2 Resolver sistemas de ecuaciones y desigualdades...58 Capítulo 2 Resolver sistemas de ecuaciones y...

Pizzería (pág. 71)

Béisbol (pág. 87)

2.1 Resolver sistemas lineales usando la sustitución2.2 Resolver sistemas lineales usando la eliminación2.3 Resolver sistemas lineales usando la tecnología2.4 Resolver sistemas de desigualdades lineales

Razonamiento matemático: Los estudiantes que dominan las matemáticas pueden usar las matemáticas que saben para resolver problemas que surgen en la vida real, la sociedad y el lugar de trabajo.

2 Resolver sistemas de ecuaciones y desigualdades

Monedas (pág. 80)

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57

Mantener el dominio de las matemáticasMantener el dominio de las matemáticasReescribir ecuaciones literales (A.12.E)

Ejemplo 1 Resuelve la ecuación literal 3x − 9y = 15 por x.

3x − 9y = 15 Escribe la ecuación.

3x − 9y + 9y = 15 + 9y Suma 9y a cada lado.

3x = 15 + 9y Simplifica.

3x —

3 = 15 + 9y

— 3 Divide cada lado entre 3.

x = 5 + 3y Simplifica.

La ecuación literal reescrita es x = 5 + 3y.

Resuelve la ecuación literal para hallar y.

1. 4y − 4x = 16 2. 3y + 12x = 18

3. 2x − 10 = 4y + 6 4. x = 7y − y

5. x = 4y + zy + 6 6. 2y + 6xy = z

Hacer gráficas de desigualdades lineales de dos variables (A.3.D)

Ejemplo 2 Haz una gráfica de x + 2y > 8 en un plano de coordenadas.

Paso 1 Haz una gráfica de x + 2y = 8 o y = − 1 — 2 x + 4.

Usa una línea discontinua porque el símbolo dela desigualdad es >.

Paso 2 Prueba (0, 0).

x + 2y > 8 Escribe la desigualdad.

0 + 2(0) >?

8 Sustituye.

0 ≯ 8 ✗ Simplifica.

Paso 3 Dado que (0, 0) no es una solución, sombrea el semiplano que no contiene (0, 0).

Haz una gráfica de la desigualdad en un plano de coordenadas.

7. x − 2y < 0 8. 2x + 2y > 3

9. 3x + 5y ≥ 8 10. −x − 6y ≤ 12

11. x > −4 12. y ≤ 7

13. RAZONAMIENTO ABSTRACTO ¿Siempre puedes usar (0, 0) como un punto de prueba cuando haces una gráfi ca de una desigualdad lineal de dos variables? Explica tu razonamiento.

x

y

1

3

5

2 4−2

(0, 0)

Soluciones dinámicas disponibles en BigIdeasMath.com


58 Capítulo 2 Resolver sistemas de ecuaciones y desigualdades

Usar una calculadora gráfi ca

Usa una calculadora gráfi ca para hallar la solución, si existe, del sistema de desigualdades lineales.

y ≥ 2x − 1 Desigualdad 1

y < 1 — 2 x + 5 Desigualdad 2

SOLUCIÓNLas pendientes de las líneas de límite no son las mismas, entonces sabes que las líneas se intersecan. Introduce las desigualdades en una calculadora gráfi ca. Luego haz una gráfi ca de las desigualdades en una ventana de visualización apropiada.

Halla la intersección de los semiplanos. Nota que cualquier punto en la línea de límite y = 2x − 1 es una solución y cualquier punto en la línea de límite y = 1 —

2 x + 5 no es

una solución. Una solución es (−1, 2).

Razonamiento Razonamiento matemáticomatemático

Los estudiantes que dominan las matemáticas seleccionan herramientas, incluyendo objetos reales, manipulativos, lápiz y papel y la tecnología como es apropiada y técnicas, incluyendo matemática mental, estimación y el sentido de los números como es apropiado, para resolver problemas. (2A.1.C)

Usar una calculadora gráfi ca

Hacer gráfi cas de un sistema de desigualdades lineales.Puedes usar una calculadora gráfi ca para hallar todas las soluciones, si existen, de un sistema de desigualdades lineales.

1. Introduce las desigualdades a una calculadora gráfi ca.

2. Haz una gráfi ca de las desigualdades en una ventana de visualización apropiada, para que la intersección de los semiplanos sea visible.

3. Halla la intersección de los semiplanos, la cual es la gráfi ca de todas las soluciones del sistema.

Concepto Concepto EsencialEsencial

Monitoreo del progresoMonitoreo del progresoUsa una calculadora gráfi ca para hacer la gráfi ca del sistema de desigualdades lineales. Nombra una solución, si la hay, del sistema.

1. y ≤ 3x − 2 2. x + y > −3 3. 2x − 1 — 2 y ≥ 4

y > −x + 4 −6x + y < 1 4x − y ≤ 5

Gráfico1 Gráfico2 Gráfico3

Y3=Y4=Y5=Y6=Y7=

Y1=2X-1Y2=(1/2)X+5

mayor que

menor que

−12

−8

8

12

La solución es la regiónque está sombreada dos veces.


Sección 2.1 Resolver sistemas lineales usando la sustitución 59

2.1

Pregunta esencialPregunta esencial ¿Cómo puedes determinar el número de

soluciones de un sistema lineal?

Un sistema lineal es consistente cuando tiene por lo menos una solución. Un sistema

lineal es inconsistente cuando no tiene solución.

Reconocer gráfi cas de sistemas lineales

Trabaja con un compañero. Une cada sistema lineal con su gráfi ca correspondiente.

Explica tu razonamiento. Luego clasifi ca el sistema como consistente o inconsistente.

a. 2x − 3y = 3 b. 2x − 3y = 3 c. 2x − 3y = 3

−4x + 6y = 6 x + 2y = 5 −4x + 6y = −6

A.

x

y

2

−2

42−2

B.

x

y

2

−2

42

C.

x

y

2

−2

42−2

Resolver sistemas de ecuaciones lineales

Trabaja con un compañero. Resuelve cada sistema lineal usando la sustitución.

Luego usa la gráfi ca del sistema de abajo para verifi car tu solución.

a. 2x + y = 5 b. x + 3y = 1 c. x + y = 0

x − y = 1 −x + 2y = 4 3x + 2y = 1

x

y

2

42

x

y4

−2

−2−4

x

y

2

−2

2−2

Comunicar tu respuestaComunicar tu respuesta 3. ¿Cómo puedes determinar el número de soluciones de un sistema lineal?

4. Imagina que te dan un sistema de tres ecuaciones lineales de tres variables.

Explica como resolverías este sistema por sustitución.

5. Aplica tu estrategia en la pregunta 4 para resolver el sistema lineal.

x + y + z = 1 Ecuación 1

x − y − z = 3 Ecuación 2

−x − y + z = −1 Ecuación 3

FORMULAR UN PLAN

Para dominar las matemáticas, necesitas formular un plan para resolver el problema.

Resolver sistemas lineales usandola sustitución

2A.3.A2A.3.B

CONOCIMIENTOS Y APTITUDES ESENCIALES TEXAS

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2.1 Lección Qué aprenderásQué aprenderás Visualizarás soluciones de sistemas de ecuaciones lineales de tres variables.

Resolverás sistemas de ecuaciones lineales de tres variables usando la sustitución.

Resolverás problemas de la vida real.

Visualizar soluciones de sistemasUna ecuación lineal de tres variables x, y y z es una ecuación de la forma

ax + by + cz = d, donde a, b y c no son todos cero.

A continuación hay un ejemplo de un sistema de tres ecuaciones lineales de

de tres variables.

3x + 4y − 8z = −3 Ecuación 1

x + y + 5z = −12 Ecuación 2

4x − 2y + z = 10 Ecuación 3

Una solución de este sistema en un triple ordenado (x, y, z) cuyas coordenadas hacen

que la ecuación sea verdadera.

La gráfi ca de una ecuación lineal de tres variables es un plano en espacio tridimensional.

Las gráfi cas de esas tres ecuaciones que forman un sistema son tres planos cuyas

intersecciones determinan el número de soluciones del sistema, como se demuestra en

los diagramas a continuación.

Exactamente una soluciónLos planos intersecan en un solo punto,

el cual es la solución del sistema.

Infi nitas solucionesLos planos intersecan en una línea. Cada

punto en la línea es una solución del sistema.

Los planos también pueden ser el mismo plano.

Cada punto en el plano es una solución

del sistema.

Sin soluciónNo hay puntos en común entre ninguno de los tres planos.

ecuación lineal de tres variables, pág. 60

sistema de tres ecuaciones lineales, pág. 60

solución de un sistema de tres ecuaciones lineales, pág. 60

triple ordenado, pág. 60

Anteriorsistema de dos ecuaciones

lineales

Vocabulario EsencialVocabulario Eseencial



Resolver un sistema de tres variables (una solución)

Resuelve el sistema usando la sustitución. 3y − 6z = −6 Ecuación 1

x − y + 4z = 10 Ecuación 2

2x + 2y − z = 12 Ecuación 3

SOLUCIÓN

Paso 1 Resuelve la ecuación 1 para hallar y.

y = 2z − 2 Nueva ecuación 1

Paso 2 Sustituye 2z − 2 por y en las ecuaciones 2 y 3 para obtener un sistema de

dos variables.

x − (2z − 2) + 4z = 10 Sustituye 2z − 2 por y en la ecuación 2.

x + 2z = 8 Nueva ecuación 2

2x + 2(2z − 2) − z = 12 Sustituye 2z − 2 por y en la ecuación 3.

2x + 3z = 16 Nueva ecuación 3

Paso 3 Resuelve el nuevo sistema linear para ambas de sus variables.

x = 8 − 2z Resuelve la nueva ecuación 2 por x.

2(8 − 2z) + 3z = 16 Sustituye 8 − 2z por x en la nueva ecuación 3.

z = 0 Resuelve para hallar z.

x = 8 Sustituye en la nueva ecuación 3 para hallar x.

Paso 4 Sustituye x = 8 y z = 0 en la ecuación original y resuelve para hallar y.

3y − 6z = −6 Escribe la ecuación 1 original.

3y − 6(0) = −6 Sustituye 0 por z.

y = −2 Resuelve para hallar y.

La solución es x = 8, y = −2 y z = 0, o el triple ordenado (8, −2, 0).

Verifi ca esta solución en cada una de las ecuaciones originales.

ANALIZAR RELACIONES MATEMÁTICAS

El término x que falta en la ecuación 1 hace que sea más conveniente resolver para hallar y o z.

OTRA MANERAEn el paso 1 también puedes resolver la ecuación 1 para hallar z.

Resolver sistemas de ecuaciones usando la sustituciónEl método de sustitución usado para resolver sistemas de ecuaciones lineales de dos

variables también puede usarse para resolver sistemas de ecuaciones lineales de tres

variables.

Concepto Concepto EsencialEsencialResolver un sistema de tres variables usando la sustituciónPaso 1 Resuelve una ecuación hallando una de sus variables.

Paso 2 Sustituye la expresión del paso 1 en las otras dos ecuaciones para obtener

un sistema lineal de dos variables.

Paso 3 Resuelve el nuevo sistema lineal para ambas de sus variables.

Paso 4 Sustituye los valores que hallaste en el paso 3 en una de las ecuaciones

originales y resuelve para hallar el variable que falta.

Cuando obtienes una ecuación falsa, como 0 = 1, en cualquiera de los pasos, el

sistema no tiene solución.

Cuando no obtienes una ecuación falsa, pero obtienes una identidad como 0 = 0,

el sistema tiene infi nitas soluciones.



Resolver un sistema de tres variables (sin solución)

Resuelve el sistema usando la sustitución. 4x − y + z = 5 Ecuación 1

8x − 2y + 2z = 1 Ecuación 2

x + y + 7z = −3 Ecuación 3

SOLUCIÓN

Paso 1 Resuelve la ecuación 1 para hallar z.

z = −4x + y + 5 Nueva ecuación 1

Paso 2 Sustituye −4x + y + 5 por z en las ecuaciones 2 y 3 para obtener un sistema

de dos variables.

8x − 2y + 2(−4x + y + 5) = 1 Sustituye −4x + y + 5 por z en la ecuación 2.

10 = 1 Nueva ecuación 2

Dado que obtienes una ecuación falsa, puedes concluir que el sistema original no

tiene solución.

Resolver un sistema de tres variables (muchas soluciones)

Resuelve el sistema usando la sustitución. 4x + y − z = 2 Ecuación 1

4x + y + z = 2 Ecuación 2

12x + 3y − 3z = 6 Ecuación 3

SOLUCIÓN

Paso 1 Resuelve la ecuación 1 para hallar y.

y = −4x + z + 2 Nueva ecuación 1

Paso 2 Sustituye −4x + z + 2 por y en las ecuaciones 2 y 3 para obtener un sistema

de dos variables.

4x + (−4x + z + 2) + z = 2 Sustituye −4x + z + 2 por y en la ecuación 2.

z = 0 Nueva ecuación 2

12x + 3(−4x + z + 2) − 3z = 6 Sustituye −4x + z + 2 por y en la ecuación 3.

6 = 6 Nueva ecuación 3

Dado que obtienes la identidad 6 = 6, el sistema tiene infi nitas soluciones.

Paso 3 Describe las soluciones del sistema usando un triple ordenado. Una manera de

hacer esto es sustituyendo 0 por z en la ecuación 1 para obtener y = −4x + 2.

Entonces, cualquier triple ordenado de la forma (x, −4x + 2, 0) es una solución

del sistema.

Monitoreo del progresoMonitoreo del progreso Ayuda en inglés y español en BigIdeasMath.com

Resuelve el sistema usando la sustitución. Verifi ca tu solución, si es posible.

1. −x + y + 2z = 7 2. x − y + 2z = 4 3. x + y − 6z = 11

x + 3y − z = 5 x − y − 2z = 4 −2x − 2y + 12z = 18

x − 5y + z = −3 −3x + 3y + 2z = −12 5x + 2y + 7z = −1

4. En el ejemplo 3, describe las soluciones del sistema usando un triple ordenado en

términos de y.



Resolver problemas de la vida real

Aplicando matemáticas

Un anfi teatro cobra $75 por cada asiento en la sección A, $55 por cada asiento en

la sección B y $30 por cada asiento en el césped. Hay tres veces más asientos en la

sección B que la sección A. El ingreso de la venta de todos los 23,000 asientos es

$870,000. ¿Cuántos asientos hay en cada sección del anfi teatro?

SOLUCIÓN

Paso 1 Escribe un modelo verbal para la situación.

Número de

asientos en B, y = 3 ⋅

Número de

asientos en A, x

Número de

asientos en A, x + Número de

asientos en B, y +

Número de asientos

en el césped, z = Número total

de asientos

75 ⋅ Número de

asientos en A, x + 55 ⋅

Número de

asientos en B, y + 30 ⋅

Número de asientos

en el césped, z =

Ingreso

total

Paso 2 Escribe un sistema de ecuaciones.

y = 3x Ecuación 1

x + y + z = 23,000 Ecuación 2

75x + 55y + 30z = 870,000 Ecuación 3

Paso 3 Sustituye 3x por y en las ecuaciones 2 y 3 para obtener un sistema de dos

variables.

x + 3x + z = 23,000 Sustituye 3x por y en la ecuación 2.

4x + z = 23,000 Nueva ecuación 2

75x + 55(3x) + 30z = 870,000 Sustituye 3x por y en la ecuación 3.

240x + 30z = 870,000 Nueva Ecuación 3

Paso 4 Resuelve el nuevo sistema lineal para hallar ambas de sus variables.

z = −4x + 23,000 Resuelve la nueva ecuación 2 para hallar z.

240x + 30(−4x + 23,000) = 870,000 Sustituye −4x + 23,000 por z en la nueva ecuación 3.

x = 1500 Resuelve para hallar x.

y = 4500 Sustituye en la ecuación 1 para hallar y.

z = 17,000 Sustituye en la ecuación 2 para hallar z.

La solución es x = 1500, y = 4500 y z = 17,000 o (1500, 4500, 17,000).

Entonces, hay 1500 asientos en la sección A, 4500 asientos en la sección B y

17,000 asientos en el césped.


5. ¿QUÉ PASA SI? En el primer día, se venden 10,000 entradas, generando un

ingreso de $356,000. El número de asientos vendidos en las secciones A y B son

iguales. ¿Cuántos asientos en el césped siguen disponibles?

CONSEJO DE ESTUDIO

Cuando estés sustituyendo para hallar valores de otras variables, elige las ecuaciones originales o nuevas que sean las más fáciles de usar.

ESCENARIO

A AAB

BBBB

CÉSPED



Ejercicios2.1 Soluciones dinámicas disponibles en BigIdeasMath.com

1. VOCABULARIO La solución de un sistema de tres ecuaciones lineales se expresa como un _________.

2. DISTINTAS PALABRAS, LA MISMA PREGUNTA Considera el sistema de ecuaciones lineales mostradas.

¿Cuál es diferente? Halla “ambas” respuestas.

Halla el triple ordenado cuyas coordinadas hace que cada ecuación sea verdadera.

Resuelve el sistema de ecuaciones lineales.

Halla el punto de intersección de los planos representados por el sistema lineal.

Resuelve cada ecuación en el sistema por y. x + 3y = 1

−x + y + z = 3

x + 3y − 2z = −7

Verifi cación de vocabulario y concepto esencialVerifi cación de vocabulario y concepto esencial

En los Ejercicios 3 y 4, determina si el triple ordenado es una solución del sistema. Justifi ca tu respuesta.

3. (4, −5, 1) 4. (−2, 3, −6)

2x + y + 5z = 8 −x + 2y + 2z = −4

x + 3y + 2z = −9 4x + y − 3z = 13

−x − 2y + z = −13 x − 5y + z = −23

En los Ejercicios 5–14, resuelve el sistema usando la sustitución. (Consulta el Ejemplo 1).

5. x = 4 6. 2x − 3y + z = 10

x + y = −6 y + 2z = 13

4x − 3y + 2z = 26 z = 5

7. x + 2y = −1 8. 2x − 2y + z = 3

−x + 3y + 2z = −4 5y − z = −31

−x + y − 4z = 10 x + 3y + 2z = −21

9. 12x + 6y + 7z = −35 10. 2x + y + z = 12

7x − 5y − 6z = 200 5x + 5y + 5z = 20

x + y = −10 x − 4y + z = −21

11. x + y + z = 24 12. −3x + y + 2z = −13

5x + 3y + z = 56 7x + 2y − 6z = 37

x + y − z = 0 x − y + 3z = −14

13. −3x − 4y + z = −16 14. x − 3y + 6z = 21

x + 11y − 2z = 30 3x + 2y − 5z = −30

−9x − 4y − z = −4 2x − 5y + 2z = −6

ANÁLISIS DE ERRORES En los Ejercicios 15 y 16, describe y corrige el error cometido en los primeros pasos al resolver el sistema de ecuaciones lineales.

2x + y − 2z = 23

3x + 2y + z = 11

x − y − z = −2

15. z = 11 − 3x − 2y x − y − 11 − 3x − 2y = −2−2x − 3y = 9

✗16.

y = −2 − x + z2x + (−2 − x + z) − 2z = 23x − z = 25

✗En los Ejercicios 17–22, resuelve el sistema usando la sustitución. (Consulta los Ejemplos 2 y 3).

17. y + 3z = 3 18. x = y − z

x + 2y + z = 8 x + y + 2z = 1

2x + 3y − z = 1 3x + 3y + 6z = 4

19. 2x + y − 3z = −2 20. 11x + 11y − 11z = 44

7x + 3y − z = 11 22x − 30y + 15z = −8

−4x − 2y + 6z = 4 x + y − z = 4

21. 2x + 3y − z = 6 22. x − 3y + z = 2

3x − 12y + 6z = 9 2x + y + z = 6

−x + 4y − 2z = −3 3x − 9y + 3z = 10

Monitoreo del progreso y Representar con matemáticasMonitoreo del progreso y Representar con matemáticas



23. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Un almacén

anuncia que por $20 uno puede comprar una libra

de cada uno: maní, anacardos y almendras. Los

anacardos cuestan lo mismo que el maní y las

almendras combinadas. Compras 2 libras de maní,

1 libra de anacardos y tres libras de almendras por

$36. ¿Cuál es el precio por libra de cada tipo de

nuez? (Consulta el Ejemplo 4).

24. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Cada año, el

público vota por el novato del año en una liga de

softbol. Los resultados para los tres fi nalistas se

muestran en la tabla a continuación. ¿Cuántos puntos

se asignan a cada voto?

Jugador1er

puesto2er

puesto3er

puestoPuntos

Jugador 1 23 5 1 131

Jugador 2 5 17 4 80

Jugador 3 1 5 15 35

25. ESCRIBIR Escribe un sistema lineal de tres variables

para el cual te es más fácil resolver por una variable

que resolver por cualquiera de las otras dos variables.

Explica tu razonamiento.

26. RAZONAMIENTO REPETIDO Usando lo que ya

sabes sobre sistemas lineales de dos y tres variables

usando la sustitución, planea una estrategia de cómo

resolverías un sistema con cuatro ecuaciones lineales

de cuatro variables.

27. RESOLVER PROBLEMAS El número de personas

zurdas en el mundo es una décima parte del número

de personas que escriben con la mano derecha. El

porcentaje de personas que escribe con la mano

derecha es nueve veces más que el porcentaje de

personas ambidiestras y zurdas combinadas. ¿Qué

porcentaje de personas es ambidiestra?

28. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Usa un sistema

de ecuaciones lineales para representar los datos en el

artículo de periódico a continuación. Resuelve el sistema

para hallar cuántos atletas terminaron en cada puesto.

Lawrence High prevaleció en la carrera de atletismo del sábado con la ayuda de 20 participantes individuales, que conjuntamente obtuvieron 68 puntos. Un primer puesto gana 5 puntos, un segundo puesto gana 3 puntos y un tercer puesto gana 1 punto. Lawrence tuvo una gran presencia en el segundo puestos, con tantos segundos puestos como primer y tercer puesto combinados.

CONNECCIONES MATEMÁTICAS En los Ejercicios 29 y 30 escribe y usa un sistema lineal para contestar la pregunta.

29. El triángulo tiene un perímetro de 65 pies. ¿Cuál es la

longitud de los lados ℓ, m y n?

m

n = + m − 15= m1

3

30. ¿Cuáles son las medidas de los ángulos A, B y C?

(5A − C)°

A°

(A + B)°

A

B C

31. FINAL ABIERTO Escribe un sistema de tres ecuaciones

lineales de tres variables que tenga el triple ordenado

(−4, 1, 2) como su única solución. Justifi ca tu

respuesta usando el método de sustitución.

32. ARGUMENTAR Un sistema lineal de tres variables

no tiene solución. Tu amigo concluye que no es

posible que dos de las tres ecuaciones tengan algún

punto en común. ¿Tiene tu amigo razón? Explica tu

razonamiento.



33. RESOLVER PROBLEMAS Un contratista es contratado

para construir una urbanización de apartamentos. Cada

unidad de 840 pies cuadrados tiene un dormitorio, una

cocina y un baño. El dormitorio será del mismo tamaño

que la cocina. El dueño encarga 940 pies cuadrados de

losa para cubrir completamente el piso de dos cocinas

y dos baños. Determina cuántos pies cuadrados de

alfombra se necesitan para cada dormitorio.

Área total: 840 pies2

DORMITORIO

BAÑO COCINA

34. ESTIMULAR EL PENSAMIENTO Considera el sistema

mostrado.

x − 3y + z = 6

x + 4y − 2z = 9

a. ¿Cuántas soluciones tiene el sistema?

b. Haz una suposición del mínimo número de

ecuaciones que un sistema lineal de n variables

puede tener cuando hay exactamente una solución.

35. RESOLVER PROBLEMAS Un fl orista tiene que hacer 5

ramos para damas de honor idénticos para una boda.

El presupuesto es $160 y cada ramo tiene que tener

12 fl ores. Las rosas cuestas $2.50 cada una, los lirios

cuestan $4 cada uno y las iris cuestan $2 cada una. El

fl orista quiere dos veces más rosas que los otros dos

tipos de fl ores combinados.

a. Escribe un sistema de ecuaciones para representar

esta situación, asumiendo que el fl orista piensa

usar el presupuesto máximo.

b. Resuelve el sistema para hallar cuántas fl ores de

cada tipo debe haber en cada ramo.

c. Supón que no hay límite en el costo total de los

ramos. ¿El problema todavía tiene exactamente

una solución? Si es así, halla la solución. Si no,

ofrece tres posibles soluciones.

36. ¿CÓMO LO VES? Determina si el sistema de

ecuaciones que representa a los círculos no tiene

solución, una sola solución, o infi nitas soluciones.


a.

x

y b.

x

y

37. RAZONAMIENTO Considera un sistema de tres

ecuaciones lineales de tres variables. Describe el

posible número de soluciones en cada situación.

a. Las gráfi cas de dos de las ecuaciones en el sistema

son planos paralelos.

b. Las gráfi cas de dos de las ecuaciones en el sistema

se intersecan en una línea.

c. Las gráfi cas de dos de las ecuaciones en el sistema

son el mismo plano.

38. ANALIZAR RELACIONES Usa los números −3, 0 y 1

para escribir un sistema lineal que tiene una solución

de (30, 20, 17).

x − 3y + 3z = 21

__ x + __ y + __ z = −30

2x − 5y + 2z = −6

39. RAZONAMIENTO ABSTRACTO Escribe un sistema

lineal para representar las primeras tres fotos a

continuación. Usa el sistema para determinar cuántas

mandarinas se necesitan para balancear la manzana en

la cuarta foto. Nota: la primera foto muestra que una

mandarina y una manzana balancea un pomelo.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 2000 120 130 140 150 160 170 180 190 200 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 2000 120 130 140 150 160 170 180 190 200 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

Mantener el dominio de las matemáticasMantener el dominio de las matemáticasResuelve el sistema de ecuaciones lineales usando la eliminación. (Manual de revisión de destrezas)

40. x + 3y = 6 41. 2x − y = −3

−x − 2y = −5 −5x + y = 3

42. 4x + 2y = −4 43. 4x − 3y = 9

−2x + 6y = 44 5x − 21y = −6

Repasar lo que aprendiste en grados y lecciones anteriores


Sección 2.2 Resolver sistemas lineales usando la eliminación 67

2.2

Pregunta esencialPregunta esencial ¿Cómo puedes reescribir un sistema lineal que pueda resolverse mediante cálculos mentales?

Un sistema lineal en forma de matriz escalonada tiene un patrón de “escalones” con un coefi ciente principal de 1. Un sistema puede ser escrito en forma de matriz escalonada al producir una serie de sistemas equivalentes. Los sistemas equivalentes tienen la misma solución.

Reconocer gráfi cas de sistemas lineales

Trabaja con un compañero. Une cada sistema lineal en forma de matriz escalonada con su gráfi ca correspondiente. Explica tu razonamiento.

a. x + 2y = 4 b. x − y = 1 c. x + 1 — 2 y = 0

y = 2 y = 2 y = 2

A.

2 x−2

−2

3y B.

2 x−2

−3

1

3y C.

2 x−2

−3

−1

1

3y

Escribir sistemas lineales en forma escalonada por fi las

Trabaja con un compañero. Une cada sistema lineal en forma de matriz escalonada con su gráfi ca correspondiente. Explica tu razonamiento.

a. y = 1 b. x + 2y = 5 c. 2x + 4y = 14

x − 3y = −2 −x − y = −3 −3x − 5y = −18

A. x + 2y = 5 B. x + 2y = 7 C. x − 3y = −2

y = 2 y = 3 y = 1

Comunica tu respuestaComunica tu respuesta 3. ¿Cómo puedes reescribir un sistema lineal para que pueda resolverse mediante

cálculos mentales?

4. Los sistemas equivalentes son producidos usando operaciones de fi las. Describe las operaciones de fi las que usaste en la Exploración 2 para producir sistemas equivalentes.

5. Usa operaciones de fi las para escribir el sistema lineal de tres variables en de matriz escalonada.

2x − 2y + 4z = 6 Ecuación 1

−x + 2y + z = 0 Ecuación 2

−y − 2z = −2 Ecuación 3

RAZONARPara dominar las matemáticas, tienes que analizar las relaciones matemáticas para conectar ideas matemáticas.

Resolver sistemas lineales usandola eliminación

2A.3.B




2.2 Lección Qué aprenderásQué aprenderás Resolverás sistemas de ecuaciones lineales de tres variables usando

la eliminación.

Resolverás sistemas de ecuaciones lineales usando la eliminación Gaussiana.

Resolver sistemas de ecuaciones usando la eliminaciónEl método de eliminación para resolver sistemas de ecuaciones lineales de dos variables puede también ser extendido para resolver un sistema de ecuaciones lineales de tres variables.

Resolver un sistema de tres variables (una solución)

Resuelve el sistema usando 4x + 2y + 3z = 12 Ecuación 1la eliminación. 16x + 5z = −6 Ecuación 2

6x − y + 4z = −3 Ecuación 3

SOLUCIÓN

Paso 1 Reescribe el sistema como un sistema lineal de dos variables.

4x + 2y + 3z = 12 Suma 2 veces la Ecuación 3 a

12x − 2y + 8z = −6 la Ecuación 1 (para eliminar y).

16x + 11z = 6 Nueva ecuación 1


16x + 11z = 6 Suma −1 multiplicado por la Ecuación 2

−16x − 5z = 6 a la nueva Ecuación 1 (para eliminar x).

6z = 12


x = −1 Sustituye en la Ecuación 1 nueva para hallar x.

Paso 3 Sustituye x = −1 y z = 2 en una ecuación original y resuelve para hallar y.

6x − y + 4z = −3 Escribe la Ecuación 3 original.

6(−1) − y + 4(2) = −3 Sustituye −1 por x y 2 por z.

y = 5 Resuelve para hallar y.

La solución es x = −1, y = 5 y z =−2, o el triple ordenado (−1, 5, 2). Verifi ca esta solución en cada una de las ecuaciones originales.


El termino y que falta en la Ecuación 2 hace que y sea una variable más conveniente para eliminar.

eliminación Gaussiana, pág. 70

Anteriorecuación lineal de tres variablessistema de tres ecuaciones

linealessolución de un sistema de tres

ecuaciones linealestriple ordenadosistema de dos ecuaciones

linealessustitución


Concepto Concepto EsencialEsencialResolver un sistema de tres variables usando la eliminaciónPaso 1 Elimina una variable para obtener un sistema lineal de dos variables.

Paso 2 Resuelve el nuevo sistema lineal para hallar sus dos variables.

Paso 3 Sustituye los valores hallados en el paso 2 en una de las ecuaciones originales y resuelve para hallar la variable que falta.

Cuando obtienes una ecuación falsa, como 0 = 1, en cualquiera de los pasos, el sistema no tiene solución.

Cuando no obtienes una ecuación falsa pero obtienes una identidad como 0 = 0, el sistema tiene infi nitas soluciones.



Resolver un sistema de tres variables (sin solución)

Resuelve el sistema usando x + y + z = 2 Ecuación 1la eliminación. 5x + 5y + 5z = 3 Ecuación 2

4x + y − 3z = −6 Ecuación 3

SOLUCIÓN


−5x − 5y − 5z = −10 Suma −5 veces la Ecuación 1

5x + 5y + 5z = 3 a la Ecuación 2.

0 = −7

Dado que obtienes una ecuación falsa, el sistema original no tiene solución.

Resolver un sistema de tres variables (muchas soluciones)

Resuelve el sistema usando x − y + z = −3 Ecuación 1la eliminación. x − y − z = −3 Ecuación 2

5x − 5y + z = −15 Ecuación 3

SOLUCIÓN


x − y + z = −3 Suma la Ecuación 1 a la

x − y − z = −3 Ecuación 2 (para eliminar z).

2x − 2y = −6 Nueva Ecuación 2

x − y − z = −3 Suma la Ecuación 2 a la

5x − 5y + z = −15 Ecuación 3 (para eliminar z).

6x − 6y = −18 Nueva Ecuación 3

Paso 2 Resuelve el nuevo sistema lineal para ambos variables.

−6x + 6y = 18 Suma −3 veces la Ecuación 2 a la

6x − 6y = −18 nueva Ecuación 3.

0 = 0

Dado que obtienes la identidad 0 = 0, el sistema tiene infi nitas soluciones.

Paso 3 Describe las soluciones del sistema usando un triple ordenado. Una manera de hacer esto es resolviendo la nueva ecuación 2 para hallar y obtener y = x + 3. Luego sustituye x + 3 por y en la ecuación original 1 para obtener z = 0.

Entonces, cualquier triple ordenado de la forma (x, x + 3, 0) es una solución del sistema.


Resuelve el sistema usando la eliminación. Verifi ca tu solución si es posible.

1. x − 2y + z = −11 2. x + y − z = −1 3. x + y + z = 8

3x + 2y − z = 7 4x + 4y − 4z = −2 x − y + z = 8

−x + 2y + 4z = −9 3x + 2y + z = 0 2x + y + 2z = 16

4. En el Ejemplo 3, describe las soluciones del sistema usando un triple ordenado en términos de y.

OTRA MANERARestar la ecuación 1 de la Ecuación 2 da z = 0. Después de sustituir 0 por z en cada ecuación, puedes ver que cada una es equivalente a y = x + 3.



Usar la eliminación Gaussiana para resolver un sistema

Resuelve el sistema usando la x − 2y + 3z = 9 Ecuación 1eliminación Gaussiana. −x + 3y = −4 Ecuación 2

−5y − 14z = −23 Ecuación 3

SOLUCIÓN

Dado que el coefi ciente principal de la primera ecuación es 1, comienza por mantener la x en la posición de la izquierda superior y elimina el otro término x de la primera columna.

x − 2y + 3z = 9 Escribe la Ecuación 1.

−x + 3y = −4 Escribe la Ecuación 2.

y + 3z = 5 Suma la Ecuación 1 a la Ecuación 2.

x − 2y + 3z = 9

y + 3z = 5

−5y − 14z = −23

5y + 15z = 25 Multiplica la nueva Ecuación 2 por 5.

−5y − 14z = −23 Escribe la Ecuación 3.

z = 2 Suma la nueva Ecuación 2 a la Ecuación 3.

x − 2y + 3z = 9

y + 3z = 5

z = 2

Usando la sustitución, puedes concluir que la solución es x = 1, y = −1 y z = 2, o el triple ordenado (1, −1, 2).


5. Usa la eliminación Gaussiana para resolver el sistema de ecuaciones lineales en la pregunta 1 de Monitoreo del progreso.

Sumar la primera ecuación a la segunda produce una segunda ecuación nueva.

Sumar 5 veces la segunda ecuación a la tercera ecuación produce una tercera ecuación nueva.

Resolver sistemas usando la eliminación GaussianaLos sistemas escritos en forma de matriz escalonada pueden ser resueltos fácilmente usando la sustitución. Un sistema en forma de matriz escalonada tiene un patrón de “escalones” con coefi cientes principales de 1. Para resolver un sistema que no está en forma de matriz escalonada, usa las operaciones mostradas a continuación para reescribir el sistema en su forma de matriz escalonada equivalente. Este proceso se llama eliminación Gaussiana, por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777–1855).

CONSEJO DE ESTUDIOEl sistema de ecuaciones

x + 2y + z = 5 y − z = −1 z = 2

está en forma de matriz escalonada. Fíjate que su solución (1, 1, 2) se puede hallar fácilmente.

Concepto Concepto EsencialEsencialOperaciones que producen sistemas equivalentesCada una de las próximas operaciones de fi las en un sistema de ecuaciones lineales produce un sistema equivalente de ecuaciones lineales.

1. Intercambia dos ecuaciones.

2. Multiplica una de las ecuaciones por un constante que no sea cero.

3. Suma un múltiplo de una de las ecuaciones con otra ecuación para remplazar la segunda ecuación.



Ejercicios2.2 Soluciones dinámicas disponibles en BigIdeasMath.com

En los Ejercicios 3–8, resuelve el sistema usando la eliminación. (Consulta los Ejemplos 1, 2 y 3).

3. x + y − 2z = 5 4. x + 4y − 6z = −1

−x + 2y + z = 2 2x − y + 2z = −7

2x + 3y − z = 9 −x + 2y − 4z = 5

5. 3x − y + 2z = 4 6. 5x + y − z = 6

6x − 2y + 4z = −8 x + y + z = 2

2x − y + 3z = 10 12x + 4y = 10

7. x + 3y − z = 2 8. −2x − 3y + z = −6

x + y − z = 0 x + y − z = 5

3x + 2y − 3z = −1 7x + 8y − 6z = 31

ANALISIS DE ERRORES En los Ejercicios 9 y 10, describe y corrige el error cometido en el primer paso para resolver el sistema de ecuaciones lineales usando la eliminación.

4x − y + 2z = −18

−x + 2y + z = 11

3x + 3y − 4z = 44

9. 4x − y + 2z = −18

−4x + 2y + z = 11y + 3z = −7

✗10.

12x − 3y + 6z = −18 3x + 3y − 4z = 44 15x + 2z= 26

✗

En los Ejercicios 11–16 resuelve el sistema usando la eliminación Gaussiana. (Consulta el Ejemplo 4).

11. x + y − z = 4 12. 2x − y − z = 15

3x + 2y + 4z = 17 4x + 5y + 2z = 10

−x + 5y + z = 8 −x − 4y + 3z = −20

13. x + 2y − z = 3 14. x + 2y + 3z = 4

2x + 4y − 2z = 6 −3x + 2y − z = 12

−x − 2y + z = −6 −2x − 2y − 4z = −14

15. x + 2y − z = 3 16. 4x + y + 5z = 5

−2x − y + z = −1 8x + 2y + 10z = 10

6x − 3y − z = −7 x − y − 2z = −2

17. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Se han hecho tres pedidos en una pizzería. Dos pizzas pequeñas, un litro de refresco y una ensalada cuestan $14; una pizza pequeña, un litro de refresco y tres ensaladas cuestan $15; y tres pizzas pequeñas, un litro de refresco y dos ensaladas cuestan $22. ¿Cuánto cuesta cada cosa?

18. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS La tienda de muebles de Sam coloca este anuncio en el periódico. Escribe un sistema de ecuaciones para las tres combinaciones de muebles. ¿Cuál es el precio de cada pieza de mueblería? Explica.

Sofá y sillón de dos cuerpos

Sofá y dos sillas

Sofá, sillón de dos cuerpos y una silla

SAM’SFurniture Store


1. ESCRIBIR ¿Cómo es semejante resolver un sistema lineal usando la eliminación y resolver un sistema lineal usando la sustitución?

2. ESCRIBIR Explica cómo sabes cuando un sistema lineal de tres variables tiene infi nitas soluciones.

Verifi cación de vocabulario y concepto esencial Verifi cación de vocabulario y concepto esencial



19. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Se presenta una obra de teatro a un público de 400 personas. Los boletos de adulto cuestan $22 cada uno, los boletos de estudiante cuestan $15 cada uno y los boletos para niños cuestan $13.50 cada uno. Los ingresos la obra de teatro son $7840. Hay 40 niños más en el concierto que estudiantes. ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron?

teatro

BoletosAdulto: $22Estudiante: $15Niño: $13.50

20. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Un estadio tiene 10,000 asientos, dividido en asientos de palco, asientos de cubierta baja, y asientos de cubierta alta. Los asientos de palco se venden por $10, los asientos de cubierta baja por $8, y los asientos de cubierta alta por $5. Cuando todos los asientos para un partido se han vendido, el ingreso total es de $70,000. El estadio tiene cuatro veces más asientos de cubierta alta que asientos de palco. Halla el número de asientos de cubierta baja en el estadio.

21. COMPARAR MÉTODOS Determina si usarías la eliminación o la eliminación Gaussiana para resolver cada sistema. Explica tu razonamiento.

a. 2x + 2y + 5z = −1 b. 3x + 2y − 3z = −2

2x − y + z = 2 7x − 2y + 5z = −14

2x + 4y − 3z = 14 2x + 4y − 4z = 6

22. ¿CÓMO LO VES? Considera el diagrama a continuación. Escribe un sistema de ecuaciones lineales de tres variables que represente la situación, donde las variables representen la cantidad de cada tipo de moneda.

23. PENSAMIENTO CRÍTICO Halla los valores de a, b y c de manera que el sistema lineal mostrado tenga (−1, 2, −3) como su única solución. Explica tu razonamiento.

x + 2y − 3z = a

−x − y + z = b

2x + 3y − 2z = c

24. ESTIMULAR EL PENSAMIENTO ¿El sistema lineal de ecuaciones tiene más de una solución? Justifi ca tu respuesta.

4x + y + z = 0

2x + 1 — 2 y − 3z = 0

−x − 1 — 4 y − z = 0

25. FINAL ABIERTO Considera el sistema de ecuaciones lineales a continuación. Elige valores no ceros para a, b y c de manera que el sistema satisfaga la condición dada. Explica tu razonamiento.

x + y + z = 2

ax + by + cz = 10

x − 2y + z = 4

a. El sistema no tiene solución.

b. El sistema tiene exactamente una solución.

c. El sistema tiene infi nitas soluciones.

26. RESOLVER PROBLEMAS Gastas $24 en 21 libras de manzanas. Compras 2 libras de manzanas doradas por $1.25 cada libra. Las manzanas rojas cuestan $1.00 por libra y las manzana Empire cuesta $1.50 por libra. Escribe un sistema de ecuaciones en forma de matriz escalonada que represente esta situación. ¿Cuántas libras de cada tipo de manzana compraste?

Mantener el dominio de las matemáticasMantener el dominio de las matemáticasUsa una calculadora gráfi ca para resolver el sistema de ecuaciones lineales. (Manual de repaso de destrezas)

27. 3x + y = 7 28. −4x − 3y = −17 29. −x + 8y = −37

−x + 2y = 1 2x + 7y = 47 11x + 4y = 39



7373

2.1–2.2 ¿Qué aprendiste?

1. En el momento que te entreguen el examen, voltéalo y escribe cualquier fórmula, calculación y regla que todavía te cuesta recordar.

2. Revisa el examen y marca las preguntas que sabes cómo hacer fácilmente. Estos son los problemas que debes hacer primero.

3. Mientras revisas el examen, puede ser que te hayas acordado de otra información. Escríbela atrás del examen.

4. Basado en cuantos puntos vale cada pregunta, decide un programa de progreso. Debes siempre tener más de la mitad del examen listo antes de que haya pasado la mitad del tiempo.

5. Resuelve los problemas que marcaste cuando revisaste el examen.

6. Omite temporalmente los problemas que sabes que te van a dar más difi cultad.

7. Después de resolver los problemas que sabes hacer fácilmente, regresa y vuelve a leer los problemas que omitiste.

8. Da tu mejor esfuerzo a los problemas que faltan. Aunque no puedas resolver un problema, puede ser que te den crédito parcial por algunos pasos ejecutados correctamente.

9. Revisa el examen, busca cualquier error por descuido que pudieras haber cometido.

10. El examen no es una carrera contra otros estudiantes. Usa todo el tiempo designado.

Destrezas de estudio

Vocabulario EsencialVocabulario Esencialecuación lineal de tres variables, pág. 60sistema de tres ecuaciones lineales, pág. 60solución de un sistema de tres ecuaciones lineales, pág. 60

triple ordenado, pág. 60eliminación Gaussiana, pág. 70

Conceptos EsencialesConceptos EsencialesSección 2.1Visualizar soluciones de sistemas, pág. 60 Resolver sistemas de tres variables usando

la sustitución, pág. 61Sección 2.2Resolver sistemas de tres variables usando la eliminación, pág. 69

Operaciones que producen sistemas equivalentes, pág. 70

Razonamiento matemáticoRazonamiento matemático1. ¿Cómo usaste la información del artículo de periódico en el Ejercicio 28 de la página 65 para escribir

un sistema de tres ecuaciones lineales?

2. Explica la estrategia que usaste para elegir los valores para a, b y c en el Ejercicio 25 de la página 72.

10 pasos para tomar examenes`

hstx_alg2_span_pe_02mc.indd 73hstx_alg2_span_pe_02mc.indd 73 7/21/15 9:40 AM7/21/15 9:40 AM

74 Capitulo 2 Resolver sistemas de ecuaciones y desigualdades

1. Determina si cada triple ordenado es una solución al sistema de ecuaciones mostrado. Explica tu razonamiento. (Sección 2.1)

a. (−1, 2, 1) −x + y + z = 4 Ecuación 1

−3x + 2y + 3z = 10 Ecuación 2

x − y − z = −4 Ecuación 3

b. (−3, 0, 5)

c. (0, −1, 4)

d. (4, 2, 6)

Resuelve el sistema usando la sustitución. (Sección 2.1)

2. x + y − 3z = −1 3. x + 4z = 1 4. x − 3y + z = 1y = z x + y + 10z = 10 x − 2y − 3z = 2−x + 2y = 1 2x − y + 2z = −5 x + y − z = −1

Resuelve el sistema usando la eliminación. (Sección 2.2)

5. 2x + 4y − z = 7 6. x − 2y + 3z = 9 7. x + 2y − 7z = −42x − 4y + 2z = −6 −x + 3y = −4 2x + y + z = 13x + 4y + z = 0 2x − 5y + 5z = 17 3x + 9y − 36z = −33

Resuelve el sistema usando la eliminación Gaussiana. (Sección 2.2)

8. x − 11y + 4z = 3 9. 3x − 3y + 6z = 6 10. x + 2z = 52x + 4y − z = 7 x + 2y − z = 5 3x − y − z = −25x − 3y + 2z = 3 5x − 8y + 13z = 7 6x − y + 5z = 13

11. Concursantes participan en un tallado de calabazas. La tabla muestra los resultados de los votos por los medallistas de oro, plata y bronce. El medallista de oro acumuló 38 puntos, el medallista de plata 30 puntos y el medallista de bronce 22 puntos. ¿Cuántos puntos valen cada voto? (Secciones 2.1 y 2.2)

Medalla 1er lugar 2er lugar 3er lugar

Oro 6 2 2

Plata 3 4 3

Bronce 1 4 5

12. En un partido de fútbol americano, se anotaron 45 puntos. Durante el partido, hubo 13 jugadas con puntos ganados. Estas jugadas fueron una combinación de touchdown, pateadas de puntos extra y goles de campo, los cuales valen 6 puntos, 1 punto y 3 puntos respectivamente. El mismo número de pateadas de extra tiempo y touchdowns logrados y hubo 6 veces más touchdowns que goles de campo. ¿Cuántos touchdowns, pateadas y goles de campo hubieron en el partido? (Secciones 2.1 y 2.2)

13. Una corporación pequeña pidió prestado $800,000 para expandir su negocio. Parte del dinero fue prestado al 8%, 9% y parte al 10%. El interés simple cargado fue $67,500 y el monto prestado a 8% fue cuatro veces el monto del préstamo a 10%. ¿Cuánto dinero fue prestado a cada tasa de interés? (Secciones 2.1 y 2.2)

2.1–2.2 Prueba

hstx_alg2_span_pe_02mc.indd 74hstx_alg2_span_pe_02mc.indd 74 7/21/15 9:40 AM7/21/15 9:40 AM

Sección 2.3 Resolver sistemas lineales usando la tecnología 75

2.3

Pregunta esencialPregunta esencial ¿Cómo puedes representar expresiones

algebraicas usando una matriz de coefi cientes?

Una matriz es un arreglo rectangular de números. Las dimensiones de una matriz con

m fi las y n columnas son m × n. Entonces, las dimensiones de la matriz A son 2 × 3.

A = [ 4 0

−1

6

5

3 ] 2 fi las

3 columnas

Escribir matrices de coefi cientes

Trabaja con un compañero. Une cada conjunto de expresiones algebraicas con su

matriz de coefi cientes. Explica tu razonamiento.

Muestra Expresiones 2x + y + 6z Matriz de [ 2

−1

1

0

6

3 ] Algebraicas: −x + 3z coefi cientes:

a. 4x + 3y b. 4x + 3z

5x + y 5x + y

c. 4x − 3z d. 4x + 2y +3z

5x − y 3y − z

4z

A. [ 4 5

0

−1

−3

0 ] B.

[ 4 0

0

2

3

0

3

−1

4

] C.

[ 4 5

3

1 ] D.

[ 4 5

0

1

3

0 ]

Escribir matrices de coefi ciente

Trabaja con un compañero. Escribe e introduce la matriz de coefi cientes para cada

conjunto de expresiones en una calculadora gráfi ca.

a. 2y − 5z b. 5y − z c. −x − 3y

x + 11y 2x + 4z x + z

−x + 2y + 9z

Comunicar tu respuestaComunicar tu respuesta 3. ¿Cómo puedes representar expresiones algebraicas usando una matriz de

coefi cientes?

4. Usa las expresiones algebraicas

mostradas por la matriz de coefi cientes.


Para dominar las matemáticas, necesitas analizar relaciones matemáticas para conectar ideas matemáticas.

Matriz[A] 4 ×4[1 0 -1 4 ][3 5 0 -8][4 3 0 0 ][-9 0 0 0 ]

Resolver sistemas linealesusando la tecnología

2A.3.B

CONOCIMINETOS Y APTITUDES ESENCIALES TEXAS



2.3 Lección Qué aprenderásQué aprenderás Escribirás matrices aumentadas para sistemas de ecuaciones lineales.

Usarás la tecnología para resolver sistemas de ecuaciones lineales de tres variables.

Escribir matrices aumentadas para sistemasUna matriz es un arreglo rectangular de números. Las dimensiones de una matriz con

m fi las y n columnas son m × n (se lee “m por n”). Entonces, las dimensiones de la

matriz A son 2 × 3. Los números dentro de la matriz son sus elementos.

A = [ 4 0

−1

6

5

3 ] 2 fi las

3 columnas

Una matriz derivada de un sistema de ecuaciones lineales (cada una escrita en forma

estándar con el término constante a la derecha) es la matriz aumentada del sistema. Por

ejemplo, el sistema a continuación puede ser representado por la matriz aumentada dada.

coefi cientes

Sistema: 5x + 3y − 2z = 1 matriz

x + 2y + 3z = −1 aumentada: [ 5 1

3

3

2

−4

−2

3

1

. . .

. . .

. . .

1

−1

10

] 3x − 4y + z = 10

constantes

Antes de que escribas una matriz aumentada, asegúrate de que cada ecuación en el

sistema esté escrita en forma estándar. Incluye ceros para los coefi cientes de cualquier

variable que falte. Esto determina el orden de las constantes y los coefi cientes en la

matriz aumentada.

Escribir una matriz aumentada

Escribe una matriz aumentada para el sistema. Luego indica las dimensiones.

y − 2x = 1

x + 3y = 12

SOLUCIÓN

Empieza por reescribir cada ecuación en el sistema en forma estándar.

−2x + y = 1

x + 3y = 12

Luego, usa los coefi cientes y las constantes como elementos de la matriz aumentada.

[ −2

1

1

3

. . .

. . .

1

12 ]

La matriz aumentada tiene dos fi las y tres columnas, así que las dimensiones

son 2 × 3.

El elemento en la primera fila y la tercera columna es 5.

matriz, pág. 76dimensiones de una matriz,

pág. 76elementos de una matriz,

pág. 76matriz aumentada, pág. 76

Anteriorsistema de tres ecuaciones

linealesforma escalonada por fi las




Escribir una matriz aumentada


3x − 4y = 7 − 2z

9x + 3y = 3

2x + 4y − z = 2

SOLUCIÓN

Comienza por escribir cada ecuación en el sistema en forma estándar.

3x − 4y + 2z = 7

9x + 3y + 0z = 3

2x + 4y − z = 2

Luego, usa los coefi cientes y las constantes como elementos de la matriz aumentada.

[ 3

9

2

−4

3

4

2

0

−1

. . .

. . .

. . .

7

3

2

] La matriz aumentada tiene tres fi las y cuatro columnas, entonces las dimensiones

son 3 × 4.

Monitoreo del progreso Monitoreo del progreso Ayuda en inglés y español en BigIdeasMath.com


1. x − 8y = −4 2. x + y = 1 − z 3. 9x − 8y + 3z = 11

5x + 2y = 9 7x + 9y − z = −2 x − y + 2z = 6

6x + 4y + 8z = 0 −x + 4y = 16

Resolver sistemas de ecuaciones usando la tecnologíaMuchas herramientas tecnológicas tienen características de matrices que puedes usar

para resolver un sistema de ecuaciones lineales. La matriz aumentada en el Ejemplo 2,

reescrita en forma escalonada por fi las, se muestra a continuación. Observa que la

solución para este sistema es (x, y, z) = (−1.4, 5.2, 16). Puedes verifi car esta solución

en el sistema original.

[ 1

0

0

0

1

0

0

0

1

. . .

. . .

. . .

−1.4

5.2

16

]

ERROR COMÚNYa que la segunda ecuación no tiene un término z, el coefi ciente de z es 0.

Concepto Concepto EsencialEsencialResolver un sistema lineal usando la tecnologíaPaso 1 Escribe una matriz aumentada para el sistema lineal.

Paso 2 Introduce la matriz aumentada en tu calculadora gráfi ca.

Paso 3 Usa la forma de matriz escalonada reducida de tu calculadora para

reescribir el sistema.

Paso 4 Interpreta el resultado del paso 3 para resolver el sistema lineal.

hstx_alg2_span_pe_0203.indd 77hstx_alg2_span_pe_0203.indd 77 7/27/15 2:46 PM7/27/15 2:46 PM


Resolver un sistema usando la tecnología

Usa una calculadora gráfi ca para resolver el sistema. x + y + z = 2

2x + 3y + z = 3

x − y − 2z = −6

SOLUCIÓN

Paso 1 Escribe una matriz aumentada para el sistema lineal

[ 1

2

1

1

3

−1

1

1

−2

. . .

. . .

. . .

2

3

−6

] Paso 2 Introduce las dimensiones y elementos de la matriz aumentada a tu

calculadora gráfi ca.

NOMBRES MATEMÁTICAS

3:[C]4:[D]5:[E]6:[F]7:[G]

2:[B]

EDITAR1:[A]

MATRIZ[A] 3 ×4[1 1 1 2 ][2 3 1 3 ][1 -1 -2 -6]

Paso 3 Usa la función de forma de matriz escalonada reducida para reescribir el sistema.

8:Matr lista(9:Lista matr(0:cumSumA:ref(B:rref(

7:augment6:randM(NOMBRES MATEMÁTICAS EDITAR

rref([A] [[1 0 0 -1] [0 1 0 1 ] [0 0 1 2 ]]

Paso 4 Al convertir la matriz de vuelta a un sistema de ecuaciones lineales, obtienes:

1x = −1

1y = 1

1z = 2

La solución es x = −1, y = 1, y z = 2, o el triple ordenado (−1, 1, 2).

Verifi ca esta solución en cada una de las ecuaciones originales.

Verifi ca

x + y + z = 2 2x + 3y + z = 3 x − y − 2z = −6

−1 + 1 + 2 =?

2 2(−1) + 3(1) + 2 =?

3 −1 − 1 − 2(2) =?

−6

2 = 2 ✓ 3 = 3 ✓ −6 = −6 ✓


Usa una calculadora gráfi ca para resolver el sistema.

4. x + 2y − 3z = −2 5. x + 3y − z = 1 6. 3x + 2y − 5z = −10

x − y + z = −1 −2x − 6y + z = −3 6x − z = 8

3x + 4y − 4z = 4 3x + 5y − 2z = 4 −y + 3z = −2

RECUERDAuna matriz m × n tiene m fi las y n columnas.



2.3 Soluciones dinámicas disponibles en BigIdeasMath.comEjercicios

En los Ejercicios 3–10, escribe una matriz aumentada para el sistema. Luego indica las dimensiones. (Consulta los Ejemplos 1 y 2).

3. 3x − 4y = 7 4. 5y − 4x = −7

9x + 11y = 10 3x − 7y = 15

5. x + 8y − 7z = 12 6. 4x − 5y + 2z = −3

5x + 9y + 5z = 15 6x + 4y + 9z = 8

6z − 3y − 8x = 1 11x − 2y − z = 7

7. x − y + z = 14 8. 5x + 2z = 9

6x − 5z = 13 3x + 5y − 8z = 15

−3x + 7y + 8z = −5 4x + 2y + 9z = 11

9. 3x + 2y = z + 7 10. −x + 3y = 5z + 9

5x + 4z = 8y 2x − 4y + 15z = 3

21x + 9y − 13z = 6 4y + 3z = 6x

ANALISIS DE ERRORES En los Ejercicios 11 y 12, describe y corrige el error cometido al escribir una matriz aumentada para el sistema a continuación.

3x − 9y + 5z = 8

2x + 11y = 15

6x − 9z + 14y = 4

11. La matriz aumentada es

[ 3

2

6

−9

11

−9

5

0

14

. . .

. . .

. . .

8

15

4

] ✗

12. La matriz aumentada es

[ 3

2

6

−9

11

14

5

15

−9

. . .

. . .

. . .

8

0

4

] ✗

En los Ejercicios 13–22, usa una calculadora gráfi ca para resolver el sistema. (Consulta el Ejemplo 3).

13. 4x + y + 6z = 7 14. x + 4y − z = −7

3x + 3y + 2z = 17 2x − y + 2z = 15

−x − y + z = −9 −3x + y − 3z = −22

15. x + y + z = 9 16. x − 2y + 3z = −9

x + y + z = 3 2x + 5y + z = 10

5x − 2z = −1 3x − 6y + 9z = 12

17. x + 3z = 6 18. 4x + y + 6z = 2

−2x + 3y + z = −11 2x + 2y + 4z = 1

3x − y + 2z = 13 −x − y + z = −5

19. x + y + 4z = 7 20. x + y + 2z = 1

2x − 3y − z = −24 x − y + z = 0

−4x + 2y + 2z = 8 3x + 3y + 6z = 4

21. x + y + 2z = 10 22. −2x + 4y + z = 1

−x + 2y + z = 5 3x − 3y − z = 2

−x + 4y + 3z = 15 5x − y − z = 8

23. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Una compañía

vende tres tipos de cestas de regalo. La cesta básica

tiene dos boletos para el cine y un paquete de

palomitas de maíz de microondas y cuesta $15.50.

La cesta mediana tiene dos boletos para el cine, dos

paquetes de palomitas de maíz de microondas y un

DVD y cuesta $37. La cesta súper tiene cuatro boletos

para el cine, tres paquetes de palomitas de maíz de

microondas y dos DVD y cuesta $72.50.

a. Escribe una matriz

aumentada para representar

esta situación.

b. Usa una calculadora

gráfi ca para hallar el costo

de cada objeto en la cesta.

Numero de ticket -

00A10

nombre de la película


Numero de ticket -

00A10

Numero de ticket - 00A10


nombre de la películaNumero de ticket - 00A10

Monitoreo del progreso y representar con matemáticasMonitoreo del progreso y representar con matemáticas

1. COMPLETAR LA ORACIÓN Una matriz derivada de un sistema de ecuaciones lineales es la matriz

______________ del sistema.

2. ESCRIBIR Describe como hallar la solución de un sistema de ecuaciones lineales de tres variables

usando la tecnología.




24. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Vas de compras

a un almacén local con tu amiga y tu prima. Compras

un par de jeans, cuatro pares de pantalones cortos, y

dos camisas por $84. Tu amiga compra dos pares de

jeans, un par de pantalones cortos y tres camisas por

$76. Tu prima compra un par de jeans, dos pares de

pantalones cortos y una camisa por $52.

a. Escribe una matriz aumentada para representar

la situación.

b. Usa una calculadora gráfi ca para hallar el costo

de cada pieza de ropa.

25. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Tienes 85 monedas

en nickels, dimes y quarters con un valor combinado de

$13.25. Hay dos veces más quarters que dimes.

a. Escribe una matriz aumentada para representar

la situación.

b. Usa una calculadora gráfi ca para hallar el número

de cada tipo de moneda.

26. ¿CÓMO LO VES? Escribe un sistema de ecuaciones

para la matriz aumentada a continuación.

[ 2

1

−2

−1

8

4

3

0

6

. . .

. . .

. . .

4

9

11

]

27. ARGUMENTAR Tu amigo dice que el número de fi las

en una matriz aumentada del sistema siempre será

igual al número de variables en el sistema. ¿Tiene tu

amigo la razón? Explica tu razonamiento.

28. USAR HERRAMIENTAS Usa una calculadora gráfi ca

para resolver el sistema de cuatro ecuaciones lineales

en cuatro variables.

2w + 5x − 4y + 6z = 0

2x + 2y − 7z = 52

4w + 8x − 7y + 14z = −25

3w + 6x − 5y + 10z = −16

29. RAZONAR ¿Es posible escribir más de una matriz

aumentada para un sistema lineal de ecuaciones?


30. CONNECIONES MATEMÁTICAS La suma de las

medidas de los ángulos en △ABC es 180°. La suma

de las medidas del ángulo B y el ángulo C es doble la

medida del ángulo A. La medida del ángulo B es 32° menos que la medida del ángulo C.

a. Escribe una matriz aumentada para representar la

situación.

b. Usa una calculadora gráfi ca para hallar las

medidas de los tres ángulos.

31. RAZONAMIENTO ABSTRACTO Deja que a, b y c

sean números reales. Clasifi ca el sistema lineal

representado por cada matriz como consistente o

inconsistente. Explica tu razonamiento.

a.

[ 1

0

0

0

1

0

0

0

1

. . .

. . .

. . .

a b

c

] b.

[ 1

0

0

0

1

0

0

0

0

. . .

. . .

. . .

a b

0

] c.

[ 1

0

0

0

1

0

0

0

0

. . .

. . .

. . .

a b

1

] 32. ESTIMULAR EL PENSAMIENTO Escribe una matriz

aumentada, no en forma de matriz escalonada

reducida, para un sistema que tiene exactamente una

solución, (x, y, z) = (2, 3, 5). Justifi ca tu respuesta.

Mantener el dominio de las matemáticasMantener el dominio de las matemáticasResuelve la desigualdad. Haz una gráfi ca de la solución. (Manual de revisión de destrezas)

33. 2 − x > 5 34. 5z + 8 ≥ −7

35. −2w + 7 ≥ 3w + 5 36. − 1 —

2 r + 1 <

3 —

2 r + 7

Haz una gráfi ca de la desigualdad en un plano de coordenadas. (Manual de revisión de destrezas)

37. y < 3x 38. y − 4 > 2x + 6 39. 1 — 2 x + y ≤ 5 40. −x − 3y ≥ −9



Sección 2.4 Resolver sistemas de desigualdades lineales 81

2.4

Pregunta esencialPregunta esencial ¿Cómo puedes hacer una gráfi ca de un sistema de tres desigualdades lineales?

Hacer gráfi cas de desigualdades lineales

Trabaja con un compañero. Une cada desigualdad lineal con su gráfi ca. Explica tu razonamiento.

x + y ≤ 4 Desigualdad 1

x − y ≤ 0 Desigualdad 2

y ≤ 3 Desigualdad 3

A.

2−2 4

x

2

−2

y B.

x

y

2

4

−2

−2

2 4

C.

x2−2 4

2

4

−2

y

Hacer una gráfi ca de un sistema de desigualdades lineales

Resolver sistemas de desigualdades lineales

1

3

−2−1

−3

2 4 x

y

2A.3.E2A.3.F2A.3.G


Trabaja con un compañero. Considera las desigualdades lineales dadas en la Exploración 1.

x + y ≤ 4 Desigualdad 1

x − y ≤ 0 Desigualdad 2

y ≤ 3 Desigualdad 3

a. Usa tres colores diferentes para hacer una gráfi ca de las desigualdades en el mismo plano de coordenadas. ¿Cuál es el resultado?

b. Describe cada una de las regiones sombreadas en la gráfi ca. ¿Qué representada la región sin sombrear?

Comunicar tu respuestaComunicar tu respuesta 3. ¿Cómo puedes hacer una gráfi ca de un sistema de tres desigualdades lineales?

4. Cuando haces una gráfi ca de un sistema de tres desigualdades lineales, ¿Cuál región representa la solución del sistema?

5. ¿Crees que todos los sistemas de tres desigualdades lineales tienen una solución? Explica tu razonamiento.

6. Escribe un sistema de tres desigualdades lineales representadas por la gráfi ca.

USAR LENGUAJEMATEMATICO PRECISO

Para dominar la matemáticas, tienes que explicar ideas matemáticas usando un lenguaje matemático preciso.



2.4 Qué aprenderásQué aprenderás Verifi carás soluciones de sistemas de desigualdades lineales.

Harás gráfi cas de sistemas de desigualdades lineales.

Escribirás sistemas de desigualdades lineales.

Usarás sistemas de desigualdades lineales para resolver problemas de la vida real.

Sistema de desigualdades linealesUn sistema de desigualdades lineales es un y ≤ x + 2 Desigualdad 1conjunto de dos o más desigualdades lineales en y < −2x + 1 Desigualdad 2las mismas variables. Un ejemplo se muestra aquí. y < −x − 1 Desigualdad 3

Una solución de un sistema de desigualdades lineales es un par ordenado que es una solución de cada desigualdad del sistema.

Verifi car soluciones

Indica si cada par ordenado es una solución del sistema de desigualdades lineales.

y < 4x Desigualdad 1

y ≥ x − 1 Desigualdad 2

y ≤ 2x + 1 Desigualdad 3

a. (1, 0) b. (−2, −8)

SOLUCIÓN

a. Sustituye 1 por x y 0 por y en cada desigualdad.

Desigualdad 1 Desigualdad 2 Desigualdad 3

y < 4x y ≥ x − 1 y ≤ 2x + 1

0 <?

4(1) 0 ≥?

1 − 1 0 ≤?

2(1) + 1

0 < 4 ✓ 0 ≥ 0 ✓ 0 ≤ 3 ✓ Dado que el par ordenado (1, 0) es una solución de cada desigualdad, es una

solución del sistema.

b. Sustituye −2 por x y −8 por y en cada desigualdad.

Desigualdad 1 Desigualdad 2 Desigualdad 3

y < 4x y ≥ x − 1 y ≤ 2x + 1

−8 <?

2(−2) −8 ≥?

−2 − 1 −8 ≤?

2(−2) + 1

−8 < −4 ✓ −8 ≥ −3 ✗ −8 ≤ −3 ✓ Dado que (−2, −8) no es una solución de cada desigualdad, no es una

solución del sistema.


Indica si el par ordenado es una solución del sistema de desigualdades lineales.

1. (2, 1);

y < 3

y > −x + 3 y ≥ x − 4

2. (−2, 3);

y ≤ −3x + 2

y ≥ 2x − 5 y < x + 6

Lección

sistema de desigualdades lineales, pág. 82

solución de un sistema de desigualdades lineales, pág. 82

gráfi ca de un sistema de desigualdades lineales, pág. 83

Anteriordesigualdad lineal de dos

variables




Hacer gráfi cas de un sistema de desigualdades lineales

Haz una gráfi ca del sistema de desigualdades lineales.

y > −2x − 5 Desigualdad 1

y ≤ x + 3 Desigualdad 2

y ≥ x − 2 Desigualdad 3

SOLUCIÓN

Paso 1 Haz una gráfi ca de cada desigualdad.

Paso 2 Halla la intersección de los semiplanos. Una solución es (2, 3).

Hacer gráfi cas de un sistema de desigualdades lineales (Sin solución)


2x + 3y < 6 Desigualdad 1

y ≥ − 2 — 3 x + 4 Desigualdad 2

−2x + y < −2 Desigualdad 3

SOLUCIÓN


Paso 2 Halla la intersección de los semiplanos. Nota que no hay ninguna región sombreada roja, azul y verde.

Entonces, el sistema no tiene solución.

Hacer gráfi cas de sistemas de desigualdades linealesLa gráfi ca de un sistema de desigualdades lineales es la gráfi ca de todas las soluciones del sistema.

Concepto Concepto EsencialEsencialHacer gráfi cas de un sistema de desigualdades linealesPaso 1 Haz una gráfi ca de cada desigualdad

en el mismo plano de coordenadas.

Paso 2 Halla la intersección de los semiplanos que son soluciones de las desigualdades. Esta intersección es la gráfi ca del sistema.

Verifi ca

Verifi ca que (2, 3) es una solución de cada desigualdad.

Desigualdad 1

y > −2x − 5

3 >?

−2(2) − 5

3 > −9 ✓Desigualdad 2

y ≤ x + 3

3 ≤?

2 + 3

3 ≤ 5 ✓Desigualdad 3

y ≥ x − 2

3 ≥?

2 − 2

3 ≥ 0 ✓

2−5

2

x

y

−1

−2

(2, 3)

2 5

3

5

1x

y

−2

−2

1

3

−4

−2

2 x

y

−2

y ≤ x + 2

y < −2x + 1 y ≥ −x − 1





3. y < 3x − 2 4. x + y > −3 5. 2x − 1 — 2 y ≥ 4

y > −x + 4 −6x + y < 1 4x − y ≤ 5

y ≤ 2 x + y ≥ 8 x + y ≥ 10

Escribir sistemas de desigualdades lineales

Escribir un sistema de desigualdades lineales

Escribe un sistema de desigualdades lineales representado por la gráfi ca.

SOLUCIÓN

Desigualdad 1 La línea de limite vertical pasa por (−3, 0). Entonces, una ecuación de la línea es x = −3. La región sombreada está a la derecha de la línea de limite sólida, entonces la desigualdad es x ≥ −3.

Desigualdad 2 La pendiente de la línea de limite es 1 — 2 y la intersección con eje y

es −2. Entonces, una ecuación de la línea es y = 1 — 2 x − 2. La región

sombreada está por encima de la línea de limite discontinua,

entonces la desigualdad es y > 1 — 2 x − 2.

Desigualdad 3 La pendiente de la línea de limite es − 1 — 2 , y la intersección con eje y

es 1. Entonces, una ecuación de la línea es y = − 1 — 2 x + 1. La región

sombreada esta debajo de la línea de limite discontinua, entonces la

desigualad es y < − 1 — 2 x + 1.

El sistema de desigualdades representado por la gráfi ca es

x ≥ −3 Desigualdad 1

y > 1 — 2 x − 2 Desigualdad 2

y < − 1 — 2 x + 1. Desigualdad 3


Escribe un sistema de desigualdades representado por la gráfi ca.

6.

−4 −2

−2

4

1

2 4 x

y 7.

−4 −2

−2

−4

4

4 x

y

−4

−4

2

4

4 x

y



Resolver problemas de la vida real

Aplicar las matemáticas

Una tienda de descuento de zapatos tiene la oferta descrita en el anuncio mostrado. Usa la información del anuncio para escribir y hacer una gráfi ca de un sistema de desigualdades que represente el precio normal y el de oferta disponibles. ¿Cuánto pueden costar unos zapatos a precio normal en oferta?

SOLUCIÓN

1. Entiende el problema Sabes el intervalo de precios normales y el intervalo de descuentos. Tienes que escribir y hacer una gráfi ca del sistema que represente la situación y determinar cuánto cuestan unos zapatos a precio normal en oferta.

2. Haz un plan Usa la información dada para escribir un sistema de desigualdades. Luego haz una gráfi ca del sistema e identifi ca un par ordenado en la región de la solución.

3. Resuelve el problema Escribe un sistema de desigualdades. Deja que x sea el precio regular y y el precio de oferta.

x ≥ 20 Precio normal debe ser por lo menos $20.

x ≤ 80 Precio normal debe ser no más de $80.

y ≥ 0.4x Oferta es por lo menos (100 − 60)% = el 40% del precio normal.

y ≤ 0.9x Oferta es no más que (100 − 10)% = el 90% del precio normal.

Haz una gráfi ca del sistema

Oferta de zapatos

20 40 60 70 800 30 5010 x

10

20

30

40

50

60

70

80

0

y

Prec

io d

e o

fert

a(e

n d

óla

res)

Precio normal (en dólares)

A partir de la gráfi ca puedes ver que un par ordenado en la región de la solución es (50, 30).

Entonces un par de zapatos de $50 costaría $30 en oferta.

4. Verifícalo Verifi ca tu solución sustituyendo x = 50 y y = 30 en cada desigualdad del sistema, como se muestra.


8. Identifi ca e interpreta otra solución para el Ejemplo 5.

9. ¿QUÉ PASA SI? Imagina que todos los zapatos se vendieron con la excepción de los que normalmente cuestan de $60 a $80. ¿Cómo cambia esto el sistema? ¿(50, 30) sigue siendo una solución? Explica.

Verifi ca

x ≥ 20

50 ≥ 20 ✓ x ≤ 80

50 ≤ 80 ✓ y ≥ 0.4x

30 ≥?

0.4(50)

30 ≥ 20 ✓ y ≤ 0.9x

30 ≤?

0.9(50)

30 ≤ 45 ✓

i l l i l d

Zapatos adescuento

de Dan

Ahorra del 10%-60%en todos los zapatos.(Precio normal $20-$80)



2.4


1. VOCABULARIO ¿Qué necesita ser verdad para que un par ordenado sea una solución de un sistema de desigualdades lineales?

2. ¿CUÁL NO PERTENECE? Usa la gráfi ca mostrada. ¿Cuál par ordenado no pertenece a al grupo de los otros tres? Explica tu razonamiento.

(−3, 0) (−3, 2)

(0, 1) (−1, 4)

Ejercicios

En los Ejercicios 3–8, indica si el par ordenado es una solución del sistema de desigualdades lineales. (Consulta el Ejemplo 1).

3. (1, 2);

y ≥ 5x − 6

y ≤ 3x + 1 y > −x + 2

4. (8, −2);

y < 2x + 5

y ≥ −4x − 1 y < 2x − 2

5. (0, 0);

y < 3x + 12

x − y < 4

y > − 1 — 2 x

6. (−2, 5); y ≤ x + 3

y ≥ −x 3x − y > −6

7. (2, 1);

x + y ≤ 4x + y > −1

x − y ≥ −2

x − y ≤ 2

8. (1, 3);

2x + y < 5

2x + y ≥ −3

3x − y > −4

3x − y ≤ 3

En los Ejercicios 9–16, haz una gráfi ca del sistema de desigualdades lineales. (Consulta los Ejemplos 2 y 3).

9. y < 4 10. y ≥ 1 x > −3 x ≤ 6 y > x y < 2x − 5

11. y < 2x + 4 12. y < 2x + 1

y ≥ 4x − 3 y < −3x − 1

y < 2x − 3 y > −3x + 2

13. 2x − 3y > −6 14. x − 4y > 0

5x − 3y < 3 x + y ≤ 1 x + 3y > −3 x + 3y > −1

15. y ≥ 0 16. y < 5

x ≤ 9 y > −6

x + y < 15 2x + y ≥ −1

y < x y ≤ x + 3

En los Ejercicios 17–22. Escribe un sistema de desigualdades lineales representado por la gráfi ca. (Consulta el Ejemplo 4).

17.

−2 3

−2

3

1

x

y 18.

−3 2

−3

2

x

y

19.

−2 3−1

3

x

y 20.

−3 2

2

x

y

21.

−1 1 4

−2

3

x

y 22.

−2 2

−2

4

x

y


−2 2

3

1

5

x

y




ANALISIS DE ERRORES En los Ejercicios 23 y 24 describe y corrige el error cometido al hacer gráfi cas de sistema de desigualdades lineales.

23.

y ≤ 3 y > 1−y ≥ −2x

✗

24.

y ≤ 3 x + y ≥ 5x > −1

✗

25. REPRESENTAR CON MATEMATICAS Compras boletos de cine y tarjetas de regalo como premios para un evento. Necesitas por lo menos 5 boletos y dos tarjetas. Un boleto cuesta $6 y una tarjeta de regalo $10. El monto máximo que puedes gastar es $70. (Consulta el Ejemplo 5).

a. Escribe y haz una gráfi ca de un sistema de desigualdades lineales que represente la situación.

b. Identifi ca e interpreta dos posibles soluciones.

26. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS El comité del baile de promoción Junior-Senior consiste de 5 a 8 representantes de las clases junior y senior. El comité tiene que incluir por lo menos dos juniors y por lo menos 3 seniors.

a. Escribe y haz una gráfi ca de un sistema de desigualdades lineales que represente la situación.

b. Identifi ca e interpreta dos posibles soluciones.

27. RESOLVER PROBLEMAS Una tienda de videojuegos en línea tiene una oferta, como se describe en el anuncio mostrado. Usa la información del anuncio para escribir y hacer una gráfi ca de un sistema de desigualdades para los videojuegos a precio normal y los precios de oferta posibles. Luego usa esa gráfi ca para estimar el intervalo posible de precios de oferta para juegos que normalmente cuestan $20.

28. RESOLVER PROBLEMAS En el béisbol, la zona de strike es un rectángulo con el mismo ancho que el home que se extiende desde las rodillas del bateador a un punto en el medio entre los hombros H y la parte de arriba A de los pantalones del uniforme. El ancho de home es de 17 pulgadas. Las rodillas de un bateador están a 20 pulgadas del suelo y el punto medio entre sus hombros y la parte de arriba de sus pantalones está a 42 pulgadas del suelo. Escribe un sistema de desigualdades que represente la zona de strike.

Sy

x

T

20 pulgadas

42 pulgadas

17pulgadas

No hecho a escala

29. CONEXIONES MATEMÁTICAS Los puntos a continuación son los vértices de un rectángulo.

(−3, 3), (4, −2), (−3, −2), (4, 3)

a. Escribe un sistema de desigualdades lineales que representen los puntos dentro del rectángulo.

b. Halla el área del rectángulo.

30. CONEXIONES MATEMÁTICAS Los puntos a continuación son los vértices de un triángulo.

(0, −2), (4, 6), (4, −2)

a. Escribe un sistema de desigualdades lineales que representen los puntos dentro del triángulo.

b. Halla el área del triángulo.

31. USANDO ECUACIONES ¿Cuál cuadrante del plano de coordinadas no contiene ninguna solución del sistema de desigualdades lineales?

y ≥ 4x + 1

2x + y < 5

y ≥ −3

○A Cuadrante I ○B Cuadrante II

○C Cuadrante III ○D Cuadrante IV

32. FINAL ABIERTO Escribe un sistema de tres desigualdades lineales que tenga (−2, 1) como una solución.

−2 2

2

4

x

y

2 4

4

2

6

x

y



33. RESOLVER PROBLEMAS Un libro sobre el cuidado de peces tropicales dice que el nivel pH del agua debe estar entre 8.0 y 8.3 y la temperatura del agua debe estar entre 76ºF y 80ºF. Deja que x sea el nivel de pH del agua y y la temperatura. Escribe y haz una gráfi ca de un sistema de desigualdades que describa el nivel de pH apropiado y la temperatura apropiada del agua. Compara esta gráfi ca con la gráfi ca que obtendrías si las temperaturas fuesen dadas en grados centígrados.

34. ¿CÓMO LO VES? Se muestran las gráfi cas de tres ecuaciones lineales.

x

y

2

2−2

A

B

y = x − 1

2

y = −3

y = −2x

Remplaza los signos de igualdad con los de desigualdad para crear un sistema de desigualdades lineales que tiene el punto B como solución pero no el punto A. Explica tu razonamiento.

y x − 1

y −2x

y −3

35. RAZONAR Escribe un sistema de tres desigualdades lineales para el cual el conjunto de soluciones consista de los puntos en la línea y = 5x − 2. Justifi ca tu respuesta.

36. ESTIMULAR EL PENSAMIENTO ¿Es posible que un sistema de desigualdades lineales tenga una solución que sea un sólo punto en un plano de coordenadas? De ser así da un ejemplo, si no, explica por qué.

37. ARGUMENTAR Tu amigo dice que un sistema de tres desigualdades lineales con tres líneas de límites paralelas no tiene solución. ¿Tu amigo tiene la razón? Justifi ca tu respuesta.

38. REPRESENTACIONES MÚLTIPLES La frecuencia cardiaca máxima teórica de una persona y (en latidos por minuto) es dada por y = 220 − x, donde x es la edad de la persona en años (20 ≤ x ≤ 65). Cuando una persona hace ejercicio, se recomienda que uno se esfuerce a una frecuencia cardiaca de por lo menos 50% del máximo y no más de 75% del máximo.

a. Escribe un sistema de desigualdades lineales que describa la información dada.

b. Haz una gráfi ca del sistema que escribiste en la parte (a).

c. Una persona de 40 años tiene una frecuencia cardiaca de 158 latidos por minuto cuando hace ejercicio. ¿La frecuencia cardiaca de la persona está dentro de la zona de objetivo? Explica.

39. USAR HERRAMIENTAS Usa una calculadora gráfi ca para dibujar una gráfi ca de cada sistema.

a. y ≤ ∣ x ∣ b. y > ∣ 2x ∣ y ≥ − ∣ x ∣ y < − ∣ 2x ∣ + 4

c. y ≤ ∣ x − 2 ∣ d. y < ∣ x − 3 ∣ + 2

y > ∣ x ∣ − 2 y ≥ ∣ x − 3 ∣ − 1

40. PENSAMIENTO CRÍTICO Escribe un sistema de desigualdades lineales que represente la gráfi ca de y > ∣ x − 2 ∣ .

Mantener el dominio de las matemáticasMantener el dominio de las matemáticasHalla el producto. (Manual de revisión de destrezas)

41. (x − 2)2 42. (3m + 1)2 43. (2z − 5)2 44. (4 − y)2

Escribe una función g descrita por la transformación dada de f (x) = ∣ x ∣ − 5. (Sección 1.3)

45. traslación 2 unidades hacia la izquierda 46. traslación 4 unidades hacia arriba

47. refl exión en el eje x 48. alargamiento vertical por un factor de 3



89

2.3–2.4 ¿Qué aprendiste?

Vocabulario EsencialVocabulario Esencialmatriz, pág. 76 sistema de desigualdades lineales, pág. 82dimensiones de una matriz, pág. 76 solución de un sistema de desigualdades, pág. 82elementos de una matriz, pág. 76 gráfi ca de un sistema de desigualdades lineales, pág. 83matriz aumentada, pág. 76

Conceptos EsencialesConceptos EsencialesSección 2.3 Escribir una matriz aumentada para un sistema lineal, pág. 76Resolver un sistema lineal usando la tecnología, pág. 77

Sección 2.4 Hacer una gráfi ca de un sistema de desigualdades lineales, pág. 83Escribir un sistema de desigualdades lineales, pág. 84

Razonamiento matemáticoRazonamiento matemático1. En el Ejercicio 15 de la página 79 usaste una calculadora gráfi ca para resolver el

sistema de ecuaciones. Explica cómo puedes resolver este sistema usando papel

y lápiz.

2. Describe los dibujos o diagramas que usaste para apoyar tu respuesta en el

Ejercicio 37 de la página 88.

Desarrollas un juego de números para el periódico de tu colegio. Para estimular el interés del lector, comienzas con un problema simple de suma: Halla tres números que sumados sean 10. ¿Cómo procedes para que nada más haya un ganador? ¿Cómo procedes para que todo el mundo gane? ¿Puedes manipular el juego para que no sea posible que alguien gane?

Para explorar las respuestas a esta pregunta y más, visita BigIdeasMath.com.

Diversion y juegos`

8989

Tarea de desempeño

hstx_alg2_span_pe_02ec.indd 89hstx_alg2_span_pe_02ec.indd 89 7/23/15 10:54 AM7/23/15 10:54 AM


22 Repaso del capítulo

Resolver sistemas lineales usando la sustitución (págs. 59–66)2.1

Resuelve el sistema usando la sustitución.

2x + 6y + z = 1 Ecuación 1

−x − 3y + 2z = 7 Ecuación 2

x − y − 3z = −14 Ecuación 3

Paso 1 Resuelve la Ecuación 3 para hallar x.

x = y + 3z − 14 Nueva ecuación 3

Paso 2 Sustituye y + 3z − 14 por x en las Ecuaciones 1 y 2.

2(y + 3z − 14) + 6y + z = 1 Sustituye y + 3z − 14 por x en la Ecuación 1.

8y + 7z = 29 Nueva Ecuación 1

−(y + 3z − 14) − 3y + 2z = 7 Sustituye y + 3z − 14 por x en la Ecuación 2.

−4y − z = −7 Nueva Ecuación 2


z = −4y + 7 Resuelve la Ecuación 2 nueva para hallar z.

8y + 7(−4y + 7) = 29 Sustituye −4y + 7 por z en la Ecuación nueva 1.

y = 1 Resuelve para hallar y.

z = 3 Sustituye en la Ecuación 2 nueva para hallar z.

Paso 4 Sustituye y = 1 y z = 3 en una ecuación original y resuelve para hallar x.

x − y − 3z = −14 Escribe la Ecuación 3 original.

x − (1) − 3(3) = −14 Sustituye 1 por y y 2 por z.

x = −4 Resuelve para hallar x.

La solución es x = −4, y = 1 y z = 3, o el triple ordenado (−4, 1, 3). Verifi ca esta solución

en cada una de las ecuaciones originales.

Resuelve el sistema usando la sustitución. Verifi ca tu solución si es posible.

1. x + y + z = 3 2. 4x + 5y + 3z = 11 3. −2x + y − 5z = −13

−x + 3y + 2z = −8 x − 3y + z = 6 3x + y = 12

x = 4z −2x + 6y − 2z = −12 x + y − z = 2

4. x − y + z = 6 5. x − y + 3z = 6 6. 3x + 2y + z = 20

−4x + 3y + 2z = 12 x − 2y = 5 −x − y − 2z = −2

2x − 2y + 2z = 8 2x − 2y + 5z = 9 2y + z = −1

7. Una banda de colegio se presenta en un concierto de

primavera para un público de 600 personas. El ingreso del

concierto es $3150. Hay 150 adultos más que estudiantes en

el concierto. ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron?



Capítulo 2 Repaso de Capítulo 91

Resolver sistemas lineales usando la eliminación (págs. 67–72)2.2

Resuelve el sistema usando la eliminación.

x − y + z = −3 Ecuación 1

2x − y + 5z = 4 Ecuación 2

4x + 2y − z = 2 Ecuación 3


x − y + z = −3 Suma la ecuación 1 a la

4x + 2y − z = 2 Ecuación 3 (para eliminar z).

5x + y = −1 Ecuación 3 nueva

−5x + 5y − 5z = 15 Suma −5 veces la Ecuación 1 a la

2x − y + 5z = 4 Ecuación 2 (para eliminar z).

−3x + 4y = 19 Ecuación 2 nueva

Paso 2 Resuelve el sistema lineal nuevo para hallar ambas de sus variables.

−20x − 4y = 4 Suma −4 veces la Ecuación 3

−3x + 4y = 19 nueva a la Ecuación 2 nueva.

−23x = 23

x = −1 Resuelve para hallar x.

y = 4 Sustituye en la nueva Ecuación 2 o 3 para hallar y.

Paso 3 Sustituye x = −1 y y = 4 en la ecuación original y resuelve para hallar z.

x − y + z = 23 Escribe la ecuación original 1.

(−1) − 4 + z = 23 Susituye −1 por x y 4 por y.


La solución es x = −1, y = 4 y z = 2, o el triple ordenado (−1, 4, 2). Verifi ca esta solución con

cada una de las ecuaciones originales.

Resuelve el sistema usando la eliminación. Verifi ca tu solución si es posible.

8. 2x − 5y − z = 17 9. x + y + z = 2 10. x + 4y − 2z = 3

x + y + 3z = 19 2x − 3y + z = 11 x + 3y + 7z = 1

−4x + 6y + z = −20 −3x + 2y − 2z = −13 2x + 9y − 13z = 2

11. Resuelve el sistema que sigue usando la eliminación Gaussiana.

x − y + 2z = −8

x + y + z = 6

3x + 3y + 4z = 28

12. Una taquilla vende asientos de

balcón, asientos a nivel del piso y

pases VIP para espectáculos en tour.

La tabla muestra el número de cada

tipo de entrada vendida y el ingreso

de los primeros tres espectáculos de

un tour. ¿Cuál es el precio de cada

tipo de entrada?

BalcónNivel del

pisoVIP Ingreso

Espectáculo 1 135 280 29 $37,170

Espectáculo 2 150 270 58 $42,240

Espectáculo 3 130 265 29 $35,570



Resolver sistemas lineales usando la tecnología (págs. 75–80)2.3

Usa una calculadora gráfi ca para resolver el sistema 8x − 5y + 13z = −37 Ecuación 1

−6x + 14y + 3z = 74 Ecuación 2

11x + 4y − 26z = 113 Ecuación 3

Paso 1 Escribe una matriz aumentada para el sistema lineal.

Paso 2 Introduce las dimensiones y elementos de la matriz

aumentada en tu calculadora gráfi ca.

Paso 3 Usa la función forma de matriz escalonada reducida de tu

calculadora para reescribir el sistema.

Paso 4 Al convertir la matriz de vuelta a un sistema de ecuaciones

lineales, obtienes 1x = 3, 1y = 7 y 1z = −2.

La solución del sistema es (3, 7, −2).


13. x − 3y + z = 2 14. 4x − 16y + z = −4 15. x − 3y + 2z = –16

−3x + 2y − 2z = 13 4x + y − 3z = 26 2x + y − z = −3

−2x + 6y − 2z = 30 2x − 8y + z = −2 5x + 4y − 3z = 1

[ 8

−6

11

−5

14

4

13

3

−26

. . .

. . .

. . .

−37

74

113

] MATRIZ[A] 3 ×4[8 -5 13 -37][-6 14 3 74 ] [11 4 -26 113]

rref([A] [[1 0 0 3 ] [0 1 0 7 ] [0 0 1 -2]]

Resolver sistemas de desigualdades lineales (págs. 81–88)2.4


y ≥ x + 3 Desigualdad 1

y > −2x + 1 Desigualdad 2

y < − 1 —

2 x + 4 Desigualdad 3


Paso 2 Halla la intersección de los semiplanos.

Una solución es (−1, 4).


16. y > 2x + 1 17. 2x + y ≥ −2 18. y < 2x + 4

y < –x + 2 x – y < −3 –2x + y > 5

y ≥ 3x + 4 4x − y < 0 y ≥ 2x + 6

19. Quieres trabajar por lo menos 10 horas, pero menos de 20 horas la semana que viene. Ganas $8

por hora trabajando en una tienda y $6 cortando grama. Necesitar ganar por lo menos $92 para

cubrir tus gastos semanales. Escribe y haz una gráfi ca de un sistema de desigualdades lineales

para representar esta situación.

1

3

5

−2−1

2 x

y

y > −2x +1

y ≥ x + 3

y < − x + 4 12


Capítulo 2 Prueba del capítulo 93

22 Prueba del capítulo

Resuelve el sistema usando cualquier método algebraico. Verifi ca tu solución si es posible.

1. 2x + y − z = 8 2. −2x + z = 6 3. 3x − 4y − z = 6

−4x − y + 2z = −16 −2x + y + 3z = 14 −3x + 6y + 2z = 5

−2x − 4y − 5z = −26 4x − 2z = 3 −6x + 12y + 4z = 10

4. ¿Es posible que el conjunto de soluciónes de un sistema de desigualdades lineales

contenga todos los puntos en un plano de coordenadas? Explica.

5. Determina si cada par ordenado es una solución del sistema de desigualdades mostrado.


a. (3, 1)

b. (1, 2)

c. (2, 3)

d. (3, 0)


6. 3x − 4y + 2z = −9 7. 2x + y + 2z = 11 8. 9x + 27y − 3z = 18

−2x + 2y + 5z = 16 x + z = 6 −3x −9y + z = −9

−x + 2y − 7z = −7 −3y + z = 7 6x + 4y + 18z = 7

9. El puesto de jugos en un club de salud recibe una

entrega de jugo a principios de cada mes. Durante

un periodo de 3 meses, el club de salud recibió

12000 galones de jugo de naranja, 900 galones de

jugo de piña y 1000 galones de jugo de pomelo.

La tabla muestra la composición de cada entrega

de jugo. ¿Cuántos galones de jugo recibió el club

de salud en cada entrega? Justifi ca tu respuesta.

10. Se hacen piñatas para venderlas en una feria de manualidades. Toma 2 horas hacer

una mini piñata y 3 horas hacer una piñata de tamaño normal. El dueño del puesto de

manualidades tiene que hacer por lo menos 7 mini piñatas y 3 piñatas de tamaño normal.

El dueño del puesto de manualidades tiene un máximo de 30 horas disponibles para hacer

las piñatas y quiere tener por lo menos 10 piñatas para vender.

a. Escribe y haz una gráfi ca de un sistema de desigualdades lineales que represente la

situación.

b. Usa la gráfi ca para determinar si el dueño del puesto de manualidades

puede hacer 9 mini piñatas y 4 piñatas de tamaño normal.

11. Una verdurería vende tres cestas de fruta diferentes, como se describe en el

anuncio mostrado. Escribe una matriz aumentada para representar la

situación. Luego usa una calculadora gráfi ca para determinar el precio

por libra de cada fruta.

x

y

2

1 3

jugo 1a entrega 2a entrega 3a entrega

naranja 70% 50% 30%

piña 20% 30% 30%

pomelo 10% 20% 40%

Cesta de frutas

Una libra de cada una por $6.65

1 libra de fresas, 2 libras de peras,y 2 libras de naranjas por $10.15

3 libra de fresas, 2 libras de peras,y 3 libras de naranjas por $17.15

peras

fresas

naranjas



22 Evaluación de estándares

1. Basándote en los datos de la gráfi ca, ¿Cuál es la conclusión más acertada? (TEKS 2A.8.C)

○A Los datos sobre manchas Solares muestran una correlación

positiva.

○B Los datos sobre manchas Solares muestran una correlación

negative.

○C Los datos sobre manchas Solares no muestran ninguna

correlación aproximada.

○D Los datos sobre manchas Solares muestran una correlación fuerte.

2. ¿Cuál triple ordenado es una solución del sistema? (TEKS 2A.3.B)

○F (7, 1, −3)

○G (7, 1, 3)

○H (7, −1, −3)

○J Ninguna de las anteriores

3. ¿Cuál ecuación produce la gráfi ca más angosta? (TEKS 2A.6.C)

○A y = −1.5 ∣ x ∣ ○B y = − 2 — 3 ∣ x ∣

○C y = 0.5 ∣ x ∣ ○D y = 2 ∣ x ∣

4. RESPUESTA CUADRICULADA La tabla muestra el peso atómico de tres compuestos.

Deja que H, N y O representen el peso atómico del hidrogeno, nitrógeno y oxigeno

respectivamente. ¿Cuál es el peso atómico del nitrógeno? (TEKS 2A.3.B)

5. EL peso indicado en un tubo de pasta de diente es 3.5 onzas. El peso actual varia hasta

0.25 onzas. ¿Cuál desigualdad da el intervalo de peso actual w (en onzas) de un tubo

de pasta de diente? (TEKS 2A.6.F)

○F w ≥ 3.75 ○G w ≤ 3.25

○H −0.25 ≤ w ≤ 0.25 ○J 3.25 ≤ w ≤ 3.75

Promedio de manchas solares mensual

Nú

mer

o d

em

anch

as s

ola

res

Número del mes

10 2 3 4 5 6 7 8 9 m

2

0

4

6

8

10

12

14s

2x + 5y + 3z = 10

3x − y + 4z = 8

5x − 2y + 7z = 12

Compuesto Fórmula Peso atómico

ácido nítrico HNO3 63

óxido nitroso N2O 44

agua H2O 18


Capítulo 2 Evaluación de estándares 95

6. Una tienda de curiosidades vende cestas de regalo que contienen tres tipos de velas

diferentes: cirios, pilares, y de jarra. Los cirios cuestan $1 cada uno, los pilares $4 cada

uno, y las velas de jarra cuestan $6 cada una. Cada cesta contiene 8 velas con un costo

total de $24, y el número de cirios es igual al número de pilares y jarras combinadas.

¿Cuál sistema de ecuaciones representa esta situación, donde t es el número de cirios,

p pilares, y j de jarras? (TEKS 2A.3.A)

○A t + p + j = 24 ○B t + p + j = 8

t + 4p + 6j = 8 t + 4p + 6j = 24

t − p − j = 0 t − p − j = 0

○C t + p + j = 0 ○D t − p − j = 8

t + 4p + 6j = 24 t − 4p − 6j = 24

t − p − j = 8 t + p + j = 0

7. ¿Cuál ecuación tiene la gráfi ca mostrada? (TEKS 2A.6.C)

○F y = 3 — 2 ∣ x ∣

○G y = 2 — 3 ∣ x ∣

○H y = − 3 — 2 ∣ x ∣

○J y = − 2 — 3 ∣ x ∣

8. Tú y un amigo se van a encontrar en el gimnasio. Ambos están de

acuerdo en encontrarse entre las 9:00 a.m. y 9:30 a.m. y van a esperar por

el otro por no más de 10 minutos. La gráfi ca representa esta situación,

donde x es tu tiempo de llegada y y es el tiempo de llegada de tu amigo

(en minutos después de las 9:00 a.m.). ¿Cuál par ordenado representa los

tiempos de llegada razonables para ti y tu amigo? (TEKS 2A.3.G)

○A (15, 10) ○B (20, 5)

○C (4, 22) ○D (29, 10)

9. ¿Cuál sistema de desigualdades mejor representa la región sombreada? (TEKS 2A.3.E)

○F ○G

○H ○J

−2 2 x

−2

−4

1y

x

y40

10

20

30

10 20 30 40 50

y y − x ≤ 10

x − y ≤ 10

−3

2

4

−4 −2 2 x

y

(−3, 3) (4, 3)

(−3, −2) (4, −2)

x > −3

x < 4

y > −2

y < 3

x ≥ −3

x ≤ 4y ≥ −2

y ≤ 3

x ≤ −3

x ≥ 4

y ≤ −2

y ≥ 3

x < −3

x > 4

y < −2

y > 3


2 Resolver sistemas de ecuaciones y desigualdades...58 Capítulo 2 Resolver sistemas de ecuaciones y...

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