2009 - 2º PARCIAL - TODOS LOS TEMAS - ENUNC Y RESOLUCION.pdf

8/16/2019 2009 - 2º PARCIAL - TODOS LOS TEMAS - ENUNC Y RESOLUCION.pdf

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Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 1 de 31

2º PARCIAL - AÑO 2009

Estimados alumnos: A continuación se enuncian y resuelven todos los ejercicios tomados en el 2º parcial 2º parcial 2º parcial 2º parcial y sus recuperatorios del año 2009, tanto del curso del lunes como del sábado. El esfuerzo y tiempo invertido en este documento tiene por objetivo darles una herramienta para el estudio de las unidades 8 y 9, y salvar el escaso tiempo disponible en las clases para aclarar sus dudas. Espero sea de utilidad.

Consultas: [email protected]

Ing. Verónica MonzónIng. Verónica MonzónIng. Verónica MonzónIng. Verónica Monzón JTP Hidráulica Gral. y Aplicada

UTN - FRBA

Se adopta:

csstokes

100:= cs 0.01 stokes= cp

1

100poise⋅:= g 9.81

m

s2

=

Rm 8.311N m⋅

K mol⋅:= mca 1m 9810⋅

N

m3

:= cp 0.001kg

s m⋅= kPa 1000Pa:=

l 1liter:= g 9.81 m

s2

:=

exámenes parciales año 2009 - 2º parcial - resoluciones - edit 02 nov 2010.xmcd


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1A ESCURRIMIENTOPERMANENTE EN

CONDUCTOS

50 puntos

En el circuito de la figura circula agua, y tiene en su recorrido una válvula. La circulación se produce porgravedad entre el depósito superior y el inferior. Calcular:a) el caudal que circula cuando la válvula está completamente abierta (Kvalv = 0)

b) la pérdida que tiene que provocar la válvula (Kvalv = ?) para que el caudal que circule sea la mitad del

punto anterior

Notas: Fluido: agua, de densidad del agua ρ = 1000 kg/m3; viscosidad υ = 1.10-6 m2 /s.Despreciar pérdidas localizadas excepto la de la válvula

válvula

∆z=10m

2

1

Kválvdiámetro D = 76,2mmlongitud L = 100 mrugosidad absoluta de latubería ε = 0.1 mm,

Datos: zA 10m:= zB 0m:= ρ 1000kg

m3

:= ν 1 10 6−

⋅m

2

s⋅:=

PA 0:= PB 0:= ε 0.1 mm⋅:= L 100m:= D 76.2mm:=

a) caudal que circula con la válvula completamente abierta

Planteando Ec. de laenergía entre lassuperficies A y B, resulta:

Q Weje− ρ Q⋅ zB zA−( ) g⋅PB PA−

ρ+ uB+ uA−

VB2

VA2

−

2+

⋅=

Reemplazando PA=PB=0y VB=VA=0 ymultiplicando y dividiendopor g, resulta:

0 zB zA−( ) ∆htotal+=

Pérdidas de carga porfricción (se desprecian laslocalizadas por enunciado)

∆htotal fL

D⋅

V2

2g⋅

= f

L

D⋅

Q

A

2

⋅1

2g⋅= f

L

D⋅

Q2

π D2

⋅

4

2

1

2g⋅

⋅= fL

D5

⋅Q

2

π2

16

1

2g⋅

⋅= f 8⋅ L⋅ Q

2⋅

D5

π2

⋅ g⋅

=


zB− zA+ ∆htotal=

f 8⋅ L⋅ Q2

⋅

D5

π2

⋅ g⋅

=

Q

zB− zA+( ) D5

⋅ π2

⋅ g⋅

f 8⋅ L⋅=

___1º iteración____________________________________________________________________________________

Adopto f para empezariteración

f 0.02:= QzB− zA+( ) D

5⋅ π

2⋅ g⋅

f 8⋅ L⋅:= Q 0.012

m3

s=

Se verificará si el caudal obtenido concuerda con el factor de fricción adoptado.

Velocidad en la cañería VQ 4⋅

π D2

⋅

:= V 2.73m

s=



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Reynolds y rugosidadrelativa

ReV D⋅

ν:= Re 208337=

ε

D0.00131=

Cálculo de coeficiente deFricción por fórmula deColebrook-White:

1

F0.86− ln

ε

D 3.7⋅

2.51

Re F⋅+

⋅= => f F( )

1

F− 0.86 ln

ε

D 3.7⋅

2.51

Re F⋅+

⋅−:= [A]

Se buscará la raíz queanule la expresión [A] F

0.01:= f root f F( ) F,( ):= f 0.0226=

Como el valor obtenido del coeficiente de fricción difiere del adoptado, se realiza un nuevo cálculo

___2º iteración____________________________________________________________________________________

f 0.0226= QzB− zA+( ) D

5⋅ π

2⋅ g⋅

f 8⋅ L⋅:= Q 0.012

m3

s=

Se verificará si el caudal obtenido concuerda con el factor de fricción adoptado.

Velocidad en la cañería VQ 4⋅

π D2

⋅:= V 2.57

m

s=

Reynold y rugosidadrelativa Re

V D⋅

ν:= Re 196131=

ε

D0.00131=


1

F0.86− ln

ε

D 3.7⋅

2.51

Re F⋅+

⋅= => f F( )

1

F− 0.86 ln

ε

D 3.7⋅

2.51

Re F⋅+

⋅−:= [A]


0.01:= f root f F( ) F,( ):= f 0.0226=

Coincide en las dos primeras cifras significativas por lo que finalizamos el cálculo

b) Coeficiente de pérdida localizada para disminuir el caudal a la mitad completamente abierta

En la segunda etapa, la válvula está cerrada de tal forma que se obtiene la mitad del caudal:

Q2

Q

2

:= Q2 0.006m

3

s=


∆htotal fL

D⋅ kvalv+

V2

2g⋅= f

L

D⋅ kvalv+

Q2

A

2

⋅1

2g⋅= f

L

D⋅ kvalv+

Q22

π D2

⋅

4

2

1

2g⋅

⋅=

∆htotal fL

D⋅ kvalv+

Q22

8⋅

π2

D4

⋅ g⋅

⋅=

zB− zA+ ∆htotal= fL

D⋅ kvalv+

Q22

8⋅

π2

D4

⋅ g⋅

⋅=

kvalv zB− zA+( ) π

2D

4⋅ g⋅

Q22

8⋅

⋅ fL

D⋅−=

Velocidad en la cañería V2

Q2 4⋅

π D2

⋅

:= V2 1.29m

s=



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Reynold y rugosidadrelativa

Re

V2 D⋅

ν:= Re 98065=

ε

D0.0013=

Cálculo de coeficiente deFricción por fórmula de

Colebrook-White:

1

F

0.86− lnε

D 3.7⋅

2.51

Re F⋅

+

⋅= => f F( )1

F

− 0.86 lnε

D 3.7⋅

2.51

Re F⋅

+

⋅−:= [A]


0.01:= f root f F( ) F,( ):= f 0.0237=

El valor de las pérdidaspor fricción será: ∆h1y2 f

L

D⋅

V22

2 g⋅⋅:= ∆h1y2 2.62 m=

Finalmente, sereemplazarán losvalores, obteniendo:

kvalv zB− zA+( ) π

2D

4⋅ g⋅

Q22

8⋅

⋅ fL

D⋅−:= kvalv 87.41=

1B ESCURRIMIENTO

PERMANENTE EN

CONDUCTOS

50 puntos

Para el sistema de la figura determinar:a) ∆z si por él circula un flujo de agua de 750 l/min, para la válvula ángulo completamente abierta (Kvalv =

0)b) Una vez establecida la altura ∆z calculada en el punto anterior la válvula se cierra parcialmente de modoque deja pasar solamente un caudal de 300 l/min, calcular el valor de K para la válvula de ángulo.El material de la cañería es acero (ε=0,046mm).Notas:

Fluido: agua de densidad ρ = 1000 kg/m³; viscosidad υ = 1.10-6 m²/s.Despreciar pérdidas localizadas excepto la de la válvula

Ø=75mmL=35m ∆zválvula

la atmósfera

Datos: D 0.075m:= L 35m:= Q 0.75m

3

min:= ν 1.011 10

6−⋅

m2

s⋅:=

ε 0.046mm:=

a) Cálculo de ∆z

Velocidad en la cañería V2

Q 4⋅

π D2

⋅:= V2( ) 2.83

m

s=

Ecuación de la Energíaentre 1 y 2

0 AρV

2

2u+ g z⋅+

p

ρ+

V

⌠ ⌡

d=

Ecuación de la Energíaentre 1y 2

0 ρ Q⋅V2

2V1

2−

2

p2 p1−

ρ+ z2 z1−( ).g+ u2 u1−( )+

⋅=

Siendo: V1=p2=p1=0 yz1-z2=H, resulta: 0

V22

2 ∆z−+ u2 u1−( )+=



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Dividiendo miembro amiembro por g, resulta:

∆zV2

2

2g∆h1y2+=

Número de Reynolds ReV2 D⋅

ν:= Re 209898=

ε

D0.00061=


1

F0.86− ln

ε

D 3.7⋅

2.51

Re F⋅+

⋅= => f F( )

1

F− 0.86 ln

ε

D 3.7⋅

2.51

Re F⋅+

⋅−:= [A]

Se buscará la raíz queanule la expresión [A]

F 0.01:= f root f F( ) F,( ):= f 0.0197=

Pérdida de carga, porfricción (se desprecian laslocalizadas, excepto laválvula, por enunciado)

∆h1y2 fL

D⋅

V22

2 g⋅⋅:= ∆h1y2( ) 3.75 m=

Dividiendo miembro amiembro por g, resulta:

∆z

V22

2 g⋅ ∆h1y2+:= ∆z 4.15 m=

b) si Q=300 l/min

Caudal y velocidad en lacañería

Q 0.3m

3

min:= y V2

Q 4⋅

π D2

⋅

:= V2 1.13m

s=

Siendo: V1=p2=p1=0 yz1-z2=H, resulta:

0

V22

2g∆z− f

L

D⋅ K+

V22

2 g⋅⋅+= => 0 ∆z− f

L

D⋅ Kvalv+ 1+

V22

2 g⋅⋅+=

Factor "k" para la válvula Kvalv∆z 2⋅ g⋅

V22

1− fL

D⋅−:= (1)

Número de Reynolds ReV2 D⋅

ν:= Re 83959=

ε

D0.0006=


1

F0.86− ln

ε

D 3.7⋅

2.51

Re F⋅+

⋅= => f F( )

1

F− 0.86 ln

ε

D 3.7⋅

2.51

Re F⋅+

⋅−:= [A]

Se buscará la raíz queanule la expresión [A]

F 0.01:= f root f F( ) F,( ):= f 0.0216=

Reemplezando el factor defricción en la expresión(1), resulta:

Kvalv 53.45=



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1C ESCURRIMIENTO

PERMANENTE EN

CONDUCTOS

50 puntos

Se desea conocer cuál es el caudal que puede transportar el sistema. La cañería es de hierro galvanizado yel fluido agua a 80ºC. Tenga en cuenta pérdidas localizadas.Considerar: ρ80ºC=971,8 kg/m³ υ80ºC = 0.367x10

-6 m2 /s

valvularetención a

pistón

codo roscado 90º

válvula esf. paso total

Tanque

Longitud total de cañería = 15 mDiámetro en todo el recorrido 32 mm

entrada

4m

Agua 80ºC

salida chorro libre

Datos: z1 4m:= z2 0m:= D 32mm:= L 15m:=

P2 0:= P1 0:= ε 0.15 mm⋅:=

ρ80ºC 971.8kg

m3

:= ν 80ºC 0.367 10

6−⋅

m2

s⋅:=

500 D⋅ 16 m= >L => no se deberían despreciar las pérdidas localizadas

Planteando Ec. de laenergía entre lassuperficies 1 y 2, resulta: Q Weje

− ρ80ºC Q⋅ z2 z1−( ) g⋅P2 P1−

ρ80ºC

+ u2+ u1−V2

2V1

2−

2

+

⋅=

Reemplazando P2=P1=0 yV1=0 y multiplicando ydividiendo por g, resulta:

0 ρ80ºC Q⋅ g⋅ z2 z1−( )V2

2

2 g⋅+ ∆htotal+

⋅= [1]

Pérdidas de carga ∆htotal ∆hlocalizadas ∆hfricción+= ΣkV2

2

2g⋅ f

L

D⋅

V22

2g⋅+= [2]

Reemplazando (2) en (1)resulta:

0 ρ80ºC Q⋅ g⋅ z2 z1−( )V2

2

2 g⋅+ Σk

V22

2g⋅+ f

L

D⋅

V22

2g⋅+

⋅=

0 z2 z1−( )V2

2

2 g⋅1 Σk+ f

L

D⋅+

+= [3]

Despejando V2 de (3),resulta:

V2

z2 z1−( )− 2⋅ g⋅

1 Σk+ fL

D⋅+

=

Pérdidas por accesorios Factor de fricción turbulento, para diámetro D 0.032 m= ft 0.022:=

kcodo90º 30 ft⋅:= kcodo90º 0.66=

kvalv_esf 3 ft⋅:= kvalv_esf 0.07=



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kvalv_ret 600 ft⋅:= kvalv_ret 13.2=

kentrada 0.5:=

Σk 3 kcodo90º⋅ kentrada+ kvalv_esf+ kvalv_ret+:= Σk 15.75=

___1º iteración____________________________________________________________________________________

La velocidad depende delfactor de fricción, por locual adopto un f yempiezo a iterar:

f 0.025:= V2

z2 z1−( )− 2⋅ g⋅

1 Σk+ fL

D⋅+

:= V2 1.66m

s=

Número de Reynolds yrugosidad relativa:

Re

V2 D⋅

ν 80ºC

:= Re 144780=ε

D0.0047=

Cálculo de coeficiente deFricción por fórmula de

Colebrook-White:

1

F0.86− ln

ε

D 3.7⋅

2.51

Re F⋅+

⋅= => f F( )1

F− 0.86 ln

ε

D 3.7⋅

2.51

Re F⋅+

⋅−:=

Se buscará la raíz queanule la expresión

F 0.01:= root f F( ) F,( ) 0.0311= f root f F( ) F,( ):= f 0.0311=

___2º iteración____________________________________________________________________________________

El f obtenido es distinto alsupuesto, se adopta estefactor como F y se vuelvea calcular.

f 0.0311= V2

z2 z1−( )− 2⋅ g⋅

1 Σk+ fL

D⋅+

:= V2 1.58m

s=

Número de Reynolds y

rugosidad relativa: Re

V2 D⋅

ν 80ºC:= Re 138042=

ε

D 0.0047=


1

F0.86− ln

ε

D 3.7⋅

2.51

Re F⋅+

⋅= => f F( )

1

F− 0.86 ln

ε

D 3.7⋅

2.51

Re F⋅+

⋅−:=

Se buscará la raíz queanule la expresión

F 0.01:= f root f F( ) F,( ):= f 0.0311=

El f obtenido es igual al supuesto en las dos primeras cifras significativas. Por lo tanto se termina la iteración y el Q buscado será:

Q V2

π D2

⋅

4

⋅:= Q 0.00127m

3

s= Q 4.58

m3

hr=



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1D ESCURRIMIENTOPERMANENTE ENCONDUCTOS

50 puntos

Si 500 l/s de flujo se mueven desde el depósito 1 hasta el depósito 2, ¿cuál es la potencia necesaria parabombear el agua a 80ºC? La cañería es de acero de 203 mm de diámetro. Tenga en cuenta las pérdidaslocalizadas.Considerar: ρ80ºC=971,8 kg/m³ υ80ºC = 0.367x10

-6 m2 /s

codo radio largo a 90º

bomba

26m

65m

13m

valvula

retención aclapeta 2

1

13m

l liter:=

Datos: z1 39m:= Q 500 ls

:= D 203mm:= ρ80ºC 971.8kg

m3

:=

z2 13m:= Q 0.5m

3

s= ε 0.046 mm⋅:= ν 80ºC 0.367 10

6−⋅

m2

s⋅:=

L 26m 65m+:= L 91 m= P1 0:= P2 0:=

Planteando Ec. de laenergía entre lassuperficies 1 y 2, resulta:

Q Weje− ρ80ºC Q⋅ z2 z1−( ) g⋅P2 P1−

ρ

80ºC

+ u2+ u1−V2

2V1

2−

2+

⋅=

Reemplazando P2=P1=0y V1=0 y multiplicando ydividiendo por g, resulta:

Wbomba−( )− ρ80ºC Q⋅ g⋅ z2 z1−( ) ∆htotal+⋅= [1]

Pérdidas de carga∆htotal ∆hlocalizadas ∆hfricción+= Σk

V22

2g⋅ f

L

D⋅

V22

2g⋅+=

Pérdidas por accesorios Factor de fricción turbulento, para diámetro D 203 mm= ft 0.014:=

codo a 90º kcodo90º 14 ft⋅:= kcodo90º 0.2=

válvula de retención kvalv_ret 100 f t⋅:= kvalv_ret 1.4=

entrada de depósito a caño kentrada 0.5:=

salida caño a depósito ksalida 1:=

Σk kcodo90º kentrada+ kvalv_ret+ ksalida+:= Σk 3.096=

∆hlocalizadas ΣkV2

2

2g⋅:= ∆hlocalizadas 0.4 m=



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Velocidad en la cañería V2Q 4⋅

π D2

⋅

:= V2 15.45m

s=

Número de Reynolds yrugosidad relativa: Re

V2 D⋅

ν 80ºC

:= Re 8545117=ε

D0.00023=


1

F0.86− ln

ε

D 3.7⋅

2.51

Re F⋅+

⋅= => f F( )

1

F− 0.86 ln

ε

D 3.7⋅

2.51

Re F⋅+

⋅−:=

Se buscará la raíz queanule la expresión F

0.01:= f root f F( ) F,( ):= f 0.0145=

∆hfricción fL

D⋅

V22

2g⋅:= ∆hfricción 78.98 m=

∆htotal

ΣkV2

2

2g

⋅ fL

D

⋅V2

2

2g

⋅+

:= ∆htotal

116.64 m=

Finalmente, reemplazandola pérdida en la ecuación(1), resulta:

Wbomba ρ80ºC Q⋅ g⋅ z2 z1−( ) ∆htotal+⋅:=

Wbomba 971.8kg

m3

⋅ 500l

s⋅⋅ g⋅ 13 m⋅ 39 m⋅− ∆htotal+( )⋅= 432062 W=

Otra alternativa para obtener el factor de fricción con el diagrama de Moody0,10

0,09

0,08

0,07

0,06

0,05

0,04

0,03

0,02

105

106

107

108

5 2 3 4 6 7

0.00001

0.000001

0.00005

0.0001

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.001

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.015

0.03

0.02

0.04

0.06

0,095

0,085

0,075

0,065

0,055

0,048

0,046

0,044

0,042

0,038

0,036

0,034

0,032

0,022

0,024

0,026

0,028

0,019

0,018

0,017 8 9

5

2

3 4 6 7 8 9 5 2 3 4 6 7 8 9 5 2 3 4 6 7 8 9 5 2 3 4 6 7 8 9

6 7 8 9

Factor defricción

f

Rugosidadrelativa

ε / D

Número de Reynolds: Re=V.D ν

Tubería totalmente lisa

0.000005

64/ Re

Material(nuevo)

VidrioTubería estiradaAcero, hierro forjadoHierro fundido asfaltadoHierro galvanizadoHierro fundidoMadera cepilladaHormigónAcero remachado

e(mm)

0,00030,00150,0460,120,150,260,18-0,90,3-3,00,9-9,0

Rugosidad promedio de

tubos comerciales

0,01

0,008

0,016

0,015

0,014

0,013

0,012

0,011

0,009

10 103 4

Flujo turbulento, tuberías rugosasZona de TransiciónZona

crítica

Flujo

laminar

Expresión de Colebrook-WhiteZona de transición

0.000230.0145

8 . 5

0 0 .

0 0 0



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1E ESCURRIMIENTOPERMANENTE EN

CONDUCTOS

50 puntos

En el circuito de la figura se observa un sector de un circuito de cañería, que fluye desde un tanquesometido a presión P1 hacia la alimentación de una línea de procesos de una industria. Se sabe que senecesita en el punto 7 una presión de 240000 Pa.a) ¿qué presión P1 se necesita para hacer circular 380 l/s de agua hacia el punto 7?b) calcular las alturas piezométricas de los puntos 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7c) trazar la línea piezométrica desde el punto 1 al 7.Considerar:• tubería de hierro galvanizado de diámetro 356 mm.

• el fluido es agua a 65ºC, con: ρ65ºC=980,6 kg/m³ y υ65ºC = 0.478x10-6

m2

/s.• tener en cuenta las pérdidas localizadas

50m

50m

50m

Aire

Agua

P7

30m

valvula

retención aclapeta

P1

Codo radiolargo a 90º

10m

2

3

5

7

1

4 6 alimentaciónprocesoindustrial

Datos: Q 0.380m

3

s⋅:= p7 240000Pa:=

Datos del fluido ρ65ºC 980.6kg

m3

:= ν 65ºC 0.478 10 6−

⋅m

2

s:= γ 65ºC ρ65ºC g⋅:= γ 65ºC 9620

N

m3

=

Longitud de la cañería L1_7 160m:= D 356mm:= Rugosidad de la cañería ε 0.15mm:=

z1 30m:= z7 50m:=

a) cálculo de la presión p1

Ecuación de la Energíaentre 1 y 2 0

V72

2 g⋅

p7

γ 65ºC

+ z7+p1

γ 65ºC

− z1− ∆h1_7+=

Despejando p1 y

suponidneo V1=0,resulta:

p1 γ 65ºC

V72

2 g⋅

p7

γ 65ºC+ z7+ z1− ∆h1_7+

⋅= [1]

Pérdidas de carga∆htotal ∆hlocalizadas ∆hfricción+= Σk

V72

2g⋅ f

L1_7

D⋅

V72

2g⋅+=

Velocidad en todas lassecciones de la cañería esla misma

VQ 4⋅

π D2

⋅

:= V 3.82m

s= V7 V:=

V2 V3= V4= V5= V6= V7= V=

Pérdidas por accesorios se tendrán en cuenta (por enunciado y porque la longitud de la cañería no supera los 500 D

500 D⋅ 178 m=



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Factor de fricción turbulento, para diámetro D 356 mm= ft356mm 0.013:=

codo a 90º kcodo90º 14 ft356mm⋅:= kcodo90º 0.18=

válvula de retención kvalv_ret 100 ft356mm⋅:= kvalv_ret 1.3=

entrada de depósito a caño kentrada 0.5:=

Σk 2 kcodo90º⋅ kentrada+ kvalv_ret+:= Σk 2.164=

Pérdidas localizadas ∆hlocalizadas ΣkV7

2

2g⋅:= ∆hlocalizadas 1.61 m=

Número de Reynolds yrugosidad relativa Re

V7 D⋅

ν 65ºC

:= Re 2843255=ε

D0.00042=


1

F0.86− ln

ε

D 3.7⋅

2.51

Re F⋅+

⋅= => f F( )

1

F− 0.86 ln

ε

D 3.7⋅

2.51

Re F⋅+

⋅−:=


0.01:= f root f F( ) F,( ):= f 0.0166=

ver otra forma de calcular f al finalde la resolución.

Pérdida por fricción entodo el recorrido

∆hfricción fL

D⋅

V72

2g⋅:= ∆hfricción 3.15 m=

Finalmente, las pérdidastotales entre 1 y 6serán:

∆h1_7 ΣkV7

2

2g⋅ f

L1_7

D⋅

V72

2g⋅+

:= ∆h1_7 7.15 m=

Reemplazando los valoresen [1], podremos obtenerla presión en 1

p1 γ 65ºC

V72

2 g⋅

p7

γ 65ºC

+ z7+ z1− ∆h1_7+

⋅:= p1 508351 Pa=

b) Cálculo de las alturas piezométricas de los puntos indicados:

Velocidad en la cañería

(es la misma en toda lasección)

V1 0

:= V2 V:= V3 V:= V4 V:= V5 V:=etc.

V 3.82

m

s=

En el punto 1 p1 508351 Pa= z1 30 m= H1

p1

γ 65ºC

z1+:= H1 82.84 m=

planteando Ec. de laenergía entre 1 y 2 0

p2

γ z2+

V22

2 g⋅+ u2+

p1

γ z1+

V12

2g+ u1+

−=

0 H2

V22

2g

+ H1− ∆h1_2+= => H2 H1

V22

2g

− ∆h1_2−=



12/31


H2 H1

V22

2g− kentrada

V22

2g⋅−:= H2 81.73 m=

planteando Ec. de la

energía entre 2 y 3 0

p3

γ z

3+

V32

2 g⋅+

u3

g+

p2

γ z

2+

V22

2 g⋅+

u2

g+

−=

siendo V2=V3, resulta 0 H3 H2− ∆h2_3+= => H3 H2 ∆h2_3−= L2_3 50m:=

H3 H2 fL2_3

D⋅

V2

2g⋅−:= H3 80 m=

Procediendo de igual manera se calcularán todas las alturas piezométricas

siendo V2=V3, resulta 0 H4 H3− ∆h3_4+= => H4 H3 ∆h3_4−= L3_4 50m:=

H4 H3 2 kcodo90º⋅ fL3_4

D⋅+

V2

2g⋅−:= H4 77.99 m=

planteando Ec. de laEnergía entre 4 y 5

0 H5 H4− ∆h4_5+= => H5 H4. ∆h4_5−= L4_5 50m:=

H5 H4 f

L4_5

D⋅

V2

2g⋅−:= H5 76.26 m=

planteando Ec. de laEnergía entre 5 y 6

0 H6 H5− ∆h5_6+= => H6 H5. ∆h5_6−=

H6 H5 1 kvalv_ret⋅( ) V

2

2g⋅−:= H6 75.3 m=

planteando Ec. de laenergía entre 6 y 7

0 H7 H6− ∆h6_7+= => H7 H6 ∆h6_7−= L6_7 10m:=

H7 H6 f

L6_7

D⋅

V2

2g⋅−:= H7 74.95 m=

Verificaremos este

valor, calculando laaltura piezométrica enel punto 7 con los datos

H7 z7

p7

γ 65ºC+:= H7 50 m⋅

240000 Pa⋅

980.6kg

m3

⋅ g⋅+= H7 74.95 m=

c) línea piezométrica.



13/31


1

H2H3

H4H5

H6H7

plano de referencia

50m

50m

50m

Aire

Agua

P7

30m

valvula retencióna clapeta

P1

Codo radiolargo a 90º

10m

2

3

5

7

1

4 6

Como no cambia eldiámetro ni el materialde la cañería, Re y e/Dse mantienen constanteen todo el recorrido, porlo que la pendiente de

la línea piezométrica,entre los tramos, es lamisma.

Otra forma de hallar el factor de fricción utilizando el diagrama de Moody

Rugosidad promedio detubos comerciales

0,01

0,008

0,016

0,015

0,014

0,013

0,012

0,011

0,009

10 103 4


crítica

Flujo

laminar


0.00042

0.0166

2 .

8 0 0 .

0 0 0

0,10

0,09

0,08

0,07

0,06

0,05

0,04

0,03

0,02

105

106

107

108

5 2 3 4 6 7

0.00001

0.000001

0.00005

0.0001

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.001

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.015

0.03

0.02

0.04

0.06

0,095

0,085

0,075

0,065

0,055

0,048

0,046

0,044

0,042

0,038

0,036

0,034

0,032

0,022

0,024

0,026

0,028

0,019

0,018

0,017 8 9

5

2

3 4 6 7 8 9 5 2 3 4 6 7 8 9 5 2 3 4 6 7 8 9 5 2 3 4 6 7 8 9

6 7 8 9

Factor defricción

f

Rugosidadrelativaε / D

Número de Reynolds: Re=V.D


0.000005

64/ Re

Material(nuevo)

VidrioTubería estiradaAcero, hierro forjado

Hierro fundido asfaltado

Hierro galvanizadoHierro fundido

Madera cepilladaHormigónAcero remachado

e(mm)

0,00030,00150,0460,12

0,150,26

0,18-0,90,3-3,0

0,9-9,0



14/31


1F ESCURRIMIENT

O PERMANENTE

EN CONDUCTOS

50 puntos

La figura esquematiza la instalación de un Complejo Hidroeléctrico. Se desea saber:a) qué ganancia tendrá la turbina para un caudal Q=100 m³/s.b) qué presión absoluta habrá en el punto C, a la entrada de la turbinaConsiderar:• las características de las tuberías según se indican en el gráfico• el fluido es agua a 15ºC, con: ρ65ºC=999 kg/m³ y υ15ºC = 1.146x10

-6 m2 /s.

• presión atmosférica patm=93.700 N/m²• despreciar las pérdidas localizadas

T

185m

Tramo 1L1=330mmaterial:acero remachado

ε1=9mmØ=4m

Tramo 2L2=6 kmmaterial: roca excavada

ε2=10cmØ2=7,5m

EmbalseA

EmbalseB

A

B

60mC

Turbina

zA 245m:= PA 0:= patm 93700N

m2

:=

zB 60m:= PB 0:=

zC 0m:=

ε1 9 mm⋅:= L1 330m:= D1 4m:=

ε2 10 cm⋅:= L2 6000m:= D2 7.5m:=

Q 100m

3

s:= ρ15ºC 999

kg

m3

:= ν 15ºC 1.146 10 6−

⋅m

2

s⋅:=

a) Ganancia de la turbina

Planteando Ec. de laenergía entre lassuperficies A y B, resulta:

Q Wturb Wbomba−( )− ρ15ºC Q⋅ zB zA−( ) g⋅PB PA−

ρ15ºC

+ uB+ uA−VB

2VA

2−

2+

⋅=


Wturb( )− ρ15ºC Q⋅ g⋅ zB zA−( ) ∆htotal+⋅= [1]


∆htotal ∆h1.fricción ∆h2.friccion+= f1

L1

D1

⋅V1

2

2g⋅ f2

L2

D2

⋅V2

2

2g⋅+=

Pérdidas de carga en el tramo 1



15/31


Velocidad en la cañería, enel tramo 1

V1

Q 4⋅

π D12

⋅

:= V1 7.96m

s=

Reynolds y rugosidadrelativa Re

V1 D1⋅

ν15ºC

:= Re 27775732=ε1

D1

0.00225=


1

F0.86− ln

ε1

D1 3.7⋅

2.51

Re F⋅+

⋅= => f F( )1

F− 0.86 ln

ε1

D1 3.7⋅

2.51

Re F⋅+

⋅−:= [A]


0.01:= f1 root f F( ) F,( ):= f1 0.0247=

ver otra forma de calcular f al finalde la resolución.

Las pérdidas de cargapor fricción en el tramo 1

serán:

∆h1.friccion f1

L1

D1

⋅V1

2

2g⋅:= ∆h1.friccion 6.57 m=

Pérdidas de carga en el tramo 2

Velocidad en la cañería,en el tramo 2

V2

Q 4⋅

π D22

⋅

:= V2 2.26m

s=

Reynolds y rugosidadrelativa Re2

V2 D2⋅

ν 15ºC

:= Re2 14813724=ε2

D2

0.0133=

Cálculo de coeficiente de

Fricción por fórmula deColebrook-White:

1

F0.86− ln

ε2

D2 3.7⋅

2.51

Re2 F⋅+

⋅= => f F( )

1

F− 0.86 ln

ε2

D2 3.7⋅

2.51

Re2 F⋅+

⋅−:=


0.01:= f2 root f F( ) F,( ):= f2 0.0427=

Las pérdidas de carga en eltramo 2 serán:

∆h2.friccion f2

L2

D2

⋅V2

2

2g⋅:= ∆h2.friccion 8.93 m=

Pérdidas de carga total ∆htotal ∆h1.friccion ∆h2.friccion+:= ∆htotal 15.49 m=

Finalmente, reemplazandola pérdida en la ecuación(1), resulta:

Wturb ρ15ºC Q⋅ g⋅ zA zB− ∆htotal−( )⋅:=

Wturb 999kg

m3

⋅ 100m

3

s⋅⋅ g⋅ 245 m⋅ 60 m⋅− ∆htotal−( )⋅= 166120 kW=

b) presión absoluta en el punto C

patm 93700 Pa= zC 0= γ 15ºC ρ15ºC g⋅:= γ 15ºC 9800.19N

m3

=

VC V1:= VC 7.96m

s=



16/31


planteando Ec. de laenergía entre A y C 0

pC

γ zC+

VC2

2 g⋅+

uC

g+

pA

γ zA+

VA2

2g+

uA

g+

−=

Siendo VA=0,

zc=-60m;uc-uA=∆h10

pC

γ z

C+

VC2

2 g⋅+

pA

γ − z

A− ∆h

1.friccion+=

Trabajando con valoresabsolutos de la presión,obtendremos:

pabs_C

patm

γ 15ºC

zA zC−+VC

2

2g− ∆h1.friccion−

γ 15ºC⋅:= pabs_C 2399 kPa=


0.00230.0247

2 7 .

7 0 0 .

0 0 0

1 4 .

8 0 0 .

0 0 0

0.0130.0427

0,10

0,09

0,08

0,07

0,06

0,05

0,04

0,03

0,02

105

106

107

108

5 2 3 4 6 7

0.00001

0.000001

0.00005

0.0001

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.001

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.015

0.03

0.02

0.04

0.06

0,095

0,085

0,075

0,065

0,055

0,048

0,046

0,044

0,042

0,038

0,036

0,034

0,032

0,022

0,024

0,026

0,028

0,019 0,018

0,017 8 9

5

2

3 4 6 7 8 9 5 2 3 4 6 7 8 9 5 2 3 4 6 7 8 9 5 2 3 4 6 7 8 9

6 7 8 9

Factor defricción

f


Número de Reynolds: Re=V.D ν


0.000005

64/ Re

Material(nuevo)

VidrioTubería estirada

Acero, hierro forjadoHierro fundido asfaltado

Hierro galvanizado

Hierro fundidoMadera cepillada

HormigónAcero remachado

e(mm)

0,00030,00150,046

0,120,15

0,260,18-0,9

0,3-3,00,9-9,0


tubos comerciales

0,01

0,008

0,016

0,015

0,014

0,013

0,012

0,011

0,009

10 103 4


crítica

Flujo

laminar

Otra forma dehallar el factorde fricciónutilizando el

diagrama deMoody

1G CANALES

50 puntos

La instalación de la figuramuestra el almacenamiento de lamateria prima de una industria,que se conecta con la línea deproducción en el punto 2. Apartir de allí, la instalación escapaz de procesar 16 m³/hora.Calcular el valor k de la válvulapara no sobrecargar al sistema.Despreciar otras pérdidaslocalizadas excepto la de laválvula. El material es petróleocrudo de ρr=0,86 a 70ºC y lacañería es de acero.

30m

D=50mmL=50m

P2=8 mcapetróleocrudo70ºC

La cañería es acero

válvula

2



17/31


ρrpetroleo 0.86:=Datos: Q 16m

3

hr:= ν petroleo 4 10

6−⋅

m2

s:=

γ petroleo 9810N

m3

ρrpetroleo⋅:= γ petroleo 8436.6N

m3

=

z1 30m:= L 50m:= D 50mm:= ε 0.046mm:=

p2 8m 9810⋅N

m3

:= p2 78480N

m2

=

Sección de la cañería Aπ D

2⋅

4

:= A 0.00196 m2

=

Velocidad en la cañería V2Q

A:= V2 2.26

m

s=

Reynolds Re V2 D⋅

ν petroleo

:= Re 28294= ε

D0.00092=

f F( )1

F− 0.86 ln

ε

D 3.7⋅

2.51

Re F⋅+

⋅−:= F 0.01:=

Factor de fricción

f root f F( ) F,( ):= f 0.027=

Planteando ecuación dela energía entre elnivel del embalse y la

salida, resulta:

p1

γ

V12

2g+ z1+

u1

g+

p2

γ

V22

2g+ z2+

u2

g+= [1]

Siendo: p1 0= V1 despreciable=u2 u1−

g∆hlocaliz ∆hfricción+= z2 0= [2]

Reemplazando [2] en[1], resulta

∆hlocaliz ∆hfricción+p2

γ −

V22

2g− z1+=

Por Darcy-Weisbach ∆hfricción fL

D⋅

V2

2g⋅:= ∆hlocaliz Σk

V22

2g⋅:=

Siendo:f

L

D

⋅ Kvalvula+

V22

2g

⋅p2

γ

−V2

2

2g

− z1+=

Despejando elcoeficiente de laválvula

Kvalvula

p2

γ petroleo

−V2

2

2g− z1+

2g

V22

⋅ fL

D⋅−:= Kvalvula 51.73=



18/31


2 8 . 0 0 0

0.027

0.0009

0,10

0,09

0,08

0,07

0,06

0,05

0,04

0,03

0,02

105

106

107

108

5 2 3 4 6 7

0.00001

0.000001

0.00005

0.0001

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.001

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.015

0.03

0.02

0.04

0.06

0,095

0,085

0,075

0,065

0,055

0,048

0,046

0,044

0,042

0,038

0,036

0,034

0,032

0,022

0,024

0,026

0,028

0,019

0,018

0,017 8 9

5

2

3 4 6 7 8 9 5 2 3 4 6 7 8 9 5 2 3 4 6 7 8 9 5 2 3 4 6 7 8 9

6 7 8 9

Factor defricción

f


Número de Reynolds: Re=V.D


0.000005

64/ Re

Material(nuevo)

VidrioTubería estirada

Acero, hierro forjadoHierro fundido asfaltadoHierro galvanizado

Hierro fundidoMadera cepilladaHormigónAcero remachado

e(mm)

0,00030,0015

0,0460,12

0,150,26

0,18-0,90,3-3,00,9-9,0


tubos comerciales

0,01

0,008

0,016

0,015

0,014

0,013

0,012

0,011

0,009

10 103 4


crítica

Flujo

laminar


Otra forma de calcularel factor de fricción

2A CANALES

50 PUNTOS

En un canal rectangular revestido de hormigón (n=0,012) de 3m de ancho, circula un caudal regulado por

un vertedero rectangular aguas arriba, que tiene una carga de H=0,7m.En su recorrido, el canal cambia de pendiente según se indica en la figura y se desea conocer:a) el caudal regulado por el vertedero rectangularb) los tirantes normales (uniformes) en cada tramoc) el tirante críticod) evaluar si se produce resalto en algún sectore) las curvas del perfil de la superficie, indicando en el gráfico: línea de tirante crítico, tirantes uniformes,curva y nombre de cada una.Notas:Se supone que la longitud de cada tramo es suficiente como para alcanzar el tirante uniformeSe desprecia la velocidad de llegada del fluido hacia el vertedero

S02=0,025

B=3m

l=3m

H=0,7m

h0=3,3m

H=0,7m

h0=3,3m

Vertedero regulador decaudal aguas arriba

vista corte

S01=0,004

S03=0,004

Datos Cd 0.423:= l 3m:= H 0.7m:= B 3m:= Y 4m:= n 0.012m

1−

3s⋅:=

S01 0.004:= S02 0.025:=

a) flujo en vertedero rectangular

Utilizando la ecuación 10.30, y verificando luego si la velocidad de llegada (V1) es menor a 0,3 m/s de tal forma que sea despreciable



19/31


Como no hay contracciónlateral

lc l:= lc 3 m=

Q Cd lc⋅ 2g⋅ H

3

2⋅:=

Q 0.423 lc⋅ 2 g⋅⋅ 0.7 m⋅( )

3

2

⋅= 3.29m

3

s= Q 3.292

m3

s=

V1

Q

B Y⋅:= V1 0.274

m

s= Se comprueba que la velocidad es despreciable (< a 0,3

m/s)

b) Cálculo de los tirantes uniformes Y 0

[1]Partiendo de la ecuaciónde Maning

Q1

nA⋅ R

2

3⋅ S0

1

2⋅= => 0 Q−

1

nA⋅ R

2

3⋅ S0

1

2⋅+=

Siendo A B Y⋅=

P B 2

Y⋅+=

Rh

A

P=

[2]

Reemplazando [2] en [1],resulta:

0 Q−1

nB Y0⋅( )⋅

B Y0⋅

B 2 Y0⋅+

2

3

⋅ S0

1

2⋅+= [3]

___Procedimiento auxiliar para cálculo de raíces________________________________________________________________

Y01 0.01m:=Se buscará el valor de Yque haga 0 la ecuación [3]

f Y01( ) Q−1

nB Y01⋅( )⋅

B Y01⋅

B 2 Y 01⋅+

2

3

⋅ S01

1

2⋅+:=

Y01 root f Y01( ) Y01,( ):= Y01 0.432 m=

______________________________________________________________________________________________

Se buscará el valor de Yque haga 0 la ecuación [3]

Y02 0.01m:=f Y02( ) Q−1

nB Y02⋅( )⋅

B Y02⋅

B 2 Y 02⋅+

2

3

⋅ S02

1

2⋅+:=

Y02 root f Y02( ) Y02,( ):= Y02 0.24 m= ______________________________________________________________________________________________

c) Cálculo del tirante crítico Yc

El tirante crítico es aquelque hace 1 el número deFroude

FrV

g Dh⋅= [4]

velocidad VQ

A=

Q

Y B⋅= profundidad hidráulica Dh

A

T=

Y B⋅

Y= Y=



20/31


Reemplazando la velocidady la profundidad hidráulicaen [4], resulta

Fr Q

Y B⋅

1

g Y⋅⋅= Fr

Q

B Y

3

2⋅ g⋅

=

al igualar el número de

Froude a 1, encontraremoslas variables críticas

Fr 1= 1

Q

B Yc

3

2⋅ g⋅

= Yc

Q

B g⋅

2

3

:= Yc 0.5

m=

d) se observa que no se atraviesa el tirante crítico en ningún sector, por lo que no se forma resalto

e) curvas de la superficie libre

S02=0,025

S01=0,004

S03=0,004

y02=0,24m

y01=0,43myc=0,50m

y03=y01=0,43m

F2

F3

2B CANALES50 puntos

En un canal rectangular revestido de hormigón (n=0,012) de 5m de ancho, escurre un caudal controlado

aguas arriba por un vertedero triangular (de ángulo recto) de carga H=2,5m. El canal cambia de pendientesegún se indica en la figura y se desea conocer:a) el caudal regulado por el vertedero triangularb) los tirantes normales (uniformes) en cada tramoc) el tirante críticod) evaluar si se produce resalto en algún sectore) las curvas del perfil de la superficie, indicando en el gráfico: línea de tirante crítico, tirantes uniformes,curva y nombre de cada una.Notas:Se supone que la longitud de cada tramo es suficiente como para alcanzar el tirante uniformeSe desprecia la velocidad de llegada del fluido hacia el vertedero

2,5m

b=5m

S01=0,00036

S02=0,000095

S03=0,00036


Datos: B 5m:=

S01

0.00036

:= S

02 0.000095

:= n 0.012m

1−

3s

⋅:= H 2.5m

:=

a) flujo en vertedero triangular



21/31


flujo en vertederotriangular

Q 1.346m

s2

⋅ H

5

2⋅:= Q 1.346

m

s2

⋅ 2.5 m⋅( )

5

2⋅= 13.3

m3

s=

b) Cálculo de los tirantes uniformes Y 0

[1]Partiendo de la ecuaciónde Maning

Q1

nA⋅ R

2

3⋅ S0

1

2⋅= => 0 Q−

1

nA⋅ R

2

3⋅ S0

1

2⋅+=

Siendo A B Y⋅= P B 2 Y⋅+= RhA

P= [2]


0 Q−1

nB Y0⋅( )⋅

B Y0⋅

B 2 Y0⋅+

2

3

⋅ S0

1

2⋅+=

[3]


Y01 0.00001m:=Se buscará el valor de Yque haga 0 la ecuación [3]

f Y01( ) Q−1

nB Y01⋅( )⋅

B Y01⋅

B 2 Y 01⋅+

2

3

⋅ S01

1

2⋅+:=

Y01 root f Y01( ) Y01,( ):= Y01 1.68 m=

Se buscará el valor de Y

que haga 0 la ecuación [3]Y

02

0.000001m:=f Y02( ) Q−

1

n B Y02⋅( )⋅B Y02⋅

B 2 Y 02⋅+

2

3

⋅ S02

1

2

⋅+:=

Y02 root f Y02( ) Y02,( ):= Y02 2.74 m=

______________________________________________________________________________________________



FrV

g Dh⋅= [4]

velocidad VQ

A=

Q

Y B⋅= profundidad hidráulica DhA

T=

Y B⋅

Y= Y=


Fr Q

Y B⋅

1

g Y⋅⋅= Fr

Q

B Y

3

2⋅ g⋅

=

al igualar el número deFroude a 1, encontraremoslas variables críticas

Fr 1= 1Q

B Yc

3

2⋅ g⋅

= YcQ

B g⋅

2

3

:= Yc 0.9 m=

d) se observa que no se atraviesa el tirante crítico en ningún sector, por lo que no se forma resalto

e) curvas de la superficie libre



22/31


2,5m

b=5m

línea de profundidad crítica

línea de profundidad normal

S01=0,00036

S02=0,000095

S03=0,00036


y02=2,74m

Y01=Y03=1,68myc=0,9m

D1

D2

2C CANALES

50 puntos

Los ingenieros civiles, con frecuencia encuentran flujo en tuberías donde éstas no están completamentellenas de agua. Por ejemplo esto ocurre en alcantarillas y, por consiguiente, el flujo es a superficie libre. Enla figura se muestra una tubería parcialmente llena, si el n de Manning es 0.015

a) ¿cuál es la pendiente necesaria para un flujo normal de 25000 l/s?b) si la sección puede escurrir como máximo a sección llena, qué diámetro se debería poner paratransportar el mismo caudal en un tramo de la cañería en donde la pendiente es de 1/200? Considere quela ecuación de Manning es válida también para escurrimientos a sección llena en conductos circulares.

d0=2,5m

0,625m

Datos: Q 25000liter

sec⋅:= Q 25

m3

s= n 0.015m

1−

3s⋅:= a 0.625m:= d

0 2.50m:=

a) Cálculo de la pendiente

Despejando la pendientede la expresión deManning, resulta:

Q1

nA⋅ R

2

3⋅ S0

1

2⋅= S0

Q n⋅

A Rh

2

3⋅

2

= Radio de la cañería rd0

2

:= r 1.25 m=

CANALES. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE SECCIONES (Fuente: Hidráulicade Canales Abiertos, Ven Te Chow)

Sección

ÁreaA

Perímetro mojado

P

Radio HidráulicoR

AnchoSuperficial

T

ProfundidadHidráulica

D

Factor de SecciónZ

yd0

θ

T

Círculo

1

8θ sen θ( )( ). d 0

2.

θ

d 0

2

.

1

41

sen θ( )

θ

. d 0.

sen θ

2d 0.

ó

2 y d 0 y..

1

8

θ sen θ( )

sen θ

2

. d 0.

2

32

θ sen θ( )( )1.5

sen θ

2

0.5

. d 02.5.

a=0,5m

d0=2,50m

θ

T

αr

gráfico de análisis α asina

r

:= α 30 deg=

θ π 2 α⋅+:= θ 4.19= θ 240 deg=



23/31


Área de la cañería A1

8d0

2⋅ θ sin θ( )−( )⋅:= A 3.95 m2=

Pmojado θd0

2

⋅:= Pmojado 5.24 m=Perímetro mojado

RhA

Pmojado

:= ó Rh1

41

sin θ( )θ

−

⋅ d0⋅:= Rh 0.754 m=Radio hidráulico

Pendiente normal S0Q n⋅

A Rh

2

3⋅

2

:= S0 0.013134=

b) Cálculo del diámetro, si la pendiente cambia, para transportar el mismo caudal a sección llena

Datos: S01

200:= S0 0.005= Q 25

m3

s=

Área de la cañería asección llena

A π r2

⋅= Perímetro mojado a secciónllena

Pmojado 2 π⋅ r⋅( ):=

Rh

A

Pmojado

= π r

2⋅

2 π⋅ r⋅=

r

2= Rh

A

Pmojado

=Radio hidráulico

Reemplazando lasexpresiones anteriores enla ecuación de Manning,resulta:

Q1

nA⋅ Rh

2

3⋅ S0

1

2⋅

=

1

nπ r

2⋅( )⋅ r

2

2

3

⋅ S0

1

2⋅

=

1

nπ⋅ r

2⋅

r

2

3

2

2

3

⋅ S0

1

2⋅

= 1

nπ⋅ r

8

3⋅

S0

1

2

2

2

3

⋅=

Despejando r:

rQ n⋅ 2

2

3⋅

π S0

1

2⋅

3

8

:= r 1.45 m= d0 2 r⋅:= d0 2.89 m=

1.5m

7,18m

S01=0,01



24/31


2D CANALES 50 PUNTOS

En un canal rectangular de ancho B = 4 m, de pendiente S0=0,01 y de rugosidad n = 0,015, quetransporta un caudal Q = 29 m³/s, se coloca una compuerta que eleva el tirante a 7,18 m, y tiene unaabertura inferior de 1,50 m. Considerar que las longitudes de los tramos son tales que la altura del tirantealcanza el tirante normal antes y después de la compuerta. Determinar:a) el tirante uniformeb) el tirante críticoc) determinar si se produce resalto; si es así: calcular los tirantes conjugados.d) dibujar en forma aproximada las líneas de las curvas de la superficie libre, indicando su forma y su

denominación

1.5m

7,18m

S01=0,01

ATENCIÓN: HAY UN ERROR EN EL GRÁFICO DEL ENUNCIADO, SE CAMBIA LA ABERTURA INFERIOR DE 1,5m A 0,75m

Datos: B 4m:= S01 0.01:= Q 29m

3

s⋅:= n 0.015m

1−

3s⋅:=

a) Cálculo de los tirantes normales Y01

Y02

Partiendo de la ecuaciónde Maning

Q1

nA⋅ R

2

3⋅ S0

1

2⋅= A B Y⋅= P B 2 Y⋅+= Rh

A

P=

Se buscará el valor de Yque haga 0 la ecuación f Y01( ) Q−

1

nB Y01⋅( )⋅

B Y01⋅

B 2 Y 01⋅+

2

3

⋅ S01

1

2⋅+:=

Y01 0.01m:= Y01 root f Y01( ) Y01,( ):= Y01 1.28 m=

b) Cálculo del tirante crítico Y c


Fr 1= FrVc

g Dh⋅= Vc

Q

A=

Q

Y B⋅=

A Y B⋅=

Dh

Ac

T=

Y B⋅

Y=

Y=

1Q

Yc B⋅

1

g Yc

1

2⋅

⋅= 1Q

B Yc

3

2⋅ g⋅

= YcQ

B g⋅

2

3

:= Yc 1.75 m=

c) Cálculo de tirantes conjugados

Tomamos como Y1 altirante uniforme antes delresalto

Y1 Y01:= Y1 1.28 m=

Y2

Y

12

1 8 Fr12⋅+ 1−⋅=

Y

12

1 8

V

1Y1 g⋅

2

⋅+ 1−

⋅=



25/31


Y2

Y1

21 8

Q

Y1 B⋅

2

⋅1

Y1 g⋅⋅+ 1−

⋅:= Y2 2.32 m=

Al ser Y2 0 Q−

1

nA⋅ R

2

3⋅ S0

1

2⋅+=

Siendo A B Y⋅=

P B 2

Y⋅+=

Rh

A

P=

[2]



26/31



0 Q−1

nB Y0⋅( )⋅

B Y0⋅

B 2 Y0⋅+

2

3

⋅ S0

1

2⋅+=

[3]


Y01 0.00001m:=Se buscará el valor de Y01que haga 0 la ecuación [3]

f Y01( ) Q−1

nB Y01⋅( )⋅

B Y01⋅

B 2 Y 01⋅+

2

3

⋅ S01

1

2⋅+:=

Y01 root f Y01( ) Y01,( ):= Y01 1.42 m=

Se buscará el valor de Y02

que haga 0 la ecuación [3]

Y02 0.000001m:=f Y02( ) Q−1

n

B Y02⋅( )⋅B Y02⋅

B 2 Y 02⋅+

2

3

⋅ S02

1

2⋅+:=

Y02 root f Y02( ) Y02,( ):= Y02 2.64 m=

_______________________________________________________________________________________________



FrV

g Dh⋅= [4]

velocidad VQ

A

= Q

Y B⋅

= profundidad hidráulica DhA

T

= Y B⋅

Y

= Y=


Fr Q

Y B⋅

1

g Y⋅⋅= Fr

Q

B Y

3

2⋅ g⋅

=

al igualar el número deFroude a 1, encontraremoslas variables críticas

Fr 1= 1Q

B Yc

3

2⋅ g⋅

= YcQ

B g⋅

2

3

:= Yc 2.02 m=

c) Evaluación de resalto: Al producirse un cambio en la altura del tirante, desde un nivel inferior al crítico a unosuperior: se produce resalto y se calcularán los tirantes conjugados

Tomamos como Y1 altirante uniforme antes delresalto

Y1 Y01:= Y1 1.42 m=

Y2

Y1

2

1 8 Fr12

⋅+ 1−⋅=Y1

2

1 8

V1

Y1 g⋅

2

⋅+ 1−

⋅=

Y2

Y1

2

1 8Q

Y1 B⋅

2

⋅1

Y1 g⋅⋅+ 1−

⋅:= Y2 2.78 m=

Al ser Y2>Y02, el tirante se forma en el tramo débil y se calcula de la siguiente manera:



27/31


Tomamos como Y2 altirante uniforme despuésdel resalto

Y2 Y02:= Y2 2.64 m=

Y1

Y2

2

1 8 Fr22

⋅+ 1−⋅=Y2

2

1 8

V2

Y2 g⋅

2

⋅+ 1−

⋅=

Y1

Y2

21 8

Q

Y2 B⋅

2

⋅1

Y2 g⋅⋅+ 1−

⋅:= Y1 1.51 m=

d) gráfico

Y02=2,64m

yc=2,02m

Y01=1,42m

S02=0,00095

S01=0,006

D3

resaltoY1=1,51m

Y2=Y02=2,02m

línea de profundidad crítica

línea de profundidad normal

canal principal

área planicie de inundación

perímetro planicie de inundación

perímetro mojado canal principal

y2=2mB2=20mB1=10m

y1=5m Planicie de inundaciónPaston=0,035

Canal principal

Hormigónn=0,013

e) caudal máximo que escurre por el canal principal y la planicie de inundación

Datos: S0 0.00095:= ncanal_ppal 0.013m

1−

3s⋅:= nplanicie 0.035m

1−

3s⋅:=

Característicasgeométricas de la planiciede inundación: área,perímetro mojado y radiohidráulico:

Aplanicie 2m 20m⋅:= Aplanicie 40 m2

=

Pplanicie 2m 20m+:= Pplanicie 22 m=

Rhplanicie

Aplanicie

Pplanicie

:= Rhplanicie 1.82 m=

Característicasgeométricas del canalprincipal: área, perímetromojado y radio hidráulico:

Acanal_ppal 10m 7⋅ m:= Acanal_ppal 70 m2

=

Pcanal_ppal 10 m⋅ 7m+ 5m+:= Pcanal_ppal 22 m=

Rhcanal_ppal

Acanal_ppal

Pcanal_ppal

:= Rhcanal_ppal 3.18 m=

Reemplazando los valoresanteriores en la ecuaciónde Manning, resulta:

Qplanicie

1

nplanicie

Aplanicie⋅ Rhplanicie

2

3⋅ S0

1

2⋅:= Qplanicie 52.47

m3

s=

Qcanal_ppal

1

ncanal_ppal

Acanal_ppal⋅ Rhcanal_ppal

2

3⋅ S0

1

2⋅:= Qcanal_ppal 359.03

m3

s=



28/31


Q Qplanicie Qcanal_ppal+:= Q 411.51m

3

s=

2F CANALES

50 puntos

Se desea construir un canal consección transversal en forma de

trapecio, del que ya se han definidolas dimensiones indicadas en lafigura, pero no se ha decidido todavíael valor del tramo horizontal queforma el fondo del canal.a) Determine el valor de la longitud b del fondo del canal para que puedaevacuar un caudal de 4 m3 /s siendo laprofundidad y = 1 m.b) Altura crítica y tipo deescurrimientoc) Con el valor de b calculado en elpunto a), determine el máximo caudalque puede evacuar el canal sin

desbordarse.DATOS:-Coeficiente de Manning: n = 0.022.-Pendiente: S0 = 0.0024.

1

z

b

y=1m60º

ymáx

1

z

Datos: Q 4m

3

sec⋅:= y 1m:= n 0.022m

1−

3s⋅:= S0 0.0024:=

tan60º1

z= z

1

tan 60deg( ):= z 0.58=

a) cálculo de la longitud del fondo b

Ecuación de Manning Q1

nA⋅ R

2

3⋅ S0

1

2⋅=

CANALES. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE SECCIONES (Fuente: Hidráulica de Canales Abiertos, Ven Te Chow)

Sección

ÁreaA

Perímetro mojadoP

Radio HidráulicoR

Ancho SuperficialT

ProfundidadHidráulica

D

Factor de SecciónZ

1

z

b

y z

1

Trapecio

b z y.( ) y. b 2 y. 1 z2.

b z y.( ) y.

b 2 y. 1 z2.

b 2 z. y.

b z y.( ) y.

b 2 z. y.

b z y.( ) y.( )1.5

b 2 z. y.

Área del canal A b z y⋅+( ) y⋅=

Radio hidráulico Rhb z y⋅+( ) y⋅

b 2 y⋅ 1 z2

+⋅+

=

Reemplazando A y Rh enla ecuación de Manning,resulta: Q

1

nb z y⋅+( ) y⋅[ ]⋅

b z y⋅+( ) y⋅

b 2 y⋅ 1 z2

+⋅+

2

3

⋅ S0

1

2⋅=

Como es una ecuaciónimplícita -no se puededespejar b directamente-se busca la raíz.

f b( ) Q−1

nb z y⋅+( ) y⋅[ ]⋅

b z y⋅+( ) y⋅

b 2 y⋅ 1 z2

+⋅+

2

3

⋅ S0

1

2⋅+:=



29/31


b 0.01m:= b root f b( ) b,( ):= b 1.96 m=

b) Profundidad crítica y tipo de escurrimiento

El tirante crítico es elque hace 1 el número deFroude

Fr 1= FrVc

g Dh⋅=[1]

Siendo la velocidad y laprofundidad hidráulica:

VcQ

A= [2] Dh

A

T=

Y b z Y⋅+( )⋅

b 2 z⋅ Y⋅+= [3]

Reemplazando [2] y [3] en[1], resulta:

1Q

A g⋅A

T⋅

= Q T⋅

A

3

2g⋅

=

Es difícil despejar

directamente el valor deYc, se buscará la raíz dela ecuación.

f Yc( ) 1

−

Q b 2 z⋅ Yc⋅+⋅

Yc b z Yc⋅+( )⋅[ ]

3

2g⋅

+:=

Yc 0.1m:= Yc root f Yc( ) Yc,( ):= Yc 0.7 m=

Al ser el tirante crítico menor que el uniforme, el escurrimiento es lento

c) Caudal máximo sin desborde

Para un ymax=1,2m secalculará el caudal

ymax 1.2m:= y ymax:=

Área del canal A b z y⋅+( ) y⋅:= A 3.19 m2

=

Radio hidráulico Rhb z y⋅+( ) y⋅

b 2 y⋅ 1 z2

+⋅+

:= Rh 0.67 m=

Caudal Q1

nA⋅ Rh

2

3⋅ S0

1

2⋅:= Q 5.45

m3

s=



30/31


2G CANALES

50 puntos

Para un canal de seccióntransversal conformada por untriángulo con el vértice haciaabajo y talud z=2 y con un tiranteuniforme y = 1 m, si la pendientees de 1:5000 y está construido enchapa con coeficiente de Manningn = 0,015; determinar:a) el caudal que circulab) el tirante críticoc) el tirante uniforme si lapendiente cambia a 1:500.d) la curva de la superficie libre

y1

z=2 z=2

1

So1=1/5000

So2=1/500

Datos: S01

5000

:= Y 1m:= n 0.015m

1−

3s⋅:= z 2:= g 9.81

m

s2

= S021

500

:=

Área A z Y2

⋅:= A 2 m2

=

Perímetromojado Pmojado

2 Y⋅ 1 z2

+⋅:= Pmojado 4.47 m=

Radio hidráulico RA

Pmojado

:= R 0.45 m=

Ancho superficialT 2 z⋅ Y⋅:= T 4 m=

Prof. hidráulicaD

Y

2:= D 0.5 m=

a) caudal que circula

Ec. de Manning Q1

nA⋅ R

2

3⋅ S0

1

2⋅:= Q 1.1

m3

s=

b) tirante crítico

Froude Fr 1= FrV

g Dh⋅= V

Q

A=

Q

Y2

z⋅

=

1Q

Yc2

z⋅

1

gYc

2⋅

⋅= 1Q

Yc

5

2 g

2

⋅

= YcQ

g

2z⋅

2

5

:= Yc 0.57 m=

c) cálculo del tirante uniforme en el tramo 2

Ec. de Manning Q1

nA⋅ R

2

3⋅ S02

1

2⋅= Q

1

nz Y

2⋅( )⋅ z Y

2⋅

2 Y⋅ 1 z2

+⋅

2

3

⋅ S02

1

2⋅=



31/31


Q1

n

z Y2

⋅( )

5

3

2 Y⋅ 1 z2

+⋅( )

2

3

⋅ S02

1

2⋅= Q

1

n

z

5

3Y

10

3⋅

Y

2

32 1 z

2+⋅( )

2

3

⋅

⋅ S02

1

2⋅=

Q1

n

z

5

3Y

8

3⋅

2 1 z2

+⋅( )

2

3

⋅ S02

1

2⋅= Y

Q n⋅ 2 1 z2

+⋅( )

2

3

⋅

S02

1

2z

5

3⋅

3

8

:= Y 0.65 m=

d) Curva de la superficie libre

Se observa que el tirante uniforme es mayor que el tirante crítico, en los dos tramos, se trata de un canal con pendiente débil a otramenos débil. La superficie toma la forma D2.

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