[2006-1] 2¯ parcial [A]

8/17/2019 [2006-1] 2¯ parcial [A]

http://slidepdf.com/reader/full/2006-1-2-parcial-a 1/4

2006-1-C D EP2 A -1UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICOFACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICASCÁLCULO DIFERENCIAL

SEGUNDO EXAMEN PARCIAL COLEGIADO

Semestre 2006-1 19 de noviembre de 2005 TIPO 'A

NOMBRE:____________________________________________________ No. CUENTA _______________

INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 6 reactivos que componen el

examen antes de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es de 2.5 horas.

1) En cada inciso hacer lo que se pide:

a) Sea2 3

4 x y y x+ − 2= , determinard x

d y

b) Para la función

3

3

tan

t x t

y ang t

⎧= +⎪

⎨⎪ =⎩

, obtener d y

d x

c) Si csc y = − x , calcular2

4 x

d y

d x π ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

15 PUNTOS

2) Calcular el área del triángulo que se forma con el eje de las ordenadas, la recta tangente y la recta

normal a la gráfica de la función ( ) 29 f x = − x en el punto ( )2, 5

15 PUNTOS

3) En un abrevadero cuya forma se muestra en la figura, se está vertiendo agua a razón de

3

0.5min

m.

¿con qué rapidez está cambiando el nivel del agua en el instante en que la profundidad h es de

?1.5 m

20 PUNTOS

8/17/2019 [2006-1] 2¯ parcial [A]


2006-1-C D EP2 A -2

4) Escribir en el paréntesis de la derecha una V si la afirmación correspondiente es verdadera o una F s

es falsa. Se calificarán aciertos menos errores.

a) Si una función es continua en un cierto intervalo, entonces también será derivable en

ese intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.b) El teorema de Weierstrass establece la existencia de los máximos y mínimos relativos

de una función para un intervalo dado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

c) Los puntos de inflexión de la gráfica de una función se pueden determinar haciendo

cero su segunda derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

d) Los valores críticos de una función se pueden calcular igualando a cero su segunda

derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

e) Si una función es creciente en un intervalo dado, significa que su primera derivada es

positiva en ese intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

( )

( )

( )

( )

( )

10 PUNTOS

5) Calcular el valor o los valores donde se verifica el teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial

para la función

( )2

4 52 4

x x si x f x x si x

⎧ − + <= ⎨− ≥⎩

33

en el intervalo [ ] 0, 4

15 PUNTOS

6) Para la función ( )4 2

12 2

x x f x = − determinar :

a) Los intervalos donde es creciente o es decreciente.

b) Su máximo y su mínimo absolutos para el intervalo [ ]0, 1 .

c) Los intervalos donde su gráfica es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo.

Trazar su gráfica.

20 PUNTOS

8/17/2019 [2006-1] 2¯ parcial [A]


2006-1-C D EP2 A -3

SOLUCIÓN

1) a)

2 5

7

3 2

2

x yd x

d y y x y

+=

−

b)( )( ) ( )

22 2 2

1 1

1 1 1

d y

d x t t t = =

+ + +

c)2

4

2 2

x

d y

d x π π ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

2)

( )2

352

352

2 2 A u

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= =

3)1.5

1

min4 3h m

d h m

d t =

=

4) a) F b) F c) V d) F e) V

5) 15

8c =

6)Intervalo ( ) f x ( )' f x ( )' ' f x Conclusiones

( ), 3−∞ − - + baja , cóncava hacia arriba

3 x = − 9

12 y = −

+Mínimo en

93 ,

12

⎛ ⎞− −⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )3 , 1− − + + Sube , cóncava hacia arriba

1 x = − 1 y = − P. I. ( )1, 1− −

( )1, 0− + - Sube , cóncava hacia abajo

0 x = 0 y = - Máximo en ( )0, 0

( )0 , 1 - - baja , cóncava hacia abajo

1 x = P. I. ( )1, 1−

8/17/2019 [2006-1] 2¯ parcial [A]


2006-1-C D EP2 A -4

( )1 , 3 - + baja , cóncava hacia arriba

3 x = 9

12 y = −

+Mínimo en

93 ,

12

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )3 , ∞ + + Sube , cóncava hacia arriba

[2006-1] 2¯ parcial [A]

Documents

Transcript of [2006-1] 2¯ parcial [A]