Problemas propuestosEstos problemas están destinados para que el alumno re-suelva y obtenga puntos para la calificación final. La reso-lución debe ser entregada por escrito al profesor. Se pena-lizará la ausencia de redacción y se exigirá como conditiosine qua non que el alumno plasme los razonamientos enel papel, de lo contrario el trabajo no será evaluado. En elcaso en que los trabajos sean copiados, se penalizará conun punto en la nota final.Si por alguna razón desean realizar los ejercicios por gru-pos, deberán comunicárselo previamente al profesor.

1. (1 punto) Un barco parte del origen de coordenadas y en el punto(0, d) tiene un objeto al que está unido por una cuerda de longitudd. El barco comienza a moverse y tira de la cuerda moviendo al ob-jeto, que siempre se mantiene a distancia d del barco. El movimientodel objeto genera una curva C en el plano. El ejercicio se trata de ha-llar la ecuación diferencial que determine dicha curva C . Para ello, usala propiedad de que la recta que contiene a la cuerda es tangente a lacurva C .

2. (1 punto) Tenemos un tanque con forma de cono invertido de alturaℎ, y el radio de la tapa superior mideR. En la punta del cono invertidose ha practicado un agujero circular de radio r. Tapamos dicho agujeropara que no se escape agua y después llenamos de agua el tanque. Trasesto, abrimos el agujero y el agua comienza a salir. Halle la ecuacióndiferencial que modele el volumen (o la altura) de agua que hay en eltanque cónico respecto del tiempo.

3. (1.5 puntos) Vamos a hallar la ecuación diferencial que determina lasección de una antena parabólica. La antena parabólica se define porla siguiente propiedad: Fijemos un punto, al que llamaremos foco de laparábola, y una recta, que llamaremos eje de la curva. Todo rayo de luz

que sea paralelo a la eje de la curva chocará contra la antena parabólica,rebotará y el rayo acabará pasando por el foco de la parabólica.Para simplificar el problema, asumamos que el foco es el origen decoordenadas y el eje de la curva es el eje de abcisas. Halle la ecuaciónde la sección parabólica.Pista: Recuerde que los ángulos que forman el rayo y el rayo reflejado con latangente de la curva son iguales.

4. (1 punto) Sea Cs una colección de curvas planas. Diremos que C ′s es

una colección de curvas ortogonales todo par de curvas ∈ Cs y ′ ∈ C ′

s se cortan en ángulo recto.Este ejercicio pretende mostrar cómo, mediante ecuaciones diferen-ciales, se puede calcular la familia de curvas ortogonales C ′

s a partirde la colección Cs.Ilustremos esta idea con un ejemplo. Consideramos Cs la colección decircunferencias de radio s centradas en el origen. Éstas vienen dadaspor las ecuaciones

x2 + y2 = s2

que diferenciando obtenemos xdx + ydy = 0. Tras una pequeña ma-nipulación, obtenemos que la derivada viene dada por la igualdad

dydx

= −xy.

Si m es la pendiente de la tangente de la curva, entonces la curva or-togonal tendrá pendiente − 1

m . Aplicándolo a este caso, las curvas or-togonales vendrán dadas por la ecuación diferencial

dydx

=yx.

Aplica este método para encontrar las curvas ortogonales a la familiade parábolas

Cs = {y2 = x + s ∶ s ∈ ℝ},y la familia de circunferencias de centro el punto (s, 0) con s ∈ ℝ yque pasan por el origen.

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