2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS …

2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II – INTEGRACIÓN PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES

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1.-INTEGRAL INDEFINIDA. PROPIEDADES

El Cálculo Integral o integración consiste en hallar la función f(x) cuando se conoce su derivada f´(x). La integración es la operación inversa de la derivación.

Primitiva de una función. Integral indefinida

Dada una función f(x), diremos que F(x) es una primitiva suya si F´(x) = f(x). La primitiva de una función no es única. Por ejemplo, si f(x) = 3x2, entonces F1(x) = x3 , F2(x) = x3 + 2,.....,etc, etc son primitivas de f(x). En general, si una función f(x) tiene una función primitiva F(x), entonces tiene infinitas primitivas cuyas expresiones serán F

k(x) = F(x) + k, siendo k ∈ R.

El conjunto de las infinitas primitivas de f(x), se llama integral indefinida de f(x) y se denota mediante .)( dxxf

Se lee “integral de f de x diferencial de x”. Por ejemplo: 2 33 ,x dx x k con k ℝ .

Integrales inmediatas

Puesto que la integración es el proceso contrario al de la derivación, de la tabla de derivadas vista en el tema anterior se deduce una tabla de integrales inmediatas:

cdx cx k 1

( 1)1

nn xx dx k n

n

1ln dx x k

x

ln

xx aa dx k

a

x xe dx e k

Ejemplos:

1) 7 7 dx x k 2) 6

5

6 x

x dx k 3)1

2

2

1 1

1

x

dx x dx k kxx

4) 2

2ln 2

xx dx k

Propiedades de la integral indefinida

1) La integral de la suma o diferencia de dos funciones es igual a la suma o diferencia de las integrales de

dichas funciones: ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx

Ejemplo: 4 3 2 4 3 2

3 2 3 21 2 3 4( 2) 2 2 2

4 3 2 4 3 2

x x x x x xx x x dx x dx x dx xdx dx k k k x k x k

2) La integral del producto de un número por una función es igual al producto del número por la integral de

dicha función: ( ) ( )a f x dx a f x dx

Ejemplos:

1) 5

3 (5 ) 3 5 3ln(5)

x

x xdx dx k 2) 2 1 1

2. 2 2 ln dx dx dx x kx x x

3) Sabiendo que la derivada de una función es f´(x) = 6x2 + 4x – 2, determine f(x) sabiendo que f(0) = 5 3 2

2 2 3 2

3 2 3 2

( ) (́ ) (6 4 2) 6 4 2 6 4 2 2 2 23 2

(0) 5 2.0 2.0 2.0 5. , ( ) 2 2 2 5

x x

f x f x dx x x dx x dx xdx dx x k x x x k

Como f k k Luego f x x x x

Actividades

1 Calcule: a) 9 dx b) 3x dx c) 3

5dx

x d) 3xdx e) dxxx )352( 2 f) dxxx )754( 2

2 Sabiendo que la derivada de una función es f´(x) = – 4x3+ 3x2 – 6x + 1, determine f(x) sabiendo que f(0) = 1


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2.- INTEGRAL DEFINIDA. PROPIEDADES.

Sea una función f : ba, → R. La integral definida de f en el intervalo ba, se representa por ( )b

af x dx .

Si f(x) > 0 en el intervalo ba, , entonces la integral definida de la función f en el intervalo [a, b] es el área

comprendida entre la gráfica de f y el eje X en dicho intervalo: ( )b

af x dx A

Si f(x) < 0 en el intervalo ba, , entonces la integral definida es el área comprendida entre la gráfica de f y el

eje X pero con signo negativo: ( )b

af x dx A

Si f(x) cambia de signo en el intervalo ba, , entonces la integral definida es la suma de las áreas de los recintos situados por encima y por debajo del eje X (positiva si la gráfica está por encima del eje X y negativa si está por debajo):

1 2 3( )b

af x dx A A A

Para poder calcular la integral definida usamos una regla, llamada regla de Barrow:

Si f(x) es una función continua en ba, y F x es cualquier primitiva de f entonces ( ) b

a

f x dx F b F a

Se suele representar así: ( ) ( )b

a

b

af x dx F x

Propiedades más importantes de la integral definida

b b b

a a a

f g x dx f x dx g x dx1 ) b b b

a a a

f g x dx f x dx g x dx2 )

. . b b

a a

k f x dx k f x dx3 )

c b b

a c a

Si a c b f x dx f x dx f x dx4 )


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Ejemplos: 1

2 2

1

3 22 3 2 2 3 2

12 3 2 3

1

1 3 2 3 2

3 2 3 2 3 23 2

3 2 1 1 1 1 1 1

) Para calcular ( x x) dx buscamos una primitiva de f(x) x x :

x x( x x) dx k x x k. Luego, una primitiva de f(x) x x es F(x) x x .

Por la regla de Barrow, ( x x) F( ) F( ) [ ] [( ) ( )

2 0 2 2] ( )

2) Si 3

2

4x 30 , si x 2f(x)

3x 2x , si x 2

, entonces

2 33 2 3 2 3 4 3 23 2

0 0 2 0 2 0 2

2 34 3 2 4 4 3 2 3 2

0 2

4 30 3 2 4 30 3 24 3 2

2 30 2 0 30 0 3 3 2 230

44 0 18 4 44 14 30

x x xf(x) dx f(x) dx f(x) dx ( x ) dx ( x x) dx x

( . ) ( . ) ( ) ( )x x x x

( ) ( ) ( ) ( )

3) Sea f una función continua en el intervalo [2, 3] y F una primitiva de f tal que F(2) = 1 y F(3) = 2, entonces:

a) 3

2( )f x dx = 3

2(3) (2) 2 1 1( ) F FF x

b) 3

2(5 ( ) 7)f x dx =

3

25 (3) 7.3 5 (2) 7.2 5.2 7.3 5.1 7.2 11 ( 9) 25 ( ) 7 x F FF x

Actividades

3 Calcule: a)5

2

2

3 2 3( x x ) dx b)2

03xdx c)

2

1 (x 2 )dx d)3 21 (3x x 6 )dx

e)3

3 2

2

4 3 2( x x x) dx f) 2

0

f(x) dx , si 2

2

x 3x 5 , si x 1f(x)

x , si x 1

4 Sea f una función continua en el intervalo [1, 5] y F una primitiva de f tal que F(1) = 7 y F(5) = 3, Calcule:

a) 5

1( ) f x dx b)

5

1(2 ( ) 11) f x dx

3.- CÁLCULO DE ÁREAS USANDO LA INTEGRACIÓN

Cálculo del área comprendida entre la gráfica de una función y el eje X en un intervalo [a, b]

b

a

A f x dx b

a

A f x dx


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1 2 3

c d b

a c d

A A A A f x dx f x dx f x dx

Ejemplos:

1) Halle el área entre la comprendida entre la gráfica de la función f(x) = x2 – 4x – 5 y el eje X

5 55 3 33 2 322 2 2

1 1 1

2

5 14 5 2 5 5 5 2 1 5 14 5 2 5

3 2 3 3 3

100 8 10836 36

3 3 3

( )x x x(x x ) dx . . ( ) ( )x x x

. Por tanto, el área es A u

2) Halle el área entre la comprendida entre la gráfica de la función f(x) = x3 – x2 – 6x y el eje X

0 00 4 3 4 34 3 2 4 3

23 2 2

2 2 2

1

3 33 4 34 3 2 4 323 2

0 0 0

0 0 2 26 3 0 3 26 3

4 3 2 4 3 4 3 4 3

8 16 16 160 4 12 0

3 3 3 3

3 36 3 36 3

4 3 2 4 3 4 3

( ) ( )x x x x x(x x x) dx . ( )x

( ) A

x x x x x(x x x) dx .x

4 32

2

21 2

0 03 0

4 3

81 63 639 27 0

4 4 4

16 63 2532 21 08

3 4 12

.

A

Por tanto, el área es A A A u , u


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Actividades

5 Se sabe que la gráfica de la función f(x)= x3 – 3x + 2 es la que aparece en el dibujo.

Calcule el área de la región sombreada.

6 Halle el área entre la comprendida entre la gráfica de la función f(x) y el eje X en los siguientes casos:

a) f(x) = x2 – 4 b) f(x) = 2x – x2 c) f(x) = x3 − 6x2 + 8x d) f(x) = x3 − 2x2 + x.

Cálculo del área comprendida entre las gráficas de dos funciones en un intervalo [a, b]

Si f(x) ≥ g(x) en el intervalo [a, b], el área es ( )

b

a

A f x g x dx

Si las gráficas se cortan en un punto de abscisa b, entonces

1 2 ( ) ( ) b c

a b

A A A f x g x dx g x f x dx


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Ejemplos: Calcule el área de la región comprendida entre las gráficas de las funciones f y g: a) f(x) = x2 − 6x + 9 , g(x) = 9 – x2.

3 33 3 3 3 2 3

22 2 2

0 0 0 0 0

3 32 2 2

29 6 9 2 6 2 6 3

3 2 3

2 3 2 03 3 3 0 18 27 0 9

3 3

x x xA [g(x) f(x)] dx [ x (x x )] dx ( x x) dx x

. .. . u

b) f(x) = 1 – x2 y g(x) = x – 1

11 1 1 3 2

2 2

2 2 2 2

3 2 3 22 2

1 1 2 23 2

1 1 2 2 1 1 8 1 1 8 92 1 2 2 2 2 4 8 4 5

3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 2

x xA [f(x) g(x)] dx [ x (x )] dx ( x x ) dx x

( ) ( ). ( ) u , u

Actividad

7 Calcule el área de la región comprendida entre las gráficas de las funciones f y g:

a) f(x) = x2 – 1 y g(x) = 2x + 2 b) f(x) = x2 – 2x y g(x) = 4x – x2

c) f(x) = 1 + x y g(x) = 1 + x2 d) f(x) = x2 + 4x + 5 y g(x) = 5

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