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Anlisis estructural II

ANALISIS ESTRUCTURAL II


X Viga

Ray Rby

Y

F2

F

Rax

A Temtica:

I. introduccin

II. comparacin de mtodos de solucin matricial

III. mtodo de rigidez:

1. introduccin

2. mtodo de la deflexin de la pendiente teora y aplicaciones.

3. Mtodo de rigidez por deflexin de teora y aplicaciones

4. Mtodo de rigidez directo con matrices [A] teora y problemas

5. Mtodo de rigidez directo con cosenos directos teora y problema

6. Mtodo de la condensacin esttica

7. Mtodo de rigidez para vigas-brazo rgido teora de aplicaciones

8. Mtodo de rigidez para prtico-placa

9. Mtodo de rigidez 3-D teora y aplicaciones

1. VIGA 1:

Ecuaciones (EQ)

M =0 FX =0 F =0 3EQ = FY =0 MZ =0

Apoyo fijo apoyo mvil


Ma

X

Y

Ray Rby

Rax

Rcy

EN 3-D

FX =0 F =0 FY =0 FZ =0 MX =0 M =0 MY =0 MZ =0

HIPERESTATICIDAD DE LA ESTRUCTURA EXTERNAMENTE (GHE)

< 0 inestable (hiposttico)

GHE = NR NEQ = 0 isosttica > 0 hiperesttica

NR =nmero de reacciones

NEQ = nmero de ecuaciones

De la VIGA 1 el GHE: GHE = 3 3 = 0 ______ isosttica.

2. VIGA CONTINUA

3D


M

M

M

Ry

Rx

Ry Ry

Rx Rx

NR = 5 NEQ = 3

GHE = 5 3 = 2 hiperesttica de 2do grado externamente. 3. PORTICO

NR = 9 NEQ = 3

GHE = 9 3 = 6 hiperesttica de 6to grado

- Grado de hiperestaticidad total ( GHT )

- Grado de hiperestaticidad interna ( GHI )

- grado de hiperestaticidad interna ( GHI )

- nmero de barras ( NB )

- numero de reacciones ( NR )

- numero de nudos ( NN )

GHT = GHI + GHE

GHE = NR NEQ GHT = 3 NB + NR 3 NN GHI = GHT GHE

DE LA VIGA 2

GHE = 2do grado

GHT = 3 (2) + 5 3 (3) = 2do grado


GHI = GHT GHE GHI = 2 2 = 0 DEL PORTICO 3

GHE = 9 3 = 6to GHT = 3 (10) + 9 3 (9) = 12 GHI = GHT GHE GHI = 12 6 = 6do grado

4. ARMADURA (estructura especial, total son 6 fuerzas.)

GHT = GHE + GHI

GHE = 0

GHT = NB + NR 2 NN GHT = 20 + 3 2(10) = 3

5. ARMADURA 2

GHE = 3er

GHT = 3(12) + 6 3(10) = 12 GHI= 9no

X3

X3

X2

X2

X1

X1

Rotula

Rotula


Z

X

Y

3 D 1. 3-D

NEQ = 6 (3 D) Fx = 0 Fy = 0 Fz = 0 Mx = 0 My = 0 Mz = 0

NR = 24

GHE = NR NEQ = 24 6 = 18vo GHT = 6NB + NR 6n (3 D) GHT = 6(8) + 24 6(8) = 24 GHI = GHT GHE = 24 18 = 6to

2.

GHE = 5 6 = -1 hipostatico (inestable) GHT = 6(8) + 5 6(8) = 5to GHI = 5 (-1) = 6to


3. ARMADURA 3 - D

GHE = 9 6 = 3er grado GHT = GHE + GHI

GHT = NB + NR 3m ARM 3 D GHT = 20 + 9 3(8) = 5 GHI = 5 3 = 2do grado

HIPERESTATICIDAD CINEMATICA ( # G.D.L.)

3 DESPLAZAMIENTOS

a y b rotacin b traslacin 3 G.D.L (CINEMATICA)

A

Y

X


HAY 6 G.D.L

SI EA =

METODO DE LA FLEXION DE LA PENDIENTE

Ecuaciones de la deflexin de la pendiente:

Desplazamientos de:

Rotacin: Traslacin:


EJEMPLO 1:

Resolver:

Solucin:

Paso 1:

Paso 2:

M0ab = - M0ba = (P x L)/ 8 = (4 x 6) / 8 = 3 T-m

M0bc = - M0cb = (W x L2)/ 12 = (3 x 52) / 12 = 6.25 T-m

3 T-m -3 T-m 6.25 T-m

Paso 3:


= 0 (I) = 0 (II)

+ = 0 = 0

Paso 4:

Mba = M0ba + 2EI / 6 2b + 0 + 0 = -3 + (4EI / 6) b

Mbc = M0bc + 2EI / 5 2b + c + 0 = 6.25 + (4EI / 5) b + (2EI / 5) c

Mcb = M0cb + 2EI / 5 2c + b + 0 = -6.25 + (4EI / 5) c + (2EI / 5) b

(a) Y (b) en I

-3 + (4EI / 6) a + 6.25 + (4EI / 5) b + (2EI / 5) c = 0

1.47EI b + 0.4EI c = -3.25 (I)

(c) En II

-6.25 + (4EI / 5) c + (2EI / 5) b = 0 0.4EI b + 0.8EI c = 6.25 (II) 1.47 0.4 b -3.25 /EI 0.4 0.8 c 6.25/EI b = -5.02/EI c = 10.33/EI

Mba = -3 + (4EI / 6) (-5.02/EI) = -6.35 T-m Mbc = 6.25 + (4EI / 5) (-5.02/EI) + (2EI / 5) (10.33/EI) = 6.35 T-m Mab = 3 + (2EI / 6) (-5.02/EI) = 1.33 T-m


Diagrama de momento flector:

EJEMPLO 2:

* Cuando es empotramiento no se considera giro y el momento es cero


Mba = M0ba + (2EI / 3) 2b + 0 + 3/Lba = 0 + (4EI / 3) b + (2EI / 3)

Mbc = M0bc + ( 2EI / 5) 2b + c + 0 = 4.17 + ( 4EI / 5 ) b + ( 2EI / 5 ) c Mcb = M0cb + (2EI / 5) 2c + b + 0 = -4.17 + (4EI / 5) c + (2EI / 5) b Mcd = M0cd + (2EI / 3) 2c + 0 + 3/Lcd = 0 + ( 4EI / 3 ) c + ( 2EI / 3 ) (a) Y (b) en I

0 + (4EI / 3) b + (2EI / 3) + 4.17 + (4EI / 5) b + (2EI / 5) c = 0

2.13 EI b + 0.4 EI c + 0.67 EI = -4.17 (I) (c) Y (d) en II

-4.17 + (4EI / 5) c + (2EI / 5) b + 0 + (4EI / 3) c + (2EI / 3) = 0 0.4EI b + 2.13 EI c + 0.67 EI = 4.17 (II)


Mab = M0ab + (2EI / 3) 0+ b + 3/Lab = 0 + (2EI / 3) b + (2EI / 3) Mdc = M0dc + (2EI / 3) 0 + c + 3/Lab = 0 + ( 2EI / 3 ) c + ( 2EI / 3 )

Mab + Mba + Mdc + Mcd = 15

(e), (a), (f) Y (d) en III

0 + (2EI / 3) b + (2EI / 3) + 0 + (4EI / 3) b + (2EI / 3) +

0 + ( 2EI / 3 ) c + ( 2EI / 3 ) + 0 + ( 4EI / 3 ) c + ( 2EI / 3 ) = 0

2 EI b + 2 EI c + 2.67 EI = 15

2.13

0.4 0.67 b -4.17/EI

0.4 2.13 0.67 c 4.17/EI 2 2 2.67 15

/EI

b = -4.88/EI c = -0.061/EI = 9.31/EI

Mba = (4EI / 3) (-4.88/EI) + (2EI / 3) (9.31/EI) = -0.3 T-m

Mbc = 4.17 + ( 4EI / 5 ) (-4.88/EI ) + ( 2EI / 5 ) (-0.061/EI ) = 0.24 T-m

Mcb = -4.17 + (4EI / 5) (-0.061/EI) + (2EI / 5) (-4.88/EI) = -3.19 T-m

Mcd = ( 4EI / 3 ) (-0.061/EI ) + ( 2EI / 3 ) ( 9.31/EI ) = 6.14 T-m

Mab = (2EI / 3) (-4.88/EI) + (2EI / 3) (9.31/EI) = 2.95 T-m

Mdc = ( 2EI / 3 ) (-0.061/EI ) + ( 2EI / 3 ) ( 9.31/EI ) = 6.14 T-m


METODO MODIFICADO DE LA FLEXION DE LA PENDIENTE

Ejercicio 1:


-Se condensa solo en los extremos, cuando esta empotrado no se condensa.

4.5T-m

1.8T-m 2.7T-m

6.3T-m

6.3T-m

7.2T-m


Mba = M0ba + (2EI / 4) 2b + 0 + 3/Lba = -2 + (4EI / 4) b + (6EI / 16)

Mbc = M0bc + ( 2EI / 6) 2b + c + 0 = 1.8 + ( 4EI / 6 ) b + ( 2EI / 6 ) c Mcb = M0cb + (2EI / 6) 2c + b + 0 = -2.7 + (4EI / 6) c + (2EI / 6) b Mcd = M0 cd - (M0dc/2) + (3EI / Ldc) c + 0 = 6.3 - (-7.2/ 2) + (3EI/ 6) c

(a) Y (b) en I

-2 + (4EI / 4) b + (6EI / 16) + 1.8 + (4EI / 6) b + (2EI / 6) c = 0 1.67 EI b + 0.33 EI c + 0.38 EI = 0.2 (I)


(c) Y (d) en II

-2.7 + (4EI / 6) c + (2EI / 6) b + 6.3 - (-7.2/ 2) + (3EI/ 6) c = 0 0.33EI b + 1.17 EI c + 0 EI = -7.2 (II)

(III)

Remplazando en (III):

Mab = M0ab + (2EI / 4) 0 + b + 3/Lab = 2 + (2EI / 4) b + (6EI / 16)

(e) Y (a) en III

-2 + (4EI / 4) b + (6EI / 16) + 2 + (2EI / 4) b + (6EI / 16) = 8 1.5EI b + 0 EI c + 0.75 EI = 8 (III) 1.67 0.33 0.38 b 0.2/ EI 0.33 1.17

0 c = -7.2 /EI 1.5 0

0.75 8 /EI


b = -2.14/EI c = -5.55/EI = 14.75/EI

Mba = -2 + (4EI / 4) (-2.14/EI) + (6EI / 16) (14.75/EI) = 1.39 T-m

Mbc = 1.8 + (4EI / 6) (-2.14/EI) + (2EI / 6) (-5.55/EI) = -1.48 T-m

Mcb = -2.7 + (4EI / 6) (-5.55/EI) + (2EI / 6) (-2.14/EI) = -7.12 T-m

Mcd = 6.3 - (-7.2/ 2) + (3EI/ 6) (-5.55/EI) = 7.12 T-m

Mab = 2 + (2EI / 4) (-2.14/EI) + (6EI / 16) (14.75/EI) = 6.46 T-m


Ejercicio 2:

C


Solucin:

Mba = M0ba - (M0ab/2) + (3EI / Lab) b + 0 = -2.22 - (4.44/ 2) + (3EI/ 6) b

Mbc = M0bc - (M0cb/2) + (3EI / Lbc) b + 0 = 2.5 - (-3.75/ 2) + (3EI/ 5) b (a) Y (b) en I -2.22 - (4.44/ 2) + (3EI/ 6) b + 2.5 - (-3.75/ 2) + (3EI/ 5) b = 0

1.1 EI b = 0.065 (I) b = 0.059/EI

4.44 T-m 2.22 T-m 3.75 T-m 2.5 T-m


Remplazando b en (a) y (b):

Mba = -2.22 - (4.44/ 2) + (3EI/ 6) (0.059/EI) = - 4.41 T-m

Mbc = 2.5 - (-3.75/ 2) + (3EI/ 5) (0.059/EI) = 4.41 T-m Diagrama de momento flector:

Ejercicio 3:


Paso 1:

paso2:

Condensar giro a


Paso3:

Mba = M0ba -(M0ab/2)+ (3EI /Lba) b + /Lba = 0+0+ (3EI/ 3.5)b+(3EI/12.25) Mbc = M0bc + (2EI / 5) 2b + c + 0 = 4.17 + (4EI / 5) b + (2EI / 5) c Mcb = M0cb + (2EI / 5) 2c + b + 0 = -4.17 + (4EI / 5) c + (2EI / 5) b Mce = M0ce + (2EI /3.5) 2c + 0 + 3/Lce =1.47+ (4EI /3.5) c + (6EI /12.25) Mcd = M0cd + (2EI /5) 2c + d + 0 = 0 + (4EI / 5) c + (2EI / 5) d Mdc = M0dc + (2EI /5) 2d + c + 0 = 0 + (4EI / 5) d + (2EI / 5) c


Mdf = M0df + (2EI /3.5) 2d + 0 +3/Ldf = 0 + (4EI /3.5) d + (6EI/12.25) Remplazando:

(a) Y (b) en I

0 + 0 + (3EI/ 3.5)b + (3EI/12.25 ) + 4.17 + ( 4EI / 5 ) b + ( 2EI / 5 ) c = 0 1.66 EI b + 0.4 EI c + 0 EI d + 0.24 EI = -4.17 (I) (c), (d) y (e) en II

-4.17 + (4EI / 5) c + (2EI / 5) b +1.47+ (4EI /3.5) c + (6EI /12.25) + 0 + (4EI / 5) c + (2EI / 5) d = 0

0.4 EI b + 2.74 EI c + 0.4 EI d + 0.49 EI = 2.7 (II) (f) Y (g) en III

0 + (4EI / 5) d + (2EI / 5) c + 0 + (4EI /3.5) d + (6EI/12.25) = 0 0 EI b + 0.4 EI c + 1.94 EI d + 0.49 EI = 4 (III)

Para hallar la otra ecuacin:


+ + + 3 - 3 3.5 = 0 + + = 3.5 IV

Ha x 3.5 = 0 He x 3.5 + Mec + Mce 3 x 1.5 = 0 Ha = 0 He = 4.5 - Mec - Mce

He x 3.5 + Mfd + Mdf 3.5 x 2.3 = 4 Hf = 12.05 - Mfd Mdf

Remplazando Ha, He y Hf en IV:

4.5 - Mec - Mce + 12.05 - Mfd - Mdf =12.25

Mec + Mce + Mfd + Mdf = 4.3 IV

Mec = M0ec + (2EI /3.5) 0 + c + 3/Lec = -1.10+ (2EI /3.5) c + (6EI /12.25) Mfd = M0fd + (2EI /3.5) 0 + d +3/Lfd = -1.23 + (2EI /3.5) d + (6EI/12.25) (d), (g), (h) y (i) en IV

1.47+ (4EI /3.5) c + (6EI /12.25) + 0 + (4EI /3.5) d + (6EI/12.25) + -1.10+ (2EI /3.5) c + (6EI /12.25) + -1.23 + (2EI /3.5) d +(6EI/12.25) = 4.3 0 EI b + 1.71 EI c + 1.71 EI d + 1.96 EI = 5.16 (IV)


1.66 0.4 0 0.24 b -4.17/ EI 0.4 2.74 0.4 0.49 c 2.7/ EI 0 0.4 1.94 0.49 d 4/ EI 0 1.71 1.71 1.96 5.16/ EI

b = -2.79/EI c = 1.11/EI d = 1.81/EI = 0.08/EI

Remplazando b, c, d y :

Mba = (3EI/ 3.5) (-2.79/EI) + (3EI/12.25) (0.08/EI) = - 2.37 T-m Mbc = 4.17 + (4EI / 5) (-2.79/EI) + (2EI / 5) (1.11/EI) = 2.38 T-m

Mcb = -4.17 + (4EI / 5) (1.11/EI) + (2EI / 5) (-2.79/EI) = - 4.39 T-m

Mce = 1.47+ (4EI /3.5) (1.11/EI) + (6EI /12.25) (0.08/EI) = 2.78 T-m

Mcd = 0 + (4EI / 5) (1.11/EI) + (2EI / 5) (1.81/EI) = 1.61 T-m

Mdc = 0 + (4EI / 5) (1.81/EI) + (2EI / 5) (1.11/EI) = 1.89 T-m Mdf = 0 + (4EI /3.5) (1.81/EI) + (6EI/12.25) (0.08/EI) = 2.11 T-m

Mec = -1.10+ (2EI /3.5) (1.11/EI) + (6EI /12.25) (0.08/EI) = -0.43 T-m Mfd = -1.23 + (2EI /3.5) (1.81/EI) + (6EI/12.25) (0.08/EI ) = -0.16 T-m Mab = 0


Diagrama de momento flector

EA = axial = 0

= 0

= 0

= 0

= 0

= 0


Ejercicio 4:

Paso 1:

paso2:

Momentos del tramo ab:

= 0.44 T-m = -0.66 T-m

Condensar giro d


Momentos del tramo bc

Momentos del tramo cd

1.11T-m 1.11T-m

0.45T-m 0.66T-m

M0bc = 1.11 T-m + 0.45T-m = 1.56 T-m

1.56T-m 1.77T-m

-2.23T-m 2.23T-m

0.44T-m -0.66T-m

2.67T-m 2.89T-m

0.84T/m

M0cb = -1.11 T-m - 0.66T-m = -1.77 T-m

M0cd = 2.23 T-m + 0.44T-m = 2.67 T-m

M0dc = -2.23 T-m - 0.66T-m = -2.89 T-m


Paso3:

Mba = M0ba + (2EI / 4) 2b + 0 + 0 = -0.66 + (4EI / 4) b Mbc = M0bc + (2EI / 4) 2b + c + 0 = 1.56 + (4EI / 4) b + (2EI / 4) c Mcb = M0cb + (2EI /4) 2c + c + 0 = -1.77+ (4EI /4) c + (2EI /4) b Mcd = M0cd - (M0dc/2) + (3EI /Ldc) c + 0 = 2.67 - (-2.89/2) + (3EI/ 4) c

Remplazando:

(a) Y (b) en I

-0.66 + (4EI / 4) b + 1.56 + (4EI / 4) b + (2EI / 4) c = 0 2EI b + 0.5EI c = -0.90 (I) (c) Y (d) en II

-1.77+ (4EI /4) c + (2EI /4) b + 2.67 - (-2.89/2) + (3EI/ 4) c = 0 0.5EI b + 1.75EI c = -2.35 (II)


2 0.50 b -0.90/ EI 0.5 1.75 c -2.35/ EI

b = -0.12/EI c = -1.31/EI

Remplazando b y c:

Mba = -0.66 + (4EI / 4) (-0.12/EI) = - 0.78 T-m

Mbc = 1.56 + (4EI / 4) (-0.12/EI) + (2EI / 4) (-1.31/EI) = 0.78 T-m

Mcb = -1.77+ (4EI /4) (-1.31/EI) + (2EI /4) (-0.12/EI) = - 3.14 T-m

Mcd = 2.67 - (-2.89/2) + (3EI/ 4) (-1.31/EI) = 3.14 T-m

Mdc = 0



M0db =-2.4 T-m M0bd =1.6 T-m

Ejercicio 5:

Solucin:

3m

2.5m

4m

3T/m

3T/m

4m 3m

-1.5 T-m M0ab =1.5 T-m M

0ba =-1.5 T-m


Mba = M0ba -(M0ab / 2)+ (3EI /Lab) b + 0 = -1.5 - (1.5 / 2) + (3EI/ 3) b Mbc = M0bc + (2EI / 2.5) 2b+c+0 = 0 + (4EI / 2.5) b + (2EI / 2.5) c Mbd = M0bd - (M0db/2) + (3EI /Ldb) b + 0 = 1.6 - (-2.4/2) + (3EI/ 4) b Mcb = M0cb+ (2EI /2.5) 2c + b+0 = 0 + (4EI / 2.5) c + (2EI / 2.5) b

Remplazando:

(a), (b) y (c) en (I) -1.5-(1.5/2) + (3EI/ 3) b

+ (4EI/ 2.5) b

+ (2EI/ 2.5) c

+ 1.6-(-2.4/ 2) + (3EI/ 4) b = 0 3.35 EI b + 0.8 EI c + = - 3.55 (I)


(d) En (II)

(4EI / 2.5) c + (2EI/2.5) b+ = 0 0.8 EI b + 1.6 EI c = 0 (II)

3.35 0.8 b -3.55/ EI 0.8 1.6 c 0

b = -1.20/EI c = -0.60/EI

Mba = -1.5 - (1.5 / 2) + (3EI/ 3) (-1.20/EI) = -3.45 T-m

Mbc = 0 + (4EI / 2.5) (-1.20/EI) + (2EI / 2.5) (-0.60/EI) = -2.4 T-m

Mbd = 1.6 - (-2.4/2) + (3EI/ 4) (-1.20/EI) = 1.9 T-m

Mcb = 0 + (4EI / 2.5) (-0.60/EI) + (2EI / 2.5) (-1.20/EI) = 1.92 T-m



MATRIZ DE RIGIDEZ POR DEFINICION

EJEMPLO:

D1 y D2 SON DE ROTACION Y D3 DE TRASLACION

VECTOR DE DESPLAZAMIENTO GLOBALES DE LA ESTRUCTURA

EJEMPLO:

EJEMPLO:

LEY DE HOOKE GENERALIZADA:

K = MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DE LA ESTRUCTURA


EJEMPLO:

SI D1 = 1 , D2 = D3 = 0

SI D2 = 1 , D1 = D3 = 0

FUERZAS EXTERNAS UNITARIAS


SI D3 = 1 , D1 = D2 = 0

CALCULO DE LOS COEFICIENTES DE RIGIDEZ:

EJEMPLO #1:

D1 = 1 , D2 = D3 = 0


K11 = Mbc + Mba

- Hallar Mbc

Mbc = M0bc + (2EIV / LV) 2D1 + D2 + 0 Mbc = 0 + (2EIV / LV) 2 (1) + (0) + 0 Mbc = 4EIV / LV

- Hallar Mba

Mba = M0ba + (2EIC / h) 2D1 + D2+ (3D3/h) Mba = 0+ (2EIC / h) 2 (1) + 0 + (3x0/h) Mba = 4EIC / h

Remplazando:

K11 = 4EIV / LV + 4EIC / h


K21 = Mcb + Mcd

- Hallar Mcb

Mcb = M0cb + (2EIV / LV) 2D2 + D1 + 0 Mcb = 0 + (2EIV / LV) 2 (0) + (1) + 0 Mcb = 2EIV / LV

- Hallar Mcd

Mcd = M0cd + (2EIC / h) 2D2 + D1+ (3D3/h) Mcd = 0+ (2EIC / h) 2 (0) + 0 + (3x0/h) Mcd = 0

Remplazando:

K21 = 2EIV / LV

Vba x h - Mab - Mba = 0

Vba = 6EIC/h2

F(x) = 0 K31 Vba = 0 K31 = 6EIC/h2


D2 = 1 , D1 = D3 = 0

K12 = Mbc + Mba K22 = Mcb + Mcd K32 Vcd = 0 K12 = 2EIV / LV K22 = 4EIV / LV + 4EIC / h K32 = 6EIC/h2

D3 = 1 , D1 = D2 = 0


K13 = Mbc + Mba

- Hallar Mbc

Mbc = M0bc + (2EIV / LV) 2D1 + D2 + 0 Mbc = 0 + (2EIV / LV) 2 (0) + (0) + 0 Mbc = 0

- Hallar Mba

Mba = M0ba + (2EIC / h) 2D1 + D2+ (3D3/h) Mba = 0+ (2EIC / h) 2 (0) + 0 + (3x1/h) Mba = 6EIC / h2

Remplazando:

K13 = 6EIC / h2

K23 = Mcb + Mcd

- Hallar Mcb

Mcb = M0cb + (2EIV / LV) 2D2 + D1 + 0 Mcb = 0 + (2EIV / LV) 2 (0) + (0) + 0 Mcb = 0

- Hallar Mcd

Mcd = M0cd + (2EIC / h) 2D2 + D1+ (3D3/h) Mcd = 0+ (2EIC / h) 2 (0) + 0 + (3x1/h) Mcd = 6EIC / h2


Remplazando:

K23 = 6EIC / h2

Vba x h - Mab - Mba = 0

- Hallar Mab

Mab = M0ab + (2EIC / h) 2D2 + D1+ (3D3/h) Mac = 0+ (2EIC / h) 2 (0) + 0 + (3x1/h) Mab = 6EIC / h2

Vba = 12EIC/h3 y Vcd = 12EIC/h3

F(x) = 0 K33 Vba Vcd = 0 K33 = 12EIC/h3 + 12EIC/h3 = 24EIC/h3

K21 = K12

K31 = K13

K32 = K23


EJEMPLO #2:

Hallar K de la estructura mostrada:

D1 = 1 , D2 = D3 = 0

K11 = 4EIV / LV + 4EIC / h K21 = 2EIV / LV K31 = 6EIC/h2

K11 = 4EIV / 5 + 4EIC / 3 K21 = 2EIV / 5 K31 = 6EIC/9


D2 = 1 , D1 = D3 = 0

Hallar:

F(x) = 0 K33 Vcd = 0 K33 = Vcd


K12 = 2EIV / LV K22 = 4EIV / LV + 3EIC / h K32 = 3EIC/h2

K12 = 2EIV / 5 K22 = 4EIV / 5 + 3EIC / 2.5 K32 = 3EIC/2.52

D3 = 1 , D1 = D2 = 0

Hallar:


K33 Vba Vcd = 0 K33 = 12EIC/h3 + 3EIC/h3

K13 = 6EIC / h2 K23 = 3EIC / h2 K33 = 12EIC/h3 + 3EIC/h3

K13 = 6EIC / 32 K23 = 3EIC / 2.52 K33 = 24EIC/33 + 3EIC/2.53

EJEMPLO #3: RESOLVER POR EL METODO DE RIGIDEZ POR DEFINICION:

E = 2 x 106 Ton/m2

I = 0.30 x (0.55)3 /

1. G.D.L = 2


2. D1 = 1 y D2 = 0

K11 - Mab =0 K11 = Mab

K11 =4EI/5

K21 - Mba - Mbc =0 K21 = Mba + Mbc

K21 =2EI/5

D2 = 1 y D1 = 0


K12 - Mab =0 K12 = Mab

K12 =2EI/5


K22 =4EI/5 + 4EI/6

Hallar EI:

K {D} = {Q}

D1 = 2.85 x 10-4 D2 = -5.69 x 10-4

Por otro metodo, condensando:

D1 =1



Hallar el Mab

K11 =3EI/5 + 4EI/6


EJEMPLO #4:

E = 2 x 106 T/m2

Solucin:

D1 = 1 , D2 = D3 = D4 = 0


K11 - Mab =0 K11 = Mab K21 - Mba =0 K21 = Mba

K11 =4EI/4 K21 =2EI/4

K41 - Mcb =0 K41 = Mcb K31 Mdb =0 K21 =Mdb K41 =0 K31 =0

D2 = 1 , D1 = D3 = D4 = 0


K12 - Mab =0 K12 = Mab K22 - Mba -Mbc -Mbd =0

K12 =2EI/4 K22 =4EI/4+4EI/3 +4EI/3.5

K42 Mcb =0 K42 = Mcb K32 Mdb =0 K32 =Mdb K42 =2EI/3 K32 =2EI/3.5

D3 = 1 , D1 = D2 = D4 = 0


K13 - Mab =0 K13 = Mab K23 - Mbd =0 K23=Mbd

K13 =0 K23 =2EI/3.5

K43 Mcb =0 K43 = Mcb K33 Mdb =0 K33 =Mdb K43 =0 K33 =4EI/3.5

D4 = 1 , D1 = D2 = D3 = 0


K14 - Mab =0 K14 = Mab K24 - Mbc =0 K24=Mbc

K14 =0 K24 =2EI/3

K44 Mcb =0 K44 = Mcb K34 Mdb =0 K34 =Mdb K44 =4EI/3 K34 =0


D1 = -5.75 x 10-4 D2 = 1.15 x 10-3 D3 = -5.75 x 10-4 D4 = -5.75 x 10-4

METODO DE RIGIDEZ DIRECTA (Con matrices de transformacin A)

LEY DE HOOKE GENERALIZADA:

{ } = K {D}.. (I)

Dnde:

{ } mx1 = vector de cargas globales de la estructura

{D} mx1 = vector de desplazamiento globales de la estructura

{K} mxm = matriz de rigidez global de la estructura

Dnde: m = # G.D.L

DEFINIR:

{d} e = Ae {D}. (II) {d} e = desplazamiento locales del elemento Ae = matriz de compatibilidad o transformacin del elemento.


Ejemplo: EA =

Solucin:


nicamente por flexin {de} e = vector desplazamiento del elemento en coordenadas locales.

{q}e = Ke {d}e -----------------------(III)

{q} e = vector de cargas del elemento

D1 = 1 D2 = 1


D3 = 1 D4 = 1


{d} e = Ae {D}. (II) Ejemplo:

Si

PRINCIPIO DE TRABAJO VIRTUAL:

Wext = Wint

PASOS:

1. Definir los grados de libertad G.D.L {D} m , m = # G.D.L.

2. Generar las matrices de compatibilidad o matrices de transformacin de C/elemento; Ae. 3. Generar la matrices de rigidez en coordenadas locales de C/elemento; Ke. 4. Proceso de ensamblaje, obtencin de la matriz de rigidez global de la estructura, KG.


5. Generar el vector de cargas globales de la estructura { }.

6. Resolver { } = KG {D} --------------OBTENER {D} 7. Hallar {q}e = Ke Ae {D} - {q}eeq 8. Hallar {d}e = Ae {D} y D.M.F y D.F.C

{ } = KTOTAL {D}

DONDE:

SI: solo por flexin.


d1 = 1 , d2 = d3 = d4 = 0

d2 = 1 , d1 = d3 = d4 = 0

d3 = 1 , d1 = d2 = d4 = 0

d4 = 1 , d1 = d2 = d3 = 0


Ejemplo#1: Resolver: E = 2x 106 T/m2 , EA =

Solucin:

Paso 1:

G.D.L = 2

Paso 2: D1 = 1 , D2 = 0


Paso 2: D2 = 1 , D1 = 0

Paso 3:


Paso 4: { }


{ } = KTOTAL {D} KTOTAL {D} = { }

{q} 1 = K1 A1 {D} - {q}1eq

{q} 2 = K2 A2 {D} - {q}2eq

Diagrama de momento:


Ejemplo#2:

Paso 1:

D1 = 1 , D2 = D3 = D4 =0 D2 = 1 , D1 = D3 =D4 = 0


Paso 2:

D3 = 1 , D1 = D2 = D4 =0 D4 = 1 , D1 = D2 =D3 = 0

Paso 3:


Paso 4: { }


{q} 1 = K1 A1 {D} - {q}1eq

{q} 2 = K2 A2 {D} - {q}2eq

{q} 3 = K3 A3 {D} - {q}3eq

{q} 4 = K4 A4 {D} - {q}4eq



Ejemplo#3: el mismo que el #2 pero darle solucin con el metodo de la condensacin:


Paso 1:

D1 = 1 , D2 = D3 =0 D2 = 1 , D1 = D3 = 0

Paso 2:

D3 = 1 , D1 = D2 =0


Paso 3:


Paso 4: { }


{q} 1 = K1 A1 {D} - {q}1eq

{q} 2 = K2 A2 {D} - {q}2eq

{q} 3 = K3 A3 {D} - {q}3eq

{q} 4 = K4 A4 {D} - {q}4eq



METODO DE CONDENSACION ESTATICA

Sea por ejemplo:

GENERALIZANDO:

{ } + {} = {} (1) { } + {} = {F} .... (2)


{ } + {} = {} T { } = - T {} I { } = - -1 {}

{ } = - -1 {} ..... (3) { } = T {} ..... (4) DONDE: T = - -1 . (5) Remplazando (3) en (2) tenemos:

(- -1 {}) + {} = {F} {F} = - -1 {} {F} = L {} L = rigidez lateral. {F} = L {} (6) SIENDO: L = - -1 Ejemplo #1: hallar la rigidez lateral de la estructura mostrada y graficar D.M.F.


Solucin:

D1 = 1 , D2 = D3 = 0

K11 = 4EIV / LV + 4EIC / h

K11 = 4EIV / 7 + 4EIC / 3.5

K21 = 2EIV / LV

K21 = 2EIV / 7

K31 = 6EIC/h2

K31 = 6EIC/12.25

D2 = 1 , D1 = D3 = 0

K22 = 2EIV / LV

K12 = 2EIV / 7

K22 = 4EIV / LV + 4EIC / h

K22 = 4EIV / 7 + 4EIC / 3.5

K32 = 6EIC/h2

K32 = 6EIC/12.25


D3 = 1 , D1 = D2 = 0

K13 = 6EIC/h2

K13 = 6EIC/12.25

K23 = 6EIC/h2

K23 = 6EIC/12.25

K33 = 12EIC/h3

K33 = 12EIC/42.88

4EIC/3.5 + 4EIV/7 4EIV/7 6EIC/12.25 D1 0

4EIV/7 4EIC/3.5 + 4EIV/7 6EIC/12.25 D2 = 0

6EIC/12.25 6EIC/12.25 24EIC/42.88 D3 F

21864.3 3085.7 6725.5 D1 0

3085.7 21864.3 6725.5 D2 = 0

6725.5 6725.5 7686.3 D3 7

L = - -1


L = 5692.09 T/m2 {F} = L {} {7} = 5692.09 {} = 5692.09/7 = 1.2 x 10-3 m T = - -1

{ } = T {}

COLUMNA:

Msup = M0ba + (2EIC / h) 2D1 + 0+ 3D3 /h

Msup = 3.05 Tn-m

Minf = M0ab + (2EIC / h) 0 + D1+ 3D3 /h

Minf = 5.53 Tn-m


VIGA:

MIZ = M0ab + (2EIV / L) 2D1 + D2 + 0

MIZ = -2.99 Tn-m

MDER = M0ba + (2EIV / L) 2D2 + D1+ 0

MIZ = -2.99 Tn-m

DIAGRAMA DE MOMENTOS:


2.5 Kip/Pie

Ejemplo #2: resolver el problema usando el metodo de rigidez directa con matrices de transformacin. A.

E= 29000 KSI , I=1780 plg4

SOLUCIN: PASO 1:

Armaduras:

CABLE

A=1.6plg2

EA=

18 Kip


Si: d1 = 1 d2 = 1

K11= EA/L K12=-EA/L

K21= -EA/L K22=-EA/L

Paso 2:

D1 = 1 , D2 = D3 = 0

D2 = 1 , D1 = D3 = 0


D3 = 1 , D1 = D2 =0

= 45 , cos = x/1 , x = cos = cos 45 = 0.707 Paso 3:

EI = 29000 x 1780 = 5162x 104 Kip-pie2

EA = 29000 x 1.6 = 46400 Kip


Paso 4: { }



{q} 1 = K1 A1 {D} - {q}1eq

{q} 2 = K2 A2 {D} - {q}2eq

{q} 3 = K3 A3 {D} - {q}3eq



METODO DE RIGIDEZ DIRECTA (Cosenos directores)

EJEMPLO:

{D} = DESPLAZ.GLOBALES DE LA ESTRUCTURA EN COORDENADAS GLOBALES

48 G.D.L


{ } = VECTOR DE CARGAS GLOBALES DE LA ESTRUCTURA EN COORDENADAS GLOBALES

LEY DE HOOKE GENERALIZADA

{ } mx1

= KTOTALmxm {D} mx1 . (I) m= #G.D.L

DEL METODO ANTERIOR;

{ } = ATe Ke Ae {D} ..... (II)

ELEMENTO (e)

Ejes LOCALES

Ejes GLOBALES


{d} e = Ae {D} { } = A AL {D} .. (III) Dnde: A=Matriz de cosenos directores. AL = Matriz de localizacin.

d1= d*1 cos + d*2 sen d2= d*1 sen + d*2 cos

Vector de desplazamiento en coordenadas locales/elemento

Se incluye deformaciones axiales.


d2= d*3

A {d}e = A {d}*e (IV)

Ejemplo:


FORMULACION DE METODO

---------------------------------------- (1)

----------------------------------------------- (2)

{ } = ATe Ke Ae {D} { } = ALT AT Ke Ae ALe {D} ----------------------------------- (3) Ke = matriz de rigidez del elemento en coord. Locales. { } = KTOTAL {D} ----------------------------------------------- (4)

-------------------------------------- (5)

{q} e = Ke Ae ALe {D} - {q}eeq --------------------------------- (6)

6 x G.D.L 6 x 5

6 x 5

=90 =0

DESPLAZ. DE ELEMENTOS EN COORD. GLOBALES


4 T-m

EJEMPLO N1:

25x45

4 m

2 m

2 m

6 T

25x45

25x45


A = 0.25 x 0.45 = 0.1125 m2

E = 2 x 106 T/m2 , L = 4m

I = (0.25 x 0.453) / 12 = 1.89 x 10-3 m4


2.67 T-m 2.67 T-m

4 Tn 4 Tn

3 T-m 3 T-m

3.0 Tn 3.0 Tn

2 m 2 m

2 T/m

4 m

6 T


{q} e = Ke Ae ALe {D} - {q}eeq


DIAGRMA DE MOMENTO FLECTOR:


EJEMPLO N2: HALLAR LAS FUERZAS INTERNAS EN LA ARMADURA MOSTRADA

P= 50 Klb

L = 20Pie

A= 8 pulg2 (const)

E = 30000 Ksi (const)


ARMADURAS:


KTOTAL {D} = { }

{q} 1 = K1 A1 AL1 {D} - {q}1eq


{q} 2 = K2 A2 AL2 {D} - {q}2eq

{q} 3 = K3 A3 AL3 {D} - {q}3eq

{q} 4 = K4 A4 AL4 {D} - {q}4eq


{q} 5 = K5 A5 AL5 {D} - {q}5eq

{q} 6 = K6 A6 AL6 {D} - {q}6eq

EJERCICIO PROPUESTO: Wu = 1.4 CM + 1.7 CV

C1 = 18 Tn , C2 = 10 Tn , C3 = 9 Tn

CM1 = 2.5 T/ml , CM2 = 2 T/ml , CM3 = 1 T/ml

CV1 = 1.5 T/ml , CV2 = 1 T/ml , CV3 = 0.5 T/ml


E = 2 x 106 T/m2

SOLUCION:

D1 = 1 D2 = 1

D3 = 1 D4 = 1


D5 = 1 D6 = 1

D7 = 1 D8 = 1

D9 = 1 D10 = 1

D11 = 1 D12 = 1


D13 = 1 D14 = 1

D15 = 1

MATRIZ DE RIGIDES TOTAL DE TODO EL PORTICO (KTOTAL):

10666.7 1777.8 0 0 1777.8 0 0 0 0 0 0 0 3555.6 -1777.8 0

1777.8 14222.2 1777.8 0 0 1777.8 0 0 0 0 0 0 3555.6 -1777.8 0

0 1777.8 14222.2 1777.8 0 0 1777.8 0 0 0 0 0 3555.6 -1777.8 0

0 0 1777.8 10666.7 0 0 0 1777.8 0 0 0 0 3555.6 -1777.8 0

1777.8 0 0 0 10666.7 1777.8 0 0 1777.8 0 0 0 -1777.8 3555.6 -1777.8

0 1777.8 0 0 1777.8 14222.2 1777.8 0 0 1777.8 0 0 -1777.8 3555.6 -1777.8

0 0 1777.8 0 0 1777.8 14222.2 1777.8 0 0 1777.8 0 -1777.8 3555.6 -1777.8


0 0 0 1777.8 0 0 1777.8 10666.7 0 0 0 1777.8 -1777.8 3555.6 -1777.8

0 0 0 0 1777.8 0 0 0 7111.1 1777.8 0 0 0 -1777.8 1777.8

0 0 0 0 0 1777.8 0 0 1777.8 10666.7 1777.8 0 0 -1777.8 1777.8

0 0 0 0 0 0 1777.8 0 0 1777.8 10666.7 1777.8 0 -1777.8 1777.8

0 0 0 0 0 0 0 1777.8 0 0 1777.8 7111.1 0 -1777.8 1777.8

3555.6 3555.6 3555.6 3555.6 -1777.8 -1777.8 -1777.8 -1777.8 0 0 0 0 9481.5 -4740.7 0

-1777.8 -1777.8 -1777.8 -1777.8 3555.6 3555.6 3555.6 3555.6 -1777.8 -1777.8 -1777.8 -1777.8 -4740.7 9481.5 -4740.7

0 0 0 0 -1777.8 -1777.8 -1777.8 -1777.8 1777.8 1777.8 1777.8 1777.8 0 -4740.7 4740.7 L = rigidez lateral. L = - -1

EJEMPLO

PLACA


EA = 6G.D.L (4 ROT. Y 2 TRASL.) EJERCICIO #3: HALLAR LOS DESPLAZAMIENTOS LATERALES.

D1 = 1 D2 = 1

PLACA


K11 = 4EI/6 + 4EI/3 K12 = 2EI/6

K21 = 2EI/6 K22 = 4EI/6 + 4EI/3

K31 = -6EI/9 K32 = -6EI/9

K41 = 6EI/9 K42 = 6EI/9

D3 = 1 D4 = 1

K13 = -6EI/9 K14 = 6EI/6

K23 = -6EI/9 K24 = 6EI/9

K33 = 48EI/27 K34 = -24EI/27

K43 = -24EI/27 K44 = 24EI/27


L = rigidez lateral. L = - -1

L {} = {F}

{ } = - -1 {}

MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL PORTICO PLACA


MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA VIGA BRAZO RIGIDO


SI LA VIGA TRABAJA SOLO POR FLEXION:


SE TIENE:

Parte flexible:

{qe} = Ke4x4 {e} ________________________________________ (1) POR COMPATIBILIDAD:

VA = 1 VA = Vi + a x i A = i

VB = 1 VB = Vj - b x j B = j


H Flexible rgido H = Matriz de compatibilidad VA = 1 x Vi + a x i + 0 x Vj + 0 x j A = 0 x Vi + 1 x i + 0 x Vj + 0 x j VB = 0 x Vi + 0 x i + 1 x Vj - b x j B = 0 x Vi + 0 x i + 0 x Vj + 1 x j

POR EQUILIBRIO:

Vi = VA

Mi = a x VA + MA

Vj = VB

Mj = -b x VB + MB

Vi = 1 x VA + 0 x MA + 0 x VB + 0 x MB

Mi = 0 x VA + 1 x MA + 0 x VB + 0 x MB

Vj = 0 x VA + 0 x MA + 1 x VB + b x MB

Mj = 0 x VA + 0 x MA - b x VB + 1 x MB


HT Flexible rgido

POR LA LEY DE HOOKE :

Si remplazamos (3) en (2):

Si remplazamos (1) en (4):

KP = PLACA


LTOTAL = a + b + L

FACTOR DE FORMA:

f = 1.2 f = 10 / 9 f = 2 f = Area axial / Area alma

PROBLEMA:


30 Tn

4.00 m

8.00m 2.00

.20

1. HALLAR: LA MATRIZ DE RIGIDEZ TOTAL

2. HALLAR: LA MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL

3. HALLAR: DESPLAZAMIENTO LATERAL

E = 2 x 106 Ton/m VIGA

PLACA C A

COLUMNA

30 x 70

30 x 70


a=1.00 8.35

3.65

D1 = 1 D2 = 1

D3 = 1

VIGA:


L = 8.35 m

a = 1.00 m

b = 0.00 m

E = 2 x 106 T/m2

I = 0.30 x (0.70)3 / 12 m4

EI = 17150 Tm-m2

COLUMNA:

L = 3.65 m

a = 1.00 m

b = 0.00 m

E = 2 x 106 T/m2

I = 0.30 x (0.70)3 / 12 m4

EI = 17150 Tm-m2

PLACA:

L = 3.65 m

AP = 1.00 m

E = 2 x 106 T/m2

I = 0.20 x (2.00)3 / 12 m4 = 0.133

EI = 266666.67 Tm-m2

= 0.20

f = 1.2


L = rigidez lateral. L = - -1 L = 17355.5 T/m

L {} = {F}


17355.5 {} = {30} {} = D3 = 1.73 x 10-3 m { } = - -1 {}

ANALISIS MATRICIAL 3-D

HIPOTESIS:

1. LA LOSA DEBE SER INFINITAMENTE RIGIDA.

LOSA

LOSA


2. LOS PORTICOS SEAN ORTOGONALES CON RESPECTO A SU BASE.

3. CONSIDERA 3 G.D.L / NIVEL UBICADOS EN SU CENTRO DE MASAS.

{D} 3m x 1 = DESPLAZAMIENTOS GLOBALES DE LA ESTRUCTURA, m = # DE PISOS

LEY DE HOOKE GENERALIZADO

EDIF = MATRIZ E RIGIDEZ GLOBAL DEL EDIFICIO m = # pisos

P = # DE PORTICOS

m = # DE PISOS

DONDE: AP mx3m = MATRIZ DE COMPATIBILIDAD DEL PORTICO P KLP = RIGIDEZ LATERAL DEL PORTICO P (CONDENSACION ESTATICA)


D Xi = 1 D i = 1

DY i = 1

PORTICO j

PORTICO j


PISO i Dij = Dxi Cos j + Dyi Sen j + Di Rij Numero de piso, se tiene:

Amxm = MATRIZ DE COMPATIBILIDAD O DE TRANSFORMACION

EJEMPLO #1: 3 G.D.L/ NIVEL

Hallar D.M.F De los prticos del edificio mostrado:

PLANTA PISO:

C = 35x45 h = 3.2m

V1 = 35x45 V2 = 35x40

4m

4m

5m 5m


PRTICO A, B y C PORTICO: 1, 2 y 3

3.2m 3.2m

5m 5m 4m 4m

35x45 35x45

35x45 35x45 35x45

35x40 35x40

45x35 45x35 45x35


,

PRTICO A, B y C:

PRTICO 1, 2 y 3:

R1A = (0 0) 0 - (-4 0) 1 = 4 R1B = (0 0) 0 - (0 0) 1 = 0 R1C = (0 0) 0 - (4 0) 1 = -4 R11 = (-5 0) 1 - (-4 0) 0 = -5 R12 = (0 0) 1 - (0 0) 0 = 0 R13 = (5 0) 1 - (0 0) 0 = 5


PORTICO KL 1x1 P Cos P Sen P R1P A 3807.6 0 1 0 4

B 3807.6 0 1 0 0

C 3807.6 0 1 0 -4

1 2527.6 90 0 1 -5

2 2527.6 90 0 1 0

3 2527.6 90 0 1 5

AA = 1, 0, 4 AB = 1, 0, 0 AC = 1, 0, -4 A1 = 0, 1, -5 A2 = 0, 1, 0 A3 = 0, 1, 5


KTOTAL {D} = { }

Prtico B:

Hallar el desplazamiento lateral {d}: {d} e = Ae {D}

{d} B = 1.3 x 10-3 m

3.2m

5m 5m

35x45 35x45

35x45 35x45 35x45


Mba = Mba + 2EI / Lba 2b + a + 3/Lba

Mab = Mab + 2EI / Lab 2a + b + 3/Lab

Mbc = Mbc + 2EI / Lbc 2b + c + 3/Lbc

Mcb = Mcb + 2EI / Lcb 2c + b + 3/Lcb

Mcd = Mcd + 2EI / Lcd 2c + d + 3/Lcd

Mdc = Mdc + 2EI / Ldc 2d + c + 3/Ldc

Mce = Mce + 2EI / Lce 2c + e + 3/Lce

Mec = Mec + 2EI / Lec 2e + c + 3/Lec


Mef = Mef + 2EI / Lef 2e + f + 3/Lef

Mfe = Mfe + 2EI / Lfe 2f + e + 3/Lfe

DIAGRMA DE MOMENTO FLECTOR:


EJERCICIO #2:

2 GDL/ nivel

Planta tpico.

CARGAS GLOBALES


n= # pisos = 2

Ri P = (Xi X0) Sen P (Yi Y0) cos P Resolviendo: Ri P

R1 A = R2 A = (5 0) Sen 900 (0 0) cos 900 = 5 R1 B = R2 B = (0 0) Sen 00 (10 0) cos 00 = -10 R1 C = R2 C = (0 0) Sen 00 (-10 0) cos 00 = 10 R1 D = R2 D = (-15 0) Sen 900 (0 0) cos 900 = -15 Hallando la matriz de compatibilidad:


Prtico A:

Hallar el desplazamiento lateral {d}:

{d} e = Ae {D}

1er PISO

2do PISO


ANALISIS MATRICIAL DE EDIFICIO 2GDL/NIVEL

Ejercicio #3: hallar los desplazamientos laterales y los DMF de la. Estructura mostrada.

Nivel 1

Nivel 2


Nivel 3

1. HALLAR LOS PRTICOS:


2. HALLAR LA RIGIDEZ LATERAL DE LOS PRTICOS:


Hallar la matriz de compatibilidad de los prticos: n = # pisos

Resolviendo: Ri P

Para el prtico 1: P = 90





Para el prtico A:


Para el prtico B: P = 0

Para el prtico C:

Para el prtico D:

Para el prtico E:


PRTICO A:

Hallar el desplazamiento lateral {d}: {d} e = Ae {D}

139892,88

-70009,56 0 -34973,22 17502,39 0

-70009,56 122516,73 -52507,17 17502,39 78760,755 8751,195

0 -52507,17 52507,17 0 -96263,145 -8751,195

-34973,22 17502,39 0 6448859,14

-

2776941,02 0

17502,39 78760,755 -96263,145

-

2776941,02 4419250,24 -130308840

0 8751,195 -8751,195 0 -130308840 130326343


Ejemplo #4: Hallar las fuerzas y Desplazamientos laterales de los prticos del edificio:


3 G.D.L

PISO 1 PISO 2

PISO TIPICO 2 NIVELES

SI:

PORTICO A y B PORTICO 1 PORTICO 2

PORTICO A y B


PORTICO 1

PORTICO 2

m = # pisos

PORTICO A = 0


=Cos-1(3/13.34) = 77

Para el prtico A: P = 0

Para el prtico B: P = 0


{d} e = Ae {D}

PRTICO A:

Hallar el desplazamiento lateral {d}:

{d} e = Ae {D}


Ejemplo #5:


SOLUCION:


=90

=14.04

=163.3

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