Unidad 7

Desigualdades Objetivos

Al finalizar la unidad, el alumno:

• Comprenderá el concepto de orden en los números reales, así como el de

valor absoluto y sus propiedades.

• Aplicará las propiedades de las desigualdades y del valor absoluto en la

resolución de inecuaciones lineales en una variable.

• Relacionará regiones en el plano cartesiano con las soluciones de

desigualdades lineales en dos variables.

• Resolverá los sistemas de desigualdades.

desigualdades

2��

Introducción

Siguiendo con el estudio de las propiedades de los números reales, ahora

pondremos atención a una consecuencia de la relación de orden: las

desigualdades.

En este capítulo se estudiarán los conjuntos de números que satisfacen

las relaciones de orden que involucran a los signos mayor que, mayor o igual que,

menor que o menor o igual que, entre números reales. Como consecuencia también

aprenderemos a resolver desigualdades de una sola variable e identificaremos en el

plano cartesiano las regiones que satisfacen desigualdades y sistemas de desigualdades

con dos variables.

De igual forma se definirá el valor absoluto de un número real, involucraremos

al valor absoluto en las desigualdades numéricas y aprenderemos a resolver

inecuaciones que lo incluyen.

7.1. Concepto de orden en

¿Cómo identificamos cuando un número real es mayor que otro? ¿Cómo

los representamos en la recta numérica?

Recordemos que cuando estudiamos los números reales establecimos un

concepto de orden mediante el cual se puede determinar cuándo un número real

es mayor que otro:

Si a y b son números reales positivos y (a–b) es positivo, decimos que a

es mayor que b, y escribimos a > b.

Esto es equivalente a decir que b es menor que a, que se escribe b < a.

Ahora, los representamos en la recta numérica:

Álgebra superior

2�8

Con lo anterior observamos que si a >b implica que a está a la derecha de b,

es más, si a está a la derecha de b entonces a >b, por lo tanto se puede decir que:

a > b Û a está a la derecha de b en la recta numérica.

De aquí se sigue la siguiente propiedad: a >0 si y sólo si a es positivo.

Esta propiedad se cumple porque si a > 0, entonces a está a la derecha del

cero en la recta numérica, pero los números a la derecha del cero son los números

positivos y, en consecuencia, a es número positivo. por consiguiente, si a <0

implica que a es negativo.

Pero qué pasa si queremos responder a la pregunta ¿cuáles serán los

números que se encuentran localizados en la recta numérica entre el 3 y el 5?

Es decir, los números reales que satisfacen la siguiente desigualdad: 3 < x < 5,

donde x representa todos esos números reales.

Para describir este tipo de conjuntos introduciremos el concepto de

intervalo.

7.1.1 Intervalos

Un intervalo es un conjunto de números reales que satisfacen una cierta

desigualdad. Para representarlos, de manera abreviada, vamos a introducir la

siguiente notación:

1. Denotamos con (a, b) a los números que se encuentran entre a y b; es

decir:

(a, b) = {x | a < x < b}

El conjunto (a, b) se llama intervalo abierto y se utilizan los paréntesis para

indicar que los puntos extremos, a y b no están incluidos.

desigualdades

2��

2. Denotamos por [a,b] a los números que se encuentran entre a y b

incluyendo a a y b; es decir:

[a,b] = {x | a ≤x ≤b}

El conjunto [a,b] se llama intervalo cerrado y se utilizan los corchetes para

indicar que los extremos están incluidos.

3. También están los intervalos semiabiertos o semicerrados denotados por

[a,b) y (a,b] que se definen como:

[a,b) = {x | a ≤x < b}

(a,b] = { x | a < x ≤b}

La desigualdad 4 < x <5 corresponde al intervalo (4, 5) pero, ¿a qué

intervalo corresponderá la desigualdad x <5 o cuál es el intervalo que corresponde

a la desigualdad x > 9?

4. Los intervalos correspondientes a este tipo de desigualdades se

denominan intervalos infinitos y se definen de la siguiente manera:

(a,∞) = {x | x > a}

[a,∞) = {x | x ≥a}

Álgebra superior

2�0

(–∞,b) = {x | x < b}

(–∞, b] = { x | x ≤b}

(–∞,∞) = R

Recordemos que el símbolo ∞ denota al infinito y se usa sólo como

notación, no como un número en particular.

Ejemplo 1

a) (2,∞) representa a todos los números reales mayores que 2 { }|2x x<b) [2, 5) representa al conjunto { }|2 5x x≤ <c) −∞ −( , 3] representa al conjunto { }| 3x x ≤ −

Ejercicio 1

1. Escribe el intervalo que representan los siguientes conjuntos:

a) { }| 4 6x x− ≤ <

e) { }| 2x x− ≤b) { }|0 2x x< ≤

f) { }| 3x x < −

c) { }| 10 5x x− ≤ ≤ −

g) { }| 6x x ≤d) { }| 1 3x x− < <

h) { }|0x x<

desigualdades

2�1

2. Escribe el conjunto que representa cada uno de los siguientes intervalos:

a) (2,6)

b) −[ 1,9]

c) −[ 8,3)

d) −( 4,5]

e) −∞( ,9]

f) − ∞[ 5, )

7.2. Definición de valor absoluto y sus propiedades

A partir de las relaciones de orden >, <, y≤ ≥ podemos decir que 3 < 5

o que 34 > 2 pero, ¿qué tan alejado está el 5 del 3? ¿Igual que el 42 del 2? Es

decir, dado a > b, ¿qué tan grande es a respecto a b? Para responder esta pregunta

introduciremos la definición de valor absoluto.

Si a es un número real, entonces el valor absoluto de a, a,se usa para

denotar el número de unidades (o la distancia) entre el punto de la recta numérica

que representa el número a y el 0 (llamado origen), sin importar la dirección.

En la siguiente figura vemos que para el punto con coordenada –4 tenemos

–4= 4, de igual modo para el punto de coordenada 4: 4= 4.

¿Cómo se determina el valor absoluto de un número? En general, si a es

negativo para calcular su valor absoluto cambiamos su signo, mientras que si

es positivo, entonces el valor absoluto del número real a coincide con él. Así, la

definición queda como: si 0

si <0

a aa

a a

≥= −

Álgebra superior

2�2

Observemos que si a < 0 en el segundo caso, entonces –a es positivo, por

lo que el valor absoluto de cualquier número es siempre positivo, esto es:

0x ≥ para todo x∈ .

Ejemplo 2

a) Para calcular la distancia del número real 3 al origen se escribe:

|3| = 3

b) Para calcular la distancia del 5 al 13 se escribe:

|13–5| = |8| = 8

Mientras que la distancia del 13 al 5 es:

|5–13| = |–8| = 8

Gráficamente estas distancias se representan:

c) Ahora, calculemos la distancia del 4 al 9 y del 9 al 4:

|9–4| = |5| = 5

y

|4–9| = |–5| = 5

desigualdades

2�3

Gráficamente estas distancias son:

Nótese que la distancia del 9 al 4 es igual a la del 4 al 9. Esto nos dará la

primera propiedad del valor absoluto.

1. Si a pertenece a , entonces:

|–a| = |a|

Gráficamente:

Así, |–7| = |7| = 7

Ahora calculemos la distancia del –12 al origen de dos maneras distintas

para obtener otra propiedad:

|–12| = 12,

Pero –12 se puede escribir como (–4)(3). El valor absoluto de –4 es 4 y el

3 es 3, de lo que:

|–4| |3| = (4)(3) = 12,

por lo tanto:

|–12| = |–4||3|

En general se puede decir:

2. Si a y b pertenecen a , entonces:

|ab| = |a||b|

Álgebra superior

2�4

¿Qué propiedad cumplirá la suma con el valor absoluto? La propiedad de

la suma con el valor absoluto se enuncia de la siguiente manera:

3. Dados los números reales a y b, el valor absoluto de la suma de los

números es menor o igual a la suma de los valores absolutos de a y b. Esto

es:

|a + b| |a| + |b|

A esta propiedad la llamamos desigualdad del triángulo.

Ejemplo 3

|5+9| = |14| = 14 = 5+9 = |5| + |9|,

donde se da la igualdad, pero veamos qué pasa cuando uno de los números

es negativo:

|–5+9| = |4| = 4 < 14 = 5+9 = |–5| + |9|

y se vuelve a dar la igualdad cuando los dos números son negativos:

|–5–9| = |–14| = 14 = 5+9 = |–5| + |–9|

Observemos también que:

4. El valor absoluto de un número es siempre positivo o cero, de lo que

si a es un número real:

–|a|£ a £ |a|

Ejemplo 4

–5 = –|–5| ≤–5 ≤|–5| = 5

desigualdades

2��

Ejercicio 2

1. Obtén la distancia que hay entre los siguientes números:

a) 7 y el origen.

b) –9 y el origen.

c) –6 y el 5

d) 8 y el –1

2. Obtén dos números a y b tales que su valor absoluto sea menor a 3.

3. Obtén dos números negativos a y b tales que su valor absoluto sea

mayores a 30.

4. Obtén dos números a y b tales que su valor absoluto sea igual a 4.

5. ¿Es posible encontrar números cuyo valor absoluto sea menor que un

número negativo? ¿Por qué?

6. ¿Es posible encontrar números cuyo valor absoluto sea mayor que un

número negativo? ¿Por qué?

7. Sean x = 4 y y = –3; encuentra los valores de:

a) 3 2x y+ e) x y−b) 3 2x y+ f) x y−c) x y⋅ g)

x

y

d) xy h) x

y

Álgebra superior

2��

7.3. Propiedades de las desigualdades

Las desigualdades satisfacen las siguientes propiedades:

Propiedad transitiva

1. Si a, b y c pertenecen a los y a > b y b > c, entonces a > c

2. Si a, b y c pertenecen a loslos y a > b, entonces a+c > b+c

3. Si a, b y c pertenecen a loslos y a > b y c > 0, entonces ac > bc

4. Si a, b y c pertenecen a los y a > b y c > 0, entonces a b

c c>

5. Si a, b y c pertenecen a los y a > b y c < 0, entonces ac < bc

6. Si a, b y c pertenecen a los y a > b y c < 0, entonces a b

c c<

Nota: si el símbolo < se cambia por o, ,≤ > ≥ , las propiedades siguen

siendo válidas.

Demostremos algunas de las propiedades anteriores.

3ª. Si a>b tenemos que (a – b) es un real positivo y como c >0, entonces

c(a–b), seguirá siendo positivo, y por la propiedad distributiva de los

reales se tiene:

c (a–b) = ca – cb,

que es real y positivo, de lo que:

ac >cb

Tomemos en cuenta que: si a>0, entonces −a < 0 y si a < 0, entonces −a > 0.

desigualdades

2��

Sean a>b y c < 0, como (a–b) es positivo, entonces −(a–b) = (−a+b) es

negativo.

Por tanto c(b–a) es real y positivo, por lo que usando la propiedad

distributiva en los números reales:

c(b – a) = cb – ca

es real positivo, pero esto implica que:

cb > ca

Ejemplo 5

a) –6 > –9. Si sumamos 10 en ambos lados de la desigualdad

obtenemos:

–6 + 10 = 4 y –9 + 10 = 1; es decir, 4 > 1

b) –3 < 7. Si restamos 6 en ambos lados de la desigualdad obtenemos:

–3 –6 = –9 y 7–6 = 1; es decir, –9 < 1.

c) 10 > 3. Si multiplicamos por 2 ambos lados de la desigualdad

obtenemos:

10(2) = 20 y 3 (2) = 6; es decir, 20 > 6

d) 5 < 8. Si dividimos entre 3 ambos lados de la desigualdad

obtenemos:5 8

3 3<

e) 7 > 4. Si multiplicamos por –3 ambos lados de la desigualdad

obtenemos:

7(–3)= –21 y 4 (–3) = –12; cambia la desigualdad, ya que –21 < –12

f) 5 > 2. Si dividimos entre –2 ambos lados de la desigualdad

obtenemos:

5 5

2 2= −− y

21

2= −− ; cambia la desigualdad, ya que

51

2− < −

Álgebra superior

2�8

7.4. Solución de inecuaciones

En el estudio de los números reales frecuentemente aparecen desigualdades

en las que aparecen variables. Un ejemplo de ellas es:

3x > 7

Si en lugar de x se sustituyera un valor, por ejemplo el 2, tendríamos una

desigualdad numérica, en este caso falsa, ya que 3(2) = 6, lo que no es mayor

que 7. Si quisiéramos encontrar todos los números reales que satisfacen una

desigualdad (esto es, resolver una desigualdad), un método poco práctico es

sustituir valores hasta encontrar el conjunto de valores que lo hagan. Pero hay otra

manera más sencilla de hacerlo, la cual consiste en cambiar la desigualdad por series

de desigualdades equivalentes, la última de las cuales tenga una solución trivial.

Una desigualdad equivalente es la que tiene exactamente las mismas

soluciones. Para obtener desigualdades equivalentes se utilizan las propiedades

de las desigualdades que estudiamos con anterioridad.

Al conjunto de números que satisfacen una desigualdad se le llama conjunto

solución.

7.4.1. Desigualdades lineales con una variable

Una desigualdad lineal con una variable es una expresión que tiene alguna

de las siguientes formas o combinación de ellas:

, , ,ax b ax b ax b ax b< > ≤ ≥A manera de ejemplo se resolverá la siguiente desigualdad: 4x+3 > 2x–5.

Al resolverla se darán los pasos algebraicos y el lector deberá distinguir las

propiedades empleadas.

Ejemplo 6

Desigualdad inicial:

4x+3 > 2x–5

desigualdades

2��

Se resta 3 en ambos lados de la desigualdad:

4x > 2x–8,

se resta 2x en ambos lados de la desigualdad:

2x > –8

finalmente, dividiendo entre 2 ambos lados de la desigualdad:

x > –4

Por lo tanto, las soluciones de 4x+3 > 2x–5 son todos los números

reales mayores que –4, es decir el intervalo (–4, ∞). A continuación se muestra

gráficamente:

Ejemplo 7

Encontremos las soluciones de 4 3

5 12

x−− < <Desigualdad inicial

4 35 1

2

x−− < <Se multiplica por 2 los 3 lados de la desigualdad y como 2 es positivo, las

desigualdades no cambian:

− < − <− < − <( 5)2 4 3 2(1)

10 4 3 2

x

x

Se resta 4 en los lados de la desigualdad:

10 4 3 2 4

14 3 2

x

x

− − < − < −− < − < −

Finalmente, dividendo entre –3 en los tres lados de la desigualdad (como

es negativo, las desigualdades cambian) se obtiene:

14 2

3 3x> >

Por lo tanto, se tiene que la solución de 4 3

5 12

x−− < < es:

Álgebra superior

2�0

2 14

3 3x< <

Si la expresamos como intervalo y la graficamos en la recta numérica, se

tiene que la solución es 2 14,

3 3

7.4.2. Desigualdades cuadráticas con una variable

La resolución de desigualdades cuadráticas se basa en el concepto de

factorización en la siguiente propiedad de las desigualdades.

Propiedad de los productos

i) Si 0 y 0

00 y 0

a bab

a b

> >> ⇔ < <

ii) Si 0 y 0

00 y 0

a bab

a b

> << ⇔ < >Si se sustituyen los símbolos < por ≤ y > por ≥ , la propiedad sigue

siendo válida.

Veamos algunos ejemplos.

desigualdades

2�1

Ejemplo 8

Resuelve la desigualdad x2 – 7x + 10 > 0.

Esta desigualdad se puede escribir como:

(x –5)(x –2) > 0,

cuya solución debe ser tal que los números (x–5) y (x–2) tengan siempre

el mismo signo. Se debe recordar que si en una multiplicación los factores tienen

el mismo signo, entonces el producto es positivo.

Primero tomemos el caso en que nuestros factores sean positivos, esto es,

cuando (x–5) > 0 y (x–2) > 0.

Ahora si x–5 > 0, entonces x > 5 y por lo tanto x está en el intervalo:

(5,∞) = {x | x > 5},

y si x–2 > 0, entonces x > 2 y por lo tanto x está en el intervalo:

(2,∞) = {x | x > 2}

Como se quiere que tanto (x–2) como (x–5) sean reales positivos, de la

recta se observa que la solución se encuentra en el lugar donde se intersectan los

conjuntos formados por las flechas, es decir, en (5, ∞).

De lo que la solución al problema, cuando ambos factores son positivos,

es que x esté en el intervalo (5,∞).

Si se quiere que ambos factores sean negativos, implica que:

(x – 5) < 0 y (x – 2) < 0

Ahora, si (x–5) < 0, entonces x< 5 y por lo tanto x está en el intervalo

(–∞,5) = {x | x < 5}

y si (x–2) < 0, entonces x < 2 y por lo tanto x pertenece al intervalo:

(–∞,2) = {x | x < 2}

Álgebra superior

2�2

Como se quiere que tanto (x–5) como (x–2) sean reales negativos, entonces

la solución es donde se intersectan los conjuntos representados por las flechas de

la gráfica anterior, es decir, en (–∞, 2).

De lo que la solución al problema, cuando ambos factores son negativos,

es que x esté en el intervalo (–∞, 2), y la solución general al problema son todos

los números reales en la unión:

(–∞,2) ∪(5,∞)

Ejemplo 9

Resuelve la desigualdad 2 12x x− ≤Para aplicar este método se requiere que la desigualdad tenga la forma 0≤ ,

por lo tanto:

( )( )2 12 0

4 3

x x

x x

− − ≤− ≥ + ≤ ≥ ≤ −− + ≤ ⇒ ⇒− ≤ + ≥ ≤ ≥ −( )( ) 4 0 y 3 0 4 y 3

04 0 y 3 0 4 y 3

x x x x

x x x x

− − ≤− ≥ + ≤ ≥ ≤ −− + ≤ ⇒ ⇒− ≤ + ≥ ≤ ≥ −− + ≤ ⇒( 4)( 3) 0x x

Por un lado tenemos: 4 y 3x x≥ ≤ − ,

cuya solución es el conjunto vacío.

Por el otro; 4 y 3x x≤ ≥ −

desigualdades

2�3

cuya solución es [ ]3 4 ó x− ≤ ≤ −[3, 4]

Por lo que la solución de todo la desigualdad es: [3, 4]

Es importante resaltar que este método sólo se puede utilizar si la desigualdad

está escrita de la forma 2 0ax bx c+ + < , 2 0ax bx c+ + > , 2 0ax bx c+ + ≤ o 2 0ax bx c+ + ≥ .

Si la expresión cuadrática no puede ser factorizada, se pueden obtener

las raíces del polinomio utilizando la fórmula general y continuar con el

procedimiento.

7.4.3. Desigualdades lineales con valor absoluto

Hemos estudiado qué sucede si dos números cumplen la desigualdad a > b y

ahora nos preguntamos, ¿qué números cumplen la desigualdad |x| < b?. En otras

palabras, ¿qué números cumplen con la propiedad de que su distancia al origen

sea menor que un número b?

Primero observemos que la desigualdad |x| < b sólo tendrá sentido si b > 0,

ya que el valor absoluto es siempre mayor o igual a cero.

El conjunto de números x que satisface que |x| < b, son los que deben

estar entre los números –b y b. Por lo que podemos enunciar la propiedad:

|x| < b si y sólo si –b < x < b

|x| ≤ b si y sólo si –b ≤ x ≤ b

Gráficamente:

Álgebra superior

2�4

Ejemplo 10

a) Sabemos que |–8| < 15, debido a que se cumple:

–15 < –8 < 15

b) Observemos que: –4 < 2 < 4, entonces podemos afirmar:

|2| < 4

c) Resuelve la desigualdad 5x <Aplicando la propiedad del valor absoluto, se tiene que –5 < x < 5, por

tanto la solución a la desigualdad es (–5, 5).

¿Qué números satisfacen la desigualdad |x| > b?

Necesitamos un número que su distancia al origen sea mayor que un

número b; es decir, un número que sea, o más grande que b, o más pequeño que –b

(recuerda que b > 0).

De lo que:

|x| > b si y sólo si o

, 0

, 0

x b x

x b x

> ≥ < − <

|x| ≥ b si y sólo si o

, 0

, 0

x b x

x b x

≥ ≥ ≤ − <

Gráficamente:

o

o

desigualdades

2��

Ejemplo 11

a) Como |–15| > 10, entonces por la propiedad del valor absoluto:

–15 >10 o –15 < –10

En este caso se cumple la segunda condición:

–15 < –10

b) Como 9 > 5, entonces se puede afirmar que |9| > 5

Ejemplo 12

a) Resuelve la desigualdad |x–4| < 2

Usando las propiedades del valor absoluto se llega a la desigualdad

equivalente:

–2 < x – 4 < 2

que tiene la solución: 2 < x < 6, es decir el intervalo abierto (2, 6).

b) Resuelve la desigualdad |2x–7| > 3.

Por las propiedades del valor absoluto se tiene:

|2x–7| >3 si y sólo si 2x–7 >3 o 2x–7 < –3

La primera de las desigualdades, 2x–7 >3, tiene como solución x > 5

y la segunda, 2x–7 < –3, tiene solución x < 2.

Por lo que las soluciones de la desigualdad es la unión de los conjuntos

(–∞,2) ∪(5,∞).

c) Resuelve la desigualdad 4 3 1x− ≥ Aplicando las propiedades del valor absoluto se tiene que:

( ]

o

o

o

o

4 3 1 4 3 1

3 1 4 3 1 4

3 3 3 5

51

3

5,1 ,

x x

x x

x x

x x

− ≥ − ≤ −− ≥ − − ≤ − −− ≥ − − ≤ −≤ ≥

−∞ ∪ ∞ −∞ ∪ ∞ 5

( ,1] ,3

Álgebra superior

2��

7.4.4. Desigualdades lineales con variable en el denominador

¿Para qué valores de x se satisface la desigualdad 1

4x> ?

Observa que la variable ahora aparece en el denominador; sin embargo, no

podemos recurrir a la propiedad de multiplicación de las desigualdades porque no

sabemos si x es un número positivo o negativo, por lo que nos vemos obligados

a considerar los dos casos para encontrar la solución. Antes de realizarlos, es

importante hacer notar que existe una restricción para los valores de x: no puede

tomar el valor de 0 por ser un denominador.

Caso 1.

x > 01

4

1 4

1

4

xx

x

>><

Como x > 0, entonces la solución de este caso es 1

0,4

Caso 2.

x < 0 1

4

1 4

1

4

xx

x

><>

Como x < 0, entonces no hay ningún número que sea al mismo tiempo

x < 0 y 1

4x > , por tanto la solución de este caso es el conjunto vacío.

Resumiendo, la solución de la desigualdad 1

4x> es

10,

4

desigualdades

2��

Ejemplo 13

Resuelve 3

22 1x

<+Observemos que x no puede tomar el valor de

1

2−

Caso 1 1

2 1 02

x x+ > ⇒ > −3

22 13 2(2 1)

3 4 2

3 2

41

4

xx

x

x

x

<+< +< +− <<

Como 1

2x > − y

1

4x< , la solución de este caso es

1,

4 ∞

Caso 2 1

2 1 02

x x+ < ⇒ < −3

22 13 2(2 1)

3 4 2

3 2

41

4

xx

x

x

x

<+> +> +− >>

Como 1

2x < − y

1

4x> , la solución de este caso es

1,

2 −∞ −

Álgebra superior

2�8

Resumiendo, la solución de la desigualdad 3

22 1x

<+ es

1 1, ,

2 4 −∞ − ∪ ∞

Ejemplo 14

¿Para qué valores de x se satisface la desigualdad 2

41

x

x<− ?

Observemos que x no puede tomar el valor de 1.

Caso 1

1 0 1x x− > ⇒ >

( )2

41

2 4 1

2 4 4

4 4 2

4 2

2

x

x

x x

x x

x x

x

x

<−< −< −

< −<<

Como 1x > y 2 x< , la solución de este caso es (2, )∞Caso 2

1 0 1x x− < ⇒ <

( )2

41

2 4 1

2 4 4

4 4 2

4 2

2

x

x

x x

x x

x x

x

x

<−> −> −

> −>>

Como 1x < y 2 x> , la solución de este caso es ( ,1)−∞

desigualdades

2��

Por lo que la solución completa de la desigualdad 2

41

x

x<− queda dada a

través de la unión de los intervalos de solución de los dos casos:

( ,1) (2, )−∞ ∪ +∞

Ejemplo 15

¿Para qué valores de x se satisface la desigualdad 03 2

x

x<+ ?

Como podemos observar:

0 y 3 2 00

0 y 3 2 03 2

x xx

x xx

> + << ⇒ < + >+Por lo cual tendremos dos casos:

Caso 1

0 y 3 2 0x x> + <0

0

3 2 0 2

32

3

x

x

xx

x

>>

+ < ⇒ ⇒∅< −< −

Caso 2

0 y 3 2 0x x< + >0

3 2 0

2

3

x

x

x

<+ >> −

02

,023

3

x

x

< ⇒ ⇒ − > −

Álgebra superior

280

Por lo tanto, la solución de la desigualdad 03 2

x

x<+ es

2,0

3 −

Ejemplo 16

¿Para qué valores de x se satisface la desigualdad 2 1

43

x

x

− <+ ?

Aplicando las propiedades del valor absoluto se tiene que:

2 1 2 14 4 4

3 3

x x

x x

− −< ⇒ − < <+ +Caso 1

3 0x + >Para resolver esta desigualdad debemos partirla en dos partes, por un lado

4 12 2 1x x− − < − y por otro 2 1 4 1x x− < +i) 4 12 2 1

12 1 2 4

11 6

11

6

x x

x x

x

x

− − < −− + < +− <> −

ii) 2 1 4 1

1 1 4 2

2 2

1

x x

x x

x

x

− < +− − < −− <− <

Lo cual quiere decir que 11

6x > − y 1x > − , por lo tanto la solución de

este caso es ( 1, )− ∞

desigualdades

281

Caso 2

3 0x + <

( ) ( )2 1

4 43

4 3 2 1 4 3

4 12 2 1 4 1

x

x

x x x

x x x

−− < <+− + > − > +− − > − > +

Para resolver esta desigualdad debemos partirla en dos partes, por un lado

4 12 2 1x x− − > − y por otro 2 1 4 1x x− > +i) 4 12 2 1

12 1 2 4

11 6

11

6

x x

x x

x

x

− − > −− + > +− >< −

ii) 2 1 4 1

1 1 4 2

2 2

1

x x

x x

x

x

− > +− − > −− >− >

Esoquieredecirque11

6x < − y 1x < − ,porlotantolasolucióndeestecaso

es 11,

6 −∞ −

Resumiendo, se tiene que la solución de la desigualdad2 1

43

x

x

− <+ es

( )11, 1,

6 −∞ − ∪ − ∞

Álgebra superior

282

Ejercicio 3

Resuelve las siguientes desigualdades:

a) 5x – 6 > 11

b) 3x + 2 < 5x – 8

c) 2 3

25

x + <d) |3–11x| ≥ 41

e) 3x2 + 5x – 2 < 0

f) |2x–7| ≤9g)

42

3

x

x

+ ≤−h)

42

3

x

x

+ ≤−i)

25 4 1x x− ≥

7.5. Desigualdades lineales y no lineales en dos variables

En las secciones anteriores hemos estudiado las desigualdades con una

variable x, y encontramos que el conjunto solución se podía representar como

parte de la recta numérica. En este apartado se estudiarán las desigualdades con

dos variables x y y, y se encontrará que su conjunto solución es una región en el

plano cartesiano.

Se tienen desigualdades lineales y no lineales. Las desigualdades lineales

son las que tienen las variables a la primera potencia, y las desigualdades no

lineales serán las que tienen una variable a una potencia distinta de 1.

Ejemplo de esto son:

desigualdades lineales:

x + 4 < y, y < 3x–5 y 7 > 5y–x

y no lineales:

x2 < y+3, y2 > 4x–3 y 45 < y2+x

desigualdades

283

Pero, ¿qué representan gráficamente las desigualdades de dos o más

variables?

7.5.1. Desigualdades lineales con dos variables

Todas las desigualdades lineales se encuentran gráficamente relacionadas

con la ecuación lineal correspondiente.

Así, para trazar el significado de la desigualdad lineal y < x, tenemos que

estudiar la ecuación y = x.

Recordemos que todas las relaciones lineales de la forma

y = ax + b

representan una línea recta en el plano cartesiano. Para trazar esta línea recta

basta tener dos pares de números que satisfagan la ecuación. Para obtener los

pares ordenados sustituimos valores arbitrarios en la ecuación dada para una

variable y obtenemos el valor de la otra.

Por ejemplo, si sustituimos los valores de –3, 0 y 4 en la ecuación x = y, se

obtiene las siguientes parejas ordenadas:

(–3,–3), (0, 0), (4, 4)

Basta con dos puntos de los obtenidos para trazar la gráfica, que será la

recta en donde los dos puntos se encuentran. La gráfica de la ecuación lineal

x = y es:

Álgebra superior

284

Como lo que se busca son los pares de números en el plano en los que

la variable y es menor que x, esto es y < x, esta región es la parte inferior de la

gráfica sin incluir a la recta misma:

Por lo tanto la región sombreada del plano es la que representa los puntos

que satisfacen la desigualdad y < x

Ejemplo 16

Tracemos la región en el plano correspondiente a la desigualdad:

y > 2x+6

Para obtener dos valores que nos sirvan para trazar la gráfica sustituyamos

en la ecuación:

y = 2x+6

los valores x = 0 y x = –3 y se obtienen las parejas ordenadas:

(0, 6) y (–3, 0)

Localizamos esas parejas ordenadas en el plano y trazamos la recta:

desigualdades

28�

Como se quiere la región en el plano donde y es mayor que 2 x+6, entonces

la región buscada queda arriba de la recta trazada:

Es decir, la región sombreada en la gráfica representa la solución de la

desigualdad y > 2x+6

7.5.2. Desigualdades cuadráticas con dos variables

¿Y qué tal si se tiene una desigualdad no lineal? ¿Se podrá trazar su

gráfica?

Para trazar las desigualdades no lineales se utiliza el mismo método.

Álgebra superior

28�

Ejemplo 17

Considera la desigualdad:

y2 > 3x+5

La ecuación de la curva limítrofe (curva que separa dos áreas de un plano) es:

y2 = 3x+5

Esta ecuación es de una parábola.

Recuerda que, por geometría, cuando se tiene una ecuación del tipo:

ax2 + by2 + cx + dy + e = 0

con e≠0, si:

• a y b =0, entonces se tiene una línea recta.

• a = 0 pero b ≠0, es una parábola horizontal

• b = 0 pero a ≠0, es una parábola vertical.

• a = b distintas de cero, es un círculo.

• a y b distintos de cero, del mismo signo y a ≠b, es una elipse.

• a y b distintos de cero y de signo contrario se trata de una hipérbola.

Para trazar la gráfica de una parábola se localizan cuatro puntos de ella,

al igual que en la recta, sustituyendo varios valores de una de las variables y

encontrando los valores de la segunda variable en la ecuación dada.

Se sustituyen valores en la variable cuyo exponente es 2, en este caso será

en y.

Así que, sea y = –3, y = –1, y = 0 y y = 2, se tienen las parejas

ordenadas:

(1.33,–3), (–1.333,–1), (1.67,0) y (–0.33, 2)

Ahora, cuando se traza la parábola que pasa por dichos puntos se tiene:

desigualdades

28�

Observemos que el plano se divide en dos áreas, los puntos que están

adentro de la parábola (a la derecha) y los que están fuera (a la izquierda).

Tomemos un punto que está a la derecha de la gráfica, por ejemplo el (4,0) y

veamos si cumple con la desigualdad.

y2 > 3x+5,

02 > 3 (4) + 5,

0 > 17

Debido a que no se satisface la desigualdad (0 no es mayor que 17),

entonces ese punto no se encuentra dentro de la región buscada, por lo tanto la

región será la que está fuera de la parábola:

La región solución a la desigualdad y2 > 3x+5 es la parte sombreada de la

gráfica anterior.

Álgebra superior

288

Ejemplo 18

Encontremos la región representada por la desigualdad:

x2 + y2 < 4

Debido al criterio indicado con anterioridad, la ecuación correspondiente

a la desigualdad:

x2 + y2 = 4

es un círculo. Ahora encontremos cuatro valores que satisfagan a la ecuación del

círculo. Los valores son:

(2, 0), (–2, 0), (0, –2) y (0, 2)

Trazamos los valores y el círculo que pasa por ellos.

Y para encontrar qué parte del plano indica la desigualdad:

x2 + y2 < 4

Tomamos el punto (0,0) del interior del círculo y lo sustituimos en la

desigualdad para probar si se cumple

02 + 02 = 0 < 4

Como sí se cumple, entonces la región que buscamos es donde se encuentra

el punto (0,0):

desigualdades

28�

Nótese que el círculo no se encuentra en la región buscada, debido a que

la desigualdad es un menor estricto.

Después del ejercicio 3 se presenta una serie de ejercicios resueltos y otra

de ejercicios propuestos con el propósito de que observes, en los ejercicios

resueltos, la manera como se plantean y solucionan y las pongas en práctica al

resolver los ejercicios propuestos.

Ejercicio 4

Encuentra las regiones representadas por:

a) x – y < 4

b) x2 – 3y2 ≥5c) x > 3y–4

d) y ≤2x–1

e) y2 + 3x2 >8

Álgebra superior

2�0

7.6. Sistemas de desigualdades

De la misma manera que se puede obtener la solución de un sistema de

ecuaciones, ¿se podrán encontrar los puntos del plano cartesiano que cumplen

con varias desigualdades a la vez? Sí, y el procedimiento es trazar las regiones

correspondientes a cada desigualdad y localizar su intersección. A este método se

le conoce como método gráfico para la solución de desigualdades.

Ejemplo 19

Encontremos la región en el plano que satisface las siguientes

desigualdades:

4x+3y–7 > 0

6x–y–5 > 0

Primero tenemos que localizar en el plano las rectas:

4x+3y–7 = 0

6x–y–5 = 0

Para la recta 4x+3y–7 = 0, busquemos dos puntos que se encuentran en

ella; estos puntos son: (1,1) y (4, –3).

Para la recta 6x–y–5 = 0 se tienen los puntos (1,1) y (2, 7).

desigualdades

2�1

Si señalamos las regiones que cada una de las desigualdades indica,

tenemos:

Donde la solución al sistema de desigualdades es la región donde se

intersectan las soluciones a cada desigualdad lineal (zona oscura).

Ejemplo 20

Encontremos la solución al sistema de desigualdades:

x–y–4 > 0

4x2–y+2 < 0

Primero se trazarán las curvas del sistema de ecuaciones:

x–y–4 = 0

4x2–y+2 = 0

La primera ecuación es una recta; para trazarla se tomarán los puntos:

(2, –2) y (4, 0)

La segunda ecuación es una parábola; para trazarla se tomarán en cuenta

los puntos:

(–1, 6), (0, –2) y (1, 6)

Y las gráficas de las dos ecuaciones son:

Álgebra superior

2�2

y las regiones que representa cada una de las desigualdades son:

Como las regiones no se intersectan, no existe solución al sistema de

desigualdades.

desigualdades

2�3

Ejercicio 5

1. Encuentra la región en el plano que satisface las siguientes

desigualdades:

a) 8 2 0

2 2 0

x y

x y

ì + <ïïíï + >ïî

b) 8 4 0

3 2 0

x y

x y

− − < + + >

c) 3 2 6 0

6 4 8 0

x y

x y

− + − >− + + >

Problemas resueltos

1. Encuentra la distancia que hay entre:

a) 5 y el origen.

b) –45 y el 4

Respuestas:

a) 0 5 5 5− = − =b) 4 ( 45) 4 45 49 49− − = + = =

2. Dar dos números, uno positivo y otro negativo, que al multiplicar sus

valores absolutos se obtenga el número 16.

Respuesta:

–8 y 2, ya que 8 2 (8)(2) 16− = =

Álgebra superior

2�4

3. Usando la desigualdad del triángulo, determina si se da la igualdad o la

desigualdad entre los números:

a) 57 y 93

b) –34 y 67

Respuestas:

a) |57+93| = |150| = 150 = 57+93 = |57|+|93|

b) |–34+67| = |33| = 33 < 101 = 34+67 = |–34|+|67|

4. Resuelve las desigualdades:

a) 3x–1 < 8

b) 4 3

166

x + >c) x2 + 6x + 8 ≥0

Respuestas:

a)

3 1 8

3 9

3

( ,3)

x

x

x

− <<<−∞

b) 4 3

166

x + > , de lo que: 4 3 4 3

16 ó 166 6

x x+ +− > <

desigualdades

2��

4 316

696 4 3

99 4

4 99

x

x

x

x

+− >− > +− >

< −< −

−∞ −

99 4

4 99

99

499

,4

x

x

+− >− > +− >

< −< −

−∞ −

Por el otro:

4 316

696 4 3

93 4

4 93

93

493

,4

x

x

x

x

x

+<< +<>

> ∞

El conjunto solución queda: 99 93

, ,4 4

−∞ − ∪ ∞

c)

2 6 8 0

( 4)( 2) 0

4 0 y 2 0 ò 4 0 y 2 0

x x

x x

x x x x

+ + ≥+ + ≥+ ≥ + ≥ + ≤ + ≤

Por un lado tenemos:

4 0 y 2 0

4 y 2

2 ó [ 2, )

x x

x x

x

+ ≥ + ≥≥ − ≥ −≥ − − ∞

ó

Por un lado tenemos:

Álgebra superior

2��

Por el otro:

4 0 y 2 0

4 y 2

4 o ( , 4]

x x

x x

x

+ ≤ + ≤≤ − ≤ −≤ − −∞ −

Por lo que la solución de todo la desigualdad es:( , 4] [ 2, )−∞ ∪ − ∞5. Encuentra la región del plano que es solución para cada una de las

siguientes desigualdades:

a) y2 < x2 +6

b) y ≥x2 –3

Respuestas:

a) Primero se traza la curva representada por la ecuación y2 = x2 + 6,

que es una hipérbola.

Para esto, encontremos algunos puntos de la gráfica sustituyendo los

valores de x:

–1,0,1 y obteniendo las parejas ordenadas:

(–1, 2.24), (–1, –2.24), (0, 2.45), (0, –2.45), (1, 2.24) y (1, –2.24), ya que

las raíces cuadradas tienen cada una dos soluciones.

Así, la gráfica de la ecuación es:

desigualdades

2��

Ahora, para saber si la región buscada es la interior o la exterior de la

hipérbola, sustituimos un punto del exterior, el (5,0), en la desigualdad y veamos

si se cumple: 02 < 52+6 = 31.

Como se cumple, entonces la región buscada es la exterior a la hipérbola:

Sin incluir a la curva.

b) Primero, encontramos la gráfica de la curva y = x2–3, para esto,

sustituimos los valores de x: –1, 0, 1, 2, en la ecuación y obtenemos

las parejas ordenadas:

(–1, –2), (0, –3), (1, –2) y (2, 1),

Ubicando las parejas ordenadas en el plano y dibujando la parábola que

pasa por ellas obtenemos:

Álgebra superior

2�8

Ahora, para investigar de qué región se trata, si de la región interior de la

parábola o la exterior, tomamos un punto interior (0, 0) y lo sustituimos en la

desigualdad 0 ≥02–3 =–3, como sí cumple la desigualdad, entonces la región

buscada es:

Nótese que por ser la desigualdad “mayor o igual”, la curva de la ecuación

limítrofe también está incluida en la región.

6. Obtén la región en el plano que satisface las siguientes desigualdades:

a) 2

2 2 0

1 0

x y

x y

+ − ≤ + − ≤b) 2

1

0

y

x y

≥ − + ≥

c) 2

66 0

44 0

x y

x y

+ + ≤ − − ≤

Respuestas:

a) Primero se trazan las curvas del siguiente sistema de ecuaciones:

2

2 2 0

1 0

x y

x y

+ − ≤ + − ≤

desigualdades

2��

Para trazar la primera curva, que es una recta, se toman los puntos (1,0)

y (0,2).

La segunda ecuación pertenece a una parábola, por lo tanto se toman tres

puntos (–1,0),(1,0) y (0,1).

Las gráficas correspondientes a estas dos ecuaciones son:

Ahora se marcan las regiones que representan a cada una de las

desigualdades:

Y se obtiene que la solución al sistema es la intersección de las dos regiones

que satisfacen cada una de las desigualdades.

Álgebra superior

300

b) Primero se trazan las curvas del siguiente sistema de ecuaciones:

y = –1

x2+y = 0

La curva de la primera ecuación es una recta horizontal al eje x que

intersecta al eje y en –1 y la segunda ecuaciones una parábola y para trazarla se

toman los siguientes puntos:

(0,0), (–1,–1) y (1,–1)

Las gráficas correspondientes son:

Y las regiones que representan cada una de las desigualdades:

La solución al sistema de ecuaciones queda representada por la intersección

de las regiones solución de cada desigualdad.

desigualdades

301

c) Primero se trazan las curvas del siguiente sistema de ecuaciones:

2

66 0

44 0

x y

x y

+ + ≤ − − ≤La primera ecuación corresponde a una recta y para trazarla tomaremos

los puntos (–4,0) y (0,–6).

Para trazar la curva de la segunda ecuación que es una parábola, se toman

los puntos (–2,0), (0,–4) y (2,0).

Por tanto, se tiene que las gráficas correspondientes son:

Y las regiones que representan cada una de las desigualdades son:

Álgebra superior

302

Las regiones que dan la solución a cada una de las desigualdades no se

intersectan, por lo tanto el sistema de desigualdades no tiene solución.

Problemas propuestos

1. Obtén la distancia entre:

a) –10 y el origen.

b) el 5 y el –5

2. ¿Está más lejos del 3 el –2 o el 5?

3. ¿Existen tres números que sus valores absolutos sean iguales a 3?

4. Resuelve las siguientes desigualdades:

a) 3x–1 > 4x+5b) 4 9 2x− ≤c)

2 20x x≤ −d) 3

2

x

x<−

e) 6 5 1

3 2

x

x

− >+5. Encuentra las regiones del plano representadas con las desigualdades:

a) y–4x ≥–1

b) y2–x < –3

c) x2 > 9–y2

desigualdades

303

6. Encuentra las regiones determinadas en el plano por los sistemas de

desigualdades:

a) 3 6

5 7

x y

x y

− >− − <b)

2 2

6

6

x y

x y

+ < + <

Autoevaluación

1. Ladistanciadel–3al5es:

a) 2

b) 5

c) 8

d) 3

2. Elvalorabsolutocumpleconquesiemprees:

a) Igual a cero.

b) Mayor o igual a cero.

c) Menor o igual a cero.

d) Menor o mayor a cero.

3.Delossiguientesenunciadosindicacuálesverdadero:

a) 5 5< −b) 5 5> −c) 5 5= −d) 5 5≠ −

Álgebra superior

304

4. La solución de la desigualdad 4x–24>0 es:

a) (6, ∞)

b) [6, ∞)

c) (6, ∞]

d) [6, ∞]

5. La solución de 2 4 6x + < es:

a) (–10, –1)

b) (–1, 5)

c) (1, 1)

d) (–5, 1)

6. La solución de 3 9 12x + ≥ es:

a) (–∞, –1]∪[7, ∞)

b) (–∞, –7]∪[1, ∞)

c) [–7, ∞,)∪(∞, 1]

d) [–1, ∞)∪(∞, 7]

7. La solución de 2–x2≤–x es:

a) [–∞, 1]∪[2, ∞]

b) (–∞, –2]∪[1, ∞)

c) [–∞, –2]∪[1, ∞]

d) (–∞, –1]∪[2, ∞)

8. En la desigualdad del triángulo, si los dos números son positivos,

entonces se cumple:

a) La igualdad.

b) La desigualdad.

c) El cero.

d) La suma de los números.

desigualdades

30�

9. De las siguientes desigualdades, una es lineal:

a) x3+2y >1

b) x–2y < 3

c) y2 < x+4

d) y2+x2 > 2

10. El conjunto solución de la desigualdad y ≤3x+4, es la región sombreada

del inciso:

a)

b)

Álgebra superior

30�

c)

d)

desigualdades

30�

11. La región del plano que representa al sistema de desigualdades

2

2 5

3

x y

x y

− < > − es:

a)

b)

c)

Álgebra superior

308

d)

Respuestas a los ejercicios

Ejercicio 1

1. a) [4,6]

b) (0,2]

c) [ 10, 5]− −d) ( 1,3)−e) [ 2, )− ∞f) ( , 3)−∞ −g) ( ,6]−∞h) (0, )∞

Ejercicio 2

1. a) 0 7 7 7− = =

b) 0 ( 9) 0 9 9 9− − = + = =c) 5 ( 6) 5 6 11 11− − = + = =d) 1 8 9 9− − = − =

desigualdades

30�

2. El 1 y el −2 lo cumplen, ya que:

1 1 3= < y 2 2 3− = <3. El −40 y el –100 lo cumplen, ya que:

40 40 30− = > y 100 100 30− = >4. El 4 y el –4 son los únicos que lo cumplen, ya que:

4 4 4− = =5. No, porque el valor absoluto de cualquier número real siempre es

positivo.

6. Sí, porque el valor absoluto de cualquier número real siempre es mayor

o igual a cero, y por ende, mayor que cualquier número negativo.

7.

a) |3 2 | |3(4) 2( 3)| |12 6| |6| 6x y+ = + − = − = =b) |3 | |2 | |3(4)| |2( 3)| |12| | 6| 12 6 18x y+ = + − = + − = + =c) | | | | |4| | 3| 4 3 12x y⋅ = ⋅ − = ⋅ =d) 4 3 (4)(3) 12x y⋅ = ⋅ − = =e) |x−y| = |4−(−3)| = |4+3| = |7| = 7

f) | | | | |4| | 3| 4 3 1x y− = − − = − =g)

4 4 4

3 3 3

x

y= = − =−

h) | | |4| 4

| | | 3| 3

x

y= =−

Álgebra superior

310

Ejercicio 3

a) 5 6 11x − >b) 3x+2 < 5x−8

10 2

2 10

5

(5, )

x

x

x

<>

>∞

c) 2 3

25

x + <2 3

2 25

10 2 3 10

13 2 7

13 7

2 213 7

,2 2

x

x

x

x

+− < <− < + <− < <− < < −

d)|3−11x|≥4

3 11 41 o 3 11 41x x− ≥ − ≤ −Por un lado tenemos que:

11 38

11 38

38

11

x

x

x

− ≥≤ −

≤ −

desigualdades

311

y por el otro:11 44

11 44

4

x

x

x

− ≤ −≥

≥por lo que el conjunto solución es:

38, [4, )

11 −∞ − ∪ ∞

e) 3x2 + 5x − 2 < 0(3 1)( 2) 0

3 1 0 y 2 0 o 3 1 0 2 0

x x

x x x y x

− + <− > + < − < + >

Por un lado se tiene que:

3 1 y 2

1y 2

3

x x

x x

> < −> < −

Y como no hay ningún número que sea a la vez mayor que 1

3 y menor que

–2, entonces la solución es vacía, ∅ .

Por otro lado se tiene que:

3 1 y 2

1y 2

31

2,3

x x

x x

< > −< > −

− de lo que la solución al ejercicio es

12,

3 −

f) |2x−7| ≤ 9

La desigualdad dada es equivalente a: 9 2 7 9x− ≤ − ≤sumando 7 en los tres lados de la desigualdad se tiene: 2 2 16x− ≤ ≤

Álgebra superior

312

Y dividiendo entre 2 en los tres lados: 1 8x− ≤ ≤Por lo que la solución es el intervalo cerrado [−1, 8]

g) 42

3

x

x

+ ≤−Caso 1

x − 3 > 0x >3

( )4

234 2 3

4 2 6

10

x

x

x x

x x

x

+ ≤−+ ≤ −+ ≤ −≤

La solución del caso es x >3 y 10 x≤ , es decir, [10, )∞Caso 2

x − 3 < 0x < 3

( )4

234 2 3

4 2 6

10

x

x

x x

x x

x

+ ≤−+ ≥ −+ ≥ −≥

La solución del caso es x <3 y 10 x≥ , es decir, ( ,3)−∞En resumen, la solución de la desigualdad

42

3

x

x

+ ≤− es ( ,3) [10, )−∞ ∪ ∞h)

42

3

x

x

+ ≤−La desigualdad es equivalente a:

42 2

3

x

x

+− ≤ ≤−Ahora, multiplicamos por x−3 y tomamos dos casos: cuando x−3 es

positivo o negativo.

desigualdades

313

Caso 1

x−3 >0, o bien en forma equivalente x >3, entonces se tiene:

−2(x−3) ≥ x+4 ≥ 2(x−3)

−2x+6 ≥ x+4 ≥ 2x−6

Restando 4 en los tres miembros de la ecuación:

−2x +2 ≥ x≥ 2x−10

Resolviendo cada lado por separado:

−2x+2 ≤ x x ≤ 2x−10

2 ≤ 3x 10 ≤ x

2/3 ≤ x

Por lo tanto, si x > 3, entonces la desigualdad original se cumple si y

sólo si x ≥ 2/3 y x ≥ 10. Como las tres desigualdades deben ser satisfechas por

los valores de x, entonces, se tiene como solución, para el caso 1, el intervalo

[10, ∞).

Caso 2

x−3 < 0, o bien x < 3. Como el factor que multiplica a los tres lados

de la desigualdad es negativo (x−3 < 0), entonces se invierten los signos de la

desigualdad:

−2(x−3) ≤ x+4 ≤ 2(x−3)

−2x−6 ≤ x+4 ≤ 2x−6

Restando 4 en los tres miembros de la ecuación:

−2x+2 ≤ x ≤ 2x−10

Resolviendo cada lado por separado:

−2x+2 ≥ x x ≥ 2x−10

2 ≥ 3x 10 ≥ x

2/3 ≥ x

Por lo tanto, si se tienen que cumplir las tres desigualdades x <3, x ≤ 2/3

y x ≤ 10, simultáneamente, se tiene como conjunto solución, para el caso 2, el

intervalo (−∞,2/3]

El conjunto solución de toda la desigualdad es la unión de los conjuntos

solución de los casos 1 y 2, es decir (−∞,2/3] ∪[10,∞)

i) 5x2 −4x − 1 ≥ 0

Álgebra superior

314

(5 1)( 1) 0

5 1 0 y 1 0 o 5 1 0 y 1 0

x x

x x x x

+ − ≥+ ≥ − ≥ + ≤ − ≤

Por un lado se tiene que:

5 1 0 y 1 0

5 1 y 1

1y 1

5

x x

x x

x x

+ ≥ − ≥≥ − ≥≥ − ≥

Y como x debe ser mayor o igual que 1

5− y mayor o igual que 1, entonces

la solución es [1, )∞Por otro lado tenemos que 5 1 0 y 1 0x x+ ≤ − ≤

5 1 0 y 1 0

5 1 y 1

1y 1

51

,5

x x

x x

x x

+ ≤ − ≤≤ − ≤≤ − ≤

−∞ − De lo que la solución al ejercicio es

1, [1, )

5 −∞ − ∪ ∞

Ejercicio 4

a) 4x y− <Corresponde a la gráfica de la recta 4x y− = , por tanto la región es:

desigualdades

31�

b) 2 23 5x y− ≥Corresponde a la gráfica de una hipérbola 2 23 5x y− = , y por lo tanto la

región buscada es:

c) 3 4x y> −Corresponde a la recta

4

3 3

xy+ = , por lo tanto la región buscada es:

d) y≤ 2x−1

Primero encontramos la ecuación de la curva que va a separar las dos regiones, para esto, la desigualdad se convierte en la igualdad:

y=2x−1

Álgebra superior

31�

Por ser una desigualdad lineal, basta con encontrar 2 puntos y luego trazar

la recta que los une. Para esto, hacemos x=0 y x=1, en la ecuación anterior y

obtenemos los pares ordenados:

(0,−1) y (1,1)

Y trazando la línea recta que los une se tiene:

Como la desigualdad es “y menor o igual”, entonces la región buscada es

la parte inferior de la recta pero incluyendo a la recta:

e) y2+3x2 > 8

La ecuación de la gráfica que limitará a las dos zonas en el plano es:

y2+3x2=8

que es la ecuación de una elipse. Para trazar su gráfica encontraremos 4 pares

ordenados y luego trazamos la elipse que pasa por dichos puntos. Para esto,

sustituimos en la ecuación los valores de x: –1, 0, 1 y 1.5. Así se tienen las parejas

ordenadas:

(–1, 2.24), (0,2.83), (1, 2.24) y (1.5,1.12)

desigualdades

31�

Trazamos la elipse que los une:

Para saber si es la región interior o exterior a la elipse, tomemos el punto interior de la elipse, (0, 0) y veamos si satisface la desigualdad. Como:

02+302=0<8

No satisface la desigualdad del problema, entonces la región buscada es la exterior de la elipse:

Donde la región buscada aparece sombreada.Cabe aclarar que si la desigualdad es > o <, la linea de la curva debe ser

punteada; si la desigualdad es o ≥ ≤ , la línea debe ser continua.

Álgebra superior

318

Ejercicio 5

1. a) Primero localizamos en el plano las rectas:

Para la recta 8x+2y=0 se tienen los puntos (0, 0) y (1, –4) Para la recta 2x+2y+4=0 se tienen los puntos (−1, −1) y (0, −2) de lo que

las rectas son:

Ahora señalamos las regiones que cada una de las desigualdades indican.

Donde la solución al sistema de desigualdades es la región en la cual se

intersectan las soluciones a cada desigualdad lineal.

b) Primero localizamos en el plano las rectas:

x – 8y – 4 = 0

x + 3y +2 = 0

desigualdades

31�

Para trazar la primera recta se toman los puntos:

(4,0) y (0, –1/2)

Para la segunda se tienen los puntos

(–2, 0)y (0, –2/3)

De lo que las rectas son:

Señalando las regiones que cada una de las desigualdades indican se

obtiene:

Donde la solución al sistema de desigualdades es la región en la cual se

intersectan las regiones solución de cada desigualdad lineal.

c) Primero localizamos en el plano las rectas:

–3x+2y–6=0

–6x+4y+8=0

Para ello tomamos los puntos:

(–2, 0) y (0, 3)

Álgebra superior

320

de la primera recta y para la segunda recta se toman los puntos:

(4/3, 0) y (0, –2)

de lo que las rectas son:

Ahora señalando las regiones que indica cada desigualdad se obtiene:

Por lo que la solución al sistema es la intersección de las regiones dadas por cada una de las desigualdades.

Respuestas a los problemas propuestos

1. a) 10b) 10

2. El –2 está mas lejos.

3. No.

desigualdades

321

4. a) (−∞,−6)

b) 2 2

,9 3

c) [−5,4]d) (−∞,3/2) ∪ (3,∞)e) (-∞,-3) ∪ (-3,9/11) ∪ (5/3,∞)

5. a)

b)

Álgebra superior

322

c)

6. a)

b)

desigualdades

323

Respuestas a la autoevaluación

1. c)

2. b)

3. c)

4. a)

5. d)

6. b)

7. d)

8. a)

9. b)

10. b)

11. a)