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INTRODUCCIN A LA TEORA DE

CONJUNTOSi

La teora de conjuntos surge como resultado de las

investigaciones acerca de los nmeros y sus

propiedades. Los inicios de la teora de conjuntos se

asocian con George Cantor (1845-1918) quien sent

las bases para su desarrollo como teora matemtica

de importancia fundamental. Despus de Cantor la

teora de conjuntos alcanz su fundamentacin

definitiva.

Muchos de los temas de la teora de conjuntos

pueden ser identificados en las matemticas griegas,

pero se incorporan al cuerpo organizado del saber

matemtico en los finales del siglo XIX y los principios

del siglo XX.

En la actualidad el lenguaje de la teora de conjuntos

es de suma importancia para dotar a las matemticas

de un lenguaje formal, claro y preciso.

NOTACIN Los conjuntos se denotan con letras maysculas: A, B,

C,... X, Y, Z. Los elementos de los conjuntos se

representan con letras minsculas: a, b, c,,y, z; se pueden representar por medio de diagramas de Venn

o encerrando sus elementos entre llaves.

Intuitivamente, un conjunto es una lista, coleccin o clase de objetos bien definidos, objetos que, pueden ser cualesquiera: nmeros, personas, letras, ros, etc. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto.

Los conjuntos se pueden determinar de dos maneras:

Ejemplos:

1. Determinar por comprensin el conjunto M = {0, 5,

10, 15, 20}

Solucin

M = {x/x es un mltiplo de 5 menor que 25}

La expresin x/x se lee equis tal que equis

2. Determinar por extensin el conjunto P = {a, m, o, r}

Solucin

P = {x/x es una letra de la palabra aroma}

Cabe anotar que aunque en la palabra aroma, la a

es un elemento que aparece dos veces, al nombrar al

conjunto por extensin, este elemento se escribe una

sola vez

PERTENENCIA Y NO PERTENENCIA

Si un elemento forma parte de un conjunto o cumple

con la o las caractersticas que definen el conjunto se

dice que el elemento pertenece al conjunto. Esta

relacin se nota con el smbolo , que significa

pertenece a.

Si un objeto o elemento no forma parte de un

conjunto, se dice que ese elemento no pertenece al

conjunto, y se nota con el smbolo , que significa no

pertenece a.

IGUALDAD ENTRE CONJUNTOS El conjunto A es igual al conjunto B si ambos tienen los

mismos elementos, es decir, si cada elemento que

pertenece a A pertenece tambin a B y si cada

elemento que pertenece a B pertenece tambin a A.

Se denota A=B.

INCLUSIN ENTRE CONJUNTOS (Contenencia)

Dados dos conjuntos A y B decimos que A est

incluido en B, si todos los elementos que pertenecen a

A pertenecen tambin a B. Su notacin es A B.

Si los elementos de A son algunos de los elementos de

B, pero no todos, se dice que A est incluido

propiamente en B o que A es un subconjunto propio

de B, y se denota A B.

CLASES DE CONJUNTOS De acuerdo con el nmero de elementos, los

conjuntos se clasifican en:

Conjunto vaco: Conjunto que carece de elementos. Este conjunto se nota con la letra griega , que se lee fi, o con un par de llaves sin elementos en su interior, as { }. Por ejemplo:

1. Por extensin, enunciando el nombre de cada uno de sus elementos y sus elementos se separan por comas.

2. Por comprensin, cuando se enuncia una ley, propiedad o predicado que hayan de cumplir los elementos del conjunto.

Conjunto: vaco, conjunto unitario, conjunto finito Conjunto infinito, conjunto universal

A = {x/x es un nmero par primo mayor que 7}

Conjunto unitario: Es aquel conjunto que tiene un solo elemento. Por ejemplo:

S = {x/x es una vocal de la palabra luz} S = {u}

Conjunto finito: Un conjunto es finito si consta de un cierto nmero de elementos distintos, es decir, si al contar los diferentes elementos del conjunto el proceso de contar puede acabar. Si no, el conjunto es infinito. M = {x/x es una letra del alfabeto} Finto

R = {x/x es un nmero par} Infinito

Conjunto referencial o universal: Es el conjunto que sirve como referencia para otros conjuntos. Se nota

con la letra U.

Si A = {x/x es un colegio de Bogot}, un conjunto

que le sirve como referencia es U = {x/x es un colegio

de Colombia}, pues el conjunto de todos los colegios

de Bogot, es una parte del conjunto formado por

todos los colegios de Colombia. Esto es, todo colegio

de Bogot es un colegio de Colombia. El conjunto

universal se representa grficamente por medio de un

rectngulo.

OPERACIONES FUNDAMENTALES ENTRE CONJUNTOS

Sean, U el conjunto referencial o universal, A, B y C, tres conjuntos.

Unin de conjuntos: La Unin de A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen A o B o a

ambos; se nota A U B. La unin entre A y B se

determina por comprensin as

Por ejemplo, dados A = {1, 2, 3, 7} y B = {6, 7, 8, 9}

A U B = {1, 2, 3, 6, 7, 8, 9}

Interseccin de conjuntos: La interseccin de A y B es el conjunto de los elementos que son comunes a A y B,

esto es, aquellos elementos que pertenecen a A,

como a B. La interseccin entre los conjuntos A y B se

nota A B. Se determina por comprensin as: A B =

Por ejemplo,

dados A = {1, 2, 3, 6, 7} y B = {6, 7, 8, 9}

A B = {6, 7}

Complemento de conjuntos: El complemento de un conjunto A es el conjunto de elementos que no

pertenecen a A, es decir, la diferencia del conjunto

Universal U y del A. El complemento se denota Ac y se

lee A complemento. Simblicamente,

Ac = U - A = { x / x U, , x A }

Si U = {x / x es un nmero dgito} y A = {1, 3, 5, 6}, hallar Ac.

Solucin Ac = {0, 2, 4, 7, 8, 9}.

Diferencia de conjuntos: la diferencia entre A y B , se define como el conjunto formado por los elementos

que pertenecen al conjunto A y no pertenecen al

conjunto B . Se nota A-B y se determina por

comprensin as: A - B = {x/ x A, , x B}

Por ejemplo, dados los conjuntos A = {2, 4, 5, 7, 9, 10} y B = {4, 7, 10, 13, 15} la diferencia entre A y B es A - B = {2, 5, 9}

Diferencia simtrica de conjuntos: se define la

diferencia simtrica entre AyB, como el conjunto

formado por los elementos que pertenecen a la unin

entre A y B y no pertenecen a la interseccin entre A

y B. La diferencia simtrica se nota A B y se

determina por comprensin as:

A B = {x/ x (A U B), , x (A n B)}

Por ejemplo, dados A = {2, 4, 6, 8, 10} y B = {6, 8, 10, 12, 14}

A B = (A U B) - (A B) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} - {6, 8, 10} = {2, 4, 12, 14}

Conjuntos disjuntos: Si A B = , se dice que los conjuntos A y B son disjuntos.

REPRESENTACIN GRFICA DE CONJUNTOS

UNIN INTERSECCIN DIFERENCIA

SIMTRICA

DIFERENCIA

Conjuntos disyuntos

Elementos comunes

A subconjunto de B

i Tomado y adaptado de: Lipschutz S. (1977). Teora y problemas de Teora de Conjuntos y temas afines. Serie de compendios Schaum. McGraw Hill, Inc, U.S.A. Impreso en Colombia. Muoz (1994). Introduccin a la Teora de Conjuntos. Tercera Edicin. Universidad Nacional de Colombia.