2 Limite y Continuidad Función Vectorial
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20/03/2015
1
LÍMITE y CONTINUIDAD LÍMITE y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE UNA FUNCIÓN
VECTORIALVECTORIALnI ℜ→ℜ⊆:r
CAPÍTULO ICÁLCULO VECTORIAL
SESIÓN 2 Notación de Límite
2Rosa Ñique Alvarez
Lr =→
)(lim0
ttt
nI ℜ→ℜ⊆:r
sea t0 un punto de acumulación de I
PUNTO DE ACUMULACIÓN EN UN INTERVALO I
3Rosa Ñique Alvarez
Un punto t0 se llama punto de acumulación de I sicada bola o vecindad de t0 contiene por lo menos unpunto de I, diferente de t0
Bola o Vecindad
( ) ( ) ( ){ }δδδ <== 000 ,,, ttdttBtV
4Rosa Ñique Alvarez
Bola o Vecindad
t0 t0 + δt0 - δ
t
( ) ( ) ( ){ }δδδ <== 000 ,,, ttdttBtV
Definición:
5Rosa Ñique Alvarez
Lr =→
)(lim0
ttt
∈<−⇒<−<∈ Lr )(0, 0 tttIt δ
nI ℜ→ℜ⊆:rSea una función definida en I de Ry sea t0 un punto de acumulación de I. Se dice queel límite de la función r cuando t tiende a t0 esL = (l1,l2,…,ln ), lo cual se escribe como
Si dado cualquier existe un δ > 0 talque0∈>
6Rosa Ñique Alvarez
∈<−⇒<−<∈ Lr )(0, 0 tttIt δ
δδδ +<<−=<− 000 ttttt
∈<− Lr )( t es la norma euclidiana de vectores en Rn
Lr =→
)(lim0
ttt
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20/03/2015
2
7Rosa Ñique Alvarez
Lr −)( t
NORMA EUCLIDIANA DE VECTORES EN Rn
( ) ( )2211)( nn lxlxt −++−=− LLr
( ) nn txtxtxt ℜ∈= )(,),(),()( 21 Lr
( )nlll ,,, 21 L=L
8Rosa Ñique Alvarez
∈<−⇒<−<∈ Lr )(0, 0 tttIt δ
Lr =→
)(lim0
ttt
δδδ +<<−<− 000 ; ttttt
( ) ( ) ∈<−++−=− 2211)( nn lxlxt LLr
Interpretación en Rn
9Rosa Ñique Alvarez
Lr =→
)(lim0
ttt
Rosa Ñique Alvarez 10
Interpretación para n = 3
∈<−⇒<−<∈ Lr )(0, 0 tttIt δ
Lr =→
)(lim0
ttt
δ0t0tδ0t
+
− )(tr
L(t)r
−
rr
Interpretación para n = 3
δ0t0tδ0t
+
− (t)r
L(t)r
−
rr
11Rosa Ñique Alvarez
Lr =→
)(lim0
ttt
Rosa Ñique Alvarez 12
Interpretación para n = 3
∈<−⇒<−<∈ Lr )(0, 0 tttIt δ
( ) 3)(,)(),()( ℜ∈= tztytxtr( )321 ,, lll=L
( ) ( ) ( ) <∈−+−+−=− 23
22
21)( lzlylxt Lr
Lr =→
)(lim0
ttt
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20/03/2015
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Rosa Ñique Alvarez 13
Interpretación para n = 3Lr =
→)(lim
0t
tt
Teorema: evaluación de limites
niltx iitt...2,1;)(lim
0==
→
( ) nn txtxtxt ℜ∈= )(,),(),()( 21 Lr
14Rosa Ñique Alvarez
Sea nI ℜ→ℜ⊆:r una función vectorial. Entonces
( )n
lllttt
,,....,21
)(lim0
==→
Lr
si y solo si
Donde:
Caso particular n = 3
( ) 3321 ,,)(lim
0
ℜ∈==→
lllttt
Lr
3
2
1
)(lim
)(lim
)(lim
0
0
0
ltz
lty
ltx
tt
tt
tt
=
=
=
→
→
→
( ) 3)(,)(),()( ℜ∈= tztytxtr
15Rosa Ñique Alvarez
Sea
Donde:
Propiedades
ℜ→ℜ⊆J:ϕ
ℜ∈=→
LLttt
;)(lim0
ϕ
16Rosa Ñique Alvarez
nI ℜ→ℜ⊆:,ur
21 )(limy)(lim00
LuLr ==→→
tttttt
Propiedades
Rosa Ñique Alvarez 17
[ ] 21)()(lim0
LLur ±=±→
tttt
[ ] 1)()(lim0
Lr Ltttt
=→
ϕ
1.
2.
Propiedades
Rosa Ñique Alvarez 18
[ ] 21)()(lim0
LLur xx =→
tttt
solo en R34.
[ ] 21)()(lim0
LLur ⋅=⋅→
tttt3.
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EJEMPLO 1
Rosa Ñique Alvarez 19
kjir +−
+=t
ttsen
tt cos1)(
a. Determine el dominio de la función vectorial
b. Calcule el si es que existen 0;)(
0
lim tttt
∀→
r
Dada la siguiente función vectorial
Solución
Rosa Ñique Alvarez 20
kjir +−
+=t
ttsen
tt cos1)(
( ) { },...2,1/,0)( ±±=−= nnRtDom πr
Solución
Rosa Ñique Alvarez 21
kjir +−
+=t
ttsen
tt cos1)(
( ) Lkjir ==
+
−+=
→→1,0,1cos1lim)(lim
00 tt
tsentt
tt
+
−+=
→→kjir
tt
tsentt
ntnt
cos1lim)(limππ
No existe
EJEMPLO 2
( )ttsen
tt
tsentsent 5cos
43cos2cos
32 ,,)( =r
Dada la siguiente función vectorial
Evalúe
)(lim0
tt
r→
22Rosa Ñique Alvarez
Solución
23Rosa Ñique Alvarez
=
=
→→→→
→→→→
ttsen
tt
ttt
ttsen
tt
tsentsent
tttt
tttt
5cos4lim,3cos
2coslim3cos32cos2lim)(lim
5cos4lim,
3cos2coslim,
32lim)(lim
0000
0000
,r
r
( )ttsen
tt
tsentsent 5cos
43cos2cos
32 ,,)( =r Solución
Rosa Ñique Alvarez 24
( ) Lr ==→
0,1,)(lim 32
0t
t
( )ttsen
tt
tsentsent 5cos
43cos2cos
32 ,,)( =r
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EJEMPLO 3
Dada la siguiente función vectorial
Evalúe el límite en los siguientes puntost = 1, t = 2, tk = (2k-1)/2 k=1,2
[ ]2.2 0;1
)tan(1
)(2-2-
)( 2 ∈−
+−
+= tt
tt
tsentt
t ;kji r ππ
25Rosa Ñique Alvarez
Solución
Rosa Ñique Alvarez 26
Lr =
−−=
→π
π ,2
,1)(lim1
tt
Para t = 1
[ ]2.2 0;1
)tan(1
)(2-2-
)( 2 ∈−
+−
+= tt
tt
tsentt
t ;kji r ππ
Solución
Rosa Ñique Alvarez 27
)(lim2
tt
r→
Para t = 2
NO EXISTE22
lim1122
lim22 −
−=≠−=
−−
+− →→ tt
tt
tt
[ ]2.2 0;1
)tan(1)(
2-t2-t
)(2
∈−π+
−
π+= tt
tt
tsent ;kji r
NO EXISTE
Solución
Rosa Ñique Alvarez 28
)(lim2/1
tt
r→
)(lim2/3
tt
r→
Para k=1, t = 1/2
Para k=2, t = 3/2
NO EXISTE
NO EXISTE
[ ]2.2 0;1
)tan(1)(
2-t2-t
)( 2 ∈−π
+−
π+= t
tt
ttsent ;kji r
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL EN t0
DEFINICIÓNSea una función vectorial definida en el conjunto abierto I de R y sea t0 en I. Se dice que r es continua en t0 si
29Rosa Ñique Alvarez
)()(lim 00
tttt
rr =→
∈<−⇒<−< )()(0 00 tttt rrδ
nI ℜ→ℜ⊆:r
Es decir:
Definición: continuidad de la función vectorial r en t0
)()(lim.3
existe)(lim.2
existe)(1.
0
0
0
0
tt
t
t
tt
tt
rr
r
r
=→
→
30Rosa Ñique Alvarez
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TEOREMA
niIxi ,,2,1;: L=ℜ→ℜ⊆
31Rosa Ñique Alvarez
son continuas en t0
( ) nn txtxtxt ℜ∈= )(,),(),()( 21 Lr
La función vectorial
es continuidad en un punto t0 si y solo si
EJEMPLO 4Pruebe que la siguiente función vectorial es continua en t =0
32Rosa Ñique Alvarez
=
−−∈
=0,)0,1,3/2(
02
,2
,5cos4,3cos
2cos,32
)(t
tttsen
tt
tsentsen
t
ππ
r
Solución
Rosa Ñique Alvarez 33
)0()0,1,3/2()(lim
5cos4,3cos
2cos,32lim)(lim
0
00
rr
r
==
=
→
→→
t
ttsen
tt
tsentsent
t
tt
Solución
Rosa Ñique Alvarez 34
Por lo tanto
es continua en t = 0.
=
−−∈
=0,)0,1,3/2(
02
,2
,5cos4,3cos
2cos,32
)(t
tttsen
tt
tsentsen
t
ππ
r
TEOREMA: continuidad en un intervalo I
es continua en el intervalo I si lo es para todo t I∈
35Rosa Ñique Alvarez
( ) nn txtxtxt ℜ∈= )(,),(),()( 21 Lr
La función vectorial
Propiedades
ℜ→ℜ⊆J:ϕ
0encontinuaes.1 tur ±
0.2 tencontinuaesrϕ
36Rosa Ñique Alvarez
nI ℜ→ℜ⊆:,ur
r, u φ funciones continuas en t0 entonces:
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Propiedades
Rosa Ñique Alvarez 37
0continuaes.3 tenur ⋅
30 ensolo;.4 ℜ× tencontinuaesur
nI ℜ→ℜ⊆:,ur
r, u φ funciones continuas en t0 entonces:
Discontinuidad de la función vectorial en un punto t0
Rosa Ñique Alvarez 38
=→
→
)()(lim.3
existe)(lim.2
existe)(1.
0
0
0
0
tt
t
t
tt
tt
rr
r
r Alguna de estascondiciones no secumple la funciónvectorial r esdiscontinua en t0.
Tipos de discontinuidad de la función vectorial en un punto t0
Rosa Ñique Alvarez 39
q Discontinuidad removible
q Discontinuidad esencial
Discontinuidad Removible
existe)(lim0
ttt
r→
)(lim)(0
0 tttt
rr→
=
40Rosa Ñique Alvarez
nI ℜ→ℜ⊆:r
REDEFINE
Discontinuidad Esencial
existeno)(lim0
ttt
r→
41Rosa Ñique Alvarez
nI ℜ→ℜ⊆:r
EJEMPLO 5
Rosa Ñique Alvarez 42
0;cos1)( ≥+−
+= tt
ttsen
tt kjir
Dada la siguiente función vectorial
Ubique los puntos donde la función vectorial esdiscontinua y clasifíquelos. Además redefina lafunción en los puntos donde sea posible lograr lacontinuidad.
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Rosa Ñique Alvarez 43
EJEMPLO 6
Considere la siguiente función vectorial
Ubique los puntos donde la función vectorial esdiscontinua y clasifíquelos. Además redefina lafunción en los puntos donde sea posible lograr lacontinuidad.
[ ]2.20;1
)tan(1
)(2-2-
)( 2 ∈−
+−
+= tt
tt
tsentt
t ,kji r ππ
44Rosa Ñique Alvarez
Solución
Rosa Ñique Alvarez 45
−−==
→π
π ,2
,1)(lim)1(1
tt
rr
)(lim2
tt
r→
Para t = 1, discontinuidad removible.
Para t = 2, discontinuidad esencial
NO EXISTE
Solución
Rosa Ñique Alvarez 46
)(lim2/1
tt
r→
)(lim2/3
tt
r→
Para t = ½, discontinuidad esencial
Para t = 3/2, discontinuidad esencial
NO EXISTE
NO EXISTE
Solución
Rosa Ñique Alvarez 47
[ ] { }
( )
=−−
−∈−
+−
+
=
1,2/,1
2;2/3;2/1;12,2;01
)tan(1
)(2-t2-t
)(
2
t
tt
tt
tsen
t
ππ
ππ ,kji
u
Curva[ ] 3,: ℜ→ℜ⊂bar [ ]( ) Cba =,r
r
48Rosa Ñique Alvarez
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Punto inicial de C
Punto final de C
)(aA r=
)(bB r=
49Rosa Ñique Alvarez
r
EJEMPLO 7
Rosa Ñique Alvarez 50
( ) [ ]2,2;,,)(: 32 −∈= tttttrC
Punto inicial de C
Punto final de C
)8,4,2()2( −−=−= rA
)8,4,2()2( == rB
Gráfica
Rosa Ñique Alvarez 51
-2-1
01
2
01
23
4-10
-5
0
5
10
X
curva
Y
Z
)8,4,2( −−=A
)8,4,2(=B
Curva cerrada
52Rosa Ñique Alvarez
BA=•
BbaA === )()( rr
a ≠ b
Curva con Puntos dobles
2121 ),()( tttt ≠= rr
t 1
•
punto doble
t2
• •
r
53Rosa Ñique Alvarez
Curva simple
A
B
54Rosa Ñique Alvarez
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Curva simple y cerrada
55Rosa Ñique Alvarez
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