2013 iii clase_05
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La más fundamental
de las ciencias
Cifras significativas e incertidumbre – Clase 05
Nuestras mediciones siempre estarán afectadas por incertidumbres de medición, que provienen de las limitaciones impuestas por: • La precisión y exactitud de los instrumentos de medida
• La interacción del método de medición con el mesurando
• La definición del objeto a medir
• La influencia del observador u observadores que realizan la
medición
Cifras significativas e incertidumbre
2007 - Hugo Vizcarra
Lo que procuramos en toda medición es conocer las cotas o límites probabilísticos de estas incertidumbres.
𝑥 − ∆𝑥 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥 + ∆𝑥 Buscamos entonces un intervalo donde, con cierta probabilidad, podamos decir que se encuentra el mejor valor de la cantidad física x. Este mejor valor 𝑥 es el valor más representativo de nuestra medición y al semi-ancho ∆𝑥 lo denominamos incertidumbre absoluta. Una forma de expresar la medida es:
𝑥 = 𝑥 ± ∆𝑥
Cifras significativas e incertidumbre
2007 - Hugo Vizcarra
2010 - Hugo Vizcarra 4
También es posible expresar la incertidumbre en relación al valor más probable, a esto se le conoce como incertidumbre relativa porcentual y se expresa en %.
𝜀% =∆𝑥
𝑥 ∙ 100%
Ejemplos:
𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 = 12,5 𝑐𝑚 ± 0,5 𝑐𝑚 = 12,5 𝑐𝑚 ± 4%
Masa = 50 𝑔 ± 1 𝑔 = 50 𝑔 ± 2%
Cifras significativas e incertidumbre
2010 - Hugo Vizcarra 5
La precisión de un instrumento o de un método de medición esta asociada a su sensibilidad (menor variación que puede ser detectada con él) .
Un vaso se llena con agua 5 veces y en cada vez se mide su masa con el mismo instrumento: 𝑚1 = 125, 5 𝑔 ± 0,5 𝑔 𝑚2 = 125, 4 𝑔 ± 0,5 𝑔 𝑚3 = 125, 5 𝑔 ± 0,5 𝑔 𝑚4 = 125, 4 𝑔 ± 0,5 𝑔 𝑚5 = 125, 6 𝑔 ± 0,5 𝑔
Se puede decir que el método y/o instrumento es preciso.
Precisión y exactitud
Poca precisión
2010 - Hugo Vizcarra 6
La exactitud de un instrumento o de un método de medición esta asociada a una buena calibración del mismo. Respecto del ejemplo anterior, si un laboratorio de mucho prestigio nos indica que el vaso con agua mencionado tiene una masa 𝑚 = 120, 5 𝑔 ± 0,5 𝑔.
Entonces llegaríamos a la conclusión de que nuestra balanza o método de medición tiene una calibración deficiente. Por lo tanto nuestras medidas son precisas pero poco exactas.
Exactitud
Mucha precisión pero poca exactitud
Pre
cisi
ón
Exactitud
Precisión y exactitud
2007 - Hugo Vizcarra
Las fuentes de incertidumbre tienen diversos orígenes y pueden clasificarse del siguiente modo: I. Incertidumbre introducida por el instrumento
• Incertidumbre de apreciación ap
La incertidumbre estará asociada con la mínima variación que podamos resolver con algún método de medición.
• Incertidumbre de exactitud exac
Representa la incertidumbre absoluta con la que el instrumento en cuestión a ha sido calibrado frente a patrones confiables.
Fuentes de incertidumbre
2007 - Hugo Vizcarra
II. Incertidumbre de interacción int Proviene de la interacción del método de medición con el objeto a medir.
III. Falta de definición del objeto sujeto a medición def
Proviene del hecho que las cantidades físicas a medir no están medidas con infinita precisión.
En general en un experimento dado, todas las fuentes de incertidumbre estarán presentes, de modo que resulta útil definir la incertidumbre nominal de una medición como:
2 2 2 2 2
int .......nom ap def exac
Fuentes de incertidumbre
2007 - Hugo Vizcarra
Según su carácter, las incertidumbres se pueden clasificar en sistemáticos y estadísticos. I. Incertidumbre sistemática
Se origina por las imperfecciones de los instrumentos y métodos de medición, y siempre se producen en el mismo sentido.
II. Incertidumbre estadística o aleatoria est
Son aquellos que se producen al azar, se cometen con igual probabilidad por exceso o por defecto.
2 2 2 2 2 2 2
int .......est nom est ap def exacx
Clasificación de la incertidumbre
2010 - Hugo Vizcarra 11
Supongamos que deseamos medir la altura de esta imagen con la regla representada.
Medición directa
2010 - Hugo Vizcarra 12
El primer paso es alinear lo mejor posible el cero de la regla con el limite inferior de la imagen, tal como se observa en la figura.
Medición directa
cm
5
3
2
1
6
4
2010 - Hugo Vizcarra 13
Si ampliamos un poco la zona de medición con una lupa, observamos que no sabemos con precisión cuál es la medida. En todo caso esta se encuentra comprendida entre:
4,50 cm ≤ 𝐿 ≤ 4,60 𝑐𝑚
Parece ser 4,55 cm, por lo que la mejor forma de expresar la medida es:
𝐿 = 4,55 𝑐𝑚 ± 0,05 𝑐𝑚
Medición directa
5
6
4 LUPA 4
2010 - Hugo Vizcarra 14
Como regla práctica, cada vez que se realiza una medición directa con un instrumento, es conveniente identificar con claridad:
Como este instrumento nos brinda la posibilidad de aproximar una cifra a lo largo de la mínima división, la incertidumbre asociada a esta medida es la mitad de la sensibilidad.
∆𝐿 = ±0,1 𝑐𝑚
2= ±0,05 𝑐𝑚
Medición directa
Instrumento Regla
Cantidad física a medir Longitud
Unidad de medida del instrumento cm
Sensibilidad o mínima división 0,1 cm
2010 - Hugo Vizcarra 15
La medida de la altura de la imagen es entonces igual al valor mas probable, generado con las cifras exactas proporcionadas por el instrumento y la aproximada por el que realiza la medida (en este caso 4,55 cm), incluido el intervalo de incertidumbre (en este caso ±0,05 𝑐𝑚).
𝐿 = 4,55 𝑐𝑚 ± 0,05 𝑐𝑚
Esta medida tiene tres cifras significativas, notar que el valor mas probable para esta medida y su incertidumbre tienen la misma cantidad de decimales, no tendría sentido una medida:
𝐿 = 120,321 𝑚 ± 1 𝑚
ya que si la incertidumbre es del orden de 1 m, como podríamos asegurar el valor mas probables hasta las milésimas de metro.
Medición directa
cm
5
3
2
1
6
4
2007 - Hugo Vizcarra
Medición directa
Instrumento Regla
Cantidad física a medir Longitud
Unidad de medida del instrumento cm
Sensibilidad o mínima división 0,1 cm
Incertidumbre asociada 0,05 cm
La medida es: 𝐿 = 4,95 𝑐𝑚 ± 0,05 𝑐𝑚
Tiene tres cifras significativas
cm
5
4
3
2
1
6
2007 - Hugo Vizcarra
Medición directa
Instrumento Regla
Cantidad física a medir Longitud
Unidad de medida del instrumento cm
Sensibilidad o mínima división 0,1 cm
Incertidumbre asociada 0,05 cm
La medida es: 𝐿 = 5,00 𝑐𝑚 ± 0,05 𝑐𝑚
Tiene tres cifras significativas Una vez más notar como el valor más probable y la incertidumbre tienen la misma cantidad de decimales.
2007 - Hugo Vizcarra
Instrumento Regla
Cantidad física a medir Longitud
Unidad de medida del instrumento cm
Sensibilidad o mínima división 1 cm
Incertidumbre asociada 0,5 cm
La medida es: 𝐿 = 7,5 𝑐𝑚 ± 0,5 𝑐𝑚
Tiene dos cifras significativas, notar como el valor más probable y la incertidumbre tienen la misma cantidad de decimales.
Medición directa
2010 - Hugo Vizcarra 19
α
¿Cuál es la medida de α?
Medición directa
2010 - Hugo Vizcarra 20
Instrumento Transportador
Cantidad física a medir Ángulo
Unidad de medida del instrumento °
Sensibilidad o mínima división 1°
Incertidumbre asociada 0,5°
La medida es: 𝛼 = 44,5° ± 0,5°
Tiene tres cifras significativas Notar como el valor más probable y la incertidumbre tienen la misma cantidad de decimales.
Medición directa
2010 - Hugo Vizcarra 21
Una pesa se coloca sobre la balanza digital que se observa en la figura, la balanza registra 19 g.
En este caso el instrumento tiene una sensibilidad de 1 g, se observa 19 g lo siguiente que detectaría es 1 g más, además el instrumento no permite aproximar una cifra a lo largo de esta sensibilidad así que en este caso la incertidumbre asociada es ± 1 𝑔.
Medición directa
2007 - Hugo Vizcarra
Instrumento Balanza
Cantidad física a medir Masa
Unidad de medida del instrumento g
Sensibilidad o mínima división 1 g
Incertidumbre asociada 1 g
La medida es: M= 19 𝑔 ± 1 𝑔 Tiene dos cifras significativas Una vez más notar como el valor más probable y la incertidumbre tienen la misma cantidad de decimales (cero decimales).
Medición directa
2007 - Hugo Vizcarra
Supongamos que desea medir el tiempo que le toma a una pequeña canica caer desde 7,00 m de altura. La medida se realiza con un cronómetro con sensibilidad 0,01 s, pero cada vez que se repite la medida, se obtiene un valor diferente, al parecer hay una incertidumbre aleatoria asociada con la medida. Los valores obtenidos son:
Medición directa - Incertidumbre aleatoria
Altura (m) / ∆𝐡 = ±𝟎, 𝟎𝟓 𝒎 Tiempo (s) / ∆𝒕 = ±𝟎, 𝟎𝟏 𝒔
7,00 1,51 1,32 1,43 1,54 1,39
2010 - Hugo Vizcarra 24
Medición directa - Incertidumbre aleatoria
El tiempo más representativo o más probable es el promedio.
𝑡𝑝𝑟𝑜𝑚 = 1,44 𝑠
Para un número de repeticiones pequeño, en este caso son 5, la incertidumbre absoluta se determina según:
∆𝑡 = 𝑡𝑚𝑎𝑥 − 𝑡𝑚𝑖𝑛
2
∆𝑡 = 1,54 𝑠 − 1,32 𝑠
2= 0,11 𝑠
2010 - Hugo Vizcarra 25
Así, el tiempo que le toma a la canica caer los 7,00 m es:
𝑡 = 1,44 𝑠 ± 0,11 𝑠
Dada la simplicidad de esta determinación, se usa una sola cifra significativa para expresar la incertidumbre.
𝑡 = 1,4 𝑠 ± 0,1 𝑠
Nuevamente notar que el valor más probable y su incertidumbre tiene el mismo número de decimales.
Medición directa - Incertidumbre aleatoria
OPERACIONES CON CIFRAS SIGNIFICATIVAS Los resultados de cálculos en que intervienen mediciones solamente deben tener números significativos. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN Para que el resultado de la adición sólo presente cifras significativas deberás observar qué cantidad tiene el menor número de cifras decimales. Así, en la suma 12,45 cm + 7,3 cm se tienen dos cantidades: la primera con dos decimales y la segunda con uno. El resultado de la adición tendrá el menor número de decimales. Así, la suma será: 12,5 cm + 7,3 cm = 19,8 cm
Medición indirecta
2007 - Hugo Vizcarra
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN Verifica cuál es el factor que tiene el menor número de cifras significativas y, en el resultado, se conservará solamente un número de cifras igual al de dicho factor. Así, en el producto 11,2 cm x 6,7 cm se tienen dos cantidades: una con tres cifras significativas y otra con dos. El resultado deberás escribirlo entonces con dos cifras significativas. 11,2 cm x 6,7 cm = 75 cm2
Medición indirecta
mma 97,75,12) 2625,99 m
3 C.S. 3 C.S.
26,99 m3 C.S.
mmb 0,25,2) 2 35m
2 C.S. 2 C.S.
20,5 m2 C.S.
Medición indirecta
2007 - Hugo Vizcarra
mNc 5,48,2) Nm6,122 C.S. 2 C.S.
Nm132 C.S.
s
m8
3 C.S.
4 C.S.
s
m00,8
3 C.S.
s
md
0,15
0,120)
Medición indirecta
2007 - Hugo Vizcarra
) 2,8 4000m
e ss
11200m
2 C.S. 4 C.S.
41,1 10 m2 C.S.
0,089442719m
3 C.S.
3 C.S.
28,94 10 m
3 C.S.
1,20)
150
kNd
kPa
Medición indirecta
4 214,8 3,847076812m m
210,00 3,16227766s s
23,85m
3,162s
210,0 3,16227766 3,16m m m
3 C.S. 3 C.S.
4 C.S. 4 C.S.
3 C.S. 3 C.S.
Medición indirecta
2007 - Hugo Vizcarra
(25,4 ) 0,428935133sen
22(0,25 )
0,0490873854
mm
0,429
2 24,9 10 m
3 C.S. 3 C.S.
2 C.S. 2 C.S.
s
m
s
m
s
m2,316227766,310
2
2
2 C.S. 2 C.S.
Medición indirecta
Cuando dos cantidades medidas, es decir cantidades con incertidumbre, se tienen que sumar, sus incertidumbres se combinan y el resultado es más incierto que los sumandos. A este proceso se le llama propagación de la incertidumbre. En general si operamos con dos cantidades medidas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación, etc) la incertidumbre se propaga y el resultado termina con una incertidumbre que depende de las incertidumbres de las cantidades operadas.
Medición indirecta – propagación de la incertidumbre
2007 - Hugo Vizcarra
2010 - Hugo Vizcarra 34
1. Cuando dos cantidades físicas se suman o se restan sus incertidumbres absolutas se suman.
𝐴 = 𝑎 ± ∆𝑎 𝐵 = 𝑏 ± ∆𝑏
𝐴 + 𝐵 = 𝑎 + 𝑏 ± ∆𝑎 + ∆𝑏
𝐴 − 𝐵 = 𝑎 − 𝑏 ± ∆𝑎 + ∆𝑏
Medición indirecta – propagación de la incertidumbre
2010 - Hugo Vizcarra 35
2. Cuando dos cantidades físicas se multiplican o dividen sus incertidumbres relativas porcentuales se suman.
𝐴 = 𝑎 ±∆𝑎
𝑎∙ 100%
𝐵 = 𝑏 ±∆𝑏
𝑏∙ 100%
𝐴 ∙ 𝐵 = 𝑎 ∙ 𝑏 ±∆𝑎
𝑎+∆𝑏
𝑏∙ 100%
𝐴
𝐵=
𝑎
𝑏±
∆𝑎
𝑎+∆𝑏
𝑏∙ 100%
Medición indirecta – propagación de la incertidumbre
2010 - Hugo Vizcarra 36
2. Cuando una cantidad físicas se eleva a un exponente, su error relativo porcentual se multiplica por el exponente.
𝐴 = 𝑎 ±∆𝑎
𝑎∙ 100%
𝐴𝑛 = 𝑎𝑛 ± 𝑛∆𝑎
𝑎+∆𝑏
𝑏∙ 100%
Medición indirecta – propagación de la incertidumbre
Se mide la base y la altura de un rectángulo: b = 28,45 cm 0,05 cm h = 5,35 cm 0,05 cm Determine el área de este rectángulo. Solución: Área = largo x Ancho A = (28,45 cm 0,05 cm) x (5,35 cm 0,05 cm) Á = 28,45 cm×5,35 cm 28,45 cm×0,05 cm 0,05 cm×5,35 cm 0,05 cm×0,05 cm
Medición indirecta – propagación de la incertidumbre
2007 - Hugo Vizcarra
A = 152,2075 cm2 1,4225 cm2 0,2675 cm2 0,0025 cm2
Como una de las cantidades multiplicadas tienen cuatro y la otra tiene tres cifras significativas, el resultado de la multiplicación debería escribirse con tres cifras. El resto de términos se suman. A = 152 cm2 1,6925 cm2
Finalmente la incertidumbre debe tener solo una cifra significativa, por lo tanto:
A = 152 cm2 2 cm2
Medición indirecta – propagación de la incertidumbre
2007 - Hugo Vizcarra
Si en vez de hacer toda esta operación, aplicamos la ecuación de propagación del la incertidumbre para el producto, llegaremos al mismo resultado mucho más rápido.
𝐴 = 𝑏 × ℎ = 28,45 𝑐𝑚 × 5,35 𝑐𝑚 ±0,05
28,45 𝑐𝑚+
0,05
5,35 𝑐𝑚∙ 100%
A = 152,2075 cm2 1,1 % A = 152,2075 cm2 1,69 cm2
La incertidumbre de la respuesta debe tener solo una cifra, así que:
A = 152 cm2 2 cm2
Medición indirecta – propagación de la incertidumbre
2007 - Hugo Vizcarra
Dados las siguientes cantidades medidas: A = 9,25 s 0,01 s B = 5,50 s 0,01 s Calcule las siguientes operaciones: A + B A – B A×B A B A3
Medición indirecta – propagación de la incertidumbre
A + B = (9,25 s + 5,50 s) (0,01 s + 0,01 s) = 14,75 s 0,02 s A – B = (9,25 s - 5,50 s) (0,01 s + 0,01 s) = 3,75 s 0,02 s
A×B = (9,25 s × 5,50 s) (0,01
9,25+
0,01
5,50) ∙ 100%
A×B = 50,875 s2 0,290% = 50,875 s2 0,1475 s2 A×B = 50, 9 s2 0,1 s2
Medición indirecta – propagación de la incertidumbre
2007 - Hugo Vizcarra
A B = (9,25 s 5,50 s) (0,01
9,25+
0,01
5,50) ∙ 100%
A B = 1,681818 0,290% = 1,681818 0,004876
A B = 1,682 0,005 En este caso se ha agregado una cifra significativa ya que la incertidumbre no puede ser cero.
A3 = (9,25 s)3 3 (0,01
9,25) ∙ 100%
A3 = 791,453125 s3 2,566875 s3 A3 = 791 s3 3 s3
Medición indirecta – propagación de la incertidumbre
2007 - Hugo Vizcarra
2010 - Hugo Vizcarra 43
Bibliografía
Este material tiene fines enteramente educativos
Las imágenes de las diapositivas 1, 5, 6, 11, 12, 13, 16, 17, 18, 19 y 21 son tomadas de Internet.
Las reglas en las figuras de las páginas 11, 12, 13, 16 y 17 han sido dibujadas por mi.
La imagen de las diapositivas 7 es mi dibujo.
Física re-creativa (Experimentos de física usando nuevas tecnologías) de Salvador Gil/Eduardo Rodríguez
El método científico aplicado a las ciencias experimentales de Héctor G. Riveros y Lucia Rosas.
Física Universitaria de Sears Zemansky