Cómo valorar los Bonos y las Acciones

Dr.(c) Fernando García-Rada

Definición y ejemplo de un bono Un bono es un certificado que muestra que un

prestatario debe una suma específica. Para reembolsar el dinero, el prestatario se obliga a hacer pagos de intereses y del principal en las fechas designadas.

Por ejemplo, imagine que una empresa acaba de emitir 100 000 bonos de 1000 dólares cada uno, con una tasa de cupón de 5% y un vencimiento de dos años. Los intereses se deben pagar anualmente. Esto significa que:

1. $100 millones (=100000 x $1000) han sido tomados en préstamo por la empresa.

2. La empresa debe pagar 5 millones de dólares de intereses ( = 5% x $ 100 millones) al final de un año.

3. En el segundo año la empresa debe pagar 5 millones de dólares de intereses, así como $ 100 millones de principal.

Cómo valuar los bonosBonos a descuento puro Es la forma más sencilla de bonos. Promete un solo

pago , digamos un dólar, en una fecha futura fija.

Si el pago es un año después de hoy, se le denomina bono a descuento de un año; si se debe realizar el pago dos años después de hoy, se le denomina bono a descuento puro de dos años, y así sucesivamente.

La fecha en la que el emisor del bono hace el último pago se denomina fecha de vencimiento del bono, o simplemente vencimiento.

Se dice que el bono vence o expira en la fecha de su pago final. El pago al vencimiento (un dólar en este ejemplo) recibe el nombre de valor nominal o valor a la par del bono.

Con frecuencia los bonos a descuento puro reciben el nombre de bonos cupón cero o ceros para poner de relieve el hecho de que el tenedor no recibe pagos de efectivo hasta el vencimiento.

Se emplearán los términos cero y descuentos de manera intercambiable para denominar bonos que no pagan cupones.

A continuación mostramos un cuadro donde se aprecia distintos tipos de bonos:

En este cuadro observamos en la primera fila los Bonos a descuento puro de cuatro años. Observe que el valor nominal, F, se paga cuando el bono expira en el mes número 48. No ya pagos de intereses o de principal antes de esa fecha.

Para determinar el valor de un bono (su valor presente) se descuenta el flujo de efectivo futuro.

Considere un bono a descuento puro que paga un valor nominal de F en T años, y cuya tasa de interés es de R en cada uno de los T años. (Esta tasa también se conoce como tasa de interés del mercado) Debido a que el valor nominal es el único flujo de efectivo que paga el bono, el valor presente de este monto nominal se calcula como sigue:

Valor de un bono a descuento puro:

Bonos con cupones uniformes Los bonos típicos emitidos ya sea por los gobiernos

o las corporaciones ofrecen pago de efectivo no sólo en la fecha de vencimiento, sino también en épocas regulares e intermedias.

Por ejemplo, los pagos sobre las emisiones del gobierno de Estados Unidos y sobre los bonos corporativos estadounidenses se hacen cada seis meses hasta que el bono vence. Estos pagos reciben el nombre de cupones del bono.

En la figura anterior también se ilustra el caso de un bono con cupones uniformes de cuatro años. El cupón, C, se paga cada seis meses y es el mismo a través de toda la vida del bono.

En la figura anterior se aprecia que el valor nominal del bono ( F ) se paga al vencimiento, fin del año cuatro. Algunas veces F se denomina principal o denominación.

Como ya se mencionó, el valor de un bono es simplemente el valor presente de sus flujos de efectivo. Por lo tanto, el valor de un bono con cupones uniformes es meramente el valor presente de su corriente de pagos de cupones más el valor presente de su reembolso de principal.

Debido a que un bono con cupones es tan sólo una anualidad de C cada periodo, junto con un pago al vencimiento de F, el valor de un bono con cupones uniformes se calcula así:

Donde: C = Cupón del bono R = Tasa de interés por periodo F = Valor nominal del bono (Principal o denominación) T = Número de periodos

Aplicando la fórmula de ANUALIDAD tendríamos:

Recordando el calculo de una anualidad Para entender el cálculo de una anualidad primero

debemos saber que es una Perpetuidad y cómo se calcula.

Una perpetuidad es una corriente constante de flujos de efectivo que no tiene fin. Si usted piensa que las perpetuidades no tienen relevancia en la realidad, se sorprenderá de saber que hay un caso bien conocido de una corriente de flujo de efectivo sin final: los bonos británicos denominados Consols.

Un inversionista que compre un consol tiene derecho a recibir un interés anual del gobierno británico para siempre.

Ahora vamos a determinar el precio de un consol: Considere un consol que paga un cupón de C dólares cada año y que seguirá haciéndolo por siempre, aplicando la fórmula del valor presente tenemos:

Ahora trabajemos sobre esta expresión:

Sea:

Luego hagamos:

Luego:

Luego:

Entonces:

Finalmente:

En ese sentido:

El valor presente de la Perpetuidad (el precio del consol) es:

Donde: C = es el cupón R = Tasa de interés por periodo

Ejemplo aplicativo de Perpetuidades: Considere una perpetuidad que paga 100 dólares al

año. Si la tasa de interés relevante es de 8%, ¿Cuál será el valor del consol?

Aplicando la fórmula el Valor del consol (Valor Presente) será:

Ahora suponga que la tasa de interés disminuye a 6%.

Usando la fórmula el valor presente de la perpetuidad es:

Observe que el valor de la perpetuidad aumenta cuando disminuye la tasa de interés. De manera opuesta, el valor de la perpetuidad disminuye cuando la tasa de interés aumenta.

Ahora sí podremos comprender el cálculo de la Anualidad…

Una anualidad es una corriente uniforme de pagos regulares que dura un número fijo de periodos.

Para determinar el valor presente de una anualidad es necesario evaluar la siguiente ecuación:

El valor presente de recibir los cupones de únicamente T periodos debe ser inferior al valor presente de un consol, pero, ¿qué tanto menos? Para responder esto, tenemos que contemplar los consol un poco más de cerca.

Considere la siguiente gráfica:

En el cuadro observamos que el consol 1 es un consol normal y su primer pago ocurre en la fecha 1.

Observamos también que el primer pago del consol 2 ocurre en la fecha T+1

El Valor Presente de tener un flujo de efectivo C en cada una de las fechas T es igual al valor presente del consol 1 menos el valor presente del consol 2.

El Valor Presente del consol 1 está dado por:

El consol 2 es tan sólo un consol en el que el primer pago ocurre en la fecha T+1. A partir de la fórmula de la perpetuidad este consol tendrá un valor de C/R en la fecha T.

Sin embargo, no se desea determinar el valor en la fecha T. Se quiere el valor ahora, en otras palabras, el valor presente en la fecha cero.

Para hallarlo es necesario volver a descontar C/R en T periodos. Por lo tanto, el valor presente del consol 2 es:

En ese sentido, el Valor Presente de tener flujos de efectivo durante T años es el valor presente de un consol con su primer pago en la fecha 1 menos el valor presente de un consol con su primer pago en la fecha T+1.

De este modo, el valor presente de una anualidad es:

Que también se puede escribir así:

Ejercicio aplicativoSuponga que es el mes de noviembre de 2006 y que considera comprar un bono del gobierno.

En le Wall Street Journal se aprecian algunos 13 de noviembre del 2010 (Este es un modismo que significa que la tasa del cupón anual es de 13%).

El valor nominal del bono es de 1000 dólares, lo cual implica que el cupón anual es de $ 130 ( = 13% x $ 1000).

Los intereses se pagan en los meses de mayo y noviembre, lo cual implica que cada seis meses el cupón es de $65 ( = $130/2 )

El valor nominal se pagará en el mes de noviembre del 2010, cuatro años después de hoy.

Con esto quiere decir que el comprador obtiene derechos sobre los siguientes flujos de efectivo:

Si la tasa de interés anual estipulada en el mercado es de 10% por año, ¿Cuál es el valor presente del bono?

SOLUCIÓN:La tasa de interés sobre cualquier intervalo de seis meses es la mitad es la mitad de la tasa de interés anual estipulada….

En ese sentido, para este ejemplo la tasa semestral es de 5% ( = 10%/2 ). Debido a que el pago del cupón en cada periodo de seis meses es de 65 dólares, y existen ocho de estos periodos de seis meses desde noviembre de 2006 hasta noviembre de 2010, el valor presente del bono es:

La suma de los primeros ocho elementos de esta ecuación es, según la fórmula aprendida:

Entonces el Valor Presente será:

RESPUESTA:El valor presente del bono del gobierno es $ 1096.948

Ahora siguiendo este esquema:

La cantidad de dinero que se acumula en el periodo T (el Valor Futuro) es:

Haciendo los cálculos sería:

Luego, sea:

Luego:

Despejando S resulta:

Entonces la fórmula del valor futuro será:

Reordenando tenemos:

Ejemplo aplicativo

Retiro de inversión: Suponga que usted deposita 3 000 dólares por año en un banco. La cuenta paga 6% de intereses por año. ¿Qué cantidad de dinero tendrá usted cuando se retire dentro de 30 años?

SOLUCIÓN:Esta pregunta se refiere al valor futuro de una anualidad de 3 000 dólares por año durante 30 años a 6%, el cual se puede calcular como sigue:

Por lo tanto usted tendrá cerca de un cuarto de millón de dólares en la cuenta.

VALORACIÓN DE ACCIONES

¿Cómo valorizar acciones? Las acciones proporcionan dos tipos de flujos de

efectivo.

Primero, pagan con frecuencia dividendos.

Segundo, el accionista recibe el precio de venta cuando vende la acción.

Por lo tanto, para valuar las acciones comunes, es necesario responder la siguiente pregunta:

¿A cuál de los siguientes es igual el valor de una acción?

1. Al valor presente descontado de la suma del dividendo del siguiente periodo más el precio de la acción en el siguiente periodo.

2. El valor presente descontado de todos los dividendos futuros.

Ambas respuestas son correctas, para ver por qué 1 y 2 son lo mismo, imaginemos a una persona que compra acciones y decide mantenerlas durante un año. En otras palabras, tiene un periodo de tenencia de un año.

Además, el inversionista está dispuesto a pagar por las acciones del día de hoy.

Es decir, se calcula:

es el dividendo que se paga al final del año, y es el precio al final del año. es el valor presente de la inversión en acciones. El término del denominador, r, es la tasa de descuento apropiada de la acción.

Pero ¿De dónde viene ? no es una expresión que salga de la nada. En lugar de ello, debe haber un comprador al final del año 1 que esté dispuesto a comprar la acción en .

Este comprador determina el precio así:

Reemplazando esta formula de en la fórmula de se obtiene, luego de hacer las ordenaciones pertinentes:

Aquí también es válido preguntarse, quién es .

Siguiendo el procedimiento anterior recursivamente llegamos a:

De este modo vemos que para el inversionista el valor de las acciones comunes de una empresa es igual al valor presente de la totalidad de los dividendos esperados en el futuro.

Finalmente, estos Dividendos pueden mantenerse constantes en el tiempo, crecer siempre a una misma tasa o crecer a diferentes tasas, estos tres casos los vimos en el primer paquete de diapositivas.

Caso 1: Crecimiento cero

Caso 2: Crecimiento constante

Caso 3: Crecimiento diferencial

Ejemplo de crecimiento diferencial

SOLUCIÓN: Aplicando la fórmula tenemos:

RESPUESTA: El valor de la acción es de $ 28.89