2015-2-Microondas_sem_01.02,03

Propagación de las Ondas

Electromagnéticas

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Objetivo

Interpretar las ecuaciones de Maxwell y explicar, a partir de ellas, el carácter ondulatorio de los campos electromagnéticos variables en el tiempo.

1.- ECUACIONES DE MAXWELL

2

¿Qué describen las ecuaciones de Maxwell?

La teoría electromagnética se resume en las Ecuaciones de Maxwell. ……………………………….

A partir de estas ecuaciones, se determinan numerosas leyes y teoremas de importancia en: Electrostática.Magnetostática.Electromagnetismo.Teoría de CircuitosÓptica.(Miranda, 2002).

Condiciones de contorno

Teorema de PoyntingEcuación de Ondas

Ley de Snell

Ley de Coulomb

Leyes de Kirchoff

Ecuación de Laplace Ecuación de Poisson

Ecuaciones de

Maxwell

ECUACIONES DE MAXWELLDescriben cómo varían los campos eléctricos E y magnéticos H en el espacio y en el tiempo.

El físico escocés James C. Maxwell (U. de Cambridge, 1865) no descubrió estas ecuaciones, sino que las juntó. Son, en realidad, 4 leyes sobre fenómenos eléctricos y magnéticos.

Predicen la existencia de ondas electromagnéticas que se propagan en el espacio libre a la velocidad de la luz, predicción confirmada por Heinrich Hertz (Escuela Politécnica de Karlsruhe) quien las generó y detectó en 1887.

Ecuaciones de Maxwell

3

Son 4 leyes sobre fenómenos eléctricos y magnéticos

Maxwell junto estas 4 leyes y le dio una forma matemática.

(Kraus, 2000)

ECUACIONES DE MAXWELL

Ley Forma 1ntegral Forma diferencial

Gauss para campos eléctricos

Gauss para campos magnéticos

Ampere - Maxwell

Faraday

D = E : permitividad dieléctrica.B = H : permeabilidad magnéticaJ = E : conductividad

J: densidad superficial de corriente

Q: carga eléctricaI: corriente eléctricaV: voltaje: densidad volumétrica de carga eléctrica

Ley de Gauss para campos eléctricos

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Es una ley sobre fenómenos eléctricos

La unidad de carga es el electrón = 1,6 10⤬ 19 ⎻ C.

∮𝐃𝑑S=∫ 𝜌𝑑V =Q

En líneas de transmisión

El campo E sale del conductor superior que se carga positivamente durante el semiciclo positivo de la fuente, hacia el inferior negativo. En el semiciclo siguiente se invierte.

LEY DE GAUSS PARA CAMPOS ELÉCTRICOS

Enunciado Interpretación

Establece que el flujo del campo eléctrico E que atraviesa una superficie cerrada S (por ejemplo una esfera), es proporcional a la carga eléctrica Q que hay en el interior del volumen V encerrado por la superficie.

Toda carga eléctrica “viene” con su propio campo eléctrico E.

Por convención, el campo E se representa como vectores que salen de la carga positiva en todas direcciones, y van hacia ella si es negativa.

Existen monopolos eléctricos y también dipolos.

LEY DE GAUSS PARA CAMPOS MAGNÉTICOS


Establece que el flujo del campo magnético H que sale de una superficie cerrada S (por ejemplo una esfera) es igual al flujo que entra, por tanto, la carga magnética que hay en el interior de dicha superficie es nula, es decir que no existen cargas magnéticas.

Los campos magnéticos H, a diferencia de los eléctricos, no comienzan ni terminan en cargas diferentes.

Las líneas de los campos H son cerradas y pasan por dos puntos diametralmente opuestos, los polos norte y sur.

No existen monopolos magnéticos, sólo dipolos.

Ley de Gauss para campos magnéticos

5Los polos magnéticos no puede aislarse; existen en pares.

∮𝐁𝑑 S=0

En un imán, las líneas de los campos H rodean al imán y salen del polo norte y entran por el sur.

En el 2010 se anunció el descubrimiento de “monopolos magnéticos microscópicos” en estructuras glaciares, dando lugar a un flujo que se ha denominado magnetricidad.

Curiosidades

Es una ley sobre fenómenos magnéticos

Ley de Ampere - Maxwell

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∮𝐇𝑑 L=∫( 𝐉+ 𝜕𝐃𝜕𝑡 )𝑑S=I𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙

Un cambio en el campo eléctrico induce un campo magnético.

LEY DE AMPERE - MAXWELL


Establece que un campo magnético H, vectorial de forma circular, es generado por la corriente eléctrica que fluye por la superficie S encerrada por dicho círculo.

Un campo magnético H circular puede ser generado de 2 maneras:

Por la corriente eléctrica IC (corriente de conducción) que fluye por un alambre conductor, según lo establece la ley de Ampere original. La dirección del campo H se determina por la regla de la mano derecha, y la dirección en cada punto es la tangente a la línea.

Por la variación temporal del campo E, según se establece con la Corrección de Maxwell. Maxwell utilizó un capacitor para mostrar que un campo E variable en el tiempo genera un campo H circular a su alrededor, también variable en el tiempo. Esta variación se la conoce como corriente de desplazamiento.

Es una ley sobre inducción eléctrica

LEY DE FARADAY


Establece que un flujo de campo magnético H variable en el tiempo, que atraviesa la superficie encerrada por un círculo de perímetro L (una espira metálica o una simple curva imaginaria), induce una fuerza electromotriz fem capaz de producir una corriente eléctrica I variable que fluye por la espira.

La variación de un campo magnético H induce una fuerza eléctrica que mueve cargas en un circuito cerrado, es decir induce un campo eléctrico E. Este campo no es un campo electrostático causado por cargas eléctricas, no va de las cargas positivas a las negativas.

Se trata de un campo E que tiene líneas de campo cerradas alrededor del campo H.

Nota.- El sentido de la corriente inducida compensa la variación del flujo magnético.

Ley de Faraday

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∮𝐄𝑑 L=−∫ 𝜕𝐁𝜕𝑡

𝑑 S=V 𝑓𝑒𝑚

Un cambio en el campo magnético induce un campo eléctrico.

Es una ley sobre inducción magnética

2.- APORTE AL CONOCIMIENTO

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Predijo la existencia de la onda electromagnética

Con base en la teoría de Maxwell se iniciaron aplicaciones prácticas como las comunicaciones inalámbrica.

APORTE AL CONOCIMIENTO – ECUACIONES DE MAXWELL

Aporte Consecuencia

De la hipótesis de la corriente de desplazamiento se desprende que un cambio en el campo E induce un campo H. Además, se sabe de los trabajos de Faraday que un cambio en el campo H induce un campo E. De esta manera, los fenómenos eléctricos y magnéticos adquieren una simetría perfecta.

Si en alguna región del espacio existe un campo E que varíe con el tiempo, tiene que existir simultáneamente el otro campo, el H. Los dos campos deben existir al mismo tiempo, es decir, debe existir el campo electromagnético.

En el caso estacionario, que no depende del tiempo, puede existir un campo sin que exista el otro. Por ejemplo, el campo H producido por un imán es constante en el tiempo y no lleva un campo E.

Maxwell encontró que cada uno de los dos campos debe satisfacer una ecuación que resultó tener la misma forma matemática que la ecuación de onda, la que describe la propagación de ondas mecánicas como la que se propaga en un cable, en un estanque, en el sonido, etc. Esto significa que si en un instante el campo E tiene un valor determinado en un punto del espacio, en otro instante posterior, en otro punto del espacio, adquirirá el mismo valor. Lo mismo ocurre con el campo H.

Los campos E y H se propagan en el espacio, y como no pueden existir separadamente, el campo electromagnético es el que realmente se propaga, en forma de onda electromagnética, conocida como onda de radio.

Las ecuaciones predicen el valor de la velocidad con la que se propaga el campo electromagnético, que resulta ser igual a la velocidad de la luz. Este resultado se obtiene de una combinación de valores de cantidades de origen eléctrico y magnético.

Existen razones para concluir que la luz, ya fuera de una vela, del sol o del foco, es una onda electromagnética que se propaga de acuerdo con las leyes del electromagnetismo.

La contribución de Hertz

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Demostró la existencia de ondas electromagnéticas

Gracias al experimento de Hertz se aceptó la teoría de Maxwell.

LA CONTRIBUCIÓN DE HERTZ

EventoHeinrich Hertz, de la Escuela Politécnica de Karlsruhe, Alemania, se interesó en la teoría propuesta por Maxwell, la reformuló matemáticamente y logró que las ecuaciones fueran más sencillas, y simétricas.

Desde 1884, Hertz realizó muchos experimentos sin éxito, hasta que en 1887 construyó en laboratorio un dispositivo radiador y otro detector de ondas electromagnéticas predichas por Maxwell. Era la primera comunicación por radio de la historia.

El ruso Alexander S. Popov continuó los experimentos de Hertz, y en 1897 inventó una antena que le permitió comunicarse con un barco a 5 kilómetros de la costa.

El mismo año de 1987, el italiano Guillermo Marconi perfeccionó el invento para lograr una comunicación a 20 kilómetros de distancia y comenzó a comercializarlo, dando origen a la industria de la comunicación por radio (comunicación inalámbrica).

3.- RADIACIÓN Y PROPAGACIÓN DE ONDAS

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Campos eléctricos y magnéticos en líneas de transmisión (Blake, 2004)

La antena dipolo es un elemento radiante.

LINEA DE TRANSMISIÓN ABIERTA

Referencia: Ley de Gauss para campos eléctricosSi se aplica un voltaje (VS) a una línea de transmisión de 2 conductores, se genera un campo E entre ellos, ya que acumulan cargas opuestas.

Al estar la línea abierta, es decir sin resistencia de carga, no fluye corriente eléctrica en el circuito. La onda eléctrica formada por los campos E, llega al final de la línea y se refleja hacia el generador porque no encuentra carga para disiparse o radiarse. No se experimenta ninguna radiación.

LINEA DE TRANSMISIÓN TERMINADA EN ANTENA

Referencia: leyes de Gauss y de AmpereSi se aplica un voltaje (VS) a una línea de transmisión de 2 conductores, se genera un campo E entre ellos, ya que acumulan cargas opuestas. La dirección de los campos E se invierte en cada semiciclo del voltaje.

Si los extremos de la línea se doblan en 90º, se obtiene una antena dipolo que se comporta como una resistencia de carga que hace fluir una corriente eléctrica I por la línea. Esta corriente genera, a su vez, un campo H alrededor de los conductores. La dirección de la corriente y de los campos H se invierte en cada semiciclo del voltaje.

Gracias a la antena, se experimenta la radiación del Campo E.

Radiación electromagnética

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El fenómeno del desprendimiento

La onda que se radia es una onda esférica.

RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA

Referencia: Leyes de Gauss para Campos E y Ampere-MaxwellEn el primer 1/4 de ciclo del voltaje (dirección de corriente I hacia la antena), se acumulan cargas positivas en el conductor superior y negativas en el inferior. El circuito se cierra a través de la corriente de desplazamiento que siguen las líneas de campo E.

En el siguiente 1/4 de ciclo, las líneas de campo E aun se propagan, pero la carga de los conductores disminuye porque empiezan a introducirse cargas opuestas (la corriente I disminuye), generándose líneas de campo E opuestas.

Cuando el voltaje es 0 (corriente I = 0) la neutralización de las cargas en los conductores hace que las líneas de campo E se cierren sobre sí mismas.

En el siguiente medio ciclo se repite el proceso pero en dirección opuesta, y así sucesivamente. Las ondas que se desprenden comienzan a propagarse respondiendo a los postulados de las leyes de Ampere–Maxwell y Faraday.

Propagación electromagnética

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Las ondas se propagan respondiendo a los postulados de Maxwell

La energía eléctrica y magnética se convierte en electromagnética.

PROPAGACIÓN ELECTROMAGNÉTICA

EventoDe acuerdo con la hipótesis de la corriente de desplazamiento (Ampere-Maxwell), un campo E que varía en el tiempo, induce un campo H también variable en el tiempo.

De acuerdo con Faraday, un campo H que varía en el tiempo, induce un campo E también variable en el tiempo.

Los dos campos existen al mismo tiempo, es decir, existe el campo electromagnético que se propaga a la velocidad de la luz. En el sitio distante, el campo H rodea a la antena receptora e induce una corriente de conducción I, con lo que se establece una comunicación por radio.

I I

E E E E

H H H H

HC = 300.000 km/s

v = velocidad, en

m/s.

d = distancia, en m.

t = tiempo, en s.

4.- LONGITUD DE ONDA Y FRECUENCIA

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¿Qué es la longitud de onda?

A partir de 1 GHz las ondas se describen como microondas.

λ=𝑐𝑓

c = velocidad de la luz, 300.000 km/s.

λ = longitud de onda, en m.

T = periodo, en s.

f = frecuencia de la onda, en Hz.

𝑣=𝑑𝑡

𝑐=λT

=λ 𝑓

(Blake, 2004)

Ejemplo 1.- Longitudes de onda

Calcule la longitud de onda en el espacio libre correspondiente a una frecuencia de:a) 1 MHz (utilizada en radiodifusión comercial AM).b) 900 MHz (utilizada en telefonía celular). c) 4 GHz (utilizada en televisión por satélite)

Respuesta a Ejemplo 1

a) = 300 m.b) = 33,3 cm. c) λ = 7,5 cm.

LONGITUD DE ONDA

Conceptos

¿Qué es? Es la distancia λ que una onda viaja a través de un medio de transmisión en un periodo de tiempo T.

¿Cómo se calcula?

En función de la velocidad y la frecuencia de la onda. De las Ecuaciones de Maxwell se establece que la onda de radio se desplaza en el aire a la velocidad de la luz c.

Cálculo de .

El espectro electromagnético

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¿Qué es el espectro electromagnético?

A mayor frecuencia menor longitud de onda, y viceversa.

(Frenzel, 2003) (Forouzan, 2007)

EL ESPECTRO ELECTROMAGNÉTICO

Es el conjunto de ondas electromagnéticas ordenadas de acuerdo a su frecuencia y longitud de onda. La parte del espectro ente 3 kHz y 900 THz es usada para la comunicación inalámbrica.

Aunque no hay una separación clara entre ondas de radio y microondas, las ondas entre las frecuencias de 3 kHz y de 1 GHz se denominan normalmente ondas de radio y las ondas con frecuencias entre 1 y 300 GHZ se denominan microondas.

Tipo DescripciónOndasde radio

En su mayor parte son omnidireccionales. Cuando una antena transmite ondas de radio se propaga en todas las direcciones. Son útiles para envíos multipuntos, en los que hay un transmisor pero muchos receptores.

Microondas Son directivas. Cuando una antena transmite microondas se puede enfocar de forma muy precisa. Son útiles para envíos punto a punto, entre un transmisor y un receptor.

Bandas de las ondas de radio

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¿Cómo se divide el espectro para las ondas de radio?

La palabra radio viene de radius, que significa rayo en Latín.

(Frenzel, 2003)

BANDAS DE LAS ONDAS DE RADIO

Origen de los nombres

Cuando entró en uso un sistema para etiquetar las frecuencias, sólo se consideraron las bandas de bajas, medias y altas frecuencias (LF, MF y HF); nadie esperaba rebasar los 30 MHz.

Cuando se rebasaron los 30 MHz, se asignaron nombres, tanto hacia arriba como hacia abajo. Así que las más altas se denominaron bandas de muy, ultra, súper y extremadamente alta frecuencia (VHF, UHF, SHF y EHF).

Más allá ya no hay nombres; sin embargo, se han sugerido las siguientes designaciones: tremendamente, increíblemente, asombrosamente y prodigiosamente alta frecuencia (THF, IHF, ASH y PHF).

5.- CONCEPTOS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN

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Tipos de líneas de transmisión (Frenzel, 2003) (Blake, 2004)

Cualquier par de conductores actúa como una línea de transmisión.

LÍNEAS DE TRANSMISIÓN

Las líneas de transmisión están formadas por conductores metálicos con una disposición geométrica determinada para transportar energía.

Tipo Descripción

Línea de pares

Formada por 2 conductores paralelos. Sus diversas variantes se utilizan en telefonía y transmisión de datos, y para conectar generadores y antenas en las frecuencias de 300 kHz a 30 MHz (Bandas MF y HF).

Coaxial Formada por 2 conductores concéntricos separados por un dieléctrico sólido. Se utilizan en sistemas de banda ancha como telefonía multicanal, televisión y RF hasta frecuencias del orden de 1 GHz.

Microcinta

Construida en una tarjeta de circuitos impresos, con 2 conductores, uno en un lado de la tarjeta y el otro el plano de Tierra. Se utilizan en sistemas de microondas.

Guía de ondas

Constituida por 1 conductor; un tubo hueco de sección rectangular, circular o elíptica. Se utilizan en sistemas de microondas, como alternativa al coaxial.

Según la conexión

Línea balanceada. Los voltajes de los conductores son simétricos respecto a tierra. Por ejemplo: líneas de pares.Línea no balanceada. Uno de los conductores está conectado a tierra, por donde retorna la corriente. Por ejemplo: coaxial y microcinta.

Línea de pares

Coaxial

Guía de ondas

Microcinta

Transporte de energía en la línea

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¿Cómo se transporta la energía?

LÍNEAS DE TRANSMISIÓN

Transporte de energía

Una aplicación de las líneas es el transporte de energía electromagnética del generador a la carga. La energía se propaga alrededor de los conductores de la línea.

Si se aplica un voltaje (VS) a una línea de pares, se genera un campo E entre los conductores, ya que acumulan cargas opuestas. La dirección del campo se invierte en cada semiciclo del voltaje.

El voltaje (VS) hace fluir una corriente eléctrica I por los conductores de la línea terminada en una impedancia de carga (ZL ). Esta corriente genera, a su vez, un campo H alrededor de los conductores. La dirección de la corriente y de los campos se invierte en cada semiciclo del voltaje.

La energía se propaga, por tanto, en forma de campos E y H transversales entre sí y, a su vez, transversales a la dirección de propagación. Este modo de propagación se denomina modo TEM.

(Kraus, 2000)

TEM (Transverse Electro-Magnetic Wave).

Corte transversal

Tran

sp

ort

e d

e

en

erg

ía

(Frenzel, 2003)

Circuitos y líneas: una comparación

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En altas frecuencias los circuitos se consideran líneas

La teoría de líneas implica parámetros distribuidos.

CIRCUITOS Y LÍNEAS

Circuitos LíneasEn bajas frecuencias, el circuito tiene dimensiones pequeñas comparadas con la longitud de onda, por lo que la corriente que circula por un cable en un instante dado, tiene la misma amplitud y fase en todos los puntos del cable.

En altas frecuencias, el circuito tiene dimensiones comparables con la longitud de onda, por lo que la corriente que circula por un cable en un instante dado, no tiene la misma amplitud ni fase en otros puntos del cable.

En bajas frecuencias, el circuito se analiza con la teoría de circuitos, donde se usan conceptos como voltajes, corrientes y parámetros concentrados.

En altas frecuencias, el circuito se considera línea con parámetros distribuidos, y su análisis requiere de la teoría de líneas, derivada de la teoría del campo electromagnético.

Los parámetros concentrados son: resistencia, conductancia, inductancia y capacitancia. Están concentrados en un solo elemento o componente bien localizado físicamente.

En una línea, la resistencia, conductancia inductancia o capacitancia no están concentradas en un punto de la línea, sino distribuidas uniformemente a lo largo de ella. A pesar de ello, la teoría de líneas permite aprovechar muchas de las leyes y propiedades que se estudian en electrónica de baja frecuencia.Circuito

en baja fCircuito en alta f = línea

(Kraus, 2000)

6.- TEORÍA DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN

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¿Qué son los parámetros distribuidos? (Anguera, 2008) (Blake, 2004)

Los parámetros distribuidos se distribuyen uniformemente a lo largo de la línea.

PARÁMETROS DISTRIBUÍDOS DE LA LÍNEA

Parámetro Descripción

Resistencia distribuida R

Resistencia en serie por unidad de longitud(/m). Depende la resistividad de los conductores y de la frecuencia. En altas frecuencias, la resistencia aumenta debido al efecto skin, que es la tendencia de la corriente a acumularse en la capa superficial del conductor, produciendo atenuación en la onda.

Conductancia distribuida G

Conductancia en paralelo por unidad de longitud (S/m). El dieléctrico no es perfecto y tiene resistividad finita, por lo que parte de la corriente se “fuga” entre los conductores, contribuyendo a la atenuación en la onda. A bajas frecuencias éstas pérdidas son tan pequeñas que se ignoran; sin embargo, son significativas a medida que aumenta le frecuencia.

Inductancia distribuida L

Inductancia en serie por unidad de longitud (Hy/m). El flujo de corriente en los conductores genera un campo H alrededor de ellos, lo cual se modela como un inductor en serie que almacena dicha energía magnética. Cuando aumenta la frecuencia, la inductancia comienza a tener efecto, porque mayor será la reactancia inductiva en serie.

CapacitanciaDistribuida C

Capacitancia en paralelo por unidad de longitud (F/m). El voltaje entre los conductores genera un campo E entre ellos, lo cual se modela como un capacitor en paralelo que almacena dicha energía eléctrica. Cuando aumenta la frecuencia, la capacitancia comienza a tener efecto, porque menor será la reactancia capacitiva en paralelo.

Modelo circuital de la línea de transmisión

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¿Cómo se puede modelar la línea?

Los 4 parámetros distribuidos se calculan para cada caso particular si se conocen las dimensiones de la línea.

MODELO CIRCUITAL DE LA LINEA

Línea de 2 conductoresEl comportamiento de la línea a altas frecuencias se analiza con la teoría de líneas y con una extensión de la teoría de circuitos que implica parámetros distribuidos. Para ello, se la divide en secciones de longitud infinitesimal ∆z.El modelo considera las pérdidas y el almacenamiento de energía en cada una de estas secciones. Uno adecuado es una red de cuadripolos, donde R, G, L, y C son los parámetros distribuidos de la línea.Este elemento infinitesimal se supone tan pequeño que los parámetros del circuito pueden considerarse concentrados.

Modelo de una sección

CÁLCULO DE PARÁMETROS DISTRIBUIDOS

Los parámetros distribuidos de las líneas dependen del grosor de los conductores, su separación y de la permitividad del dieléctrico que los separa. Se han desarrollado fórmulas para calcularlos. Se resumen en tablas.

Análisis del modelo circuital

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El análisis genera ecuaciones de onda para el voltaje y la corriente

Se llaman también Ecuaciones de Helmholtz.

ANÁLISIS DEL MODELO

Suponiendo una variación senoidal del voltaje y la corriente y usando notación fasorial, se aplican las leyes de Kirchoff al cuadripolo.

Se obtienen ecuaciones diferenciales cuyas soluciones son las ecuaciones de onda para el voltaje y la corriente en la línea y la constante de propagación.

Análisis del cuadripolo

Ondas de voltaje y corriente

Atenuación de la onda

(Kraus, 2000)

INTERPRETACIÓN DE LA SOLUCIÓN

Ecuaciónde onda

Una superposición de 2 ondas: una incidente que viaja del generador hacia la carga y otra reflejada que viaja en sentido contrario, para el voltaje y para la corriente.

Constante de propagación

La onda de voltaje, o corriente, se atenúa exponencialmente conforme se propaga a lo largo de la línea.

Impedancia característica de la línea

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¿Qué es la impedancia característica?

Se la conoce como el modelo de alta frecuencia de la línea.

IMPEDANCIA CARACTERÍSTICA

Conceptos

En una línea hipotéticamente infinita, la onda incidente viaja a lo largo de ella por siempre, y nunca se refleja.

En ausencia de ondas reflejadas, si las ondas incidentes de voltaje y de corriente se vinculan entre sí, en cualquier punto de la línea, se obtiene la impedancia característica, parámetro con dimensiones de resistencia que caracteriza a la línea.

La impedancia característica depende de los parámetros distribuidos de la línea y la frecuencia. Es compleja, contiene elementos reactivos, lo que señala un desfase entre las ondas de voltaje y de corriente.

En la práctica, se usan líneas de bajas pérdidas, y si la frecuencia es suficientemente alta, la potencia de pérdidas se ignora, pues es mucho menor que la potencia almacenada en el campo electromagnético que se propaga como una onda en la línea.

En tales condiciones, la impedancia característica es real, puramente resistiva, y no depende de la frecuencia, únicamente de la inductancia y capacitancia.

Bajas pérdidas y alta frecuencia

Impedancia característica

Z0 = impedancia característica, en .V, I = voltaje y corriente en un punto.

R, G, L, C= parámetros distribuidos.

= 2f = frecuencia angular, en rad.

𝑍 0=𝑉 (𝑧 )𝐼 (𝑧)

=√ 𝑅+ 𝑗𝐿𝐺+ 𝑗𝐶

G𝑍 0=√ 𝐿𝐶

(Frenzel, 2003) (Blake, 2004)

Ejemplos con impedancia característica

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Para calcular la impedancia característica se utilizan tablas

(Blake, 2004)

La impedancia característica depende de las dimensiones físicas de la línea.

Respuesta Ejemplo 1

= 169 .

Ejemplo 1.- Línea de pares

Una línea telefónica de uso en interiores, tiene 2 conductores paralelos de cobre de 0.60 mm de diámetro. La separación entre ellos es de 2.5 mm y el aislante entre ambos es polietileno con permitividad 2,26. Calcule la impedancia característica del cable suponiendo su utilización a altas frecuencias.

Respuesta Ejemplo 2

= 46,5 .

Ejemplo 2.- Cable coaxial

Un cable coaxial usado en sistemas VHF, UHF y microondas, tiene conductores de cobre aislados entre sí con polietileno de permitividad 2,26. El diámetro del conductor interno es de 3 mm y del externo 9,6 mm. Calcule la impedancia característica del cable.

De tabla

De tabla

7.- PROPAGACIÓN EN LINEA ACOPLADA

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¿Qué es una línea acoplada? (Blake, 2004)

La línea acoplada no produce reflexiones.

LÍNEA ACOPLADA

ConceptoPara no tratar con una línea infinita, producto de la imaginación, se utiliza una de longitud finita terminada con una impedancia de carga igual a la impedancia característica.

El efecto visto desde el generador es que la onda incidente viaja hasta la carga donde es absorbida totalmente y no se refleja.Una línea de longitud finita que se termina en su impedancia característica se llama línea acoplada; no produce onda reflejada.

VALORES DE IMPEDANCIAS

Aplicación Valor

Coaxial transmisor y receptor de RF 50

Coaxial televisión por cable 75

Coaxial red de computadores 93

Par trenzado UTP 100

Par trenzado STP 150

Línea de cinta antena de televisión 300

Línea acoplada

Impedancias

VALORES DE IMPEDANCIAEn la práctica, no es necesario calcular la impedancia característica, puesto que es parte de las especificaciones de un cable, lo cual simplifica los criterios de acoplamiento.

Velocidad de propagación en la línea

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¿A qué velocidad se propaga la onda en la línea? (Blake, 2004)

El factor de velocidad depende del dieléctrico de la línea.

VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN EN LA LÍNEA

DescripciónLa velocidad a la cual se propaga la onda en la línea es menor que la velocidad de la luz en el vacío.

Cerca del 66% de la velocidad de la luz en cable con dieléctrico de polietileno sólido. Cerca del 78% en cable con dieléctrico de espuma de polietileno.Cerca del 95% en cable con aire como dieléctrico.

Además de la velocidad de propagación, es normal que los fabricantes especifiquen el factor de velocidad de los cables, el cual depende casi por completo del dieléctrico utilizado en la línea.

Factor de velocidad VF = factor de velocidad.

= velocidad de propagación en la línea, en m/s.= velocidad de la luz en el vacío, en m/s.= permitividad relativa del dieléctrico.

VF=𝑣 𝑝𝑐

=1

√ 𝑟

Respuesta Ejemplo 3

a) VF = 0,69.b) = 207.000 km/s.

Ejemplo 3.- Velocidad de propagación

Para un cable con un dieléctrico de teflón (permitividad de 2,1), calcule: a) El factor de velocidad.b) La velocidad de propagación en el cable.

Onda incidente en la línea

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¿Cómo se propaga en la línea? (Blake, 2004)

También se le llama onda progresiva.

PROPAGACIÓN DE ONDA INCIDENTE

Descripción

En una línea acoplada, la onda incidente viaja hasta la carga donde es absorbida totalmente y no se refleja.

El proceso se lleva a cabo en cierto tiempo hasta que la primera parte de la onda llegue a la carga.

Si fuera posible la “instantánea” del voltaje a lo largo de la línea se vería como la onda seno en función de la distancia en lugar del tiempo; por lo que un ciclo completo de la onda ocuparía una longitud de onda en lugar de un periodo.

En cualquier punto de la línea la onda es la misma que en el generador, excepto por un desfase.

Desfase de la onda

La longitud de una línea que no es igual a la longitud de onda produce un desfase proporcional a su longitud. Una longitud de onda produce un desfase de 360º.

Las líneas de transmisión también se utilizan para introducir, de forma deliberada, desplazamientos de fase y retardos cuando se requieran.

Instantánea del voltaje

Longitud de onda en la línea

λ=𝑣 𝑝𝑓

λ = longitud de onda, en m.= velocidad de propagación, en m/s.

f = frecuencia de la onda, en Hz. = cambio de fase, en grados.L = longitud de la línea, en m.

Desfase que produce la línea.

=360Lλ

Ejemplos con fases de la onda en la línea

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¿Cómo se mide el desfase de una onda? (Blake, 2004)

Una longitud de onda produce un desfase de 360º.

Ejemplo 4.- Fases de la onda

La fase describe la posición relativa de la onda respecto a un punto de referencia. Si se piensa que la onda se desfasa hacia delante o hacia atrás a lo largo de la línea, la fase describe la magnitud de ese desfase, indica el estado del primer ciclo.

Ejemplo 5.- Onda desfasada

Una onda se desplaza un /6. ¿Cuál es su fase en grados y radianes?

Respuesta Ejemplo 5

= 60º = /3 rad.

Ejemplo 6.- Desplazamiento

¿Qué longitud de cable coaxial se requiere para obtener un desplazamiento de fase de 45º a 200 MHz? El factor de velocidad del coaxial es 0.66.

Respuesta Ejemplo 6

L = 0,124 m.

Diferentes fases

(Forouzan, 2007)

8.- PROPAGACIÓN EN LÍNEA NO ACOPLADA

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¿Qué es una línea no acoplada? (Blake, 2004)

La línea no acoplada produce reflexiones.

LÍNEA NO ACOPLADA

ConceptoSi la onda viaja en un medio e incide sobre la frontera de un segundo medio de diferentes características, parte de su energía se transmite hacia el segundo medio y otra se refleja hacia el primero.

Un proceso análogo ocurre en la línea terminada en una impedancia de carga que no es igual a su impedancia característica; el primer medio sería la propia línea y el segundo la impedancia de carga.

En consecuencia, parte de la energía incidente es absorbida en la carga y otra se refleja hacia el generador. A esta línea que produce onda reflejada se llama línea no acoplada.La onda reflejada se agrega a la incidente y la suma de ambas se conoce como onda estacionaria, la cual queda confinada dentro de la línea.

Onda incidente + onda reflejada

Onda estacionaria

Onda estacionaria

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¿Qué es la onda estacionaria? (Blake, 2004)

La onda estacionaria es la suma de las ondas incidente y reflejada.

ONDA ESTACIONARIA

DescripciónLa interacción entre las ondas incidente y reflejada causa lo que parece ser un patrón estacionario de ondas en la línea. Debido a su apariencia, a estas ondas se las conoce como ondas estacionarias. En cada punto de la línea los valores instantáneos del voltaje incidente y reflejado se suman en forma algebraica para obtener el voltaje total. Nodos. Hay puntos que son siempre 0, no vibran, esos puntos se denominan nodos, y son la causa de que la energía en lugar de transmitirse se almacene entre cada nodo.Antinodos. Hay otros puntos que vibran en el tiempo con una amplitud de vibración máxima, igual al doble de las ondas que interfieren, y con una energía máxima, estos puntos se denominan antinodos.La distancia que separa dos nodos consecutivos es /2.

Onda estacionaria

ONDA ESTACIONARIA

AdvertenciaLa onda estacionaria que se forma en la línea no acoplada es energía que no se transmite y que puede calentar y dañar dispositivos electrónicos. Es necesario controlar la porción de onda que se refleja.

Ondas en líneas con terminaciones extremas extremasiones

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¿Cómo varía el voltaje efectivo a lo largo de la línea?

La corriente responde al contrario que el voltaje.

ONDA ESTACIONARIA

En línea con terminaciones extremas

Si se mueve un voltímetro desde el generador hasta la carga, se obtiene la variación del voltaje efectivo (RMS) a lo largo de la línea.

Terminación EventoLínea acoplada.

El voltaje incidente es absorbido por la carga.

Circuito abierto

No hay carga que absorba al voltaje incidente, por lo que se refleja con la misma amplitud y polaridad y se suma al nuevo incidente, produciendo un voltaje efectivo máximo.

Corto circuito No hay carga que absorba al voltaje incidente, por lo que se refleja con la misma amplitud y polaridad opuesta y se suma al nuevo incidente, produciendo un voltaje cero.

Acoplada

Abierta

Corto


Ondas en líneas con carga no extrema

31La SWR tiene que ver solo con magnitudes, es un número real.

ONDA ESTACIONARIA

En línea con carga no extrema

Si la línea esta desacoplada, no en extremo, parte del voltaje es absorbido en la carga y otra se refleja hacia el generador. El voltaje reflejado tiene una amplitud menor que el incidente, por lo que no habrá lugar sobre la línea donde el voltaje sea 0.

El voltaje máximo ocurre cuando los voltajes incidente y reflejado están en fase, y el mínimo cuando tienen fases opuestas.

CARACTERÍSTICAS DE LAS REFLEXIONES

Coeficientede reflexión

Relación entre el voltaje reflejado y el incidente. En general es un número complejo.

Relaciónde onda estacionaria

ROE (SWR – Standing Wave Ratio). Relación entre el voltaje máximo y el voltaje mínimo.

A través de un análisis circuital en la carga y un poco de álgebra, es posible expresar ambas características en función de las impedancias característica y de carga.

Carga no extrema

Coeficiente de reflexión

Relaciónde onda estacionaria



Ejemplos con líneas con terminaciones extremas

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Ejemplo 7.- Línea acoplada

Calcule el coeficiente de reflexión y la SWR en una línea acoplada.

Respuesta Ejemplo 7

= 0. El voltaje reflejado es 0.

= 1. Los voltajes máximos y mínimos son iguales. Es una onda plana.

Ejemplo 8.- Circuito abierto

Calcule el coeficiente de reflexión y la SWR en una línea terminada en circuito abierto.

Respuesta Ejemplo 8

= 1. Los voltajes incidente y reflejado son de igual magnitud y signo.

→ ∞. El voltaje mínimo es 0.

Ejemplo 9.- Corto circuito

Calcule el coeficiente de reflexión y la SWR en una línea terminada en corto circuito.

Respuesta Ejemplo 9

= 1. Los voltajes incidente y reflejado son de igual magnitud pero de signo opuesto.

→ ∞. El voltaje mínimo es 0.



La SWR toma valores entre 1 e infinito.

Ejemplos con líneas con carga no extrema

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Ejemplo 10.- Onda estacionaria

Un generador se conecta a una línea en cortocircuito de 1,25 de largo. Dibuje el patrón de onda estacionaria de voltaje en la línea.

Respuesta Ejemplo 10

Ver figura.

Ejemplo 11.- Onda estacionaria

Una línea de circuito abierto tiene de largo 0.75. Dibuje un diagrama que muestre cómo varía el voltaje RMS con la posición a lo largo de la línea.


Ver figura.


a) = 0,33.b) = 2.

Ejemplo 12.- Coeficiente de reflexión y SWR

Una línea de 50 se termina en una resistencia de 25 . Calcule: a) El coeficiente de reflexión.b) La relación de onda estacionaria.



La SWR tiene que ver solo con magnitudes, es un número real.


34La SWR se puede medir, esta es su ventaja sobre el coeficiente de reflexión que es más útil en cálculos.

Ejemplo 14.- SWR y resistencia de carga

Una línea ranurada de 50 y factor de velocidad de 0.95, se utiliza para llevar a cabo mediciones con un generador y una carga resistiva que se sabe es mayor que 50 (vea la figura). Se encuentra que el voltaje máximo en la línea es de 10 V y el mínimo de 3 V. La distancia entre dos mínimos es de 75 cm. Calcule: a) La longitud de onda de la línea.b) La frecuencia del generador.c) La SWR.d) La resistencia de la carga.


a) = 1,5 m.b) f = 190 MHz.c) SWR = 3,33.d) = 167 .



Ejemplo 13.- SWR y coeficiente de reflexión

Un cable coaxial de 75 tiene una onda estacionaria de 52 V máximo y 17 V mínimo. Calcule: a) La relación de onda estacionaria.b) El valor de la carga resistiva.c) El coeficiente de reflexión.


a) = 3,06.b)= 229,5 .c) = 0,51.


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RELACIÓN DE ONDA ESTACIONARIA

Importancia prácticaEs un parámetro fácil de medir y da una indicación de las condiciones de funcionamiento de la línea y del acoplamiento de ésta a la carga y al generador.Sus valores son: 1 ≤ SWR < ∞. Para una línea acoplada (caso ideal) es igual que 1 (se expresa como 1:1 para enfatizar que es una razón), y mientras más cerca esté la línea de ser acoplada, más cerca de 1 es su SWR. En una aplicación de transmisión, la onda estacionaria pone voltaje adicional en la línea y puede producir que falle la línea o el generador. Por ejemplo, si sucede que el generador está conectado en o cerca de un voltaje máximo, su circuito de salida quedaría sujeto a una condición peligrosa de sobrevoltaje.Es muy probable que el sobrevoltaje dañe al generador, que por esta razón suele e equiparse con circuitos para reducir su potencia de salida en presencia de una SWR mayor que 2:1.



La SWR toma valores entre 1 e infinito.

Ejemplo 15.- SWR e Impedancia característica

Una línea de transmisión de impedancia desconocida se termina con dos resistencias distintas, y la SWR se mide en cada caso. Con una terminación de 75 , la SWR mide 1,5. Con una terminación de 300 , mide 2,67. Calcule la impedancia característica de la línea.


= 112 .

9.- MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA

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¿Cuánta potencia se transfiere a la carga? (Blake, 2004)

La máxima transferencia de potencia se produce en línea acoplada.

TRANSFERENCIA DE POTENCIA

ConceptosLas reflexiones causan que la potencia absorbida en la carga sea menor de lo que sería con línea acoplada, debido a que parte de la potencia se refleja hacia el generador.

La potencia es proporcional al voltaje al cuadrado, por tanto la fracción de la potencia que se refleja es el coeficiente de reflexión al cuadrado.La cantidad de potencia absorbida por la carga es la diferencia entre la potencia incidente y la potencia reflejada.

Coeficiente de reflexión de potencia

= coeficiente de reflexión.

,= voltaje reflejado, incidente, en V.

, = potencia reflejada, incidente, en W.

Potencia absorbida 𝑃 L=𝑃 𝑖𝑃 𝑟

Cálculo rápido de la transferencia de potencia

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TRANSFERENCIA DE POTENCIA

Cálculo rápidoPara cálculos rápidos en mediciones, se usa una curva que muestra la relación entre el porcentaje de energía reflejada y la SWR.Para SWR = 1, el porcentaje de energía reflejada es 0. Para SWR = 1.5 es de 4 %, esto no es problema, ya que el 96% de la energía va a la carga. Para SWR ≤ 2, el porcentaje es menor que 10 %, lo que significa que el 90% llega a la carga. Para la mayor parte de las aplicaciones esto es aceptable.Para SWR 2, el porcentaje aumenta de manera espectacular, y deben tomarse medidas para reducir la SWR con el fin de prevenir un daño potencial. Algunos sistemas de estado sólido, cortan en forma automática cuando la SWR sube a más de 2.La solución más común para reducir la SWR es añadir una red de acoplamiento para producir un acoplamiento correcto.

¿Cuánta potencia se transfiere a la carga? (Frenzel, 2003)


Ejemplos con transferencia de potencia

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Ejemplo 16.- Potencia reflejada y disipada

Un generador envía 50 mW por una línea de 50 . El generador se acopla con la línea, pero no con la carga. Si el coeficiente de reflexión es 0.5, ¿cuánta potencia se refleja y cuánta se disipa en la carga?


Pr = 12,5 mW. PL = 37,5 mW.

Ejemplo 17.- Coeficiente de reflexión

Un transmisor entrega 50 W a una línea sin pérdida de 600 que se termina con una antena que tiene una impedancia de 275 , resistiva. Calcule:a) El coeficiente de reflexión.b) La potencia que en realidad llega a la antena

(potencia radiada).


a) = –0,371.b) PL = 43,1 W.

Ejemplo 18.- Potencia reflejada vs. SWR

Un transmisor suministra 50 W a una carga a través de una línea con una SWR de 2:1. Determine la potencia absorbida por la carga. Utilice la gráfica de % de potencia reflejada versus SWR.


PL = 44,4 W.

(Frenzel, 2003) (Blake, 2004)¿Cuánta potencia se transfiere a la carga?


10.- ACOPLAMIENTO DE IMPEDANCIA

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¿Cómo se puede acoplar la carga a línea?

La red de acoplamiento sirve para producir un acoplamiento correcto.

ACOPLAMIENTO DE IMPEDANCIAS

Red de acoplamientoLas reflexiones causan que la potencia absorbida en la carga sea menor de lo que sería con línea acoplada, debido a que parte de la potencia se refleja hacia el generador.

Se obtienen mejores resultados si la carga está acoplada con la impedancia característica; si ese no es el caso, se conecta una red de acoplamiento para corregir el desacoplamiento.El reto consiste en dejar la carga como está y emplear algún truco, matemáticamente bien fundamentado, para que la línea esté acoplada en la cercanía a la carga.

DIAGRAMA DE SMITHSi la impedancia característica y de carga tienen valores complejos, se utiliza el diagrama de Smith (Philip Smith, 1939) como ayuda para diseñar el acoplamiento de impedancias.Es un diagrama que permite visualizar impedancias complejas y la forma en la que varían a lo largo de la línea.En la actualidad, es común hacer cálculos de línea con la ayuda de una PC, pero muchos de los programas utilizan el diagrama de Smith para mostrar su resultado.

Red de acoplamiento

Diagrama de Smith


Tipos de red de acoplamiento

40El balun es un acoplador de línea balanceada a no balanceada.

TIPOS DE RED DE ACOPLAMIENTO

Descripción

Transformador Logra que la impedancia de carga resistiva se parezca a la característica, al seleccionar el número correcto de vueltas de las bobinas.

Línea de /4 Logra que la impedancia de carga resistiva se parezca a la característica, al seleccionar el valor correcto de su impedancia característica.

Reactanciaen serie

Logra que la parte reactiva de la impedancia de carga se cancele al sumar una reactancia en serie opuesta (inductiva o capacitiva).

Reactanciaen paralelo

Logra que la parte reactiva de la impedancia de carga se cancele al colocar un stub paralelo reactivo (inductivo o capacitivo) de línea cortocircuitada. Esta solución se aplica en frecuencias superiores a 30 MHz.

Transformador

Línea de /4

Stub reactivo

¿Cómo se puede acoplar la carga a la línea? (Frenzel, 2003) (Blake, 2004)

Ejemplos con redes de acoplamiento

41El diagrama de Smith ayuda a diseñar el acoplamiento de impedancias complejas.

Ejemplo 19.- Acoplamiento con transformador

Por lo común, los transformadores de RF son toroidales, con núcleo de ferrita o de hierro pulverizado. Encuentre la relación de transformación correcta de un transformador requerido para acoplar una línea de 50 con una impedancia de carga de 88.38 , resistiva.


= 66,48 .

Ejemplo 20.- Acoplamiento con línea de /4

Encuentre la impedancia característica de una línea de /4 requerida para acoplar una línea de 50 con una impedancia de carga de 88.38, resistiva.


V.Primario/V.Secundario = 0.752.

Ejemplo 21.- Acoplamiento con reactancia en serie

Utilice un capacitor o inductor en serie para acoplar una línea de 50 con una impedancia de carga de 50 + j75 , a una frecuencia de 100 MHz.


¿Cómo se puede acoplar la carga a la línea? (Frenzel, 2003) (Blake, 2004)

11.- PÉRDIDAS EN LA LÍNEA DE TRANSMISIÓN

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¿Cuáles son los mecanismos de pérdidas?

Las pérdidas aumentan con la frecuencia.

PÉRDIDAS EN LAS LÍNEAS DE TRANSMISIÓN

Ninguna línea real es completamente sin pérdidas, aunque es válida la aproximación cuando la línea es corta.

Mecanismos de pérdidas

Resistencia de los conductores

La pérdida más obvia en una línea se debe a la resistencia de los conductores. Se le llama pérdida de cobre porque este material es el común para los conductores.

La pérdida aumenta con la frecuencia debido al efecto skin, que es la tendencia de la corriente a acumularse en la capa superficial de los conductores, aumentando su resistencia al aumentar la frecuencia.

Conductancia del dieléctrico

El dieléctrico de una línea no es perfecto y tiene resistividad finita, por lo que parte de la corriente se “fuga” entre los conductores, contribuyendo a la pérdida.

Esta conductancia del dieléctrico aumenta con la frecuencia. Los coaxiales con dieléctrico de espuma tienen menor pérdida que los que utilizan polietileno sólido.

Efecto Skin

Corriente de fuga

(Anguera, 2008)

La historia de los Bel

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¿Para qué sirve el decibel?

La atenuación en la línea se mide en dB.

ORIGEN DEL DECIBEL

Evento

Originado en los Laboratorios Bell, el decibel surgió debido a la necesidad de definir una unidad que diera una idea de la pérdida de potencia (atenuación) obtenida a la salida de una línea telefónica con respecto a la entrada.

Los primeros sistemas telefónicos usaban líneas abiertas (alambres de acero paralelos de 0.9 mm de diámetro). Se observó que, cuando se inyectaba una potencia a la entrada, a una frecuencia de 886 Hz, al cabo de 10 millas la potencia se reducía a 1/10 (a un 10%).

Esta proporción de 10:1 entre la potencia de entrada y de salida se volvió una unidad de medida: se llamó Bel, en honor al inventor del teléfono Alexander Graham Bell.

Pero, debido a que la proporción 10:1 es grande, se la dividió en unidades más pequeñas, es así que nació el decibel (dB).

A = atenuación, en dB.

P1 = potencia de entrada, en W.

P2 = potencia de salida, en W.

𝐴=10 log 10( 𝑃 2𝑃 1 )Fórmula de

la atenuación

APLICACIÓN DEL DECIBEL

El decibel queda definido como una relación de dos potencias, luego se lo extiende para relacionar voltajes, corrientes o cualquier otro parámetro.

El valor de A es negativo si se ha atenuado, y positivo si se ha amplificado.

Pérdida de potencia o atenuación

Ejemplos con atenuación de línea

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Ejemplo 22.- Atenuación de línea

Una onda viaja a través de una línea de transmisión y su potencia se reduce a la mitad. Calcule la atenuación de la onda en dB.


A = –3dB.

Ejemplo 23.- Atenuación y amplificación

Una razón por la que los ingenieros usan dB para medir cambios de potencia de una señal es que los dB se suman o restan cuando se miden varios puntos. La Figura muestra una señal que viaja desde el punto 1 al 4. Está atenuada al llegar al 2. Entre 2 y 3, se amplifica. De nuevo, entre 3 y 4, se atenúa. Se obtiene los dB resultantes sin más que sumar los dB medidos entre cada par de puntos.


A1-4 = +1dB.

La atenuación de la línea se mide en dB

Los dB se pueden sumar y restar.

(Forouzan, 2007)

Ejemplos con atenuación de línea

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(Blake, 2004)


Las pérdidas de las líneas regularmente están dadas en dB por 100 metros. Una línea de transmisión acoplada tiene una pérdida de 1.5 dB/100 m. Si se suministran 10 W a la entrada de la línea, ¿cuántos W llegan a la carga situada a 27 m?.


PL = 9.1 W.


Se requiere que una fuente de RF entregue 100 W a una antena a través de un cable coaxial de 45 m con una pérdida de 4 dB/100 m. ¿Cuál debe ser la potencia de salida de la fuente, suponiendo que la línea está acoplada?


PG = 151 W.

La atenuación de la línea se mide en dB

El dB es una relación de potencias.

Atenuación vs. Frecuencia en líneas

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¿Cómo varía la atenuación en función de la frecuencia? (Stallings, 2004)

Los pares trenzados y coaxiales no se usan en frecuencias de microondas.

ATENUACIÓN VS. FRECUENCIA

En líneas de transmisiónAl elegir una línea, debe ponerse atención a las pérdidas. Recuerde, por ejemplo, que una pérdida de 3 dB en una línea entre un transmisor y su antena significa que sólo la mitad de la potencia del transmisor llega a la antena. El resto de la potencia circula como calor en la línea.

A modo de comparación, se muestran la atenuación de algunos tipos de líneas en función de la frecuencia de operación del sistema.

Atenuación vs. Frecuencia en líneas

2015-2-Microondas_sem_01.02,03

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