2 Energía electrostática y Capacidad III/Teori… · 2.1 Energía electrostática 2.2 Campo E~ en...
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2 Energía electrostática y Capacidad
M. Mudarra
2.1 Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
● Ejemplo
● Densidad de energía
electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
2.2 Campo ~E en presencia de
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
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2.1 Energía electrostática
2.1 Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
● Ejemplo
● Densidad de energía
electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
2.2 Campo ~E en presencia de
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
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Energía electrostática■ El campo eléctrostático es conservativo: el trabajo realizado
contra él queda almacenado en forma de energía potencial.■ Comencemos por un caso sencillo: energía almacenda en
un sistema de dos cargas puntuales.■ Llevamos las cargas desde el infinito hasta su posición final.
■ Desplazar la primera carga no requiereningún trabajo.
■ Desplazar la segunda carga requiere untrabajo:
W = −
∫ r21
∞
q21
4πε0
q1
r2dr =
1
4πε0
q1q2
r21
2.1 Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
● Ejemplo
● Densidad de energía
electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
2.2 Campo ~E en presencia de
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
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Energía electrostática
W =1
4πε0
q1q2
r21
■ La expresión calculada representa también el trabajo quedesarrollará el sistema si lo dejamos expansionarse hastauna distancia infinita.
■ Por lo tanto, la expresión anterior representa la energíapotencial que posee la configuración constituida con las doscargas.◆ W > 0 El sistema realiza trabajo sobre el entorno al
expansionarse.◆ W < 0 El sistema recibe trabajo del exterior al
expansionarse.
2.1 Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
● Ejemplo
● Densidad de energía
electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
2.2 Campo ~E en presencia de
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
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Energía electrostáticaCalculemos el trabajo necesario para formar una configuraciónde tres cargas, desplazándolas desde el infinito.
■ Desplazar la primera carga no requiereningún trabajo.
■ Desplazar la segunda requiere un trabajo:
W =1
4πε0
q1q2
r21
■ Desplazar finalmente la tercera requiere
W =1
4πε0
q1q3
r31+
1
4πε0
q2q3
r32El trabajo total necesario es, pues:
W =1
4πε0
q1q2
r21+
1
4πε0
q1q3
r31+
1
4πε0
q2q3
r32
2.1 Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
● Ejemplo
● Densidad de energía
electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
2.2 Campo ~E en presencia de
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
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Energía electrostática
Si definimos la cantidadUij como:
Uij =1
4πε0
qiqj
rij
Podemos extrapolar la expresión del trabajo para formar unadistribución de n cargas como
W =∑
todos los pares
Uij =∑
todos los pares
1
4πε0
qiqj
rij
W =
n∑
i=1
n∑
j 6=i
1
2Uij =
n∑
i=1
n∑
j 6=i
1
2
1
4πε0
qiqj
rij
■ j 6= i : las cargas no interaccionan consigo mismo■ El factor 1
2 se incluye para contar una sóla vez los términos
1
4πε0
qmqn
rmn
1
4πε0
qnqm
rnm
2.1 Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
● Ejemplo
● Densidad de energía
electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
2.2 Campo ~E en presencia de
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
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Energía electrostática
La expresión anterior se puede reescribir como
W =1
2
n∑
i=1
qi
n∑
j 6=i
1
4πε0
qj
rij
En la que
Vi =n∑
j 6=i
1
4πε0
qj
rij
Es el potencial que el resto de cargas de la distribución creanen el la posición que ocupa la carga i-ésimaFinalmente
W =1
2
n∑
i=1
qiVi
2.1 Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
● Ejemplo
● Densidad de energía
electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
2.2 Campo ~E en presencia de
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
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Energía electrostáticaEn el caso de distribuciones continuas de carga podemosexpresar la energía electrostática comoW = 1
2
∑n
i=1 qiVi → W = 12
∫
V olV dq = 1
2
∫
V olV ρ dv
■ dq = ρ dv: elemento de carga en elpunto de posición ~r(x, y, z).
■ V : es el valor del potencial en dichopunto debido a la distribuciónformada.
El resultado de la integral es el mismo si lo extendemos a todoel espacio (T.E.): fuera de dicho volumen ρ = 0
W =1
2
∫
V ol
V ρ dv =1
2
∫
T.E.
V ρ dv
2.1 Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
● Ejemplo
● Densidad de energía
electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
2.2 Campo ~E en presencia de
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
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EjemploEnergía potencial electrostática de una distribución uniformede carga en forma de esfera de radio a.
2.1 Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
● Ejemplo
● Densidad de energía
electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
2.2 Campo ~E en presencia de
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
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Ejemplo
2.1 Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
● Ejemplo
● Densidad de energía
electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
2.2 Campo ~E en presencia de
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
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Ejemplo
2.1 Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
● Ejemplo
● Densidad de energía
electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
2.2 Campo ~E en presencia de
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
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Densidad de energía electrostáticaLa expresión de la energía electrostática de la distribución sepuede reescribir como
W =1
2
∫
T.E.
V ρ dv = . . . =1
2
∫
T.E.
ε0 E2 dv
( Ver en la bibliografía los pasos . . . )Podemos definir
ue =dW
dv=
1
2ε0E
2
Densidad de energía electrostática:En cada punto del espacio donde está pre-sente el campo que crea la distribución hayuna fracción elemental de la energía elec-trostática de la distribución
dW = ue dv =1
2ε0E
2 dv
La energía electrostática de la distribución es:
W =
∫
T.E.
dW =
∫
T.E.
ue dv =
∫
T.E.
1
2ε0E
2 dv
2.1 Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
● Ejemplo
● Densidad de energía
electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
2.2 Campo ~E en presencia de
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
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EjemploEnergía potencial electrostática de una distribución uniformede carga en forma de esfera de radio a.
2.1 Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Energía electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
● Ejemplo
● Densidad de energía
electrostática
● Ejemplo
● Ejemplo
2.2 Campo ~E en presencia de
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
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Ejemplo
2.1 Energía electrostática
2.2 Campo ~E en presencia de
conductores
● Conductores y aisladores
● Campo en un conductor
● Potencial del conductor
● Carga en un conductor
● Ejemplo
● Ejemplo
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
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2.2 Campo ~E en presencia deconductores
2.1 Energía electrostática
2.2 Campo ~E en presencia de
conductores
● Conductores y aisladores
● Campo en un conductor
● Potencial del conductor
● Carga en un conductor
● Ejemplo
● Ejemplo
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
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Conductores y aisladores
Desde el punto de vista de su comportamiento eléctrico losmateriales se dividen en dos grupos de comportamientoextremo ideal
Aislantes odieléctricos
movilidad nula de los portadoresNo transportan la carga eléctrica“Electrización local ”
Conductoresmovilidad infinita de los portadoresTransportan la carga eléctrica“Electrización global ”
2.1 Energía electrostática
2.2 Campo ~E en presencia de
conductores
● Conductores y aisladores
● Campo en un conductor
● Potencial del conductor
● Carga en un conductor
● Ejemplo
● Ejemplo
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
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Campo en un conductorNos vamos a ocupar del problema del campo en un conductoren equilibrio electrostático
■ Eint = 0: el campo en el interior es nulo(en caso contrario no podría haberequilibrio electrostático)
■ Et = 0: la componente tangencial delcampo en los puntos de la superficie esnula.
■ En 6= 0: Sólo la componente normal delcampo en los puntos de la superficiepuede ser diferente de cero.
2.1 Energía electrostática
2.2 Campo ~E en presencia de
conductores
● Conductores y aisladores
● Campo en un conductor
● Potencial del conductor
● Carga en un conductor
● Ejemplo
● Ejemplo
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
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Potencial del conductor
Como el campo establece diferencias de potencial y es normala las superficies equipotenciales:
VB = VA −
∫ B
A
~E · ~dl ~E = −∇V
En equilibrio electrostático:■ Todo el volumen del conductor está al mismo potencial.■ La superficie es una equipotencial (mismo potencial que el
volumen).■ Podemos hablar del potencial de un conductor.
2.1 Energía electrostática
2.2 Campo ~E en presencia de
conductores
● Conductores y aisladores
● Campo en un conductor
● Potencial del conductor
● Carga en un conductor
● Ejemplo
● Ejemplo
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
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Carga en un conductorComo en el interior ~E = 0 y
∮
S′
~E · ~ds =1
ε0
∫
V ′
ρ dv
, para cualquier V ′ dentro del conduc-tor → ρ = 0 en el interior.
Sólo puede haber carga en la super-ficie del conductor. Está relacionadacon el campo en la superficie median-te
En =σ
ε0
2.1 Energía electrostática
2.2 Campo ~E en presencia de
conductores
● Conductores y aisladores
● Campo en un conductor
● Potencial del conductor
● Carga en un conductor
● Ejemplo
● Ejemplo
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
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EjemploDeterminar el campo y el potencial creados por una esferaconductora de radio a cargada con una carga Q
2.1 Energía electrostática
2.2 Campo ~E en presencia de
conductores
● Conductores y aisladores
● Campo en un conductor
● Potencial del conductor
● Carga en un conductor
● Ejemplo
● Ejemplo
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 21/44
Ejemplo
2.1 Energía electrostática
2.2 Campo ~E en presencia de
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday● Ejemplo: Apantallamiento
electrostático
● Ejemplo: conexión a tierra
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 22/44
2.3 Apantallamiento. Jaula de Faraday
2.1 Energía electrostática
2.2 Campo ~E en presencia de
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday● Ejemplo: Apantallamiento
electrostático
● Ejemplo: conexión a tierra
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 23/44
Ejemplo: Apantallamiento electrostático
Campo y potencial en el interior de una cavidad practicada enun conductor.
2.1 Energía electrostática
2.2 Campo ~E en presencia de
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday● Ejemplo: Apantallamiento
electrostático
● Ejemplo: conexión a tierra
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 24/44
Ejemplo: conexión a tierra
Conexión a tierra de un conductor.
2.1 Energía electrostática
2.2 Campo ~E en presencia de
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
● Capacitancia
● Capacidad de un conductor
● Sistemas de conductores en
influencia● Influencia total de dos
conductores● Influencia total de dos
conductores● Geometría prácticas de
condensadores
● Ejemplo: condensador plano
● Ejemplo: condensador plano● Ejemplo: condensador
esférico● Ejemplo: condensador
esférico● Asociación de
condensadores
● Asociación en paralelo
● Asociación en serie
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 25/44
2.4 Capacidad de un conductor.Condensadores
2.1 Energía electrostática
2.2 Campo ~E en presencia de
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
● Capacitancia
● Capacidad de un conductor
● Sistemas de conductores en
influencia● Influencia total de dos
conductores● Influencia total de dos
conductores● Geometría prácticas de
condensadores
● Ejemplo: condensador plano
● Ejemplo: condensador plano● Ejemplo: condensador
esférico● Ejemplo: condensador
esférico● Asociación de
condensadores
● Asociación en paralelo
● Asociación en serie
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 26/44
Capacitancia
■ Uno de los usos más antiguos de los conductores era elalmacenamiento de carga: capacitores
■ La magnitud que cuantifica esta propiedad física es lacapacitancia
la carga por unidad de potencial que almacena el sistema.■ De manera general los sistemas de conductores que tienen
interés desde este punto de vista son:◆ Un conductor aislado◆ Dos conductores con cargas de igual magnitud, pero de
signos opuestos.
2.1 Energía electrostática
2.2 Campo ~E en presencia de
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
● Capacitancia
● Capacidad de un conductor
● Sistemas de conductores en
influencia● Influencia total de dos
conductores● Influencia total de dos
conductores● Geometría prácticas de
condensadores
● Ejemplo: condensador plano
● Ejemplo: condensador plano● Ejemplo: condensador
esférico● Ejemplo: condensador
esférico● Asociación de
condensadores
● Asociación en paralelo
● Asociación en serie
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 27/44
Capacidad de un conductorComo el potencial de un conductor es una propiedad “biendefinida” y es proporcional a la carga neta que contiene,podemos definir su capacitancia C como:
C =Q
V
Ejemplo: Capacitancia de una esfera conductora de radio a.
La capacidad de un conductor sólo depende de su geometría.No depende de la carga neta que contiene, ni de su potencial
2.1 Energía electrostática
2.2 Campo ~E en presencia de
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
● Capacitancia
● Capacidad de un conductor
● Sistemas de conductores en
influencia● Influencia total de dos
conductores● Influencia total de dos
conductores● Geometría prácticas de
condensadores
● Ejemplo: condensador plano
● Ejemplo: condensador plano● Ejemplo: condensador
esférico● Ejemplo: condensador
esférico● Asociación de
condensadores
● Asociación en paralelo
● Asociación en serie
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 28/44
Sistemas de conductores en influenciaCoeficientes de potencial y de capacidad
V1
V2
...Vn
=
p11 p12 . . . p1n
p21 p22 . . . p2n
......
......
pn1 pn2 . . . pnn
Q1
Q2
...Qn
Q1
Q2
...Qn
=
c11 c12 . . . c1n
c21 c22 . . . c2n...
......
...cn1 cn2 . . . cnn
V1
V2
...Vn
Qi =
n∑
j=1
cijVj Vi =
n∑
j=1
pijQj
cij = cji pij = pji
Los coeficientes cij y pij solo dependen de la geometría delsistema de conductores
2.1 Energía electrostática
2.2 Campo ~E en presencia de
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
● Capacitancia
● Capacidad de un conductor
● Sistemas de conductores en
influencia● Influencia total de dos
conductores● Influencia total de dos
conductores● Geometría prácticas de
condensadores
● Ejemplo: condensador plano
● Ejemplo: condensador plano● Ejemplo: condensador
esférico● Ejemplo: condensador
esférico● Asociación de
condensadores
● Asociación en paralelo
● Asociación en serie
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 29/44
Influencia total de dos conductores
General Total
∮
~E · ~ds 6= 0∮
~E · ~ds = 0
∑
Qint = 0
Q1 = −Q2
2.1 Energía electrostática
2.2 Campo ~E en presencia de
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
● Capacitancia
● Capacidad de un conductor
● Sistemas de conductores en
influencia● Influencia total de dos
conductores● Influencia total de dos
conductores● Geometría prácticas de
condensadores
● Ejemplo: condensador plano
● Ejemplo: condensador plano● Ejemplo: condensador
esférico● Ejemplo: condensador
esférico● Asociación de
condensadores
● Asociación en paralelo
● Asociación en serie
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
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Influencia total de dos conductoresV1 = p11Q1 + p12Q2
V2 = p21Q1 + p22Q2
comop12 = p21 Q1 = −Q2 = Q
resulta
V1 = (p11 − p12)Q
V2 = (p12 − p22)Q
y
V1 − V2 = (p11 + p22 − 2p12)Q
∆V = (p11 + p22 − 2p12)Q
C =Q
∆V=
1
p11 + p22 − 2p12
2.1 Energía electrostática
2.2 Campo ~E en presencia de
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
● Capacitancia
● Capacidad de un conductor
● Sistemas de conductores en
influencia● Influencia total de dos
conductores● Influencia total de dos
conductores● Geometría prácticas de
condensadores
● Ejemplo: condensador plano
● Ejemplo: condensador plano● Ejemplo: condensador
esférico● Ejemplo: condensador
esférico● Asociación de
condensadores
● Asociación en paralelo
● Asociación en serie
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 31/44
Geometría prácticas de condensadoresCondensador: sistema de dos conductores en influencia total:
C =Q
∆V
Su capacitancia sólo depende de su geometría. Es la razónentre la “carga desplazada” y la diferencia de potencial entresus armaduras.
Planos Cilíndricos Esféricos
2.1 Energía electrostática
2.2 Campo ~E en presencia de
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
● Capacitancia
● Capacidad de un conductor
● Sistemas de conductores en
influencia● Influencia total de dos
conductores● Influencia total de dos
conductores● Geometría prácticas de
condensadores
● Ejemplo: condensador plano
● Ejemplo: condensador plano● Ejemplo: condensador
esférico● Ejemplo: condensador
esférico● Asociación de
condensadores
● Asociación en paralelo
● Asociación en serie
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 32/44
Ejemplo: condensador planoDeterminar la capacidad de un condensador plano, de ar-maduras paralelas de sección s, separadas por una distancia d.
2.1 Energía electrostática
2.2 Campo ~E en presencia de
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
● Capacitancia
● Capacidad de un conductor
● Sistemas de conductores en
influencia● Influencia total de dos
conductores● Influencia total de dos
conductores● Geometría prácticas de
condensadores
● Ejemplo: condensador plano
● Ejemplo: condensador plano● Ejemplo: condensador
esférico● Ejemplo: condensador
esférico● Asociación de
condensadores
● Asociación en paralelo
● Asociación en serie
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 33/44
Ejemplo: condensador plano
2.1 Energía electrostática
2.2 Campo ~E en presencia de
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
● Capacitancia
● Capacidad de un conductor
● Sistemas de conductores en
influencia● Influencia total de dos
conductores● Influencia total de dos
conductores● Geometría prácticas de
condensadores
● Ejemplo: condensador plano
● Ejemplo: condensador plano● Ejemplo: condensador
esférico● Ejemplo: condensador
esférico● Asociación de
condensadores
● Asociación en paralelo
● Asociación en serie
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 34/44
Ejemplo: condensador esféricoDeterminar la capacidad de un condensador esférico,constituido por una esfera conductora de radio externo a,rodeada por una capa esférica metálica concéntrica de radiointerior b.
2.1 Energía electrostática
2.2 Campo ~E en presencia de
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
● Capacitancia
● Capacidad de un conductor
● Sistemas de conductores en
influencia● Influencia total de dos
conductores● Influencia total de dos
conductores● Geometría prácticas de
condensadores
● Ejemplo: condensador plano
● Ejemplo: condensador plano● Ejemplo: condensador
esférico● Ejemplo: condensador
esférico● Asociación de
condensadores
● Asociación en paralelo
● Asociación en serie
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 35/44
Ejemplo: condensador esférico
2.1 Energía electrostática
2.2 Campo ~E en presencia de
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
● Capacitancia
● Capacidad de un conductor
● Sistemas de conductores en
influencia● Influencia total de dos
conductores● Influencia total de dos
conductores● Geometría prácticas de
condensadores
● Ejemplo: condensador plano
● Ejemplo: condensador plano● Ejemplo: condensador
esférico● Ejemplo: condensador
esférico● Asociación de
condensadores
● Asociación en paralelo
● Asociación en serie
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 36/44
Asociación de condensadores
■ En un circuito pueden aparecer sistemas o redes decapacitores interconectados.
■ El condensador equivalente o capacitancia equivalente de lared es el condensador al que, aplicando la misma diferenciade potencial enre sus bornes, desplaza la “misma carga”que la red enre sus armaduras.
■ Dos topologías básicas◆ Asocición en serie.◆ Asociación en paralelo.
2.1 Energía electrostática
2.2 Campo ~E en presencia de
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
● Capacitancia
● Capacidad de un conductor
● Sistemas de conductores en
influencia● Influencia total de dos
conductores● Influencia total de dos
conductores● Geometría prácticas de
condensadores
● Ejemplo: condensador plano
● Ejemplo: condensador plano● Ejemplo: condensador
esférico● Ejemplo: condensador
esférico● Asociación de
condensadores
● Asociación en paralelo
● Asociación en serie
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 37/44
Asociación en paralelo
V1 = V2 = VAB
Q1 = C1VAB
Q2 = C2VAB
QT = Q1+Q2 = C1VAB+C2VAB = (C1+C2)VAB
Comparando con
QT = CeqVAB
resultaCeq = C1 + C2
Es fácil extrapolar que en la asociación en paralelo de n
condensadores:
Ceq =
n∑
i=1
Ci
2.1 Energía electrostática
2.2 Campo ~E en presencia de
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
● Capacitancia
● Capacidad de un conductor
● Sistemas de conductores en
influencia● Influencia total de dos
conductores● Influencia total de dos
conductores● Geometría prácticas de
condensadores
● Ejemplo: condensador plano
● Ejemplo: condensador plano● Ejemplo: condensador
esférico● Ejemplo: condensador
esférico● Asociación de
condensadores
● Asociación en paralelo
● Asociación en serie
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 38/44
Asociación en serieQ1 = Q2 = Q
Q = C1V1
Q = C2V2
VAB = V1 + V2 =Q
C1+
Q
C2= Q
(
1
C1+
1
C2
)
Comparando con
VAB =Q
Ceq
resulta1
Ceq
=1
C1+
1
C2
Es fácil extrapolar que en la asociación en paralelo de n
condensadores:1
Ceq
=n∑
i=1
1
Ci
2.1 Energía electrostática
2.2 Campo ~E en presencia de
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador● Energía almacenda en un
condensador● Ejemplo: Caso del
condensador esférico
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 39/44
2.5 Energía almacenada por uncondensador
2.1 Energía electrostática
2.2 Campo ~E en presencia de
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador● Energía almacenda en un
condensador● Ejemplo: Caso del
condensador esférico
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 40/44
Energía almacenda en un condensador
Hemos visto que en los condensadores, el campo eléctricoqueda “confinado” en una región limitada del espacio. Comoen los puntos donde está presente el campo hay una densidadde energía
ue =1
2ε0E
2
Los condensadores almacenan energía elecrostática.
Ejemplo: Determinar la energía almacenada por uncondenador plano.
2.1 Energía electrostática
2.2 Campo ~E en presencia de
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador● Energía almacenda en un
condensador● Ejemplo: Caso del
condensador esférico
2.6 Fuerzas sobre conductores
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 41/44
Ejemplo: Caso del condensador esféricoEnergía almacenada por un condenador esférico.
El campo en la región a ≤ r ≤ b es
E =Q
4πε0r2
luego
ue =1
2ε0E
2 =Q2
32π2ε0r4
Así:
W =
∫
T.E.
ue dv =
∫
b
a
Q2
32π2ε0r44πr
2dr
W =Q2
8πε0
(
1
a−
1
b
)
=Q2(b − a)
8πε0 a b
Como C =4πε0ab
b−a, entonces W = 1
2
Q2
C= 1
2C(∆V )2 = 1
2Q ∆V
No lo hemos demostrado en general (sólo comprobado en doscasos). Pero es válido en general que:
Wcond =1
2
Q2
C=
1
2C(∆V )2 =
1
2Q ∆V
2.1 Energía electrostática
2.2 Campo ~E en presencia de
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
● Presión electrostática● Ej.: fuerza sobre la placa de
un condensador
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 42/44
2.6 Fuerzas sobre conductores
2.1 Energía electrostática
2.2 Campo ~E en presencia de
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
● Presión electrostática● Ej.: fuerza sobre la placa de
un condensador
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 43/44
Presión electrostática
pe =dFn
ds=
σ2
2ε0=
1
2ε0E
2n
(En = σε0
)
2.1 Energía electrostática
2.2 Campo ~E en presencia de
conductores
2.3 Apantallamiento. Jaula de
Faraday
2.4 Capacidad de un conductor.
Condensadores
2.5 Energía almacenada por un
condensador
2.6 Fuerzas sobre conductores
● Presión electrostática● Ej.: fuerza sobre la placa de
un condensador
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 44/44
Ej.: fuerza sobre la placa de un condensadorFuerza sobre la placa de un condensador plano
