1

UNIDAD 2

En esta unidad estudiaremos ciertas transformaciones llamadas rotaciones

tanto en el plano como en el espacio, para poder identificar una cónica o

una superficie cuadrática en el caso de que su eje focal no sea paralelo a

ningún eje coordenado.

2.1 TRANSFORMACIONES en 2R y en 3R

Una transformación de nR , es una función nn

RRT →→→→: .

Ejemplo. 22: RRT → tal que )2,3(),( yxyxyxT −−−−++++==== podemos calcular

)4,12()04,012()0,4(

)0,7()22,16()1,2(

−−−−−−−−====−−−−−−−−++++−−−−====−−−−

====−−−−++++====

T

T

Ejemplo. 33: RRT →→→→ tal que )3,0,(),,( −−−−−−−−==== xzyzyxT

Dependiendo de algunas propiedad que satisfaga una transformación recibe

su nombre; nos interesa conocer las rígidas, las no singulares y las lineales

entre otras.

Transformaciones Rígidas en el plano

Una transformación Rígida del plano, es una función nnRRT →→→→: , que

preservan distancias, es decir, para cualesquiera puntos nRQP ∈∈∈∈, se

satisface QPQTPT −−−−====−−−− )()(

Ejemplos de no rígidas.

De expansión 22: RRT → tal que )2,2(),( yxyxT =

Y

T

Y

)(QT

X

)(PT

X

Q

P

d

d

2

De compresión 22: RRT → tal que

=3

,3

),(yx

yxT

De doblez 22: RRT → tal que ),(),( 22yxyxT =

De proyección 22: RRT → tal que ),0(),( yyxT = , probar con

contraejemplo.

Ejemplos de rígidas.

Traslación 22: RRT → tal que ),(),(),( 00 yxyxyxT += .

Ejemplo. Considere la elipse 12516

22

====++++yx

Su eje focal es paralelo al eje Y , centro )0,0(C , 4,5 ======== ba

91625222 ====−−−−====−−−−==== bac , 3====c

Focos )3,0(1 ====F , )3,0(2 −−−−====F

Vértices )5,0(1 ====V , )5,0(2 −−−−====V

Comparada con la elipse 125

)2(

16

)3( 22

====++++

++++−−−− yx

Que Su eje focal es paralelo al eje Y , centro )2,3( −−−−C , 4,5 ======== ba

91625222 ====−−−−====−−−−==== bac , 3====c

Focos )1,3(1 ====F , )5,3(2 −−−−====F

Vértices )3,3(1 ====V , )7,3(2 −−−−====V

Notamos que la segunda elipse se obtiene de aplicar una traslación a la

primera; )2,3()2,3(),(),( −−−−++++====−−−−++++==== yxyxyxT

Las transformaciones rígidas se clasifican como se indica

X

)5,0( −−−−

)5,0(

Y

)3,0( −−−−

)3,0()0,4(−−−−

)0,4()0,0(

X

Y

)3,3(

)2,3( −−−−

)5,3( −−−−

)1,3(

)2,1( −−−−−−−− )2,7( −−−−

)7,3( −−−−

)2,3(),( −−−−++++==== yxyxT

3

rectaunaarespectoreflexión

puntoundealrededorrotación

traslación

Rígidas

cionesTransforma

Dado un vector unitario 2

21 ),( Ruuu ∈= , es decir 12

2

2

1 =+ uu , entonces

),( 12 uuu −=⊥ es su vector ortogonal.

Una Rotación alrededor del origen, es una transformación 22: RRT → tal

que ⊥+= yuxuyxT ),( .

Ejemplo de rotación.

Sea

=5

4,

5

3u y

+−=

−+

=

+= ⊥

5

34,

5

43

5

3,

5

4

5

4,

5

3

),(

yxyxyx

yuxuyxT

Se tiene

−=

=5

3,

5

4)1,0(y

5

4,

5

3)0,1( TT

Tomando en cuenta la rotación anterior consideremos la parábola cuya

ecuación es xy 42 ==== ,

Vemos que su eje focal es paralelo al eje X , vértice )0,0(V , 1====p , abre a la

derecha, foco )0,1(F y directriz 1−−−−====x

Ahora veamos la relación de la parábola anterior con la parábola cuya

ecuación construiremos.

Encontrar la ecuación de la parábola con directriz 0543 ====++++++++ yx y foco

5

4,

5

3F , tenemos lo siguiente

Sea ),( yxP un punto genérico de la parábola, entonces

)0,1(

)1,0(

5

4,

5

3

−−−−5

3,

5

4

X

Y

4

),(),( lPdFPd =

2

22

22

)543(5

425

5

325

5

543

169

543

5

4

5

3

++++++++====

−−−−++++

−−−−

++++++++====

++++

++++++++====

−−−−++++

−−−−

yxyx

yxyxyx

0806092416

403024251692540302525

4030242516925

16

5

8

25

9

5

625

22

2222

2222

====−−−−−−−−++++−−−−

++++++++++++++++++++====++++−−−−−−−−++++

++++++++++++++++++++====

++++−−−−++++++++−−−−

yxyxyx

yxxyyxyxyx

yxxyyxyyxx

Observe que esta ecuación tiene un término mixto y además se satisface

0)9)(16(4)24(4 22 ====−−−−====−−−− ACB

Si calculamos algunos elementos de esta parábola:

La distancia del foco a la directriz:

25

10

169

55

44

5

33

),( ========++++

++++

++++

====lFd ,

La ecuación del eje focal:

De la directriz 4

3

4

530543 −−−−====→→→→

−−−−−−−−====→→→→====++++++++ m

xyyx

La pendiente de la recta ortogonal es 3

4====m que pasa por el foco

5

4,

5

3F

05

3

3

4

5

4

3

4====→→→→++++====→→→→++++==== bbbxy

Por lo que el eje focal es xy3

4====

Luego la intersección de la directriz y el eje focal:

5

316159

3

4

4

53−−−−====→→→→====−−−−−−−−→→→→====

−−−−−−−−==== xxxx

xy y

5

4−−−−====y

−−−−−−−−5

4,

5

3A

Por último el vértice:

)0,0(5

4,

5

3

2

1

5

4,

5

3

2

1

2====

++++

−−−−−−−−====++++

====FA

V

La relación entre las parábolas es que la segunda es una rotación de la

primera.

5

Para una rotación ⊥+= yuxuyxT ),( usamos los elementos siguientes:

Sea ),(),(),(),( 1221 yxuuyuuxyxT ′′=−+= a las igualdades

12

21

yuxuy

yuxux

+=′

−=′

Se les llama ecuaciones de una rotación.

Otras rotaciones rígidas:

Una reflexión alrededor de una recta que pasa por el origen es una

transformación 22: RRT → tal que ⊥−= yuxuyxT ),( .

Reflexión respecto al eje Y, 22: RRT → tal ),(),( yxyxT −=

Ejemplo. Determine si la transformación )23,32(13

1),( yxyxyxT −−−−−−−−−−−−==== es

una rotación

⊥⊥⊥⊥

−−−−++++

−−−−====

−−−−++++

−−−−====

−−−−−−−−−−−−====

13

3,

13

2

13

3,

13

2

13

2,

13

3

13

3,

13

2

)23,32(13

1),(

yx

yx

yxyxyxT

Y como 113

3,

13

2=

− por lo tanto, si es rotación.

Una transformación de nR se llama no singular si es inyectiva y

sobreyectiva. De lo contrario se llama singular.

Ejemplo. 22: RRT → tal que )24,2(),( yxyxyxT −−−−−−−−====

)0,1()0,1(−−−−

5

4,

5

3

−−−−−−−−5

3,

5

4

X

Y

X

Y

++++−−−−====

5

34,

5

43),(

yxyxyxT

6

Como )0,0()2,1(y )0,0()4,2( ====−−−−−−−−==== TT

T no es inyectiva.

Tampoco es suprayectiva ya que para )1,0(),( ====yxT , por ejemplo, se

requiere 144 ,2124 ,02)1,0()24,2( ====−−−−====⇒⇒⇒⇒====−−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒====−−−−−−−− xxxyyxyxyxyx

Lo cual es una contradicción.

Ejemplo. 22: RRT → tal que )2,32(),( yxyxyxT ++=

Es inyectiva:

Sean 2),( ),,( Ryxyx ∈′′ tal que ),(),( yxTyxT ′′= entonces

)2,32()2,32( yxyxyxyx ′+′′+′=++

Y obtenemos el sistema de ecuaciones

yxyx

yxyx

′+′=+

′+′=+

22

3232

yy

yy

yxyyyx

yxyyyx

yyxx

=′

=−′

′+′=+−′+′

′+′=+−′+′

−′+′=

0

323442

323)22(2

22

xxyxyx ′=→+′=+ 22

Por lo tanto ),(),( yxyx ′′=

Es supreyectiva:

Sea 2),( Ryx ∈′′ , encontrar 2),( Ryx ∈ tal que ),(),( yxyxT ′′=

),()2,32(),( yxyxyxyxT ′′=++=

yyx

xyx

′=+

′=+

2

32

xyyxyx

xyy

xyyy

xyyy

yyx

′+′−=′+′−′−=

′−′=

′=+′+−

′=+′+−

′+−=

23)2(2

2

324

3)2(2

2

Como si hay solución:

yxy

yxx

′+′−=

′−′=

2

32

7

La transformación es supreyectiva

Y la inversa de T esta dada por )2,32(),(1yxyxyxT +−−=−

Se puede verificar que ITTTT == −−oo

11

Ejemplo de no singular. 22: RRT → tal que ),(),(),( 00 yxyxyxT +=

Ejemplo de singular. 22: RRT → tal que ),(),( 22

yxyxT =

Propiedades de las rotaciones. i) Las rotaciones alrededor del origen son transformaciones no

singulares.

ii) La inversa de una rotación es una rotación.

iii) Las rotaciones son transformaciones rígidas.

iv) ),(),(),(),( yxyxyxTyxT ′′•=′′•

v) ),(),(),(),( 1yxyxTyxTyx ′′•=′′• −

vi) ( )⊥⊥ = ),()),(( yxTyxT

Demostraciones. i) y ii)

ii) tenemos

),(),( yxyuxuyxT ′′=+= ⊥ y sus ecuaciones

12

21

yuxuy

yuxux

+=′

−=′

Trabajando con ellas

2

1121

2

2212

yuuxuuy

yuuxuux

+=′

−=′

restándolas

yuuyyuyuuyux −=+−=−−=′−′ )(2

1

2

2

2

1

2

212

Porque es unitario 12

2

2

1 =+ uu

),(),(),( 1212 yxuyxuuuyuxy ′′•=′′•−=′+′−= ⊥

Y calculamos

yuxuyxuuyxu

yuxuyxu

′+′−=′′•−=′′•

′+′=′′•⊥

1212

21

),(),(),(

),(

En forma similar:

12

21

yuxuy

yuxux

+=′

−=′ implican

21

2

22

12

2

11

uyuxuuy

uyuxuux

+=′

−=′

sumándolas

xuuxxuxuuyux =+=+=′+′ )(2

1

2

2

2

2

2

121

8

Porque es unitario 12

2

2

1 =+ uu

),(),(),( 2121 yxuyxuuuyuxx ′′•=′′•=′+′=

Como hay solución única en yx, , T es no singular.

Además

(((( ))))

),(),(

),(

),(),,(),(),(

1221

1221

1

uyuyuxux

uyuxuyux

yxuyxuyxyxT

′′′′′′′′++++′′′′−−−−′′′′====

′′′′++++′′′′−−−−′′′′++++′′′′====

′′′′′′′′••••′′′′′′′′••••========′′′′′′′′ ⊥⊥⊥⊥−−−−

⊥−′+−′=

−′+−′=

),(),(

),(),(

2121

2121

uuyuux

uuyuux

Y 1−T es una rotación.

iii) Consideramos 2

2211 ),( ),,( Ryxyx ∈

2

2211

2

2211 )(),(),( ⊥⊥ +−+=− uyuxuyuxyxTyxT

2

12212121

2

2121

),)((),)((

))()(

uuyyuuxx

uyyuxx

−−+−=

−+−= ⊥

( ) 2

121221221121 )()(,)()( uyyuxxuyyuxx −+−−−−=

2

1

2

21121221

2

2

2

21

2

2

2

21221121

2

1

2

21

)()()(2)(

)()()(2)(

uyyuyyuxxuxx

uyyuyyuxxuxx

−+−−−−+

+−+−−−−=

2

21

2

21

2

2

2

1

2

21

2

2

2

1

2

21

)()(

)()()()(

yyxx

uuyyuuxx

−+−=

+−++−=

2

2211 ),(),( yxyx −=

Por lo que T es transformación rígida.

iv) ),(),(),(),( yxyxyxTyxT ′′•=′′•

Tomamos a ),()0,1( 21 uuT = que debe ser unitario

Entonces

Sea ⊥+= yuxuyxT ),(

⊥⊥⊥⊥

⊥⊥

•′+•′+•′+•′=

′+′•+=′′•

uuyyuuyxuuxyuuxx

uyuxyuxuyxTyxT )()(),(),(

),(),( yxyx

yyxx

′′•=

′+′=

Ya que 1y 0 ,1 =•=•=• ⊥⊥⊥uuuuuu

9

v) ),(),(),(),( 1yxyxTyxTyx ′′•=′′• −

Tenemos que

),()),(((

),(),)((),(),(

1

1

yxTyxTT

yxTyxTTyxTyx

′′•=

′′•=′′•−

−o

Luego por la propiedad anterior

),(),(),()),((( 11yxyxTyxTyxTT ′′•=′′• −−

vi) ( )⊥⊥ = ),()),(( yxTyxT

Como

)),((),()),((),( ⊥⊥ •=• yxyxyxTyxT por la enterior

Pero 0)),((),( =• ⊥yxyx

Por lo tanto 0)),((),( =• ⊥yxTyxT

Y ( )⊥⊥ = ),()),(( yxTyxT

Ejemplo. Encuentre la rotación alrededor del origen que transforma al

eje X en la recta )3,1(t .

Como ⊥+= yuxuyxT ),(

)3,1()0,1( tuT == para algún t

Y 1)3,()3,1(1)0,1( ==→== tttuT

Entonces 110109 222 =±==+ tttt y 10

1±=t

Así tenemos

±=±=10

3,

10

1)3,1(

10

1u existiendo dos rotaciones

posibles que cumplan la condición

( )yxyxyxyxT +−=

−+

= 3,310

1

10

1,

10

3

10

3,

10

1),(1

( )yxyxyxT +−−= 3,310

1),(2

Ejemplo. Encuentre la rotación alrededor del origen que transforma la

recta ),( xx en la recta )2,( xx − .

Calcularemos las rotaciones que transforman al eje X en la recta ),( xx

y la transforman al eje X en la recta )2,( xx − , luego de la primera

rotación usaremos su inversa y haremos la composición de ésta con la

segunda rotación.

Los vectores de dirección unitarios de laa rectas ),( xx y )2,( xx − son

2

1,

2

1 y

−5

2,

5

1 respectivamente, así que

Para 11 : lXT →

==2

1,

2

1)0,1(1 uT

10

( )yxyxyxyxT +−=

−+

= ,2

1

2

1,

2

1

2

1,

2

1),(1

Usando el teorema para calcular el vector unitario que define a la

inversa de una rotación

( )yxyxyxyxT +−+=

+

−=−,

2

1

2

1,

2

1

2

1,

2

1),(

1

1

Luego, para

22 : lXT →

−==5

2,

5

1)0,1(2 uT y

( )yxyxyxyxT +−+=

+

−= 2,25

1

5

1,

5

2

5

2,

5

1),(2

Hacemos la composición

21

1

12 : llTT →−o

( )),(),(1

12

1

12 yxTTyxTT−− =o

( )

+−+= yxyxT ,2

12

( )

( )yxyx

yxyxyxyx

−−+−=

+−+−+−++=

3,310

1

)(2),(22

1

5

1

Otra solución es

( )yxyxyxTT +−=−3,3

10

1),(

1

12 o