Departamento de físicaLaboratorio de física

InstructorIng. Víctor Díaz

PresentaCarlos Roberto Murillo

López20052000730

Fecha de entregaSábado 20 de abril del

2013

Universidad Nacional Autónoma Honduras en el Valle de Sula

UNAH-vs

INVESTIGACION

Momento de inercia de un cilindro

Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud L, respecto de un eje perpendicular a su generatriz y que pasa por su centro.

Dividimos el cilindro en discos de radio R y espesor dx. El momento de inercia de cada uno de los discos  respecto de uno de sus diámetros es

Aplicando el teorema de Steiner, calculamos el momento de inercia de este disco, respecto de un eje paralelo situado a una distancia x.

El momento de inercia del cilindro es

Momento de Inercia de un Disco

Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de masa M y radio R respecto de un eje perpendicular al plano del disco y que pasa por su centro.

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un anillo de radio x y de anchura dx. Si recortamos el anillo y lo extendemos, se convierte en un rectángulo de longitud 2x y anchura dx, cuya masa es

El momento de inercia del disco es:

IDISCO = 1/2MR2 

Momento de inercia de un cilindro

Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud L respecto de su eje.

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es una capa cilíndrica cuyo radio interior es x, exterior x+dx, y de longitud L, tal como se muestra en la figura. La masa dm que contiene esta capa es

El momento de inercia del cilindro es

Momento de inercia de una varilla

Vamos a calcular el momento de inercia de una varilla de masa M y longitud L respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de masas.

La masa dm del elemento de longitud de la varilla comprendido entre x y x+dx es

El momento de inercia de la varilla es

Aplicando el teorema de Steiner, podemos calcular el momento de inercia de la varilla respecto de un eje perpendicular a la misma que pasa por uno de sus extremos.

Momento de inercia de una esfera es:

Vamos a calcular el momento de inercia de una esfera de masa M y radio R respecto de uno de sus diámetros

Dividimos la esfera en discos de radio x y de espesor dz. El momento de inercia de cada uno de los discos elementales es

La masa de cada uno de los discos es

El momento de inercia de la esfera, es la suma de los momentos de inercia de todos los discos elementales.

Para resolver la integral tenemos que relacionar la variable x con la z. Como vemos en la figura x2+z2=R2

INTRODUCCION

En el presente trabajo se muestran los resultados obtenidos en la práctica de Oscilaciones de Torsión y Momentos de Inercia.

Para esto utilizamos un disco, una esfera, un cilindro y una varilla. Los montamos sobre un resorte y los rotamos 90 grados e hicimos que pasaran entre una celda fotoeléctrica para medir en el contador digital el semiperiodo de cada elemento.

OBJETIVOS

Determinar el momento torsional en función de la desviación angular.

Determinar la constante de restauración angular del muelle en espiral

Determinar teórica y experimentalmente el momento de inercia de algunos cuerpos.

APARATOS Y MATERIALES

Eje de rotación

Barrera fotoeléctrica con contador digital

Fuente de voltaje

Esfera

Disco

Cilindro macizo

Varilla

Dinamómetro

MARCO TEORICO

La vibración torsional se refiere a la vibración de un cuerpo rígido alrededor de un eje de referencia específico. En este caso el desplazamiento se mide en términos de una coordenada angular. El momento de restablecimiento se debe, ya sea a la torsión de un elemento elástico o al momento no equilibrado de una fuerza o de un par.

La ecuación diferencial de movimiento del péndulo es

θ″ + (k’/I) * θ = 0El momento de inercia I, definido respecto a un eje específico de rotación, es el equivalente a la masa m en la analogía lineal, de la misma manera que ω es equivalente a la velocidad lineal v. Tanto I como ω dependen de la distancia radial R al eje de giro, parámetro que caracteriza el movimiento rotatorio junto a la masa y la velocidad. El momento de inercia de una masa puntual de masa m con respecto a un eje de giro se define como I = m R, siendo R la distancia al eje de giro. Para un cuerpo extendido, la fórmula general de I se construye integrando elementos infinitesimales de masa a partir de esta básica definición.

PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

Tabla IEl montaje se efectúa según la figura 1. Para la determinación de la constante de restauración angular se inserta la barra en el eje. Mediante el dinamómetro se hace girar la barra 180 grados alrededor del eje, midiéndose la fuerza. El brazo de la palanca y el dinamómetro formaran un ángulo recto.

NOTA: por razones de seguridad y estabilidad se recomienda no torcer el muelle más de 720 grados.

Tabla IIDeterminar la masa, el radio y la longitud de los diferentes cuerpos.

Tabla IIIPara medir el periodo de oscilación de los diferentes cuerpos se adhiere un diafragma. La barrera fotoeléctrica con contador digital se coloca frente al diafragma, estando los cuerpos en reposo. Se mide cada vez un semiperiodo, tomando la media entre los valores de medición de las torsiones iniciados primero a la izquierda y luego a la derecha.

TABLAS

Tabla IR =

Tabla II

Esfera

Disco Cilindro Varilla

Masa (gr) 760 275 390.9 132.6

Radio (cm) 7 10.7 5

Longitud (cm) 60

Tabla III

1 2 3 4 T/2(s)Prom. T(s)

Esfera 1.045 1.044 1.045 1.045 1.0432.087

Disco 0.951 0.954 0.956 0.956 0.9641.928

Cilindro 0.532 0.532 0.533 0.534 0.5301.06

Varilla 1.541 1.542 1.542 1.542 1.5453.091

CALCULOS Y ANALISIS DE RESULTADOS

Graficar en papel milimetrado el torque de un muelle en espiral en función del ángulo de giro.Determinar a partir del tipo de curva la forma de la ecuación correspondiente y calcular las constantes utilizando los métodos conocidos

α π/2 Π 3π/2 2π

F (N) 0.1 0.2 0.3 0.4

τ

La ecuación de la curva es del tipo y = mx + b

τ = kαb = 0m = km = (y2 – y1) / (x2 – x1)m = (0.095-0.05) / (2π – π) m = 0.014

τ = 0.014 α

La expresión para el periodo de un péndulo de torsión esT = 2π2√ I /k ’

Calcular el valor experimental y el valor teórico de los momentos de inercia de los diferentes cuerpos y, determine el error porcentual. Los resultados preséntelos en forma tabularT = 2π2√ I /kT2 = 4π2 (I/k)Iexp. = T2k / 4π2

Inercias

Valor Experimental Valor Teórico

Esfera:I= (2.087)2 (0.014) / 4π2 I = 2/5 MR2 = 2/5 (0.76kg)(0.069m)2 I =1.5445X10-03 Kg m2 I = 0.001447344 kg m2

DiscoI = (1.928)2(0.014) / 4π2 I = ½ MR2 = ½ (0.2828kg)(0.107m)2

I = 1.3182X10-03 Kg m2 I = 0.001618888 Kg m2

CilindroI = (1.06)2(0.014) / 4π2 I = ½ MR2 = ½ (0.3935kg)(0.049m)2

I = 3.4895X10-04 Kg m2 I = 0.00047239675 Kg m2

Varilla

I = (3.091)2(0.014) / 4π2 I = 1/12 ML2 = 1/12 (0.1331kg)(0.60m)2

I = 3.388X10-03 Kg m2 I = 0.003993 Kg m2

Error porcentual = │ (Val Teórico – Val Experimental)│ / Val Teórico * 100

Err % Esfera = (│ (0.001447344 – 1.5445X10-03) │ / 0.001447344)* 100 = 6.7 %Err % Disco = (│ (0.001618888 – 1.3182X10-03) │/0.001618888)* 100 = 17.7 %Err % Cilindro=(│(0.00047239675–3.4895X10-

04)│/0.0018512207)*100=15.65 %Err % Varilla =(│ (0.003993 –3.388X10-03 ) │ / 0.003993)*100 =15.15 %

ER% ESFERA 6.7%

ER% DISCO 17.7%

ER% CILINDRO 15.65%

ER% VARILLA 15.15%

CONCLUSIONES

Se determinó el momento torsional en función de la desviación angular.

Se determinó la constante de restauración angular del muelle en espiral

Se determinó teórica y experimentalmente el momento de inercia de los cuerpos