2. CONDUCCIÓN UNIDIMENSIONAL EN ESTADO

ESTABLE.

a) LA PARED PLANA

En flujo estable con fuente no distribuida

de energía.

Fluido Fluido

Caliente Ts1 frío

Ts2

T∞1,h1 T∞2,h2

)("

)(

)(

21

21

112

12112

ssx

ssx

sss

sss

TTL

kQ

TTL

kA

dx

dTkAQ

TxL

TTxT

entoncesL

TTCyTC

21

21

1

)()0(

)(

;,0

ss TLTyTTcony

CxCxT

Cdx

dTCteksi

dx

dTk

dx

d

RESISTENCIA TÉRMICA

Haciendo una analogía con el sistema eléctrico:

Re → Resistencia eléctrica; V → Voltaje; I → Intensidad de corriente eléctrica

Rt → Resistencia térmica; T → Temperatura; Q → Calor.

Ah

TT

kALTT

Ah

TTQ

anteriorcircuitoelEn

hAQ

TTRconvecciónEn

kA

L

Q

TTR

A

L

I

VVR

ssssx

stconv

x

sstconde

2

2221

1

11

2121

11

1:

;

CONTINUA RESISTENCIA TÉRMICA

Que representa la resistencia de un circuito de resistencias en serie.

T∞1 Ts1 Ts2 T∞2 T∞1 T∞2

1/h1A L/kA 1/h2A Rtot

AhkAL

AhR

R

TTQ

TTdeostérEn

tot

totx

21

21

21

11

)(

)(min

xQ

xQ

PARED COMPUESTA

Para una pared compuesta.

A B C

Ts1 T2

T3 Ts2

T∞1, h1 T∞4;h4

fluido fluido

caliente x frío

Si; U = Coeficiente global de transferencia de calor, se define:

AkL

TT

Ah

TTQ

AhAk

L

Ak

L

Ak

L

AhR

dondeR

TTQ

AA

ssx

C

C

B

B

A

At

tx

21

1

11

41

41

1

11

;

UAQ

TRR

hkLkLkLh

ARU

x

ttot

CCBBAA

t

1

11

1

1

41

TUAQ x

CIRCUITO TÉRMICO EN PARALELO

Una pared compuesta como se muestra

A B D

T1 T2

C

El circuito térmico es

RB

RA RD

T1 T2

RC

Se puede representar como:

RA Req RD

Donde.

Y también:

CB

CBeq RR

RRR

DeqAtot RRRR

RESISTENCIA DE CONTACTO

Cuando se tienen dos superficies en contacto, debido a sus irregularidades, se presentan

secciones en donde se tienen caídas de temperatura entre estas dos superficies y por lo

tanto, una resistencia térmica llamada resistencia de contacto ( R”tc). El valor de esta

resistencia depende de la presión a que están unidas esta dos superficies, su material y del

tipo de fluido entre estas irregularidades.

A B

TA

TB

R”tc depende de:

* Acabado superficial

* Presión de contacto. x

* Fluido entre irregularidades

RA R”tc RB

xQ"

x

BAtc

Q

TTR

""

Ejemplo 2.1. El vidrio de ventana trasera de un carro de vidrio de 4 mm espesor, es desempañada por una resistencia eléctrica en su superficie interna. Determine la potencia eléctrica por unidad de área de la ventana para mantener una temperatura de 15 0C. La temperatura interior es de 25 0C y hi = 10 w/m2k, al exterior -10 0C y he = 65 w/m2k

SE CONOCE: Temperatura deseada vidrio y

condiciones interior y exterior de un carro.

SE BUSCA: Potencia por unidad de área para

mantener esa temperatura deseada.

SE ASUME:,Flujo unidimensional, estado estable

Propiedades constantes, radiación y resistencia

de película despreciables.

ESQUEMA.

Aire interior Aire del ambiente

Td

vidrio

T∞i T∞

hi he

Propiedades: Vidrio a 300 0K; k = 1.4 w/m 0K

ANÁLISIS. El circuito Térmico:

T∞i Tsi T∞e

1/hiA L/kA 1/heA

"eQ

eQ"

"Q

CTQconNota

mw

h

TT

hkL

TTQ

hkL

TTQ

h

TT

sie

i

sii

e

esie

e

esie

i

sii

0

2

6.4;0":

/127011

"

1"

1

b) SISTEMAS RADIALES

Un problema común es tener un cilindro hueco

cuyas superficies interior y exterior están a

fluidos de diferentes temperaturas.

L d2

d1

fluido fluido

caliente frío

T∞1 h1 Ts1 Ts2 T∞2 h2

En estado estable y sin generación.

Si k = Cte, integrando dos veces:

Con las condiciones de que:

01

dr

dTkr

dr

d

r

21 ln CrCrT

rLhRy

Lk

rr

R

quelopor

rr

TTLkQ

Tr

r

rrTT

rT

CrCTyCrCT

TrTyTrT

tconvtcond

ssr

sss

ss

ss

2

1

2

ln

ln

)(2

lnln

lnln

1

2

1

2

21

22

2

1

21

22122111

2211

CILINDRO HUECO COMPUESTO (TUBO)

Un tubo con dos capas de otros materiales

T3 Ts4

T2 B C T∞4, h4

r1 A r2 r3

r4

T∞1, h1

Ts1

Considerando el concepto de resistencia

térmica en sistemas radiales, se puede

deducir la ecuación del calor radial como:

Otra forma:

44

3

4

2

3

1

2

11

41

21

2

ln

2

ln

2

ln

21

LhrLk

rr

Lk

rr

Lk

rr

Lhr

TTQ

CBA

r

1

44332211

1lnlnln

11

4141

:

)(

4

1

13

41

2

31

1

21

1

t

r

r

hr

r

k

r

r

r

k

r

r

r

k

r

h

totr

R

AUAUAUAUquecumpleSe

U

TTUAR

TTQ

CBA

EL RADIO CRÍTICO

Cuando se usa un aislante en un cilindro o un tubo, se reducen las pérdidas de Calor, se incrementa la

resistencia de conducción. También se tiene el efecto de incrementar el área transferencia de calor por

convección reduciendo la resistencia exterior de la película. Estos efectos se deben cuando al variar el

radio exterior del aislante. Considerando un tubo con una capa de aislante.

T∞1h1 T∞3 , h3

ra

r2 L

Suponiendo que T1 = T2 = T∞t y que h1 y kt son muy grandes T1

T2T3

r1

r

3

3

2

31

:2

12

ln

h

krr

obtieneseceroaigualandoerarespectoderivandoLhrLk

rr

TTQ

acríticoa

a

aa

a

r

aislanteytubodadesConductivikyk

LhrLk

rr

Lk

rr

Lhr

TTQ

at

aa

a

t

r

3

21

2

11

31

21

2

ln

2

ln

21

LA ESFERA HUECA

Aplicando este método a una esfera

Hueca, para un volumen de control

Diferencial, la conservación de la energía

requiere que.

r

Ts1 Ts2

dr

En estado estable, unidireccional sin

generación de energía.

Si la Rt se define como la diferencia de

Temperaturas dividida por la razón de calor.

rQ

drrQ

drrr QQ

CteyrQQcondr

dTrk

dr

dTkAQ

r

r

)(

)4( 2

hrrrk

TTQ

hrR

rrkR

rr

TTkQ

CtekdTTkr

drQ

tconv

tcond

ssr

r

r

T

T

rs

s

2221

12

22

21

21

21

2

4111

41

4

1

11

4

1

11

)(4

;)(4

2

1

2

1

Ejemplo 2.2. Se tiene un tubo de vapor de diámetro exterior de 120 mm y aislado con silicato de calcio con 20 mm. Las temperaturas Ts1 = 800 0K y Ts2 = 490 0K. Encuentre el calor radial / m.

SE ASUME: Condición de estado estable, unidimensional y k = Cte

PROPIEDADES: k = 0,089 w/m K.

DIAGRAMA:

Ts2 ANÁLISIS

Ts1

Vapor

D1 = 0.12 m

D2 = 0.16 m COMENTARIO: El calor transferido fuera de la superficie es disipado a los alrededores

por convección y radiación.

mwQ

TTk

L

QQ

r

D

D

ssrr

/603ln

)490800)(089.0(2´

ln

)(2´

12.0

16.0

1

2

21

c) CONDUCCIÓN CON GENERACIÓN DE ENERGÍA TÉRMICA

La pared plana.

→ Energía uniforme Gen / Vol T∞1 ; h1 T∞2 ; h2

Si k = Cte

Ts1

q

Ts2

x

q

221

2)(

22;

2

)(;)(;2

0

21122

22

2122

121

21212

2

2

ssss

L

x

ssss

ss

TT

L

xTT

k

qLxT

TTL

k

qC

L

TTC

TLTTLTCxCxk

qT

k

q

dx

Td

CASO ESPECIAL

Cuando: Ts1 = Ts2 = Ts

-L x L

T∞ h q T∞ h

Qcond

Qconv

T0

Ts Ts

Note que en x = 0 no hay transferencia de

Calor a través del plano, puede representarse por una

superficie adiabática. En x = L

Qcond Qconv

T0 q Ts T∞ h

x L

2

0

0

2

0

2

22

)(2

)0(

12

)(

L

x

TT

TxT

Tk

qLTT

Tk

qLxT

s

s

sL

x

00

xdx

dT

h

LqTT

L

x

k

qL

dx

dT

xTdoconsideranTThdx

dTk

sLx

sLx

;)2

(2

)()(

2

2

CASO DE SISTEMAS RADIALES CON GENERACIÓN TÉRMICA

El cilindro. El modelo matemático es: Evaluando en r = 0; fluido frío T∞ ,h Ts

T(r = 0) = T0 Qr

r0

L

Relacionando Ts a la temperatura del fluido frío T∞

s

s

sr

Tr

r

k

rqrT

Crk

qTC

TrTdr

dTCI

CrCrk

qrT

Crk

q

dr

dTr

k

q

dr

dTr

dr

d

r

20

220

1202

00

212

12

14

)(

0;4

)(;0:

ln4

)(

2

01

00

1)(

r

r

TT

TrT

s

s

20

2200

0

020

142

)(

2

))(2()2(

r

r

k

rq

h

rqTrT

h

rqTT

TTLrhLrq

s

s

Ejemplo 2.3. Se tiene un conductor de cobre calibre 12 (2.33 mm de diámetro). La resistividad del cobre es de 1.73 x 10-8 Ώm, la conductividad térmica es de 380 w/mK y el coeficiente de transferencia de calor de 10 10 w/m2 k. Determine la ecuación en función de la corriente eléctrica de la diferencia de temperaturas máxima y del ambiente.

Para un cilindro la temperatura T( r ) tiene

su valor máximo en el centro, cuando r = 0

Se puede calcular el radio crítico si se forra

el conductor con un material que tenga por

ejemplo una ka = 0.11 w/mK.

Es interesante evaluar ΔT para este caso

del conductor aislado.

CeniT

xx

xiT

hr

k

kr

iTTT

r

i

Lr

Riqpero

k

rq

h

rqTTrT

e

ee

02

3232

82

020

2

max

220

2

20

2

200

max

1079.0

10165.110

38021

38010165.14

1073.1

21

4

:

42)0(

mmh

kR acrítico 11

10

11.0

d) ANÁLISIS DE ALETAS

Se usan aletas para incrementar el área de

contacto del fluido enfriador y así no

incrementar “h” por aumento de potencia.

dQconv

Qx dx

dAx Ac(x)

x Qx+dx

Haciendo el balance de energía:

Es la ecuación generalizada de una aleta

dxdx

QdQQ

SecciónA

dx

dTkAQ

QdQQ

xxdxx

c

cx

convdxxx

0)(11

0)(

.);(.

2

2

TTdx

dA

k

h

Adx

dT

dx

dA

Adx

Td

TTdx

dA

k

h

dx

dTA

dx

d

difáreadATTdAhQd

dxdx

dTA

dx

dk

dx

dTkAQ

s

c

c

c

sc

ssconv

ccdxx

ALETAS DE SECCIÓN UNIFORME

Cuando se tienen aletas como en el

Diagrama Qconv

fluido

T(0) = Tb ; T∞ → fluido T∞ , h

Tb t

Ac = Cte Ac

As = Px Qf w

x

L P = 2w+2t

P → Perímetro Qconv Ac= wt

d

As → área de base a “x” L P = πd

Qf Ac =πd2/4

Def.

0)(

mod;0

2

2

TTkA

hP

dx

Td

quedaeloeldx

dA

c

c

:;

)0(

)(

;0

;)()(

21

222

tieneSeLxcony

TTCon

CCx

kA

hPmm

dx

d

dx

dT

dx

dTxTx

bb

mxmx

c

CASO (A) Convección en el filo de la aleta

El calor fluye por conducción en la aleta y pasa

a convección en su filo como muestra la figura

Qconv

Tb

Qb = Qf

Resolviendo para C1 y C2

Se nota que el gradiente de temperatura

decrece con “x” por la pérdida continua de

calor por convección en caras de la aleta.

Af → Área total de aleta incluyendo el filo de la aleta.

])([

TLThAdx

dTkA c

Lxc

)()(

)(

])([

2121

21

mLmLmLmL

b

Lx

Lxcc

CCkmCCh

CCdx

dTkLh

dx

dTkATLThA

mLSenhmkh

mLCosh

xLmSenhmkh

xLmCosh

b ..

)(.)(.

sAA sf

bcf

xc

xcfb

dAxhdATxThQ

mLSenhmkh

mLCosh

mLCoshmkh

mLSenhhPkAQ

dx

dkA

dx

dTkAQQ

ff

)()(

..

..

00

OTROS CASOS DEL ANÁLISIS DE LA ALETA

CASO (B). Si la convección en el filo del aleta

es despreciable, se trata como adiabático.

NOTA. Para usar los resultados del análisis

del CASO (A), se tiene que en la práctica es

válido si (mL) < 2.65. Si (mL) ≥ 2.65 se puede

usar la aproximación infinita.

CASO ( C). Θ(L) = θL

CASO ( D ). L → ∞ ; θL → omLTanhhPkAQ

mxCosh

xLmCosh

dx

d

bcf

b

Lx

.

.

)(.

0

mLSenh

mLCoshhPkAQ

mLSenh

xLSenhmxSenh

bLbcf

bL

b

.

.

.

)(.

bcf

mx

b

hPkAQ

EJEMPLO 2.4. Una barra de bronce de 0.1 m largo y 0.005 m diámetro, se extiende horizontalmente de una fundición a Tb = 200 0C.La barra está en el ambiente a T∞ = 200 C y h = 30 w/m2 K. ¿ cual es la temperatura de la barra a 0.025, 0.050 y 0.1 m ?. Bronce a 110 0C; k = 133 w/mK

Diagrama. L = 0.1 m

Aire a T∞ y h x1 = 0.025 m,

x2 = 0.050 m

Tb d

x1 x2 L

x :

Evaluando.

b

c

mLSehmkh

mLCosh

xLmSenhmkh

xLmCosh

mLconmx

x

kd

h

dk

dh

kA

hPm

..

)(.)(.

34.143.13005.0133

304

4

4

121

21

21

2

21

)180(07.2

)(.0168.0)(.

18020200:

0168.0005.0133

3078.1.;04.2.

xLmSehxLmCosh

cony

xmk

hmLSenhmLCosh

b

X(m)

Cosh.

m(L-x)

Senh.

m(L-x)

θ T(0 )

X1 1.55 1.19 136.5 156.5

X2 1.24 0.725 108.9 128.9

L 1.00 0.00 87.0 107.0

RENDIMIENTO DE ALETAS

Rendimiento de una aleta

εf → Efectividad. Relación de la transferencia

de calor de la aleta a la razón de calor

transferido si no existiera la aleta. εf > 2 para

justificar las aletas.

En caso ( D )

El rendimiento se puede evaluar en términos de resistencia térmica.

Acb → Área de sección transversal de aleta en su base.

Eficiencia de una aleta “ηf”.

Af → Área de la superficie de la aleta.

Aleta recta, área transversal uniforma y filo

adiabático.

Filo adiabático, sección recta o cilíndrica

2

1

cf hA

kP

tconv

tcondf

cbtconv

f

btcond

R

R

hARy

QR

1

ff

fff hA

Q

Q

Q

max

LmL

mLTanh

hPL

mLMTanhf

bf ;10;

..

c

cf

bccf

c

c

mL

mLTanhhPkAMmLMTanhQ

cilíndricaSeccd

LL

rectaSecct

LL

..;.

4

2

RENDIMIENTO DE ALETAS II

Errores con la aproximación despreciables si: Aleta sección transversal no-uniforme:

Caso de secc. anular; Ac = 2πrt, varía con “r ”

Reemplazando “r” por “x” en Ec. de calor.

2

3

2

1

2

1

2

12

1

2

2

2

0625.02

cp

c

cp

c

c

ccc

c

LkA

hmL

tLAconyL

Lporndomultiplica

Lkt

hL

kA

hPmL

ywPtwSi

k

hdó

k

ht

clasesegundayprimeraceroordenBesseldefuncionesKyI

mrKCmrICrsolución

mdr

d

rdr

d

TTykt

mcon

SupladeÁrearrA

TTkt

h

dr

dT

rdr

Td

s

00

0201

22

2

2

21

2

2

2

)()()(:

01

2

2

0)(21

RENDIMIENTO DE ALETAS III

Eficiencia secc transversal no uniforme

t

r2c = r2 + t/2

r1 L Lc = L + t/2

Ap = Lct

r2

aletadetérmicasistenciahA

R

mrKmrImrImrK

mrKmrImrImrK

rrm

r

rrh

Q

mrKmrImrImrK

mrKmrImrImrKmtkr

dr

dtrk

dr

dTkAQ

mrImrKmrKmrI

mrImrKmrKmrI

fftaleta

b

ff

b

rrrrcbf

b

Re1

)()()()(

)()()()(

)(

2

)(2

)()()()(

)()()()()2(

)2(

)()()()(

)()()()(

21102110

2111211121

22

121

22

21102110

211121111

1

21102110

210210

11

EFICIENCIA DE SUPERFICIE GLOBAL

Se tienen “N” aletas en un equipo térmico, la eficiencia de superficie global es:

)1(1

exp

max

fT

fo

bbbffT

T

bfT

f

bf

ffo

A

NA

hAhANQ

ÁreaTotalAaletasdeNúmeroN

ANAA

uestaporciónÁreaaletadeÁreaA

hA

Q

Q

Q

Problema: Vapor de agua fluye por tubo Dext = D1 = 3 Cm a T = 120 0C. El tubo tiene aletas circulares de Al (k = 180 w/m 0C) de D2 = 6 Cm y espesor, t = 2 mm. El espacio entre aletas es de 3 mm por lo que son 200 aletas/m. El aire exterior está a T∞ = 25 0C, h = 60 W/m2 K. Determine el incremento de la TC del tubo/m por la adición de las aletas.

Análisis:

Si no se tienen aletas:

Asa = πD1L = π (0.03)(1) = 0.0942 m2

Para aletas circulares sujetas a un tubo en

una gráfica se tiene:

Con estos datos en la gráfica de eficiencia para esta aleta:

η = 0.96

La TC en parte libre de aletas es:W

TThAQ bsasa

537

)25120)(0942.0(60)(

07.2)102.3(80

60)016.0(

07.2015.0

031.0

102.3)002.0(016.0016.0015.0031.003.0

015.)03.006.0()(

52

33

2

2

252

002.0

2

2

002.0

222

2

1122

1

2

xkA

hL

r

r

mxtLAmLLmrr

mDDL

p

c

cp

tc

tc

c

W

TThAQQ

mrrA

baletaaletaaletaaleta

caleta

3.25)25120)(004624.0)(60(96.0

)(

004624.0)015.0031.0(2)(2

max

22221

22

10537

5380

48435375380

5380)6.13.25(200)(200

/200

6.1

)25120)(000283.0(60)(

000283.0)003.0)(03.0( 21

sa

Taleta

saTincremento

librealetaT

blibrelibre

libre

Q

Q

WQQQ

WQQQ

maletastienenSe

W

TThAQ

mSDA