.304

⟧ Nmm4.5ECUACIONES DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO

La ecuación de rigidez está determinada por la siguiente ecuación:

F i=K il ∙Ql

Lo que con nuestros valores calculados tenemos:

⌈

0.588+R12.6042.34610.660.33

⌉=103×⟦294 −294 0 0 0

−294 322 −28 0 00 −28 101.304 −73.304 00 0 −73.304 146.608 −73.3040 0 0 −73.304 73.304

⟧[0Q2Q3Q4Q5

]

Para obtener los desplazamientos tomamos la siguiente submatriz:

⌈

¿2.6042.34610.660.33

⌉=103×⟦ 322 −28 0 0−28 101.304 −73.304 00 −73.304 146.608 −73.3040 0 −73.304 73.304

⟧[Q2Q3Q 4

Q5]

UNI - FIM

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Resolviendo este sistema de ecuaciones, obtenemos:

Q2=0.054 xmm

Q3=0.530mm

Q4=0.680mm

Q5=0.685mm

Y para obtener la reacción en el empotramiento tomamos la siguiente submatriz:

[0.588+R1] = 103× ⌈ 294 −294 0 0 0⌉ [

0Q2Q3Q4

Q5]

Resolviendo obtenemos:

R1=−16.464 N

4.6ESFUERZOS

Para calcular los valores de los esfuerzos por elemento, aplicamos la siguiente ecuación:

σ ¿=(El )¿

[−11][ Q i

Qi+1]Y obtenemos lo siguiente:

σ 1=( 1.4×10320 ) [−11 ] [ 00.054]×10−3→σ 1=0.00378

Nmm2

σ 2=( 1.4×103120 ) [−11 ] [0.0530.53 ]×10−3→σ2=0.00557Nmm2

σ 3=( 1.4×10330 ) [−11 ] [0.530.68]×10−3→σ3=0.00700Nmm2

σ 4=( 1.4×10330 ) [−11 ] [ 0.680.685 ]×10−3→σ4=0.00023 Nmm2

5. RESULTADOS

UNI - FIM

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Finalmente, los resultados son mostrados en la siguiente tabla:

R1=−16.464 N

σ 1=0.00378N

mm2

σ 2=0.00557N

mm2

σ 3=0.007N

mm2

σ 4=0.00023N

mm2

6. DIAGRAMA DE FLUJO

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7. PROGRAMA EN MATLAB

Programa que resuelve el problema para n elementos finitos, en nuestro caso son cuatro.

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%programa1clear all;close all;clc;%H=input('Ingrese la alura de la placa= ');%B=input('Ingrese la base de la placa= ');% pa=input('Ingrese la carga Pa= ');% pb=input('Ingrese la carga Pb= ');% t=input('Ingrese el espesor de la placa= ');% j=input('Ingrese la densidad del material');% E=input('Ingrese el modulo de elasticidad '); n=input('numero de elementos finitos = ');

H=1000; B=1200; pa=10000;t=150; j=78.45e-6; E=3e5;%n=3;h=zeros(1,n) ;

for i=1:n h(i)=H/n;end

s=0;w=zeros(n);Knn=zeros(n+1);

A=zeros(1,n) ;mx=zeros(1,n+1);m=zeros(1,n-1);for i=1:n m(i)=(n-1); m(i+1)=m(i)-1;end

mx=1/n*m;mx(1)=1;mx(n+1)=0;mxfor i=1:n b(i)=0.5*(mx(i)+mx(i+1)); A(i)=b(i);endA=A*B*t;

for i=1:n w(n+1,n+1)=0; w(i,i)=1; w(i,i+1)=-1; w(i+1,i)=-1; w(i+1,i+1)=1; Knn=Knn+A(i)*E/h(i)*w; w(n+1,n+1)=0;end

p=[];for i=1:n p(i)=A(i)/2*h(i)*j;end p(2)=p(2)+pa+A(2)/2*h(2)*j;

knn=Knn(2:n,2:n);pi=p(2:n);

Q=knn\pi';Q=[0;Q];k=Knn(1,1:n)*Q;R=k+p(1);es=[];

for i=1:n-1 es(i,1)=E/h(i)*[-1 1]*Q(i:i+1,1)endclc;%MOSTRANDO RESULTADOSdisp('..................................');disp('RESULTADOS');disp('==========');disp('EL VECTOR DESPLAZAMIENTO [mm] ');disp(Q);disp('LA REACCION EN EL APOYO [N]');disp(R);disp('EL VECTOR DE ESFUERZOS [MPa]');disp(es');

8. CONCLUSIONES

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Respecto a las deformaciones se puede notar que son muy pequeñas y todas tienen una orientación hacia abajo, cuyo sentido es positivo para la referencia actual tomada, podemos notar además que numéricamente crece lo cual nos da la idea de que el material es más esforzado en sus puntos inferiores.

Respecto de los esfuerzos estos son positivos, lo que indica esfuerzos de tracción para nuestro sistema elegido de referencia en los cuatro elementos tomados en nuestra experiencia.

Sabemos también que existe un error pero este es pequeño respecto del cálculo manual y dependerá también del incremento del número de elementos finitos, si aumentamos el error tendera a cero, se debe tener en cuenta la tolerancia con la cual se trabajara para no hacer un trabajo innecesario aumentando los elementos finitos para buscar respuestas más cercanas a la teórica.

9. APORTES AL CURSO

Siempre debemos tener en cuenta el resultado final real para poder plantear una optimización de costos, por ejemplo del costo del material que usamos en la guía, y tener presente que así como la sobredimensión en el diseño es una protección al objeto el optimizar es un segundo paso que debemos realizarlo basado en nuestra experiencia, nunca dejando los cálculos de diseño, que actualmente lo realizan los programas y saber de antemano que muchos de estos están basados en la “Teoría de los elementos finitos” que hicieron más simple resolver muchos problemas complejos de matemática.

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