Mecánica de Solidos 2 Unidad N°1: Cinemática de Partículas (Parte I).

Universidad de Oriente

Introducción

La mecánica de solidos 1 se dedica al estudio de los cuerpos

rígidos en reposo, es decir cuerpos que se encuentran en

equilibrio (ΣF=0)

En la mecánica de solidos 2 nos dedicamos al estudio de los

cuerpos rígidos en movimiento (ΣF≠0)

El estudio de la estática se remota al tiempo de los filósofos

griegos, la primera contribución importante a la dinámica la

realizo Galileo. Los experimentos de Galileo en cuerpos

uniformemente acelerados llevaron a Newton a formular sus

leyes de movimiento fundamentales

Introducción

El estudio de la dinámica comprende:

Cinemática: La cual corresponde al estudio de la geometría

del movimiento. Se utiliza para relacionar el desplazamiento,

la velocidad, la aceleración y el tiempo, sin hacer referencia

a la causa del movimiento.

La cinemática no solamente es puede ser asociada al

estudio de cuerpos en movimiento, desde el punto de vista

de la ingeniería civil esto puede ser aplicado al estudio de

estructuras se sufren deformaciones ante la aplicaciones de

cargas que varían en función del tiempo (Dinámica

Estructural).

Introducción

El estudio de la dinámica comprende:

Cinética: que es el estudio de la relación que existe entre las

fuerzas que actúan sobre un cuerpo, su masa y el

movimiento de este mismo. La cinética se utiliza para

predecir el movimiento ocasionado por fuerzas dadas, o para

determinar las fuerzas que se requieren para producir un

movimiento específico.

Introducción

Deformación de un pórtico ante cargas sísmicas (Cargas que

varían muy rápido en función del tiempo).

En este caso las cargas varían tan rápido que la estructura

se deformaría y esos desplazamientos estarían asociados a

velocidades y aceleraciones.

Movimiento rectilíneo de

partículas.

Una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta se

dice que se encuentra en movimiento rectilíneo. En cualquier

instante dado t, la partícula ocupara cierta posición sobre la

línea recta.

POSICIÓN.

Cuando se conoce la coordenada de la posición x de una

partícula para cualquier valor de tiempo t, se afirma que se

conoce el movimiento de la partícula. El “itinerario” del

movimiento puede expresarse en forma de una ecuación en

x y t, tal como x= 6t^2-t^3, o en una gráfica de x en función

de t.

POSICIÓN.

Las unidades que se usan con mayor frecuencia para medir la

coordenada de la posición x son el metro (m) en el sistema de

unidades SI y el pie (ft) en el sistema de unidades inglés. El

tiempo t suele medirse en segundos (s).

Considere la posición P ocupada por la partícula en el

tiempo t y la coordenada correspondiente x .

VELOCIDAD.

Considere también la posición P’ ocupada por la partícula en

un tiempo posterior t + ∆t; la coordenada de la posición P’

puede obtenerse sumando a la coordenada x de P el pequeño

desplazamiento ∆x, el cual será positivo o negativo según si P’

está a la derecha o a la izquierda de P. La velocidad promedio

de la partícula sobre el intervalo de tiempo ∆t se define como

el cociente entre el desplazamiento ∆x y el intervalo de tiempo

∆t. (m/s o ft/s)

VELOCIDAD.

La velocidad instantánea v de la partícula en el instante t se

obtiene de la velocidad promedio al elegir intervalos ∆t y

desplazamientos ∆x cada vez más cortos.

𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎𝑛𝑒𝑎 = lim∆𝑡→∞

∆𝑥

∆𝑡

Del calculo sabemos que:

VELOCIDAD.

La velocidad instantánea v (la rapidez de la particula) puede

ser expresada como:

𝑣 =𝑑𝑥

𝑑𝑡

Un valor positivo de v indica que x aumenta, esto es, que la

partícula se mueve en la dirección positiva; un valor negativo

de v indica que x disminuye, es decir, que la partícula se

mueve en dirección negativa

ACELERACIÓN.

Partiendo de la deducción para determinar la velocidad,

analiza el siguiente esquema y determina el calculo de la

aceleración promedio e instantánea de una partícula.

𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =? ? ? ? ?

𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎𝑛𝑒𝑎 =? ? ? ? ?

ACELERACIÓN.

Aceleración promedio de la partícula sobre el intervalo de tiempo ∆t se refiere como el cociente de ∆v y ∆t:

𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =∆𝑣

∆𝑡

La aceleración instantánea a de la partícula en el instante t se obtiene de la aceleración promedio al escoger valores de ∆t y ∆v cada vez más pequeños:

𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎𝑛𝑒𝑎 = lim∆𝑡→∞

∆𝑣

∆𝑡

𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡=

𝑑^2𝑥

𝑑𝑡^2

ACELERACIÓN.

Un valor positivo de a indica que la velocidad (es decir, el

número algebraico v) aumenta. Esto puede significar que la

partícula se está moviendo más rápido en la dirección

positiva o que se mueve más lentamente en la dirección

negativa; en ambos casos, v es positiva.

ACELERACIÓN.

Un valor negativo de a indica que disminuye la velocidad; ya

sea que la partícula se esté moviendo más lentamente en la

dirección positiva o que se esté moviendo más rápido en la

dirección negativa.

ACELERACIÓN.

El término desaceleración se utiliza en algunas ocasiones para referirse a a cuando la rapidez de la partícula (esto es, la magnitud de v) disminuye; la partícula se mueve entonces con mayor lentitud.

Otra forma alternativa de expresar la aceleración es mediante la expresión:

𝑎 = 𝑣 ∗𝑑𝑣

𝑑𝑥

Deduzca la obtención de esa ecuación partiendo de las siguientes expresiones.

𝑣 =𝑑𝑥

𝑑𝑡 𝑎 =

𝑑𝑣

𝑑𝑡

1° EJEMPLO

El movimiento de una partícula esta definido por la relación

𝑥 = 1.5𝑡4 − 30𝑡2 + 5𝑡 + 10, Determine las ecuaciones que

definen las velocidad y la aceleración de la partícula en

estudio.

Para el desarrollo de este ejemplo se debe de aplicar la

primera derivada de la función de movimiento para el calculo

de la velocidad y posteriormente la segunda derivada de

movimiento o si la derivada de la velocidad.

1° EJEMPLO

El movimiento de una partícula esta definido por la relación

𝑥 = 1.5𝑡4 − 30𝑡2 + 5𝑡 + 10, Determine las ecuaciones que

definen las velocidad y la aceleración de la partícula en

estudio.