2. Tecnicas de Integracion Para Int. Indefinidas

Cálculo Integral: Técnicas de Integración Por sustitución o cambio de variable y por partes

Ing. Victor Yujra Ccuno 1

2. TECNICAS DE INTEGRACIONSabemos que frente a un problema siempre debemos de buscar un método que nos resulte sencillodar solución a ese problema. Veremos que para solucionar un problema de integración se puederesolver de muchas maneras. En esta parte de nuestro estudio trataremos todos los métodos que nosayudaran a resolver cualquier integral.

2.1. INTEGRACION POR CAMBIO DE VARIABLE O PORSUSTITUCION

1. Si consideramos ( )tx = donde ( )t es una función continua entonces ( )dttdx . ′= .Reemplazando en la formula de la integral indefinida obtenemos que

( ) ( )( ) ( )[ ] ( )∫ ∫ ∫ ′== dtttfdxtfdxxf .... . Para dar término a la solución de la integral se

vuelve a reemplazar el valor de t en función de x.

2. Si consideramos que ( )xu = y que u es una variable nueva, entonces resulta que

( )dxxdu . ′= , reemplazando en la formula de la integral indefinida obtenemos que

( ) ( )[ ] ( )∫∫ ′= dxxxfduuf ...

Existe un conjunto de integrales de uso frecuente cuyos resultados se justifican porque se reducen alos inmediatos ya estudiados, efectuando el cambio dtdxxftxf =→= )(')(

• Cn

xfdxxfxf

nn +

+=∫

+

1

)]([)('.)([

1

siendo )1( −≠n

• CxfJndxxf

xf +=∫ )(/)(

)('

• ∫ += Cefdxxfef xx )()( )('.

• ∫ += Ca

adxxfa

xfxf

ln)('.

)(

)(

• ∫ +−= Cxfdxxsenf )(cos)(

• ∫ += Cxsenfdxxfxf )()(')(cos(

• ∫ += Cxfdxxf

xf)(tan

)(cos)('

2

• ∫ += Cxfdxxfsen

xf)(tan

)()('

2

• ∫ +=−

CxSenfarcdxxf

xf)(

)(1

)('2

• ∫ +=+

Cxdxxf

xfarctan

)(1

)('2

Los siguientes ejemplos muestran el desarrollo de este método:

1. Resolver ∫= dxx

xI

ln

Solución:



Hacemos el cambio de variable: dux

dxux =⇒=ln

Reemplazando obtenemos: ∫ +=+== Cx

Cu

uduI2

ln

2

22

2. Resolver ( )dxxI 75ctg −= ∫Solución:

Hacemos el cambio de variable: ( )5

575du

dxdxduxu =⇒=⇒−=

Reemplazando en I obtenemos: CxsenCusenudu

I +−=+== ∫ 75ln5

1ln

5

1

5

ctg

3. Resolver ( )∫= dxeeI xxctg

Solución:

Hacemos el cambio de variable: dxedueu xx =⇒=

Reemplazando en la integral: CesenCsenuduuI x +=+== ∫ lnlnctg

4. Resolver: dxx

x∫

+1

Solución:

Haciendo la sustitución: xt +=1 , derivando:x

dxdt

2= .

Reemplazando:( ) ( ) CtCt

dttdtt +=+== ∫∫32

23

3

4

2

3222. .

Finalmente volviendo a la variable x: ( ) Cxdxx

x ++=+∫

231

3

41

5. Resolver ∫ − dxxx 25 1

Solución:

Hacemos cambio de variable: txtx −=→=− 11 22

Derivando dtxdx =− 2 2dtxdx −= .

Reemplazando: ( ) ( )∫ ∫ ∫ −−=−=−= 2.111 22425 dtttxdxxxdxxxI

( ) ( ) ∫ ∫∫∫∫ −+−=+−−=−−= dtttdtttdttdttttdtttI .2

1

2

121

2

11

2

1 222

Ctt

tCttt

I +−+−=+−+−=75

2

3

1

2

7.

2

1

2

5

2

3.

2

1 27

25

232

72

52

3

( ) ( ) ( )C

xxxI +−−−+−−=

7

1

5

121

3

1 27

225

22

32

Observación: A veces, una integral de apariencia difícil se reduce a otra conocida, si se cambiaadecuadamente la variable de interacción. Cuando se hace esto, dx se calcula derivando la relaciónentre x y la nueva variable. Al final debe darse el resultado en términos de la primera variable (x).



6. Resolver ∫ + dxx 35

Solución:

Podemos aprovechar el cambio para que desaparezca la raíz del siguiente modo.

355

22535 2 +=⇒=⇒=⇒=+ xttdtdxtdtdxtx

( )∫ ∫∫ +

+====+ C

xtdtttdttdxx

15

352

15

2

5

2

5

235

3322

Observación 01:

Hay integrales en las que aparece una función ( )xf y además su derivada )(' xf . En ellas conviene

efectuar el cambio ( ) txf = y que al diferenciar produce dtdx)x('f = que esta en la mismaintegral, es decir, en la integral esta contenido la función y la derivada de la función. Los siguientesdos ejemplos son una muestra de ello.

7. Resolver ∫ xdxcossenx

Solución:

Efectuamos el cambio dtxdxtsenx =⇒= cos , por tanto

Cxsen

Ct

tdtxdxsenx +=+==∫∫ 22cos

22

8. ∫ + xdxx )1cos( 2

Solución:

En esta integral aparece una función ( )1x 2 + y prácticamente su derivada ( xdx ) por ello hacemos

el cambio dtxdxdtxdxtx2

1212 =⇒=⇒=+ . Reemplazamos en la integral:

CxsenCsentdttdttxdxx ++=+==

=+∫ ∫ ∫ )1(

2

1

2

1cos

2

1

2

1cos)1cos( 22

Observación 02:

En otras integrales el cambio no resulta tan evidente, una muy clásica es la siguiente:

9. Resolver ∫ − 22 xa

dx

Solución:

Efectuamos el cambio adtdxatx =⇒= con lo cual

∫ ∫ ∫∫∫ −=

−=

−=

−=

− 222222222 11)1( t

dt

ta

adt

ta

adt

taa

adt

xa

dx

Ca

xaresenCarcsent +

=+=

La resolución de otras integrales se muestra a continuación:

10. Resolver ∫ +dx

x

x

14



Solución:

Cambiamos dtxdxdtxdxtx2

122 =⇒=⇒=

∫ ∫ +=+=+

=+

CarctgxCaretgt

dtdx

x

x 2

24 2

1

2

1

12

1

1

11. Resolver: ∫ −+

dxxcose

senxex

x

Solución:

Hacemos el cambio de variable: ( )dxsenxeduxcoseu xx +=⇒−=

Reemplazamos: Cu2C12/1

u

u

du 2/112/1

2/1+=+

+−=

+−

∫

Cxcose2dxxcose

senxe x

x

x

+−=−+

∫

12. Resolver ∫ −+

dxxcosx

senx1

Solución:

Hacemos el cambio de variable : senx1duxcosxu +=⇒−=

( ) CxcosxLnCLnuu

dudx

Cosxx

Senx1 +−=+==−+

∫∫

13. Resolver dxxx

x∫ +−

−14

14

3

Solución:

Hacemos el cambio de variable: ( )dx14 −==⇒+= 334 x44dx-dxxdu14x- xu

( )∫∫∫ ++−=+==+−

−=+−

−C1x4xLn

4

1CLnu

4

1

u

du

4

1dx

1x4x

)4x4(

4

1dx

1x4x

1x 4

4

3

4

3

14. Resolver: dxe1

ebx

bx

∫ −

−

−Solución:

Hacemos el cambio de variable: dxbedu bx−=⇒= -bxe-1u

( ) Ce1Lnb

1CLnu

b

1

u

du

b

1dx

e1

e bx

bx

bx

+−=+==−

−−

−

∫∫15. Resolver ( )∫ +

dxbxa

x23

2

Solución:

Hacemos la siguiente sustitución: dtdxbx3tbxa 23 =⇒=+

( )∫ ∫ ++

−=+−

===−

Cbxab3

1C

1

t

b3

1

t

dt

b3

1

tb3

dt

I3

1

22

16.( )

∫ −+−

dxx1

1x2x5/12



Solución:

Cambio de variable: dxdux-1u −=⇒=

( ) ( )∫ ∫∫ +−−=+−=−=−=−

+− − Cx15

2C

5

u2duudu

u

udx

x1

1x2x 5252

53525/12

17. Resolver ∫ xlnx

dx2

Solución:

Cambio de variable:x

dxduxlnu =⇒=

Reemplazando: ( ) CxLn

1C

1

u

u

du

xlnx

dx 1

22+=+

−==

−

∫∫

18. Resolver ∫ −=

32 1ctgxxsen

dxI

Solución:

Sustituimosxsen

dxdxxecductgxu

22cos1

−=−=⇒−=

Reemplazamos en I:

( )∫ ∫∫ +−−=+−=−=−=−

= CctgxCu

u

du

u

du

ctgxxsen

dxI 3

232

31332

12

3

321

( ) CctgxI +−−= 32

12

3

19. Resolver ∫= dxxaI xsen cos

Solución:

Sustituimos: dxxdusenxu cos=⇒=Reemplazamos en I:

Ca

aC

a

aduaI

senxuu +=+== ∫ lnln

20. Resolver ∫ += dxxI 35

Solución:

Cambiamos de variable para que desaparezca la raíz:

tdtdxtdtdxtx5

22535 2 =⇒=→=+ . Además 35 += xt

Reemplazando en I obtenemos:

( ) CxCtCt

dtttdttdxxI ++==+=+===+= ∫ ∫∫33

32 35

15

2

15

2

35

2

5

2

5

235

21. Resolver dxx

xarcsenxI ∫ −

−=

21

2

Solución:

Descomponemos la integral:



∫∫∫∫ −=−

−−

=

−−

−=

−

−= 2122222 11

2

11

2

1

2IIdx

x

xarcsendx

x

xdx

x

xarcsen

x

xdx

x

xarcsenxI

Hacemos los siguientes cambios de variable:

duxdxxdxduxu −=⇒−=⇒−= 21 2

21 x

dxdzxarcsenz

−=⇒=

Reemplazamos en la integral:

Czudzzduudzzu

duI +−−=−−=−−= ∫∫ ∫∫

−32

1

2

1

3

22

Finalmente, reemplazamos por los valores sustituidos:

( ) CxarcsenxI +−−−= 2

32

3

212

22. Resolver ∫ −=

32 1ctgxxsen

dxI

Solución:

Hacemos el cambio de variable:xsen

dxdxxecduxgu

2

2cos1cot −=−=⇒−=

Reemplazando en la integral I obtenemos:

( )∫ ∫ +−−=+−=−=−= CctgxCu

u

du

u

duI 3

232

313

12

3

32

23. Resolver: ∫= dxxlnx

)xln(lnI

Solución:

Hacemos cambio de variable: ( ) dxxLnx

duLnxLnu1=⇒=

Reemplazando en la integral: ∫ ∫ +=== Cu

duudxxLnx

xLnLnI

2

)( 2

Finalmente volviendo a la variable antigua:

( )( )C

LnxLnC

LnxLnC

uI +=+=+=

222

222

24. Resolver: dxe x∫ −− 323

2

Solución:

Dándole forma a la integral para aplicar el cambio de variable:

dxe

edx

e

edx

e

dxe

Ix

x

x

x

x

x ∫∫ ∫∫ −−− ==−

=−

=23

3

3

23

3

3 3

2

3

22

3

2.

23

2

Hacemos cambio de variable: dxedueu xx 33 923 =⇒−=



Reemplazando en la integral: [ ] Cedxe

edx

e

edx

ex

x

x

x

x

x+−=

−==

− ∫∫∫ −− 23ln9

2

23

9

9

2

3

2

23

2 33

3

23

3

3

25. Resolver: ∫+

=1x

dxI

Solución:

Aplicando el primer cambio de variable:

dzzdxxdzdxdxxdzxz 222

1

21 =⇒=⇒=⇒=

−

Reemplazando en la integral: ∫∫∫ +=

+=

+=

12

1

2

1 z

dzz

z

dzz

x

dxI

Aplicando el segundo cambio de variable a ∫ +=

12

z

dzzI :

dzdtzt =⇒+= 1 . Además 1−= tz

Reemplazando en la integral:

Ctt

Ctt

t

dtdtt

t

dtt

z

dzzI +−=+−=−=

−==

+= ∫ ∫∫∫ 2

12

3

21

2

1

23

2

3

43

42222

)1(2

12

Volviendo a las variables antiguas:

CxxCzzI ++−+=++−+= 14)1(3

414)1(

3

4 33

26. Resolver: ∫ −=

2912 xx

dxI

Solución:

Dándole forma a la integral para aplicar el cambio de variable:

( ) ∫ ∫∫∫ −−=

−−=

−−=

+−−

=22222

32 )23(2

3

3

1

)23(2949

4

3

4294

x

dx

x

dx

x

dx

xx

dxI

Aplicando el cambio de variable: dxduxu 323 =⇒−=Reemplazando en la integral:

Cx

xLnC

u

uLn

u

duI +

−+−−++

+−+=

−= ∫ )23(2

)23(2

4

1

2

2

4

1

3

1

23

122

27. Resolver: ∫ + dxxtg 2)21(

Solución:

∫∫∫ ++=++=+= dxxtgxtgdxxtgxtgdxxtgI )2221()2221()21( 222

∫ ∫∫∫ +=++= dxxtgdxxdxxtgdxxtgI 2.222sec22)21( 22

CxLnxtgdxxtgdxxI ++=+= ∫∫ 2sec22

12.22.2sec

2

1 2

28. Resolver: ∫ −+ )e3(e

dxxx



Solución:

En ∫ −+=

)3( xx ee

dxI hacemos cambio de variable:

dxedu

eux

x

−

−

−=+= 3

Reemplazando en la integral y posteriormente volviendo a la variable antigua:

CeLnCuLnu

du

e

dxe

ee

dxI x

x

x

xx++−=+−=−=

+−−=

+= ∫ ∫∫ −

−

−

− 33)3(

PROBLEMAS:

1. ( )∫ + dxx .12 20

2. dxx

x.

sen3 2

3

∫3. ( )∫ + dxbaxsen

4. ( )∫ + dxbax .cos

5. ∫ + dxxx .532

6.( )

dxx

Lnx.

32 3

∫+

7. ∫ + 12x

xdx

8. ∫ − 92xx

dx

9. ∫ − x

dxx4cos3

.2sen

10. ∫ − 2

.10

4

x

dxx

11. ∫ ++ 52 24 xx

xdx

12. ∫ −dx

e

ex

x

.54

2

13. ∫ + 54

2

x

x

e

dxe

14. ∫ −

−

dxx

e x

12

12

15. ( )∫ − dxxx .21343

16. ( )∫ − dxx .32sen

17.( )∫ + xx

dx

1

18. ( )∫ + dxxx .1 23

2

19. ∫ − 12x

xdx

20. ∫ −14x

xdx

21. ∫ + 42cos

.4sen4 x

dxx

22. ∫ − x

x

e

dxe

16

2

23. ∫ −++−

dxx

xx.

4

224

22

24. ∫+

dxxx

xx.

2sen

cossen

25. ∫ senx

dx

26. ∫ x

dx

cos

27. ( )∫ − xx

dx

7

28. ∫ − 3

2

32

.

x

dxx

29. ∫ −+

dxx

x23

35

30. ∫ +− 2562 xx

dx

31. ∫ + 52 4x

xdx

32. dxx

x∫

+ 53

Cálculo Integral: Técnicas de Integración Por sustitución o cambio de variable y porpartes


33. ∫

+

dxxx

sen .2

cos32

22

2.2. INTEGRACION POR PARTESEste método es para dar solución a integrales cuya integrando ( )xf es un producto de dos

funciones ( ) ( )xhxg . . Aquí una de la funciones puede ser fácilmente integrado y la otra funciónpuede ser simplificado por diferenciación.

Supongamos que ( )xuu = , ( )xvv = y ( ) vuxf .= , entonces ( ) duvdvuvud ... += , integrando

resulta que ∫ ∫+= duvdvuvu ... , despejando obtenemos:

∫ ∫−= duvvudvu ...

Para identificar a u y dv consideremos los siguientes criterios:

• Para las integrales del tipo ( )∫ dxexP ax .. ; ( )∫ dxaxxP .sen. ; ( )∫ dxaxxP .cos. tomemos

( )xPu = y dxedv ax .= ; dxax.sen ; dxax.cos

• Para las integrales del tipo ( )∫ dxLnxxP .. ; ( )∫ dxxxP .arcsen. ; ( )∫ dxxxP .arccos. tomemos

Lnxu = ; xarcsen ; xarccos y ( )dxxPdv .=Observación:

Cuando determinamos u y dv , no nos debe faltar ni sobrar componentes de la integral.

Algunos ejemplos que muestran este método de integración:

1. Resolver ∫= dxsenxxI ..

Solución:

Reconocemos las partes:dxdu

xu

==

xv

dxsenxdv

cos

.

−==

; luego reemplazamos:

∫ ∫ ++−=+−=−−−= CsenxxxdxxxxdxxxxI cos..coscos..coscos.

2. Resolver dxx

xarcsenI ∫=

2

Solución:

Primeramente hacemos un cambio de variable: dxxdxsenzxzxarcsen cos=⇒=⇒=Esto lo reemplazamos en la integral:

∫∫ = dzzsen

zzdx

x

xarcsen22

cos

Ahora si reconocemos las partes para integrar:zecvdzdu

dzzsen

zdvzu

cos

cos2

−==

==

Ahora reemplazamos en ∫ ∫−= duvvudvu ... , es decir:

( )∫ ∫∫ −−−== dzzeczeczdzzsen

zzdx

x

xarcsencoscos

cos22



CzgzecLnzeczI +−+−= cotcoscos

Para hallar los valores de cosec z y cotg z nos ayudamos del triangulosiguiente:

xzec

1cos = y

x

xzg

21cot

−=

Reemplazamos y obtenemos el resultado final:

Cx

x

xLn

x

xarcsenI +−−+−=

211

3. Resolver ∫ dxxtgx 2

Solución:

( ) 1

2

1222

2sec1sec C

xIxdxxdxxdxxdxxtgxI +−=−=−== ∫ ∫∫∫

Resolvemos la integral ∫= xdxxI 21 sec por integración por partes.

Identificamos las partes:tgxvdxdu

dvdxxxu

==== 2sec

21 cos CxLntgxxdxtgxtgxxI +−=−= ∫Finalmente reemplazamos en la integral I:

Cx

xLntgxxCx

CxLntgxxCx

II +−−=+−+−=+−=2

cos2

cos2

2

1

2

21

2

1

4. Integrar dxxsen .3∫Solución:

Hacemos cambio de variable: 3 xt = xt =3 dxdtt =23

Reemplazamos: ∫ ∫ ∫=== dtsenttdttsentdxxsenI .33. 223 .

Hacemos integración por partes:tvtdtd

dtsentdvt

cos2

.2

−====

[ ] ∫∫ +−=−−−= tdtttttdttttI cos.6cos32.coscos3 22

Volvemos a integrar por partes:sentvdtd

tdtdvt

====

cos

[ ] CtsenttttdtsenttsentttI +++−=−+−= ∫ cos.66cos3.6cos3 22

Reemplazamos a su variable antigua: CxxsenxxxI +++−= 33333 2 cos6.6cos.3

5. Resolver ∫ xcos3xdx

Solución:

Reconocemos las variables para aplicar el método:dxdu

xu

==

sen3x1

v

cos3xdxdv

3=

=

Reemplazando obtenemos:

x1

21 x−

z



∫∫ = sen3xdx3

1-sen3xxcos3xdx

3

x

Ccos3x9

1sen3xxcos3xdx ++=∫ 3

x

6. Resolver ∫ xdxxcos

Solución:

Hacemos que:dxdu

xu

==

∫ ==

=

senxxdxcosv

xdxcosdv

Reemplazando en la integral

∫ ∫ ++=−== CxcosxsenxsenxdxxsenxxdxcosxI

7. Resolver ∫ dxxe x

Solución:

Hacemos que:dxdu

xu

==

∫ ==

=xx

x

edxev

dxedv

Reemplazando en la integral

∫ ∫ +−=−== CexedxexedxxeI xxxxx

8. Resolver ∫ senxdxe x

Solución:

Hacemos que:dxedu

eux

x

==

∫ −==

=

xcossenxdxv

senxdxdv


1xxxx Ixcosexdxcosexcosesenxdxe +−=+−== ∫∫I ……………. (1)

Calculamos 1I por partes:dxedu

eux

x

==

∫ ==

=

senxxdxcosv

xdxcosdv


IsenxesenxdxesenxexdxcoseI xxxx1 −=−== ∫ ∫

Reemplazamos el valor de 1I en la ecuación (1):

IsenxexeI xx −+−= cos

Despejando: senxexcoseI2 xx +−=

C2

senxexcoseI

xx

++−=

9. Resolver ∫ Lnxdxx 2

Solución:



Hacemos que:dx

x

1du

Lnxu

=

=

∫ ==

=

3

xdxxv

dxxdv3

2

2


C3

x

3

1Lnx

3

xdx

x

1.

3

xLnx

3

xLnxdxxI

33332 +−=−== ∫ ∫

∫ +−= C9

xLnx

3

xxdxlnx

332

10. Calcular ∫= xdxeI x cos

Solución:

Haciendo que:dxedu

eux

x

==

∫ ===

senxxdxcosv

xdxcosdv


1cos IsenxedxsenxesenxexdxeI xxxx −=−== ∫∫resolviendo ∫= dxsenxeI x

1 por integración por partes y reemplazando lo encontrado:

dxedu

eux

x

==

xcosdxsenxv

senxdxdv

−==

=

∫IxcosexdxcosexcoseI xxx

1 +−=+−= ∫Reemplazando el valor de 1I en la integral I

[ ] IxesenxeIxesenxeIsenxeI xxxxx −+=+−−=−= coscos1

IxesenxeI xx −+= cos

Despejando I : xesenxeI xx cos2 +=

Cxesenxe

Ixx

++=2

cos

11. Resolver ∫ xLnxdx

Solución:

Integrando por partes:

x

dxdu

xlnu

=

=

∫ ==

=

2

xxdxv

xdxdv2

Sustituyendo en la integral:

∫ ∫ +−=−= C4

xxln

2

x

x

dx.

2

xLnx

2

xxLnxdx

2222

12. Resolver ∫ senxdxx 2

Solución:

Integrando por partes:senxdxdv

xu 2

==

xcosv

xdx2du

−==



Reemplazando en la ecuación: ∫∫ +−== xdxcosx2xcosxsenxdxxI 22

12 I2xcosxI +−= ……….. (1)

Resolvemos ∫= xdxcosxI1 integrando por partes:xdxcosdv

xu

==

senxv

dxdu

==

Reemplazando: CxcosxsenxsenxdxxsenxI1 +−=+= ∫Reemplazando en (1): ( ) Cxcosxsenx2xcosxI 2 +−+−=

Cxcos2xsenx2xcosxI 2 +−+−=

13. Resolver ∫ senxdxx3

Solución:

Integramos por partes:senxdxdv

xu 3

==

xcosv

dxx3du 2

−==

Reemplazamos: 1323 I3xcosxxdxcosx3xcosxI +−=+−= ∫ …………(1)

Integramos por partes para 1I :xdxcosdv

xu 2

==

senxv

xdx2du

==

Reemplazamos: 222

1 I2senxxxsenxdx2senxxI −=−= ∫ ……………(2)

Integramos por partes para 2I :senxdxdv

xu

==

xcosv

dxdu

==

Reemplazamos: ∫ +−=−= CsenxxcosxxdxcosxcosxI 2

Reemplazamos 2I en la ecuación (2): ( )Csenxxcosx2senxxI 21 +−−=

Csenx2xcosx2senxxI 21 ++−=

Reemplazamos 1I en la ecuación (1):

( ) Csenx6xcosx6xcosx3xcosxCsenx2xcosx2senxx3xcosxI 2323 ++−+−=++−+−=Csenx6xcosx6xcosx3xcosxI 23 ++−+−=

14. Resolver ∫ xdx3cosx

Solución:

Integrando por partes:xdxdv

xu

3cos==

33xsen

v

dxdu

=⇒

=⇒

∫∫ −== dx3

x3sen

3

x3senxxdx3cosxI

C9

x3cos

3

x3xsenI ++=

15. Resolver ∫ xdxcosxsenx

Solución:

Como xcossenx2x2sen = ∫∫∫ ===⇒ xdx2xsen2

1xdx2sen

2

xxdxcosxsenxI



Integramos por partes:xdx2sendv

xu

==

2

x2cosv

dxdu

−=

=

Reemplazamos en I :

C8

x2senx2cos

4

xdx2x2cos

8

1x2cos

4

xxdx2xsen

2

1I ++−=+−== ∫∫

16. Resolver: ∫ dxex x.3

Solución:

Integrando por partes (primera vez):xx evdxedv

dxxduxu

=⇒==⇒= 23 3

Reemplazando en la integral: 13233 33. IexdxexexdxexI xxxx −=−== ∫∫ siendo ∫= dxexI x2

1

Integrando por partes (segunda vez):xx evdxedv

dxxduxu

=⇒==⇒= 22

y reemplazando en 1I :

2222

1 22 IexdxexexdxexI xxxx −=−== ∫∫ siendo ∫= dxexI x2

Integrando por partes (tercera vez):xx evdxedv

dxduxu

=⇒==⇒=

y reemplazando en 2I :

∫∫ −=−== xxxxx eexdxeexdxexI 2

Reemplazamos 2I en 1I :

( ) xxxxxxx eexexeexexIexI 2222 222

21 +−=−−=−=

Reemplazamos 1I en I :

( )xxxxx eexexexIexI 2233 231

3 +−−=−=

CeexexexI xxxx +−+−= 663 23

17. Resolver: ∫ dxxLn )cos(

Solución:

Integrando por partes (primera vez):xvdxdv

x

dxxLnsenduxLnu

=⇒=

=⇒= )()cos(

Reemplazando en la integral: 1)cos()()cos()cos( IxLnxx

dxxLnxsenxLnxdxxLnI +=+== ∫∫

siendo ∫= dxxLnsenI )(1

Integrando por partes (segunda vez):xvdxdv

x

dxLnxduxLnsenu

=⇒=

=⇒= )cos()(

Reemplazando en 1I :



∫∫∫ −=−== dxxLnLnxxsenx

dxxLnxLnxxsendxxLnsenI )cos()()cos()()(1 ILnxxsenI −= )(1

.

Reemplazando este resultado en I:

ILnxxsenxLnxIxLnxI −+=+= )()cos()cos( 1

ILnxxsenxLnxIxLnxI −+=+= )()cos()cos( 1

)()cos(2 LnxxsenxLnxI +=

[ ] CLnxsenxLnx

I ++= )()cos(2

PROBLEMAS:

1. ∫ dxx.arctg

2. ∫ dxex x ..2

3. ( )∫ −+ dxxxx .2cos.572

4. dxxe x .3cos2∫5. ∫ dxxe x .3sen2

6. ∫ dxLnx.

7. ∫ dxxLnx.

8. ∫ dxxx .arctg.2

9. ∫ dxx.arcsen

10. ∫ dxex x ..25

11. ( )∫ ++ dxxxx .cos322

12. ∫ dxxe x .cos.2

13. ∫ dxLnx.sen

14. ∫ dxx

x.

arcsen

15. ∫ +dx

x

x.

1arcsen

16. ( ) dxx

xx∫

+ 22 1

arctg

17.( )∫

−dx

x

xx .

1.arcsen

32

18. ( ) dxex x ..1∫ +

19. dxxa∫ − 22

20. ∫ dxbxe ax .cos.

21. dxbxsene ax ..∫22. ( )∫ + dxex x.1

23. dxxsen .∫

Observación: Existen muchísimos problemas que no necesariamente deben de resolverseusando las técnicas de integración que estudiamos sino que se resuelven usando artificiosmatemáticos. Este modo de solución nos ayuda en muchos problemas que no necesariamentetenga que haber sustitución, cambio de variable o cualquier otro método.Desarrollamos algunos problemas como ejemplo:

1. Resolver: ∫ + 86 xx

dx

Solución:

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +−

++=

+−+=

+=

+dx

1xx

dxxdx

1xx

1xdx

1xx

x1x

1xx

dx

xx

dx26

2

26

2

26

22

2686



( ) ( )∫ ∫ ∫∫

+−+−=

+− − dx

1xx

x1xdxx

1xx

dx

x

dx24

226

246

( ) ( )∫∫∫ ∫ ++−−=

+

−−−

−−

15

1

15 22

4

524

2

4

5

xx

dxdxx

xxx

dxx

x

dxx

( ) ∫ ∫∫ +−++−=

+−++

−−−

−

13

1

5

1

1

1

35

1223522

223

5 x

dx

x

dx

xxdx

xx

xxx

x

Carctgxxxx

Cxarctgx

xx+−−+−=+−

−++−

− 1

3

1

5

1

13

1

5

135

1

35

2. Resolver ∫ − 42 xx9

dx18

Solución:

∫ ∫ ∫ ∫∫

−+=

−

+−

−=−+−=

−=

2222

2

22

2

22

22

42 x9

dx

x

dx2dx

)x9(x

x

)x9(x

x92dx

)x9(x

xx92

xx9

dx18I

Cx

xLn

x

x

dxdxxI +

−++

−=

−+=

−−∫ ∫ 3

3

6

12

1

2

32

1

222

C3x

3xLn

3

1

x

2I +

−+−−=

2. Tecnicas de Integracion Para Int. Indefinidas

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