2. Estado Triaxial de Esfuerzos 2016

8/18/2019 2. Estado Triaxial de Esfuerzos 2016

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Estado de esfuerzotriaxial

Ing. Norberto D. Ñique G.


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Estado de esfuerzos en un punto

A

F n

A

lím

0

σ

A

F t

Alím

0

τ


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La intensidad de fuerza o fuerza por unidad de área, actuando normal a ∆A, se define como

esfuerzo normal ,σ (sigma)quematemáticamentepuedeexpresarsecomo:

AF n

Alím

0

σ

De lamisma manera, a la intensidad de la fuerza, que actúa tangentea ∆A, se ledenomina

esfuerzo cortante τ (tau). Estacomponenteseexpresamatemáticamentecomo:

AF t

Alím

0

τ

A

F z

A

z lím

0

σ

AF x

A

zx lím 0τ

A

F y

A

zy lím

0

τ

k ji z zy zxnk σττσ


4/23

z zy zx

yz y yx

xz xy x

σττ

τστ

ττσ

Estado de esfuerzos en un punto


5/23


6/23


7/23

cos xn=lxn

cos yn=lyn

cos zn=lzn

lxn2+ lyn2+ lzn2=1

Estado de esfuerzos en un plano oblicuo (arbitrario)

z zy zx

yz y yx

xz xy x

σττ

τστ

ττσ

l2+ m2+ n2=1

Conocido el estado de esfuerzos en un punto:

Se pretende determinar el valor de nr

para un plano oblicuo cualquiera que pasa por

el punto.

El plano será identificado por sus correspondientes cosenos directores:


8/23


9/23

Planteando el equil ibrio de fuerzas en el eje x

lznlynlxn zx yx xnx ττσσ

z y x zx yx xnx ττσσ

z y x zx yx xnx ττσσ


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lznlynlxn zy y xyny τστσ

lznlynlxn z yz xznz σττσ

Conocidas las componentes cartesianas el esfuerzo resultante en el plano oblicuo

será:

2222

nznynxnr σσσσ

El esfuerzo resultante depende del estado de esfuerzos en el punto y de la

orientación del plano oblicuo , es decir de sus cosenos directores

Componentes cartesianas del esfuerzo resultante en el plano obl icuo


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Al proyectar lascomponentescartesianasenladirecciónn

lznlynlxnnznynxn

σσσσ

Reemplazando los valores de las componentes cartesianas en la ecuación anterior se obtiene:

)(2222 lxnlznlznlynlynlxnlznlynlxn zx yz xy z y xn τττσσσσ

222

nt nnr τσσ


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El estado general de esfuerzos en un punto, no da una visión clara de la manera en la

que actúan las fuerzas que se transmiten por el elemento diferencial.

La transmisión de fuerzas puede ser:

Uniaxial

Biaxial

Triaxial

z zy zx

yz y yx

xz xy x

σττ

τστ

ττσ

3

2

1

00

0000

σ

σ

σ

Estado de esfuerzos principales


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1. En cualquier estado de esfuerzos en un punto, un elemento se puede orientar de

tal forma que los esfuerzos cortantes se conviertan en un valor cero sobre todas

las superficies.

2. Las tres direcciones normales a las superficies del elemento así orientadas se lasdenomina orientaciones principales.

3. Los esfuerzos normales p

( p: 1, 2 y 3) que actúan en tal elemento se les

denomina Esfuerzos Principales

La ecuación:

)(2222 lxnlznlznlynlynlxnlznlynlxn zx yz xy z y xn τττσσσσ

Es una cuadrática en un espacio de cosenos directores, una propiedad de ella es

que hay una terna de direcciones, denominadas direcciones principales en las que

se anulan las componentes bilineales, es decir: en esta ecuación cuadrática de

esfuerzos habrá tres direcciones en las cuales se anulan las componentes

cortantes (tangenciales, cizallantes)

A los esfuerzos normales correspondientes a estas tres direcciones

se les denomina:

Esfuerzos Principales.


14/23

lxp p px σσ

lyp p py σσ

lzp p pz σσ

0)-( lzplyplxp xz xy p x ττσσ

0)-( lzplyplxp yz p y yx τσστ

0)-( lzplyplxp p z yz zx σσττ

Las tres ecuaciones anteriores son linealmente homogéneas con respecto a los

cosenos directores, la solución correspondería a igualar a cero el determinante de

los coeficientes de cosenos directores puesto que estos cosenos directores lxp, lyp

y lzp no pueden ser todos iguales.

0

lzplyplxp

lzplyplxp

lzplyplxp

p z yz xz

yz p y xy

xz xy p x

σσττ

τσστ

ττσσ

El desarrollo de esta determinante es la ecuación cúbica:


Reemplazando en las ecuaciones

de componentes cartesianas en un

plano oblicuo o arbitrario : n=p

obtenemos las componentes

cartesianas del esfuerzo principal p


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0

p z yz xz

yz p y xy

xz xy p x

σσττ

τσστ

ττσσ

El desarrollo de esta determinante es una ecuación cúbica (Ω):

0

lzp

lyp

lxp

p z yz xz

yz p y xy

xz xy p x

σσττ

τσστ

ττσσ

...)()( 22223

p zx yz xy x z z y y x p z y x p στττσσσσσσσσσσσ

0)2(...

222

xy z zx y yz x zx yz xy z y x τστστστττσσσ

Las tres raíces de la ecuación anterior corresponden a esfuerzos principales:

321 y, σσσ 321 σσσ


16/23

Para determinar la dirección, con respecto a los ejes coordenados x,y, z en la que los

esfuerzos principales actúan, es preciso sustituir por turnos los esfuerzos principales

en las tres ecuaciones del sistema. Por ejemplo , para el esfuerzo principal 1

tenemos.

Las ecuaciones resultantes han de resolverse simultáneamente para lxp, lyp y lzp con

ayuda de la relación auxiliar:

lxp 2+ lyp 2+ lzp 2=1

Para cada uno de los esfuerzos principales

0

1

1

1

1

1

1

lz

ly

lx

z yz xz

yz y xy

xz xy x

σσττ

τσστ

ττσσ

Direcciones principales


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Como el estado de esfuerzos en un punto determinado de un plano es

independiente de la terna de referencia, la solución de la ecuación (

) serán lasmismas cualesquiera que sea la terna adoptada para definir dicho estado de

esfuerzos.

Como consecuencia tenemos:

Los coeficientes de la ecuación cúbica no sufrirán alteraciones si se cambia el

sistema de coordenadas de referencia, es decir:

Los coeficientes de la ecuación cúbica son independientes del sistema dereferencia, es por esto que se les denomina invariantes del estado de esfuerzos.

...)()( 22223

p zx yz xy x z z y y x p z y x p στττσσσσσσσσσσσ

0)2(... 222

xy z zx y yz x zx yz xy z y x τστστστττσσσ

Invarirantes del estado de esfuerzos


18/23

222

2I zx yz xy x z z y y x τττσσσσσσ

z y x σσσ 1I

222

3 2I xy z zx y yz x zx yz xy z y x τστστστττσσσ

Ejes cartesianos xyz

3211I σσσ

1332212I σσσσσσ

3213 σσσ

0III 322

1

3 p p p σσσ

Ejes principales 123


19/23

Analizamos ahora el estado de esfuerzos para un plano ABC, el cual no es

un plano principal, en función de la terna de ejes principales.

nn

l111

σσ

2

3

2

2

2

1

2

nnnnr σσσσ

2

33

2

22

2

11

2)()()( nnnnr lll σσσσ

nnnnnnn lll 332211 σσσσ

2

33

2

22

2

11 nnnn lll σσσσ

nn l222 σσ

nn l333 σσ


20/23

22

nnr nt σστ

22

33

2

22

2

11

2

3

2

3

2

2

2

2

2

1

2

1

2)( nnnnnnnt llllll σσσσσστ

2

3

2

2

2

32

2

3

2

1

2

31

2

2

2

1

2

21

2

)()()( nnnnnnnt llllll σσσσσστ

321 σσσ


21/23

Los esfuerzos tangenciales principales

(cortantes o cizal lantes) actúan en planos quebisecan el ángulo formado por dos de los tres

ejes principales.

Esfuerzos

Tangenciales

Principales

Cosenos directores de los plano

l 1n

l 2n

l 3n

0

0

0

2

321

σστ

2

312

σστ

2

213

σστ

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Esfuerzos cortantes principales


22/23

2

312max

σσττ

el esfuerzo tangencial principal máximo estaría dado por:

321 σσσ

La teoría de plasticidad, se acepta que las deformaciones de los materiales son

consecuencia de la acción de los esfuerzos tangenciales, de al lí la importancia de los

esfuerzos tangenciales en la teoría de f luencia en las operaciones de conformado de

los metales en particular.

Aceptando el convenio que


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Bibliografía

BIBLIOGRAFIA

(1) “Mecánica de sólidos”. T.J. Lardnery R.R. Archer. 2-20 pag.

(2) “Mecánica de materiales”. R. C. Hibbeler. (2-10) (22-25) y (109)

pag.

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