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8/16/2019 2°.1 PC ejercicios
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TRABAJO
Pregunta N° 1 (8 puntos) Para del sistema de resortes mostrados en laFigura adjunta, se pide hallar:
a) (2 pts.) La epresi!n para "al"ular la matri# de rigide# glo$al del sistema.$) (2 pts.) %allar la matri# de rigide# glo$al del sistema.
") (2 pts.) Los despla#amientos u1 & u2
d) (2 pts.) Los es'uer#os σ 1 & σ 2
SOLUCION:
a) LA *R+- *ARA /AL/0LAR LA 1ATR 3 R43 4LOBAL 3L ++T1A:
n 5 678 5 6 [ 1 −1−1 1 ] 9 [ k 1 −k 1−k 1 k
1 ] 9 5 6(4)7
K 1 − K
1 0
− K 1 K
1 0
0 0 0
n 5 278 5 2 [ 1 −1−1 1 ] 9 [ k 2 −k 2−k 2 k
2 ] 9 5 2(4)7 [
0 0 0
0 K 2 − K
2
0 − K 2 K
2
]*R+O 4RAL:
5 (4)7 5 6(4) 5 2(4)7⌈
K 1 − K 1 0
−
K 1 K 1+
K 2 −
K 20 − K 2 K 2
⌉
$) 1ATR 3 R43 4LOBAL:
6
-
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5 (4 7 [ 40 −40 0
−40 40+50 −50
0 50 50 ] 7 [
40 −40 0
−40 90 −50
0 50 50 ]
") 3+*LAA1TO+ 06 ; 02
[ F 1
F 2
0 ] 7 [
K 1 − K
1 0
− K 1 K
1+ K
2 − K
2
0 K 2
K 2
] < [U
1
U 2
U 3
] 9 [40500 ] 7
[ 40 −40 0
−40 90 −50
0 50 50 ] < [
U 1
U 2
U 3
] L04O 3 L1AR 0A FLA ; /OL01A 3 1ATR == ; LA F0RA ;3+*LAA1TO T1O+:
[4050] 7 [ 40 −40−40 90 ] 7 [U 1U 2]
/AL/0LA3O /O L 1AT LAB +AL:
U 1 7 2.> ; U 2 7 6.>
d)+F0RO+ 1/?/O+ σ 6 ; σ 2
@ 7< ∆T 7 66.C6DE /D6 / 7 G.26D2
σ 6 7 ( [−11 ] <
1
U 1−€ 0 )
2
-
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σ 6 7 =.66C (
1
2.8−9.2 x10−2 )
+ TO1A LA 1ATR 3 HALOR *O+THO
σ 6766IIC.E2>
σ 2 7 6IG>.>2G
Pregunta N° 2: (8 puntos) *ara el sistema de resortes mostrado.
Datos:
5 6 7 6C Kmm, 5 2 7 22 Kmm, 5 = 7 62C Kmm, * 7 IC, u6 7 uI 7+e pide determinar:a) (2 pts.) La matri# rigide# ensam$lada.$) (2 pts.) 3espla#amientos en los odos 2 & =.") (2 pts.) Las 'uer#as en los empotramientos (odos 6 & I).d) (2 pts.) La 'uer#a en el resorte 2.
SOLUCION:
a) LA 1ATR 3 R43 +A1BLA3A:
n 5 678 5 6 [ 1 −1−1 1 ] 9 [ k 1 −k 1−k 1 k 1 ] 9 5 6(4)7 [ K
1 − K
1 0 0
− K 1 K
1 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0]
=
-
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")LA+ F0RA+ L 1*OTRA1TO+ 6 ; I:
d)LA F0RA L R+ORT 2
Pregunta N° 3 (12 puntos). 3ado la siguiente pla"a triangular, de t76Cmm de espesor "onstante, /onsiderando dis"reti#a"i!n de tres elementos./al"ular:
a) (=pts.) las matri"es lo"ales K 1 , K 2 , K 3 ,
$) (2 pts.) La matri# ensam$lada K G=∑
e=1
3
K e , siendo e el nmero de su$D
elementos en Mue se ha 3is"reti#ado el sistema.
") (I pts.)Los despla#amientos: u1 , u2 , u3 , u4
d) Los es'uer#os: σ 1 , σ 2 & σ 3
e) (= pts.)l 'a"tor de seguridad "orrespondientes para los es'uer#os σ 1 ,
σ 2 & σ 3
C(6)
-
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SOLUCION:
a)LA+ 1ATR/+ LO/AL+ K 1 , K 2 , K 3 : Typeequation here .
n 5 678 5 6 [ 1 −1−1 1 ] 9k
1 −k
1
−k 1 k
1 9 5 6(4)7 [
K 1 − K 1 0 0− K
1 K
1 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0]n 5 278 5 2 [ 1 −1−1 1 ] 9 [ k 2 −k 2−k
2 k
2 ] 9 5 2(4)7 [
0 0 0 0
0 K 2 − K
2 0
0
0
− K 2
0
K 2
0
0
0 ]
n 5 =78 5 = [ 1 −1−1 1 ] 9 [ k 3 −k 3−k 3 k
3 ] 9 5 2(4)7 [
0 0 0 0
0 0 0 0
0
0
0
0
K 3− K
3
− K 3 K
3
] $) 1ATR +A1BLA3A: K
G=∑
e=1
3
K e
E
6>.C=
(2)
CE2.C=(=)
*A
662CE
(I)
-
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5 (4)7 5 6(4) 5 2(4) 5 =(4) 7 [ K 1 K 1 0 0
− K 1 K
1+ K
2 − K
2 0
0
0
− K 2
0
K 2+ K
3
− K 3
− K 3
K 3
] ")LO+ 3+*LAA1TO+: u1 , u2 , u3 , u4 .
e
O3O+ 43L le
(mm)
Ae
(mm2)
(6) (2) 6 2
6 6 2 6 2 = 6=C
2 2 = 2 = = EC
= = I = I E 22C
Anali#ando las 'uer#as en "ada elemento Nnito:
( )
( )
( )
( )
( ) N
Axl y F
N P Axl y
F
N Axl y
F
N Axl y
F
N R Axl y
F
A
53.39712
88.209922
88.9922
48.1652
48.16512
33
3
22
3
22
2
11
2
11
1
==
=+=
==
==
=+=
( ) N
Axl y F 53.3971
2
33
4 ==
Ahora anali#amos las 'uer#as para todo el "uerpo:
-
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N F F
N F F F
N F F F
N R F F
53.3971
41.24964
36.1158
148.165
3
44
3
3
2
33
2
2
1
22
1
11
==
=+=
=+=
+==
nton"es, el e"tor "arga se epresarPa de la siguiente manera
[ ] N
R
F
F
F
F
F
+
=
=
53.3971
41.24964
36.1158
148.165
4
3
2
1
1
A "ontinua"i!n pasamos a "al"ular la matri# de Rigide# 4lo$al, Mue esta determinada
por la siguiente e"ua"i!n:
−
−
=∫
0000
0000
0011
0011
1l
AE K
i
−−
+
0000
0110
0110
0000
2l
AE
−−
−
1100
1100
0000
0000
3l
AE
Reempla#ando para los alores "al"ulados & utili#ando la ta$la de "one"tiidado$tenemos:
−
−
=∫
0000
0000
0011
0011
300
10348.165
1
5 x x K
i
−−
+
0000
0110
0110
0000
300
10388.992
2
5 x x
−−
+
1100
1100
0000
0000
600
10353.3971
3
5 x x
>
-
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Finalmente:
mm
N x K
i
−−−
−−−
=∫
86.1986.1900
86.1979.2993.90
093.958.1165.1
0065.165.1
105
La e"ua"i!n de rigide# esta determinada por la siguiente e"ua"i!n:
∫ ∫ = Q K F ii
Lo Mue "on nuestros alores "al"ulados tenemos:
+
53.3971
41.24964
36.1158
148.165 R
−−−
−−−
=
4
3
25
0
86.1986.1900
86.1979.2993.90
093.958.1165.1
0065.165.1
10
Q
Q
Q x
*ara o$tener los despla#amientos tomamos la siguiente su$matri#:
53.3971
41.24964
36.1158
−−−
−=
4
3
2
5
86.1986.190
86.1979.2993.9
093.958.11
10
Q
Q
Q
x
Resoliendo este sistema de e"ua"iones o$tenemos:
G
-
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mm xQ
mm xQ
mm xQ
mmQ
5
4
5
3
5
2
1
10
10
10
0
−
−
−
=
=
=
=
; para o$tener la rea""i!n en el empotramiento t!manos la siguiente su$matri#:
[ ] [ ]
−=+
4
3
25
1
0
0065.165.11048.165
Q
Q
Q x R
Resoliendo o$tenemos: N R =
1
d)LO+ +F0RO+: σ 1 , σ 2 & σ 3 .
*ara "al"ular los alores de los es'uer#os por elemento, apli"amos la siguiente
e"ua"i!n:
[ ]
+
−
=
111
i
i
e
e
Q
Q
l
E σ
; o$tenemos lo siguiente:
[ ]21
5
1
5
1 07406.0103511.12
011
500
103
mm
N x
x=→
−
= − σ σ
[ ]22
5
2
5
2 1481.0106882.24
3511.1211
250
103
mm
N x
x=→
−
= − σ σ
6
-
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[ ]23
5
3
5
3 0000098.010
6990.24
6882.2411
250
103
mm
N x
x=→
−
= − σ σ
e) L FA/TOR 3 +40R3A3 /ORR+*O3T+ *ARA LO+ +F0RO+:
σ 1
,
σ 2
&
σ 3
.
Pregunta N° 3 (12 pts.) Considere la armadura de cuatro barras mostrada en la figura .Para todos los elementos, se tiene: Ee=29.5x106 si ! "e=1 lg2.
66
lpro'esorlpro'esorlpro'esor
1. #2 ts.$ %etermine la matri& de rigide&
elemental ara cada elemento2. #2 ts.$ Ensamble la matri& de rigide&
estructural ' ara toda la armadura(. #2 ts.$ Calcular los desla&amientos
nodales.
). #) ts.$ Calcular los esfuer&os ara cadaelemento
5. #2 ts.$ Calcule las fuer&as de reacci*n.
-
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SOLUCION:
a) 3TR1 LA 1ATR 3 R43 L1TAL *ARA /A3A L1TO:
Dta$ular los datos de las "oordenadas nodales.
Dta$la
de
"one"tiidad de elementos:
62
=
I
NODO X Y
1 02 I 03 I 304 0 30
ELEMENO NODO
(1) (2)
1 1 22 2 33 1 3
4 3 4
-
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Dta$la de elementos "on sus longuitudes:
n
−
−
=
−
−
=
0000
0101
0010
0101
30
105.29
0000
0101
0010
0101
1
6
1
1
x
l
AE K
n
−
−
=
−
−
=
1010
0000
1010
0000
30
105.29
1010
0000
1010
0000
2
6
2
2
x
l
AE K
n
−−
−−−−−−
=
−−
−−−−−−
=
36.48.36.48.
48.64.48.64.
36.48.36.48.
48.64.48.64.
50
105.29
36.48.36.48.
48.64.48.64.
36.48.36.48.
48.64.48.64.
3
6
3
3
x
l
AE K
6=
ELEMENO! "e " #
1 I 6 0
2 = $13 C .> 0.%4 30 1 0
-
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n
−
−
=
−
−
=
0000
0101
0010
0101
40
105.29
0000
0101
0010
0101
4
6
4
4
x
l
AE K
$) +A1BL LA 1ATR 3 R43 +TR0/T0RAL 5 *ARA TO3A LA AR1A30RA:
5 (4)7 5 6(4) 5 2(4) 5 =(4) 5 I(4) 729.5 x 10
6
600
22.6 5.76 −15 0 −7.68 −5.76 0 0
5.76 4.32 0 0 −5.76 −4.32 0 0
−15 0
0 0
−7.68
−5.76
0
0
−5.76
−4.32
0
0
15 0
0 20
0
0
0
0
0
−20
0
0
0 0 0 0
0 −20 0 0
22.685.76
−15
0
5.76 −15 024.32
0
0
0
15
0
0
0
0 ]") /AL/0LAR LO+ 3+*LAA1TO+ O3AL+.29.5 x 10
6
600
[15 0 0
0 22.68 5.76
0 5.76 24.32] [Q
3
Q5
Q6]=
[ 20000
0
−25000]+OL0/O 3 LA /0A/O+
[Q
3
Q5
Q6
]=[ 27.12 x10
−3
5.65 x10−3
−22.25 x10−3]∈¿
*OR LO TATO L H/TOR 3 3+*LAA1TO O3AL 3 TO3A LA +TR0/T0RA +:
Q=[0,0,27.12 x10−3,0,5.65 x10
−3,−22.25 x10
−3,0,0]
T ∈¿
d) /AL/0LAR LO+ +F0RO+ *ARA /A3A L1TO:
6I
-
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2C
=62E
6C>==
I6E
26>G
DLa "one"tiidad del elemento 6 es 6D2 n "onse"uen"ia, el e"tor de despla#amiento
nodal para el elemento 6 esta dado por q=[0,0,27.12 x10−3,0]
T
σ 1=29.5 x10
6
40[−1 0 1 0 ]
[
0
0
27.12 x 10−3
0
]=20000.0 psi
Dl es'uer#o en el miem$ro 2 esta dado por:
σ 2=
29.5 x106
3 0[ 0 1 0 −1 ] [
5.65 x 10−3
−22.25 x 10−3
−27.12 x 10−3
0]=−2 1880.0 psi
Dsiguiendo pasos similares o$tenemos:
σ 3=5208.0 psi
σ 4=4167.0 psi
e) /AL/0L LA+ F0RA+ 3 RA//-:
[ R
1
R2
R4
R7
R8]=
29.5 x106
600 [22.68 5.76 −15 0 −7.68 −5.76 0 0
5.76 4.32 0 0 −5.76 −4.32 0 0
0 0
0 0
0 0
0 20 0
0 0 −15
0 0 0
−20 0 0
0 15 0
0 0 0 ][ 0
0
27.12 x 10−3
0
5.65 x 10−3
−22.25 x 10−3
0 ]DQue "ondu"e a:
R1
R2
R4
R7
R8
=[−158833.0
3126.0
2 1879.0
−4167.0
0 ]6C
-
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6E
Fuer#as: l$
l pro'esor
-
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6