2020 ejercicios

Análisis Matemático 1

2020 ejercicios

Marcelo O. Sproviero

xxy sen=

y

x

Análisis Matemático - 2020 ejercicios Marcelo Oscar Sproviero Es propiedad – Queda hecho el depósito que marca la ley 11723 Editor: Marcelo Oscar Sproviero Ninguna parte del texto de este libro puede ser fotocopiada o reproducida por cualquier medio, sin la expresa autorización del autor.

Análisis Matemático 1

2020 ejercicios

Es para mi un placer presentar la tercer edición de ejercicios de Análisis Matemático 1 que pretende ser una herramienta auxiliar para el docente y un complemento para el estudiante de las diversas carreras. Los ejercicios están graduados de acuerdo al nivel de dificultad y algunos de ellos fomentan la consulta de bibliografías y desafían al lector más interesado. Quiero agradecer a varios de mis colegas y a muchos alumnos que a lo largo de estos años han aportado sus ideas y me han entusiasmado para seguir escribiendo.

Marcelo O. Sproviero [email protected]

CONTENIDOS 1 - Conjunto de números reales ........................................................................pág. 1 2 - Funciones .....................................................................................................pág. 7 3 - Límite funcional............................................................................................pág. 25 4 - Continuidad..................................................................................................pág. 69 5 - Diferenciación..............................................................................................pág. 75 6 - Integración................................................................................................... pág.107 Respuestas e ejercicios de número impar...........................................................pág.123

1- Conjunto de números reales 1.1 Valor absoluto - Intervalos – Cotas – Extremos – Entornos Valor absoluto Se define valor absoluto de un número real x y se denota x a x si 0≥x ó x− si 0<x ; por ejemplo 1515 = ; 00 = ; 100)100(100 =−−=− Propiedades fundamentales Sea 0≥k , entonces a) kx = ⇔ kx = ó kx −= b) kx ≤ ⇔ kxk ≤≤− c) kx ≥ ⇔ kx ≥ ó kx −≤ d) yxyx +≤+ e) yxyx −≥−

f) yxxy =

g) yx

yx=

h) xyyx −=−

i) xx =2

Ejercicios resueltos

***Determinar, si existe, el valor de x*** EJEMPLO 1) 31 ≤+x Aplicando la propiedad b) del valor absoluto es

313 ≤+≤− x 24 ≤≤− x

Luego [ ]2,4−∈x La gráfica sobre la recta real es ℜ -4 2 EJEMPLO 2) 512 >−x Aplicando la propiedad c) del valor absoluto es

512 >−x ó 512 −<−x 62 >x ó 42 −<x

3>x ó 2−<x Luego ( ) ( )+∞∪−∞−∈ ,32,x La gráfica sobre la recta real es ℜ ∞− -2 3 ∞+ EJEMPLO 3) 1424 =−x Aplicando la propiedad a) del valor absoluto es

1424 =−x ó 1424 −=−x 164 =x ó 124 −=x

4=x ó 3−=x La gráfica sobre la recta real es ℜ -3 4

Análisis Matemático 1 - 2020 ejercicios

2

EJEMPLO 4) 73 +<− xx Aplicando la propiedad b) del valor absoluto es

43421A

xx <+− 7 - 43421

B

x 73 +<

Resolvemos la inecuación A 37 −<+− xx ⇔ 37 +−>+ xx ; luego es

37 +−>+ xx ó )3(7 +−−<+ xx Operando encontramos (1) 2−>x ó (2) 37 −< FALSO para todo número real. Resolvemos la inecuación B

37 −>+ xx , luego es 37 −>+ xx ó )3(7 −−<+ xx

Operando encontramos (3) 37 −> VERDADERO para todo número real ó (4) 2−<x De (1) y (3) se tiene

( ) ( )∞+−=ℜ∩∞+− ,2,2 o bien de (2) y (4) resulta

( ) ∅=−∞−∩∅ 2, Luego ( ) ∅∪∞+−∈ ,2x ⇒ ( )∞+−∈ ,2x La gráfica sobre la recta real es ℜ -2 ∞+ *** Hallar, si existen, las cotas, extremos superior e inferior, máximos y mínimos de los siguientes conjuntos*** EJEMPLO 5) { }61/ <≤= xxA La gráfica sobre la recta es ℜ 1 6 Se observa que 1, 0, -10, etc. son cotas inferiores; luego el conjunto de cotas inferiores de A es { }1/ ≤xx 1 es el extremo inferior o INFIMO pues es la mayor de las cotas inferiores; además como pertenece al conjunto es el MINIMO de A 6, 7, 100, etc. son cotas superiores, luego el conjunto de las cotas superiores de A es { }6/ ≥xx 6 representa el extremo superior o SUPREMO pues es la menor de las cotas superiores; pero como no pertenece al conjunto, no es un MAXIMO. El conjunto A está acotado pues posee cota superior e inferior. EJEMPLO 6) ( )0,∞−=A Observa que A no tiene cotas inferiores. Supremo 0. Cotas superiores { }0/ ≥xx . No posee máximo, pues 0 no pertenece al conjunto.

EJEMPLO7) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈= Nnn

A ,12

El conjunto A es una sucesión ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ...,

161,

91,

41,1

Conjunto de números reales

3

Conjunto de cotas inferiores: { }0/ ≤xx . Infimo: 0. No posee mínimo. Conjunto de cotas superiores: { }1/ ≥xx . Supremo y máximo: 1. EJEMPLO 8) { }16410/ =∨<−= xxxA Por propiedad del valor absoluto es

4104 <−<− x 146 << x

La gráfica es ℜ 6 14 16 Conjunto de cotas inferiores:{ }6/ ≤xx . Infimo: 6. No posee mínimo. Conjunto de cotas superiores:{ }16/ ≥xx . Supremo y máximo: 16. *** Expresar los siguientes conjuntos como entornos*** Un entorno puede considerarse como un intervalo abierto de centro a y radio r. Se indica

)(aE ℜ a-r a a+r Si a no pertenece al intervalo, se llama entorno reducido. Se indica )(aE ′ EJEMPLO 9) { }31/ <+= xxA Por la propiedad del valor absoluto es

313 <+<− x 24 <<− x

3 ℜ 4− 1− 2 El entorno tiene centro en 1− y radio 3 ; )1(−E EJEMPLO 10) { }150/ <−<= xxA Por propiedad del valor absoluto es

151 <−<− x ∧ 5≠x 64 << x ∧ 5≠x

Observa que el entorno es reducido pues 5 no pertenece a A. El entorno tiene centro en 5=x y radio 1; se indica )5(E ′ . 1 ℜ 4 5 6


4

Ejercicios Propuestos *** Resolver y expresar en notación de intervalo cuando sea posible.*** 1) 1024 >−x 2) ( ) 53/244 ≤−≤ x 3) 1021 ≤−<− x 4) 715 +≤−≤ xxx

5) 1446 =x 6) 10102 =− x 7) xx =− 24 8) 131 ≤− x

9) 10>x 10) 26

2≥

−x 11) 32

10 ≤+

<x 12)

211

72

>x

13) 416

44

244

2 ++

−=

−+

+−

xx

xxxx 14) 8

42

=+x

15) 35

1+=

− xx 16) 321 >−+ x

17) 12)27( 2 =− x 18) 1141512 −<−−−+ xxx 19) 12 +<− xx 20) 4−≥ xx

21) xx 23 <+ 22) 3123

≤−+

xx 23) 1

214 =−− x 24) xxx

>+−+ 154

*** Representa gráficamente los siguientes conjuntos***

25) { }5/ <= xxA 26) { }2/ ≥= xxB 27) { }110/ <+= xxC 28) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≤−

= 13

6/ xxD

29) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

>+

= 14

102/ xxE 30) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

>−

= 831

5/x

xF 31) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=∨<−= 10321/ xxxG

32) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ <

+<−= xxxxH 2

431/ 33)

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ >∨<<−= 7

25

22/ xxxI 34) ( ) ( )∞+∪∞−= ,32,J

35) ( ]1,−∞−=K 36) [ ] [ ]6,10,3 −∩−=L 37) ( ) ( )2,34,1 −−−=M

38) ( ] [ ] [ ]{ }3,23,010,4 −∪=S 39) { }cT 3,2,1= *** Obtener el conjunto solución *** 40) ( ) 22 )5(5 xx −<−

43) 15531 >+− x

41) xx −=−− 31π

44) 240 <−< x

42) 133 −> xx

45) 01243 =−++ xx *** Halla si existen cotas, extremos superior e inferior, máximos y mínimos de los siguientes conjuntos *** 46) { }31/ <≤− xx

49) { }101/ <+xx

52) { }16/ ≥∧≤ xxx

55) { }0152/ 2 =−− xxx

47) { }21/ ≤< xx

50) { }82/ ≤xx

53) { }42/ ≥∨< xxx

56) { }022/ 23 =+−− xxxx

48) { }97/ =∨< xxx

51) { }5/ >xx

54) { }102/ =∨≤≤− xxx

57) { }1/ 2 <xx

Conjunto de números reales

5

58) [ )21,10−

61) ( )∞+,2

64) ( )10100 10,10 −− ∪ ( ]1,10 100−

59) ( )34

31 ,

62) ( )∞+∞− ,

65) [ ) ( )107

52

21

31 ,, ∩

60) ( ]ππ ,2

63) ( ]10,∞−

66) ( ) [ )1,12,0 −− *** Dadas las siguientes sucesiones, determinar el conjunto de cotas superiores, inferiores, extremos superior e inferior, máximos y mínimos, si es que existen ***

67) { }12 +n 68) { }n−1 69){ }n4− 70) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +11

2n 71)

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

11

nn 72)

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ −

nn21

73) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

nn

243 74)

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧− 2

2n

75) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ + 4

21n 76)

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ − nn101 77)

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

2

2n 78) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+

!)1(!)1(

nn

79) { }!n 80) { }5)1( +− n 81) { }nn)1(− 82) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +

+n

n3

31

1 83){ }nln1− 84) { }n

n )1(−

85) { }...2,2,2,50,2 − 86) { },...1,3,1,3,1 −−− 87) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

nπsen 88)

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

n1 89) { }n 3 90)

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ −

n

n)1(

*** Expresar como entorno los siguientes conjuntos, indicando centro y radio *** 91) { }62/ <<− xx

94) { }3/ <xx

97) { }2/ 31 <+xx

100) { }370/ <−< xx

103) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ <

−<− 2

311/ xx

106) ( )7,1−

109) ( )9log,4log 32/1

92) { }25/ −<<− xx

95) { }62/ <−xx

98) { }11/ 3 <+xx

101){ }810/ <+< xx

104) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ >

−> 10

2215/ xx

107) ( )21

31 ,

110) ( )3/13/1 3.2,3

93) { }212/ <<− xx

96) { }54/ <+xx

99) { }311

214/ <−xx

102) { }1630/ <+< xx

105) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +<

+< 3

617/ xxxx

108) ( )26 sen,sen ππ

111) ( )ba, a y b son reales distintos

*** Dados los siguientes conjuntos, dar un entorno con centro en el origen, que lo contenga***

112) { }93/ ≤≤ xx 113) { }14/ <<− xx 114) { }33/ <≤− xx 115){ }4/ ≤xx 116) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ≤

21/ xx

117) ( )10,20− 118) [ ]10,20− 119) [ )0,π 120) ( ]5,100− 121) [ ]!7,!5 122) ( )!0,3 !2− 123) [ ]1010,2 124) Determinar un entorno con centro en 2=x que incluya al intervalo ( ]4,3− . ¿Es único?.

125) Escribir en términos de valor absoluto un entorno de centro 5 y radio 71

126) Expresar en términos de valor absoluto un entorno reducido de centro 4− y radio 2


6

2- Funciones 2.1 Dominio - Ámbito Una relación entre elementos x e y, definida entre dos conjuntos A y B es una función, si a cada valor de x le corresponde un único valor de y. Se denota )(xfy = , donde los valores que se asignan a x, constituyen el domino de la función y los valores que toma y conforman el ámbito o la imagen de la misma.

Ejercicios resueltos *** Hallar los valores de las siguientes funciones según se indica*** EJEMPLO 1) )(cos);();2( xfxff −− ; )( hxf + para 76)( 2 −+= xxxf Sustituyendo en la variable x , resulta

157)2(6)2()2( 2 −=−−+−=−f

7cos6cos)(cos 2 −+= xxxf

767)(6)()( 22 −−=−−+−=− xxxxxf

7)(6)()( 2 −+++=+ hxhxhxf EJEMPLO 2) )0(;)3.4(;)3.4( fff − para la función parte entera de x La función parte entera de x se denota [ ]xxf =)( La parte entera de un número real x es [ ] kx = donde k es el mayor entero que no supera a x tal que

1+<≤ kxk En nuestro caso es: 4)3.4( =f ; 5)3.4( −=−f y 0)0( =f *** Hallar, si existen, los ceros reales de las siguientes funciones***

EJEMPLO 3) 434

11

3)( 2 −+−

+−

−=

xxx

xxxf

Los ceros reales de una función, son aquellos valores reales de x que la anulan; esto es 0)( =xf Si la función se anula para un cierto valor de x del dominio entonces se cumple

0434

11

32 =

−+−

+−

− xxx

xx

Resolviendo es:

13011230)4)(1()1()4(3

−=⇒=−+−+⇒=+−

−−−+ xxxxxx

xxx

EJEMPLO 4) 3)1(3112)( −+++= xxxf Haciendo 0)( =xf resulta

)1(3311203)1(3112 +−=+⇒=−+++ xxxx Elevando al cuadrado ambos miembros y operando es:

1)1(36

)1(3)1(369112

+=+

+++−=+

xx

xxx

Elevando nuevamente al cuadrado resulta

Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios

8

1071010710612)33(36 2122 =∧−=⇒=−−⇒++=+ xxxxxxx

Solamente tomamos el valor 1−=x que satisface lo pedido. *** Determinar los valores de x tales que 0)( >xh *** EJEMPLO 5) 422)( −−+= xxh

Según lo pedido es 0)( >xh ; luego

4220422 >−+⇒>−−+ xx

Aplicando una de las propiedades del valor absoluto, se tiene: )1(422 >−+x ó )2(22422 −<+⇒−<−+ xx

La desigualdad )2( es falsa; luego en )1( es:

3462 >⇒>+ xx Por lo tanto la función )(xh es positiva en el intervalo ( )∞+,34 , llamado intervalo de positividad. Verifíquese. EJEMPLO 6) 20)( 2 −−= xxxh

En este caso es 0202 >−− xx ; factorizando, resulta 0)5)(4( >−+ xx (1) Para que se cumpla la desigualdad (1), existen dos posibilidades a)

04 >+x ∧ 05 >−x 4−>x ∧ 5>x

Luego, los valores que satisfacen ambas desigualdades pertenecen al intervalo ( )+∞,5 Observe la gráfica, las semirrectas se superponen para 5>x -4 0 5 ℜ b)

04 <+x ∧ 05 <−x 4−<x ∧ 5<x

Luego, los valores que satisfacen ambas desigualdades pertenecen al intervalo ( )4,−∞− Observa la gráfica, las semirrectas se superponen para 4−<x - 4 0 5 ℜ Por lo tanto de a) o b) se tiene que ( ) ( )+∞∪−∞−∈ ,54,x - 4 0 5 ℜ En este caso resulta la unión de dos intervalos de positividad.

Funciones

9

*** Determinar los valores de x tales que 0)( <xg *** EJEMPLO 7) Función seno hiperbólico xxg senh)( = Las funciones hiperbólicas se definen mediante combinaciones de funciones exponenciales, en nuestro caso es

2senh

xx eex−−

=

Luego 0)( <xg ; por lo tanto 0002

<⇒<⇒<−⇒<− −−

−

xeeeeee xxxxxx

En consecuencia los valores de x pertenecen al intervalo ( )0,∞− ; llamado intervalo de negatividad. Cálculo de dominios Cuando se quiere hallar el dominio de ciertas funciones se debe tener especial cuidado en aquellas cuyas expresiones contienen denominadores; raíces de índice par o logaritmos. *** Determinar el dominio de las siguientes funciones*** EJEMPLO 8) 1)( 24 +−= xxxf La función es polinómica, luego el dominio es el conjunto de números reales: ℜ=D

EJEMPLO 9) 86

1)( 2 +−=

xxxf

Se observa que el denominador de la función debe ser distinto de cero. Calculamos las raíces haciendo 0862 =+− xx ; donde se obtiene 2=x y 4=x . Luego { }4,2−ℜ=D

EJEMPLO 10) 810

10)( 23 +−+−

=xxx

xxf

En este caso debemos hallar las raíces del denominador para excluirlas del dominio. Se observa que 11 =x es raíz del polinomio; luego 81023 +−+ xxx es divisible por 1−x . La primer raíz

1x se busca en forma arbitraria ensayando valores que anulen el polinomio. Aplicando ahora la regla de Ruffini es 1 1 -10 8 1 1 2 -8 1 2 - 8 0 Por lo tanto el cociente es 822 −+= xxC . Al calcular las raíces de C , se obtienen 22 =x y 43 −=x . Luego el dominio es { }4,2,1 −−ℜ=D EJEMPLO 11) xxf /110)( = El dominio de la función es { }0−= RD pues para 0=x se anula el denominador del exponente. EJEMPLO 12) 5)( −= xxf Se observa que el radicando de la función debe ser mayor o igual a 0; esto es 05 ≥−x ⇒ 5≥x Luego el dominio es D = [ )∞+,5


10

EJEMPLO 13) )6ln()( += xxf El logaritmo está definido para valores reales mayores que 0, entonces

06 >+x ⇒ 6−>x Luego el dominio es ( )∞+−= ,6D EJEMPLO 14) xgxf cot)( =

Siendo xxxg

sencoscot = , resulta que deben excluirse del dominio aquellos valores que anulan el

denominador. Estos valores son ...,3,2,,0 πππ ±±± ; luego el dominio es { }ZkkxxD ∈∧≠ℜ∈= π/ EJEMPLO 15) 20)( 2 −−= xxxf

El radicando debe ser no negativo; esto es 0202 ≥−− xx ; factorizando, resulta 0)5)(4( ≥−+ xx

Según lo visto en el ejemplo 6) y considerando ahora que el radicando puede valer 0, resulta ( ] [ )∞+∪−−∞= ,54,D

o bien ( )5,4−−ℜ=D

EJEMPLO 16) )!2(

!)(−

=x

xxf

El factorial de x , que se simboliza !x ; es el producto de los x primeros enteros positivos En particular se establece 1!0 = En la función propuesta se debe cumplir:

0)1(0)!2(

)!2)(1(0

)!2(!

≥−⇒≥−

−−⇒≥

−xx

xxxx

xx

Luego el dominio es ( ] [ )+∞∪∞− ,10, EJEMPLO 17) ( )xxf loglog)( = Debe cumplirse: 00log >∧> xx Las dos desigualdades se satisfacen para valores de x mayores a 1; luego el dominio es ( )+∞= ,1D EJEMPLO 18) xthxf =)(

La tangente hiperbólica se define como: xx

xx

eeeexth−

−

+

−=

El dominio es el conjunto de números reales. No hay valores de x que anulen el denominador de la función. EJEMPLO 19)

⎩⎨⎧

≤<−≤<

=203526

)(xsixsix

xf

La función está definida por secciones; el dominio correspondiente es ( ]5,0=D

Funciones

11

Ejercicios Propuestos *** Hallar )5(f ; )(af ; )(sen xf *** 1) 12)( −= xxf 2) )3ln()( += xxf 3) xxf −= 10)(

4) xxf cos)( = 5) xexf −=)( 6) xxxf =)( *** Hallar

hxfhxf )()( −+ ***

7) xxf 4)( = 8) 100)( =xf 9) 2)( xxf =

10) 13)( 2 +−= xxxf 11) x

xf 1)( = 12) xexf =)(

*** Hallar si existen los ceros reales de cada una de las siguientes funciones*** 13) xxf 54)( −= 14) 9)5()( 2 +−= xxf 15) 22)( 23 +−−= xxxxf

16) 3

49

2)( 2 ++

−=

xxxf 17)

11

112

212)(

−+

+−

+=

xxxxf 18) x

xxxxf +

−−+

=1

32)(2

19) 745)( −−+= xxxf 20) ( )xxxxf 31)( −+= 21) 943)( +−+= xxxf

22) 4

32

1)(+

−+

=xx

xf 23) xxf 3211)( +−= 24)

xx

xf =)(

25) 524)( −= xxf 26) 137)( +−= xxxf 27) 155.225)( 33 −−= −− xxxf

28) 1lnln3)( 22 −+= xxxf 29) ( )( ))43(logloglog)( 432 += xxf 30) 2)12(log)( /1 ++= xxf x

31) xxxf sencos)( −= 32) xxxf sen)2cos()( += 33) )tg1(tg)( xxxf +=

34) 12cos2sen)( 22 −+= −− xxxf 35) xxf cosh1)( −= 36) 1

11sen)( 1 −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

= −

xxxf

*** Hallar si existe ℜ∈x tal que 0)();0)() <> xfbxfa *** 37) xxf −= 10)( 38) 524)( −+= xxf 39) 3011)( 2 +−= xxxf

40) 61)(

−+

=xxxf 41) 3

21)( −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

x

xf 42) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

xx 14ln

43) xxxf ln)14ln()( −+= 44) 3 2 1892)( +−−= xxxxf 45) )4tg()( xxf =

*** Determinar el ámbito de las funciones según los valores de x que se indican *** 46) 6−= xy si 41 <≤− x 47) xxy 32 +−= si ( ]4,0∈x


12

48) [ ]xy = (parte entera) si 24 ≤<− x 49) xy 49 −= si 0<x

50) 2xey −= si ℜ∈x 51) )3ln( += xy si ( )2,3 −−∈x

52) x

ylog

31⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= si 1>x 53) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= π

41seny si ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−∈ 0,

2πx

54) xy 1sen −= si [ ]1,1−∈x 55) )log(cos xy = si 2/0 π<≤ x

*** Sea la función bmxxf +=)( , hallar m y b según los datos que se indican ***

56) 5)4(;3)1( −=−−= ff 57) )1(24)3( xfxxf +=− 58) )12()( += xfxf ***Sea la función cbxaxxf ++= 2)( , determinar a , b y c según los datos que se indican***

59) 6)4( −=f ; 0)2( =f ; 6)1( −=−f 60) 22)31()1( xxfxf −−=+

61) Sea xx ececxf −+= 21)( , hallar 1c y 2c si e

eff232)1(;5)0( +

=−=

62) Seadcxbaxxf

++

=)( hallar a, b, c, y d si 1)0( −=f ; 41)1( −=−f ; 0

23

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−f y 7)2( −=f

*** Determinar si )()( xgxf = ***

63) 525)(

2

+−

=x

xxf 5)( −= xxg 64) x

xxf 2)( = x

xg 2)( =

65) 2log)( xxf = xxg log2)( = 66)

xxf

+=

11)(

11)(

−−

=xxxg

*** Determinar el dominio de las siguientes funciones ***

67) xxy −= 2 68) 1

12 +

=x

y 69) 44 24 −− −= xxy 70) 1+−= xxy

71) 1−

=x

xy 72) 4

22 −+

=xxy 73)

652 +−=

xxxy 74)

1872

2

2

−+−

=xxxy

75) xxxxxy

361

2

23

−+−−

= 76) 11

3

3

−+

=xxy 77)

xxx 6123 −−

78) 1036

1023

2

−++−

=xxx

xy

79) 234

3

2 xxxxy++

= 80) 2332

523 +−−−

xxxx 81)

xxxxxx

863103234

2

+−−++ 82) ecxy cos=

83) xy cos= 84) )2sen( xy = 85) xy tg= 86) xy sec=

Funciones

13

87) 3 2 9−= xy 88) xy −=21 89) 1072 +−= xxy 90) xxy

212 +=

91) 1442 −= xy 92) 31 xy −= 93) 1892 ++= xxy 94) 11

+−

=xxy

95) xx

xxy62

3 2

−

−= 96)

5362

+

−=

xxy 97) x

xy −=

1 98) )3)(5(

1+−

−=

xxxy

99) xxy2

1−= 100) 13 −= xy 101) xy /13= 102) 1−= xey

103) )3ln( −= xy 104) )5ln( 2−= xy 105) ( )65ln 2 −−= xxy 106) 264ln xxy −=

107) xy 100log= 108) )5log( 2 +x 109) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

xey 1ln 110) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

=31log

xxy

111) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++

=3

65log2

xxxy 112) ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−+

=245

1ln 2 xxy 113)

2

xx eey−−

= 114) 2

xx eey−+

=

115) xy 1sen −= 116) xy 1cos−= 117) xy 1tg−= 118) !1 xy −=

119) 123 −−+= xxy 120) )lnln( xxy = 121) 21sen xy −= 122) xy cos1sen −=

123) !)4ln( −= xey x 124) 11

−

−=

xx

y 125) ⎪⎩

⎪⎨⎧

≤<−

>=

01

0ln3 xsix

xsixy 126)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<≤−=>

=302

3134

xsixxsixsi

y

2.2 Gráfico aproximado de funciones elementales Las funciones pueden representarse gráficamente en el plano cartesiano de ejes x e y . El conjunto ( ){ })(, xfyyxS == describe la función )(xf donde cada par ordenado ),( yx determina un punto del plano. Los gráficos permiten visualizar el comportamiento de la función en las diferentes regiones del dominio.

Ejercicios resueltos *** Representar en forma aproximada las siguientes funciones*** EJEMPLO 20) 322 +−= xxy Observamos que la función representa una parábola. El dominio es ℜ=D Para hallar la intersección con el eje y, anulamos la variable x; por lo tanto

330.202 =+−=y Para determinar la intersección con el eje x, anulamos la variable y; luego

0322 =+− xx ⇒ ixix 21;21 21 −=+= Siendo las raíces complejas, la curva no corta al eje x Para encontrar las coordenadas del vértice, se tiene


14

12

21 =+

=xx

xv

231.212 =+−=vy Luego el vértice es ( )2,1=V La gráfica es y 3 2 1 x EJEMPLO 21) Función signo: )sgn(xy =

⎩⎨⎧

<−>

=0101

)sgn(xsixsi

x

Es una función definida por secciones, la gráfica es y 1 x -1 EJEMPLO 22) xy +−= 1 En este caso se observa que los valores que pueden asignarse a x debes ser mayores o iguales a 1− ; luego la gráfica es y - 1 x - 1 EJEMPLO 23) Función coseno inverso (arco coseno) : xy 1cos−= Los valores que puede tomar la variable x pertenecen al intervalo cerrado [ ]1,1− . La gráfica es y π 2

π -1 1 x EJEMPLO 24) Función parte entera: [ ]xy = En el ejemplo 2), se define la función parte entera. La gráfica es

Funciones

15

y 1

-1 1 2 x -1 *** Sea la gráfica de la función, encontrar la expresión analítica** EJEMPLO 25) a) y b) y 2 1 x x -1 1 2 -2 En a) se tiene En b) puede definirse

⎩⎨⎧

>≤−

=222

)(xsixsix

xf ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥−<≤+−

<+=

11101

01)(

xsixxsix

xsixxf

*** Considerando la gráfica de xxf =)( representar las siguientes situaciones*** EJEMPLO 26) a) )1( −xf b) 1)( −xf Siendo xxf =)( , la gráfica es y

x Luego a) y b) y 1 x -1 x

Ejercicios Propuestos *** Graficar en forma aproximada las siguientes funciones *** 127) 12 −= xy 128) 3−=y 129) 562 +−= xxy 130) 21 xy −=

2


16

131) 962 −+−= xxy 132) )2)(3( −+= xxy 133) 3)1( += xy 134) 31 xy −=

135) 14 += xy 136) 1

1−

=x

y 137) 392

+−

=x

xy 138) x

xxxy−

−++−=

14423

139) 3−= xy 140) 4+= xy 141) 3xy = 142) xxy +=

143) 124 −−= xy 144) 2−−= xxy 145) 42 −= xy 146) [ ]xxy −=

147) [ ]2+= xy 148) !xy = 149) !1 xy −= 150) 2)!(! −+= xxy

151) 1+= xy 152) 3 xy = 153) 2xy = 154) 1+= −xey

155) xy 22 −= 156) xy 3= 157) )3ln( += xy 158) )(log 3/1 xy −=

159) xy 5log43+= 160) !ln xy = 161) )ln( 22 xey −= 162) xy log=

163) )4sen( xy = 164) xy cos21−= 165) )tg( π−= xy 166) xy sec2=

167) )2/cot(xy = 168) xy tg= 169) xy 1sen −= 170) xy 1cos−=

171) xy 1tg−= 172) xy cosh1+= 173) xy senh1+−= 174) thxy =

175) xy coth=

176) ⎩⎨⎧

<−≥+

=02

02xsix

xsixy 177)

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤+>

=01

02

xsixxsixy 178) ⎜⎜

⎝

⎛≤≤−−

≤<=

035305xsi

xsiy

179) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−<≤−−<≤−≤≤

=12

011104

xsixxsixsi

y

x

180) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

<≤<

≤<−+=

xsixxsix

xsixy

ππ

cos0sen

01)1ln( 181)

⎜⎜⎜

⎝

⎛

≥

<=

0

01

xsix

xsixy

182) ⎪⎩

⎪⎨⎧

>∨−<−

≤≤−=

111

11

xxsix

xsixy 183)

⎩⎨⎧

≤>−

=20

2)10(xsi

xsixsgy 184)

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠−+

=12

111

xsi

xsixx

y

*** Dadas las siguientes gráficas, encontrar una expresión analítica *** 185) y 1 x

186) y 1 -1 1 x

187) y 2 -2 2 x -2

188) Sea 2)( xxf = , representar a) )1( +xf , b) 1)( +xf

Funciones

17

2.3 Paridad Una función es par si y solo si )()( xfxf −= El gráfico es simétrico respecto al eje de ordenadas. Una función es impar si y solo si )()( xfxf −−= El gráfico es simétrico respecto al origen de coordenadas

Ejercicios resueltos EJEMPLO 27) 12 −= xy

La función es par pues 1)( 2 −= xxf ;

11)()( 22 −=−−=− xxxf y por lo tanto )()( xfxf −= . Construye la gráfica correspondiente. EJEMPLO 28) 3 xy =

La función es impar pues 3)( xxf = ; 33333 11)( xxxxxf −=−=−=−=−

3)( xxf =−− y por lo tanto )()( xfxf −−= . Construye la gráfica correspondiente. EJEMPLO 29) 12 += xy La función no es par ni impar. En efecto

12)( += xxf ; 12)( +−=− xxf ; 12)( −=−− xxf , luego no se cumplen las igualdades dadas según las definiciones correspondientes. Construye el gráfico y observa que no se cumplen las simetrías indicadas.

Ejercicios Propuestos *** Estudiar la paridad de las siguientes funciones *** 189) 21 xy −= 190) xy = 191) 3/2xy = 192) 2)1( −= xy

193) 3xy = 194) 5)1( += xy 195) xxy −= 196) 100=y

197) xy /1= 198) 2/1 xy = 199) 92 −= xy 200) xy += 1

201) xey −= 202) 2xey −= 203) 2ln xy = 204) xy ln=

205) xy sen= 206) xy cos= 207) xy cosh= 208) xy senh=

209) 2cos xy = 210) xy tg= 211) xxy cos= 212) [ ]xy =

213) xxy sentg= 214) xxy sencos= 215) xy 1sen −= 216) xy 1cos−=


18

217) x

xy sen= 218)

xx

y = 219) 21 x

xy−

= 220) 15

−+

=xxy

2.4 Composición de funciones Se define función compuesta ( ) )(xgf o a la función ( ))(xgf , donde se supone que la imagen de

)(xg está incluida o coincide con el dominio de f . Análogamente se definen las otras funciones compuestas como fg o ; ff o y gg o . EJEMPLO 30) Sean 34)( += xxf y 2)( −= xxg hallar gf o y el dominio correspondiente. Según la definición ( ) ( ) ( ) 543)2(42)()( −=+−=−== xxxfxgfxgf o El dominio de la función compuesta son los valores de x que cumplen 054 ≥−x ; esto es el intervalo [ )∞+,4/5 EJEMPLO 31) Hallar ggdffcfgbgfa oooo );););) y los dominios correspondientes si

3)( xxf = y 21)( xxg −=

a) ( ) ( ) ( ) ( )322 11)()( xxfxgfxgf −=−==o El dominio es el conjunto de números reales

b) ( ) ( ) ( ) ( ) 6233 11)()( xxxgxfgxfg −=−===o El dominio es el conjunto de números reales. Nótese que fggf oo ≠

c) ( ) ( ) ( ) 9333 )()()( xxxfxffxff ====o El dominio es el conjunto de números reales.

d) ( ) ( ) ( ) 42222 211)1()()( xxxxgxggxgg −=−−=−==o El dominio es el conjunto de números reales. EJEMPLO 32) Hallar la composición ( ) )(xhgf oo y determinar el dominio si 1)(;6)( 2 −== xxgxxf y

xxh −= 3)( Se define ( ) ( )( ))()( xhgfxhgf =oo Luego la composición es

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) )2(6213133)(2

xxfxfxfxgfxhgf −=−=−−=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−=−=

El dominio es el intervalo ( ]3,∞−

Funciones

19

Ejercicios Propuestos

*** Determinar ggdffcfgbgfa oooo )))) y el dominio correspondiente***

221) 1)( 2 += xxf 3)( −= xxg 222) xxf =)( 13)( 2 +−= xxxg

223) xxf ln)( = xxg /1)( = 224) 12)( −= xexf 3)( −= xxg

225) xxf sen)( = 1)( += xxg 226) 1)( += xexf xxg log)( =

227) xxf =)( xxg sec)( = 228) 3 3 1)( −= xxf 4)( =xg

229) xxf /13)( = 1)( += xxg 230) 165)( 2 +−= xxxf )5cos()( xxg =

231) )(cos)( 1 xxf −= 2)( xxg = 232) xxxf cosh)( −= xxg senh)( =

*** Hallar ( ) ( ) ( ))0())2())3() ggcfgbgfa − ***

233) 3)( xxxf += ; xxg =)( 234) 2)( xxf = ; )4ln()( += xxg

*** Sean xxf −= 9)( y 2)( += xxg hallar los siguientes dominios ***

235) )4( xf 236) )( 2xf 237) )1( −xg 238) ( )2−xg 239) ))(( xgf 240) ))(( xff *** Determinar hgf oo y el dominio correspondiente de las siguientes funciones***

241) 1)( 2 += xxf ; xxg −= 3)( ; 15)( 2 −= xxh 242) xxf cos)( = ; xxg sen)( = ; xxh tg)( =

243) x

xf 1)( = ; xxg cos)( = ; xxh =)( 244) 5)( xxf = ; xxf 2)( = ; xxh −= 9)(

***Identificar )(;)( xgxf y )(xh en la composición según corresponda***

245) 2)13( += xgf o 246) 12 +−= xx eefg o 247) 21 xhg −=o

248) )ln(cos xfh =o 249) ))4sen(ln( xhgf =oo 250) xfhg sen=oo

251) 1)1( 22 ++= xggf oo 252) xfff 64=oo *** Sabiendo que )(xf es par y que )(xg es impar, determinar la paridad en los siguientes casos ***

253) gf o 254) ff o


20

2.5 Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva - Función inversa Una función definida de A en B es inyectiva si a elementos distintos del dominio A le corresponden valores distintos en el conjunto B.

21 xx ≠ ⇒ )()( 21 xfxf ≠ Si el ámbito de la función coincide con el conjunto B se dice que es sobreyectiva.

Una función inyectiva y sobreyectiva se denomina biyectiva. EJEMPLO 33) La función +→ 0:)( RRxf tal que 4)( xxf = no es inyectiva pues por ejemplo a los elementos 2 y -2 le

corresponde el valor 16. La función es sobreyectiva pues el ámbito coincide con el conjunto += 0RB EJEMPLO 34) La función RRxf →:)( tal que xxf =)( no es inyectiva ni sobreyectiva.

EJEMPLO 35) La función xxf 4)( = definida de R en R es biyectiva pues cumple las definiciones dadas. Función inversa Si una función )(xfy = definida de A en B es biyectiva entonces existe otra función 1−f definida de B en A llamada inversa de f cuyo dominio es B y cuyo ámbito es A. La función inversa de )(xfy = es en su forma explícita )(1 yfx −= . EJEMPLO 36) Hallar la función inversa de 62)( += xxf

Para determinar la función inversa )(1 yfx −= debemos despejar x de la ecuación: 62 += xy

obteniendo

2

6−=

yx (1)

Como generalmente a una función se la expresa en términos de x , intercambiando las variables en (1) se obtiene

26−

=xy

que es la función inversa de .f Gráfico y f f -1

x Nótese la simetría con respecto a la bisectriz del primer cuadrante.

6-3

-3

6

Funciones

21

EJEMPLO 37)

Hallar la función inversa de x

xf ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

21)(

Despejamos x aplicando logaritmos en ambos miembros. x

y ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

21 ⇒ 2/1loglog 2/12/1 xy = ⇒ yx 2/1log=

Cambiando la variable es xy 2/1log=

que es la función inversa de f . Gráfico y f x f -1

EJEMPLO 38) Hallar el dominio y el ámbito de la función inversa de 2)( xxf = sabiendo que el dominio de f es el intervalo [ )0,4−

Determinamos primero la función inversa 1−f ; para ello hallamos x de la ecuación: 2xy = teniendo en cuenta que [ )0,4−∈x Entonces

yx =2 ⇒ yx =2 ⇒ yx −= pues 04 <≤− x

Intercambiando las variables en la última igualdad resulta: xy −= que es la función inversa 1−f en términos de x .

Ahora hallamos el dominio y el ámbito de 1−f .

Si el dominio de f es [ )0,4− , el ámbito de f es ( ]16,0 ; luego el dominio de 1−f es ( ]16,0 y el ámbito correspondiente [ )0,4− . EJEMPLO 39) Hallar la función inversa de xy senh=

El seno hiperbólico se puede escribir como 2

xx eey−−

=

Para determinar x multiplicamos la igualdad anterior por xe

212 −

=x

x eye

Reordenando es 0122 =−− xx yee

Haciendo xet = resulta

11012 22

21

2 +−=∧++=⇒=−− yytyytytt Considerando t1 se tiene

1

1


22

12 ++= yye x

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++= 1ln 2yyx (1)

La solución 2t la descartamos pues quedaría ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−= 1ln 2yyx que no tiene solución en el conjunto de

números reales ya que el argumento del logaritmo es negativo.

Luego, intercambiando variables en (1), resulta ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++= 1ln 2xxy

que es la función inversa pedida. A esta función se la denomina seno hiperbólico inverso y se escribe: xy 1senh −= .

Composición de funciones inversas Sean las funciones ABxgyBAxf →→ :)(:)( si se cumple

( ) ( ) xxfgyxxgf == )()( oo entonces las funciones )()( xgyxf son inversas. EJEMPLO 40)

Verificar que 52)( += xxf y 2

5)( −=

xxg son funciones inversas.

Hallamos

( ) ( ) xxxfxgfxgf =+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

== 52

522

5)()(o

( ) ( ) ( ) xxxgxfgxfg =−+

=+==2

5)52(52)()(o

Luego las funciones son inversas.

Ejercicios Propuestos *** Determinar si las siguientes funciones son biyectivas *** 255) RRf →: / 1)( 2 += xxf 256) ( ] xxfRf −=∞−→+ 2)(/2,: 0

257) { } { }x

xfRRf 1)(/00: =−→− 258) 4)(/: −=→ xxfRZf

259) xxfQZf21)(/: =→ 260) 3/2)(/: xxfRRf =→

261) xxfRRf ln)(/: =→+ 262) 2

)(/:xx eexfRRf

−−=→

263) [ ] xxfRf cos)(/1,1: =−→ 264) xxfRf tg)(/2

,2

: =→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

ππ

*** Dadas las funciones )(xfy = hallar sus inversas y graficalas. Determinar dominio y ámbito de f y 1−f ***

265) 10+= xy 266) 12 −= xy 267) 2xy = en [ )∞+,0 268) 3xy =

Funciones

23

269) xy ln= en ( )∞+,0 270) 236 xy −= en [ ]6,0 271) xy 5= 272) 3 xy =

273) x

y 1= ; 0≠x 274)

11

−+

=xxy ; 1≠x 275) 2−= xy en [ )∞+,2

276) 2xy = ; 0<x 277) xxy −= 2 en ⎟⎠⎞

⎢⎣⎡ ∞+,

21 278)

xxy−−

=2

42; 2≠x

279) xy −= 10 280) )1ln( xy −= en ( )1,∞− 281) xy sen= en ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

2,

2ππ

282) xy cos= en [ ]π,0 283) xy tg= en ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

2,

2ππ 284) xy cosh=

*** Efectuar la composición ( ) )(xgf o y ( ) )(xfg o y verificar si )(xf y )(xg son funciones inversas *** 285) xxf 21)( −= ;

21)( xxg −

= 286) 3 2)( −= xxf ; 2)( 3 += xxg

287) 36)( 2 += xxf si 0≥x ; 36)( −= xxg 288) 12)( += xexf ; 2ln1)( xxg +−

=

289) )3sen()( xxf = si 66ππ

≤≤− x ; 3

sen)(1 xxg−

= 290) xxf 1senh)( −= ; xxg senh)( =

*** Sea )(xfy = , hallar a) 1−f b)

f1 c) 1−ff o d)

ff 1o e) ( ) 11 −−f

291) xy 34 −= 292) 13 += xy 293) 23

+−

=xxy 294) )1ln( −= xy

Ejercicios varios 295) Expresar el área y el perímetro de un triángulo rectángulo isósceles en función de un lado.

296) La base de un rectángulo es l y la altura es 2l expresar el perímetro del mismo en función del área.

297) Expresar el radio de una esfera en términos de su volumen. 298) Hallar el perímetro de un triángulo equilátero de lado l en función de su área. 299) Expresar el volumen de un cubo de lado l en función del área de su base. 300) Expresar el volumen de la esfera en función de su área. 301) Determinar la función que describe el crecimiento poblacional de bacterias. Calcular el número de ellas en un período de 2 horas sabiendo que cada una se duplica en intervalos de 15 minutos. 302) Una masa de gas sometida a una presión p ocupa un volumen v a temperatura constante. Representar gráficamente la ley de Boyle: kvp =. donde k es constante.

303) El costo para fabricar un producto está dado por la función 45055)( 2 ++= xxxC ; determinar el número de unidades x que se fabrica si se tiene un costo de 1100 dólares.

304) Un móvil que se mueve con una velocidad constante se encuentra en la posición 40 =S en el instante 20 =t y 71 =S en el instante 41 =t ; hallar la función de posición )(tS . Representar gráficamente.

305) Se arroja desde el suelo hacia arriba un objeto de tal manera que su posición está dada por la función tttS 82)( 2 +−= donde t se mide en segundos y S en metros. Determinar cuál es la posición a los 3

segundos y cuánto tiempo tarda en llegar al suelo.


24

3- Límite Funcional 3-1 Noción intuitiva El límite de una función )(xfy = puede entenderse como el número real L al que se aproximan los valores de la función cuando se hace tender la variable x a un número a o bien cuando dicha variable crece o decrece indefinidamente. Hay que tener claro que el límite es un número. Cuando x tiende a a y la función tiene límite, simbolizamos

Lxfax

=→

)(lím

Las expresiones Lxfax

=+→

)(lím y Lxfax

=−→

)(lím significan que x se aproxima por derecha y por

izquierda del punto a respectivamente. Cuando x crece o decrece indefinidamente, escribimos

Lxflimx

=+∞→

)( o Lxflimx

=−∞→

)(

Ahora bien, una función puede no tener límite. Esto significa que no existe ningún número real para el cual las imágenes de la función se aproximen a dicho número. La notación +∞=

→)(lím xf

ax significa que la función crece indefinidamente para x

tendiendo a a. La función no posee limite. Algunos autores expresan que el límite de la función “es infinito” La notación −∞=

→)(lím xf

ax significa que la función decrece indefinidamente para x tendiendo a

a. ¿Qué significa −∞=

+∞→)(lím xf

x y +∞=

−∞→)(lím xf

x?

También puede darse el caso en que la función no crezca ni decrezca; es decir tome valores alternados. En consecuencia la función no posee límite.

Ejercicios resueltos EJEMPLO 1) )12(lím

2−

→x

x

Efectuamos la gráfica de la función 12 −= xy Observamos que cuando x tiende a 2 por derecha o por izquierda ( +→ 2x o −→ 2x ) los valores de la función se aproximan a 3. Luego 3)12(lím)12(lím

22=−=−

−+ →→xx

xx

por lo tanto 3)12(lím

2=−

→x

x -1

2

3

x

y


26

EJEMPLO 2) )(lím2

xfx→

tal que

⎩⎨⎧

=≠−

=24212

)(xsixsix

xf

El límite de la función es 3 cuando x tiende a 2 por derecha o por izquierda. Observa que la imagen de la función no coincide con el límite. 3)(lím

2=

→xf

x x

EJEMPLO 3) 2

232lím2

2 −−−

→ xxx

x

Para representar esta función la expresamos como y

122

)2)(12(+=

−−+

= xx

xxy para 2≠x

El límite de la función es 3 cuando x tiende a 2 por derecha o por izquierda. Observa que la imagen de la función no existe Luego 3)(lím

2=

→xf

x x

ATENCIÓN De los ejemplos 1) 2) y 3) vemos que las funciones tienen límite para valores próximos al punto considerado sin importar lo que ocurre en él. La función puede o no estar definida en ese punto, o no coincidir con el límite.

EJEMPLO 4) xx

x 0lím→

0≠x

y

Representamos xx

y = y observamos que cuando

+→ 0x , la función se aproxima a 1 y cuando −→ 0x , la misma tiende a 1− x

Por lo tanto NO EXISTE el límite de la función, ya que este debe ser ÚNICO EJEMPLO 5) x

xlnlím

+∞→ y

Al graficar xy ln= se observa que cuando x crece indefinidamente, la función tiene el mismo comportamiento; esto es +∞=

+∞→x

xlnlím 1 x

2

y

3

4

2

3

1

-1

+∞→x

Límite Funcional

27

EJEMPLO 6) xx

e∞−→

lím y

Al graficar xey = se observa que la función se aproxima a 0 cuando −∞→x 1 0lím =

∞−→

xx

e

x←−∞ 0 x EJEMPLO 7) xlim

xsen

+∞→

y

EJEMPLO 8) 3

1lím3 +−→ xx

+∞ y De la gráfica observamos que si +−→ 3x , la función crece indefinidamente. Si −−→ 3x , la función decrece indefinidamente -3 x −∞

Ejercicios propuestos

*** Determinar si existe el límite de las siguientes funciones efectuando los gráficos correspondientes***

1) )3(lím1

+→

xx

2) )5(lím 2

3−

−→x

x 3) x

xloglím

2→ 4) x

xcoslím

2/π→

5) 1lím0

+→

xx

6) xx 4lím→

7) x

xxx

−→

2

0

2lím 8) x

xx +

−−→ 4

16lím2

4

9) xx

e−−∞→

lím 10) x

x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+∞→ 21lím 11) x

x10lím

+∞→ 12)

xx

1lím+∞→

13) 1

1lím1 −+→ xx

14) 1

1lím1 −−→ xx

15) )ln(lím0

xx

−−→

16) xx

e−

→0lím

17) xx

tglím2+

→π 18) x

xtglím

2−

→π 19)

63lím

6 −+

−→ xx

x 20)

82lím 3

2

2 +

+−−−→ x

xxx

Como la función seno toma valores alternados entre 1 y –1, la función carece de límite.

x

1

-1


28

*** Sean las siguientes funciones, mediante representaciones gráficas obtener, si existen, los límites según se indica ***

21) −∞→+∞→→→−−

=−+

xxxxxxxf ;;

21;

21

1224)(

22) −∞→+∞→→→−→−→−

= +−+− xxxxxxx

xf ;;3;3;3;39

1)( 2

23) ⎩⎨⎧

<+≥

=0103

)(xsixxsi

xf +→ 0x ; −→ 0x ; +∞→x ; −∞→x

24) ⎪⎩

⎪⎨⎧

−<−

−≥=

1

1)( 2 xsix

xsixxf +−→ 1x ; −−→ 1x ; +∞→x ; −∞→x

25) ⎪⎩

⎪⎨⎧

−≤−

>=

11

1)(

3

xsix

xsixxf +→1x ; −→1x ; +∞→x ; −∞→x

26) ⎪⎩

⎪⎨⎧

≤<−

>=

02

tg

0cos2)(

xsix

xsixxf π

+

−→2πx ; −→ 0x ; +→ 0x ; +∞→x

27) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥−

≤−<<

=

11

0cos110log

)(4

4/1

xsix

xsixxsix

xf −∞→+∞→→→→→→→ −+−+ xxxxxxxx ;;1;1;1;0;0;0

28)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥−

<−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=ππ

πππ

231

23

2sen

)(xsi

xsixxf ∞−→+∞→→→→→

+−+−

xxxxxx ;;2

5;2

5;2

;2

ππππ

29) x

xxf sen)( = 0→x ; +∞→x ; −∞→x

30) xxxf sen)( = 0→x ; +∞→x ; −∞→x 3.2 Propiedades de los límites Para poder evaluar el límite de una función es preciso enunciar las siguientes propiedades 1) kk

ax=

→lím k constante

2) axax

=→

lím

3) Si Lfax

=→

lím entonces kLfkkfaxax

==→→

lím)(lím

Límite Funcional

29

4) Si 1lím Lfax

=→

y 2lím Lgax

=→

entonces

a) 21)(lím LLgfax

+=+→

b) 21)(lím LLgfax

=→

c) 2

1límLL

gf

ax=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛→

; 02 ≠L

5) Si Lf

ax=

→lím entonces

a) nnax

Lf =→

lím ; +∈ Zn

b) nnax

Lf =→

lím ; +∈ Zn ; 0>L si n es par

c) ( ) Lff baxbbaxloglímlogloglím =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=

→→; 0>L

6) Si 1lím Lf

ax=

→; 01 >L y 2lím Lg

ax=

→, entonces ( ) 2

1lím

límlím Lg

axg

axLff ax == →

→→

Excluyendo la propiedad 2), las restantes también se cumplen para +∞→x o bien para −∞→x . 7) Teorema de Intercalación (propiedad del sandwich) Sean las funciones )()();( xhyxgxf definidas en un intervalo abierto que contiene a a excepto posiblemente en ax = si Lgf

axax==

→→límlím y además ghf ≤≤ entonces Lh

ax=

→lím

8) Si 0lím =

→f

ax y )(xg está acotada, entonces ( ) 0lím =

→gf

ax

Excluyendo la propiedad 2), las restantes también se cumplen para +∞→x o bien para −∞→x .

Ejercicios resueltos EJEMPLO 9) ( ) 31322.43límlímlím43límlím)4(lím34lím 23

2

2

2

3

22

2

2

3

2

23

2=+−=+−=+−=+−

→→→→→→→ xxxxxxxxxxxxx

EJEMPLO 10) ( )

21

126

)3(493

)4(lím

9lím

49lím

3

3

3−=−=

−+−

=+

=+

−→

−→

−→ x

x

xx

x

xx

EJEMPLO 11) 2110coscoslímlímcoslím 3 0

0

3

0

3

0=+=+=+=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +

→→→exexe

xx

xx

x

EJEMPLO 12) ( ) 10010log.100límlog10)(loglímlímloglím10

2

10

2

10

2

10==⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛==

→→→→xxxxx

xxxx

EJEMPLO 13) 164límlím 2lím

444 === →

→→

x

xx

xxxx


30

EJEMPLO 14) x

xx +

−−→ 1

1lím2

1

En este caso no es posible aplicar la propiedad 4)c), pues cuando 1−→x el denominador x+1 tiende a cero. Luego se efectúa la siguiente transformación:

( )( ) ( ) 12lím1lím1lím1

11lím1

1lím1111

2

1−≠=−=−=

++−

=+−

−→−→−→−→−→xsixx

xxx

xx

xxxxx

EJEMPLO 15) a)112lím

1 −+

+→ xx

x b)

112lím

1 −+

−→ xx

x

a) No es posible aplicar la propiedad del cociente ya que el denominador tiende a 0 a través de valores

positivos; la forma del límite es 03 . En este caso escribimos +∞=

−+

+→ 112lím

1 xx

x; esto significa que la

función crece indefinidamente para valores de x que se aproximan por derecha de 1.

b) En forma similar −∞=−+

−→ 112lím

1 xx

x ya que el denominador tiende a 0 a través de valores negativos. La

función decrece indefinidamente para x próximos a 1 por izquierda.

EJEMPLO 16) 5

3lím++∞→ xx

Aquí la forma del límite es∞+3 ; entonces 0

53lím =++∞→ xx

EJEMPLO 17) a) x

x3lím

+∞→ b) x

x3lím

−∞→

a) La función crece sin límite; la forma del límite es +∞3 . Luego +∞=+∞→

xx

3lím

b) La función tiende a cero; la forma del límite es −∞3 . Luego 03lím =−∞→

xx

EJEMPLO 18) a)x

x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+∞→ 52lím b)

x

x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−∞→ 52lím

a) La forma del límite es +∞

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

52 y la función tiende a cero. Luego 0

52lím =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+∞→

x

x

b) La forma del límite es −∞

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

52 y la función crece sin límite. Luego +∞=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−∞→

x

x 52lím

EJEMPLO 19) a) x

x

/1

03lím

+→ b) x

x

/1

03lím

−→

a) La forma del límite es +∞3 ; luego +∞=+→

x

x

/1

03lím b) La forma del límite es −∞3 ; luego 03lím /1

0=

−→

x

x

EJEMPLO 20) a)xx

x +→0lím b)

xx

x −→0lím c)

xx

x 0lím→

a) 1límlím00

==++ →→ x

xxx

xx b) 1límlím

00−=

−=

−− →→ xx

xx

xx c)

xx

x 0lím→

no existe ¿por qué?

Límite Funcional

31

EJEMPLO 21) a) [ ]xx +→3lím b) [ ]x

x −→3lím [ ]x parte entera de x

a) [ ] 3lím

3=

+→x

x b) [ ] 2lím

3=

−→x

x

EJEMPLO 22) a) )(lím1

xfx +→

b) )(lím1

xfx −→

c) )(lím1

xfx→

si

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤−>−

=1441)(

2

xxxxxxf

a) ( ) 0lím)(lím 2

11=−=

++ →→xxxf

xx b) ( ) 044lím)(lím

11=−=

−− →→xxf

xx c) 0)(lím

1=

→xf

x

EJEMPLO 23) x

x

x −+∞→ −

+

5231lím

La forma del límite es ∞−

+∞

−

+

5231 que se puede expresar como

021−∞+ o bien

2+∞ , resultando +∞

Luego +∞=−

+−+∞→ x

x

x 5231lím

EJEMPLO 24) ( ) 23 1lím−

+∞→+

x

xx

La base y el exponente de la función tienden a +∞ . La forma del límite es +∞∞+

Luego ( ) +∞=+−

+∞→

23 1límx

xx

EJEMPLO 25) x

xx100lím

0+→

Entonces ( )1/x

00100lím100lím xx

xx

x ++ →→=

El límite de la base de la función es 0 y el exponente tiende a +∞ . La forma del límite es +∞0 . Luego 0100lím

0=

+→

xx

x

EJEMPLO 26) ( )x

xx −

−+→ 1

1loglím1

El numerador ( )1log −x tiende a ∞− y el denominador x−1 tiende a 0 a través de valores negativos

cuando x se aproxima a 1 por derecha. La forma del límite es 0−∞ . Luego

( )+∞=

−−

+→ xx

x 11log

lím1

EJEMPLO 27) )(lím

0xh

x→ si 1)(1 2 +≤≤− xxhx

Haciendo 21)( xxf −= y 1)( += xxg resulta: 1)(lím)(lím

00==

→→xgxf

xx

y como )()()( xgxhxf ≤≤ se tiene por la propiedad 7) 1)(lím0

=→

xhx


32

EJEMPLO 28) )(lím2

xhx −→

si ( )225)( +≤+ xxh

De la desigualdad dada resulta : ( ) ( )22 25)(2 +≤+≤+− xxhx

( ) ( ) 52)(52 22 −+≤≤−+− xxhx

Haciendo ( ) 52)( 2 −+−= xxf y ( ) 52)( 2 −+= xxg se tiene: 5)(lím)(lím

22−==

−→−→xgxf

xx

y como )()()( xgxhxf ≤≤ resulta 5)(lím

2−=

−→xh

x

EJEMPLO 29) x

xx

πsenlím 4

0→

La función xπsen está acotada ya que 1sen ≤

xπ y 0lím 4

0=

→x

x; luego por la propiedad 8)

0senlím 4

0=

→ xx

x

π


*** Calcular el límite de las siguientes funciones utilizando las propiedades cuando sea posible*** 31) ( )524lím 2

2+−

→xx

x 32) ( )( )xx

x−+

−→43lím

2 33)

32lím

0 −+

→ xx

x

34) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +→ 23

93límxxx

35) 2

4 32lím ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

−→ xx

x 36)

x

x xxx

+

−→ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−++

52

1 332lím

37) 8

9lím2

9 −−+

→ xxx

x 38) ( )

)ln(1lnlím

2

0 exxx

x +++

→ 39)

xx

x cos1)4sen(3lím

2/ +→π

40) xx

xx

x eeee−

−

→ +

−0

lím 41) ( ) )1ln(

0cos2lím x

xx +

→+ 42) xx

xcostg

03lím +

→ 43) ( )53lím 2 −+

+∞→xx

x

44) ( )( ) )8(51lím ++−+∞→

xxxx

45) π−∞→x

lím 46) 110lím +−

+∞→

xx

47) 2

1límx

x x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−∞→

48) ( ) 43 1lím−

+∞→+

x

xx 49)

xx

x−+∞→ 3

lnlím 50) 444lím

/1 xx

x

+−∞→

51) xx e

2lím+∞→

52) x

x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+∞→ 71lím 53)

x

x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−∞→ 71lím 54)

x

x

−

−∞→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

74lím 55) 2lím +

+∞→

xx

π

56) xx

1tglím −

+∞→ tangente inversa de x o arco tangente de x

Límite Funcional

33

*** Evaluar los límites laterales***

57) 5

4lím5 −+→ xx

58) 5

lím5 +−−→ x

xx

59) xx

−−→

4lím4

60) x

x x

2ln

0

1lím ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+→

61) +−→ 2

límx 2

1+x

62) 23 )3(1lím−+→ xx

63) ( )21

21

4100lím−−

−

→ x

xx

x

64) )1/(1

1lím −

→ −

x

xe

65) 33lím

0

x

x +→ 66) ( ))1ln(4lím

1x

x−−

−→ 67) [ ]xlim

x +−→ 4 parte entera de x

68) )6(lím6

−+→

xsgx

signo de 6−x 69) xx

tglím

2

+

→π

70) xx sen

1lím+→π

*** Evaluar, si existen, los límites laterales en ax = de )(xf ***

71) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

<−=>

=515

5152

)(xsix

xsixsix

xf 5=a 72)

( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<−=

>

= +

0)ln(0

02/1

)( 2

xsixxsix

xsix

xf x 0=a

73)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥−<≤

<−

=10sen10

1012

11

)(xsix

xsi

xsix

xf x 1=a ; 10=a 74) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

<≤−<≤

=05

12103

)(xsi

xsixsi

xf 1=a ; 0=a

75)

( )3;3

3131

31

39log

)(4

2

=−=

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−==−

<−

>−

= aa

xsixsixsix

xsix

xf

76) ( )( )

0

0cos1

0log

01

1

)(100

=

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=−

<−

>++

= a

xsix

xsix

xsixx

xf

*** Evaluar )(lím xh

ax→ según las condiciones dadas ***

77) 22)(142 22 ++≤≤−−− xxxhxx 1−=a 78) ( )443)(14

4 22

+−≤≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− xxxhxx 2=a

79) ( )235)(24 −≤− xxh 3=a 80) 243)( xxh ≤− 0=a

*** Evaluar ***

81) x

xx

1coslím 40→

82) )sen(ln2

lím 22

0xx

x→ 83)

xx

xe

tg1senlím

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

→ +

π

π 84) )2cos(2lím x

xx +∞→


34

*** Determinar alguna función )(xf que verifique los siguientes límites ***

85) −∞=+→

)(lím2

xfx

86) 1)(lím =+∞→

xfx

87) 5)(lím1

=+−→

xfx

88) +∞=−→

)(lím0

xfx

89) +∞=−∞→

)(lím xfx

90) −∞=+→

)(lím xfx π

3.3 Formas indeterminadas

Las expresiones 00 )(;0;1;)(.0;;;00

+∞+∞∞−∞+∞+

+∞ ∞+ son formas indeterminadas de

límites. Debe considerarse también las distintas posibilidades que se presenten como por ejemplo

∞−∞+∞−∞−

+∞ 1;; ; etc. Estas indeterminaciones pueden resolverse efectuando ciertas

transformaciones. Límites notables Se demuestra

a) 1senlím0

=→ u

uu

b) eu

u

u=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+∞→

11lím Análogamente para −∞→u

c) ( ) eu u

u=+

+→

/1

01lím También para −→ 0u d) 0lnlím =

+∞→ uu

u


*** Resolver la indeterminación 00 ***

EJEMPLO 30) 1

12164lím2

234

1 −

−+−−→ x

xxxxx

El numerador y denominador de la función propuesta tienden a 0 cuando 1→x . La forma del límite es del

tipo 00 ; luego se hace la siguiente transformación

( )( )( )( ) 3

11243lím

1112431lím

112164lím

23

1

23

12

234

1=

++−−

=+−

+−−−=

−

−+−−→→→ x

xxxxx

xxxxx

xxxxxxx

EJEMPLO 31) 234

23

2 4422lím

xxxxxx

x ++−−+

−−→

Para resolver la indeterminación 00 se procede de la siguiente manera

Límite Funcional

35

( )( )( )( )

( )( )−∞=

+

+−=

+

+−+=

++

−−+−−− −→−→−→ )2(

11lím2

112lím44

22lím22222234

23

2 xxxx

xxxxx

xxxxxx

xxx

EJEMPLO 32) ( )( )752

1202

3 32

152lím−−

−+→ xx

xxx

Se tiene:

( )( )

( )( )( )( )( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

01

53lím1353lím

1353lím

32

152lím75

12045

37575

120120

375

120

3752

1202

3=

+

+−=

+−

+−=

+−

+−=

−−

−+→→→→ x

xxxxxx

xxxx

xx

xxxxxx

EJEMPLO 33) 1

23lím1 −

−+→ x

xx

Entonces

( )( )( )( )

( )( )( ) =++−

−+=

++−

++−+=

−−+

→→→ 23123lím

2312323lím

123lím

22

111 xxx

xxxx

xx

xxx

( ) ( ) 41

231lím

23)1(1lím

23)1(43lím

111=

++=

++−

−=

++−

−+=

→→→ xxxx

xxx

xxx

EJEMPLO 34) xx

x −

−→ 1

1lím3

1

La indeterminación 00 puede resolverse aplicando el cambio de variable 6ux =

Si 1→x entonces 1→u , luego ( )( )

( )( ) 32

11lím

1111lím

11lím

11lím 21213

2

1

3

1=

+++

=++−+−

=−−

=−

−→→→→ uu

uuuu

uuuu

xx

uuux

EJEMPLO 35) x

xxx

53

0

112lím +−+→

Hacemos la siguiente transformación:

xx

xx

xx

xx

xxx

xxx

xx

xxx

5

0

3

0

53

0

53

0

53

0

11lím112lím

11112lím11112lím112lím

+−+

−+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−+

−+=

+−+−+=

+−+

→→

→→→

Calculamos el primer límite.

Llamando 2

112

33 −

=⇒+=pxxp Nótese que cuando 0→x entonces 1→p luego:

( )( )

( )( ) 32

12lím

1112lím

2/11lím112lím 212131

3

0=

++=

++−−

=−−

=−+

→→→→ pppppp

pp

xx

pppx (1)


36

Para calcular el segundo límite hacemos 11 55 −=⇒+= qxxq Nótese que si 0→x entonces 1→q , luego:

( )( ) =++++−

−−=

−

−=

+−→→→ 11

1lím1

1lím11lím234151

5

0 qqqqqq

qq

xx

qqx

51

11lím

2341−=

++++−=

→ qqqqq (2)

Por lo tanto de (1) y (2) es

157

51

32112lím

53

0=−=

+−+→ x

xxx

EJEMPLO 36) x

x xx

/13

0

125)5(lím ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −++→

En el exponente +∞=+→ xx

1lím0

En la base hacemos el cambio de variable 5+= xt ⇒ 5−= tx Nótese que si +→ 0x , resulta +→ 5t ; luego

755

)255)(5(lím5

125lím125)5(lím2

5

3

5

3

0=

−++−

=−−

=−+

+++ →→→ tttt

tt

xx

ttx

Por lo tanto

+∞==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+ ∞+

→ +75125)5(lím

/13

0

x

x xx


*** Evaluar los siguientes límites de la forma 00 ***

91) x

xx 318

36lím2

6 −−

→ 92)

11lím

3

2

1 +

−−→ x

xx

93) 11lím 5

10

1 −−

→ xx

x 94)

54352lím 2

2

5 −+

−−−→ xx

xxx

95) 2

23

0

32límx

xxxx

−−+→

96) xa

aaxxax −

+−−→

55lím22

97) 122485lím 23

23

1 −−+−+−

+→ xxxxxx

x

98)ax

xwxbawabax +

+++−→

5252lím 99) ( )( )( )20 2

121311límx

xxxx

−−−−+→

100)241664.516lím

2/1 −−

+−→ xx

xx

x

101) 223

32

100 loglog10logloglím

xxxx

x −

−+→

102)5

56lím

2

5 −

+−−→ x

xxx

103) 1coscoscos1cos3cos3coslím

23

23

++−−

+++→ xxx

xxxx π

104)( ) ( )230 141

lím+−+→ xx

xx

105) ( )( )102

523

2 107

43lím+−

+−→ xx

xxx

106) 2354lím 85

36

1 +−−+

→ xxxx

x

Límite Funcional

37

107)xx

x 5525lím

0

−+→

108) 22

2lím2 −

−→ x

xx

109) 21

33lím3 −+

−→ x

xx

110) xx

xxx +

+−−+→ 20

11lím 111)3

9lím2

3 −−

−→ xx

x 112)

)(lím 2 bax

baxbax +−

+−+→

113) 552 22lím

−

−→ x

xx

114) 82lím

3

8 −−

+→ xx

x 115)

xxxx

x +−−

+−−→ 11

11lím33

0 116)

3

3

0lím

xxxx

x +

−+→

117) NmNntt

m

n

t∈∧∈

−

−→ 1

1lím/1

/1

1 118)

xxx

x

53

0

2121lím +−+→

119) ( )( )( )24

3

1 1

11lím−

−−→ x

xxx

120)2

522

522

0 4

44lím

x

xxxx

x

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ++

→ 121)

xxx

x 2111lím

3

0

−++→

122) 1

1lím53

1 −−

→ xxx

x

123) x

xxx

53

0

3171lím +−+→

124) x

xxx

11616lím

53

0

−++→

125) ( ) ( )( ) ( )xx

xxx /6/12

/4/2lím 2

2

−

−+∞→

126) 1

1

1

2

11lím

−−

→ ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−

+

xx

x xxx


*** Utilizar el límite particular 1senlím0

=→ u

uu

en los siguientes ejercicios ***

EJEMPLO 37) xx

x

tglím0→

La indeterminación es 00 ; para eliminarla utilizamos el límite particular 1senlím

0=

→ xx

x y teniendo en

cuenta que xxx

cossentg = resulta:

1cos

1.senlímlímtglím0

cossen

00===

→→→ xxx

xxx

xxx

xx. 1

0cos1

=

EJEMPLO 38) )tg()sen(

lím0 nx

mxx→

m y n constantes; 0≠n

Entonces

nm

nxmx

nxnxnx

mxmx

mx

nxmx

xxx===

→

↓

↑

→→ 0

1

1

00lím

)tg(

)sen(

lím)tg()sen(

lím

321

48476


38

EJEMPLO 39) ( ) πcossentg)2(senlím

4

22

0 xxx

x→

( )

} }

( ) ( )44lím

1sen

tgtg22

)2sen(22

)2sen(

límcossentg)2(sen

lím4

4

04

1

4

4

1111

04

22

0−=−=

−

=→

↓

↑↑↑↑

→→ xx

xx

x

xx

xxxx

xxx

xx

xxx

xxx

43421

4847648476

π

EJEMPLO 40) x

xx tg

cos1lím0

−→

Puede resolverse la indeterminación efectuando la siguiente transformación: ( )( )

( ) ( )xxx

xxxx

xx

xxx cos1tgcos1lím

cos1tgcos1cos1lím

tgcos1lím

2

000 +−

=+

+−=

−→→→

Utilizando la identidad xx 22 cos1sen −= , se tiene

( )

}

{

020

)cos1(tg

sensen

)cos1(tgsenlím

cos1tgcos1lím

1

11

2

0

2

0==

+=

+=

+−

↓

↑↑

→→ xxxx

xx

xxx

x

xxx

xxx

xx

876

Por lo tanto 0tgcos1lím

0=

−→ x

xx

EJEMPLO 41) ( )2

senlím2 −→ x

xx

π

Haciendo el cambio de variable 2−= xt resulta 2+= tx . Si 02 →⇒→ tx , luego

( )tt

tt

xx

ttx

)2sen(lím))2(sen(lím2

senlím002

ππππ +=

+=

− →→→

Utilizando la identidad ( ) βαβαβα sencoscossensen +=+ resulta

( ) )sen()2sen()cos()2cos()sen(2sen tttt πππππππ =+=+ Luego

( ) ( )ππ

ππ

ππππ

====+

→→→1.

sen.lím

senlím

)2sen(lím

000 tt

tt

tt

ttt

Por lo tanto ( )

ππ

=−→ 2

senlím

2 xx

x

EJEMPLO 42) ( )xx

x −−

→ 22tg

sen1lím ππ

Haciendo el cambio de variable xt −=2π resulta tx −=

2π . Si 0

2→⇒→ tx π ; luego

Límite Funcional

39

( )( )t

txx

tx tgsen1

límtg

sen1lím 20

22

−−=

−−

→→

π

ππ

Utilizando la identidad ( ) βαβαβα sencoscossensen −=− resulta ( ) tt cossen 2 =−π ;

luego ( )

tt

tt

tt tgcos1lím

tgsen1

lím0

20

−=

−−→→

π

Procediendo como en el ejemplo 40), resulta ( ) 0tg

sen1lím22

=−

−

→ xx

xππ

EJEMPLO 43) x

xx

1

0

senlím−

→ donde x1sen− es el seno inverso de x o el arco seno de x

Haciendo xy 1sen −= resulta yx sen= . Nótese que si 00 →⇒→ yx Luego

11límsen

límsenlím sen00

1

0===

→→

−

→y

yyyx yy

xx


*** Resolver las siguientes indeterminaciones utilizando el límite notable 1senlím0

=→ u

uu

***

127) ecxxx

coslím0→

128) ( )2

3

0 senlím

xx

x→ 129)

3/)5tg(lím

0 xx

x→ 130) 4

3

0 4sen)5tg(lím

xxx

x→

131) xxxx

x 8)7sen(12)6sen(lím

0 +−

→ 132) ( ) ( )

( )xx

xx

x 3cos4tg2tglím

0+

→ 133)

( )( ) ( )xx

xx

x 4tg5cos

)2(sentglím 32

23

2

0→

134) ( )( ) ( )xx

xxxx 2tg4cos

sectg4senlím 5

32

0→ 135) 20

1coslímxx

x

−→

136) ( )( ) 12cos

2senlím0 −→ x

xx

137) ( )x

axax

sensenlím0

−+→

138) ( )x

axax

coscoslím0

−+→

139))sen()sen(

lím0 nxmx

xx −→

nm≠

140) )3sen(sen

tglím0 xx

xx −→

141) ( ) ( )x

xxx 10

coscoslím0

+−−→

ββ 142)( ) ( )

xxx

x 4sensen

lím0

+−−→

αα

143) ( )214

214senlím2

2

3 −+

−+→ xx

xxx

144) ( )99tglím 2

2

3 −−

→ xx

x 145) ( )x

xx −→ ππ tg

sen2lím

146) ( )

ππ

π −−

→ xx

x

22senlím 147) ( )

( ) 1cos1lím

2

1 +−

→ xx

x π 148) ( )x

xxx 2sen

sentglím2

π→

149) ( )( )x

xx π

πsen

3senlím

2→ 150)

ππ

π +−

−→ xx

x

coscoslím 151) ( )x

xx 2

4senlím1

0

−

→ 152)

( )xx

x 4tglím

10 −→


40

Ejercicios resueltos *** Resolver la indeterminación

∞∞ ***

EJEMPLO 44) 35

12lím3

23

+

++++∞→ x

xxxx

La indeterminación es de la forma ∞+

+∞ ; efectuamos la siguiente transformación

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

=+

++++∞→+∞→

33

333

23

3

23

35

121

lím35

12lím

xx

xxx

xxx

xxxx

xx

} } }

{

51

35

1121lím

0

3

0

3

0

2

0

=+

+++=

↓

↑↑↑

+∞→

x

xxxx

Se observa que los polinomios del numerador y del denominador son de igual grado y el límite que obtuvimos es igual al cociente entre los coeficientes principales de ambos polinomios.

EJEMPLO 45) 2

3lím4 −−

+−∞→ xx

xx

La indeterminación es de la forma ∞+

−∞ ; efectuamos la siguiente transformación

01211

31lím

21

31lím

23lím

433

444

4=

∞−=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−

+=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=−−

+−∞→−∞→−∞→

xxx

x

xxxx

xx

xxx

xxx

EJEMPLO 46) 2

10

11lím

xx

x −

−+∞→

La indeterminación es de la forma ∞−

−∞ ; efectuamos la siguiente transformación

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

−

−+∞→+∞→

11

11

lím11lím

22

1010

2

10

xx

xx

xx

xx+∞=

−∞−

=−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

+∞→ 111

11

lím

2

108

x

xx

x

EJEMPLO 47) 242

125lím2

2

+++

+++∞→ xxx

xxx

=++

+

++

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +++

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ++

=+++

+++∞→+∞→+∞→

2

2

2

2

2

2

2

2

242

1251lím

242

1251

lím242

125lím

xxx

xx

xxxx

xxx

xxx

xxxxx

Límite Funcional

41

23

46

42251

2142

1251lím

2

2==

+

+=

+++

++=

+∞→

xx

xx

EJEMPLO 48) 293

916lím2

2

+−−

−+−∞→ xxx

xxx

Haciendo tx −= se tiene que si −∞→x resulta +∞→t , luego

293

916lím2)()(9)(3

)(9)(16lím

293

916lím2

2

2

2

2

2

++−−

++=

+−−−−−

−−+−=

+−−

−++∞→+∞→−∞→ ttt

tt

ttt

tt

xxx

xxttx

Procediendo como en el caso anterior se obtiene 65

− . Verifíquese.

EJEMPLO 49) 1

3

23

2313lím

+

−∞→ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

+−x

x xxx

Calculamos primero 23

13lím3

23

+

+−−∞→ x

xxx

y obtenemos 31 ya que los polinomios son del mismo grado

como se indicó en el ejemplo 44); por lo tanto el ejercicio propuesto tiene la forma −∞

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

31 o bien +∞3 ; luego

+∞=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

+−+

−∞→

1

3

23

2313lím

x

x xxx

EJEMPLO 50) xx

xx

x 9432lím

+

++∞→

La indeterminación es ∞+

+∞ ; entonces

xx

xx

x 9432lím

+

++∞→

= =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+∞→1

949

1323

lím

x

xx

x

xx

x0

10100

194

132

93

=++

=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

x

x

x

EJEMPLO 51) ( )

( )3/12/1

5/1

1ln1ln

límxx

xx ++

++∞→

La indeterminación es ∞+

+∞ ; entonces

( )( ) =

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

=++

++∞→+∞→+∞→ 2/1

6/12/1

5/15/1

2/12/1

3/1

2/1

5/15/1

3/12/1

5/1

ln111ln

ln11lnlím

11ln

11lnlím

1ln1ln

límx

xx

xx

xxx

x

xx

xxx

xxx


42

52

ln211ln

ln511ln

lím =+

+=

+∞→ x

x

x

EJEMPLO 52) ( )( ) Nnnn

n∈

−+

+∞→ !1!1

loglím

En el argumento del logaritmo pueden simplificarse los factoriales; esto es

( )( )

( ) ( )( ) ( )( ) +∞=+=−

−+=

−+

+∞→+∞→+∞→nn

nnnn

nn

nnn1loglím

!1!11

loglím!1!1

loglím


*** Resolver la indeterminación ∞∞ ***

153) 536

1lím 2

2

−+

+++∞→ xx

xxx

154) 3

2

)1()2()32(lím

+−+

−∞→ xxx

x 155)

11513lím 3 ++

+−−∞→ xx

xx

156) 5)1(

1lím+

−+∞→ xx

157) 2

3

)13(8lím

−

−+∞→ x

xx

158) x

xxx

18lím2 ++

+∞→

159) 1

143lím2

2

++

−++∞→ xx

xxx

160) 247

12límxx

xx +−

+−∞→

161) 153

141052lím42

42

−+−

+−++∞→ xxx

xxxx

162)xx

xxx +

+++∞→ 2

1lím 163) 121

2

2

395lím

+−−

+∞→ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

+ xx

x xx 164)

x

x xx⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++∞→ 1lím

3

165) xx

xx

x 2929lím

−

+−

−

−∞→ 166)

xx

xx

x 5243lím

+

++∞→

167) 1101lím

ln

ln

−

++∞→ x

x

x

e

168)x

x xxx

ln

2

2

213lím ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++

++∞→

169) 1

1

51101lím

+

+

+∞→ +

+x

x

x 170)

xx

xx

x eeee−

−

+∞→ +

−

24lím

171) xxxx

x sensenlím

−+

+∞→ 172)

xx

x

x

x sen4cos8lím 1 −

+++∞→

173)( )

( ) ( )3230

4220

522

24321

lím−+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+∞→ xx

xx

x

174) ( ) x

x xx

xx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−++

+∞→ 2312

51lím 2

2 175)

84 11154lím

−+−+−

−+∞→ xxx

xx

176)x

xxx +

+++∞→ 1

1lím

2 177)

xx

x 23

lím+

−∞→ 178)

xxx

x −

+−+∞→ 1

21lím

Límite Funcional

43

179)( )2

22

log11log3loglím

xxx

x +

−++∞→

180)4log3log

límx

xx +∞→

181) ( )( )110log

120loglím+

++∞→ x

x

x

182) ( )( )4

7

1ln1lnlím

xxx

x ++

++∞→

183) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−−

+∞→ 11tglím 2

21

xx

x 184)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +

−

−

+∞→

xx

xx

x 1cos

1sen

lím2

1

21

185) ( ) ( ) x

x xxx

ecxgx /1

0 sen28sen4sen

coscot1lím ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−→ 186)

xx

xsec

tg3lím

2

++

→π

*** Calcular los siguientes límites para Nn∈ ***

187) ( )( )( )!1

!21lím

2

+−−

+∞→ nnn

n 188) ( )

( )!1!1!

lím+−+

+∞→ nnn

n 189) ( )!1

!

34lím−+∞→ n

n

n

190)

( )!21!

1

lím

−+∞→

n

nn

191) ( ) ( ) ( )( ) 722

!3!2!1límnn

nnnn +

++++∞→

192) ( )( ) 22

20

!2!1loglím

nnnn

n −

++∞→

Ejercicios resueltos *** Resolver la indeterminación ∞−∞ *** EJEMPLO 53) 11lím 22 −−+

+∞→xx

x

La indeterminación ∞−+∞ puede resolverse haciendo la siguiente transformación

=−++

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −++⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−+

=−−++∞→+∞→ 11

1111lím11lím

22

2222

22

xx

xxxxxx

xx

( ) ( ) 011

2lím11

11lím2222

22=

−++=

−++

−−+=

+∞→+∞→ xxxx

xxxx

EJEMPLO 54) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

−−

−+→ 11

1lím

31 xxx

x

Las indeterminación es de la forma + ∞−∞ ; para eliminarla escribimos

+∞=−

−++=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

− +++ →→→ 11lím

11)1(lím

11

1lím 3

23

13

2

131 xxxx

xxxx

xxx

xxx


44

Obsérvese que cuando +→1x el numerador de la última expresión tiende a 2 y el denominador a 0 mediante valores positivos .Luego la función crece sin límite.

EJEMPLO 55) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

+−

−+→ 810

21lím 32 x

xxx

( )=

−

−+=

−

+−++=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

−

+−

− +++ →→→ 86lím

81042lím

810

21lím

3

2

23

2

232 xxx

xxxx

xx

x xxx

( )( )( )( ) 12

5422

32lím22

=++−

+−+→ xxx

xxx

EJEMPLO 56) 3 23 1lím xxx

−++∞→

En este caso hacemos los cambios de variables 3 1+= xp y 3 2xq =

Además se tiene ( )( )2233 qpqpqpqp ++−=− ⇒ 22

33

qpqpqpqp++

−=− (1)

Luego sustituyendo p y q en (1) y calculando el límite para +∞→x resulta

( ) 3 43 233 2

23 23

.11

1lím1límxxxx

xxxxxx ++++

−+=−+

+∞→+∞→

Dividiendo por 2x el numerador y el denominador de la expresión del límite del segundo miembro se

tiene −∞=−++∞→

3 23 1lím xxx

Ejercicios propuestos *** Resolver la indeterminación ∞−∞ ***

193) ( )xxx

−−+∞→

1lím 194) )32(lím +−+∞→

xxx

195) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−+

+∞→11lím 33 xx

x

196) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−+

+∞→416lím 24 xx

x 197) ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +−−

+∞→11lím xx

x

198) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−++

−∞→xxxx

x265lím 22 199) ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +−−

−∞→99lím 22 xxx

x

200) ( )2)1(lím +−+∞→

xxxx

201) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+

+∞→

242 2lím uuuu

202) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +++

−∞→

421lím tttt

203) ( ) Nnnnnnn

∈+−+−+∞→

121lím 204) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++

+∞→nnnn

n53lím

205) +

+∞→∈

+−−Ra

xx

ax 33lím

22 206)

4 24 2 22

1lím−−+−∞→ xxx

207) 33 11

1lím−−++∞→ xxx

208) 3 1

10lím+−+∞→ xxx

209) xxx

11lím0

−+→

210) 125

15

1lím 35 −+

−−→ xxx 211) ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−−+→ 3

19

1lím 23 xxx 212) ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

−−

−+→ 12

13lím

231 xxx

Límite Funcional

45

213) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−→ecx

xxcos1lím

0 214) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−→ xx

x 2sen1tglím

2/π

215) ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝

⎛+−

+→ xxxx 9sen1

5sen1

2sen1lím

0 216) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

+→xecx

xxtgcos1lím

0

217) ( )xxxx

+−+∞→

43lím 218) ( )xxxx

−+−∞→

522lím


*** Resolver la indeterminación ∞1 ***

EJEMPLO 57) x

x x

2

131lím ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++

+∞→

La indeterminación +∞1 puede resolverse llevando la expresión al límite notable eu

u

u=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+∞→

11lím

Entonces

616

2

13

31

31

2

lím11lím1

31lím eex

xx

x

x

xx

xx

x

x==

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++ +

+∞→

++

++∞→+∞→

EJEMPLO 58) x

x xx −

+∞→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+ 4

35lím

Si se efectúa la división entre 5+x y 3−x resulta 5+x 3−x 3+−x 1 8

luego x

x

x

x xxx −

+∞→

−

+∞→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+ 44

381lím

35lím y se tiene la indeterminación −∞1 .

Entonces

83)4(8

4

38

83

83

4

lím11lím3

81lím −−−

+∞→

−

−−

−+∞→

−

+∞→==

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+ ee

xx

x

x

x

xx

xx

x

x

381

35

−+=

−+

xxx


46

EJEMPLO 59) x

x xx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−∞→ 3

3 1lím

Escribimos x

x

x

x xxx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−∞→−∞→ 33

3 11lím1lím . La indeterminación es −∞1

+∞==

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ −∞→

−∞→−∞→

3

33

lím

1

33

11lím11lím xx

x

xx

x

x

xxe

xx

pues +∞=−∞→ 3

límx

xx

EJEMPLO 60)

2

10332lím 2

2 x

x xxxx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+−+

+∞→

Efectuando la división entre los polinomios 322 −+ xx y 1032 −+ xx se obtiene

22

10371lím

10332lím

22

2 x

x

x

x xxx

xxxx

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

−+

−+=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+

−++∞→+∞→

(1)

Como la expresión (1) es de la forma +∞1 puede llevarse al número e haciendo

0

7103

11lím103

71lím2

2

222

2

1037lím

1037

7103

22 ==

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−+

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+−

+ −+−

−+−

−−+

+∞→+∞→

+∞→x

xxx

xxxx

xxx

x

x

xxe

xxxxx

x

pues −∞=−+

−=

−+−

+∞→+∞→ 1037lím

103)7(lím 2

32

2

2

xxxx

xxxx

xx

EJEMPLO 61) ( ) x

xkx /1

01lím +

+→ 0≠k

Para resolver la indeterminación +∞1 llevamos la expresión dada a la forma del límite notable ( ) eu u

u=+

+→

/1

01lím

Entonces ( ) ( )( ) =+=+++ →→

kkx

x

x

xkxkx )/(1

0

/1

01lím1lím ke

EJEMPLO 62) xx

x

)1log(lím0

+−→

La indeterminación es 00 , pero puede eliminarse si se escribe

Límite Funcional

47

( ) exxxxx

x x

x

x

xxxlog1límlog)1log(lím)1log(1lím)1log(lím

1

/1

0

/1

000=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+=+=+=+

∞−

−−−− →→→→ 4434421

pues ( ) ex x

x=+

−→

/1

01lím

EJEMPLO 63) x

xxtg1lím

0+

+→

Escribimos ( ) ( )( )( )exxx

xxx

x

x

xx

x=+=+=+

+++ →→→

/tgtg/1

0

/1

00tg1límtg1límtg1lím

EJEMPLO 64) a)x

xx

senhlím0+→

b)x

xx

senhlím0−→

Teniendo en cuenta que 2

senhxx eex

−−= resulta

xe

xe

xe

xe

xee

xx x

x

x

x

xx

x

xx

xx 21lím

21lím

21

21lím

2límsenhlím

00000

−

→→

−

→

−

→→

−+

−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

−=

−=

+++++

El primer sumando que es x

e x

x 21lím

0

−+→

se calcula haciendo el cambio de variable

( )txet x +=⇒−= 1ln1 . Nótese que si ++ →→ 0,0 tx ; luego

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) 21

ln1

1límln

1

1lnlím

1lím

1ln1lím

1ln1lím

1ln2lím

21lím

22/1

0

/2

0

0/202000

==+

=

=+

=+

=+

=+

=−

+

+

+

++++

→

→

→

→→→→

et

ttttt

xe

t

t

t

t

ttt

ttt

x

x

Calculamos el segundo sumando xe x

x 21lím

0

−

→

−+

haciendo el cambio de variable xer −−= 1 .

Procediendo de igual manera que en el caso anterior se obtiene:21

21lím

0=

− −

→ + xe x

x

Luego 121

21senhlím

0=+=

+→ xx

x. Análogamente puede verificarse que 1senhlím

0=

−→ xx

x

Ejercicios propuestos *** Resolver la indeterminación ∞1 ***

219) x

x x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+∞→

51lím 220) 231lím

+

+∞→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

x

x x 221)

x

x x

9

211lím ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

+∞→ 222)

5

71límx

x x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+∞→

223) 3

41límx

x x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−∞→ 224)

12

11lím+

−∞→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

x

x x 225)

x

x xx 2

32lím ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

+∞→ 226)

16

5626lím

+

+∞→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+− x

x xx


48

227) 42

13lím

−

+∞→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+ x

x xx 228)

x

x xx 4

102105lím

−

+∞→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−− 229)

11lím

+

+∞→ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +x

x xx 230)

3 2

3

51lím

x

x xx⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−∞→

231)2

3

2

2

4534lím

+

+∞→ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++

++x

x xxxx 232)

25

23

3

1lím

−

−∞→ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−−

−x

x xxxxx 233)

13

1323lím

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

++∞→

x

x

x

x

234)

xe

x

x

x ee

2

11lím

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

+−∞→

235)x

x xx ln21

1ln2lnlím

+

+∞→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+ 236)

x

xx

4ln

2ln11lím ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+∞→

237) ( ) x

xx tg/5

0tg1lím +

+→

238) ( ) )2cos()2/(sen(1

0)2tg(1lím xx

xx+

+→ 239) ( ) x

xx /1

0sen31lím −

+→ 240) x

xx 1senlím

0+

+→

*** Resolver ***

241) ( ) xec

xx cos2sen1lím +

+→π 242) ( ) x

xx

2sec32

2/cos21lím −

→π 243)

x

x x

sec

22/ tg1

11lím⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

++

−→π

244)x

x xx

511coslím ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+∞→ 245) x

xxcoslím

0+→ 246) 1

1lím −

→ +

x

xx

247) ( )( )x

xx

++→

1lnsenlím0

248))51ln(

lím0 x

xx +−→

249)x

e x

x 21lím

0

−−→

250)x

ee xx

x

25

0lím −

+→ 251) hxhx aa

hx−

−→

lím ; 0>a 252) )sen(sen

lím0 xx

ee xx

x −−− −

→ +

253)3lnln

3lím3 −

−+→ x

xx

254)( )21 1

4ln)4ln(lím−

−→ x

xx

255) ( ) ( )3

2

0 21ln1lnlím

xxxx

x

+−++−→

256) ( ) ( )x

xxxx 4

22ln2lnlím22

0

+−−++→

257) ( )20 4

)2cos(lnlímx

xx→

258) ( )

2

senlnlím2/ ππ −+→ x

xx

259) ( )x

xx

x tgcoslím

sen/12

0+→ 260) ( )

xxx x

x

tg/1

0

coslím +−→

261) 20

1coshlímx

xx

−→

262) x

thxx 0lím→

Ejercicios resueltos *** Resolver las indeterminaciones ∞.0 ; 00 ; 0∞ ***

EJEMPLO 65) 2ln1lím xxx +∞→

La indeterminación es )(.0 +∞ . Utilizando el límite notable 0lnlím =+∞→ x

xx

, resulta

0ln2límln1lím 2 ==+∞→+∞→ x

xxx xx

Límite Funcional

49

EJEMPLO 66) ( )xxx

bax

++∞→

log1lím si 0>> ab

La indeterminación es ).(0 +∞ ; se resuelve haciendo

( ) =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+

+∞→+∞→+∞→

xx

xx

x

x

xxx

xb

ba

xb

ba

xba

xlog1log1lím1log1límlog1lím

xx

x

xb

xba

xlog1lím1log1lím

+∞→+∞→+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

Calculamos el primer límite 01log1lím1log1lím ==⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+∞→+∞→ xba

x x

x

x

Nótese que 0→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

x

ba cuando +∞→x por que ba <

Calculamos el segundo límite bbxx

bx x

xx

loglog.1límlog1lím ==+∞→+∞→

En consecuencia ( ) bbbax

xxx

loglog0log1lím =+=++∞→

EJEMPLO 67) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−→ 4tg2lím 2

2

xxx

π

La indeterminación es ).(0 +∞ . Haciendo .22 uxxu +=⇒−= Si −→ 2x entonces +→ 0u Luego

( ) ( )

+∞===

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

++++

+++−

→→→→

→→→→

uuu

u

u

uu

uu

uguuuuuxx

uuuu

uuux

202202

2

2020

2

0

2

0

2

0

2

2

16lím16lím

4.

4

4tg

lím

4tg

1.lím

4cotlím

42tglím

42tglím

4tg2lím

πππ

π

ππ

πππππ

EJEMPLO 68) x

xx

+→0lím

La indeterminación es 00 ; haciendo xxyxy x lnln =⇒= Luego xxy

xxlnlímlnlím

00 ++ →→= (1)

Calculamos ahora xxx

lnlím0+→

El límite tiene la forma indeterminada ).(0 −∞ , entonces ( ) 0lnlímln1lnlím/1lnlímlnlímlnlím 100

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

−===

+∞→+∞→+∞→→→ ++ uu

uu

uuxxx

uuuxxx

Se utilizó el cambio de variable x

u 1= y el límite notable: 0lnlím =

+∞→ uu

u

Luego en (1) es 1lím1lím0límln0lnlím0000

=⇒=⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇒=

++++ →→→→

x

xxxxxyyy


50

EJEMPLO 69) ( ) x

xxx

ln/12lím ++∞→

La indeterminación es ( )+∞ 0 . Haciendo ( ) xxxy

ln/12 += se tiene

( ) ( )xxx

yxxx

yxx

+=⇒+=+∞→+∞→

22 lnln1límlnlímln

ln1ln (1)

Resolvemos

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )( ) 22ln21límln

2lím1lnlímln

lnlím1lnln1lím

lnln1ln

límln

1lnlímln

ln1lím

0ln/11

ln/112

1

21212

=+=++=

=++=++=

=++

=+

=+

+∞→

+∞→+∞→+∞→+∞→

+∞→+∞→+∞→

e

xx

x

xx

xx

xxx

xxxxx

x

xxxxxx

xx

xxx

Luego en (1) es ( ) 2ln/122 límlím2límln2lnlím exxeyyyx

xxxx=+⇒=⇒=⇒=

+∞→+∞→+∞→+∞→

EJEMPLO 70) x x

x101lím +

+∞→

La indeterminación es del tipo 0∞+ ; luego

10110

110lím110

110lím110

110lím101lím/1

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+=+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+=+

+∞→+∞→+∞→+∞→

x

xxx

xxx

xx

x

x xx

Ejercicios propuestos *** Resolver las indeterminaciones ∞.0 ; 00 ; 0∞ ***

263) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+∞→ xx

x

1tglím 264) )1ln(1lím 2 ++∞→

xxx

265) ( )xxx

13lím −+∞→

266) xx

ex1lím

+∞→

267) 7log)1(lím 2

1 xxx−

→ 268) ( )

xx

x

112lím0

−+→

269) xxx

ln1

1lím1 −+→

270) xxx

1

1cos

11lím −

→ −−

271) ( ))2ln(sen)2ln(

1lím2/1

xxx→

272) ( )22/lncoslím π

π−

+→xx

x 273) x

xx sen

0lím

+→

274) ( ) x

xx tg

0senlím

+→ 275) x

x x1lím

+∞→ 276) ( ) 22

24lím

−

→−

+

x

xx 277) x

xx ln

3

lím+∞→

278) x

xx 1lím 2 +

+∞→ 279)

53

2

2243lím

−

+∞→ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−+ x

x xxx 280) ( ) x

xx /1lnlím

+∞→ 281) ( )x xx

x

254lím +

+∞→

282) ( ) 31100

2 1lím xx

xxx

+

+∞→++

Límite Funcional

51

3.4 Asíntotas La gráfica de una función puede presentar ciertas rectas llamadas asíntotas. Se enuncian a continuación las definiciones correspondientes. Asíntota vertical La recta ax = es una asíntota vertical de la gráfica de una función )(xf si y solo si los valores de )(xf crecen o decrecen indefinidamente para x próximos a a .

ax = es A.V ⇔ ∞=→

)(xflimax

Los siguientes ejemplos ilustran lo enunciado : y y y x x

x x = a x = a x = a −∞=

+→)(xflim

ax +∞=

−→)(xflim

ax ∞=

→)(xflim

ax

Asíntota horizontal

La recta Ly = es una asíntota horizontal de la gráfica de )(xf si los valores de la función se aproximan a L cuando +∞→x o −∞→x

Ly = es A.H ⇔ Lxflimx

=+∞→

)( o bien Lxflimx

=−∞→

)(

En los siguientes ejemplos se ilustra lo enunciado. y y y = L x f y = L x f Lxflim

x=

+∞→)( Lxflim

x=

−∞→)(

Asíntota oblicua La recta bmxy += es una asíntota oblicua de la gráfica de )(xf si

[ ] 0)()( =+−+∞→

bmxxflimx

o bien [ ] 0)()( =+−

−∞→bmxxflim

x

Es decir, la diferencia entre )(xf y bmxy += tiende a 0 cuando x crece o decrece indefinidamente. Los siguientes ejemplos ilustran la definición.

f f f


52

y y f x x 11 bxmy += 22 bxmy += bmxy += f Si consideramos +∞→x , resulta que para calcular la pendiente m y la ordenada al origen b de la asíntota se tiene : [ ] 0)()( =+−

+∞→bmxxflim

x (1)

0)(=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −−

+∞→ xbm

xxfxlim

x

Como +∞→x es xxflimm

xbm

xxflim

xx

)(0

)(+∞→+∞→

=⇒=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−

Ahora, al tener el valor de m se obtiene b aplicando (1) ; es decir: [ ]mxxflimb

x−=

+∞→)(

Análogamente se obtiene m y b para −∞→x

Ejercicios resueltos EJEMPLO 71)

Determinar la ecuación de la asíntota vertical de 2

1)(−

=x

xf

Se observa que 2=x anula el denominador de la expresión de )(xf ; calculamos entonces el límite de la

función para +→ 2x y −→ 2x +∞=

→)(

*2xflim

x y −∞=

−→)(

2xflim

x

Luego 2=x es una asíntota vertical de )(xf . Representar gráficamente. EJEMPLO 72)

Hallar si existe la asíntota vertical de 11)(

2

+−

=x

xxg

En 1−=x se anula el denominador ; luego se determina el límite de )(xg para +−→ 1x y −−→ 1x 2)(

1−=

+−→xglim

x y 2)(

1−=

−−→xglim

x

Luego la función no presenta asíntota vertical. Representar gráficamente. EJEMPLO 73) Hallar la asíntota vertical de 2ln)( xxf =

La función no está definida en 0=x . Entonces −∞=+→

2

0ln xlim

x y −∞=

−→

2

0ln xlim

x

Luego 0=x es una asíntota vertical. Representar gráficamente.

Límite Funcional

53

EJEMPLO 74)

Determinar las ecuaciones de las asíntotas verticales de 9

)( 2 −=

xxxf

La función no está definida en 3=x y en 3−=x pues se anula el denominador.

Luego se calcula el límite de )(xf para +−+ −→→→ 3;3;3 xxx y −−→ 3x +∞=

+→)(

3xflim

x −∞=

−→)(

3xflim

x +∞=

+−→)(

3xflim

x −∞=

−−→)(

3xflim

x

Entonces 3=x y 3−=x son asíntotas verticales. EJEMPLO 75) Determinar si xexf −+= 1)( presenta una asíntota horizontal. Si +∞→x resulta 1)( =

+∞→xflim

x; luego 1=y es una asíntota horizontal de la función. Representar

gráficamente. Nótese que si −∞→x resulta +∞=−∞→

)(xflimx

EJEMPLO 76)

Hallar, si existen, las asíntotas horizontales para la función 241

)(x

xxf+

=

Si +∞→x se tiene 21)( =

+∞→xflim

x. Para −∞→x , se efectúa el cambio de variable tx −= y

21)( −=−

+∞→tflim

t. Por lo tanto

21

=y ; 21

−=y son asíntotas horizontales.

EJEMPLO 77)

Hallar la asíntota oblicua de 112)( 2

3

+−

=xxxf

La recta correspondiente tiene como ecuación bmxy += Se procede a calcular m y b . Si +∞→x es

( ) ( ) 21/12)( 23=

+−==

+∞→+∞→ xxxlim

xxflimm

xx

[ ] 01

211

)1(2122

112)(

22

23

2

3=

+

−−=

+

+−−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+

−=−=

+∞→+∞→+∞→+∞→ xxlim

xxxxlimx

xxlimmxxflimb

xxxx

Entonces la recta xy 2= es una asíntota oblicua de )(xf . Para −∞→x se obtiene la misma ecuación. EJEMPLO 78)

Hallar si existe la asíntota oblicua de 86)( 2 +−= xxxf Si +∞→x es

xxflimm

x

)(+∞→

= ⇒ 18686222

22=+−=

+−=

+∞→+∞→ xxx

xxlim

xxxlimm

xx


54

[ ]mxxflimb

x−=

+∞→)(

xxx

xlimxxx

xxxlim

xxx

xxxxxxlimxxxlimb

xx

xx

++−

+−=

++−

−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−

=

=++−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+−

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−=

+∞→+∞→

+∞→+∞→

86

86

86

86

86

8686.186

22

22

2

2

22

2

Dividiendo la última expresión entre x resulta 3−=b Luego la asíntota tiene como ecuación 3−= xy Si −∞→x se procede de la misma manera, obteniéndose 3+−= xy Por lo tanto la función presenta 2 asíntotas oblicuas. Nótese que el dominio de )(xf es ( ] [ )+∞∪∞− ,42, EJEMPLO 79)

Determinar si existe una asíntota oblicua para xx

xf ln1)( +=

Como la función está definida solamente para 0>x calculamos m y b para +∞→x

0ln1

=+

=+∞→ x

xlimm x

x

Luego )(xf no presenta asíntota oblicua pues 0=m

Ejercicios propuestos *** Hallar las ecuaciones de las asíntotas, en el caso que existan, de las siguientes funciones***

283) 4

4)(−

=x

xf 284) x

xf−

=1

1)( 285) ( )22

1)(x

xf−

= 286) x

xf 1)( −=

287) 14

2)(−

=x

xxf 288) 5

3)(+−

=x

xxf 289) 32

1)( 2 −+−

=xx

xxf 290) x

xxf−

=1

)(2

291)1

1)( 2 ++−=

xxxf 292)

32

3

103)( 2

2

+−

−+=

xxxxxf 293)

14

8)(2 +

=x

xxf 294) 9

21)(2 −

−=

x

xxf

295) 11)(

−

+=

xxxf 296)

xxxf53

2)(+

= 297) 99)(

2

+−

=x

xxf 298) xxxxxf

+−

= 2

23 3)(

299)1

1)(23

++−−

=x

xxxxf 300) 11)(

3

4

−

−=

xxxf 301) )3ln()( −= xxf

302) )6ln()( xxf −= 303) ( )65ln)( 2 +−= xxxf 304) 2)3ln()( −= xxf

305) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

2tg)( πxxf 306) )2sec()( xxf = 307) 1)( −= xexf 308) 1)( += −xexf

309) 2

)( xexf −= 310) xxexf −=)( 311) 32)( 2 −+= xxxf

312) 158)( 2 +−= xxxf 313) 2

4)(2

−−

=xxxf 314)

364

1)(2

2

+

+=

x

xxf

Límite Funcional

55

315) xxf 3)( = 316) xxf /122)( += 317) x

xxf sen)( = 318) x

exfx

cos)( =

319) xxf 1tg)( −= 320) thxxf =)( 321) xxf ln2)( = 322) 13)( += − xxf 323) Proponer una función que presente en su gráfica infinitas asíntotas verticales. 324) ¿Puede una función presentar en su gráfica una asíntota vertical, una horizontal y una oblicua ? En caso afirmativo graficarla. 3.5 Límite por definición CASO 1) Lxf

ax=

→)(lím

Los valores de la función se aproximan a un número real L para valores de x cercanos a a. Definición 1) El límite de f(x) es L cuando x tiende a a si y solo si para todo ε 0> , arbitrario y suficientemente pequeño, existe un δ 0> que depende de ε tal que el valor absoluto de la diferencia entre los valores de la función y L puede hacerse tan pequeña como se quiera con tal de tomar valores de x cercanos a a. En símbolos )(,0lím εδε ∃>∀⇔=

→L

ax tal que ε<− Lxf )( siempre que δ<−< ax0

y f x a x Al fijar un ε > 0 queda determinado un δ 0> tal que si x pertenece al intervalo ),( δδ +− aa y ax ≠ entonces f(x) debe pertenecer al intervalo ),( εε +− LL . Esto es equivalente a escribir: ε<− Lxf )(

siempre que δ<−< ax0

Observaciones: a) La definición requiere elegir primero un ε para luego determinar un δ . b) Puede ocurrir por ejemplo que al buscar una relación entre ε y δ queden determinados un 1δ y un

2δ . Para que se cumpla la definición se elige el menor δ ; esto se escribe ( )21 ,mín δδδ = .

Ejercicios resueltos EJEMPLO 80) Si el límite de 13)( −= xxf es 5 cuando 2→x , determinar un δ para 10

1=ε Según la definición se tiene

ε−L

ε+L

δ−a δ+a

)(xfL


56

)(,0lím εδε ∃>∀⇔=→

Lax

tal que ε<− Lxf )( siempre que δ<−< ax0

En nuestro caso

{ {ε101

)(

513 <−−Lxf

x 321 siempre que δ<−< 20 x

Determinamos δ para un 101=ε

Partiendo de la desigualdad 1015)13( <−−x resulta

3012

10123

101)2(3

10163 <−⇔<−⇔<−⇔<− xxxx

Como δδ <−⇒<−< 220 xx y siendo 3012 <−x puede tomarse

301

=δ para que se cumpla la

definición; entonces 1015)13( <−−x siempre que

30120 <−< x

Si se quiere expresar en notación de intervalo estas desigualdades se tiene

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∈⇔<<⇔<−<−⇔<−

1051,

1049)(

1051)(

1049

1015)(

101

1015)( xfxfxfxf

Además

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∈⇔≠∧<<⇔≠∧<−<−⇔<−<

3061,

30592

3061

30592

3012

301

30120 xxxxxx ∧ 2≠x

Esto significa que los valores de ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∈

1051,

1049)(xf siempre que ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∈

3061,

3059x ∧ 2≠x

Se ha visto en el ejemplo que para un 101=ε se obtiene un 30

1=δ ; ¿puede tomarse un 01 >δ y menor a 130

que cumpla con la definición?.

EJEMPLO 81) Demostrar que 15)72(lím

4=+

→x

x

Según la definición 1) se tiene ε<−+ 15)72( x siempre que δ<−< 40 x (1) Primero determinamos δ para cualquier ε que se elija. Partiendo de ε<−+ 1572x resulta

2442)4(282 εεεε <−⇔<−⇔<−⇔<− xxxx

Luego puede tomarse 2εδ = para que se cumpla (1) ; esto nos lleva al segundo paso del ejercicio que es la

demostración

εεεεδ <−+⇒<−⇒<−⇒<−⇒<−< 15)72(82422

440 xxxxx

EJEMPLO 82) Demostrar ( ) 412lím 2

1=++

→xx

x

Según la definición 1) se tiene

Límite Funcional

57

ε<−++ 4)12( 2 xx siempre que δ<−< 10 x (1)

Partiendo de ε<−++ 4)12( 2 xx resulta ε<−+ 32 2 xx y siendo )32)(1(32 2 +−=−+ xxxx se

tiene ( )( ) εε <+−⇔<+− 321321 xxxx (2)

Como aparece el factor 32 +x en (2) imponemos una condición para δ haciendo 1≤δ , luego

⇒<<⇒<<⇒<−<−⇒<−⇒<−< 420201111110 xxxxx δ

7327323 <+⇒<+<⇒ xx

Entonces comparando con (2) debe tomarse 7

7 εδεδ ≤⇒≤

Se tienen así dos condiciones para δ ; por un lado se tomó 1≤δ y luego se obtuvo 7εδ ≤ . De acuerdo al

valor que se asigne a ε se requiere el menor δ para que se cumpla (1), es decir ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

7,1mín εδ

Efectuamos ahora la siguiente demostración

( )( ) εεε

εεεδ

<−++⇒<−+⇒<+−⇒

⇒<−+⇒<−⇒<−⇒<−<

4)12(32321

132177

110

22 xxxxxx

xxxxx

EJEMPLO 83)

Hallar )(εδ si 0senlím0

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

→ xx

x

π

Según la definición es ( ) επ <xx /sen siempre que δ<< x0 Determinamos )(εδ ( ) εππ <≤= 1)/sen(/sen xxxxx pues 1)/sen( ≤xπ para 0≠x ; luego basta tomar εδ = para que se cumpla la definición. EJEMPLO 84) Hallar )(εδ tal que 1lím)1lím)

00==

−+ →→

x

x

x

xebea

a) Como x tiende a 0 por derecha resulta que para cualquier ε , existe un δ tal que ε<−1xe con tal que δ<−< 00 x

Partiendo de ε<−1xe resulta ( )1ln11 +<⇒+<⇒<− εεε xee xx (1)

Siendo δδ <⇒<−< xx 00 , comparando con (1) debe tomarse ( )1ln += εδ b) Como x tiende a 0 por izquierda se tiene que para cualquier ε , existe un δ tal que

ε<−1xe siempre que δ<−< x00

Partiendo de ( )εεεε −>⇒−>⇒−<−⇒<− 1ln111 xeee xxx (2)

Siendo δδ −>⇒<−< xx00 ; luego comparando con (2) se requiere ( )εδ −−= 1ln EJEMPLO 85)

Demostrar que la función ⎩⎨⎧

≤>−

=31

36)(

xsixsix

xf carece de límite cuando 3→x


58

Supongamos que Lxfx

=→

)(lím3

; entonces para un ε cualquiera, por ejemplo 101

=ε se tiene

101)( <− Lxf siempre que δ<−< 30 x

Tomando 10δ a la derecha de 3 es

103 δ+=x y si

10311 =⇒= xδ ; luego

101

1029

101

10316)10/31()( <−⇒<−−=−=− LLLfLxf (1)

Tomando 10δ a la izquierda de 3 es

103 δ−=x y si 1=δ ⇒

1029

=x ; luego

1011)10/29()( <−=−=− LLfLxf (2)

De (1) es 35

14<< L (3)

De (2) es 1011

109

<< L (4)

Como no hay ningún valor de L que satisfaga (3) y (4) resulta que la función no tiene límite cuando 3→x .

Ejercicios propuestos *** Hallar )(εδ y demostrar los siguientes límites ***

325) 6)42(5

=−→

xlimx

326)21

31

23/1=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

→

xlimx

327) 10104

=→x

lim 328) 3)3(5

−=−−→x

lim

329) 0)44(1

=+−→

xlimx

330) 2342

3−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

→xlim

x 331) ( ) 31

2=+−

−→xlim

x 332) 2

2=

−→xlim

x

333) 84162

4=

−−

→ xxlim

x 334) 4

242

2−=

+−

−→ xxlim

x 335) 22

111212

11−=

+−

−→ xxlim

x

336) 52

62

2=

−−+

→ xxxlim

x 337) 362

6=

→xlim

x 338) 4)3( 2

1=+

→xxlim

x 339) 0)27( 3

3=−

→xlim

x

340) 0)( 3

1=−

→xxlim

x 341) 9

6293

3=

+−

−→ xxxlim

x 342) 0

2842 23

2=

+−−+

−→ xxxxlim

x

343) 03

232

2=

++−

→ xxxlim

x 344) 222

1−=

−−→ x

xxlimx

345) 0)16( 2

4=−

→xlim

x

346) 9)28( 2

1=−−

−→xxlim

x 347) 84

2/1=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

−→ xlim

x 348)

311

3−=

−→ xlim

x 349) 01

1=−

+→xlim

x

350) 336

=+→

xlimx

351) 0ln1

=−→

xlimx

352) 13

0=

+→

x

xelim 353) 1cos

0=

→xlim

x

354) 0sen20

=→

xlimx

355) 2)()5

=+→

xflimax

2)()5

=−→

xflimbx

si ⎪⎩

⎪⎨

⎧

<−=+>−

=5;75;1

5;82)(

xxxx

xxxf

356) 1)()2

−=+→

xflimax

3)()2

=−→

xflimbx

si ⎩⎨⎧

≤>−

=2;3

2;1)(

xxx

xf

Límite Funcional

59

*** Demostrar que los siguientes límites no existen ***

357) )(3

xflimx→

si ⎩⎨⎧

<≥

=3;23;8

)(xx

xf 358) )(1

xflimx −→

si ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−>−=

−<+

=1;41;

1;1

)( 2

xxxx

xx

xf

CASO 2) +∞=

→)(lím) xfa

ax −∞=

→)(lím) xfb

ax

La función )(xf tiende a +∞ o crece sin límite, cuando los valores de la misma superan un número prefijado 0>k suficientemente grande y arbitrario, para ax → . Del mismo modo la función )(xf tiende a ∞− o decrece sin límite si los valores de la misma son inferiores a k− cuando ax → . Definición 2) 0>∀k existe un δ 0> que depende de k tal que )a kxf >)( siempre que δ<−< ax0 b) kxf −<)( siempre que δ<−< ax0 Las siguientes figura ilustran las definiciones. y y f f x -K x

( ) kxfaax >⇒+−∈ )(, δδ (Definición 2a) ( ) kxfaax −<⇒+−∈ )(, δδ (Definición 2b)


a) Demostrar +∞=→ 20

1límxx

b) Obtener δ para 10000=k

a) Según la definición 2a) resulta: )(,0 kk δ∃>∀ tal que kx

>21 siempre que δ<−< 00 x

Determinamos )(kδ

k

xk

xk

xkx

1111 222

<⇒<⇒<⇒> (1)

Siendo δδ <⇒<−< xx 00 y comparando con (1) debe requerirse k1

=δ para que se cumpla la

definición.

δ+a δ−a

)(xf

x

K

δ+a δ−a x

)(xf


60

Demostración

kx

kxk

xk

xx >⇒>⇒<⇒<⇒<<22

2 11110 δ

b) Si 100

110000

110000 ==⇒= δk luego se cumple

1000011

2 >x

siempre que 100

10 << x

EJEMPLO 87) Hallar )(kδ si −∞=

+→x

xlnlím

0

Por definición )(,0 kk δ∃>∀ tal que kx −<ln siempre que δδ <<⇒<−< xx 000 pues +→ 0x Determinamos )(kδ

kexkx −<⇒−<ln (1)

y siendo δδ <⇒<< xx0 ; luego en (1) debe tomarse ke−=δ EJEMPLO 88)

Hallar )(kδ si +∞=−−→ xx 11lím

1

Según la definición es kx>

−11 con tal que δ<−< x10 pues −→1x

Determinamos )(kδ

Partiendo de kx>

−11 resulta

2

1111k

xk

x <−⇒<− (1)

Siendo δδ <−⇒<−< xx 110 comparando con (1) debe tomarse 2

1k

=δ

Ejercicios propuestos *** Hallar )(kδ y demostrar los siguientes límites***

359) +∞=−+→ 33

3 xlim

x 360) −∞=

−+→ xlim

x 481

2 361) −∞=

+−−→ 5101

2/1 xlim

x

362) −∞=+−

+−→ 224

1 xlim

x 363) +∞=

−+

+→ 819

29 xxlim

x 364) +∞=

−++

+→ 11

3

2

1 xxxlim

x 365) +∞=

+→ xlim

x

10

366) −∞=−+

+→ xxlim

x 22

2 367) +∞=

−+→ 66 xxlim

x 368) −∞=

−+

−→ 44

4 xxlim

x 369) +∞=

−+→ )9/4(1

23/2 xlim

x

370) +∞=−+→ 1

151 x

limx

371) +∞=−

→ +

)1/(1

12 x

xlim 372) +∞=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−

→ −

)1/(1

1 21 x

xlim 373) −∞=

−→ 30

1x

limx

374) −∞=−+

−++−→ xxx

xxlimx 6

10323

2

3 375) +∞=

−+→ 11

0 xx elim 376) −∞=

−→ xlim

x ln1

1

Límite Funcional

61

377) +∞=+→

)()2/1

xflimax

+∞=−→

)()2/1

xflimbx

si ( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤−

>−

=2/1;

4/11

2/1;2/1

10

)(

2x

x

xx

xf

378) +∞=+→

)()0

xflimax

+∞=−→

)()0

xflimbx

si

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<−

>=

0;1

0;1

)(

2

3

xxx

xxxf

CASO 3) LxfbLxfa

xx==

−∞→+∞→)(lím))(lím)

La función tiene límite L si los valores de la misma pueden aproximarse tanto como se quiera a L para cualquier x que supere a un número 0>N o sea inferior a N− . Definición 3) )(,0 εε N∃>∀ tal que

ε<− Lxfa )() siempre que Nx > ε<− Lxfb )() siempre que Nx −<

Las figuras correspondientes ilustran las definiciones dadas y f y L f L x x N x x - N ε<−⇒> LxfNx )( ε<−⇒−< LxfNx )( (Definición 3a) (Definición 3b)


a) Demostrar 212lím =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+∞→ xx b) Hallar un N si

501

=ε

a) Según la definición 3a) es )(,0 εε N∃>∀ tal que

ε<−+ 212x

siempre que Nx >

Determinamos )(εN partiendo de ε<−+ 212x

entonces

xxx11212 ==−+ pues +∞→x ; luego

εε 11

>⇒< xx

(1)

Siendo Nx > , comparando con (1) es necesario que ε1

=N para que se cumpla la definición.

ε−L

ε+L

)(xf

ε+L

ε−L

)(xf


62

¿Puede tomarse un ε1

1 => NN ?

Demostración εεεε

<−+⇒<⇒<⇒>⇒> 212111xxx

xNx

b) Si 50501

=⇒= Nε (pues ε1

=N )

Luego resulta 501212 <−+

x siempre que 50>x

EJEMPLO 90) Hallar )(εN tal que 010lím =

−∞→

xx

Según la definición 3b) se tiene )(,0 εε N∃>∀ tal que

ε<− 010 x siempre que Nx −<

Determinamos )(εN partiendo de εε <⇒< xx 1010 (pues 010 >x ) ; luego

εlog<x (1) Siendo Nx −< y por (1) debe tomarse εε loglog −=⇒=− NN EJEMPLO 91)

Hallar )(εN si 311

2lím =+++∞→ xx

x

Según la definición 3a) se tiene ε<−++

311

2x

x siempre que Nx >

Determinamos )(εN ; entonces 1

21

21

)1(2221

2311

2+

=+−

=+

+−=−

+=−+

+ xxxxx

xx

xx

Luego εε

εε 212

21

21

2>⇒>⇒<<

+⇒<

+xx

xxx (1)

Siendo Nx > comparando con (1) debe tomarse ε2

=N

Ejercicios propuestos *** Hallar )(εN y demostrar los siguientes límites***

379) 11−=

−+∞→ x

xlimx

380) 01

12

=−

++∞→ x

xlimx

381) 2213

−=−−∞→ x

limx

382) 0164

14163

2=

−++

+∞→ xxxlim

x 383) 2

1234=

−+

+∞→ xxlim

x 384) 0

11

2 =−−∞→ x

limx

385) 1/1 =+∞→

x

xelim 386) 121 =+

−∞→

x

xlim 387) 0

ln1

=+∞→ x

limx

388) 123)1/(1 =+

+∞→

x

xlim 389) 5

45

=−+∞→ xxlim

x 390) 01 =+−

+∞→xxlim

x

Límite Funcional

63

391) 012ln =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

−∞→ xxlim

x 392) 0

2332ln 2

2=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

−++∞→ xx

xxlimx

393)32

1312=

−+

+∞→ xxlim

x

394) limx→+∞

( ) 02/1 =x 395) 111

3

3=

−

++∞→ x

xlimx

396) 22 =++∞→

xxx

eelim

397) eelim xx

x/1

22 /)1( =−

−∞→ 398) 93 /)21( =+

+∞→

xx

xlim 399) 0sen

=+∞→ x

xlimx

400) 1=+∞→

thxlimx

401) 0)() =+∞→

xflimax

0)() =−∞→

xflimbx

si ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

<

≥=

0;

0;5/1)(

xe

xxf

x

x

402) a) 1)( =+∞→

xflimx

1)() =−∞→

xflimbx

donde

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<+

≥+

=0;1

0;8

)(

2

2x

xx

xx

x

xf

CASO 4)

+∞=+∞→

)(lím) xfax

+∞=−∞→

)(lím) xfbx

∞−=+∞→

)(lím) xfcx

−∞=−∞→

)(lím) xfdx

Si los valores de la función crecen o decrecen según x tienda a +∞ o a ∞− , la función no tiene límite finito. Definición 4) 0>∀k arbitrario y suficientemente grande existe un 0>N que depende de k tal que )a kxf >)( siempre que Nx > kxfb >)() siempre que Nx −< kxfc −<)() siempre que Nx > kxfd −<)() siempre que Nx −< La siguiente figura ilustra el caso 4 a) y f f (x) k x N x Para un 0>k arbitrario queda determinado un 0>N tal que si Nx > entonces kxf >)(

Ejercicios resueltos EJEMPLO 92) Hallar )(kN y calcular N para 26999=k si −∞=−

+∞→

31lím xx


64

Según la definición )4c es )(,0 kNk ∃>∀ tal que kxf −<)( siempre que Nx >

Determinamos )(kN partiendo de 333 111 kxkxkx +>⇒+>⇒−<− (1)

Como Nx > , por (1) se requiere 3 1 kN += Si 26999=k entonces 30=N Esto significa que para 30>x los valores de la función son inferiores a 26999− ; es decir 269991 3 −<− x siempre que 30>x ¿Puede tomarse un NN >1 tal que se cumpla la definición? EJEMPLO 93) Demostrar que +∞=−

−∞→

xx

elím

Según la definición 4b) se tiene )(,0 kNk ∃>∀ tal que kxf >)( siempre que Nx −<

Determinamos )(kN de kxkxke x lnln −<⇒>−⇒>− Luego debe hacerse kN ln= para que se cumpla la definición. Demostración Siendo { k

xfekxkxNx x >⇒>−⇒−<⇒−< −

)(lnln

EJEMPLO 94) Determinar )(kN si ( ) +∞=+−

+∞→106lím 2 xx

x

Según la definición 4a) es )(,0 kNk ∃>∀ tal que kxf >)( siempre que Nx >

Partiendo de kxx >+− 1062 determinamos )(kN

( ) ( ) ⇒−>−⇒−>−⇒>+−⇒>+− 131313106 222 kxkxkxkxx

3113 +−>⇒−>−⇒ kxkx (1)

Siendo Nx > , por (1) se requiere 31 +−= kN EJEMPLO 95)

Halla )(kN si −∞=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−

−∞→11lím 2x

x

Según la definición 4d) resulta )(,0 kNk ∃>∀ tal que kxf −<)( siempre que Nx −<

Determinamos N(k) de ( ) ⇒+>+⇒+>+⇒−<+− 2222 111111 kxkxkx

( ) ( ) ( ) 111111 22222 −+>⇒−+>⇒−+>⇒ kxkxkx

Como ∞−→x resulta ( ) 11 2 −+−< kx (1)

Siendo Nx −< , por (1) debe tomarse ( ) 11 2 −+= kN EJEMPLO 96)

Si 200=k , qué valores de x deben tomarse para que se cumpla +∞=+

+∞→ xx

x

12lím2

Por definición 4a) se tiene )(,0 kNk ∃>∀ tal que kx

x>

+12 2 si Nx >

Límite Funcional

65

Entonces 2

21212 2 kxkxx

xx

x>⇒>>+=

+

Luego basta tomar 2kN = para que se cumpla la definición. Si 200=k resulta que 100=N ; esto es

20012 2>

+x

x siempre que 100>x

EJEMPLO 97) Hallar )(kN si +∞→xcosh cuando ∞−→x

Siendo 2

coshxx eex

−+= se tiene por definición 4b) )(,0 kNk ∃>∀ tal que

kee xx>

+ −

2 siempre que Nx −<

Entonces

)2ln()2ln(222

kxkxkekeee xxxx

−<⇒>−⇒>⇒>>+ −

−−

(1)

Siendo Nx −< y comparando con (1) debe tomarse )2ln( kN =

Ejercicios propuestos *** Hallar )(kN y demostrar los siguientes límites *** 403) +∞=

+∞→

32xlimx

404) ( ) −∞=+−∞→

15xlimx

405) ( ) −∞=+−∞→

14xlimx

406) ( ) −∞=−+∞→

xlimx

72 407) ( ) +∞=+−∞→

21xlimx

408) +∞=+−

+∞→ 112

xxlim

x

409) +∞=+−

++∞→ 42

82

3

xxxlim

x 410) −∞=

+++++

−∞→ xxxxxlim

x 21331

2

23 411) ( ) −∞=−

+∞→

41 xlimx

412) +∞=−

−++∞→ 2

322

xxxlim

x 413) +∞=

+∞→

x

xlim 100 414) +∞=

−+∞→ 1101

xxlim

415) +∞=+∞→

xlimx

ln 416) +∞=−∞→

2ln xlimx

417) ( ) −∞=−+∞→

xelimx

ln

418) +∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+∞→

x

xlim

57 419) ( ) −∞=++−

−∞→333 23 xxxlim

x 420) +∞=

−+

+∞→ 312

xxlim

x

421) a) +∞=+∞→

)(xflimx

b) +∞=−∞→

)(xflimx

si ⎪⎩

⎪⎨⎧

≤

>=

0;)10/1(

0;ln)(

3

x

xxxf

x

422) a) +∞=+∞→

)(xflimx

b) −∞=−∞→

)(xflimx

si ⎪⎩

⎪⎨⎧

≤>

=0;3

0;4/)(2

xxxxxf


66

Ejercicios varios *** Resolver ***

423) 24

13...852lím

nn

n

−+++++∞→

Nn∈ 424) n

n

n 212.3...1263

lím1

−

++++ −

+∞→ Nn∈

*** Hallar a y b tal que se cumplan las siguientes igualdades***

425) 111lím0

−=+−

→ xax

x 426)

21

424lím

0=

−+→ x

axx

427)21

324lím

2

0=

−++→ x

bxaxx

y 13

24lím2

=−++

+∞→ xbxax

x

428) ( ) ( ) 32

824lím 2

23

2=

−−

−−+−−→ xx

xbxaxx

y ( ) ( ) 02

824lím 2

23

1=

−−

−−+−−→ xx

xbxaxx

429) ( )511lím

2=++

++∞→

bxx

xax

430) 322 =−−++∞→

bxxaxxlimx

y 322 −=−−+−∞→

bxxaxxlimx

*** Hallar t , tal que se verifiquen las siguientes condiciones ***

431) 05

3lím >+→ xtx

432) 05

14lím <−

→

xtx

433) ( ) 122lím 2 >−−→

xxtx

434) ( ) 335lím <+−→

xtx

435) 01214lím ≤

−+

→ xx

tx 436) 0

16lím

2≥

−−−

→ xxx

tx 437) ( ) 21lím <−+

→xx

tx

438) ( ) 2)1(512lím −=+−+→

xxtx

***Hallar los valores de m y n para que existan los siguientes límites ***

439) )(1

xflimx→

; siendo ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

<+

≥+=

1

123)( 2 xsimx

xsimxxf

440) )(1

xflimx→

y )(4

xflimx→

; siendo ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥−

<≤+<+−

=

4412

1)(

21 xsixm

xsinxmxsixnm

xf

*** Evaluar h

xfhxflimh

)()(0

−+→

***

441) 3)( 2 −= xxf 442) 12

)(−

=xxxf 443) xxf sen)( = 444) xexf =)(

*** Proponer una fórmula para )(xf y )(xg tales que cumplan las siguientes condiciones***

445) 5)(2

=→

xflimx

446) +∞=+→

)(2

xflimx

447) −∞=−→

)(2

xflimx

Límite Funcional

67

448) 5)()(2

=→

xgxflimx

449) 1)( =+∞→

xflimx

450) 1)( =−∞→

xflimx

451) −∞=+∞→

)(xflimx

452) −∞=−∞→

)(xflimx

453) ( ) 100)()( −=++∞→

xgxflimx

454) ( ) +∞=−+∞→

1)(xglimx

455) +∞=+−∞→

)(1 xflimx

456) +∞=+

−∞→ 2)(3)(2 xgxflim

x

457) −∞=+→

)()(2/1

xgxflimx

458) +∞=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−→ )(1)(

0 xgxflim

x 459) 30)( )(

0=

+→

xg

xxflim

460) 0)( )(

0=

+→

xg

xxflim 461) +∞=

+→

)(

0)( xg

xxflim 462) −∞=+

→ +

1)(

0)( xg

xxflim

*** Calcular el límite de la función )(xf en los siguientes casos***

463) 01)(

1=

−+→ xxflim

x 464) +∞=

−→)(2

0xfxlim

x 465) )()(0)( xfxxusielim xu

x−−==

−∞→

466) ( ) +∞=+−−→

)(2)1ln(1

xfxlimx

467) ( )21)(2 =+

+∞→xfxxlim

x 468) −∞=−

−∞→ )(1)21log(xf

xlimx

***Determinar*** 469) un valor de N tal que si Nx > entonces 33741 3 −<− x

470) los valores de x próximos a 5 tales que si 169)( 2 −= xxf resulte 100

1144)(100

1144 +−<<−− xf

471) los valores de x próximos a 3 tales que 100003

1>

−x

472) un valor de N tal que si Nx > entonces ( )3,212

5∈

−xx sabiendo que el límite de

125−xx es

25

473) un δ tal que 600148

<+− xx

x siempre que δ<−< 40 x

474) si se cumple ε<−92x tal que si δ<−< 30 x con 1≤δ ; 21≤δ y 100

1≤δ

475) si puede tomarse εδ = para que se cumpla ε<− x1sen si δ<< x0

476) un δ que dependa de ε tal que si δ<< x0 entonces ε<− x1senh *** Proponer una fórmula de la función )(xf en los siguientes casos***

477) εε<−⇒<−< 4)(

520 xfx 478) εε <+⇒<−< 1)(10 2 xfx

479) εε <−⇒−<−< + 1)(10100 1 xfex 480) ( ) εε <−⇒−+<< 8)(38log0 2 xfx

481) kxfk

x >⇒<< )(104

482) kxfk

x −<⇒+

<−< )(1

110

483) ε<⇒> )(xfex m donde ε31

=m 484) εε

<−⇒−< 1)(1 xfx

485) kxfkx >⇒> )(ln21 486) kxfkx >⇒−> )(1002


68

4- Continuidad

4.1 Función continua en un punto y en un intervalo Continuidad en un punto Cuando la gráfica de una función sufre un salto o una interrupción en un punto se dice que la función es discontinua en ese punto. Lo dicho anteriormente es una idea intuitiva ; para precisar este concepto es necesario que se cumplan ciertas condiciones. La función )(xf es continua en el punto ax = si y solo si 1) Existe )(af

2) Existe )(xflimax→

3) )()( afxflimax

=→

Si algunas de estas 3 condiciones no se cumplen entonces la función no es continua en ax =


La función 24)(

2

+−

=x

xxf es discontinua en 2−=x pues )2(−f no existe .

Observa que la gráfica se interrumpe cuando 2−=x y -2 x -4 EJEMPLO 2)

La función ⎪⎩

⎪⎨⎧

≤−

>+=

1

11)( 2 xsix

xsixxf es discontinua en 1=x pues si bien existe )1(f , no se cumple la

segunda condición ; es decir )(1

xflimx→

no existe. Observa que 2)(1

=+→

xflimx

y 1)(1

−=−→

xflimx

y 2 -1 x

1


70

EJEMPLO 3)

La función ⎩⎨⎧

=−≠−

=31

342)(

xsixsix

xf es discontinua en 3=x pues no se cumple la tercera condición ;

esto es )3()(3

fxflimx

≠→

pues 2)(3

=→

xflimx

y 1)3( −=f

y -1 x -4 EJEMPLO 4)

La función ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≠−−

=13

111

)(

3

xsi

xsix

xxf es continua en 1=x pues

1) Existe 3)1();1( =ff 2) Existe )(

1xflim

x→ ya que 3)(

1=

+→xflim

x y 3)(

1=

−→xflim

x

3) )1()(1

fxflimx

=→

EJEMPLO 5

Estudiar la continuidad de la función ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥+

<≤+<

=

22

20130cos

)(

xsix

xsixxsix

xf en 0=x y en 2=x

Siendo 1)()0(

0==

→xflimf

x ; resulta que )(xf es continua en 0=x

Siendo 7)(2

=−→

xflimx

y 2)(2

=+→

xflimx

se tiene que no existe el límite de )(xf cuando 2→x ; luego

la función es discontinua en 2=x Clasificación Las discontinuidades se clasifican en • eliminables, llamadas también evitables • esenciales, llamadas también no evitables Son eliminables aquellas cuyas funciones tienen límite finito ; es decir existe )(xflim

ax→. En este

caso se vuelve a definir la función transformándola en continua. Las funciones que no tienen límite finito presentan una discontinuidad esencial en el punto considerado. EJEMPLO 6)

La función del ejemplo 1) 24)(

2

+−

=x

xxf es discontinua eliminable en 2−=x pues

0)(;0)(22

==−+ −→−→

xflimxflimxx

. Luego 0)(2

=−→

xflimx

3

Continuidad

71

Se debe ahora definir nuevamente la función para que sea continua ; esto se logra haciendo que el valor del límite coincida con el valor de la función en 2−=x

Entonces definimos ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

−≠+−

=20

224

)(

2

xsi

xsix

xxg

)(xg es continua en 2−=x pues cumple con las tres condiciones dadas 1) Existe ;)2(−g 0)2( =−g 2) Existe 0)(;)(

22=

−→−→xglimxglim

xx

3) )2()(2

−=−→

gxglimx

EJEMPLO 7) La función del ejemplo 2) es esencial en 1=x pues no existe el límite de )(xf cuando 1→x EJEMPLO 8) La función del ejemplo 3) es eliminable en 3=x pues existe el límite de )(xf cuando 3→x

Definimos entonces ⎩⎨⎧

=≠−

=32

342)(

xsixsix

xu

EJEMPLO 9)

La función ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠−=

11

11

1)(

xsi

xsixxf presenta una discontinuidad esencial en 1=x pues +∞=

+→)(

1xflim

x y

−∞=−→

)(1

xflimx

; por lo tanto no existe )(1

xflimx→

EJEMPLO 10) La función x exf =)( presenta una discontinuidad esencial en 0=x

Siendo xx eexf /1)( == resulta que )0(f no existe ; además +∞=+→

)(0

xflimx

y 0)(0

=−→

xflimx

. Luego

)(0

xflimx→

no existe.

EJEMPLO 11) La función ( )xxf /1sen)( = es discontinua esencial en 0=x pues no existe )0(f ni el límite de

)(xf cuando 0→x ¿ Para que valores de x la función seno toma valores alternados 1 y -1 ? EJEMPLO 12)

Hallar el valor de m y k para que la función ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+<−

>+−

=2326

213

)( 2

xsikxsix

xsimx

xf sea continua en 2=x

Se analizan las condiciones correspondientes. 1) Existe );2(f 3)2( += kf 2) Existe el )(

2xflim

x→ ; esto es mxflim

x−=

+→7)(

2 y 2)(

2−=

−→xflim

x

Luego debe hacerse )()(22

xflimxflimxx −+ →→

= ⇒ 27 −=−m ⇒ 9=m

3) )2()(2

fxflimx

=→

; entonces 32 +=− k ⇒ 5−=k


72

Continuidad en un intervalo Una función )(xf es continua en un intervalo ( )ba, si es continua en todos los puntos del mismo. Una función )(xf es continua en un intervalo [ ]ba, si lo es en ( )ba, y además

)()( afxflimax

=+→

y )()( bfxflimbx

=−→

Análogas definiciones resultan para intervalos [ )ba, , ( ]b,∞− , etc. EJEMPLO 13) La función ( )29ln)( xxf −= es continua en ( )3,3− pero no lo es en [ ]3,3− pues )3(−f y

)3(f no existen.

EJEMPLO 14) La función 225)( xxf −= es continua en [ ]5,5− ya que lo es en ( )5,5− y además 0)5()(

5=−=

+−→fxflim

x y 0)5()(

5==

−→fxflim

x

EJEMPLO 15) La función xxf += 4)( es continua en [ )∞+− ,4 pues es continua en ( )+∞− ,4 y además 0)4()(

4=−=

+−→fxflim

x

EJEMPLO 16) La función ⎪⎩

⎪⎨⎧

<<−<≤+

=011

201)(2

xsixsixxf es continua en ( )2,1− por que lo es en todo

punto del intervalo. Verifica para 0=x . Construye una gráfica de )(xf

EJEMPLO 17) La función ⎪⎩

⎪⎨

⎧

<<−−

=+≤<−

=

011

01108

)(2

3

xsix

xsixxsix

xf no es continua en ( ]1,1− pues en 0=x es

discontinua. Verifica y representa gráficamente.

EJEMPLO 18)

¿ Para qué valores de x , 22

1)( 23 −−+=

xxxxf es discontinua ?. Halla los intervalos de continuidad.

La función es discontinua en 1,2 −=−= xx y 1=x pues no existen )1(,)2( −− ff y )1(f La función es continua en los intervalos ( );2,−∞− ( );1,2 −− ( )1,1− y ( )+∞,1

Ejercicios propuestos ***Determinar si existen puntos de discontinuidad***

1)4

3)(+

=x

xf 2) 1

)(2 +

=x

xxf 3) xx

xxf3

)( 2 −= 4)

2

114)( ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

xxxf

5) 2045

1)(23 +−−

=xxx

xf 6)45

1)(24 +−

+=

xxxxf 7) xexf /1)( −= 8) )1/(12)( −= xxf

9) 2ln)( xxf = 10) )1ln()( 2xxf −= 11) xxxf secsen)( −= 12) xxf tg1)( +=

13) xxf cos1)( += 14) ecxxf cos)( = 15) [ ]xxf =)( 16) [ ] xxxf −=)(

17) echxxf cos)( = 18) ( )xxf lnsen)( = 19) thxxf =)( 20) xxf 1senh)( −=

21)⎪⎩

⎪⎨

⎧

>+=−<−

=01

0101

)(xsix

xsixsix

xf 22)⎪⎩

⎪⎨⎧

>−

≤−+=

11

11)(

3

2

xsix

xsixxxf

Continuidad

73

***Determinar los puntos de discontinuidad y clasificar en eliminables (evitables) o esenciales (no evitables)***

23) 54

5)(2 −+

+=

xxxxf 24)

nnnnnnf

232)(

23

2

−+

−−= 25)

674)(

3

2

+−

−=

xxxxf

26) 6116

1)(23

3

+++

+=

uuuuuh 27)

8212)(

2

2

−−

+−=

xxxxxh 28)

241)(

xxxf

+=

29) x

xu 19)( −= 30) x

xgcos

1)( = 31) 11

)(−

−=

xx

xg

32) xexf /1)( = 33) [ ]xxf =)( 34) αα tg)( =f 34) xx

xx

eeeexu−

−

−

+=)(

35) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=>+

<=

0303

02)(

xsixsix

xsixf 36)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥−

<−=

21

22

1)(

2 xsix

xsixxh 37)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−≠+−

−==

8864

81)( 2

xsix

x

xsixg

38) 1010)(

/1

/1

+

−=

u

u

eeuf 39)

xexh

/11)( = 40)

uuh 1ln)( = 41) ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

+

+=

xxxxf

21ln)(

42) x

xxf sen)( = 43) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

xxxf πsen)( 2 44) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

πxxf 2cos)( 45) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

xxxxf 102cos)( 2

46) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

−+=

22 21sen)(

ππxxxu 47) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

xxxf πsensen)( 48) x

xxg cos1)( =

49) ( ) γγ tg2=f 50) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= −

tth t 1sen10)(

2/1 51) ( )β

β1sen

1−

=u

52) ⎪⎩

⎪⎨⎧

≠−

==

11

110

)(xsi

x

xsixf 53)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤<<−

≤

=xsixxsix

xsi

xf44

419

13

)( 2

54) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>+

≤−=

02

)16(ln

0)2cos()(

3

3

2

xsix

x

xsixxxg 55)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−

≤=

−

017

0)(

1

xsix

xsiexh x

x

56) 32 16

)sen()(

−=

xx

xfπ

*** Determinar los valores de k y m según corresponda, para que las funciones sean continuas ***

57) ⎪⎩

⎪⎨⎧

≤>

=22)(

3

xsikxxsixxf 58)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<−

=>+

=

31

3342

)(2 xsix

xsikxsimx

xf 59)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−<−=−

−>+

=16

1

1914

)( 2

xsikxsixx

xsimxk

xf

60) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

≠−−

=21

22

4)(

2

xsik

xsix

xxf 61)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≠−−

=

16

111

)(2

3

xmx

xsix

xxf 62)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≠+

=+ 04

02

)1ln()(

1 xsi

xsix

xxf

k


74

63) ⎪⎩

⎪⎨⎧

≠−

==

0cos10)4cos(

)(xsi

xx

xsimxf 64)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

<−

=−+

>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+ 02

015

03sen

2

xsik

xsixk

xsix

x

xm

65)

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

≤<−

>+

=

0100log

5051

512

)(

xsix

xsix

xsikx

xfm

66)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+

<−−

>−

=

374

339

32

)(2

tsimk

tsit

t

tsimk

tf

*** Determinar si existe “ c “ en los siguientes intervalos *** 67) 856)( 23 −++= xxxxf ; 4)( =cf ; [ ]2,1−∈x 68) 103)( 2 −+= xxxf ; 0)( =cf ; [ ]3,0∈x

69) 3)( 24 −−= xxxf ; 9)( =cf ; [ ]3,1∈x 70) ( )5213)( += xxf ; 32

1)( =cf ; [ ]1,1−∈x

71) 2

12)(2 +

=x

xf ; 4)( =cf ; [ ]23

31 ,∈x 72) )2/tg()( xxf = ; 1)( =cf ; [ ]4

33 , ππ∈x

***Determinar si las siguientes ecuaciones admiten alguna solución en los intervalos indicados*** 73) 125 =+ xx en [ ]2

1,0 74) 043

21 =+ +

−+−

xx

xx en [ ]3,1

***Demostrar si***

75) 31sen

=x

x para algún ( )π,0∈x 76) 101cos1

=−

xx para algún ( )π,0∈x

***Hallar los valores de k que aseguren la existencia de una solución para la siguientes ecuaciones en los intervalos indicados*** 77) 4123 =−+ xkx en [ ]1,1− 78) 016

112 =−

x en [ ]2,k

***Sean⎩⎨⎧

<≥

=121

)(xsixsix

xf y ⎩⎨⎧

<≥

=112

)(xsixxsi

xg ¿son verdaderas las siguientes afirmaciones?***

79) f y g son discontinuas en 1 pero el producto gf es una función continua en 1 80) gf + es continua en 1 y gf − es discontinua en 1 *** Escribir una función discontinua en los puntos indicados*** 81) 01 =x 12 =x 13 −=x 82) 21 =x 32 =x 83) 21 xx −= 2

11 =x 3

23 xx = 84) π=1x ***Probar que )(xf es continua para todo x real*** 85) 14)( −= xxf 86) xxf 2)( = *** Definir, si es posible, las siguientes funciones para que sean continuas en 0x ***

87) 8

64)(−

−=

xxxf 640 =x 88)

xexf

x

31)( −

= 00 =x

89) 11)(

15

−−

=x

xxf 10 =x 90) 1

ln)(−

=x

xxf 10 =x

5- Diferenciación 5.1 Derivada de una función Derivada por definición Sea una función f x( ) continua, si a la variable x se la incrementa en ∆ x , el valor de la función se incrementa en ∆ y como se observa en la siguiente figura y f f( xx ∆+ ) y∆ f(x) x∆ x xx ∆+ x Se define derivada de la función )(xfy = con respecto a x , al límite, si existe, del cociente

incremental xy

∆∆ cuando 0→∆x y se simboliza )(xf ′ ; esto es

0lím)(→∆

=′x

xfxy

∆∆

donde )()( xfxxfy −∆+=∆ El proceso que permite el cálculo de la derivada se llama diferenciación. Una función es diferenciable en un punto x de su dominio si tiene derivada en ese punto.

Ejercicios resueltos EJEMPLO 1) a) Hallar la derivada de la función xxxf += 22)( utilizando la definición. b) Determinar si es diferenciable en 1−=x y en 0=x

a) Por definición resulta xyxf

x ∆∆

=′→∆ 0

lím)(

)()( xfxxfy −∆+=∆

( )( ) ( )xxxxxxy +−∆++∆+=∆ 22 22

Operando es 224 xxxxy ∆+∆+∆=∆ ⇒ ( )xxxy ∆++∆=∆ 214

El cociente incremental es ( ) xxx

xxxxy

∆++=∆

∆++∆=

∆∆ 214214

Luego xyxf

x ∆∆

=′→∆ 0

lím)( 14)214(lím0

+=∆++=→∆

xxxx

Observa que la función 14)( +=′ xxf deriva, o se deduce de xxxf += 22)( según la definición dada. b) La función es diferenciable en 1−=x y en 0=x pues

31)1(4)1( −=+−=−′f y 110.4)0( =+=′f


76

EJEMPLO 2) Hallar la derivada de xxf =)( en 3=x

Por definición se tiene xyxf

x ∆∆

=′→∆ 0

lím)( donde )()( xfxxfy −∆+=∆

Si 3=x resulta: xxf

x ∆−∆+

=′→∆

33lím)3(0

Resolviendo la indeterminación es 32

1)3( =′f

¿Es diferenciable xxf =)( en 0=x ? EJEMPLO 3)

Hallar si existe la derivada de ⎪⎩

⎪⎨⎧

<+

≥+−=

14

183)( 2 xsix

xsixxf en 1=x

La función está definida por secciones; se calculan entonces las derivadas laterales en 1=x

La derivada lateral derecha es: xy

xfx ∆

∆=′

+→∆+

0lím)(

( ) 35813lím)1()1(lím)1(00

−=∆

−+∆+−=

∆−∆+

=′++ →∆→∆

+ xx

xfxff

xx

La derivada lateral izquierda es: xy

xfx ∆

∆=′

−→∆−

0lím)(

( ) 2541lím)1()1(lím)1(2

00=

∆−+∆+

=∆

−∆+=′

−− →∆→∆− x

xx

fxffxx

Observa que )1()1( −+ ′≠′ ff , luego la función no es diferenciable en 1=x Nota que la función es continua en 1=x como lo ilustra la gráfica pero no es diferenciable en ese punto. y 1 x

Diferenciación

77

Ejercicios propuestos *** Determinar la derivada de las siguientes funciones utilizando la definición***

1) 5=y 2) xy = 3) 125 += xy 4) 24xy = 5) xxy −= 3 6) x

y 1=

7) 5442

−−

=xxy 8) 1+= xy 9) xy ln= 10) xey = 11) xy sen= 12) xy cos=

***Determinar si existen las derivadas de las funciones en los puntos indicados. Calcular +′f y −′f 13) 1−= xy en 1=x 14) 1+= xy en 1−=x 15) xy = en 0=x

16) 3 2xy = en 0=x 17) ⎩⎨⎧

>+−≤−

=42

42xsix

xsiy en 4=x 18)

⎩⎨⎧

≥−<

=02

04xsix

xsixy en 0=x

Reglas de diferenciación y tabla de derivadas elementales Reglas a) fcy .= ⇒ fcy ′=′ . b) Regla de la suma algebraica gfy ±= ⇒ gfy ′±′=′ c) Regla del producto fgy = ⇒ gfgfy ′+′=′

d) Regla del cociente gf

y = ⇒ 2g

fggfy

′−′=′ ; 0≠g

e) Regla de la cadena )(ufy = ∧ )(xgu = ⇒ )(.)( xuufy ′′=′ Tabla de derivadas y y ′ y y ′ y y ′

c 0 x1sen − 21/1 x− x1senh − 21/1 x+ nx 1−nnx x1cos− 21/1 x−− x1cosh − 1/1 2 −x

xblog ex blog1 x1tg − )1/(1 2x+ xth 1− )1/(1 2x−

xln x1 xg 1cot − )1/(1 2x+− x1coth − )1/(1 2x−

xc cc x ln x1sec− 1/1 2 −xx xh 1sec − 21/1 xx −− xe xe xec 1cos − 1/1 2 −− xx xech 1cos − 21/1 xx +−

xsen xcos xsenh xcosh xcos xsen− xcosh xsenh

xtg x2sec thx xh 2sec

gxcot xec 2cos− xcoth xech2cos− xsec xx tgsec hxsec thxhx .sec− ecxcos gxecx cotcos− echxcos xechx coth.cos−


78

Ejercicios resueltos EJEMPLO 4) Hallar las derivadas de las siguientes funciones.

a) 352 ++−= xxxy b) xxy sen4ln −= c) 8212 +−= xy x d) xxxy senh5logsen 1 ++= −

a) x

xy2

152 +−=′ b) xx

y cos41−=′ c)

212ln2 −=′ xy d) xe

xxy cosh5log1

1

12

++−

=′

EJEMPLO 5) Hallar las derivadas aplicando la regla del producto. a) xxy ln3 4= b) xy x sen4= c) xxy senh)35( −=

a) x

xxxy 13ln12 43 +=′ b) xxy xx cos4sen4ln4 += c) xxxy cosh)35(senh5 −+=

EJEMPLO 6) Hallar las derivadas utilizando la regla del cociente.

a) 4

2

31

xxy −

= b) xy tg= c) xxy ln

=

a) 24

324

)3(12)1()3(2

xxxxxy −−

=′ ; efectuando operaciones y simplificando, se obtiene 5

2

3)2(2

xxy −−

=′

b) xxxy

cossentg == ; luego

xxxxx

y2cos

)sen(sencoscos −−=′ operando se obtiene xy 2sec=′

c) 2

1.ln1

x

xxxy

−=′ ; operando se obtiene

2ln1

xxy −

=′

EJEMPLO 7) Hallar las derivadas utilizando la regla de la cadena.

a) )32sen( 2 +−= xxy b) ( ) 104 3−

+= xxy c) 24xey = d) ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

xxxy12

2tg2

a) )22()32cos( 2 −+−=′ xxxy b) ( ) )34(310 3114 ++−=′−

xxxy c) xey x 824=′

d) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=′

2

222

)12(12)2()12(2

122sec

xxxx

xxy ; operando se obtiene ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=′

2

222

122

122sec

xx

xxy

Ejercicios propuestos *** Hallar las derivadas de las siguientes funciones***

19) 12 810 +−= xxy 20) xy −= 1 21) 1000

1=y 22) 10cosln +−= xxy 23) naxy

21

=

Diferenciación

79

24) xxy 53 += 25) xxy 32 loglog −= 26) 7)10(2 += xy 27) xxxy 253 +−=

28) 2

321 ++ −=

nn xxy 29) xy cos1−= 30) xy 1cos1 −+= 31) 1cosh += xy

32) xxy 11 coshsenh −− −= 33) xxxy 10senln5 −+= 34) xey thx −= −1 *** Hallar las derivadas de las siguientes funciones empleando la regla del producto***

35) xxy cos3= 36) xyx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=101 37) xxy 23 log.log4= 38) xxy sen5=

39) xxy cosh= 40) 53 +−= an xxy 41) pxxy /1.ln= 42) xxy senh)3( +=

43) xxy 1sen −= 44) xxy 1cos−= 45) xxy 1senh −= 46) xxy 1cosh −=

47) xxy ln= 48) xxy ln2−= 49) xxxy cosln2= 50) xxy x log2= *** Hallar las derivadas de las siguientes funciones empleando la regla del cociente***

51) 322

+−

=x

xy 52) x

y 1= 53)

xxy cos

= 54) xy sec=

55) x

kyx

ln= 56)

103xey

x= 57)

xx

ysen

log 2= 58) xg

xyn

cot

1−=

59) xaxay

−

+= 60)

xxy

sen1sen1

−+

= 61) x

xy10.2

3= 62) thxy =

63) x

xy

1tg −

= 64) x

xy1sec−

= 65) xxy

cosh1cosh1

−+

= 66) x

xthy

1−=

*** Hallar las derivadas de las siguientes funciones utilizando la regla de la cadena*** 67) ( )532 53 xxxy +−= 68) 3 2 32 +−= xxy 69) xxy 2)3( 2 ++=

70) ( )1ln 810 +−= xxy 71) ( )xxy sen1ln 32 +−= 72) ( )1cos 3 −= xy

73) 1sec −= xy 74) xxy −−=2

3 75) 2)1( += xey 76) 3

1−+

= xx

ey

77) 10log⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=x

xy 78) xy 1sen −= 79) )4(tg 1 xy −= 80) 31 )1(senh −= − xy

81) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

xthy 11 82) )2sen( xey =

Diferenciación logarítmica

Ejercicios resueltos EJEMPLO 8) Obtener la derivada de xxy 3= 0>x

La función propuesta es de la forma )()( xgxfy = donde 0)( >xf . Para obtener la derivada utilizamos un método llamado diferenciación logarítmica; éste consiste en aplicar logaritmos y derivar en ambos


80

miembros de la función dada. Entonces xxy 3lnln =

xxy ln3ln = (1) Derivando la (1), y teniendo en cuenta que y depende de x resulta:

xxxy

y13ln31

+=′

( )yxy 3ln3 +=′

( ) xxxy 31ln3 +=′

Ejercicios propuestos *** Hallar las derivadas, empleando logaritmos*** 83) xxy sen= 84) xxy 5)1( += 85) xxy = 86) 12 2

)3( −−= xxxy

87) xxy ln)tg1( −= 88) ( ) xxeysen

2+= 89) x xxy /1 3 −= 90) ( )xxy 1tg −=

91) xxy cosh.log= 92) xey x senh= 93) 3

24xxy +

= 94) x

xy1senh −

=

95) ( )uxey 12 += − ; xeu = 96) uxy = ; xxu = 97) ( )xxy 1cosh −=

98) ( ) 21cot

xxhy −= 99) )3ln( 2 xxxy −= 100)

xxy =

Derivada de la función implícita

Ejercicios resueltos EJEMPLO 9) Determinar la derivada de 0),( =yxF , siendo )(xfy =

a) 0222 =−+ rxy ; r constante b) 0524 =−+ yxyx Al derivar tenemos en cuenta que y depende de x ; entonces

a) 022 =+′ xyy ⇒ yxy −=′

b) 0524 423 =′−′++ yyyxyyxproductodelregla43421

; operando se obtiene 4

23

524

yxyyxy

−

−−=′

Ejercicios propuestos *** Derivar las funciones dada implícitamente***

101) 0=+− bmxy 102) 022 =−+ xyyx 103) 03 =+− xyyx 104) ( ) xxy =−

2

105) 52 ln yxx −= 106) )sen( yxy += 107) 10)sen( 22 += xyx 108) 212 xyx +=+

Diferenciación

81

Derivadas sucesivas Si una función )(xfy = es diferenciable entonces la derivada es la función )(xf ′ . A su vez si

)(xf ′ es diferenciable, resulta la derivada segunda de )(xf o de orden 2 que se escribe )(xf ′′ . Esto puede extenderse sucesivamente, suponiendo la diferenciabilidad de cada una de las derivadas obtenidas. La derivada de orden n se indica ( ) )(xf n .

Ejercicios resueltos EJEMPLO 10) Hallar la derivada segunda de 13)( 24 +−= xxxf La derivada primera es xxxf 212)( 3 −=′

Para obtener la derivada segunda de )(xf se halla la derivada de )(xf ′ ; esto es 236)( 2 −=′′ xxf EJEMPLO 11) Hallar los valores de x tales que 04)().()(4 =+′′′′+′′ xfxfxf si xxf sen)( = Calculamos las derivadas xxf cos)( =′ ; xxf sen)( −=′′ ; xxf cos)( −=′′′ Reemplazando en el ejercicio propuesto es 04)cos(cos)sen(4 =+−+− xxx

Operando, se obtiene 03sen4sen2 =+− xx

Resolviendo la ecuación trigonométrica resulta 1sen =x ⇒ ππ kx 22+= con Zk ∈

Ejercicios propuestos *** Determinar las derivadas según el orden que se indica*** 109) 5xy = ; evaluar )2(y ′′ 110) xy ln3= ; hallar )(xy ′′ 111) 12 += xy ; evaluar )1(−′′y

112) 1+= xy ; hallar )(xy ′′′ 113) x

xycos

4= ; hallar )(xy ′′ 114)

4xey = ; evaluar )2(y ′′

115) xy cos= ; hallar )()5( xy 116) xy sen= ; evaluar )( 2)6( πy 117) xxy ln= ; hallar )()4( xy

118) 3

5xy = ; hallar )()10( xy 119) xxy cossen= ; hallar )(xy ′′ 120) xy senh= ; hallar )()50( xy

121) xxey = ; hallar )(xy ′′ 122) xexy −= 2 ; hallar )(xy ′′ 123) 012 2 =+− xy ; hallar )(xy ′′

124) 0ln =− xy ; hallar )(xy ′′ 125) xy =cos ; hallar )(xy ′′ 126) 0sen =− xxy ; hallar )(xy ′′

Ejercicios varios *** Derivar las siguientes funciones combinando las reglas convenientemente*** 127) ( ) 23 sen24

−+−= xxxy 128) 12 )( −−= xxy 129) 5)3ln(5)3sen(5 −+= xxy

130) 311

+

−=

xxy 131) )tg(ln)ln(tg xxy += 132) ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+−

=104

12sen2

xxxy


82

133) 1++= xxy 134) x

xy2ln5

= 135) )5sen()10(tg 2

xx

y = 136) )10cos()4sen( xxy =

137) 2/

)2/(sen 3

xxy = 138) ( )xxy 55

3 cossenlog −= 139) )(cot)tg( hxghxy ++=

140) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += 11sen

xy 141) ( )xxy 32log += 142) ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

bay

xlog 143) ( )13ln 2 +−= xxy

144) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++= 3 2 210ln xxy 145) ( )1ln3 4 += xy 146) )(secln52 xxy =

147) ( ) )3cos(ln 24 xxxy = 148) r

n

xxy 1−

= 149) x

xy61

53 2

−

−= 150) 5 3

211 x

xy +=

151) x

xy sen= 152)

5

5

5

5

xa

axy += 153) ))2(ln(ln 3 xy = 154)

2)cosln(sec ecxx

y−

=

155) ( )10)2(tg −+= xay 156) 4

2 )10(cotx

xgy = 157) )4(cot)1( 3 xgxy +=

158) xxy

−

+=

11ln 159) xxy 32

10 −= 160) 52 +−= xexy 161) xey tg=

162) 1432 −= xxy 163)

xx

xy

+

+−

= 3

2

3

4 1 164) )sen(uxay = 165) x

x

aytg

=

166) x

nn

y −

−= 10

!)1(!

167) ( )xxy 32sen += 168) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

+=

x

x

eey

11ln 169) 13cos −= xecy

170) xxky cos= 171) xbxaky sencos += 172) xxky2ln= 173) !3

)ln(cos2

)1(x

ky −=

174) )2tg( xxy = 175) )4(sen2)1( xxy −= 176)

172

2

3

+−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=xx

xp

y 177) ( ) 5sen2tgx

xy =

178) x xy − −= 1 1 179) xx ececy 22

31

−+= 180) ( ))10/cos(110 xy x += 181) )ln(ln 2 xy =

182) ( )11 lnln −− −= xxy 183) 2log xy = 184) 10log 1+= xy 185) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= −

21sen 1 xy

186) 31 1cos += − xy 187) )(tgtg 1 xy −= 188) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+

= −

xxy

sen1sen1cos 1

189) ( )2/sen 31 xy −= 190) )2/(sen 1 xay−

= 191) x

xy1

1

cos1cos−

− −=

192) ( ))/1(cosln 1 xy −= 193) xey1tg3 −

= 194) ))10(sen(sen 1 xey−

=

195) )(tgtg 1 xxy−

= 196) xxy tg1 )tg( −= 197) 3 cos 12 xy

−= 198) xxy 3))3(ln(=

199) uxy = ; x xu 1+= 200) ( )51 1sen53 xy += − 201) 3 2 13+

+−=x xxy

202) )coscos( 1 xy −= 203) )(lntg 1 xy −= 204) xky sen=

205) )4(sec 1 xy −= 206) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= −

xecy 1cos 1 207) xxy cosh.senh 5=

208) xx

xx

eeeey−

−

−

+= 209) xxxxy sen.coshcos.senh += 210) )ln(senh xky =

Diferenciación

83

211) xhky sec4= 212) ( )39cos 2 +−= xxechy 213) ( ) )5()3senh( xthxy =

214) ( ) xxy cos5coth1+= 215) thx

xy tg= 216) ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

+=

−

−−

xx

xx

eeeey 1tg

217) xxey cos.senh2= 218) x

xxy2

22

cossenhcosh −

= 219) ( )thxy += 1ln 2

220) ( )xy senhln= 221) ( )3 )2cosh(ln xy = 222) )4(1 xthy −=

223) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= −

4231 xthy 224) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

= −

211

xxthy 225) xy 2senh 1−=

226) ( )1cosh 101 −= − xy 227) )4(cos)4(cosh

1

1

xxy

−

−

= 228) xy1coth10

−=

229) )8(sec 1 xhy −= 230) 21cos xechy −= 231) )4(senh 1 xxy−

=

232) ( ) )cos()senh( xxy ππ= 233)x

xyx

2

ln

sen= 234)

( ) 1lncos

+=

xxxy

***Analizar la continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones***

235) ⎪⎩

⎪⎨⎧

>≤−

=262104)(

2

xsixsixxf en 2=x 236)

⎪⎩

⎪⎨⎧

<−

≥=

32

3271

)(3

xsix

xsixxf en 3=x

237)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

≠+−

−−

=

5137

510173

103

)(2

2

xsi

xsixx

xx

xf en 5=x 238) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

−≠++

−+=

11

1275

12)( 2

2

xsi

xsixxxx

xf en 1−=x

239) 2)( += xxxf en 2−=x 240) 462)( +−= xxf en 6=x

*** Sean )(xf y una función g derivable, calcular la derivada de fg o en 0x ***

241) 25)( xxxf −= ; xxg +=′ 10)( ; 20 =x 242) xxf ln)( = ; 3)( xxg =′ ; ex =0 ***Colocar verdadero o falso. Justificar ***

243) Existe )0(f ′ pero no )0(f ′′ ; siendo

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=<−

>

=00

0

0

)( 2

2

xsixsix

xsix

xf

*** Obtenga, si existen, los valores reales de a y b para que la función )(xf sea derivable***

244) ⎪⎩

⎪⎨⎧

≤−++

>++=

01

02)(

3

2

xsibxax

xsiaxxxf


84

5.2 Derivada y recta tangente Sea f una función continua, y sean los puntos p y q según se indica en la figura; la recta secante

S tiene pendiente xy

ms ∆∆

= . Si ∆x → 0, esto es si q p→ la recta S se aproxima a la recta T y el

valor límite mt representa la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto p. y S q T y∆ f p x∆ x x+ x∆ x Por lo visto, si el límite del cociente incremental cuando 0→∆x existe, es por definición la derivada de f x( ) ; luego

xyxfm

xt ∆∆

=′=→∆ 0

lím)(

y la derivada en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. Ecuaciones de la recta tangente y normal a una curva en un punto Sea una función )(xfy = continua y un punto ),( 11 yxp , la ecuación de la recta tangente en p está dada por

))(( 111 xxxfyy −′=− donde )( 1xf ′ es la pendiente correspondiente tm Como la recta normal es perpendicular a la recta tangente, la ecuación resulta

)()(

11

11 xx

xfyy −

′−=− ; 0)( 1 ≠′ xf

Ejercicios resueltos EJEMPLO 12) Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva dada por xxxf 4)( 2 −= en el punto de abscisa

1−=x Siendo 1−=x ⇒ 5)1( =−f ; luego el punto es )5,1(−p

Diferenciación

85

La ecuación de la recta tangente que pasa por un punto ),( 11 yxp está dada por ))(( 111 xxxfyy −′=− Siendo 42)( −=′ xxf ⇒ 6)1( −=−′f y considerando )5,1(−p , se tiene

)1(65 +−=− xy 16 −−= xy (ecuación de la recta tangente) La recta normal que pasa por ),( 11 yxp es la perpendicular a la recta tangente y la ecuación resulta

)()(

11

11 xx

xfyy −

′−=−

En nuestro caso se tiene

)1(6

15 +−

−=− xy

631

61

+= xy (ecuación de la recta normal)

EJEMPLO 13) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función )ln()( 2xxf = en )0,1(p Para calcular la pendiente tm de la recta se debe evaluar la derivada de )(xf en 1=x , aplicando las reglas de diferenciación resulta

xx

xxf 221)(

2==′ ⇒ 2)1( =′f

Luego la ecuación de la recta tangente es ))(( 111 xxxfyy −′=− )1(20 −=− xy

22 −= xy EJEMPLO 14) Para qué valor de x la función 12)( 2 −+= xxxf admite tangente horizontal Si la recta es horizontal, la pendiente tm es nula; luego 0)( =′ xf

022)( =+=′ xxf ⇒ 1−=x y x T EJEMPLO 15) Mostrar que la función 3 1)( −= xxg admite una tangente vertical en )0,1(p utilizando a) la definición b) las reglas de derivación .

a) Siendo xy

xgmxt ∆

∆=′=

→∆ 0lím)(

-1


86

xxgm

xt ∆−−∆+

=′=→∆

011lím)1(3

0+∞=

∆=

∆

∆=

→∆→∆3

203

30

1límlímxx

xxx

Como puede observarse )1(g ′ no existe pues el límite no es finito; luego la pendiente de la recta tangente en )0,1(p no está definida y la recta es vertical. b) Aplicando las reglas de derivación , se tiene

3 2)1(3

1)(−

=′x

xg ⇒ )1(g ′ no existe pues 1=x anula el denominador de esta última

expresión y es por ello que la recta tangente en el punto considerado es vertical EJEMPLO 16) Determinar si la gráfica de la función 3)( −= xxh admite una tangente en 3=x La gráfica de la función 3)( −= xxh no presenta tangente en 3=x pues

⎩⎨⎧

<+−≥−

=33

33)(

xsixxsix

xh

y siendo las derivadas laterales distintas, 1)3( =′+h y 1)3( −=′−h no existe derivada única en 3=x Luego no existe recta tangente en 3=x y 3 x EJEMPLO 17)

Hallar x tal que la recta tangente a la curva 1231)( 23 +−+= xxxxf forma un ángulo de

4πα = con el

eje de abscisas.

Siendo tm=αtg ⇒ 14

tg ==π

tm

Además )(xfmt ′= , luego 1222 =−+ xx

Entonces 0322 =−+ xx ⇒ 3;1 21 −== xx


*** Determinar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva en el punto indicado*** 245) 3−= xy en 5=x 246) 12 −= xy en 3−=x 247) 3xy −= en 1−=x

248) 1)3( 2 +−= xy en 5=x 249) xy = en 9=x 250) )3ln( −== xyy en 4=x

251) )5sen( xy = en π=x 252) xey tg= en 0=x 253) 2

1x

y = en 21

−=x

254) 0cosh =− xy en 0=x 255) 422 =+ yx en 0=x 256) 3 12 +−= xy en 1−=x

257) 3 2xy = en 0=x 258) 14

22

=− yx en 2=x

Diferenciación

87

***Determinar en qué puntos las siguientes curvas tienen tangente horizontal***

259) xxy −= 2 260) 162 +−= xxy 261) x

xy−

=53

262) xy cos= 263) xexy 2= 264) 186 23 −+−= xxxy ***Determinar en qué puntos las siguientes curvas tienen tangente vertical*** 265) 533 ++= xy 266) 10−= xy 267) 11 −−= xy

268) 3 24 xy −= 269) 5 2 xxy −= 270) x

y 1=

*** Determinar***

271) los puntos del plano tal que la recta tangente a la curva 12231 23 +−−= xxxy tenga pendiente 3.

272) los puntos del plano tal que la recta tangente a la curva 53 −−= xy forma un ángulo de 120º con respecto al eje x

273) idem para xy 2= y ángulo igual a 45º

274) los valores a y b para que las funciones )2ln()( 3 xxxxf += y bxaxxg ++= 2)( , tengan la misma

recta tangente en el punto de abscisa 21

=x

5.3 Teoremas del valor medio - Regla de L´Hôpital – Fórmula de Taylor Teoremas del valor medio

• Si una función )(xf es continua en [ ]ba, y derivable en ),( ba entonces existe ( )bac ,∈ tal

que se verifica ab

afbfcf−−

=′ )()()( ( TEOREMA DE LAGRANGE)

• Si )()( afbf = se cumple 0)( =′ cf (TEOREMA DE ROLLE)

• Teorema generalizado del valor medio ( TEOREMA DE CAUCHY)

Si )(xf y )(xg son continuas en [ ]ba, y derivables en ),( ba con 0)( ≠′ xg para cualquier x

interior al ),( ba , entonces existe ( )bac ,∈ tal que se verifica )()()()(

)()(

agbgafbf

cgcf

−−

=′′

Ejercicios resueltos ***Verificar si se cumplen las condiciones del teorema de Lagrange*** EJEMPLO 18) 2)1()( 2 +−= xxf en [ ]3,0 La función es continua en [ ]3,0 y derivable en )3,0( . Luego 3)0()( == faf ; 6)3()( == fbf ;

22)( −=′ xxf y 22)( −=′ ccf

Aplicando el teorema es ab

afbfcf−−

=′ )()()( ⇒ 033622

−−

=−c ⇒ 23

=c


88

EJEMPLO 19) 5 1)( −= xxf en [ ]2,2− La función es continua en [ ]2,2− pero no es derivable en )2,2(− ya que )1(f ′ no existe. Verifícalo. ***Estudiar las condiciones del teorema de Rolle y hallar el valor intermedio*** EJEMPLO 20) xxf sen)( = en [ ]π2,0 La función es continua en [ ]π2,0 y derivable en )2,0( π . Luego 0)0()( == faf ; 0)2( =πf ;

xxf cos)( =′ y ccf cos)( =′

Aplicando el teorema es 0)( =′ cf ⇒ 0cos =c ⇒ 21π

=c y 2

32

π=c

***Estudiar las condiciones del teorema de Cauchy y hallar el valor intermedio *** EJEMPLO 21) 21)( xxf −= 32)( xxg = en [ ]4,2 Las funciones son continuas en [ ]4,2 y derivables en )4,2( ; además 0)( ≠′ xg en este intervalo; entonces

3)2( −=f 15)4( −=f 16)2( =g 128)4( =g

ccf 2)( −=′ 26)( ccg =′ Aplicando el teorema es

)()()()(

)()(

agbgafbf

cgcf

−−

=′′

⇒ 16128

)3(156

22 −

−−−=

−c

c ⇒ 928

=c

Ejercicios propuestos *** Determinar el valor medio utilizando el teorema de Lagrange o de Rolle, según corresponda*** 275) xxxf 2)( 2 −= en [ ]5,3− 276) xxf ln)( = en [ ]e,1

277) 2)( += xxf en [ ]1,2− 278) 22)( 23 −−+= xxxxf en [ ]1,1−

279) x

xf 1)( = en [ ]4,2 280) )6cos()( xxf = en [ ]32,0 π

*** Hallar c que verifique el teorema de Cauchy*** 281) xxxf −= 2)( ; 214)( 2 −+= xxxg en [ ]3,0 282) 1)( −= xxf ; xxg 2)( = en [ ]1,1−

283) 145)( 23 +−= xxxf ; xxg =)( en [ ]3,0 284) 21)( xxf −= ; 3)( xxg = en [ ]2,1 Regla de L´Hôpital Cuando se resuelven ejercicios de límites funcionales, las indeterminaciones

00 ;

∞∞ pueden

eliminarse en muchos casos utilizando la regla de L´Hôpital. Se verifica, siempre que exista el límite finito o “infinito” en el segundo miembro que

)()(lím

)()(lím

xgxf

xgxf

axax ′′

=→→

)()(lím

)()(lím

xgxf

xgxf

xx ′′

=∞→∞→

Las otras indeterminaciones se reducen a los casos anteriores.

Diferenciación

89


EJEMPLO 22) x

e x

x

1lím0

−→

; se tiene una indeterminación 00 ; luego 1

1lím)1(lím1lím

000==

′′−

=−

→→→

x

x

x

x

x

x

ex

ex

e

EJEMPLO 23) x

x

x xx

32lím

2

+

++∞→

; se tiene una indeterminación ∞∞ ; luego

x

x

x xx

322lím

+

++∞→

=3ln312ln22lím

x

x

x +

++∞→

=3ln302ln20lím

2

2

x

x

x +

++∞→

=3ln32ln2lím

2

2

x

x

x +∞→= 0

3ln2ln

32lím

2

2=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+∞→

x

x

derivamos derivamos

EJEMPLO 24) )(lím xxx

−+∞→

; se tiene una indeterminación ∞−∞ , la llevamos a ∞∞ para poder aplicar la

regla, luego

)(lím xxx

−+∞→

=)(

))((límxx

xxxxx +

+−+∞→

=xxxx

x +

−+∞→

2lím = +∞=

+

−+∞→

x

xx

211

12lím

derivamos EJEMPLO 25) x

xxe

−∞→lím ; se tiene una indeterminación 0.−∞

En este caso transformamos x

xxe

−∞→lím =

xx ex−−∞→

lím que es una indeterminación de la forma ∞∞ ; luego

x

xxe

−∞→lím =

xx ex−−∞→

lím = 011lím =−

=− ∞+−−∞→ ee xx

derivamos EJEMPLO 26) x

xx

+→0lím ; es una indeterminación 00

Hacemos xxy = ⇒ xxxy x lnlnln == Ahora =

+→)(lnlím

0y

xxx

xlnlím

0+→

Calculamos el límite del segundo miembro

xxxx

xx /1lnlímlnlím

00 ++ →→= =

20 /1/1lím

xx

x −+→= 0)(lím

0=−

+→x

x

derivamos Entonces

=+→

)(lnlím0

yx

0 ⇒ 0límln0

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+→y

x ⇒ 1lím 0

0==

+→ey

x

o bien 1lím

0=

+→

x

xx

Nota: Cualquier otra indeterminación de la forma ∞1 ó 0∞ se procede como en el ejercicio 26)


90

Ejercicios propuestos *** Resolver los siguientes límites aplicando la regla de L´Hôpital***

285) 76

15133lím2

23

1 −+

+−−→ xx

xxxx

286) xxxx

x −

+→ 3

3

0lím 287) ( )x

xx

21 cos

)1(3límπ−−

→ 288)

20

12límx

x

x

−→

289) 1tg

)2cos(4lím

4/ −→ xx

x π 290)

)1ln()1ln(

lím20 +

++→ x

xx

291) 2

cos

2/

senlímππ −

−→ x

xe x

x 292)

)4tg()20tg(

lím0 xx

xxx −

+→

293) 2

2

2

/1

ln

límx

xex

x

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

+∞→ 294)

xx

x

lnlím+∞→

295) 2ln

límxx

x +∞→ 296)

xx

x tg)2/ln(

lím2/

−−→

ππ

297) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

−+

−−→ 28

211lím32 x

xx

xx

298) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+∞→x

xx

x 23

2lím 299) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+→ xxx cos1

1tg1lím

0 300) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

→ xxx

1sen

1lím0

301) )2/sen(

)ln(senlím

2/ ππ −→ xx

x 302)

28lím

4

xe x

x +∞→ 303)

xxx

x 2sen1cossenlím −−

−→π 304)

xx

x 4)4(tg

lím1

0

−

→

305) xxx

sen1lím0→

306) 2

1)1ln()1(lím xx

x−−

−→ 307) ( ) x

xx

42

0lím

+→ 308)

12

5414lím

−

+∞→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++ x

x xx

309) x

xx sen

0)(tglím

+→ 310)

x

x x

tg4

20 ln1lím ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+→

311) )sen10(lnlím 2

0xxx

x+

→ 312) )3(cot)(lím 33/

xgxx

ππ

−→

313) ( ) x

xx

ln2

01lím +

+→ 314) ( ) xecx

xex

cos10

04lím +

+→ 315) ( ) x

xx

/12 1lím ++∞→

316) x

xx cos4

2/)tg1(lím +

−→π

317) xecxx

cos.senhlím0→

318) ( ) 2/1

0coshlím x

xx

+→ 319) 9

1

3

2)2(lím −→

− xx

x 320) ( ) 12 3lnlím −+∞→

xx

xx

321) ( ) xg

xx cot

01lím −

→ 322) x

xxlnlím

+∞→ 323)

xx

x 10 senh)ln(cosh

lím−→

324) ( ) )2/(1

21lím x

xx −

→−

Fórmulas de Taylor y Maclaurin El polinomio de Taylor de orden n, se define como

nn

n axn

afaxafaxafaxafafxP )(!

)(...)(!3

)()(!2

)()(!1

)()()()(

32 −++−′′′

+−′′

+−′

+=

Si 0=a se tiene el polinomio de Maclaurin

nn

n xn

fxfxfxffxP!

)0(...!3

)0(!2

)0(!1

)0()0()()(

32 ++′′′

+′′

+′

+=

Teorema de Taylor Una función )(xf que posee derivadas en todos los órdenes para todo valor real de x de un intervalo abierto puede representarse mediante la suma del polinomio )(xPn y una función )(xRn llamada resto o residuo; esto es

Diferenciación

91

)()()( xRxPxf nn += La igualdad anterior se denomina fórmula de Taylor.

El residuo está dado por 1)1(

)(!)1()(

)( ++

−+

= nn

n axn

cfxR donde c es un número real tal que

xca << ; esta expresión se llama forma de Lagrange del residuo.

Ejercicios resueltos EJEMPLO 27) Expresar la función xexf =)( en potencias de 1−x mediante el polinomio de Taylor de orden 3 y el residuo correspondiente. Siendo 1=a , 3=n y xefff =′′′=′′=′ el polinomio de Taylor de orden 3 es

323 )1(

!3)1()1(

!2)1()1(

!1)1()1()( −

′′′+−

′′+−

′+= xfxfxffxP

323 )1(

!3)1(

!2)1()( −+−+−+= xexexeexP

La expresión del residuo es 4)4(

3 )1(!4

)()( −= xcfxR donde xc <<1 ; luego

43 )1(

!4)( −= xexR

c y xc <<1

Por el teorema de Taylor )()()( 33 xRxPxf += , entonces

=)(xf 32 )1(!3

)1(!2

)1( −+−+−+ xexexee 4)1(!4

−+ xec donde xc <<1

EJEMPLO 28) Hallar la fórmula de Maclaurin para xxf cos)( = Considerando el polinomio de Maclaurin y el residuo correspondiente, se tiene

( ) )(!)2(

1...!6!4!2

1cos 2

2642xR

nxxxxx n

nn +−++−+−=

donde 12)12(

2 !)12()()( +

+

+= n

n

n xn

cfxR

EJEMPLO 29) Calcular el valor del número e considerando los nueve primeros términos en el desarrollo de Maclaurin generado por xexf =)( . Acotar el error correspondiente.

El desarrollo de la función es )(!

...!3!2!1

132

xRnxxxxe n

nx ++++++=

Si consideramos los nueve primeros términos del desarrollo, resulta el polinomio de Maclaurin de orden 8;

esto es !8!7!6!5!4!3!2!1

1)(8765432

8xxxxxxxxxP ++++++++=

El residuo correspondiente es 99)9(

8 !9!9)()( xexcfxR

c== donde xc <<0


92

Haciendo 1=x y considerando el teorema de Taylor es

!9!81

!71

!61

!51

!41

!31

!21

!111

cee +++++++++=

Siendo xc <<0 ⇒ xc ee < ⇒ 98 !9

)( xexRc

= < 9

!9xe x

Si 1=x resulta !9

3)1(8 <R . Luego ≈e 71828.2


***Expresar las siguientes funciones mediante las fórmulas de Taylor o de Maclaurin según corresponda*** 325) xxf ln)( = 5=n 1=a 326) xxf =)( 3=n 4=a

327) xxf sen)( = 7=n 0=a 328) xexf 3)( −= 4=n 0=a

329) Efectuar el desarrollo de Maclaurin para 1

1)(−

=x

xf

330) Desarrollar en potencias de 1−x la función x

xf 1)( =

331) Expresar la función 1053251)( 24 +−−= xxxxf en potencias de 5+x mediante el polinomio de

Taylor y el residuo correspondiente.

332) Expresar la función )6cos()( xxf = en potencias de 6π

−x mediante un polinomio de Taylor de

cuarto orden y el residuo correspondiente. 333) Efectuar el desarrollo de Maclaurin de xxf senh)( = 334) Sea la función xxf ln)( = . Acotar el error que se comete en una aproximación cuadrática

mediante el polinomio de Taylor en potencias de 1−x para 561 << x

5.4 Variación de funciones Crecimiento – Extremos - Concavidad – Inflexión Crecimiento y decrecimiento Si 0)( 0 >′ xf en un intervalo, entonces f es estrictamente creciente en ese intervalo. Si 0)( 0 <′ xf en un intervalo, entonces f es estrictamente decreciente en ese intervalo. Valor crítico El número 0x perteneciente al dominio de una función )(xf es un valor crítico de la misma si

0)( 0 =′ xf ó )( 0xf ′ no existe

Diferenciación

93

Ejercicios resueltos EJEMPLO 30) Hallar los valores críticos de 196)( 23 −++= xxxxf Se tiene 9123)( 2 ++=′ xxxf Haciendo 0)( =′ xf resulta

1;309123 212 −=−=⇒=++ xxxx son los valores críticos de )(xf

EJEMPLO 31)

La función 1)( 3 2 −= xxf presenta un valor crítico en 0=x . En efecto 332)(

xxf =′ si 0≠x

Luego )0(f ′ no existe. Nótese que para 0=x la función está definida

Además si 03

23

=x

resulta un absurdo ya que no existen valores de x que anulen la derivada.

En consecuencia el único valor crítico de la función es 0=x EJEMPLO 32) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función presentado en el ejemplo 30). Observamos que los valores donde 0)( =′ xf son los puntos críticos de )(xf que en este caso son

1;3 21 −=−= xx Como el dominio de la función es el conjunto ℜ , investigamos el signo de la derivada primera en los intervalos ( )3, −∞− ; ( )1,3 −− y ( )∞+− ,1

Siendo 9123)( 2 ++=′ xxxf elegimos un punto arbitrario de cada intervalo, resultando 0)4( >−′f ⇒ f es creciente en ( )3, −∞−

0)2( <−′f ⇒ f es decreciente en ( )1,3 −− 0)0( >′f ⇒ f es creciente en ( )∞+− ,1

f crece f decrece

f crece

-3 -1

196)( 23 −++= xxxxf


94

Ejercicios propuestos ***Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones***

335) 593 23 +−+= xxxy 336) 23 10xxy += 337) 2)2(10 −−= xy 338) 1214

−+

=xxy

339) 1218

2 +

+−=

xxy 340) 3 5+= xy 341) xxey = 342)

3)2(1−

=x

y

343) 20

12 −−

=xx

y 344) )1ln( −= xy 345) 5 1 xy −= 346) x

xy 1+=

Extremos relativos o locales )( 0xf es un máximo relativo o local de la función )(xf si )()( 0xfxf ≤ para cualquier valor de x que se tome en algún intervalo abierto que contenga a 0x . Análogamente, )( 0xf es un mínimo relativo o local de la función )(xf si )()( 0xfxf ≥ para cualquier valor de x que se tome en algún intervalo abierto que contenga a 0x . y y f(x0) f f f(x0) a 0x b x a 0x b x )( 0xf máximo relativo )( 0xf mínimo relativo Nota: si una función toma un valor máximo en todo su dominio; se dice que la función posee un máximo absoluto. Análogamente, puede poseer un mínimo absoluto. Propiedad Si una función )(xf tiene un extremo relativo o local en 0x entonces el número 0x es un valor crítico; esto es 0)( 0 =′ xf ó )(xf ′ no existe. Puede ocurrir, no obstante, que para un cierto valor crítico de la función, la misma no presente extremos relativos. Criterios para determinar extremos relativos Criterio 1) Para determinar si una función tiene extremo relativo en 0x , estudiamos el signo de la derivada primera a izquierda y derecha de 0x ; si hay cambio de signo entonces existe extremo. Lógicamente 0x debe pertenecer al dominio de la función.

Diferenciación

95

Criterio 2) Puede también calcularse la derivada segunda; si se cumple

0)( 0 >′′ xf existe un mínimo en 0x 0)( 0 <′′ xf existe un máximo en 0x

Pero si 0)( 0 =′′ xf o si no existe, debe utilizarse el criterio 1) Puede ocurrir, que la función no sea derivable en 0x ; entonces se estudia los valores de la misma en las proximidades de 0x

Ejercicios resueltos EJEMPLO 33) Hallar los extremos relativos de la función propuesta en el ejemplo 30) La función dada es 196)( 23 −++= xxxxf ; los valores críticos son 1;3 21 −=−= xx Si aplicamos el criterio 1), observamos que las derivadas cambian de signo a izquierda y derecha de 1x y

2x como puede verse en el ejemplo 32) cuando calculamos los intervalos de crecimiento. ( )3, −∞− ( )1,3 −− ( )∞+− ,1

0>′f 0<′f 0>′f f crece f decrece f crece 3−=x 1−=x máximo mínimo Si aplicamos el criterio 2), debemos calcular la derivada segunda.

9123)( 2 ++=′ xxxf 126)( +=′′ xxf

0)3( <−′′f ⇒ 3−=x máximo 0)1( >−′′f ⇒ 1−=x mínimo

obteniendo los mismos resultados. Observa la correspondiente gráfica de la función presentada en el ejemplo 32) EJEMPLO 34)

Determinar si existen extremos de la función 11)(

2

2

−

+=

xxxf

Calculamos )(xf ′

( ) ( )2222

22

1

4

1

2)1()1(2)(

−

−=

−

+−−=′

x

x

x

xxxxxf

Anulamos )(xf ′ 0)( =′ xf

( )0

1

422=

−

−

x

x ⇒ 04 =− x ⇒ 0=x (valor crítico)

Además en 1 y 1− la derivada primera no está definida y tampoco pertenecen al dominio de )(xf Por lo tanto, si aplicamos el criterio 1) para determinar los extremos relativos solamente consideraremos 00 =x debiendo analizar el signo de la derivada primera en los intervalos ( )0,1− y ( )1,0 Si

∈x ( )0,1− , resulta 0)( >′ xf ;


96

para ∈x ( )1,0 , se tiene 0)( <′ xf

Luego, existe cambio de signo en la derivada primera y por lo tanto la función presenta un extremo local. en 00 =x Como la función es creciente en ( )0,1− y decreciente en ( )1,0 , concluimos que existe un máximo local en

0=x

EJEMPLO 35)

Determinar si existen extremos de 3 51)( xxf +=

Siendo 3/51)( xxf += , calculamos =′ )(xf 3/2

35 x

Luego, haciendo 0)( =′ xf es

035 3/2 =x ⇒ 0=x (valor crítico)

Si aplicamos el criterio 2), debemos calcular )0(f ′′

33/1

910

910)(

xxxf ==′′ −

)0(f ′′ no está definida

Entonces debemos aplicar el criterio 1), estudiando el signo de la derivada primera a izquierda y derecha del punto crítico 00 =x Para ( )0,−∞∈x , 0)( >′ xf y si ( )∞+∈ ,0x también 0)( >′ xf . Luego no hay cambio de signo en la derivada; no hay extremo. La función crece indefinidamente. Construye el gráfico de )(xf en forma aproximada EJEMPLO 36) La función 42)( −+= xxf posee un extremo en 4=x y la derivada )4(f ′ no existe, pues

)4()4( −+ ′≠′ ff ( 4=x es un valor crítico) Construye la gráfica de la función y observa que 2)4( =f es un mínimo.

11)(

2

2

−

+=

xxxf

0 máximo

Diferenciación

97

EJEMPLO 37) Determinar el área máxima de un rectángulo cuyo perímetro es 60. El perímetro del rectángulo es yxp 22 += yx 2260 += y

Despejando y es 2

260 xy −= x

Luego xy −= 30 (1)

El área del rectángulo es xyA =

entonces por (1) )30( xxA −= 230 xxA −=

Como debemos obtener la máxima área, anulamos la derivada primera 0230 =−=′ xA ⇒ 15=x

Comprobamos con la derivada segunda que es efectivamente un máximo 2−=′′A ⇒ 0<′′A ; 15=x es MAXIMO

Reemplazando 15=x en (1) es 15=y Por lo tanto, el área máxima del rectángulo es un cuadrado de lado 15.

Ejercicios propuestos ***Determinar, si existen, los extremos locales de las siguientes funciones***

347) 515431 23 ++−= xxxy 348) 41 xy −= 349) 34 xxy −=

350) 1+= xy 351) 5

1−

=x

y 352) 11

2

2

−

+=

xxy 353) 3 2)3( += xy

354) 13 4 −= xy 355) 216 xy −= 356) 5+= xy 357) )1ln( += xy

358) xy cos1+= 359) 2xey −= 360) xxey −= 361) xxy ln=

362) xxy sen+−= 363) xxy −= 364) 2

1x

xy += 365) 3

2

)2()2(

+

−=

xxy

366) g

Vf

)2sen()( 0 α

α = ; 20 πα ≤≤ ; 0V y g constantes 367) xxy 2−=

368) 1−= xxy 369) ( )13 −= xxy 370) x

xy ln2= 371) 3/5xy =

372) 3cosh −= xy *** Resolver los siguientes problemas de optimización*** 373) Determinar un rectángulo de menor perímetro de área 16.

374) Hallar dos números naturales tales que el producto sea 64 y la suma de sus cuadrados mínima.

375) Hallar dos números naturales cuya suma sea 100 y su producto máximo.

376) Determinar el triángulo isósceles de área máxima inscripto en un círculo de radio igual a 10.


98

377) Determinar la ecuación de la recta que pasa por )2,1( y forma con los ejes coordenados un triángulo de área mínima.

378) Hallar los lados de la figura de perímetro 20 para que su área sea máxima. bmcd 2= ; acbcab == 379) Sea un triángulos de vértices )0,(xA = ; ),( xexB = y )0,10(=C . Hallar [ ]10,0∈x tal que el triángulo tenga área máxima.

380) Determinar los puntos más próximos de la curva 2xy = al punto ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

23,0 . Sugerencia: aplique la fórmula

de la distancia entre dos puntos. Concavidad La función )(xf es cóncava hacia arriba, si todo punto del gráfico está situado por encima de la recta tangente en cada punto. Análogamente, )(xf es cóncava hacia abajo, si la gráfica correspondiente está por debajo de la recta tangente. f(x) f(x) f cóncava hacia arriba f cóncava hacia abajo Observa en la primer figura que la pendiente de la recta tangente a la gráfica aumenta; por lo tanto )(xf ′ es creciente. En la segunda figura, la pendiente de la recta tangente disminuye y en consecuencia )(xf ′ es decreciente. Recordemos que si f es creciente, se tiene 0)( >′ xf . Análogamente, si )(xf ′ es creciente, entonces 0)( >′′ xf Por lo tanto si

0)( >′′ xf entonces )(xf es cóncava hacia arriba

Haciendo el mismo razonamiento, si 0)( <′′ xf entonces )(xf es cóncava hacia abajo

a c m

b

e d

Diferenciación

99

Puntos de inflexión El punto donde la curva cambia de concavidad, se denomina punto de inflexión. Para calcularlo se procede de la siguiente manera a) Determinar el valor 0x que anula la derivada segunda b) Estudiar el signo de la derivada segunda a izquierda y derecha de 0x ; si hay cambio de signo, entonces existe punto de inflexión. Puede ocurrir que no exista la derivada segunda en 0x , entonces se procede como lo enunciado en b). Lógicamente, 0x debe pertenecer al dominio de la función.

Ejercicios resueltos EJEMPLO 38) Determinar los intervalos de concavidad de la función 33)( 23 +−−= xxxxf Derivamos dos veces

163)( 2 −−=′ xxxf ⇒ 66)( −=′′ xxf Luego hallamos los valores que anulan la derivada segunda

066 =−x ⇒ 1=x Analizamos el signo de )(xf ′′ a izquierda y a derecha de 1=x Si ( )1,∞−∈x ; 0)( <′′ xf ⇒ )(xf cóncava hacia abajo Si ( )∞+∈ ,1x ; 0)( >′′ xf ⇒ )(xf cóncava hacia arriba

EJEMPLO 39) Del ejemplo anterior , la función 33)( 23 +−−= xxxxf presenta un punto de inflexión en 10 =x . Observa la gráfica atentamente. EJEMPLO 40)

Estudiar la concavidad de x

xf 1)( = ¿La función presenta punto de inflexión?

Derivamos dos veces

21

xf −=′ ⇒

32x

f =′′

Determinamos el valor de 0x que anula la derivada segunda

023=

x ⇒ 02 = FALSO (no existe valor que anule f ′′ )

33)( 23 +−−= xxxxf

cóncava hacia arriba

Cóncava hacia 1 abajo


100

Pero en 0=x , )(xf ′′ no está definida; por lo tanto estudiamos el signo de la misma a izquierda y a derecha de 0. En )0,(−∞ , se tiene 0)( <′′ xf f es cóncava hacia abajo En ),0( ∞+ , resulta 0)( >′′ xf f es cóncava hacia arriba ATENCIÓN La función presenta un cambio de concavidad; sin embargo no hay punto de inflexión pues 0 no pertenece al dominio de la función. ¿Qué ocurre en 0=x ? Construye una gráfica.

Ejercicios propuestos ***Determinar los intervalos de concavidad de las siguientes funciones***

381) 234 184 xxxy −+= 382) 2010103 345 −++= xxxy 383) 2)1(4 xy −−= 384) 1

12 −

=x

y

385) 3 29 xy −= 386) x

xy 3+= 387) x

xy −=

1 388) 24

xxy −

= 389) x

eyx

=

390) ( )2/cos x en ( )ππ 3,3− 391) xex −2 392) xxy −−= )1( ***Determinar, si existen, los puntos de inflexión de las siguientes funciones***

393) 31 xy −= 394) )1()2( 3 −+= xxy 395) 9

12 −

=x

y 396) x

xy 13 −=

397) 12 +

=x

xy 398) 3 2)5( −= xy 399) xxy 2= 400) 5 31 xy −=

401) x

eyx

= 402) xxy sen−= en [ ]ππ 2,2− 403) 13 +

=x

xy 404) 52 += xxy

405) xxy −= tg en ( )23

2 , ππ 406) xxy ln2 += 407) 2xey −= 408) 1ln2ln 2 +−= xxy

409) Hallar p y q si 23)( qxpxxf −= tiene un punto de inflexión en )2,1(

410) Hallar p , q y r si )1(3)( 23 ++−= xrqxpxxg tiene tangente horizontal en el punto de inflexión )1,1( −

411) Determinar si )( 1xf es un punto de inflexión en 35)( xxxf += , si 0)( 1 =′′ xf y 0)( 1 ≠′′′ xf 412) Sea la gráfica de la derivada de )(xf ; determinar los puntos de inflexión de f y los intervalos de concavidad y x

2 4 6

f ′

5 3

Diferenciación

101

Estudio de funciones De todo lo visto puede efectuarse un estudio completo de una función. Veamos algunos ejemplos

Ejercicios resueltos EJEMPLO 41) 18)( 24 +−= xxxf Dominio ℜ=fD Paridad La función es par pues )()( xfxf −= Asíntotas La función no posee asíntotas (puede verificarse que no se cumplen las definiciones correspondientes) Valores críticos –Extremos Derivando y anulando la derivada primera es

xxxf 164)( 3 −=′

0164 3 =− xx ⇒ 0)4(4 2 =−xx

04 =x ó 042 =−x 01 =x ; 22 −=x ; 23 =x (valores críticos)

Para determinar los extremos locales, estudiamos el signo de f ′ en los siguientes intervalos.

( )2, −∞− ( )0,2− ( )2,0 ( )∞+,2 0<′f 0>′f 0<′f 0>′f f decrece f crece f decrece f crece 2−=x 0=x 2=x mínimo máximo mínimo Por lo tanto, los mínimos se ubican en ( ))2(,2 −− f ; ( ))2(,2 f y el máximo en ( ))0(,0 f Nota: Los extremos locales pueden también obtenerse, adoptando el criterio de la derivada segunda. Inflexión Calculando la derivada segunda es

1612)( 2 −=′′ xxf Anulando f ′′ es

01612 2 =−x ⇒ 34

12162 ==x

32

1 =x 3

22 −=x

Para determinar los puntos de inflexión, estudiamos el signo de f ′′ en los siguientes intervalos.

( )3/2,−∞− ( )3/2,3/2− ( )∞+,3/2 0>′′f 0<′′f 0>′′f cóncava hacia arriba cóncava hacia abajo cóncava hacia arriba 3/2−=x 3/2=x inflexión inflexión


102

Por lo tanto los puntos de inflexión se ubican en ( )( )

32

32 , −− f y ( )( )

32

32 , f

Gráfica

18)( 24 +−= xxxf

EJEMPLO 42) 22)(

−+

=xxxf

Dominio { }2−ℜ=fD Paridad La función no es par ni impar pues )()( xfxf −≠ y )()( xfxf −−≠ Asíntotas Las función posee asíntotas vertical y horizontal.

A.V 2=x pues +∞=−+

+→ 22lím

2 xx

x y −∞=

−+

−→ 22lím

2 xx

x

A.H 1=y pues 122lím =

−+

+∞→ xx

x y 1

22lím =

−+

−∞→ xx

x

Valores críticos –Extremos Derivando y anulando la derivada primera es

( )22 24

)2()2(2

)(−

−=

−

+−−=′

xxxx

xf

0)( =′ xf

( )

024

2=

−

−

x (no existe x que anule la ecuación)

Además la derivada no está definida en 2=x . Estudiamos el signo de la misma en los intervalos

( )2,∞− ( )∞+,2 0<′f 0<′f f decrece f decrece no hay extremos Inflexión Calculando la derivada segunda es

-2 0 2

Diferenciación

103

( )328)(−

=′′x

xf

Anulando f ′′ es

( )

02

83=

−x (no existe x que anule la ecuación)

Además la derivada segunda no está definida en 2=x . Estudiamos el signo de la misma en los intervalos

( )2,∞− ( )∞+,2 0<′′f 0>′′f cóncava hacia abajo cóncava hacia arriba no hay inflexión ( 2 no pertenece al dominio de f )

Gráfica

22)(

−+

=xxxf

EJEMPLO 43) xxexf =)( Dominio ℜ=fD Paridad La función no es par ni impar Asíntotas Las función solo presenta asíntota horizontal.

A.H 0=y pues xx

x

x exxe−−∞→−∞→

= límlím = 01lím =− −−∞→ xx e

L´Hôpital Valores críticos –Extremos Derivando y anulando la derivada primera es

xx xeexf +=′ )(

0)( =′ xf ⇒ ( ) 01)( =+=′ xexf x 1−=x (valor crítico)

1

2


104

Para determinar los extremos locales, estudiamos el signo de f ′ en los siguientes intervalos. ( )1,−∞− ( )∞+− ,1

0<′f 0>′f f decrece f crece 1−=x mínimo Luego el mínimo se encuentra en ( ))1(,1 −− f Inflexión Calculando la derivada segunda es

xx exexf ++=′′ )1()( ⇒ )2()( xexf x +=′′ Anulando f ′′ es

0)2( =+ xe x 2−=x

Para determinar los puntos de inflexión, analizamos el signo de la derivada segunda en los siguientes intervalos.

( )2, −∞− ( )∞+− ,2 0<′′f 0>′′f cóncava hacia abajo cóncava hacia arriba

2−=x inflexión El punto de inflexión es ( ))2(,2 −− f Gráfica xxexf =)(

Ejercicios propuestos ***Efectuar un estudio completo de las siguientes funciones*** 413) 410 xy −= 414) 24 2xxy −= 415) xxxy 18122 23 +−=

416) 1074 23 +−−= xxxy 417) xxxy 44

34

−+= 418) ( )15

3 5+=

xy

419) 32 )5( += xxy 420) ( )322 xy −= 421) 3

1 5xy −=

422) ( )2324 xxy −= 423) 4150 24 xx

y−

= 424) 7

1+

=x

y

-2 -1

Diferenciación

105

425) 8−

=x

xy 426) 77

2

2

+

−=

xxy 427) x

xy −=

12

428) 2

1522

−−+

=x

xxy 429) x

xy−−

=3

104 430) 21 x

xy−

=

431) 2

3

1 xxy−

= 432) 2x-2-x

=y 433) 23

1xx

y+

=

434) )2(3 +−= xxy 435) )3( −= xxy 436) 1+−= xxy

437) xxy −= 3/2 438) 3 22 xxy −= 439) 23 1 xxy −=

440) ( ) 3/22 25−= xy 441) 235 −+= xy 442) 2−= xxy

443) ( )23 6 xxxy −= 444) 3 1

1−

=x

y 445) 92 −

=x

xy

446) 3

3 10x

xy −= 447)

4

42

2

−

+=

x

xy 448) 1+

=x

xy

449) xxey 2= 450) 2xxey −= 451)

3xey

x=

452) xy 10= 453) 84ln 2 += xy 454) 2)1ln( −= xy

455) xx

y ln1+= 456)

2lnx

xy = 457) 2/2

21 xey −=π

458) xy −−= 41

459) xxy −= sen 460) xy 2cos= en [ ]π2,0 461) )ln(cos xy = en ( )22 , ππ−

462) xxy cos32)2cos( −= en [ ]ππ ,− 463) xey x cos= 464) )2sen( xey x= 5.5 Diferencial de una función La diferencial de una función se define como dxxfdy )(′= donde xdx ∆= y )( xxf ∆+ y∆ x∆ x xx ∆+ x Nótese que para valores de x∆ muy pequeños dyxfxxf +≈∆+ )()( Reglas de diferenciación

2).()(

gdgfdfg

gfddfgdgfgfddgdfgfd

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=±=±

dy

)(xf


106


Calcular ∆ y y dy siendo 122 −+= xxy para 101;1 =∆= xx

( )[ ] [ ] 222 )(22121)(2)()( xxxxxxxxxxxfxxfy ∆+∆+∆=−+−−∆++∆+=−∆+=∆

Para 1=x y 101

=∆x resulta 10041

101

101.2

101.1.2

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++=∆y

Como dxxfdy )(′= resulta ( ) ( )104

10121.222 =+=⇒+= dydxxdy

Obsérvese que y∆ y dy difieren en 100

1 pues 100

1104

10041

=−

EJEMPLO 45) Hallar la diferencial de y si xxy sen3=

( )33 sen)(sen xxdxdxdy += ⇒ dxxxxdxxdy 23 3)(sencos += ⇒ ( )dxxxxxdy sen3cos 23 +=

Otra manera de obtener dy es: dxxfdy )(′= ; donde xxxxxf sen3cos)( 23 +=′

Entonces ( )dxxxxxdy sen3cos 23 +=


***Hallar y∆ y dy según se indica ***

465) 100

1;4 =∆== xxxy 466) 2xy = para 101;2 =∆= xx 467)

51;22 =∆== xxy x

468) Calcular aproximadamente 50 aplicando diferenciales ***Hallar la diferencial de las siguientes funciones***

469) 3=y 470) 232 +−= xxy 471) x

y 1= 472) xey x 4+= 473) ( )32 1 xxy −=

474) xxy ln.sen 2= 475) ( )221 x

xy−

= 476) 012 =+− yx 477) 01=−xy 478) 021

=++

xx

y

*** Hallar ∆ y y dy***

479) 13 += xy 480) x

xy−

=1

481) xy cos= 482) )1ln( += xy 483) ( )31+= xy

484) x

y21

= 485) )2sen( xy = 486) 1−= xey 487) xey /1= 488) xey tg=

489) xy sec= 490) ecxy cos= 491) ( )xy lncos= 492) )ln(cos xy = 493) xxy 23=

494) xxy cossen= 495) 2

cos1x

xy += 496)

xey

x

ln= 497) xxy += 3 498) ( ) xxy lnsen=

499) xx

ysen

11+= 500) xyx cos4 =+ 501) 1ln += xy 502) xyy senh162 =−− 503) 21 xey =−

6- Integración 6.1 Integral Indefinida

Sea una función )(xf ; definimos antiderivada o primitiva de )(xf , a la función )(xF si y solo si )()( xfxF =′

Por ejemplo si 23)( xxf = una primitiva es 1)( 31 += xxF pues )()(1 xfxF =′ . Otra primitiva es

100)( 32 −= xxF pues )()(2 xfxF =′ . En general se tiene que cx +3 es una primitiva de 23x donde c

es un número real. Para designar una primitiva cualquiera de una función )(xf se escribe ∫ dxxf )( y se llama

integral indefinida de )(xf con respecto a x donde ∫ += cxFdxxf )()( ; )(xf se denomina

integrando y c es la constante de integración. En nuestro ejemplo resulta ∫ += cxdxx 323

Propiedades

[ ] ∫ ∫∫ ±=± dxxgdxxfdxxgxf )()()()()1 ∫ ∫= dxxfkdxxfk )()()2

Tabla de integrales Se presenta a continuación algunas integrales más usuales

cuduucuduu

cuu

ducuu

ducuu

du

ucuhtu

ducuu

ducuecduuguec

cuduuucugduueccuduu

cuduucuduucedue

aaca

aduacuduu

ncnuduu

uu

uu

nn

+=+=

+=−

+=+

+=−

<+=−

+=+

+−=

+=+−=+=

+=+−=+=

≠>+=+=−≠++

=

∫∫

∫∫∫

∫∫∫∫∫ ∫

∫ ∫∫∫∫∫

−−−

−−

+

senhcosh)17coshsenh)16

cosh1

)15senh1

)14sen1

)13

11

)12tg1

)11coscotcos)10

sectgsec)9cotcos)8tgsec)7

sencos)6cossen)5)4

1;0ln

)3ln1)211

)1

1

2

1

2

1

2

12

12

22

1


***Resolver las siguientes integrales*** EJEMPLO 1)

( )

cxxxxcxxxx

dxxdxxdxxxdxdxxxxx

++++=++−

−+=

=+−+=+−+

−−

−−−− ∫ ∫ ∫∫∫ln

212ln

22/33

22

3232

22/3222/32

1313

EJEMPLO 2)

( ) ( )

cxxx

cxxxdxxxxdxx

xxdxx

x

++−=

=++−=+−=+−

=−

∫ ∫ ∫ −

2/12/32/5

2/12/32/52/12/12/3

2/1

22

234

52

2/12/32

2/52121


108

EJEMPLO 3)

cxxdxdxdxxdxxxx

xx +−+−=−+=−+∫ ∫ ∫ ∫ 10ln10tg2cos10sec2sen)10sec2(sen 22

Ejercicios propuestos *** Resolver las siguientes integrales*** 1) ∫ dx3 2) ∫ dxx6 3) ∫ − dxx 42 4) ∫ dxx5 2 5) ( )∫ −+ dxxxx 3/294 53 6) ∫ dxxx4

7) ∫ +− dxxx )3)(3( 8) dxxx

∫−2

94 9) dxx

x∫ +

+3273

10) dxx

xxx∫ −

−−− −+4

123 11) dx

xx

∫+ 2)2(

12) ∫− dxxsen5 13) dxx

xx )1cos2( −+∫ 14) ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + dxe xx 3

21 15) ∫ −−+ dxxex x )45(cos 2/1

16) dxx

x∫ +

−

24 17) dx

xx∫ −

−

16256

4

8 18) dx

xxxx

∫ +−

−−

23)1)(4(

2

2 19) dx

xxx

∫ +

+−

3)4)(3(

20) αααα d∫ −

+2

23

cos1sensen

Integración mediante la sustitución con u

Ejercicios resueltos ***Resolver***

EJEMPLO 4) ∫ −dx

x11 Hacemos xu −= 1 ⇒ dxdu −= ⇒ dxdu =−

Luego cxcuududx

x+−−=+−=−=

− ∫∫ 1lnln1

1

EJEMPLO 5) ( )∫

+dx

x

x52 1

Hacemos xdxduxdxduxu =⇒=⇒+=21212

Luego ( )

( )∫∫ ++−=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−==

+

−−

cxcuududx

x

x 424

5521

81

421

21

1

EJEMPLO 6) ( ) ( )∫ −− dxxxx 14 33 24 Hacemos ( ) ( )dxxdudxxduxxu 141444 334 −=⇒−=⇒−=

Luego ( ) ( ) ( ) cxxcuduudxxxx +−=+==−− ∫∫3/54

3/53 233 24 4

203

3/541

4114

EJEMPLO 7) dxx∫ sec Antes de aplicar la sustitución escribimos

∫∫∫ ++

=++

= dxxx

xxxxx

dxxxxdxx

tgsectgsecsec

tgsec)tg(secsec

sec2

Entonces ( )dxxxxduxxu 2sectgsectgsec +=⇒+=

Luego cxxcuududxx ++=+== ∫∫ tgseclnlnsec

Integración

109

EJEMPLO 8) ∫ dxxx cossen3 Hacemos dxxduxu cossen =⇒=

Luego cxcuduudxxx +=+== ∫∫ 4sen

4cossen

4433

EJEMPLO 9) ∫ dxex x2 Hacemos xdxduxdxduxu =⇒=⇒=

2122

Luego ceceduedxex xuux +=+== ∫∫22

21

21

21

EJEMPLO 10) ( )∫∫ +

=+ 22 3/1

29/1

2xdx

xdx

Hacemos 3/xu = ⇒ dxdudxdu =⇒= 331

Luego ( )

( )∫∫ +=+=+

=+

−− cxcuu

duxdx 3/tg6tg6

16

3/12 11

22

Ejercicios propuestos ***Resolver por sustitución***

21) ( )∫ − dxxx 586 64 22) ( ) ( )∫ ++ dxxxx 9692 243 23) ∫ +

+ dxxx

x2

233

2 24) ∫ −

dxx 2

1

25) ( ) ( )∫ −− dxxxx 31065 33/24 26) ∫ +−

− dxxx

x163

12

27) ∫ −dx

xx

434

3/5

3 2 28) ( )∫ − dxx 724

29) dxxx

x∫ −

−

212

4

3 30) ∫ dxxtg 31) ( )∫ dxxx 45cos 32) ∫ dxx

x)sen(ln1

33) dxxxx )sen(cos)cos1( 425∫ + 34) ∫ + dxxx )1sen( 43 35) ∫ dxxx )4cos()4(sen3

36) ( )dxxxx 26 23 ++∫ 37) ( )∫ +

+ dxx

x1

1cos 38) dxxx∫ cossen3 39) ∫ − dxxe x 2/1

40) ∫ dxx xcos3sen 41) ∫ dxxx 25 sectg 42) ∫ −+− dxxe xx )3(162 43) ∫ dxxx tgsec2 44) ∫ + 293 x

dx

45) ∫ +dx

xxxsencos

sec 46) ∫ +dx

xsen14 47) dx

xx

∫ −1 48) ∫ +

dxx

x1

49) ∫ −dx

xx

1

2 50) dx

xx

∫ −

+2)3(

3

Integración por partes Algunas integrales se resuelven mediante el método de integración por partes. Para ello se utiliza la fórmula

∫ ∫−= duvuvudv


***Resolver*** EJEMPLO 11) ∫ dxex x Llamamos dxduxu =⇒= ; xx evdxedv =⇒=

Luego {{ {{ ceexdxeexdxex xx

duv

x

v

x

u

x +−=−= ∫∫


110

EJEMPLO 12) ∫ dxxx sen2 Hacemos dxxduxu 22 =⇒= ; xvdxxdv cossen −=⇒=

Luego ∫∫ +−= dxxxxxdxxx cos2cossen 22

En ∫ dxxx cos se aplica nuevamente la integración por partes

dxduxu =⇒= ; xvdxxdv sencos =⇒=

Luego ( ) cxxxxxdxxxxxxdxxx +++−=−+−= ∫∫ cos2sen2cossensen2cossen 222

EJEMPLO 13) ∫ dxxln Hacemos dxx

duxu 1ln =⇒= ; xvdxdv =⇒=

Luego cxxxdxx

xxxdxx +−=−= ∫∫ ln1lnln

Ejercicios propuestos ***Integrar por partes***

51) ∫ − dxxe x 52) ∫ dxex x

2 53) ∫ dxex x2 54) ∫ dxxx cos 55) ∫ dxxx sen 56) ∫ dxxx )2sen(

57) ∫ dxe xx2 58) ∫ dxex xcos 59) ∫ dxxe x sen 60) ∫ dxx 2ln 61) ∫ dxxx ln2 62) ∫ dxxx )6sen(2

63) ∫ dxex x3)3cos( 64) ∫ dxxx cossen 65) ∫ dxx)sen(ln 66) ∫ dxxx )ln(sencos

67) ∫ dxx2ln 68) ∫ dxxx 2sec 69) ∫ dxxx )3/sen(23 70) ∫ dxx2cos 71) ∫ − dxx1tg

72) dxmx∫ − )(sen 1 73) ∫ dxxxln 74) dxx∫ −1cos 75) ∫ dxxx cossenh 76) ∫ dxxx sencosh

Integración por fracciones simples

Ejercicios resueltos Caso 1) Raíces reales simples

EJEMPLO 14) ∫ −+dx

xxx

542

Factorizamos el denominador ( )( )51542 +−=−+ xxxx

Las raíces del polinomio son reales simples, luego descomponemos la fracción 542 −+ xx

x de la

siguiente manera ( )( ) )1(5151542 +

+−

=+−

=−+ x

Bx

Axx

xxx

x

donde A y B son constantes.

Entonces ( )( )( ) ( )( )( )51

1551 +−

−++=

+− xxxBxA

xxx

Luego ( ) ( )15 −++= xBxAx

Integración

111

Si 5−=x es 6/565 =⇒−=− BB Si 1=x es 6/161 =⇒= AA

Reemplazando en )1( es ( )( ) 56/5

16/1

51 ++

−=

+− xxxxx

Luego la integral resulta

∫ ∫ +++−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

−=

−+cxxdx

xxdx

xxx 5ln

651ln

61

56/5

16/1

542

EJEMPLO 15) ∫ +

− dxxx

x214

2

3

Como el grado del polinomio numerador es mayor que el grado del polinomio denominador, se efectúa la división entre los mismos obteniéndose

Cociente: 84 −x Resto: 116 −x

La fracción xx

x214

2

3

+

− puede indicarse como

xxxx

xxx

211684

214

22

3

+−

+−=+− (Verifíquese)

Luego ( ) dxxx

xdxxdxxx

x∫∫∫ +

−+−=

+−

211684

214

22

3 (1)

La primera integral ( )dxx∫ − 84 del miembro derecho de (1) es xx 82 2 − (2)

La segunda integral dxxx

x∫ +

−2116

2 la resolvemos por fracciones simples

( ) ( ) BxxAxxx

BxxAxxx

xB

xA

xxx

++=−⇒+++

=+−

⇒+

+=+− 2116

)2(2

)2(116

2)2(116

Si 2/1210 −=⇒=−⇒= AAx Si 2/332332 =⇒−=−⇒−= BBx

Luego se tiene cxxdxx

dxx

dxxx

x+++−=

++

−=

+−

∫ ∫∫ 2ln233ln

21

22/332/1

2116

2 (3)

Entonces reemplazando (2) y (3) en (1) resulta

cxxxxdxxx

x+++−−=

+−

∫ 2ln2

33ln2182

214 2

2

3

Caso 2) Raíces reales múltiples

EJEMPLO 16) ∫ +− 233 xxdx

El polinomio 233 +− xx presenta una raíz múltiple 11 =x y una simple 22 −=x

Factorizando resulta ( ) ( )2123 23 +−=+− xxxx

Descomponemos la fracción 23

13 +− xx

de la siguiente manera

( ) ( ) ( ) 211211

231

223 ++

−+

−=

+−=

+− xC

xB

xA

xxxx


112

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )21

1212

211

2

2

2 +−

−++−++=

+− xxxCxxBxA

xx

( ) ( )( ) ( )212121 −++−++= xCxxBxA Dando valores arbitrarios a x : 2−=x ; 1=x y 0=x se obtiene 9/1;3/1 −== BA y 9/1=C Luego

( )

( ) cxxx

dxx

dxx

dxxxx

dx

+++−−−−=

=+

+−

−+

−=

+−

−

∫ ∫ ∫∫2ln

911ln

911

31

29/1

19/1

13/1

23

1

23

Caso 3) Raíces Complejas simples

EJEMPLO 17) ∫ −−−

+− dxxxx

xx2

34323

2

El polinomio del denominador posee una raíz real simple y raíces complejas conjugadas. Entonces ( )( )122 223 ++−=−−− xxxxxx La descomposición es

( )( )

( )( )( ) ( )( )

( )( )1221

12343

1212343

2

2

2

2

22

2

++−−++++

=++−

+−

+++

+−

=++−

+−

xxxxCBxxxA

xxxxx

xxCBx

xA

xxxxx

=+− 343 2 xx ( ) ( )( )212 −++++ xCBxxxA Si 1772 =⇒=⇒= AAx Si 1230 −=⇒−=⇒= CCAx Si ( ) 2)1(321 =⇒−++=⇒= BCBAx Luego

∫ ∫ ∫∫ =++

−+

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

++

−+

−=

−−−

+− dxxx

xxdxdx

xxx

xdx

xxxxx

112

2112

21

2343

2223

2

)1(1

122ln2∫ ++

−+−= dx

xxxx

Para calcular la última integral de (1) transformamos el numerador 12 −x convenientemente para que el mismo resulte la derivada del denominador. Esto es

212221212 −+=−+−=− 321

rdenominadodelderivada

xxx

Luego ( ) )2(

12

112

1212

112

2222 ∫∫∫∫ ++−

++

+=

++

−+=

++

−

xxdxdx

xxxdx

xxxdx

xxx

La primera integral de (2) es de la forma ∫ udu y la segunda integral se lleva a la forma ∫ + 21 u

du

completando previamente el cuadrado.

( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ ++=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ++=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=++

2

23

21

43

2212

2 1431

43

43

211

xxxxx

Integración

113

Entonces en (2) se tiene

( ) ∫∫

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ++

−++=++

−2

23

21

22

143

21ln1

12

x

dxxxdxxx

x

Haciendo dxduxu3

221

32

=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

Luego

( ) ( ) cxxxu

duxxdxxx

x+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−++=

+−++=

++

− −∫∫ 21

32tg

3341ln

123

381ln

112 12

22

2

Reemplazando en (1) esta última expresión se tiene

( ) cxxxxdxxxx

xx+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+++−=

−−−

+− −∫ 21

32tg

3341ln2ln

2343 12

23

2

Caso 4) Raíces complejas múltiples

EJEMPLO 18) ( )∫

+

−+− dxx

xxx22

23

1

154

En este caso la descomposición en fracciones simples es

( ) ( )

( )( )( )( )( )( )1154

1

1

1

154

111

154

223

22

2

22

23

22222

23

++++=−+−

+

++++=

+

−+−

++

++

+=

+

−+−

xDCxBAxxxx

x

xDCxBAx

x

xxx

xDCx

x

BAx

x

xxx

Dando valores a x: 0;1; -1; 2 resulta el sistema

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+++=−++−=−

+++=+=−

5)2(2372)(11

2)(71

DCBACDBA

DCBADB

Obteniéndose 1;4;0;1 −==== DCBA Luego

( ) ( ) ( ) ∫∫ ∫ ∫ =+

−+

+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

++

+

+=

+

−+− dxx

xdxx

xdxx

DCx

x

BAxdxx

xxx114

1111

15422222222

23

( ))1(

114

12222 ∫∫∫ +

−+

++

=x

dxdxx

xdxx

x

En la primera y segunda integral de (1) se hace la sustitución xdxduxu 212 =⇒+= Entonces

( ) 11

211

21

21

12222 +

−=−==+

∫∫ xuududx

x

x (2)

)1ln(.2ln.221

4 22 +===+ ∫∫ xu

ududx

xx (3)


114

La tercera integral de (1) es inmediata

cxx

dx+=

+−∫ 1

2tg

1 (4)

Reemplazando (2) (3) y (4) en (1) resulta

( )∫ =+

−+− dxx

xxx22

23

1

154 cxxx

+−+++

− −122

tg)1ln(.21

121

Ejercicios propuestos ***Integrar por el método de fracciones simples***

77) ∫ +

− dxxx

x634

2 78) dx

xxx

∫ ++

+

2365

2

2 79) dx

xxx

∫ −−−3

123 80) dx

xxxx

∫ −−

−+

6232

2

34

81) ∫ +− dx

xx

5338 82) ∫ +

− dxx

x2

1 3 83) ∫ −92x

dx 84) ∫−+

dxxx

x

123

52

85) ∫ −−+ 223

23 xxxdx 86) ∫ +− )4()1( 2 xx

dx 87) ∫ − xxdx

23 88) ∫ −++

−

935)12(

23 xxxdxx

89) ( )∫ ++ xxxdxx

122

2 90) ∫ −

dxxx

x23

4

6 91) ∫ −+

+ dxxx

x43

2323 92) ∫ +− 234 44 xxx

dx

93) ∫ +− 122

24 xxdx 94)

( )( )( )∫ +−+ 2113 xxxdx 95)

( )∫ − 31xxdx 96) ∫ + 31 x

dx

97) ∫ −14tdt 98) ∫ +++ 123 uuu

du 99) ( )dxxx

xx∫ +

+−

11

22

3 100)

( )dx

x

xx∫

+

+22

3

4

143

101)( )

dxx

xxx∫

+

++−32

234

1

12 102) ∫ −dx

xx

2

4

25 103 ∫ −−

+ dxxx

x22

46 104) ( )dxxxx

∫ +− 1)3(10

2

105) ∫ +dx

xxx

9sen3cossen 2

106) ∫ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

−

+x

dxx

x1ln

ln62

107) ∫ +

− dxeeee

xx

xx

2

2 108) dx

xxx

∫ − 4cossencos

2

3

Ejercicios varios ***Resolver las siguientes integrales***

109) ∫ dxx2tg2 110) ∫ xxdx

22 cossen 111) dx

xx

∫ cos)2sen( 112) ds

sss

∫ −+−

1123

113) dxx

x n

∫ −−11 114) ( )∫ − mtt

dt1

115) ( )∫ − dxx 24)2tg( 116) ( ) dxxx∫ + 2)5cos()5sen(

***Resolver utilizando las identidades: 2

)2cos(1cos2 xx += y ( )

22cos1sen2 xx −

= ***

117) dxx∫ 2sen 118) ∫ dxx)5(cos2 119) dxxx∫ 22 cossen 120) ∫ xdxxe x cossen

Integración

115

***Resolver***

121) ∫ dxx3sen 122) ∫ dttt 32 sencos 123) ∫ drrr 33 cossen 124) ∫ ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−+ dx

ee

xe

x

xx

2ln

125) dxexex

x

x

∫ −

−

+

−

sencos 126) ∫ −

−

dxx

e x

2

sen

1

1

127) dxx

x∫ + sen

cosπ

128) ( ) dxxecxg

x∫ +

+coscot

cos1 5

129) ∫− dx

xx

2sencos3 130) dx

xxx

∫ + sec21tgsec

131) ( )∫ dx

xxx

lnlnln 132) ∫ + x

dxsen1

133) ∫ + 294 xdx 134) ∫ +− 5)5( 2x

dx 135) ∫ − 2161 xdx 136) dx

xx

∫ +

−

2

1

161)4(tg

137) ∫ − dxxx )1senh( 32 138) ∫ dyyy )6senh()6(cosh 2

***Resolver utilizando las identidades 2

1)2cosh(cosh 2 +

=xx y

21)2cosh(

senh 2 −=

xx ***

139) ∫ dxx )2/(cosh 2 140) ∫ dttt )3(cosh)3(senh 22

***Resolver***

141) ∫ + dxxx )senh(cosh 33 142) ∫ dxthx 143) ( )∫

+

−

dxx

x2

1001

1004

)5(senh

144) dxxx

x∫ −− 2sensen

cos2

145) ∫ dxx3sec 146) ∫ − dxxx 1tg 147) ∫ ++dx

xxx

44ln2

2

148) ( )[ ] ( )∫ −

−−− dx

xxxxxx

3323ln

22 149) dxxx∫ − )3(tg 13 150) ∫ dxxxsenh

***Utilizar la sustitución uax tg= ***

151)( )∫

+22 25x

dx (sugerencia 5=a ) 152)( )∫

+dx

x

x22

2

9

***Resolver las siguientes integrales llevándolas a la forma

∫ ∫ <+=−

+=+

−− 11

tg1

12

12

usicuthu

duycuu

du

153) ∫ +1002xdx 154) ∫ ++ 162 xx

dx 155) ∫ + 2925 xdx 156)

( )∫ −− 2141 xdx

157) ∫ − 2xxdx 158) ∫ −+ 244 xx

dx 159) ∫ − xxdx

42 160) ∫ +−

− dxxx

x34

762

161) ∫ −−

+− dxxxxx

11

2

2 162) ∫ ++

dxee

exx

x

222 163) ∫ −

dxxx

xsensen4

cos2

164) ( )∫ −+ 2ln4ln2 xxxdx


116

***Resolver las siguientes integrales llevándolas a la forma

cuu

ducuu

ducuu

du+=

−+=

++=

−∫ ∫ ∫ −−− 1

2

1

2

1

2cosh

1senh

1sen

1

165) ∫− 26 xx

dx 166) ∫+− 522 xx

dx 167) ∫−169 2x

dx

168) ∫−− 142 xx

dx 169) dxxx

x∫

+−

+

14

12

170) ∫−−

− dxx

x291

2

***Efectuar la sustitución z

x 1= y resolver***

171) ∫+12xx

dx 172) ∫−12xx

dx 173) ∫+ 362xx

dx 174) ∫− 29 xx

dx

***Efectuar las sustituciones tu sen= ; tu senh= y tu cosh= según corresponda para llevar el

integrando a la forma 11;1 222 −+− uyuu ***

175) dxx∫ − 24 176) ∫ ++ dxxx 1022 177) ∫ − dxx 10025 2 178) dxxx∫ −2

***Efectuar la sustitución ntx = (n es el mínimo común múltiplo de los índices) en las siguientes integrales***

179) dxx

xx∫

+6

3 2 180) ∫ +

− dxxx

11 181) ∫ − xx

dx3

182) dxxx

xx∫ +

−4/52/5

6 32

***Efectuar la sustitución ntbax =+ en las siguientes integrales***

183) dxxx

∫ ++

+−

3131 184) ∫ −+

+ dxx

x14

43

185)( )

dxx

x∫ − 2/5

2

13 186) ∫ +−+ 113 xx

dx

***Efectuar la sustitución )2/tg(xu = en las siguientes integrales***

187) ∫ dxecxcos 188) ∫ ++ xxdx

sencos1 189) ∫ ++ 2sen2cos xx

dx 190) ∫ dxxsec

***Resolver las integrales considerando las identidades

( ))sen()sen(21cossen yxyxyx −++= ( ))sen()sen(

21sencos yxyxyx −−+=

( ))cos()cos(21sensen yxyxyx +−−= ( ))cos()cos(

21coscos yxyxyx −++=

191) ∫ dxxx )2cos()4sen( 192) ∫ dxxx )3sen(cos 193) ∫ dxxx )3sen()8sen(

194) ∫ dxxx sen)2cos( 195) ∫ − dxxx )5sen()23cos( 196) ∫ −+ dxxx )21sen()34cos(

Integración

117

6.2 Integral Definida

Sea f en [ ]ba, , la integral definida de a a b simbolizada por ∫b

a

dxxf )( se define como

∫ ∑=

→∆∆=

b

a

n

iiix

xxfdxxfi 1

0)(lím)(

y f(xi) f a b x

Definición 1) 0)( =∫a

adxxf Definición 2) ∫ ∫−=

b

a

a

b

dxxfdxxf )()(

Propiedades

[ ] [ ]bacdxxfdxxfdxxfcdxxgdxxfdxxgxfbdxxfkdxxfkab

c

b

a

c

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

,)()()())()()()())()() ∈+=±=±= ∫∫ ∫∫∫∫∫∫ Teorema fundamental del cálculo Sea )(tf continua en [ ]ba, y sea x cualquier número perteneciente al intervalo; si )(xF es la

función integral definida por ∫=x

a

dttfxF )()( entonces )()( xfxF =′

Regla de Barrow

Sea )(xf continua en [ ]ba, y )(xF una primitiva de )(xf , entonces )()()( aFbFdxxfb

a

−=∫

La diferencia )()( aFbF − se indica baxF )(

Área Si f es continua en [ ]ba, entonces el área bajo la gráfica en el intervalo está dada por

0)()( >= ∫ xfsidxxfAb

a

y ∫ ≤−=b

a

xfsidxxfA 0)()(

De las consideraciones anteriores se puede escribir ∫=b

a

dxxfA )(


***Evaluar***

EJEMPLO 19) 2041

481

431

43

1

3 =−==∫xdxx

ix

ix∆


118

EJEMPLO 20) ∫ +4

0

2 1 dxxx haciendo xdxduxdxduxu =⇒=⇒+=2

212

Observa los límites de integración cuidadosamente; si 0=x ⇒ 1=u y si 4=x ⇒ 17=u

Luego 31

317

321

2/317

1

2/317

1

4

0

2 −===+ ∫∫uduudxxx

***Hallar el área limitada por las siguientes funciones, el eje de abscisas y los intervalos indicados*** EJEMPLO 21) y

[ ]4,01+= xy 1 0 4 x

( )32844

32

321 34

03

4

0

=+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+= ∫ xxdxxA

EJEMPLO 22) [ ]2,012 −= xy

y 0 1 2 x

( ) ( ) 21312

381

31

3311 2

1

310

32

1

21

0

2 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=−+−−= ∫∫ xxxxdxxdxxA


***Evaluar***

197) ∫−

3

22 1

dxx

x 198) ( )∫ −π

0

sen dxx 199) ( )( )dxxxx∫−

−−2

1

21 200) ∫∫ +0

2

52

0

5 dxxdxx

***Hallar el área limitada por las siguientes funciones, el eje de abscisas y los intervalos indicados***

201) [ ]4,02=y 202) [ ]1,01+−= xy 203) [ ]5,21−= xy

204) [ ]2,02xy = 205) [ ]2,242 −−= xy 206) [ ]1,03xy =

207) [ ]2,213 −+−= xy 208) ( ) [ ]2,01 2−= xy 209) [ ]4,0xy =

210) [ ]2,113 2 +−= xy 211) [ ]1,13 −= xy 212) [ ]3,262 −−−= xxy

213) [ ]π2,0sen xy = 214) [ ]ππ ,cos −= xy 215) [ ]2,1−= xey

Integración

119

216) [ ]4,2)2(1 2−=− xy 217) [ ]5,2322 −−−= xxy 218) [ ]1,21−−=

xy

219) [ ]4,032 2xxy −=+ 220) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−−= ππ 2,

6sen xy 221) [ ]2,0

39 2

−−

=x

xy

222) [ ]3,0)3)(2( −−= xxxy 223) [ ]1,1−= xy 224) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−=

4,

4sec2 ππxy

225) 11

12

≤+

= xx

y 226) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

−+

=21,1

11

xxy 227) [ ]3,5

21

−−+

=x

y

228) 103 2 ≤= xxy 229) [ ]2,01 2

x

x

eey

++= 230) ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−

−

+= 1,

23

41

2xxy

Área entre dos gráficas Sean f y g funciones continuas en [ ]ba, , el área de la región del plano limitada por las gráficas

en el intervalo es ∫ −=b

a

dxxgxfA )()(

y g f a b x

Ejercicios resueltos EJEMPLO 23) Hallar el área de la región del plano limitada por las gráficas ( )234 −−= xy y 1−= xy Para hallar el intervalo de integración debemos determinar la intersección de ambas gráficas planteando el

sistema ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−−=

134 2

xyxy obteniéndose los puntos y

)0,1(P y )3,4(Q Luego

( ) ( ) ( )29

2334134 4

1

234

1 )()(

2 =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−

−−=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−−−−∫ xxxxdxxxxgxf32143421 x

EJEMPLO 24) Ídem anterior y el eje de abscisas. En este caso dividimos la región en dos subregiones determinando las áreas de cada una. Para hallar los intervalos de integración se buscan las intersecciones entre la recta, parábola y eje de abscisas.

21 AAA +=

1 4


120

y

A2

( )

( )[ ] ( )35

33434

29

21

54

35

4

22

41

24

11

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=−−=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=

∫

∫xxdxxA

xxdxxA

1 4 5 x Luego

637

35

29

=+=A

EJEMPLO 25) Hallar el área del recinto limitado por las gráficas ( ) 21 2 −−= xy y xy −= 1 Las gráficas se cortan en p(-1,2) y q(2,-1) y 2 -1 x

Luego ( )( )[ ] ( )292

31

2211 2

1

322

1

2 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−−=−−−−= −

−∫ xxxxdxxxA

EJEMPLO 26) Hallar el área de la región limitada por las gráficas 2

2;;0 =+==

xyxyy integrando con respecto y

De la figura se observa que el intervalo y de integración con respecto a y es [ ]3

4,0 ; el

punto ( )34

34 ,p se obtiene de la intersección de

ambas rectas. Luego expresando a x como 4/3 función de y se tiene: yxyx =−= ;24 Entonces 0 4/3 x

[ ]38)24(

3/4

0

=−−= ∫ dyyyA Verificar integrando con respecto a x.


***Hallar el área del recinto limitado por las curvas***

231) 0;3

13

; =−== yxyxy 232) xyxy == ;2 233) 2;;3 === xxyxy

234) xyxy == ;2 235) 0;4;2 === xyxy 236) xyy −=−= ;8 237) 0;)1(; 22 =−== yxyxy 238) 22 9;9 xyxy −=−=

A1

Integración

121

239) 8;72 −=+−−= xyxxy 240) 8;1;2

4=== yxxy

241) 4;1;1=== xx

xy 242) 4;3 2 == yxy

243) xxyxy49

43;0934 2 +−==+− 244) 4;862 =++−= yxxxy

245) π==== xyxxy ;1;0;sen 246)2

;sen;cos;0 π=−=== xxyxyx

247) eyeyey xx === − ;; 248) xyxy =−= ;2 2

249) 2;23;3 =++== yxxyxy 250) 2;; === − xeyey xx

251) ( ) 24;0;4;12 2 −===−−= xyxyxy 252) xyxxxy cos2;2

;2

;cos =−===ππ

253) 6;4;16 22 =−=−= xxxyxy 254) 2;2;ln exyxy =−==

255) 22 1; yxyx −== 256) yxyx −== 2; 257) 22 yyx −= ; 4−=+ yx

258) 1=+ yx ; 4=+ yx 259) 2

944 xy =+ ; 1

23=+

yx 260) 122 =+ yx ; 922 =+ yx

261) )4( 222 −= xxy ; 4=x 262) 322 =− yx ; 2xy = ; 0=y

Ejercicios varios *** Utilizar el teorema fundamental del cálculo y resolver***

263) ( )∫ −x

dtttdxd

0

2 115 264) ∫ +2

1x

dttdxd 265) ( )dttt

dxd

x

∫ +

2

0

23 266) dtedxd

x

x

t∫+25

ln

2

267) Siendo f continua que cumple ∫ +=x

xxdttf0

2)( , hallar )3(f

268) Siendo g continua que satisface ∫ =

2

0

3)(x

xdttg , hallar )4(g

***Hallar )(xf *** 269) 0)()()( 632 =+−′ xfxxxfx si 2)0( =f 270) 1)( =+′′ xxf si 3)0( −=f y 4)0( =′f

271) Sea f una función continua en [ )∞+,0 que verifica ( )∫+=−+

2

0

2 25)()9(x

duufxxfx , calcular

)(xf sabiendo que 5)0( =f

272) Sea f una función que admite derivada continua y que verifica xxdrrfx

+=′+∫ 2

0

4)(1 en

[ )∞+,0 ; si 3)0( =f , hallar )(xf

273) Hallar el valor promedio de xxf cos)( = en [ ]22 , ππ−

274) Hallar k tal que ( )∫=−b

a

dxxfabk 22 )()( donde xxf sen)( = ; [ ] [ ]π2,0, =ba


122

Respuestas a ejercicios de número impar 1 1) ( )∞+,3 3) [ )3,8− 5) 24 ; 24− 7) 4 ; 3

4 9) ( ) ( )∞+∪−−∞ ,1010,

11) [ ]5,7− ; 1−≠x 13) 10 15) 37− 17) 2

5− ; 219 19) ( )∞+,2

1 21) ( ) ( )∞+∪−−∞ ,31,

23) 27 ; 2

5− ; 211 ; 2

9− 41) ∅ 43) ∅ 45) ∅ Cotas Infer. Ext. Inf. Min. Cotas Sup. Ext. Sup. Max.

47) 1≤x 1 no 2≥x 2 2

49) 11−≤x 11− no 9≥x 9 no

51) no no no no no no

53) no no no no no no

55) 3−≤x 3− 3− 5≥x 5 5

57) 1−≤x 1− no 1≥x 1 no

59) 31≤x 3

1 no 34≥x 3

4 no

61) 2≤x 2 no no no no

63) no no no 10≥x 10 10

65) 52≤x 5

2 no 21≥x 2

1 no

67) 3≤x 3 3 no no no

69) no no no 4−≥x 4− 4−

71) 0≤x 0 0 1≥x 1 no

73) 2−≤x 2− no 21−≥x 2

1− 21−

75) 4≤x 4 no 29≥x 2

9 29

77) 21≤x 2

1 21 no no no

79) 1≤x 1 1 no no no 81) no no no no no no 83) no no no 1≥x 1 1 85) 50−≤x 50− 50− 2≥x 2 2 87) 0≤x 0 0 1≥x 1 1 89) 1≤x 1 no 3≥x 3 3 91) )2(E radio 4 93) )5(−E radio 7 95) )2(E radio 6 97) ( )3

1−E radio 2 99) ( )81E radio 12

11

101) )1(−′E radio 8 103) ( )25E radio 2

9 105) )8(E radio 9 107) ( )125E radio 12

1

109) )0(E radio 2 111) ( )2baE + radio 2

ab− 125) 715 <−x


124

2 1) 9 ; 12 −a ; 1sen2 −x 3) 5 ; a−10 ; xsen10− 5) 5−e ; ae− ; xe sen− 7) 4 9) hx +2 11)

xhx +−

21 13) 5

4 15) 1 ; 2 ; 1− 17) 2 ; 7 19) 4

21) 0 ; 2− 23) 3 ; 3− 25) no existen 27) 2 29) 20 31) ππ k24 + Zk ∈ ; ππ k245 + Zk ∈

33) πk Zk ∈ ; ππ k+43 Zk ∈ 35) 0 37) a) 10<x ; b) 10>x 39) a) 65 >∨< xx ; b) 65 << x

41) a) )2/1ln(3ln<x ; b) )2/1ln(

3ln>x 43) a) 031 >∨−< xx ; b) 03

1 <<− x

45) a) 84 )12( ππ +<< kxk Zk ∈ b) 48)12( ππ kxk <<+ Zk ∈ 47) [ ]49,4− 49) ( )∞+,3

51) ( )0,−∞ 53) { }22 55) ( ]0,−∞ 57) 4=m ; 8−=b 59) 1−=a ; 3=b ; 2−=c

61) 21 =c ; 32 =c 63) no 65) no 67) ℜ 69) ℜ 71) { }1−ℜ 73) { }3,2−ℜ 75) { }2

1,0−ℜ 77) { }3,0,2−−ℜ 79) { }0,1−−ℜ 81) { }4,2,1,0 −−ℜ 83) ℜ

85) { }Zkk ∈∧+−ℜ 2)12( π 87) ℜ 89) ( ] [ )∞+∪−∞ ,52, 91) ( ] [ )∞+∪−−∞ ,1212, 93) ( ] [ )∞+−∪−−∞ ,36, 95) ( ) ( )∞+∪−∞ ,60, 97) ( )∞+,0 99) [ )∞+,1 101) { }0−ℜ 103) ( )∞+,3 105) ( ) ( )∞+∪−−∞ ,61, 107) ℜ 109) ( ) ( )∞+∪−∞− ,0, 1

e 111) ( )∞+− ,2

113) ℜ 115) [ ]1,1− 117) ℜ 119) [ )∞+,21 121) [ ]1,1− 123) { }...,6,5,4 125) ( )∞+− ,1

185) ⎩⎨⎧

<≥

=0001

)(xsixsi

xf 187) ⎩⎨⎧

<≤−<≤−+

=202022

)(xsixxsix

xf

189) par 191) par 193)impar 195) no es par ni impar 197) impar 199) par 201) no es par ni impar

203) par 205) impar 207) par 209) par 211) impar 213) par 215) impar 217) par 219) impar

221) ℜ=+−= Dxgf 1)3( 2o ; ℜ=−= Dxfg 22o ℜ=++= Dxxff 22 24o ; ℜ=−= Dxgg 6o

223) ( ) +ℜ== Dgf x1lno ; {}1ln

1 −ℜ== +Dfg xo ; ( )∞+== ,1)ln(ln Dxff o ; { }0−ℜ== Dxgg o

225) [ )∞+−=+= ,11sen Dxgf o ; ℜ=+= Dxfg 1seno ; ℜ== Dxff )sen(seno ;

11 ++= xgg o [ )∞+−= ,1D 227) { }ZkkDxgf ∈∧+−ℜ== 2)12(sec πo ;

xfg sec=o { }ZkkD ∈∧+−ℜ= 2)12( π ; xff =o ℜ=D ;

)sec(sec xgg =o { }ZkkkD ∈∧+∧+−ℜ= −2

12 )12(sec)12( ππ

229) { }13 11

−−ℜ== + Dgf xo ; { }013 /1 −ℜ=+= Dfg xo ; ( )x

ff/133

−=o { }0−ℜ=D ;

2+= xgg o ℜ=D 231) [ ]1,1cos 21 −== − Dxgf o ; ( )21cos xfg −=o [ ]1,1−=D

)(coscos 11 xff −−=o { }1cos011 1 ≤≤∧≤≤−ℜ∈== − xxxD ; ℜ== Dxgg 4o

233) a) 3 33+ b) 3 22 −+− c) 0 235) ( ]49,∞− 237) [ )∞+− ,1 239) [ ]79,2−

241) ( ) 15422 +− x ℜ=D 243)

xcos1 { }ZkkD ∈∧+−ℜ= 2)12( π 245) 2xf = 13 += xg

247) xg = 21 xh −= 249) xf sen= xg ln= xh 4= 251) xf = 12 += xg 253) impar 255) no 257) si 259) no 261) si 263) no 265) 10−= xy ℜ== −1ff ID

ℜ==− ff ID 1 267) xy = [ )∞+== − ,01ff ID [ )∞+==− ,01 ff ID 269) xey = +ℜ== −1ff ID

ℜ==− ff ID 1 271) xy 5log= ℜ== −1ff ID +ℜ==− ff ID 1 273) xy 1= { }01 −ℜ== −ff ID

{ }01 −ℜ==− ff ID 275) 22 += xy [ )∞+== − ,21ff ID +ℜ==− 01 ff ID

Respuestas

125

277) 21

41 ++= xy [ )∞+== − ,2

11ff ID [ )∞+−==− ,4

11 ff ID

279) xy log−= ℜ== −1ff ID +ℜ==− ff ID 1 281) xy 1sen −= [ ]22 ,1ππ−== −ff ID

[ ]1,11 −==− ff ID 283) xy 1tg −= [ ]22 ,1ππ−== −ff ID ℜ==− ff ID 1

291) a) 341 xf −− = b) xf 34

11−= c) xff =−1o d) xff 34

31 4 −−=o e) ( ) xf 3411 −=−−

293) a) 1231−−−− = xxf b) 3

21−+= xx

f c) xff =−1o d) 531121

−+−= xx

ff o e) ( ) 2311

+−−− = xxf

295) 22

)( llA = ( )llp 22)( += 297) 343)( VVr π= 299) 2/3)( AAV = 301) 15/2)( ttn = ; 256

303) 10 305) 6)3( =S ; tarda 4 seg.

3 31) 17 33) 3

2− 35) 494 37) 263+ 39) 0 41) 1 43) +∞ 45) π 47) 0 49) +∞

51) 0 53) +∞ 55) +∞ 57) +∞ 59) 0 61) +∞ 63) −∞ 65) +∞ 67) 4− 69) −∞ 71) +→ 5x 10→f ; −→ 5x 10→f 73) +→1x 2→f ; −→1x 0→f ;

+→10x 10sen10 −→f ; −→10x 102→f 75) +→ 3x −∞→f ; −→ 3x 80−→f ; +−→ 3x 80−→f ; −−→ 3x −∞→f 77) 1 79) 2 81) 0 83) 1 91) 4− 93) 2 95) −∞

97) 51 99) +∞ 101) 4

7 103) 0 105) 53− 107) 501 109) 2− 111) −∞ 113) 5 425

115) 32 117) n

m 119) 38 121) 12

5 123) 1526 125) 3

1− 127) 1 129) 15 131) 52− 133) 0

135) 21− 137) acos 139) nm−

1 141) βsen51 143) 1 145) 2 147) 2 149) 3 151) 2

153) 1 155) 0 157) +∞ 159) 25 161) 3− 163) 3 165) 1 167) 0 169) +∞ 171) 1

173) 322 175) 2 177) 21− 179) 1 181) 20log 183) 4

π 185) 0 187) 0 189) +∞ 191) +∞ 193) −∞ 195) 0 197) 0 199) 9− 201) 1 203) +∞ 205) −∞ 207) +∞ 209) +∞ 211) −∞ 213) 0 215) +∞ 217) −∞ 219) 5e 221) 1 223) 1 225) 10e 227) +∞ 229) e 231) 2/1−e 233) 9e 235) 6e 237) 5e 239) 3−e 241) 2e 243) e 245) 1 247) 1 249) 2

1 251) aah ln

1 253) 3 255) 21 257) 2

1− 259) +∞ 261) 21 263) 1

265) 3ln 267) 7ln2− 269) 1 271) 1 273) 1 275) 1 277) 3e 279) 1 281) 25 283) 4=x 285) 2=x 287) 4

1=x 21=y 289) 3−=x 0=y 291) 1−=y 293) 4=y 4−=y

295) 1=x 1=y 297) 9−=x 9−= xy 299) no existen 301) 3=x 303) 2=x 3=x 305) π)1( += kx ; Zk ∈ 307) 1−=y 309) 0=y 311) 1+= xy 1−−= xy

313) 2=x 1=y 1−=y 315) 0=x 1=y 317) 0=y 319) 2π=y 2

π−=y 321) no existen 325) 2/εδ = 327) εδ = 329) 4/εδ = 331) εδ = 333) εδ = 335) εδ = 337) ( )13/,1mín εδ = 339) ( )37/,1mín εδ = 341) ( )5/,1mín εδ = 343) ( )εδ 2,1mín=

345) ( )9/,1mín εδ = 347) ( )32/,4/1mín εδ = 349) 2εδ = 351) εδ −−= e1 353) 2/εδ =

355) a) 2/εδ = b) εδ = 359) k3=δ 361) k10

1=δ 363) k1=δ 365) 2

1k

=δ

367) ( )k5,1mín=δ 369) ( )k73,1mín=δ 371) klog

2log=δ 373) 3 1k=δ 375) ( )k11ln +=δ

377) a) k10=δ b) ( )k22

1 ,mín=δ 379) ε/1=N 381) 3/1 ε=N 383) )2/(52/1 ε+

385) )1ln(/1 ε+=N 387) ε/1eN = 389) ε/204+=N 391) ( ))1/(11 εeN −+−=


126

393) )9/(53/1 ε+=N 395) ( )3/21 ε+=N 397) )ln(/1 1−+= eN ε 399) ε/1=N

401) a) 5ln/)(ln ε−=N b) εln−=N 403) 32kN = 405) 4

1+= kN 407) 1+= kN

409) 2−= kN 411) 4 1 kN += 413) 2log kN = 415) keN = 417) keeN +=

419) 143 −+= kN 421) a) 3 keN = b) kN log= 423) 83 425) 2=a 427) 9=a 6=b

429) 2=a 2−=b 431) 5−>t 433) 1−<t ó 3>t 435) 21

41 ≤≤− t 437) 0≥t

439) 21 =m ; 22 −=m 441) x2 443) xcos 463) 0)( →xf 465) +∞→)(xf 467) 0)( →xf 469) 15=N 471) 10000

110000

1 33 +<<− x 473) 8001=δ 475) εδ sen=

4 1) 4− 3) 0 ; 3 5) 2 ; 2− ; 5 7) 0 9) 0 11) 2)12( π+k ; Zk ∈ 13) no existen 15) enteros Z 17) 0 19) no existen 21) 0 23) esencial 1=x ; eliminable 5−=x 25) esencial 1=x ; 3−=x ; eliminable 2=x 27) esencial 4=x ; 2−=x 29) esencial 0=x 31) esencial 1=x 33) esencial Zx∈∀ 35) esencial 0=x 37) eliminable 8−=x 39) esencial 0=x 41) esencial 0=x 43) eliminable 0=x 45) eliminable 0=x 47) eliminable 0=x 49) esencial 2)12( πγ += k ; Zk ∈ 51) esencial 0=β 53) esencial 1=x ; 4=x

55) esencial 0=x 57) 4=k 59) 31=k ; 6−=m 61) 2

1=m 63) 8)12( π+= pm ; Zp∈

65) 21−=k ; 2

1=m 67) 1=c 69) 2=c 71) 1=c 73) si 77) 7−<k o 3>k 79) verdadero

5

1) 0 3) 5 5) 13 2 −x 7) ( )254

6−x

9) x1 11) xcos 13) No existe )1(y ′ 15) No existe )0(y ′

17) No existe )4(y ′ 19) 79 820 xx − 21) 0 23) 1

2−nxna 25) ( )ee

x 32 loglog1−

27) 2/15/43/2

51

31 −−− +− xxx 29) xsen 31) xsenh 33) 10ln10cos5 xx

x−+

35) xxxx sencos3 32 − 37) ( )exxex 2323 loglogloglog4

+ 39) xxx senhcosh +

41) xxp

xx

pp ln11 11/1

−+ 43)

2

1

1sen

x

xx−

+− 45) 2

1

1senh

x

xx+

+− 47) 1ln +x

49) xxxxxxxx senlncoscosln2 2−+ 51) 2

2

)3(26

+

++

xxx 53)

2cossen

xxxx −−

55) x

xkxkk xx

2ln

1lnln − 57)

x

xxxex

2

22

sen

coslogsenlog1−

59) ( )2xa

xa

− 61)

x

xx

10.2

10ln31 3/13/2 −−

63) 2

12

tg1

x

xxx −−+ 65)

( )2cosh1senh2

xx

− 67) )1561()53(5 2432 xxxxx +−+−

Respuestas

127

69) )22()23(21 2/12 +++ − xxx 71) )cos3(

sen11)sen1ln(2 2

33 xx

xxxx +

+−+−

73) 12

11tg1sec−

−−x

xx 75) )1(22)1( ++ xe x 77) ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛2

9 logloglog10

xxe

xx 79)

2)4(14x+

81) 2/3

21

11

1 −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−x

x

83) xxxxxx sensenlncos ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + 85) ( ) xxxln1+

87) xxxxx

xx ln

2)tg1(

tg1lnsec)tg1ln(

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

− 89) ( )xxxxxxx −⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−+− 3

2

23

113)ln(

91) xxx

xe senhlogcoshlog+ 93) ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+ 3243

244

xx

xx 95) ( ) ( ) xex

x

xxx e

eeee 1

121ln 2

22 +⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−+ −

−

−−

97) xxxx

xx )(coshcosh1

coshln 1

12

1 −

−

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−+ 99) )3ln(

2

2

2)3ln(3ln)32( xxx

xxx

xxxx −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

−

−

101) m 103) 4

2

3yxyy

+

+ 105) 4

2

521xyx− 107)

)cos(2)cos(21

222

222

yxyxyxxy− 109) 160 111) 2ln 2

113) )tg2sectg(sec4 22 xxxxxx ++ 115) xsen− 117) 3

2x

119) xx sencos4− 121) xex)2( +

123) 1 125) 2/32 )1( −−− xx 127) )cos212()sen24(2 233 xxxxx +−+−− − 129) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

xx 1)3cos(35

131) xx

xx )(lnsec

tgsec 22

+ 133) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++ −− 2/12/12/1 )1(

211)1(

21 xxx

135) ( ))5cos()10tg()5sen()10(sec4)5(sen)10tg(5 2

2xxxx

xx

− 137) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2sen

2cos

23

2sen2 2

2xxxx

x 139) 0

141) ( )xx

xxe32

3ln32ln2log+

+ 143) 13

322 +−

−

xxx 145)

11ln6 3

++

xx

147) ( ))3sen(ln3)3cos(8ln)3cos(ln 2223 xxxxxxx −+ 149) )61(61

15627 2

xxxx−−

−+−

151) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−

2

2/1 sencossen21

xx

xx

xx 153) ( )

)2ln()2ln(ln3 2

xxx 155) ( )10211 )2(sec)2(10 −− ++− xaxa

157) )4(cos)1(4)4(cot3 232 xecxxgx +− 159) 10ln10)32( 32 xxx −− 161) xe x 2tg sec

163) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−

+

+−

3ln2

134ln23

4 21

3

2

xxx

xx

x 165) ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −xx

xx

aa xx tgsecln 2

/tg

167) ( )( )3ln32ln232cos xxxx ++ 169) 13cot13cos132

3ln3−−

−

− xx

x

xgec

171) kkxaxb xbxa ln)sencos( sencos +− 173) )1ln()1(tg31 6/)ln(cos2

−−− kkx x

175) )4(sen2

2)1(

1)4(sen

)1ln()4cos()4sen(8 xxxx

xxx −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−−


128

177) ( ) )sen(225

2545

tgsectg

)sen(2)ln(tg)cos(5

xxx

xx

xxx ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ 179) xx ecec 2

23

1 23 −− 181) xx ln

2

183) x

ex 2

2

2

log

log1− 185)

( )2211

121

x−−− 187) 1 189)

4

2

612

3x

x

− 191)

( ) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−−

− − 212 cos

111

1

xx

193) xx

e x

)1(1

23 1tg3

+

− 195) )(tgtg

11)(tgtg

ln xxxx

x−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−

197) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−−

23

cos

1

132ln2

1

x

x

199) xxxx x

xxxx

xxx

x

/1)1(/1/12

1)1(ln)1()1(

1)1ln(1 +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++−

201) ( ) )3/(12222

13)13ln(13

)3)(32()3(

1 ++−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+−−

+−

+−

+

xxxxx

xxxx

x 203) ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

+ xx 2ln111 205)

1164

12 −xx

207) ( )xxx 224 senhcosh5senh + 209) xx cos.cosh2 211) thxhxkk hx secln4 sec4−

213) ( ) )5(2 ))3(senh()3coth()5(3))3ln(senh()5(sec5 xthxxxthxxh + 215) xth

xhxthxx2

22 sectgsec −

217) )sensenhcos(cosh2 cossenh2 xxxxe xx − 219) thx

xhthx+

+1

sec)1ln(2 2 221)

3 2 ))2(cosh(ln3

)2(2

x

xth

223) 2)23(16

8x−−

− 225) x

x

412ln2

+ 227)

( )212

1

2

1

)4(cos

1

161

)4(cosh4

116

)4(cos4

xx

x

x

x−

−−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−+

−

229) 2641

1

xx −

− 231) )4(senh1

2

1)4(senh

161

ln4 xxx

x

x

x −

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

+

−

233) x

xxxxxxx xx

4

ln2ln

sen

cossen2senln2−

235) discontinua y no derivable 237) continua y derivable

239) continua y no derivable 241) 12 243) verdadero 245) 3−= xyT 7+−= xyN

247) 23 −−= xyT 34

31 += xyN 249) 2

361 += xyT 576 +−= xyN

251) π55 +−= xyT 551 π−= xyN 253) 1216 += xyT 32

127161 +−= xyN

255) 21 =Ty 22 −=Ty normal 0=x 257) tangente 0=x normal 0=y 259) ( )41

21 ,−

261) en ningún punto 263) )0,0( ; )4,2( 2−− e 265) )5,3(− 267) )1,1( 269) )0,0( ; )0,1(

271) puntos de abscisa 5=x y 1−=x 273) punto de abscisa 2log)2log(ln− 275) 1 277) 4

5− 279) 8

281) 23 283) 3

75± 285) 2− 287) π6− 289) 4− 291) 1− 293) e 295) +∞ 297) 12

13− 299) −∞ 301) 0 303) +∞ 305) 1 307) 1 309) 1 311) 0 313) 1 315) 1 317) 1 319) 6/1e 321) 1−e 323) 0 325) )()1()1()1()1(1 5

5514

413

312

21 xRxxxxx +−+−−−+−−−

327) )(7!7!5!3753

xRx xxx +−+− 329) ...1 432 −−−−−− xxxx

331) 42513

542 )5()5()5(3)5(515 +++−++++− xxxx 333) ...!7!5!3

753++++ xxxx

335) ( )3,−−∞ crece ( )1,3− decrece ( )∞+,1 crece 337) ( )2,−∞ crece ( )∞+,2 decrece

339) ( )8331, −∞− crece ( )8

3318

331 , +− decrece ( )∞++ ,8331 crece 341) ( )1,−−∞ decrece ( )∞+− ,1 crece

343) ( )4,−−∞ crece ( )21,4− crece ( )5,2

1 decrece ( )∞+,5 decrece 345) ( )1,−∞ decrece ( )∞+,1 decrece

Respuestas

129

347) mín )5(y máx )3(y 349) mín ( )43y 351) no existen extremos 353) mín ( )3−y

355) máx )0(y mín ( )4−y mín ( )4y 357) no existen extremos 359) máx )0(y 361) mín ( )1−ey 363) máx ( )4

1y 365) mín )2(y máx )10(y 367) no existen extremos 369) mín ( )41y

371) no existen extremos 373) cuadrado de lado 4 375) 50=x 50=y 377) 142 =+ yx 379) 9 381) ( )3,−−∞ c. arriba ( )1,3− c. abajo ( )∞+,1 c. arriba 383) ( )∞+−∞, c. abajo 385) ( )3,−−∞ c. arriba ( )3,3− c. abajo ( )∞+,3 c. arriba 387) ( )∞+,0 c. arriba

389) ( )0,−∞ c. abajo ( )∞+,0 c. arriba 391) ( )22, −∞− c. arriba ( )22,22 +− c. abajo

( )∞++ ,22 c. arriba 393) )0(y 395) No existe inflexión 397) )3(−y )0(y )3(y

399) ( )2ln2−y 401) No existe inflexión 403) )2(y 405) )(πy 407) ( )2

2−y ( )22y

409) 1−=p 3−=q 411) Sí, 01 =x 413) máx )0(y 415) máx )1(y mín )3(y infl )2(y

417) mín )1(y infl )0(y ; )2(−y 419) mín )0(y máx )2(−y infl )5(−y ; )2( 26+−y ; )2( 2

6−−y

421) infl )0(y 423) máx )0(y mín ( )75y ; ( )75−y infl ( )5y ; ( )5−y 425) AH 1=y mín )0(y

infl ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

37y ; ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛− 3

7y 427) AV 0=x AO xy −= 429) AV 3=x AH 4−=y

431) AV 1=x ; 1−=x AO xy −= mín ( )3−y máx ( )3y infl )0(y 433) AV 0=x ; 1−=x

AH 0=y mín ( )32−y 435) mín )1(y 437) máx ( )27

8y mín )0(y 439) máx ( )23y mín ( )2

3−y

infl )0(y ; ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

247319y ; ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛− −

247319y 441) infl )3(−y 443) máx ( )7

24y mín )0(y infl ( )76y

445) AV 3=x ; 3−=x AH 1=y ; 1−=y 447) AV 2=x ; 2−=x mín ( )12=y ; ( )12−=y 449) AH 0=y mín ( )2

1−y infl )1(−y 451) AV 0=x AH 0=y mín )3(y 453) mín )0(y

infl ( )2y ; ( )2−y 455) AV 0=x mín )1(y infl )2(y 457) AH 0=y máx )0(y infl )1(y ; )1(−y

459) infl ( )πky Zk ∈ 461) AV 2π=x 2

π−=x máx )0(y 463) AH 0=y máx ( )4)78( π−ky Zk ∈

mín ( )4)38( π−ky Zk ∈ infl ( )πky Zk ∈ 465) 210401 −=∆y 400

1=dy 467) 42 2.2 −=∆y 16ln2.0=dy

469) 0=dy 471) dxx

dy32

1−= 473) ( ) ( )dxxxxdy 521 2 −−= 475)

( )dx

xxdy

32121

−

+= 477) dx

xdy

21

−=

479) 322 )()(33 xxxxxy ∆+∆+∆=∆ dxxdy 23= 481) ( ) xxxy coscos −∆+=∆ xdxdy sen−=

483) ( ) ( ) 322 )()(1313 xxxxxy ∆+∆++∆+=∆ dxxdy 2)1(3 +=

485) ( )( ) )2sen(2sen xxxy −∆+=∆ dxxdy )2cos(2= 487) xxx eey /1)/(1 −=∆ ∆+ dxxedy

x

2

/1−=

489) ( ) xxxy secsec −∆+=∆ xdxxdy tgsec= 491) ( ) ( )xxxy lncos)ln(cos −∆+=∆ ( ) dxxxdy lnsen

−=

493) ( ) xxx xxxy 22 33 −∆+=∆ ∆+ ( )dxxxdy xx 2ln223 32 += 495) ( )( ) 22

cos1cos1x

xxx

xxy +−

∆+

∆++=∆

dxx

xxxxdy ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−−=

4

2 2)cos1(sen 497) xxx xxxy +∆++ −∆+=∆ 33)( dxx

xxxdy x+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+= 33ln

499) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

∆++

∆+=∆

xxxxxxy

sen11

)sen(11 dxgxecx

xdy ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−= cotcos12

501) 11 ++∆+ −=∆ xxx eey dxedy x 1+= 503) ( ) ( )1ln1)(ln 22 +−+∆+=∆ xxxy xdxx

dy 21

12 +

=


130

6 1) cx +3 3) cx +− −3

32 5) cxxx +−+ 3/5

5310

215

53 7) cxx +− 3

319 9) cxxx ++− 92

233

31

11) cxxx +++ 2/12/332 82 13) cxxx +−+ lnsen2 2/3

32 15) cxex x +−+ 2/185sen

17) cxx ++16551 19) cxxx +−+ − 342/3

3)34(22

21 21) cx +− 96

91 )4( 23) cxx ++ 2ln 3

25) ( ) cxx +−3/54

103 65 27) cx +− 43ln 3/5

54 29) cxx +− 2ln 4

21 31) cx +)sen( 5

51

33) ( ) cx ++−35

151 cos1 35) cx +)4(sen 4

161 37) cx ++1sen2 39) ce x +− /1 41) cx +6

61 tg

43) cx +221 sec 45) cx ++ tg1ln 47) cxx +−+− 2/12/3

32 )1(2)1( 49) cxxx +−−− 1ln2

21

51) cex x +−− −)1( 53) ( ) cexx x ++− 222 55) cxxx +− cossen 57) ce xx +++

2ln2ln1

1

59) ( ) cxxe x +− cossen21 61) cxxx +− 3

913

31 ln 63) ( ) cxxe x ++ )3sen()3cos(3

61

65) ( ) cxxx +− )cos(ln)sen(ln21 67) cxxxxx ++− 2ln2ln 2 69) ( ) ( )( ) cxxx +−

+8cos512lnsen3 338ln91

12

71) ( ) cxxx ++−− 1lntg 2211 73) cxxx +− 4ln2 75) ( ) cxxxx ++ senhsencoshcos2

1

77) cxx +−+ ln6ln 21

29 79) cxxxx ++++− 83ln12 2

233

31 81) cxx ++− 53ln9

4938

83) cxx ++−

33

61 ln 85) cxxx +−++−+ 1ln1ln2ln 2

123 87) c

xx +−−24

12

2ln 89) cx x +++ +1

11ln

91) cxx x +−−++− + )2(34

95

95 1ln2ln 93) c

xx

xx +−−

−+−

111

21

2ln 95) cxx

xx +− −−−

1)1(232 ln2

97) cttt +− −+− 1

21

11

41 tgln 99) cxx

xx +−+− −+ 111 tgln

2 101) ( ) cx

xx ++++−

22

2

14121tg

103) cxx +−−+− 1ln2ln 310

38 105) cxxx +++− 3senln3sensen 2

61 107) ( ) cex x ++− 1ln2

109) cxx +− 2tg2 111) cx +− cos2 113) cxxnx

nx nn

+++++ −

−

2121

...

115) cxxx +++ 15)2cos(ln4)2tg(21 117) cxxx +− cossen2

121

119) cxxxxx +++− 81

813

41 cossencossen 121) ( ) cxx +−− 3

2331 sencos

123) ( ) crr +−− 1212

614 sencos 125) cxe x ++− senln 127) cx ++πsenln

129) cxgxec +− cot3cos 131) cx +)(lnln 221 133) ( ) cx +−

231

61 tg 135) cx

x +− +−1414

81 ln

137) ( ) cx +−1cosh 331 139) cxx ++ )(senh2

1 141) ( ) cxxxx +−++ coshcoshsenhsenh 3331

143) ( ) cx +− 10111010

1 )5(senh 145) cxxxx +++ tgseclntgsec 21

21 147) cx

xxx ++− ++ 22

ln ln2

149) cxxxxx +−+− −− )3(tg)3(tg 13241

10813

36114

41 151) ( ) ( ) c

xxx +++

−25505

12501

2tg

153) ( ) cx +−1011

101 tg 155) ( ) cx +−

531

151 tg 157) cxth +−− )12(2 1 159) ( ) cth x +− −−

221

21

161) ( ) cxthx +−− −5

15

215

54 163) cxth +−− − )1sen8(2 1 165) ( ) cx +−− 1sen 31

167) ( ) cx +−431

31 cosh 169) ( ) cx x ++−− −−

3212 cosh33)2( 171) ( ) cx +− − 11senh

173) ( ) cx +− − 6161 senh 175) ( ) cx xx +−+−

421 2

1sen2 177) ( ) ( ) cx xx +−− −2

122 cosh1015

179) ( ) cxx ++ 98 6/13/4121 181) cxxxx +−−−−− 1ln6632 663

183) cxxx +++−+++− 13ln434)3( 185) cxxx +⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−−

−− 2)13(41

131

272 13ln

Respuestas

131

187) ( ) cx +2tgln 189) ( ) ( ) cxx ++−+ 22 tg3lntg1ln 191) cxx +−− )2cos()6cos( 41

121

193) cxx +− )11sen()5sen( 221

101 195) cxx +−−−−− )22cos()28cos( 4

1161 197) 322 − 199) 4

9−

201) 8 203) 215 205) 3

32 207) 219 209) 3

16 211) 23 213) 4 215) 12 −− ee 217) 3

71

219) 317 221) 8 223) 1 225) 2

π 227) 3ln 229) 2221 −−+ ee 231) 49 233) 4 235) 3

16

237) 121 239) 3

256 241) 4ln 243) 8 245) 2−π 247) 2 249) 419 251) 6

17 253) 388

255) 322 257) 6

125 259) 27346 261) 332 263) xx 115 2 − 265) ( ) xxx 246 + 267) 7

269) ue2 ; donde 5252 xxu += 271) ( ) 5tg 3

132 +− x 273) π

2

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