Un conjunto de puntos Q se denomina convexo, cuando todo segmento determinado por dos puntos cualesquiera del conjunto, está contenido en este conjunto.

Definición

CONJUNTO CONVEXO DE PUNTOS

Se establece que un conjunto de puntos se llama conjunto no convexo si se encuentra que al menos un par de puntos de éste no satisface la condición de convexidad.

Si {M, N} Ì Q Ù Ì Q ® Q es convexo.

MN

Conjunto Convexo Conjunto No Convexo

ÁNGULO GEOMÉTRICO

De acuerdo con esta definición, los rayos que sirven de lados a un ángulo no deben estar en una misma recta, es decir, los rayos no son colineales.

Por lo anterior, el ángulo también se define como la figura formada por dos rayos no alineados de origen común.

DEFINICIÓN

Dados tres puntos A, O y B no alineados, se denomina ángulo geométrico AOB, denotado por AOB o BOA, a la figura formada por la reunión de los rayos OA y OB, llamados lados, cuyo origen común O se llama vértice del ángulo.

[Geometría, E. Moise, Harvard University]

Todo ángulo particiona al plano que lo contiene en tres conjuntos de puntos: el conjunto de puntos del ángulo y dos conjuntos llamados región interior y región exterior del ángulo.

[Fundamentos de Geometría, Hilbert, Alianza Editorial, 1967]

Se denomina partición de un conjunto P, a una colección de subconjuntos de P, ninguno de los cuales es vacío y tales que cada elemento de P pertenece a uno de los subconjuntos de P.

PARTICIÓN DE UN CONJUNTO

Si P es un plano y AOB un ángulo geométrico contenido en dicho plano, entonces se cumple que:

AXIOMA DE PARTICIÓN

YP = R1ÈR2 È{AOB}

Donde R1 es un conjunto convexo y R2 es un conjunto no convexo

MEDICIÓN DE ÁNGULOS

Es la característica de un ángulo referida a la forma en que están dispuestos sus lados y que define su separación.

Todas las unidades de medición angular se han establecido dividiendo a la circunferencia, o arco de ella, en partes iguales.

A) Abertura

Se define la medida de un ángulo como la medida de su abertura.

B) Medida de un ángulo

C) Unidad de medida angular

Medir un ángulo es establecer una comparación entre su abertura con la abertura de otro ángulo tomado como unidad de medida.

En adelante, la abertura de un ángulo se constituye en el objeto de medición.

DEFINICIONES BÁSICAS

11º<> circunferencia

360

1º1'= ó 1º=60'

60

1'1''= ó 1'=60''

60

El transportador

1º = 3600’’

1 circunf. = 360º

Es la unidad de medida de los ángulos geométricos que se define como la 360 ava parte de una circunferencia.

a) El grado

Se define como la 60 ava parte de un grado

b) El Minuto ( ´ )

Se define como la 60 ava parte de un minuto

c) El Segundo ( ´´ )

0º < q < 180º

Si q es la medida del ángulo AOB, entonces según este postulado se cumple que:

Ejemplo.- ¿Cuántos ángulos geométricos se pueden identificar en la figura mostrada?

POSTULADO DE LA MEDIDA DE UN ÁNGULO GEOMÉTRICO

El valor de la medida de un ángulo geométrico AOB, denotado por m AOB, es un número real comprendido entre 0 y 180.

[Geometría Elemental, PhD. Pogorélov, Ed. Mir, Moscú, 1974]

Sólo dos: AOB y BOC

Rpta:

Nota.- Si un ángulo geométrico midiera 0º ó 180º no tendría definidas su región interior ni región exterior.

Ejemplo 1.- Expresemos la medidas de los siguientes ángulos en minutos y segundos:

Ejemplo 2.- Convertir a grados: g = 30º 15’ 18’’

a) a = 30º® a = 30(60’) = 1800’

b) b = 12,5º ® b = 12,5º(60’) = 750’

® g = 30º + 15’ + 18’’® g = 30º + 0,25º + 0,005º® g = 30º,255º

® a = 1800’(60’’) = 21600’’

® b = 750(60’’) = 45000’’

1º

15'=15' =0,25º60'

1º18'' 18 '' 0,005º

3600 ''

I. SEGÚN SU MEDIDA

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS GEOMÉTRICOS

Ángulo Agudo

Ángulo Recto

Ángulo Obtuso

II. SEGÚN LA POSICIÓN DE SUS LADOS

Adyacentes Par lineal ConsecutivosOpuestos por el vértice

III. SEGÚN LA RELACIÓN ENTRE SUS MEDIDAS

ÁngulosComplementarios

ÁngulosSuplementarios

+ a b = 90º + a b = 180º

Nota.- El par lineal formado por dos ángulos adyacentes tiene además la característica de que estos son suplementarios

El complemento de a se denota como:

Ca = 90º - a

El suplemento de a se denota como:

Sa = 180º - a

a) Decimos que a es el complemento de b y viceversa.

b) Decimos que a es el suplemento de b y viceversa.

Prob. 01 (LIBRO)Determinar la medida de un ángulo, si la suma del suplemento y el complemento de dicho ángulo es igual a 160º.

Sea a la medida del ángulo que nos piden, entonces:

Sa = 180 - a Ca = 90 – (1)ay

270º - 2a = 160º

Según el enunciado:

Sa+ Ca = 160º (2)

Reemplazando (1) en (2):(180º - a) + (90º - a) = 160º

\ a = 55º

CONGRUENCIA DE ÁNGULOS

Dos ángulos AOB y PQR, son congruentes, denotado por AOB PQR , cuando sus medidas son iguales.

Ejemplo 1.- En la figura se verifica que: m AOB=m PQR

Luego podemos afirmar que: AOB m PQR

Ejemplo 2.- Sabiendo que:AOB MPRSe pide calcular el valor de “x”.Por definición de congruencia de ángulos geométricos se tiene:

MPR m® x + 13º = 68º \ x = 55º

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

Dado un ángulo AOB y un punto P de su región interior, el rayo OP es bisectriz del AOB, si y sólo si los ángulos AOP y POB son congruentes.

Graficamos y asumimos que:

m QOP = x

Prob. 04 (LIBRO)Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD; OP: bisectriz del AOB; OQ: bisectriz del COD. Si: m AOC + m BOD = 140º, se pide calcular m QOP.

Por ángulos consecutivos: x = + + b q a . . . (1)

Por dato: m AOC + m BOD = 140° …(*)

Pero: m AOC = 2a + q y m BOD = q + 2b

Reemplazando en (*): (2a + q) + (q + 2b) = 140°Simplificando: + + a q b = 70

... (2)Reemplazando (2) en (1):

x = 70°

® 2a + 2q + 2b = 140°

RECTAS PARALELAS

Dos rectas se llaman paralelas si no se intersectan por más que se prolonguen.

5TO POSTULADO DE EUCLIDES

“Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y solo una paralela a ésta”.

Si la recta AB es paralela a la recta CD se denota como:

P

A B

ÁNGULOS DETERMINADOS POR DOS PARALELAS Y UNA SECANTE

Si L1 y L2 son dos rectas paralelas intersectadas por una

tercera recta L3, llamada secante, entonces se verifica que entre todas determinan ocho ángulos congruentes dos a dos.

ÁNGULOS CORRESPONDIENTES

c @ g

d @ h

b @ f

a @ e

m a=m g

m b=m hÁNGULOS ALTERNOS

EXTERNOS

m c=m e

m d=m fÁNGULOS ALTERNOS

INTERNOS

m a+m h=180º

m b+m g=180ºÁNGULOS CONJUGADOS

EXTERNOS

m d+m e=180º

m c+m f=180ºÁNGULOS CONJUGADOS

INTERNOS

Se dice que dos rectas son perpendiculares, o bien una de ellas es normal a la otra, cuando se cortan en ángulo recto.

RECTAS PERPENDICULARES

Definición

PostuladoPor un punto exterior a una recta pasa una y sola una perpendicular a la primera.

Dos segmentos son perpendiculares si las rectas que los contienen son perpendiculares.

Si la recta AB es perpendicular a la recta CD se denota como: AB^CD

L1

L2

P

\ x = 80º

x = + a b . . . . (1)

Reemplazando (2) y (3) en (1): x = 50º + 30º

Prob. 18 (LIBRO)En la figura mostrada las rectas L1 y

L2 son paralelas, calcular x.

a = 50º . . . . (2)

Se traza L3||L1||L2, de este modo se puede reconocer que:

b = 30º . . . . (3)

Entre L1 y L3, reconocemos que a y 50º son alternos internos, luego:

Entre L2 y L3 por alternos internos, luego:

Propiedad.-Del problema anterior:

x = + a b

Prob. 19En la figura mostrada las rectas L1 y

L2 son paralelas. Se pide calcular x.

A continuación empleamos la propiedad del problema anterior entre L1 y L3:

\ x = 30º

Utilizando la propiedad de ángulos alternos internos se determinan los ángulos comprendidos entre las secantes y las paralelas adicionales.

® x = 10º + 20º

Propiedad.- En este tipo de casos se cumple que:

x + y = + + a b g

Se trazan L3 y L4 paralelas a L1

y L2.