* 2º PARCIAL ANALISIS MATEMATICO A. 22 de junio 2010 APELLIDO Y NOMBRE: DNI.: GRUPO NÚMERO:

1 2 3 4 5 NOTA

1) a) Defina máximo relativo y mínimo relativo de una función y = f(x)

b) Sea f: R → R / su derivada es 2' ( ) ( 2)xf x e senx x−= − . Determine los intervalos de

crecimiento y decrecimiento de y = f(x). Determine, si existen, sus extremos relativos.

2) En cada inciso seleccione y justifique analíticamente la respuesta correcta.

a) Sea f: R → R, derivable y L = ( ) ( )

limx a

f senx f sena

x a→

−−

entonces:

• L puede no existir

• L = f ‘ (sen a)

• L = f ‘ (sena) cos a

• L = + ∞

b) Dadas las series 1

n

n

a∞

=∑ =

1

1

!n n

∞

=∑ y

1

n

n

b∞

=∑ =

1

2n

nn n

∞

=∑ entonces:

Ninguna converge

Sólo 1

n

n

a∞

=∑ converge

Sólo 1

n

n

b∞

=∑ converge

Ambas convergen

3) a) Dada la serie 1

0

( 0)n

n

a q a∞

−

=

≠∑ deduzca su comportamiento cuando 1q ≠

b) Calcule, analíticamente, el valor de q para que la serie 0

2n n

n

q∞

=∑ tenga suma 5/4

4) a) Sólo complete:

• El polinomio de Taylor de orden 2 de f(x) en a = 1 es

P(x) = 3 – 2(x-1) + 5(x-1)2 Si g(x) = f(x2 ) entonces g ‘’ (1) es igual a :::::

• El / los puntos en que la gráfica de 4 2 2y x y− = − tiene recta tangente horizontal es /

son::: b) Complete y justifique con el desarrollo:

• Se quiere construir una caja de cartón de base cuadrada, abierta (sin

tapa) de 32 3dm de volumen. Las dimensiones para que dicha caja tenga

superficie mínima son..................

5) a) Deduzca que si ( ) ( )f x dx F x C= +∫ entonces ( )'

( ) ( )f x dx f x=∫

b) Resuelva por el método más conveniente ( sin utilizar tabla)

b1) 21 cos

sen xdxx−∫

b2) ∫ +

+dx

x

x

1

)1ln(

2º PARCIAL ANALISIS MATEMATICO A. 22 de junio 2010 APELLIDO Y NOMBRE: DNI.: GRUPO NÚMERO:

1 2 3 4 5 NOTA

1) a) Defina máximo relativo y mínimo relativo de una función y = f(x)

b) Sea f: R → R / su derivada es xexxxf −−= ).3.(cos)(' 2. Determine los intervalos de

crecimiento y decrecimiento de yxf =)( . Determine, si existen, sus extremos relativos.

2) En cada inciso seleccione y justifique analíticamente la respuesta correcta.

a) Sea f: R → R, derivable y L = ( ) ( )

limx a

f senx f sena

x a→

−−

entonces:

• L puede no existir

• L = f ‘ (sen a)

• L = f ‘ (sena) cos a

• L = + ∞

b) Dadas las series 1

n

n

a∞

=∑ = ∑

∞

=1

3

nn

n

n y

1

n

n

b∞

=∑ =

1

1

!n n

∞

=∑ entonces:

Ambas convergen

Sólo 1

n

n

a∞

=∑ converge

Sólo 1

n

n

b∞

=∑ converge

Ninguna converge

3) a) Dada la serie 1

0

( 0)n

n

a q a∞

−

=

≠∑ deduzca su comportamiento cuando 1q ≠

b) Calcule, analíticamente, el valor de q para que la serie 0

2n n

n

q∞

=∑ tenga suma 5/4

4) a) Sólo complete:

• El polinomio de Taylor de orden 2 de f(x) en a = 1 es P(x) = 3 – 2(x-1) + 5(x-1)2 . Si g(x) = f(x2 ) entonces g ‘’ (1) es igual a :::::

• El / los puntos en que la gráfica de 422 yxy −=− tiene recta tangente horizontal

es / son::: b) Complete y justifique con el desarrollo: Se quiere construir una caja de cartón de base cuadrada, abierta (sin

tapa) de 32 3dm de volumen. Las dimensiones para que dicha caja tenga

superficie mínima son..................

5) a) Deduzca que si ( ) ( )f x dx F x C= +∫ entonces ( )'

( ) ( )f x dx f x=∫

b) Resuelva por el método más conveniente( sin utilizar tabla)

b1) dxxsen

x∫ − 21

cos b2) ∫ +

+dx

x

x

3

)3ln(