SEMESTRE 2004 - 1

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS PRIMER EXAMEN FINAL COLEGIADO

ÁLGEBRA LINEAL

9 DE DICIEMBRE DE 2003

TIPO “A”

INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente el enunciado de cada uno de los 7 reactivos que componen el examen antes de comenzar a resolverlos. La duración máxima del examen es de 2.5 horas.

1. Determinar si el conjunto ,a b

S ab a

= −

b∈

∀ ∈

es un espacio vectorial sobre , con las leyes de

composición de adición y de multiplicación por un escalar definidas por ,

;

A B AB A B Sa b a b a b

Sb a b a b a

α αα α

α α

+ = ∀ ∈

= ∀ ∈ − − −

En caso afirmativo dar el vector cero (elemento idéntico). En caso negativo indicar todos los axiomas que no se cumplen. Considere que se cumplen los siguientes axiomas:

( ) ( ) , , ;( ) ( )

A B SA B C A B C A B C S

A A

+ ∈+ + = + + ∀ ∈ ∀ ∈

=α

α β αβ

16 puntos

2. Sea el conjunto G x . Determinar el conjunto de valores de m para que G sea un conjunto generador de un espacio vectorial V tal que dim V = 2. Además, obtener el elemento genérico de V.

{ 2 2 22, 1, 2 1x x mx x= + + − + + } ∈

13 puntos

3. Enunciar todas las condiciones que debe cumplir una función para ser producto interno e investigar si la función definida por

2 2:f × →

2

1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2( , ) 2 4 ( , ), ( , )f x y x y x y x y x y x x x y y y= − − + ∀ = = ∈

satisface la condición relativa a una pareja de vectores iguales, es decir, ( , )f x x . 14 puntos

2-A

4. Sean M2 el espacio vectorial real de las matrices de orden dos y ,0a b

a b

= ∈ + W a un

subespacio de M

b

2 y sea el producto interno en M2 definido por

a b m nam bn cp dq

c d p q

= + + +

Obtener el complemento ortogonal W de W. ⊥

14 puntos 5. Sea la transformación T definida por 3: →

( , , ) 2 1T x y z x= +

a) Obtener el núcleo y el recorrido de T. b) ¿Es el núcleo de T un subespacio de ? Explicar su respuesta. 3

13 puntos

6. Sea V el espacio vectorial de las funciones reales de variable real derivables en el intervalo [ y sea

la transformación T V definida por ]0, 2

2: →

( )( )( ) ´ 1 , (0)T f f f=

donde es la derivada de f valuada en uno y es la función valuada en cero. Determinar si la transformación T es lineal.

( )´ 1f (0)f f

14 puntos

7. Sea el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual a dos y sea el operador lineal

definido por 2P

2 → 2P:T P2 2( ) ( )T ax bx c a b x bx b c+ + = + − + +

Determinar: a) Una matriz M asociada al operador T. b) Los espacios característicos del operador T. c) Una base tal que la matriz referida a ella sea diagonal.

16 puntos

Solución del Primer Examen Final Colegiado Álgebra Lineal Semestre: 2004-1

1. S no es un espacio vectorial pues no se cumple el axioma referente a la existencia de

elementos inversos ni los axiomas:

( ) y ( )A B A B A A A+ = + + = +α α α α β α β

2. 27 , ( ) 2 32

m p x ax bx a= = + + b−

3. Las condiciones que debe cumplir una función para ser un producto interno

son:

2 2:f × →

i) ( , ) ( , )f u v f v u= ii) ( , ) ( , ) ( , )f u v w f u v f u w+ = + iii) ( ) (f u f u=α α ) iv) ( , ) 0 0f u u si u> ≠

4. ,d d

W cc d

⊥ − − = ∈

d

5. 3

1( ) , , ,2

( )

N T y z y z

T

= − ∈

=

6. T es lineal.

7. a) M T 1 1 0

( ) 0 1 00 1 1

AB

= −

b) 1 1 0

( ) 0 1 0 (1 )( 1 )(1 )0 1 1

P−

= − − = − − − −−

λλ λ λ λ

λ0=λ

+

a) Una base de { }2 22 ,1, 2 1P x x x= −