201104_MA0103_CIU_Guia_sem01

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Introducción. El plano, puntos y rectas.

Estas notas, elaboradas para el curso Matemática III del Ciclode Iniciación Universitaria (CIU) de la Universidad Simón Bolívar,están basadas en el material de apoyo previamente producido por elprofesor Enrique Planchart para el mismo programa. Muchos de losejercicios fueron tomados de las guías desarrolladas por la profesoraAmérica Vera. Agradecemos a ambos por su valioso aporte.

Vamos a desarrollar algunos temas básicos de la geometría plana.Aceptaremos como ciertos postulados que parecen obvios y a partirde ellos demostraremos otros hechos fundamentales. El objetivo esque el estudiante aprenda ideas centrales de la geometría plana ysea capaz de aplicarlas en problemas sencillos, tanto teóricos comoprácticos. Esto incluye familiarizarse con el procedimiento de demos-tración de verdades matemáticas y ser capaz de entender y realizardemostraciones sencillas por su cuenta.

Nuestro sitio de trabajo será el plano que es un conjunto de infini-tos puntos donde encontraremos los objetos geométricos a estudiar.Un punto es un elemento del plano que no tiene dimensión ni grosor.

A los puntos los denotaremos con letras mayúsculas A, B, C, . . ., etc.Una recta es un subconjunto del plano que tiene infinitos puntos. Alas rectas las denotaremos con letras minúsculas a, b, c, . . ., etc.

En lo que sigue, a través de estas notas, enunciaremos algunospostulados que aceptaremos como ciertos acerca de diversos obje-tos geométricos. Cada uno de ellos será etiquetado con un númeroromano.

I. Dos puntos distintos A y B definen una recta única que los contie-ne. Esta recta se denota

←→

AB.

Figura 1: Una recta por A y B.

Si un punto A está en una recta a, A ∈ a, diremos que la recta pasa

por A. Entonces la recta definida por A y B es la única recta que pasapor A y B. Si un punto C no está en una recta a, C /∈ a, decimos quela recta no pasa por C o que C es exterior a la recta.

II. Una recta se puede ordenar linealmente, de manera que no tieneprimer elemento ni último, ni tampoco tiene elementos consecuti-vos.

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matemática iii - ciu geometría 2

Que se pueda ordenar quiere decir que dados dos puntos cuales-quiera A y B de una recta, podemos decir si A es anterior a B o siB es anterior a A. Que no existan puntos consecutivos significa queentre dos puntos cualesquiera A y B de la recta existen infinitos pun-tos. Esos puntos comprendidos entre otros dos tienen un significado

importante que definimos a continuación.Definición. Dados dos puntos A y B en el plano, el segmento AB es elconjunto de puntos X de la recta

←→

AB que están entre A y B, junto con losextremos A y B.

Figura 2: El segmento ABEn cada recta podemos tener dos ordenaciones opuestas, en una

de ellas A es anterior a B, y en la otra B es anterior a A (también sepodría decir A es posterior a B).

Igualmente podemos asignar una ordenación a un segmento. Porejemplo, si ordenamos el segmento AB de manera que A sea anteriora B, lo indicamos escribiendo

−→AB y lo llamamos el vector

−→AB. En este

caso el punto A es el origen del vector

−→

AB. Por supuesto que tambiénpodemos considerar la ordenación opuesta, con ello obtendríamos unvector

−→BA.

Figura 3: Los vectores−→

AB y−→

BA

Note que la ordenación de la recta es diferente a la de los númerosnaturales N, puesto que dicho conjunto tiene un primer elemento,el número 1, mientras que en la recta, cualquier punto tiene infinitosque son anteriores a él e infinitos que son posteriores. Esta últimapropiedad de la recta la comparten los números enteros Z, sin em-

bargo el orden de los enteros también difiere del de la recta. En elconjunto de los enteros, cada elemento n tiene un elemento con-secutivo que es n + 1. Por otro lado, la ordenación que poseen los

números reales R sí es equivalente a la de la recta. No es de extrañarentonces que en el curso de Matemática I del CIU se comience por elestudio de dichos números en la recta real.

III. Una recta a divide al plano en dos regiones disjuntas llamadassemiplanos, tales que el plano es la unión de los dos semiplanos yla recta a que no tiene intersección con ninguno de los dos semi-planos.

Figura 4: El segmento YZ corta a larecta, el segmento XY no la corta

Se cumple también la siguiente propiedad: Si X y Y son puntosde un mismo semiplano, el segmento XY no corta a la recta a(XY ∩ a = ∅). Por otro lado, si los puntos Y y Z están en distin-

tos semiplanos, entonces el segmento YZ corta a la recta a en unpunto P.

En este punto enunciamos y demostramos nuestro primer teorema.

Teorema. Dos rectas distintas a y b que tienen intersección no vacía(a∩ b = ∅) se cortan en un único punto.

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La hipótesis del teorema es lo que se supone cierto, en este casoque tenemos dos rectas distintas a y b tales que a ∩ b = ∅. La tesisdel teorema es lo que hay que demostrar, en este caso que las rectasse cortan en un único punto. La demostración o prueba es el procesológico deductivo que nos permite llegar de las hipótesis a la tesis,

usando hechos que conocemos como ciertos, en nuestro caso lospostulados I y II . A continuación la demostración.

Demostración. Si a ∩ b = ∅, existe un punto P ∈ a ∩ b. Supongamosque la tesis es falsa, es decir que existe otro punto Q en la intersecciónde las dos rectas. Entonces como P y Q son distintos, por el postula-do I , definen una recta única

←→

PQ, y como ambos están en a se tieneque←→

PQ = a. Pero ambos puntos también están en b de lo cual sededuce que

←→

PQ = b. Pero esto es imposible porque a y b, por hipó-tesis, son rectas distintas. Entonces nuestra suposición de que la tesisera falsa es incorrecta y concluimos que la intersección consiste de unsolo punto.

Este estilo de demostración se conoce como el método de reducciónal absurdo y consiste en suponer que la tesis es falsa y, mediante unacadena de deducciones lógicas, llegar a una contradicción. Es unprocedimiento frecuentemente usado en matemáticas.

Para el caso de que las rectas no tengan puntos en común se tienela siguiente definición.

Definición. Dos rectas son paralelas si no tienen ningún punto en comúno si son iguales.

IV. Dada una recta d y un punto P exterior a dicha recta, existe unaúnica recta r que pasa por P y es paralela a d. Esto es, P ∈ r yr∩ d = ∅.

En lenguaje más sencillo, este postulado se puede enunciar diciendo"por un punto exterior a una recta pasa una única paralela a ella".

Este es el famoso Postulado de Euclides y tiene una gran impor-tancia histórica. Euclides en sus Elementos, publicados en el siglo IVantes de Cristo, desarrolló una versión axiomática de la Geometríae incluyó esta proposición como su quinto axioma. Posteriormente,muchos matemáticos creyeron que este axioma se podría demostrara partir de los demás, pero nunca lograron hacerlo. En el siglo XIX,más de dos mil años después de Euclides, se inventaron geometríasque satisfacen todos los axiomas excepto el quinto. Esto demostróque dicho postulado no es consecuencia de los demás y no puededemostrarse como teorema. En honor a Euclides, la geometría queincluye el quinto axioma se llama Geometría Euclideana, mientras

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que a las otras se les denomina Geometrías no Euclideanas. El des-cubrimiento de estas otras geometrías fue un gran acontecimientocientífico en el siglo XIX y contribuyó al desarrollo de la Matemáticay la Lógica.

Definición. Sea a una recta y A un punto de dicha recta. Si tomamos

todos los puntos en la recta que son posteriores a A, junto con el punto A,obtenemos una semirrecta (rayo) con extremoA. Si tomamos todos los puntos en la recta que son anteriores a A, junto con el punto A, obtenemosotra semirrecta con extremo A que se dice opuesta a la primera.

Figura 5: Las dos semirrectas a y a

En la figura de la derecha vemos las dos semirrectas opuestas queparten de A.

Ejercicios

1. ¿Es posible dibujar cuatro rectas que se corten en un punto? ¿Es

posible dibujar cuatro rectas que se corten en dos, tres, cuatro,cinco, seis o más puntos? Haga un dibujo que ilustre cada caso.

2. ¿Cuántas rectas pueden determinar seis puntos, si hay una rec-ta que pasa por cada par de puntos? Compruebe si seis puntospueden colocarse de tal manera que determinen seis rectas. In-tente colocar seis puntos para determinar siete, ocho, nueve hastaquince rectas.

3. Sean una recta r y una semirrecta a con origen A y tal que A ∈ r

y a ⊂ r. Demuestre que todos los puntos de a , excepto A, estánel mismo semiplano de r.

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Ángulos.

Definición. Un ángulo es la unión de dos semirrectas distintas a y b quetienen el mismo extremo V . Dicho ángulo se denota por ∠a b

V es el vértice del ángulo y a y b son sus lados.

Figura 6: Ángulo ∠a b

Es fácil darse cuenta de que dos rectas a y b que se cortan en unpunto V , determinan cuatro ángulos de vertice V .

Figura 7: Los cuatro ángulos determina-dos por las rectas a y b

Los ángulos ∠a b y ∠a b se dicen opuestos por el vértice lo mis-mo que ∠b a y ∠b a .

Si las dos semirrectas que determinan un ángulo son opuestas, elángulo se llama llano.

Figura 8: El ángulo ∠BAC

Observación. Dados tres puntos A, B y C no colineales, las semirrectas−→AB y

−→AC generan un ángulo que denotaremos por ∠BAC y llamare-

mos el ángulo BAC

Definición. Dados tres puntos no colineales A, B y C, el triángulo ABCes la unión de los segmentos AB, BC y CA.

Figura 9: Triángulo ABC

El siguiente postulado es de gran importancia porque nos permitemedir distancias, uno de los objetivos originales de la geometría en eldesarrollo del quehacer humano.

V. En el plano se tiene definida una función distancia. Esto es, pa-ra cada par de puntos A y B existe un número real no negativo

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que se llama la distancia entre A y B y se denota por d (A,B). Ladistancia cumple las siguientes propiedades:

1. Para cualquier par de puntos A y B en el plano, d (A,B) ≥ 0 yd (A,B) = 0 si y sólo si A = B.

2. d (A,B) = d (B,A), para todos los puntos A y B en el plano.

3. Desigualdad triangular. Si A, B y C son tres puntos cualesquie-ra del plano, entonces

d (A,B) ≤ d (A,C) +d (C,B)

y d (A,B) = d (A,C) + d (C,B) si y sólo si C es un punto delsegmento AB.

Definición. Dado un segmento AB, la medida de ese segmento se denota por |AB| y se define como

|AB| = d (A,B)

Figura 10: Desigualdad triangular

La propiedad V.3 recibe el nombre de desigualdad triangular porqueen el caso de que los tres puntos A, B y C no sean colineales, se pue-de interpretar como que la medida o longitud de uno de los ladossiempre es menor o igual que la suma de las medidas de los otrosdos lados.

Si los puntos son colineales y, por ejemplo, C está en el segmen-to AB, entonces se puede ver en la figura que las medidas de lossegmentos AC y CB suman la medida total del segmento. Esto es,|AB| = |AC| + |CB|.

Figura 11: Caso degeneradoDefinición. Dos segmentos AB y CD se dicen congruentes (o iguales) sitienen la misma medida, es decir, si |AB| = |CD|. Se escribe AB ≡ CD (elsegmento AB es congruente con el segmento CD).

Usando la noción de congruencia podemos definir la suma y restade segmentos.

Definición. Dados dos segmentos AB y CD, se llama segmento sumaal segmento que se obtiene al yuxtaponer un segmento C D , congruente aCD, al segmento A B , congruente a AB, obteniéndose el segmento sumaA D . De manera similar se define el segmento resta.

Suma

Resta

Figura 12: Segmentos suma y resta

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Mediante la noción de distancia podemos definir un objeto impor-tante en la geometría como es la circunferencia.

Definición. Dado un punto C del plano y un número real positivo r, lacircunferencia de centro C y radio r es el conjunto de puntos X que están adistancia r de C, es decir, {X | d (C,X) = r}.

Figura 13: Circunferencia de centro C yradio r

El diámetro de una circunferencia es la longitud de un segmentode recta que pasa por el centro de la circunferencia y cuyos extremosestán en la circunferencia. Es claro que el diámetro es el doble delradio de la circunferencia.

Por medio de la circunferencia podemos medir ángulos. Para ellonecesitamos la longitud de la circunferencia. Desde la antigüedadse conoce que la longitud de una circunferencia, también llamada perímetro P, es proporcional al diámetro D. La constante de propor-cionalidad es un número irracional muy importante que ha causadoel interés de la humanidad por siglos, el famoso número π cuyos

primeros seis dígitos son 3, 14159. En resumen

P = πD = 2πr

o equivalentemente

π =P

D=P

2r

De manera que la longitud de una circunferencia de radio r es 2πr.Consideremos ahora tres puntos no colineales A, B y C, tales que

|AC| = |BC| = r, la circunferencia de centro en C y radio r, y el ángulo∠ACB, como se muestra en la figura de la derecha.

Figura 14: Arco de circunferencia

El trozo de circunferencia comprendido entre A y B es un arco de

circunferencia, denotado por

AB. La longitud del arco, denotada por, depende del ángulo y también del radio r. Si el radio es mayor, ma-yor será la longitud del arco. Como la longitud de la circunferencia esproporcional al radio, las fracciones de su longitud también lo serán.

Si, por ejemplo, el arco

AB es 1/5 de una circunferencia de radio r,

entonces el arco

A B es también 1/5 de la circunferencia de radio r

(

AB)

r=2π

5=(

A B )

r

Esto nos permite definir la medida de un ángulo.

Definición. Si un ángulo tiene su vértice en el centro de una circunferenciade radio 1, la medida de dicho ángulo se define como la longitud de arco decírcunferencia comprendida entre los rayos del ángulo.

Los comentarios precedentes sobre proporcionalidad y la defini-ción anterior implican que la medida del ángulo ∠ACB cumple con

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la relación(

AB)

r= medida de∠ACB

(suponiendo que r = 1).La unidad de medida angular es el radián y se tiene que 1 radián

es la medida del ángulo ∠ACB cuando (

AB)r

= 1, es decir, cuando

(

AB) = r.

Figura 15: Radián

Asignamos entonces a un ángulo cualquiera ∠ACB una medida deα radianes, donde

α =(

AB)

r

Observe que con estas condiciones el ángulo que recorre la circun-ferencia completa mide 2π radianes. Hay otras medidas de ángulosque conviene destacar, el ángulo llano ya mencionado, por recorrerla mitad de una circunferencia tiene una medida de π radianes. Un

ángulo que mide la mitad del ángulo llano, llamado ángulo recto, esde π /2 radianes.

Otra manera de medir los ángulos es dividir la circunferencia en360 partes iguales llamadas grados. Cada grado se divide en 60 minu-tos y cada minuto, a su vez, en 60 segundos. Los grados se representanañadiendo al número un pequeño círculo, por ejemplo 50 grados seescribe 50◦. Los minutos se representan añadiendo un apóstrofe y lossegundos añadiendo dos, por ejemplo 35◦23 45" significa 35 grados,23 minutos y 45 segundos.

De acuerdo a esta nueva unidad, el ángulo llano mide 180◦, por lotanto 1◦ equivale a π /180 radianes y por proporcionalidad

α◦ = απ

180radianes

y equivalentemente

w radianes =180w

π grados

Con estas dos fórmulas podemos convertir de grados a radianes yviceversa. Por ejemplo

1 radian =180

π grados ≈ 57◦18

y1◦ =

π

180radianes = 0,0175 radianes

Observe que con esta forma de medir ángulos, el ángulo rectomide 90◦

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Definición. Dos rectas que se cortan son perpendiculares si los ángulosadyacentes que se forman son iguales. En este caso dichos ángulos son rectos(miden π /2 o 90◦).

Note que en este caso los cuatro ángulos que se forman son rectos.

Definición. Dados dos puntos A y B, la mediatriz del segmento AB es unarecta perpendicular a←→

AB que pasa por el punto medio del segmento.

mediatriz

Figura 16: Mediatriz

Note que los puntos de la mediatriz de un segmento equidistan delos extremos del segmento.

Usando la mediatriz podemos indicar cómo trazar perpendicularesa otra recta por un punto dado. El siguiente teorema así lo garantiza.

Teorema. Dado un punto P cualquiera y una recta r, existe una única recta perpendicular a r que pasa por el punto P.

Demostración. Hay dos casos, según P esté en la recta r o no.

Figura 17: Si P está en r

Si P está en r, tomamos dos segmentos de la misma longitud acada lado de P, es decir, |PA| = |PB|. Entonces la mediatriz de AB esla recta r perpendicular a r por el punto P.

Figura 18: Si P no está en r

Si P /∈ r, trazamos una circunferencia de centro en P que corte a ren dos puntos, A y B. Entonces como el radio de dicha circunferenciaes |PA| = |PB|, el punto P está en la mediatriz del segmento AB. Estamediatriz es la perpendicular a r que pasa por P.

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Dado un ángulo de vertice V y lados dos semirrectas a y b ,siempre consideramos los ángulos como positivos si son medidosen sentido contrario a las agujas del reloj y lo indicamos listandoprimero la semirrecta desde la cual se mide el ángulo.

Figura 19: Ángulo ∠a b

Así, el ángulo∠a b es como se muestra en la figura.

Dados dos ángulos ∠a b con vértice V y ∠c d con vértice O, lasuma de los dos ángulos se construye como sigue: se hace coincidir elvértice O con el vértice V y la semirrecta c con la b . El ángulo sumaserá entonces ∠a d con vértice V (u O).

Figura 20: Suma de los ángulos ∠a b y∠c d

Para restar ángulos basta sumar el negativo del que estamos restan-do. Por ejemplo, para restar al ángulo ∠a b con vértice V el ángulo∠c d con vértice O, basta sumarle el ángulo ∠d c con vértice O,es decir un ángulo recorrido en el sentido de las agujas del reloj. Elresultado es el ángulo ∠a d con vértice V .

Figura 21: Resta de los ángulos ∠a b y∠c d

Definición. Dos ángulos son complementarios si sus medidas suman 90◦

(π /2 radianes). Dos ángulos son suplementarios si sus medidas suman180◦(π radianes).

Definición. Dos ángulos son congruentes (iguales) si tienen la mismamedida.

Definición. La bisectriz de un ángulo ∠ab y vértice V es la recta que pasa

por V y divide a ∠ab en dos ángulos iguales.

Figura 22: Bisectriz de ∠ab

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Observación. Es común en el lenguaje matemático identificar el ángu-lo con su medida. Designamos ángulos con letras que corresponden asus medidas.

Figura 23: Ángulos

Recordemos que dos rectas que se cortan determinan cuatro ángu-los (ver arriba). Las medidas de esos ángulos tienen una relación muyestrecha.

Teorema. Para dos rectas que se cortan como muestra la figura, los ángulosopuestos por el vértice son iguales entre sí. Es decir α = δ y β = γ

Figura 24: Ángulos opuestos por elvértice

Demostración. Como α y β son suplementarios, entonces α+ β = π .Por otro lado β y δ también son suplementarios así que β + δ = π .Entonces α + β = β + δ, de donde α = δ. De manera análoga se

demuestra que β = γ.

El siguiente postulado establece una relación sumamente útil entrelos angulos correspondientes de rectas paralelas cortadas por unasecante.

VI. Si dos rectas paralelas son cortadas por una recta secante, losángulos correspondientes son iguales. Es decir, α = α , β = β , γ = γ y δ = δ .

Figura 25: Ángulos correspondientes

Observación. En realidad el postulado anterior se puede enunciar ydemostrar como un teorema, pero requiere de varias definiciones

y también de otros resultados que están fuera del enfoque de estasnotas y del tiempo disponible en este curso. Así que lo aceptamoscomo un postulado y lo damos por cierto.

Teorema. Dos rectas paralelas cortadas por una recta secante formanángulos alternos internos iguales. Es decir, γ = β y δ = α .

Demostración. Por el postulado VI , γ = γ y δ = δ . Pero γ es opuestopor el vértice a β, es decir γ = β, lo que implica que β = γ . Por otrolado δ es opuesto por el vértice a α , o sea δ = α , lo que implicaque δ = α .

De manera similar se puede demostrar el siguiente. Se sugiere hacer-

lo como ejercicio.

Corolario. Dos rectas paralelas cortadas por una recta secante formanángulos alternos externos iguales. Es decir, γ = β y δ = α.

Una consecuencia importante de estos hechos es el siguiente teore-ma:

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Teorema. La suma de los ángulos internos de un triángulo es π (180◦). Esdecir, α+ γ+β = π (180◦).

Figura 26: Suma de ángulos internos deun triángulo

Demostración. Por el punto C trazamos una recta paralela al segmen-to AB. Se observa claramente que φ y α son iguales por ser alternosinternos. Lo mismo sucede con β y λ. Ahora, como los ángulos φ, γ yλ constituyen un ángulo llano entonces

φ+ γ+ λ = π

que sutituyendo según lo antes dicho queda

α+ γ+β = π

Ejercicios

1. Utilice el postulado V para probar que si A D ≡ AB + CD,entonces |A D | = |AB| + |CD|. También que si A D ≡ AB−CD,entonces |A D | = |AB| − |CD|.

2. Demuestre que la suma de segmentos es conmutativa y asociativa.

3. Demuestre que para segmentos la congruencia es un relación deequivalencia, es decir, cumple las propiedades:

a) reflexiva:AB ≡ AB

b) simétrica: si AB ≡ CD entonces CD ≡ AB

c) y transitiva: siAB ≡ CD y CD ≡ EF, entonces AB ≡ EF

4. Demuestre que para ángulos la congruencia es un relación deequivalencia, es decir, es reflexiva, simétrica y transitiva.

5. Sean A y B dos puntos del plano y sean D, E y F tres puntos co-lineales del plano. Demuestre que si

←→

AB contiene sólo uno de lospuntos D, E o F, entonces cada una de las rectas

←→

DE,←→

DF y←→

EF cor-tan a

←→

AB en a lo sumo un solo punto.

6. Diga si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justi-fique sus respuestas.

a) Dados dos puntos distintos P y Q del plano, el lugar geomé-trico de los puntos X del plano tales que d(P,Q) = d(P,X) +

d(X,Q) es la recta←→

PQ.

b) Si d(A,C) = d(A,B) + d(B,C), entonces el segmento AC sepuede obtener como la suma de los segmentos AB y BC.

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c) Sean P, Q y R tres puntos colineales del plano. Si P es anteriora Q y R es posterior a Q en la recta que determinan, entonces lacircunferencia de centro en P y radio |PR| es un subconjunto dela circunferencia de centro en P y radio |PQ|.

d) Si dos rectas r y r que se cortan forman un ángulo recto, en-

tonces r y r forman cuaro ángulos rectos.e) Si B1 y C1 son puntos distintos de A que están en AB y AC,

respectivamente, entonces ∠BAC = ∠B1AC1.

7. Dados una recta r, un punto O ∈ r y un punto unidad U, seax la abcisa del punto X ∈ r. A cada segmento AB del plano lecorresponde un segmento OY congruente con él, OY ≡ AB, en-tonces y = |AB| = |OY |. Probar que la suma y resta de segmentoscorresponde a la suma y resta de abcisas.

8. Dadas las siguientes medidas de ángulos en grados, hallar su

equivalente en radianes:a) 30◦ c) 45◦ e) 120◦ g) 270◦

b) 60◦ d) 90◦ f) 180◦ h) 390◦

9. Dadas las siguientes medidas de ángulos en radianes, hallar suequivalente en grados:

a) 1 radián c) π /6 radianes e) 2 radianesb) 3π /2 radianes d) π /12 radianes f) 1/2 radián

10. Sea ABC un triángulo isósceles (|AB| = |AC|). Sean α, β y γ los

ángulos correspondientes a A, B y C, respectivamente. Si α = 30◦

,¿cuánto mide β?

11. Responda:

a) ¿Qué ángulo es igual a su complementario?

b) ¿Qué ángulo es igual a su suplementario?

12. Un triángulo rectángulo tiene los dos catetos iguales. ¿Qué puededecirse de los ángulos agudos correspondientes?

13. Sabemos que la longitud de un lado de un triángulo es menor

que la suma de las de los otros dos. ¿Ocurre igual con los ángulos?¿Qué relación los liga?

14. Dentro de un rectángulo se dibuja un triángulo como el de lafigura. Calcule la suma de los ángulos α, β, γ, δ, φ y θ.

Figura 27: Figura ejercicio 10

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